安徽建筑大学

安徽建筑大学数学建模课程设计报告书院系数理学院专业信息与计算科学班级三班学号姓名题目投资的收益与风险指导教师欧剑一、设计目的过数学建模课程设计了解数学建模的步骤、方法，学会撰写科技论文，通提高应用数学的意识、兴趣和能力。

二、设计时间20 -20 学年第二学期第~ 周三、设计地点理化楼数学建模实验室四、设计内容针对某一生产、生活实际问题，建立数学模型，通过数学模型的求解，解决这一问题。

按数学建模竞赛论文格式撰写一篇完整的解决实际问题的数学建模论文。

五、设计要求1．灵活应用各种数学知识解决各种实际问题。

2．了解问题，明确目的。

在建模前，要对实际问题的背景有深刻的了解，进行全面的、深入细致的观察。

3．对问题进行简化和假设。

在明确目的、掌握资料的基础上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，对问题进行适当地简化和合理的假设。

4．在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学工具来刻划、描述各种量之间的关系，用表格、图形、公式等来确定数学结构。

5．要对模型进行分析，即用解方程、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明，得到数量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理性，必要时进行修改，调整参数，或者改换数学方法。

6．用已建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。

投资收益和风险的模型一 问题的描述某公司有数额为M （较大）的资金，可用作一个时期的投资，市场上现有5种资产（i S ）(如债券、股票等)可以作为被选的投资项目，投资者对这五种资产进行评估，估算出在这一段时期内购买i S 的期望收益率（i r ）、交易费率(i p )、风险损失率(i q )以及同期银行存款利率0r （0r =3%）在投资的这一时期内为定值如表1，不受意外因素影响,而净收益和总体风险只受i r ,i p ,i q 影响，不受其他因素干扰 。

现要设计出一种投资组合方案, 使净收益尽可能大, 风险尽可能小.表1投资项目i S 期望收益率(%)i r 风险损失率(%)i q交易费率(%)i p存银行0S3 0 0 1S 27 2.4 1 2S 22 1.6 2 3S 25 5.2 4.5 4S 23 2.2 6.5 5S211.52其中0,1,2,3,4,5.i二 问题假设及符号说明2.1 问题假设(1)总体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来度量；(2)在投资中,不考虑通货膨胀因素, 因此所给的i S 的期望收益率i r 为实际的平均收益率；(3)不考虑系统风险, 即整个资本市场整体性风险, 它依赖于整个经济的运行情况, 投资者无法分散这种风险, 而只考虑非系统风险, 即投资者通过投资种类的选择使风险有所分散；(4)不考虑投资者对于风险的心理承受能力。

2.2 符号说明i x ：购买第i 种资产的资金数额占资金总额的百分比；i Mx ：购买第i 种资产的资金数额； 0Mx ：存银行的金额； ()i f x ：交易费用； R ：净收益；Q ：总体风险； i ρ：第i 种投资的净收益率。

三 模型的分析与建立令交易费用,0()(0,1,,5)0,0i i i i i Mx p x f x i x >⎧==⎨=⎩L则净收益为50(1)i i i R M r x M ==+-∑总体风险为05max i i i Q Mx q ≤≤=约束条件为55()iii i f x MxM ==+=∑∑可以简化约束条件为5(1)1iii p x=+=∑同时将5(1)i i i M M p x ==+∑代入，得555(1)(1)()i i i i i i i i i i R M r x M p x M r p x ====+-+=-∑∑∑略去M,原问题化为双目标决策问题:50max ()i i i i R x r p ==-∑05min max i i i Q x q ≤≤= （3.1）5(1)1s. t .00,1,,5i i i i p x x i =⎧+=⎪⎪⎨≥⎪⎪=⎩∑L以下设0i i r p ->，否则不对该资产投资。

四 模型的求解4.1 固定R 使Q 最小的模型固定R 使Q 最小，将模型（3.1）化为05min max i i i Q q x ≤≤=，505(),(1)s. t . (1)1,(2)00,1,,5i i i i i i i i r p x R p x x i ==⎧-=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪≥⎪=⎩∑∑L （4.1）此模型又可改写为miny()()()()()()0001115550011551111s. t . 0,00,1,,5i i ir p x r p x r p x R p x p x p x x q yx y i ⎧-+-++-=⎪++++++=⎪⎪≤⎨⎪≥≥⎪⎪=⎩L L L 令()(1)i i i i r p p ρ=-+，i ρ表示第i 种投资的净收益率，则i ρ必大于0ρ,否则, 若10ρρ≤, 则不对i S 投资, 因为对该项目投资纯收益率不如存银行, 而风险损失率又大于存银行。

