第二章：平面汇交力系的合成与平衡
第二章 平面汇交力系
即
F F
x y
0 0
平衡方程
平衡的解析条件： 力系中所有各力在直角坐标轴上的投影代 数和分别等于零。
9
例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反 力。 B 600 A A Q 解： 1).取研究对象 -------力系的汇交点A 2）作受力图 3).建立坐标系 X 0 300 C
X cos(F , i)
R
FR ( X ) 2 ( Y ) 2
FR
Y cos(F , j )
R
FR
15
4、平面汇交力系的平衡条件 （1）平衡的必要和充分条件：平面汇交力系的合力为零。 即 F F 0
R
（2）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。 （3）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐 标轴上投影的代数和分别等于零，即：
y
.
x
Q
4).列出对应的平衡方程 Y 0
5).解方程
TB sin 600 TC sin 300 0
TB cos60 TC cos30 Q 0
0 0
10
简易压榨机
11
求当等长连杆AB、AC与铅垂线成图示角时，托板给被 压物体的力。
12
列方程求解：
销钉A
X 0, Y 0, S AB sin S AC sin P 0 S AB cos S AC cos 0
S AB S AC
S AB S AC P 2 sin
托板
X Y
0, 0,
N S B sin 0 S B cos R 0 R S B cos P 2tg
02平面汇交力系
y
F
B
FBA
x
FBC
F
B
A
C D
解： 1）首先选取销钉B 为研究对象， 画受力图 建立坐标轴，列平衡方程
Fix 0, Fiy 0,
FBA cos FBC cos 0 FBA sin FBC sin F 0
解得
F
FBC FBA 2sin
30
x
F3
45
F4
2 F4x F4 cos 45 4 2 2.83 kN
2 F4 y F4 sin 45 4 2 2.83 kN
二、平面汇交力系合成的解析法
1. 合力投影定理 力系的合力在任一坐标轴上的投影等于其各分力在同一轴上投 影的代数和，即
FRx Fix
F1
F2
FR
O
F3
O
F2
F3
FR1 FR2
F4
F1
FR
F4
O
任一平面汇交力系均可合成为一个作用线通过汇交点的合力。 合力的大小和方向由各分力矢依次首尾相连构成的开口多边形 的封闭边矢量确定。
对应的矢量关系式为
FR F1 F2
Fn Fi
二、平面汇交力系的平衡条件 平面汇交力系平衡的充要条件为其合力为零。
FRx 129.3 N
FRy 112.3 N
2）确定合力的大小和方向
FR FR2x FR2y 129.32 112.32 N 171.3 N
cos FRx 129.3 0.755
FR 171.3
cos FRy 112.3 0.656
第二章：平面汇交力系的合成与平衡
第二章平面汇交力系的合成与平衡课题：第一节平面汇交力系的合成与平衡（一）[教学目标]一、知识目标：1、了解求解平面汇交力系的两种方法。
2、理解平面力系、平面汇交力系。
3、理解平面汇交力系平衡的几何条件。
二、能力目标：通过用几何法求解平面汇交力系的合力，提高学生运用平面几何知识解决力学问题的能力，提高对知识的理解运用能力。
三、素质目标：培养学生的分析问题能力[教学重点]平面汇交力系平衡的几何条件。
[难点分析]用几何法求解平面汇交力系的合力。
[学生分析]学生的数学基础知识需要强化补充。
[辅助教学手段]理论联系实际进行分析，围绕练习题展开讨论。
[课时安排]2课时[教学内容]一、导入新课我们在对力系进行研究时，为了方便，可以按照各力作用线的分布情况进行分类。
从讲实际结构的受力情况入题，一般结构所受的作用力不在同一个平面内，这种力系就属于空间力系；反之，如果所受的作用力都在同一个平面内，这种力系就属于平面力系。
那么在我们研究的力系中，也把它分为两类：空间力系和平面力系。
工程中许多结构所受的作用力虽是空间力系，但在一定条件下可以简化为平面力系，比如水坝、挡土墙的受力等。
平面力系是工程中最常见的力系，本章讨论的便是平面力系的合成和平衡问题，随之引出平面汇交力系的概念及其求解平面汇交力系的两种方法：几何法和解析法。
二、新课讲解1、平面汇交力系合成的几何法（1）导入：力是矢量，矢量的合成都可以遵循平行四边形法则，那么两个汇交力怎么合成呢：两个力的合力的作用点是原汇交点，大小和方向是以两个分力为邻边所构成的平行四边形的对角线。
（2）分析：在力的平行四边形法基础上，可以得到两个汇交力合成的三角形法和多个汇交力合成的力多边形法。
（3）概念：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，其作用点是原汇交力系的交点。
2、平面汇交力系平衡的几何条件（1）分析：如果某平面汇交力系的力多边形首尾相重合，即力多边形自行闭合，则力系的合力等于零，物体处于平衡状态，该力系为平衡力系。
平面汇交力系的合成与平衡
tan Fy Fy 122.3 0.501
Fx
Fx 243.91
方向角α=26.6°，合力的指向为第一象限。
机械工程基础
解： （1）选比例尺，如图所示。 （2）将F1、F2、F3首尾相接得到力多边形abcd，其封闭边矢量ad就是合
力矢量FR。量得ad的长度，得到合力FR＝1650N，FR与x轴夹角α＝16º21′。
平面力系
例2.2 一钢管放置在V形槽内如图a所示，已知：管重 P=5kN，钢管与槽面间的摩擦不计，求槽面对钢管的约束 力。 解：取钢管为研究对象，钢管受到的主动力为重力P和约 束力为FNA和FNB，汇交于O点，如图b所示。
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
（2）汇交力系的合成结果 共点力系可以合成为一个合力，合力作用在力系
的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由此 力系的力多边形的封闭边表示。
