赤平投影判定讲解
赤平投影原理及讲解
一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。
其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。
如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。
2.球面：投影球的表面称为球面。
3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。
当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。
5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。
当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。
实验九用赤平投影方法解析断层节理构造18页PPT课件
对于F2断层来说， δ1位于其凸侧， δ1S2角距也小于 90°，因此F2断层为逆断层，上盘上升，向262°方 向滑动。为左行平移-逆断层。 又F1和F2的夹角为46°，所以，岩体破裂的内摩擦角 为90-46=44°
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例2： 已知：一条左行断层，产状为200°∠60°，在断 层面上量的擦痕侧伏角为16°N。 求：①该断层的性质和应力方位，
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表明F1断层面上擦痕滑动方向为64°或244° F2断层 面上擦痕的滑动方向为84°或264°，S1S2的锐角角 距中点为δ1(71°∠23°)，从δ1沿δ1- δ2大圆弧量度 90°角距得δ3(206°∠58°)。由于δ1位于F1断层的 凹侧且与S1的角距又小于90°，所以，推断F1为正断 层，其下盘向244°方向滑动，为右行滑动，所以断层 为正-右行平移断层
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在赤平投影图上，上述几何关系表现为如下特征
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1.一对共轭断裂面投影弧的交点就是δ2的投影点。 2.共轭断裂面大圆弧的锐角二面角的角距中间点就 是δ1的投影点。共轭断裂面大圆弧的钝角二面角的 角距中点为δ3的投影点。 3.δ1与δ3共用一个大圆弧，该圆弧的法线点就是δ2 的投影点。同时δ1又为δ2-δ3大圆弧的法线点；δ3又 为δ1-δ2大圆弧的法线点即δ1、δ2、δ3互成90°角距
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4.两共轭断裂面大圆弧(F1和F2)与δ1-δ3大圆弧的交点 （S1和S2）就是断裂两盘相对滑动的方向线(擦痕线)。
S1和δ2，S2和δ2都分别共一条断层面，而S1δ2 及 S2δ2 的角距又都为90°。 5.δ1如在断层大圆弧的凸侧，且与断层滑动点(s)的角 距又小于90°，则该断层上盘上升，并沿滑动点向赤 平圆心的方向滑动。反之，δ1如在断层大圆弧的凹侧， 且距s点的角距又小于90°，则该断层下盘上升，并 沿滑动点向圆心的方向滑动。
赤平投影原理及讲解
6.极射点:投影球上两极的发射点(如图一），分上极射点（P)和下极射点(F)。由上极射点(Ｐ）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影;由下极射点(F)把上半球的几何要素投影到赤平面上
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的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。
7.极点:通过球心的直线与球面的交点称为极点,一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点)；水平直线交基圆上两点;倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B)。
赤平投影原理及讲解
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一、序言
岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法,还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》(GＢ50021－94)推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线(包括平面的法线）的地质产状,以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得,不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐,也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数,那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