将i ρ从小到大排序,设k ρ最大, 则易见对模型（4.1）的可行解必有k R ρ≤≤03.0.当03.0=R 时, 所有资金都存银行,0=Q ; 当k R ρ=时, 所有资金用于购买i S ,1kkq Q p =+；当k R ρ<<03.0时,有如下结论[7]。

结论：若0.03<R<k ρ，015(,,,)x x x L 是模型（3.2.2）的最优解, 则1155x q x q ==L [7]。

而对于固定收益使风险最小的模型来说，这结论也可换句话说：在前5项投资总额一定的前提下，各项投资的风险损失相等即112255x q x q x q ===L 时，总体风险最小[8]。

证：设125,,,y y y L 是满足112255x q x q x q ===L 的一组解，即*112255y q y q y q Q ====L 。

显然此时*Q 为总体风险。

由于前5项投资总额M 是一定的，只要改变其中一项的值，便会导致总体风险增加。

（比如说将1y 的值增加为*1y 会使得**11y q Q >，总体风险显然增加；反之，若减小1y 的值，必然会导致另外一项或几项的值，总体风险自然增加。

）因此,当(0.03,)k R ρ∈时，可按以下步骤求出最优解：1）将（1）式和（2）式消去0x ；2）将i i Q x q =代入解出Q ；3）由i i Qx q =，15i ≤≤，5011(1)i ii x p x ==-+∑求出最优解。

所以，我们算得如下结果:（1）0.03R =时，0123451,0,0x x x x x x Q =======；（2）0.261.01R =时，0234510,11.01,0.0241.01x x x x x x Q =======； （3）(0.03,0.261.01)R ∈时，0.03,40.1721R Q -= 10.030.9641R x -=，20.030.6428R x -=，30.032.0889R x -=，40.030.8838R x -=，50.030.6026R x -=，0123451 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02x x x x x x =-----。

事实上应用Lingo 软件可算得如下结果:表1收益R最小风险度Q投资i S 的资金百分比i x （0,1,2,3,4,5.i =）0x 1x 2x3x4x5x0.0300 0.0000 1.0000 0.0000 0.00000.00000.00000.00000.0400 0.00020.9397 0.0104 0.0156 0.0048 0.0113 0.01660.0500 0.0005 0.8793 0.0207 0.0311 0.0096 0.0226 0.0332 0.0600 0.0007 0.81900.03110.04670.01440.03390.04980.0700 0.0010 0.7587 0.0415 0.0622 0.0191 0.0453 0.0664 0.0800 0.00120.6984 0.0519 0.0778 0.0239 0.0566 0.08300.0900 0.0015 0.6380 0.0622 0.0933 0.0287 0.0679 0.0996 0.1000 0.00170.5777 0.0726 0.1089 0.0335 0.0792 0.11620.1100 0.0020 0.5174 0.0830 0.1245 0.0383 0.0905 0.1328 0.1200 0.00220.4571 0.0933 0.1400 0.0431 0.1018 0.14940.1300 0.0025 0.3967 0.1037 0.1556 0.0479 0.1131 0.1660 0.1400 0.00270.3364 0.1141 0.1711 0.0527 0.1245 0.18250.1500 0.0030 0.2761 0.1245 0.1867 0.0574 0.1358 0.1991 0.1600 0.00320.2158 0.1348 0.2023 0.0622 0.1471 0.21570.1700 0.0035 0.1554 0.1452 0.2178 0.0670 0.1584 0.2323 0.1800 0.00370.0951 0.1556 0.2334 0.0718 0.1697 0.24890.1900 0.0040 0.0348 0.1660 0.2489 0.0766 0.1810 0.2655 0.2000 0.00460.0000 0.1897 0.2846 0.0876 0.1097 0.30360.2100 0.0062 0.0000 0.2589 0.3884 0.1195 0.00000.2132 0.2200 0.00930.0000 0.3858 0.4160 0.1781 0.00000.0000 0.2300 0.0131 0.0000 0.5471 0.1800 0.2525 0.0000 0.0000 0.24000.01700.00000.7084 0.00000.2722 0.00000.00000.2500 0.0209 0.0000 0.8701 0.0000 0.1160 0.0000 0.0000 0.26/1.010.0238 0.00000.99010.00000.00000.00000.0000收益R最小风险度Q最小风险度Q 随收益R 的变化趋势图4.2 固定Q 使R 最大的模型固定Q 使R 最大，将模型（3.2.1）化为50max ()i i i i R r p x ==-∑，50,s. t .(1)1,0,(0,1,,5.)i i i i i i x q Q p x x i =≤⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪≥=⎩∑L（3.2.3）对于每一个Q ，用模型（3.2.3） 都能求出R , 由净收益率()(1)i i i i r p p ρ=-+, 直观上想到i ρ越大,i x 应尽量大,这种想法是正确的,可将其写为如下结论。