矢量的表达式： FR= F1+ F2+ F3+ ···+ Fn
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
平面力系
解法一：选比例尺，令ab=P，bc=FNA，ca=FNB，将各力矢量 按其方向依次进行首尾相连得封闭的三角形abc，如图c所示。 量取bc边和ca边的边长，按照比例尺转换成力的单位，则槽面 对钢管的约束力为
FNA =bc=3.2kN FNB =ca=4.4kN
解法二：绘制力多边形如图2-4c所示，再利用三角关系的
FR
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
2建筑力学与结构(第3版)第二章平面力系的合成与平衡
第三节 平面一般力系
在平面力系中,若各力的作用线都处于同一平面内, 既不完全汇交于一点,相互间也不全部平行,此力系 称为平面一般力系(也称平面任意力系)。平面一般 力系是工程中很常见的力系,很多实际问题都可简化 成一般力系问题得以解决。
一、力的平移定理
作用在刚体上的一个力F,可以平移到同一刚体上的 任一点O,但必须同时附加一个力偶,其力偶矩等于原 力F对新作用点O的矩。这就是力的平行移动定理, 简称力的平移定理。
三、用几何法求平面汇交力系的合力
1.两个汇交力的合成
如图(a)所示,设在物体上作用有汇交于A点的两个力 F1和F2,根据力的平行四边形法则可求得合力R。用 作图法求合力矢量时,可以作图(a)所示的力的平行四 边形,而采用作力三角形的方法得到。
其作法是:选取适当的比例尺表示力的大小,按选定 的比例尺依次作出两个分力矢量F1和F2,并使二矢量
(3)主矢为零,主矩不为零。
(4)主矢与主矩均为零。
四、平面一般力系的平衡条件及平衡方程
(一)平面一般力系的平衡条件
平面一般力系向平面内任一点简化,若主矢F'和主矩 MO同时等于零,表明作用于简化中心O点的平面汇 交力系和附加力平面力偶系都自成平衡,则原力系一 定是平衡力系;反之,如果主矢F'和主矩MO中有一个 不等于零或两个都不等于零,则平面一般力系就可以 简化为一个合力或一个力偶,原力系就不能平衡。
F3的投影: X3=-F3•cos30°=-80×0.866=-69.28(N) Y3=F3•sin30°=80×0.5=40(N) F4的投影: X4=-F4•cos60°=-60×0.5=-30(N) Y4=-F4•sin60°=-60×0.866=-51.96(N) 二、合力投影定理
平面力系汇交力系
[因主矢等于各力的矢量和]
大小： M O mO (Fi )
主矩MO 方向： 方向规定 +
—
（转动效应） 简化中心： (与简化中心有关)
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
2.平面任意力系的简化结果 固定端约束
=
=
固定端A处的约束力可简化为两个约束力FAx、FAy和一个 矩为ＭA的约束力偶
三、平面任意力系的简化结果分析
力偶只能使物体转动，转动效果 取决于力偶矩。
定义： 力偶矩 m F d + —
力偶的三要素： 大小、方向、作用面
⑵ 性质2 力偶对其所在平面内任一
点的矩恒等于力偶矩，而 与矩 心的位置无关，因此力偶对刚 体的效应用力偶 矩度量。
F
B Ad
x
O
F'
mO (F )mO (F')F(xd)F'x F d
两个推论：
①力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的 作用效应。
②只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶 中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用 效应。
§2-5 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系：作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 一、平面力偶系的合成 设有两个力偶
即：FR F
即：平面汇交力系的 合力等于各分力的矢量和， 合力的作用线通过各力的 汇交点。
二、平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的充要条件是：
FR F 0
平面汇交力系平衡的必要与充分的几 何条件是：
力多边形自行封闭
例题2-1
已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm 的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障
工程力学—第二章平面汇交力系
60º 30º 30º
a
a
30º
60º
解： (1) 取梁AB 作为研究对象。 (2) 画出受力图。 (3) 应用平衡条件画出P、NA 和NB 的闭合力三角形。 (4) 解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN
(a)
(b)
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 平面汇交力系是指作用于物体上的各力的作用线位于
同一平面内且汇交于一点的力系。 汇交力系也称为共点力系 据力的可传性原理，将作用于 刚体上的各汇交力沿其作用线移至 汇交点，即可形成平面共点力系， 并不影响其对刚体的作用效果。
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 平面汇交力系
A F4
FR1 F R2
F1 F3
F1
两个共点力的合成—力的平行四边形法则（三角形法则）
任意个共点力的合成—力的多边形法则，多边形封闭边即为合力。
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件F1 OFra bibliotekF2 F3
F1 O
F2 F3
Fn
FR
Fn
FR
求合力,只需依次平移各力,使其首尾相接,最后画出封闭边即可.