手把手教你应用赤平投影（CAD图解）
⼿把⼿教你应⽤⾚平投影（CAD图解）⼿把⼿教你应⽤⾚平投影（CAD图解）来庆超⼀、序⾔岩质边坡稳定性分析⽅法有许多，但⽆论是平⾯滑动的单⼀楔形断⾯滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平⾯分析法、楔体分割法、⽴体分析法、霍克分析法以及《岩⼟⼯程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平⾯（包括结构⾯和坡⾯、坡顶⾯）或直线（包括平⾯的法线）的地质产状，以及平⾯与平⾯、直线与直线、直线与平⾯间夹⾓等。
其中平⾯和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的⼏何参数，在没有发明极射⾚平投影之前，都是⽤计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，⽽且计算过程繁琐，也很容易出错。
如果采⽤极射⾚平投影求解边坡稳定性分析所需的⼏何参数，那就可以简化这些⼏何参数的计算过程，⽽且⼀般情况下只需要在现场测量出各个控制平⾯的地质产状即可。
⼆、极射⾚平投影的基本原理（⼀）投影要素极射⾚平投影（以下简称⾚平投影）以圆球作为投影⼯具，其进⾏投影的各个组成部分称为投影要素，包括：1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。
2.球⾯：投影球的表⾯称为球⾯。
3.⾚平⾯（也称⾚平投影⾯）：过投影球球⼼的⽔平⾯。
4.⼤圆：通过球⼼的平⾯与球⾯相交⽽成的圆，统称为⼤圆（如图⼀（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有⼤圆的直径相等，且都等于投影球的直径。
当平⾯直⽴时，与球⾯相交成的⼤圆称为直⽴⼤圆（如图⼀（a）中PSFN）；当平⾯⽔平时，与球⾯相交成的⼤圆称为⾚平⼤圆或基圆（如图⼀（a）中NESW）；当平⾯倾斜时，与球⾯相交成的⼤圆称为倾斜⼤圆（如图⼀（a）中ASBN）。
5.⼩圆：不过球⼼的平⾯与球⾯相⽽成的圆，统称为⼩圆（如图⼀（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。
当平⾯直⽴时，与球⾯相交成的⼩圆称为直⽴⼩圆（如图⼀（b）中DC）；当平⾯⽔平时，与球⾯相交成的⼩圆称为⽔平⼩圆（如图⼀（b）中AB）；当平⾯倾斜时，与球⾯相交成的⼩圆称为倾斜⼩圆（如图⼀（b）中FG或图⼀（c）中PACB）。
赤平投影
1．赤平极射投影作图分析预测1）原理简介赤平极射投影是表示物体的几何要素或点、直线、平面的空间方向和它们之间的角距关系的一种平面投影。
它以一个球体作为投影工具(称投影球)，以球体中心(简称球心)作为比较物体的几何要素(点、线、面)的方向和角距的原点，并以通过球心且垂直于投影平面的直线与投影球面的交点，称为球极，依人们描述地球的习惯用语，就称投影平面为赤道平面，其相应的两个球极，上部为北极，下部为南极。
作赤平极射投影图时，将物体的几何要素置于球心，由球心发射射线将所有的点、线、面自球心开始投影于球面上，就得到了点、直线、平面的球面投影。
再以投影球的南极或北极为发射点，将点、直线、平面的球面投影(点或线)再投影于赤道平面上。
这种投影就称为赤平极射投影，由此得到的点、直线、平面在赤道平面上的投影图就称为赤平极射投影图。
在岩体工程地质力学研究和实践中，主要应用的是通过投影球心的平面和直线的赤平极射投影，用于表示岩体中的结构面、工程开挖面、工程作用力、岩体的滑移方向、滑动力和抗滑力等，在作图时，不考虑直线和平面的空间位置，只表示它们的空间方向而将直线和平面一并平移至投影球中心，作为它们的赤平极射投影。
2）利用赤平投影判别块体稳定性利用赤平极射投影法，可以推断出节理面和隧道壁面所围成的不利的岩块形状，并确定这些岩块位移的可能性方向。
图A（b）)。
④按同一比例尺作通过锥体顶点O的垂直剖面。
将图5-88（b）中的L＇M＇移至图5-88（c）中得L＂M＂，过L＂点作∠M"L＂O＂＝LO的倾角，过M＂点作∠L＂M＂O＂＝MO 的倾角，L＂O＂和M＂O＂相交于O＂点，过O＂作L＂M＂的垂线O＂Q，O＂Q即为四面锥体ABCO的高度。
但该高度要被隧道弧形拱顶截取掉一部份，可以通过如下作图实现：上下移动拱顶弧形线，使其与L＂、M＂两点中一点相切，另一点位于其下。
这种切法保证了块体在拱顶达到最大体积，即考虑的是最危险状态，有利于安全。
赤平投影原理及讲解
一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多,但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法,还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》(GB５0０2１－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面(包括结构面和坡面、坡顶面)或直线（包括平面的法线）的地质产状,以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。
其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐,也很容易出错。
如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数,那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
ﻫ二、极射赤平投影的基本原理(一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具,其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括:1.投影球（也称投射球):以任意长为半径的球。
2.球面:投影球的表面称为球面。
3．赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆:通过球心的平面与球面相交而成的圆,统称为大圆(如图一（a)中ＡＳBN、PSFN、ＮＥSW)，所有大圆的直径相等,且都等于投影球的直径。
当平面直立时,与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一(a）中PSＦN）;当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESＷ）;当平面倾斜时,与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一(a)中AＳBN)。
５.小圆:不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b)、（c）中AＢ、ＣD、ＦG、PAＣB)。
当平面直立时,与球面相交成的小圆称为直立小圆(如图一（b)中DＣ);当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆(如图一(b)中ＡB)；当平面倾斜时,与球面相交成的小圆称为倾斜小圆(如图一（b)中FG或图一（c）中PACB)。
赤平投影判定讲解课件
3.求两相交直线所决定的平 面的产状 已知两相交直线的产状 分别为SE120°∠36°和 S180°∠20°，求其所决定 的平面的产状
4.求平面上直线的投影 已知一平面产状 S180°∠37°，该平面上一 直线侧伏向E，侧伏角44°， 求直线的倾伏向、倾伏角。
5.面的旋转方法 已知某平面的产状，求依 某一方向旋转一定角度后此面 的投影。 平面与球面的交线为一大 圆，这一大圆是由许多点组成 的，因此，大圆的旋转实际上 是组成此大圆的许多点的旋转。
小结: (1)求两节理面的交角及交线。 (2)据共轭剪节理求主应力轴产状。 (3)已知不整合面上、下地层的产状， 求年轻地层沉积时老地层的产状。 (4)在倾斜岩层中，求交错层理或砾 石在沉积时的产状。 (5)恢复早期节理受后期构造变动影 响前的产状等。
练习:
1.岩层面产状为SE150°∠40°，岩层面 上有擦痕线，其侧伏角为30°SW，求擦 痕线的倾伏向和倾伏角。 2.某地灰岩中发育一对共轭剪节理，一组 产 状为SW190°∠76°，另一组为 NW278°∠53°，求三个主应力轴产状。 3.不整合面产状为SW200°∠30°，下伏 地层产状NW315°∠60°，求上覆地层 水平时下伏地层的产状。
球面任一点绕定轴旋转， 如果这一旋转轴与南北直径重 合，则该点的旋转轨迹为一圆， 此圆为东西向的直立平面，其 投影与吴尔福网的纬线小圆重 合。因此，只要求出大圆上各 点绕定轴旋转后的位置，即可 得到旋转后平面的投影。
操作步骤： (1)将ＦＥ大圆弧上的若干点 沿其所在的纬线小圆逆时针旋转 30°(见粗箭头所示)到新位置。 (2)在吴尔福网上旋转，将逆 时针旋转30°后各点的新位置转 至同一经线大圆弧上，得新的大 圆弧F′E′，F′E′即为旋转 后平面的投影。
赤平投影原理ppt课件
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二. 赤平投影网的使用方法
(四)求两平面的夹角及其等分面: 5. 在FG大圆弧上数二面角的平分角距, IH间平分为 57 °, 平分点为K, 在FI+HG间平分为33 °。 6. 转动透明纸, 使b点和K点位于同一大圆弧上, 该 大圆弧即为二平面夹角中的平分面(产状267∠85°)
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二. 赤平投影网的使用方法