解得
FBA
B
F B FBC
F
FBC FBA
F 2 sin
FBC
M
C
（2）取挡板C为研究对象
Fy 0, FM FCB cos 0
解得
FCB
C
F FM FCB cos cot 2
FNC FM
FCB
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的解析法
平面汇交力系
第二章平面汇交力系第一节平面汇交力系合成平面汇交力系的合成方法可以分为几何法与解析法，其中几何法是应用力的平行四边形法则（或力的三角形法则），用几何作图的方法，研究力系中各分力与合力的关系，从而求力系的合力；而解析法则是用列方程的方法，研究力系中各分力与合力的关系，然后求力系的合力。
下面分别介绍。
一、几何法首先回顾用几何法合成两个汇交力。
如图2—1a，设在物体上作用有汇交于O点的两个力F1和F2，根据力的平行四边形法则，可知合力R的大小和方向是以两力F1和F2为邻边的平行四边形的对角线来表示，合力R的作用点就是这两个力的汇交点O。
也可以取平行四边形的一半即利用力的三角形法则求合力如图2—1b所示。
图2—1对于由多个力组成的平面汇交力系，可以连续应用力的三角形法则进行力的合成。
设作用于物体上O点的力F1、F2、F3、F4组成平面汇交力系，现求其合力，如图2—2a所示。
应用力的三角形法则，首先将F1与F2合成得R1，然后把R1与F3合成得R2，最后将R2与F4合成得R，力R就是原汇交力系F1、F2、F3、F4的合力，图2—2b所示即是此汇交力系合成的几何示意，矢量关系的数学表达式为R=F1+F2+F3+F4 （2—1）实际作图时，可以不必画出图中虚线所示的中间合力R1和R2，只要按照一定的比例尺将表达各力矢的有向线段首尾相接，形成一个不封闭的多边形，如图2—2c所示。
然后再画一条从起点指向终点的矢量R，即为原汇交力系的合力，如图2—2d所示。
把由各分力和合力构成的多边形abcde称为力多边形，合力矢是力多边形的封闭边。
按照与各分力同样的比例，封闭边的长度表示合力的大小，合力的方位与封闭边的方位一致，指向则由力多边形的起点至终点，合力的作用线通过汇交点。
这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法则。
从图2—2e还可以看出，改变各分力矢相连的先后顺序，只会影响力多边形的形状，但不会影响合成的最后结果。
图2—2将这一作法推广到由n 个力组成的平面汇交力系，可得结论：平面汇交力系合成的最终结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和，可由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过力系的汇交点。
建筑力学 第二章 平面汇交力系
一、平面汇交力系的合成
桁架： 由若干直杆彼此在两端铰接而成的一种结构。
桁架中各杆的铰接点称为节点。
一、平面汇交力系的合成
工程实例：
一、平面汇交力系的合成
一、力在坐标轴上的投影 力 投影
X=Fx=Fcos Y=Fy=Fsin=F cos 投影 力 注：力在坐标 2 2 F Fx Fy 轴上的投影为 代数量，即标 X Fx cos Y F y 量，其值可正、 cos F F F F 可负、可为零。
一、平面交汇力系的合成
步骤）：1、据力在刚体上的可传性
原来的平面汇交力系就转 化为平面共点力系；2、据平行四边形法则求合力R。
F1 O
F2
F1 F2 O F3
F3 Fn
合力为各力的矢量和，即
Fn
R Fi
R
一、平面交汇力系的合成
F1
平面汇交 力系的合成：力的多边形法则
F2
A
F3
F3
合力：
FR
夹角：
2 2 FRx FRy 171.3N F arctan Rx 40.99o FRy
§1.2 平面汇交力系的平衡
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件 是该力系的合力为零。
Rx X 0 Ry Y 0
R 0 Rx Ry 0
45
D
所受的力。
§1.2 平面汇交力系的平衡
例题
解：
取AB为研究对象，其受力图为：
F E FA A
A
C
FC
C
F
45
45
B
B D
平面汇交力系—平面汇交力系合成与平衡的几何法(建筑力学)
2. 任意个汇交力的合成
对任意个汇交力的合成，可逐次应用力三角形法则，将 这些力依次合成，从而求出合力的大小和方向。
F1
F2
F4 F3
F2
F1
F12 F123
F3
FR
F4
注意：力多边形的矢量法则为各分力（F1、F2、F3、F4） 沿着环绕力多边形边界的同一方向首尾相接，而合力FR则 由最初的起点指向最末的终点，为力多边形缺口的封闭边。
平面汇交力系
第一节 平面汇交力系合成与平衡的几何法
在工程实际中，经常遇到平面汇交力系的问题。
平面汇交力系
第一节 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系合成的几何法
1. 两个汇交力的合成 FR
F1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F2
B F1
A
F2 C FR
ABC称为力的三角形。这种合成方法称为力三角形法则。
平面汇交力系
FR = ΣF = 0 在平衡情况下，力多边形中最后一个力的终点与第一 个力的起点重合（即力多边形的封闭边的长度为零），此 时的力多边形为自行封闭的力多边形。所以，平面汇交力 系平衡的几何条件为：力多边形自行闭合。
第二章 平面汇交力系
平面汇交力系
学习目标：