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二. 赤平投影网的使用方法
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二. 赤平投影网的使用方法
所需工具:
吴氏网(在实习指导书后面) 透明纸(>20×20cm) [硬纸板(>20×20cm)] 图钉一枚或大头针 橡皮擦 铅笔 透明胶带
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二. 赤平投影网的使用方法
投影前要作的准备工作: 1. 透明纸放在投影网上，用铅笔标记一个 “+” 以注明投影网中心；再用一5×5mm的透明 胶带贴在透明纸上( 贴在投影网中心所在部位) 。 2. 将透明纸上的“+”标记与投影网对准，用 图钉或大头针沿中心扎下去并固定在桌面上，此 时透明纸能绕图钉(投影网中心)作水平方向的旋 转。 3. 用铅笔在透明纸上描下投影网的基圆(圆 周)，并在上端0°处注记一箭头，箭头指向投影 网上0°的刻度处。
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二. 赤平投影网的使用方法 (四)求两平面的交线产状: 例如: 两平面产状为70∠40°和290∠30°, 求其交线 产状 1. 按前面所述平面的投影方法, 投影得二大圆弧。 2. 而大圆弧相交与一点b, 即为两平面交线的产状 (倾伏向和倾伏角为4∠13°)
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二. 赤平投影网的使用方法 (四)求两平面的夹角及其等分面: 例如: 两平面产状为70∠40°和290∠30°, 求两平面 的夹角及其等分面 1. 按前面所述平面的投影方法, 投影得二大圆弧。 2. 而大圆弧相交与一点b，为二平面的交线。
手把手教你应用赤平投影(CAD图解)
手把手教你应用赤平投影（CAD图解）来庆超一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。
其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。
如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。
2.球面：投影球的表面称为球面。
3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。
当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。
5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。
当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。
构造地质学 实习讲义 第14章 赤平投影原理与应用简介1203
大圆图解。
圆柱状褶皱：各切面交线平行，且平行于褶皱枢纽， 这些经线大圆交于（β）点，即β轴=褶皱枢纽投影。
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D7054 Cam－O 褶 皱 岩 层 产 状 统 计 图
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D7052Cam－O褶 皱 岩 层 产 状 统 计
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1．投影平面245°∠30°；20°∠60°；340°∠40°；120°∠70°。 2．投影直线42°∠62°；130°∠45°；220°∠50°；315°∠32°。 3．投影平面NW318°∠26°的法线（即极点）。 4．投影包含直线258°∠40°及42°∠62°的平面的产状。 5．已知铁矿层产状为154°∠40°，求下列各方向剖面上的视倾角：80°、330°、290°、 240°。 6．在公路转弯处的两陡壁上，测得板状含金石英脉的视倾斜线产状分别为120°∠16°和 227°∠22°，求该板状含金石英脉的产状。 7．岩层面产状为150°∠40°，岩层面上有擦痕线，其侧伏角为30°SW，求擦痕线的倾伏 向和倾伏角。（提示：作出岩层面的大圆弧后，由大圆弧的走向SW端沿大圆弧数其被纬线小 圆弧所分割的30°，即得擦痕投影。） 8．求平面254°∠30°与145°∠48°的交线产状。 9．求平面335°∠30°与平面235∠48°的夹角及夹角平分面的产状。 10．一圆柱状背斜北西翼产状为330°∠45°，北东翼产状为65°∠35°。求：（1）东西向 直立剖面上两翼的视倾角及两翼之间的夹角；（2）横截面的产状、横截面上两翼的侧伏角及 两翼之间的翼间角。 11. 某地灰岩中发育一对共轭剪节理，一组产状为190∠76°，另一组产状为278°∠53°， 假定两组节理的锐角等分线方向为最大主压应力方向，求三个主应力轴的产状。