1.了解平面汇交力系合成与平衡的几何法；掌握平面汇交 力系合成与平衡的解析法。
2. 正确理解合力投影定理，能正确地将力沿坐标轴分解并 求力在坐标轴上的投影。
3. 熟练运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。
重点：
力在坐标轴上的投影和平面汇交力系平衡方程的应用。
平面汇交力系
任意变换力的次序，可画出形状不同的力多边形，但 合力FR的大小和方向仍然不变。
结论： 平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方 向等于原力系中各力的矢量和，合力作用线通过原力系各 力的汇交点。
第2章 平面汇交力系与平面力偶理论
式中，负号表示合力偶的转向为顺时针方向转动。
欲求作用在A、B处的水平力，应以工件为研究对象，受力分析如图 2—13所示，由于工件在水平面内受四个力偶和两个螺栓的水平反力 的作用下而平衡。因为力偶只能与力偶平衡，故两个螺栓的水平反 力N一和jv”必然组成一个力偶。由平面力偶系的平衡方程
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
根据合力投影定理，可计算出合力R的投影Rx和Ry
合力R与x轴正向间的夹角为
平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力R等于0，则有
上式成立，必须同时满足
平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：力系中所有 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
例2-2 图2-5(a)所示圆柱体A重Q，在中心上系着两条绳AB和 AC，并分别经过滑轮B和C，两端分别挂重为P和2P的重物，试 求平衡时绳AC和水平线所构成的角α及D处的约束反力。 解 选圆柱为研究对象，取分离体画受
（2）作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大 小相等、转向相同，则该两个力偶彼此等效。这就是平面力 偶的等效定理。
定理的推论
(1)力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对 刚体的作用效应。 (2)只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变 力偶中力的大小和相应力偶臂的长短。而不改变它 对刚体的作用效应 上述推论表明，在研究同一平面内有关力偶问题时， 只需考虑力偶矩的代数值，而不必研究其中力的大 小和力偶臂的长短。
从而解得
所以
例 图a 所示结构中，各构件自重不计。在构件AB 上作用1力 偶矩为M 的力偶，求支座A 和C 的约束力。
解（1）BC为二力杆： F c= −F B（图c） （2）研究对象AB，受力如图b 所示， F AFB' 构成力偶， 则
平面汇交力系的合成与平衡
1.2 平面汇交力系的平衡条件及应用
一、平衡的几何条件
F3 F4
F2 F1
F3 F4
F2 F1
{F1, F2 ,, Fn} {FR} {0}
FR F
FR F 0
平面汇交力系平衡的充要 条件是该力系的力多边形 自行封闭。
二、平衡的解析条件
FRx Fx 0
FRy
Fy 0
❖ 平面共点力系有两个独立的平衡方程，可以求解两个未知数。
（3）合力投影定理
❖合力在某一直角坐标轴上的投影， 等于各分力在同一轴上投影的代数 和。
FRx =Fx1+Fx2 + Fxn Fxi FRy =Fy1+Fy2 + Fyn Fyi
（4）平面汇交力系合成的解析法步骤
❖ 建立适当的坐标系 ❖ 求出各力的投影 ❖ 求出两轴上投影的代数和 （参见课本例1.9）
机械制造基础
F1
2、任意个汇交力的合成
设 {F1, F2, F3}为作用在A点的力系
F3 F2
A
F1
F3
F2 F1
FR12 F1 F2 FR FR12 F3
力多边形法
F3
F2 F1
FR F1 F2 F3
合力为力多边形的封闭边
思考：改变力的合成顺序会怎样？ 力的多边形一定是平面图形么？
总结：平面汇交力系合成的结果是一 个合力，合力的作用线通过力系的汇 交点，合力的大小和方向由力多边形 的封闭边表示。
2、平面汇交力系合成的解析法
❖ （1）力的分解
力的分解是力的合成的逆 过程，一般将一个力正交 分解为沿两个互相垂直的 坐标轴的分力。
（2 Fx = Fcos Fy = Fsin
第2章 平面力系的合成与平衡
F BC
B
F TBD
15° 15°
30°
30°
kN，BC杆受拉力为309°.65 kN。
求合力矢的几何作图法称为力多边形法则
必须注意:
1.力多边形中各分力矢量首尾相接沿着同 一方向环绕力多边形。由此组成的力多边形 abcde有一缺口，故为不封闭的力多边形，而 合力矢则沿相反方向连接此缺口，构成力多 边形的封闭边。
2.若改变各分力矢的合成次序，则绘出的力 多边形的形状亦会随之改变，但不会影响合 力FR的大小和方向。
FD
量得：FC=28.3 kN FA=22.4 kN
平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.2.1力在直角坐标轴上的投影与力的解析表达式
Fy
y
Fy A j Oi
F
Fx
Fx
B x
y
B
F
Fx Fy
F F
cos cos
A
O Fx
力在轴上的投影为代数量,当力与投影轴正 向间夹角为锐角时，其值为正；夹角为钝角 时，其值为负。
1115N
F 1=600N
1
合力方向:
O1
x
tan FRy 426 0.4136
60°
FR
F3=500N F2=700N
FRx 1030
22.5
2.2.3 平面汇交力系的平衡方程
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合 力矢FR等于零。
合力FR等于零，必须有FRx＝0、FRy＝0，即
Fix 0
Fiy 0
Hale Waihona Puke 平面汇交力系的平衡方程用解析式表示的平面汇交力系平衡的必要和充分 条件是：各力在力系作用面内两个坐标轴上投影的 代数和分别等于零。
理论力学第二章
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
F1 F2 P
解得： FBA
7.321kN
Fiy 0 FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
2 2
（1）
二.平面汇交力系合成的解析法
FR Fi
(a) (b) (c)
Fi Fxii Fyi j FR FR x i FR y j
将（b）代入（a）式，并注意i 和 j为常矢量，则有
FR ( Fxi )i ( Fyi ) j
（今后为了便于书写，将下标“i”省略。） 比较(c)、(d)等式两边，可得
FCA AC 1 P AB
解得 图2-2
FC B BC 1 P AB 2
FCA 10kN, FCB 5 kN
也可给P一定比例，量出FCA和FCB的大小，如取比例尺为1cm=5kN，作 出封闭的力三角形后，由比例尺量得
FCA 10kN, FCB 5 kN
例2-2 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。
转动效应--取决于力矩的大小、方向。
一、力对点的矩
B
力矩：力绕某一点转动效应的度量。
F
M O ( F ) F d
+
A
d
-
说明：
① M O ( F )是代数量。
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ M O ( F )是影响转动的独立因素。
M O ( F )=0。 当F=0或d=0时，
④单位Nm或kNm ⑤ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
第二章 平面力系
第二章平面力系第1节平面汇交力系合成与平衡的几何法若作用在物体上的力，其作用线均分布在同一平面内，则该力系称为平面力系。
若作用在同一平面内的各力作用线均汇交于一点，则该力系称为平面汇交力系。
一、合成的几何法应用力多边形法则，合力矢即是力多边形的封闭边，合力作用线通过力系的汇交点。
如图2-1-1-1所示。
图2-1-1-1若有n个力，则合力矢可以表示为F R = F 1 + F 2 +⋯+ F n = ∑ i=1 n F i二、平衡的几何法平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭。
如图2-1-1-2所示。
若矢量表示即为F R =0图2-1-1-2第2节平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，如图2-2-1-1所示，它是一标量，即F x =Fcosθ; F y =Fcosβ力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力与分力之间应满足力的平行四边形法则。
如图2-2-1-2所示。
当坐标轴为直角坐标轴时，力沿坐标轴分解的分力可以表示为F x = F x i; F y = F y i合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即F x = ∑ i=1 n F xi ; F y = ∑ i=1 n F yi当投影轴x与y垂直时，其合力的大小与方向为F R = F x 2 + F y 2 , cos( F R ,i)= F x F R ; cos( F R ,j)= F y F R二、合成的解析法当为直角坐标轴时，可按以下方法来合成F R = F x 2 + F y 2 = ( ∑ F xi ) 2 + ( ∑ F yi ) 2cos( F R ,i)= F x F R = ∑ F xi F R ; cos( F R ,j)= F y F R = ∑ F yi F R三、平衡的解析法力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即∑ F x =0; ∑ F y =0上式称为平面汇交力系的平衡方程。
工程力学 第2章 平面汇交力系
FR
y
Fi
r r r r F R = F Rx i + F Ry j + F Rz k r r r r F i = F ix i + F iy j + F iz k r r r r F R = ∑ ( F ix i + F iy j + F iz k )
x
13
FRx = ∑ Fx
FRy = ∑ Fy
FR = F + F
2 Rx 2 Ry
= 44.4 KN
θ = arctan
F Ry = 21.80 F Rx
17
( 几何法 ):
10KN
1cm
R
θ
y
F3
600
FR
θ
x
F2
300
o
F3 F2
F1
F1
测量合力 R 的大小和方向 的大小和方向. R=4.4 10=44KN θ = 220
18
三，平衡 平面力系的平衡方程： 平面力系的平衡方程：
F1 F2
F3 F4
求合力 FR
3
F1 F2
F3 F2
F3 F4 F12 F123 FR