极射赤平投影中的数学方法
极射赤平投影中的数学方法
极射赤平投影又称等距离投影，是一种地图投影方式，是地球投射到赤道上，
使赤道成为投影中央线，把地球投射到赤道上，用比例尺对投射两侧的地球表面将被放大，从瓦拉纳仪器转到赤道，而投射线将会发生扭曲，整体变形。
极射赤平投影的数学方法主要通过各种数学公式，来确定地图上物体的形状和
尺寸，以及投影关系的定义，主要是利用方程，以及一些地图转换方法和投影理论，通过以上这些操作，来有效确定投影后地图是精确的。
极射赤平投影的数学方法，使得科学家们可以更有效地解决地理相关的实际问题，比方说，只要给定一定的经纬度，就可以借助这种数学方法，很容易地将地形精确地表示出来，将理论转化为现实应用。
极射赤平投影的数学方法加以应用，也可以让生活娱乐更加趣味化，例如，我
们经常可以用极射赤平投影来玩地图拼图，这时，数学方法所提供的精确性，就体现出来了，让游戏更加有趣。
总而言之，极射赤平投影的数学方法表现出了其精确性和有效性，不但可以应
用于科学研究，而且还可以直接运用于生活娱乐中来让游戏更加有趣，有趣又安全。
赤平投影原理及讲解
赤平投影原理及讲解引言赤平投影是地图学中常用的一种投影方式，其最大的优点是可以充分保证地图上任意一点与赤道的角度都相等。
而赤平投影的实现原理，主要是利用了地球的旋转和中心线的垂直位置。
赤平投影原理坐标系在介绍赤平投影原理之前，我们需要先了解一下坐标系。
通常在地图制作中，我们使用的坐标系为地球坐标系。
地球坐标系是将地球上的点用三维坐标系表示的一种数学模型。
其中，地球坐标系的原点为地球质心，地球的赤道为该坐标系的 XY 平面，而该坐标系的 Z 轴即为地球北极点指向质心的连线。
在地球坐标系中，我们一般采用经度和纬度作为解释地球上位置的方式。
经度是一个定点的短圆弧与本初子午线之间的夹角，而纬度则是一个点与赤道之间的夹角。
它们的表示方式为度、分、秒，分别用符号 °、′、″ 表示。
赤平投影原理赤平投影又称为正射平面投影，需要满足投影面与地球的平面垂直，且中心点正好位于地球的北极或南极上。
投影点与赤道面的夹角都相等。
在赤平投影中，将地球的南北极作为坐标轴的原点，与水平面相交的平面即为投影面。
将该平面放在一张纸上，用垂线去描绘地球上的各个点。
这时，地球上的每一个点都可以在平面上找到一个对应的点，使得该点到点 O（即南极或北极）的距离与该点所对应的角度相等。
由于在赤平投影中，地球上的任何一点都可以延长与南北极的连线垂直于平面，这就形成了“正射平面投影”的名称。
在赤平投影中，投影长度与原长之比始终等于该点到南北极的夹角。
赤平投影的应用赤平投影具有保持等角性的特点，在工程制图、城市规划、制造业等领域得到了广泛的应用。
同时，在天文学中，赤平投影也是观测恒星时使用的一种重要工具。
赤平投影的应用广泛且其实现原理简单，只需将地球的南北极作为坐标轴的原点，与平面相交，以垂线去描绘地球上的各个点，便可以获得等角性的投影效果。
构造解析_2_赤平投影
赤平投影是在两度空间上解析三度空间的直线、 平面关系问题的方法。它能够处理线状和面状 构造的方位、运动轨迹和角距关系，可以帮助 解析复杂的构造问题。但是，它不涉及地质体 的具体位置、规模和相互距离，因此，不能代 替剖面图、平面图和立体图。
公元前二世纪，球面和平面三角的创始人、希腊 天文学家希巴克斯将其用于天文学、地图学、航 海学。
第二章 赤平投影原理
1. 直线和平面的几何性质（略） 2. 球面几何基本原理 3. 球面投影 4. 赤平极射投影 5. 赤平极射投影网 6. 赤平圆外投影或赤平极外投影 7. 等面积投影网 8. 基本作图方法
第二节 球面几何基本原理
1. 主要的球面几何定理 (1) 任意平面和球相截而成的交线（或截痕）为一
表示。
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第四节 赤平极射投影
简单模拟即可知道： 一条直立线的赤平极射投影位于
投影中心O点； 一条水平直线的赤平极射影为基
圆上两点； 倾斜线的赤平极射投影，介于投
影中心与基圆之间的两点。因两 点为对蹠点，所以任选一点即可。
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第五节 赤平极射投影网
为了便于迅速绘制赤平极射投影图，进行面、 线构造的方位、角距测算，一般是在根据上述 原理制作的网上进行的。通用的网是前苏联结 晶学家吴尔福（Wulff,1893,1902）创制的，
函数，所以不同位置上的单位格值所围的面积不 等，离网心愈远面积就愈大。
换言之，球面上面积相等 的圆或其它图形，投影到 吴氏网上之后，面积变得 了不相等了（Ⅱ—17）。
第五节 赤平极射投影网
（5）赤平极射投影最大的特征是球面上二线或二 平面夹角，经投影后仍保持不变，就是赤平极射 投影的保角性，所以这种投影又叫做等角投影。
赤平投影原理及讲解
一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。
其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。
如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。
2.球面：投影球的表面称为球面。
3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。
当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。
5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。
当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。
赤平投影法及其在岩质边坡稳定分析中的运用(工程地质课件)
知识点15 赤平投影法在岩质边坡稳定性分析中的运用
15.3 极射赤平投影作图方法
2.施氏投影网：施密特制作，为等 面积投影网。 特点：能反映出面、线的最发育的 产状方位及其组合特征，进行线、 面规律性研究。
知识点15 赤平投影法在岩质边坡稳定性分析中的运用
（二）吴氏投影网作图方法 1.一组结构面产状绘制 120°∠40°（即：N30°E/SE 40°） ①将透明纸蒙在吴氏网上，按相同半径画出基圆，标注中心“O”及顺时针标注E、S、 W、N方向； ②按走向的方位角，通过圆心作N30°E的方向线，分别标注为C、A； ③转动透明纸，使CA与南北垂线重合（C、A点分别与N、S重合），在倾向点相对的 半圆内的水平线上找出倾角40°的点（倾向为NE、SE时在网左侧找，反之在右侧找）， 标注为K； ④描绘40°经线，即为结构面赤平极射投影弧CMA。
知识点15 赤平投影法在岩质边坡稳定性分析中的运用
OM延长至基圆相交于点P，则：
AC为结构面的走向，OK表示结构面的倾向，G K表示结构面的倾角。
2.两组结构面产状绘制
J1：120°∠40°（即：N30°E/SE 40°）， J2：7 0°∠60° （即：N20°W/NE 60°）
如图作结构面J1、J2的赤平极射投影弧AKC和B FD，两弧相交于点M，连接OM，并延长至基 圆相交于点P。则：OM线的方向即为J1、J2交 线的倾向，PM表示J1、J2交线的倾角。
知识点15 赤平投影法在岩质边坡稳定性分析中的运用
15.3 极射赤平投影作图方法
（一）投影网 1.吴氏（吴尔福）投影网：1902年 俄国学者吴尔福制作，以基圆直径 为20cm且经线和纬线间距为2°的 网格组成。 特点：用它能正确反映点、线、面 的角距关系，误差不超过0.5°其缺 点是投影后的面积受到歪曲。
赤平投影原理与应用简介
一 、赤平投影基本原理
目的：
为了表示面、线之间的空间方
位，将空间要素转化到平面上
空间中面和线的赤平面投影
赤平面：过球心的水平面
与球相交所得到的圆截面。
基本思路：设法将空间中 面和线的球面投影，转换 为在赤平面上的投影，从 而可以简化空间方位分析。
过球心水平面的赤平投影＝赤道大圆 直立平面的赤平投影＝赤平面上的直径
过球心倾斜平面的赤平投影 ＝弦为直径的大圆弧
上极点为发射点时，倾斜平面的 赤平投影获得方法
不过球心的平面的投影 =小圆
投影原理
直线的赤平投影 ＝赤平面上的一个点
二 、赤平投影网的构成
赤平大圆 东西向、南北向直径 径向大圆弧 纬向小圆弧 赤平面大圆中心
1 、赤平大圆
可以看作是代表大地水准面的平面
34
求解步骤：
1.将透明纸蒙在吴氏网上，固定圆心
描画基圆及球心 在透明纸上标出N、E、S、W方位
2 产状的投影与求解
（因此，倾斜岩层的倾角就等于倾斜岩 层与赤平面之间的交角）
2、 径向大圆
过圆心走向 南北、倾角 不等的一系 列倾斜平面 的赤平投影
用途：用来
度量倾斜 岩层面的
倾角
纬向小圆的投影过程＝走向东西、
不过球心、间隔相等的直立平面的投影
纬向小圆代表的平面＝锥轴为南北向、锥 顶角间隔相等（2°）的圆锥与球面的交 线所确定的直立平面
5.岩层产状为330°∠40°，求在
335°方向剖面上该岩层的视倾角
据岩层面产状作其投影弧 EHF。 在基圆上数至335°得D’ 点。 作D’ 点与圆心O的连线， 交EHF于H’ 点。Ｈ’ 为 岩层面与NW335°方向剖 面的交线在下半球的投影。 D’ H’ 间的角距即为 335°方向上的视倾角。
极射赤平投影图的解析说明 ppt课件
极射赤平投影图的解析说明
极射赤平投影图的解析说明
• 一个坡面有四组结构面相交的情况下的边 坡稳定性分析。其产状分别为;
• 坡面: 245∠45° • J1: 250∠40° • J2: 130∠45° • J3: 185∠40° • J4: 190∠60°
极射赤平投影图的解析说明
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极射赤平投影图的平投影图的解析说明
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分析之一：一组结构面与坡面的边坡稳定