F4
F1 F3 F2
F4
FR
F1
4
n 个力的合力: 个力的合力
Fn F3 F1 F2 Fi
FR o
5
结论
汇交力系可以合成为一个合力， 汇交力系可以合成为一个合力，合力的大小和方向 由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。 由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。 即：合力矢等于各分力矢的矢量和。 合力矢等于各分力矢的矢量和。
26
工程力学 第二章 平面汇交力系
再研究球，受力如图： 作力三角形 解力三角形：
Q P = N ′ ⋅ sin α
又 Q sin α = R − h N ′= N R F ⋅R ∴P = N ⋅sin α = ⋅ R −h
h ⋅(2R − h) R
NB=0时为球 离开地面
F (R −h) ∴P = h(2 R − h )
P h (2 R − h ) ∴F = R−h
力的多边形法则： 力的多边形法则：实质是连续多次应用 平行四边形法则（三角形法则） 平行四边形法则（三角形法则）
FR
F4 FR2 F3
FR1 F2 F1
力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连， 力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连，得到的 起点到终点的连线矢量即是合力。 起点到终点的连线矢量即是合力。
P h 2 −h (R ) ∴ F≥ 当 时 方 离 地 球 能 开 面 R−h
小结
• • 平面汇交力系合成：力的多边形、 平面汇交力系合成：力的多边形、解析法 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、解析法
F =11.4kN A
F sinθ = F B F + F cosθ = P A B
F =10kN B
2.碾子拉过障碍物， 应有 F = 0 A 用几何法解得
F = P⋅tanθ =11.55kN
0 N 3. 解得 F in = P⋅sin θ =1 k m
例2 已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计； 求：CD 杆及铰链A的受力.
例1
已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求： ：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？ 2. 3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？
平面汇交力系的合成与平衡
单元02 平面力系平面汇交力系的合成与平衡一、平面汇交力系合成的几何法1.两个共点力合成的几何法可以由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理求合力的大小；由正弦定理确定合力方向2.任意个共点力合成的几何法结论：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。
二、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力等于零。
特点：最后一个力矢的终点与第一个力矢的起点相重合，即封闭边为零。
合力为零意味着力多边形自行封闭。
例：解：三、力在坐标轴上的投影四、合力投影定理1）平面汇交力系的合力F R= F1+ F2+…+ F n = ∑F2）合力在坐标轴的投影等于各分力在同轴上投影的代数和合力投影定理:力系的合力在某轴上的投影,等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。
五、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡条件平衡方程:例题1：求如图所示平面共点力系的合力。
其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。
解：根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：合力的大小：171.3N合力与轴x的夹角的正切为：8.343所以，合力与轴x的夹角为41°例题2：如图所示是汽车制动机构的一部分。
司机踩到制动蹬上的力F=212 N，方向与水平面成 = 45°角。
当平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。
已知EA=24cm，DE=6 cm(点E在铅直线DA上) ，又B ，C ，D都是光滑铰链，机构的自重不计。
例题3：利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一货物重G = 20 kN，滑轮由两端铰接的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B 。
不计铰车的自重，试求杆AB和BC 所受的力。
解析法的符号法则：当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。
解题技巧及说明：1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。