I
性分析
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• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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极射赤平投影图的解析 说明
极射赤平投影图的解析说明
极射赤平投影，实质是利用一个球体作 为投影工具,把物体置于球体中心，将物体 的几何要素(点、线、面)，通过极射投影于 赤平面上，化立体为平面的一种投影。
实验五 用赤平投影方法确定褶皱枢纽和轴面产状
用赤平投影研究褶皱的注意事项
1.上述有关褶皱的赤平投影方法，严格说来只适于圆柱状 褶皱，如果褶皱为锥形，则翼部不同部位的产状投影将 不会交于一点，而是出现一个投影小圆。 2.对于不协调褶皱来说，曲面迥然不同的各层，要分别投 影，或选用一个有代表性标志层来投影。 3.褶皱是曲面构造，曲面产状变化是及其复杂的，一般说 来产状数据越多，越有代表性，投影效果越好。 4.背斜和向斜的投影图是完全相同，因此，在赤平投影图 上分不出背斜和向斜来。
问题分析： 例2和例1的不同之处在于，例1只有两个产状，例 2有四个产状，这正好表明褶皱面的特点。因为大多数 褶皱的两翼并非平直，而是弯曲的，所以在两翼的不 同部位上测量的产状就会不同。在褶皱不同部位测得 的产状数据越多，就越能真实反应褶皱的几何形态； 对于圆柱状褶皱，每两个不同产状的翼面交线都一一 与枢纽线平行，即都交于β点，但由于测量误差的存 在，各产状大圆弧不可能准确交于一点，而是交于许 多点，但这些交点应密集于一个狭小范围内，枢纽产 状就在这个范围内。
圆，π 圆的极点代表褶皱枢纽（β）
褶皱两翼夹角和轴面产状的判定原则
褶皱两翼夹角的判定
褶皱两翼夹角就是褶皱两翼平面之间的二面角，
任何二面角都是从两平面的公垂面上量得的。在赤平
投影图上褶皱两翼的公垂面就是π圆
例1：已知褶皱两翼产状为10°∠30°和50°∠60° 求该褶皱两翼夹角。
做法：1.在透明纸上标出两翼产状大圆弧AB和CD，交于β 点β就是褶皱枢纽的投影点；
2.以β点为法线作对应大圆弧FG（FG就是π圆），
FG交AB于H，交CD于I，HI的角距就是褶皱两翼的 夹角；
轴面产状的确定
要准确地确定褶皱轴面的产状，除了必知枢
纽产状外，还必须有其它资料，例如轴面走向或轴
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操作步骤： (1)将ＦＥ大圆弧上的若干点
沿其所在的纬线小圆逆时针旋转 30°(见粗箭头所示)到新位置。
(2)在吴尔福网上旋转，将逆 时针旋转30°后各点的新位置转 至同一经线大圆弧上，得新的大 圆弧F′E′，F′E′即为旋转 后平面的投影。
小结: (1)求两节理面的交角及交线。 (2)据共轭剪节理求主应力轴产状。 (3)已知不整合面上、下地层的产状， 求年轻地层沉积时老地层的产状。 (4)在倾斜岩层中，求交错层理或砾 石在沉积时的产状。 (5)恢复早期节理受后期构造变动影 响前的产状等。
S180°∠37°，该平面上一 直线侧伏向E，侧伏角44°， 求直线的倾伏向、倾伏角。
5.面的旋转方法 已知某平面的产状，求依
某一方向旋转一定角度后此面 的投影。
平面与球面的交线为一大 圆，这一大圆是由许多点组成 的，因此，大圆的旋转实际上 是组成此大圆的许多点的旋转。
球面任一点绕定轴旋转， 如果这一旋转轴与南北直径重 合，则该点的旋转轨迹为一圆， 此圆为东西向的直立平面，其 投影与吴尔福网的纬线小圆重 合。因此，只要求出大圆上各 点绕定轴旋转后的位置，即可 得到旋转后平面的投影。
练习:
1.岩层面产状为SE150°∠40°，岩层面 上有擦痕线，其侧伏角为30°SW，求擦 痕线的倾伏向和倾伏角。 2.某地灰岩中发育一对共轭剪节理，一组 产 状为SW190°∠76°，另一组为 NW278°∠53°，求三个主应力轴产状。 3.不整合面产状为SW200°∠30°，下伏 地层产状NW315°∠60°，求上覆地层 水平时下伏地层的产状。
Hale Waihona Puke 人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
赤平投影
1.求两平面交线的产状 第一，据已知的两平面产状，
在吴氏网上分别求出其投影大圆弧 AHB和CID。两大圆弧的交点即为 两平面交线与下半球面交点的投影。
第二，作 与圆心O的连线， 交基圆于P点，P点的方位角即两平 面交线的倾伏向，P 间的角距为 交线的倾伏角。
P
O
2.两面夹角及角平分线的测量 作一平面垂直于两相交平
面的交线，即为同时垂直于两 平面的公垂面，此平面的投影 大圆弧与两平面投影大圆弧相 交，其间夹角即所求的夹角， 夹角的一半为角平分线。
3.求两相交直线所决定的平 面的产状
已知两相交直线的产状
分别为SE120°∠36°和 S180°∠20°，求其所决定 的平面的产状
4.求平面上直线的投影 已知一平面产状