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第二章平面汇交力系的合成与平衡课题：第一节平面汇交力系的合成与平衡（一）[教学目标]一、知识目标：1、了解求解平面汇交力系的两种方法。
2、理解平面力系、平面汇交力系。
3、理解平面汇交力系平衡的几何条件。
二、能力目标：通过用几何法求解平面汇交力系的合力，提高学生运用平面几何知识解决力学问题的能力，提高对知识的理解运用能力。
三、素质目标：培养学生的分析问题能力[教学重点]平面汇交力系平衡的几何条件。
[难点分析]用几何法求解平面汇交力系的合力。
[学生分析]学生的数学基础知识需要强化补充。
[辅助教学手段]理论联系实际进行分析，围绕练习题展开讨论。
[课时安排]2课时[教学内容]一、导入新课我们在对力系进行研究时，为了方便，可以按照各力作用线的分布情况进行分类。
从讲实际结构的受力情况入题，一般结构所受的作用力不在同一个平面内，这种力系就属于空间力系；反之，如果所受的作用力都在同一个平面内，这种力系就属于平面力系。
那么在我们研究的力系中，也把它分为两类：空间力系和平面力系。
工程中许多结构所受的作用力虽是空间力系，但在一定条件下可以简化为平面力系，比如水坝、挡土墙的受力等。
平面力系是工程中最常见的力系，本章讨论的便是平面力系的合成和平衡问题，随之引出平面汇交力系的概念及其求解平面汇交力系的两种方法：几何法和解析法。
二、新课讲解1、平面汇交力系合成的几何法（1）导入：力是矢量，矢量的合成都可以遵循平行四边形法则，那么两个汇交力怎么合成呢：两个力的合力的作用点是原汇交点，大小和方向是以两个分力为邻边所构成的平行四边形的对角线。
（2）分析：在力的平行四边形法基础上，可以得到两个汇交力合成的三角形法和多个汇交力合成的力多边形法。
（3）概念：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，其作用点是原汇交力系的交点。
2、平面汇交力系平衡的几何条件（1）分析：如果某平面汇交力系的力多边形首尾相重合，即力多边形自行闭合，则力系的合力等于零，物体处于平衡状态，该力系为平衡力系。
反之，欲使平面汇交力系成为平衡力系，必须使它的合力为零，即多边形必须闭合。
（2）总结：平面汇交力系平衡的几何条件是：力多边形自行闭合。
3、例题分析P31例2-1、2-2、2-36、小结：本堂课的难点是用几何法求解平面汇交力系平衡问题，通过多道例题分析引导学生理解；重点是理解平面汇交力系平衡的几何条件。
7、作业P682-1、2-2课题：第二节平面汇交力系的合成与平衡（二）[教学目标]一、知识目标：1、理解平面汇交力系平衡的几何条件和解析条件。
2、掌握用解析法求解平面汇交力系的合力。
二、能力目标：通过用解析法求解平面汇交力系的合力，提高学生运用数学知识解决力学问题的能力，提高对知识的理解运用能力。
三、素质目标：培养学生的分析问题能力[教学重点]用解析法求解平面汇交力系的合力。
[难点分析]用解析法求解平面汇交力系的合力。
[学生分析]学生的数学基础知识需要强化补充。
[辅助教学手段]理论联系实际进行分析，围绕练习题展开讨论。
[课时安排]2课时[教学内容]一、导入新课平面汇交力系的几何法简捷而且直观，但其精确度较差。
在力学计算中用得较多的还是解析法。
其中就要用到力在坐标轴上投影的概念。
二、新课讲解3、平面汇交力系合成的解析法a、力在坐标轴上的投影（1）分析：在力F的作用平面内取直角坐标系x O y，从力F的起点A及终点B分别向x轴做垂线，得垂足a及b，并在x轴上得线段ab。
线段ab加正号或负号叫做力F 在x 轴上的投影，用X 表示。
用同样的方法可以得到力F 在y 轴上的投影为线段a 1b 1，用Y 表示。
（2）强调：从投影的起点a 到终点b 与坐标轴的正向一致时，该投影取正号；与坐标轴的正向相反时取负号。
（3）讨论：当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为多少？当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影有什么特征？（4）总结：如果已知力F 、力F 与x 轴所构成的锐角为α，则力F 在坐标轴x 和y 上的投影X 和Y 分别为：⎭⎬⎫==ααsin cos F Y F X 如果已知力F 在坐标轴x 和y 上的投影为X 和Y 、力F 与x 轴所构成的锐角为α，则力F 的大小和方向分别为： ⎪⎭⎪⎬⎫=+=X Y tg Y X F α22 力F 的具体方向由两投影X 、Y 的正、负号来确定。
（5）例题分析：P 28 例2-4b 、合力投影定理（1）设问：如果已知合力在直角坐标轴x 、y 轴上的投影，则合力的大小和方向都可以确定，那么合力和它的分力在同一坐标轴上投影的关系又如何呢？（2）讨论：以一平面汇交力系为例展开讨论。
（3）总结：提出合力投影定理：合力在任一坐标轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。
c 、用解析法求平面汇交力系的合力（1）分析：当平面汇交力系为已知时，我们可选定直角坐标系求得力系中各力在x 轴和y 轴上的投影，再根据合力投影定理求出合力在x 轴和y 轴上的投影，最后就可以得到合力的大小和方向。
（2）结论：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∑∑==∑+∑=+=X Y R R tg Y X R R R x y y x θ2222)()( 其中，R 为合力，θ为合力R 与x 轴所夹的锐角。
4、平面汇交力系平衡的解析条件（1）结论：平面汇交力系平衡的解析条件——力系中所有各力在坐标轴上的投影的代数和为零。
⎭⎬⎫=∑==∑=00Y R X R y x （2）强调：平面汇交力系只有两个独立的平衡方程，利用此解析条件，可以求解两个未知量。
5、例题分析P 31例2-76、小结：本堂课的重点是用解析法求解平面汇交力系平衡问题，必须掌握其求解步骤：选定研究对象；建立坐标系；列平衡方程求解未知力。
7、作业P692-6、2-7、2-8课题：第二节力矩平面力偶系的合成与平衡（一）[教学目标]一、知识目标：1、了解合力矩定理、力偶的基本性质。
2、理解力矩的概念及性质。
3、理解力偶的概念。
二、能力目标：通过引导学生从工程实例中归纳出力矩、力偶的概念及其性质，上升到理论，帮助学生体会认真观察的重要性。
三、素质目标：培养学生理论联系实际的思维[教学重点]力矩、力偶的数值计算。
[难点分析]确定力矩、力偶的正负。
[学生分析]学生的力学思维需要逐步引导，不能操之过急。
[辅助教学手段]1、通过和生活、工程中的实际例子多联系加深学生对力矩、力偶的理解。
2、通过讨论解决学生理解上的误区。
[课时安排]2课时[教学内容]一、导入新课力不仅能使物体移动，还能使物体转动。
如用扳手拧紧螺母，就是一个力使物体产生转动效果的实例。
那么在理论上怎么来解释这种转动的效果的呢？这就需要我们学习力矩及平面力偶理论，这些知识不仅在实际应用中有重要的意义，同时也是学习平面一般力系的基础。
二、新课讲解1、力矩a、力矩的概念（1）导入：如上图，力F使扳手绕螺母中心O转动，实践经验告诉我们，转动效果不仅与力的大小成正比，而且还与该力作用线到O点的垂直距离d 成正比。
（2）分析：当改变F的指向时，扳手的转向也随之改变。
力F使物体绕O 点的转动效应用什么来度量呢？（3）概念：力F使物体绕O点的转动效应用力矩来度量，F与d的乘积加上正负号叫做力F对O点的矩，简称力矩。
O点叫做矩心。
O点到力F作用线的垂直距离d叫做力臂。
（4）强调：通常规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。
在国际单位制中常用单位是牛顿·米（N·m）或千牛顿·米（kN·m）。
力矩为零的情况：力等于零或力的作用线通过矩心。
力矩不变的情况：若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。
b、合力矩定理（1）概念：平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于各分力对同一点的力矩的代数和。
（2）分析：合力矩定理的意义：可以简化力矩的计算。
在求力对某点的矩时，若力臂较难确定，可将这个力分解为两个相互垂直的分力，再根据本定理用两分力的力矩的代数和来代替合力对这点的矩。
（3）例题分析：P34例2-10、例2-122、平面力偶系的合成与平衡条件a、力偶的概念（1）导入：在生产和生活中，经常遇到由大小相等、方向相反、不共线的两个平行力所组成的力系使物体产生转动效应。
例如：（2）概念：力学上把大小相等、方向相反、不共线的两个平行力叫做力偶。
并引出力偶矩、力偶臂的概念。
（3）分析：力偶使物体产生转动，其转动效应如何度量呢？由实践得知，若组成力偶的力F越大，或力偶的两个力作用线间的垂直距离越大，则力偶使物体转动的效应越强；反之越弱。
这种转动效应是用力偶矩来度量的。
（4）强调：通常规定，若力偶使物体作逆时针转动时，力偶矩为正；否则为负。
b、力偶的基本性质总结：（1）要搞清楚力与力偶的区别：力偶没有合力，所以不能用一个力来代替，力偶只能和力偶平衡。
（2）力偶的大小：力偶对其作用平面内任一点之矩都等于力偶矩，而与矩心位置无关。
（3）力偶的等效性：在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
（4）力偶的投影：力偶在任意轴上的投影等于零。
3、小结：本堂课的重点是力矩、力偶的数值计算。
同时要掌握一些基础知识：力矩的概念、力偶的概念、力矩的性质、合力矩定理和力偶的基本性质。
4、作业P712-19、2-20课题：第二节力矩平面力偶系的合成与平衡（二）[教学目标]一、知识目标：掌握求解平面力偶系的平衡问题。
二、能力目标：通过做练习题，增强学生的动手解题能力。
三、素质目标：培养学生理论联系实际的思维[教学重点]求解平面力偶系的平衡问题。
[难点分析]求解平面力偶系的平衡问题。
[学生分析]动手解题能力不足。
[辅助教学手段]1、通过做练习题发现学生理解上的不足，加以强化。
[课时安排]2课时[教学内容]一、导入新课前面讲了力偶的许多性质，如果一个平面内有多个力偶，能不能也象求分力的合力那样来合成呢？合成后又怎么来求解其平衡问题呢？二、新课讲解2、平面力偶系的合成与平衡条件c、平面力偶系的合成（1）概念：同时作用在物体上有两个或两个以上的力偶，这些力偶叫做力偶系。
在同一个平面内的力偶系叫做平面力偶系。
（2）分析：平面力偶系的合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。
（3）例题分析：P38例2-13d、平面力偶系的平衡条件（1）分析：平面力偶系可合成为一个合力偶：当合力偶矩等于零时，则力偶系中各力偶对物体的转动效应相互抵消，物体处于平衡状态；当合力偶矩不等于零，则物体必有转动效应而不平衡。
（2）总结：平面力偶系的平衡的必要和充分条件：力偶中所有各力偶矩的代数和等于零。
3、例题分析P39例2-14、2-154、小结：本堂课的重点是用平面力偶系的平衡条件求解平衡问题，仍需用到一些基础知识：力矩的概念、力偶的概念、力矩的性质、合力矩定理和力偶的基本性质等，所以对于这些基础知识也是必须理解掌握的。