第二章小结与复习

[Cu( x)] Cu '( x)
u u ' v uv ' 2 v v
'
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(v 0)
6．复合函数的导数：设函数u= (x)在点x处有 导数u′x= ′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u 处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f( (x))在点x y' x y'u或' x u 处也有导数，且 f′x( (x))=f′(u) ′(x).
③由①②③得
3a 0 c 1 3a
。
① ②
【课堂小结】
1 . 了解导数的概念，初步会用定义式解决一 些问题； 2． 会用定义式求导数；
3． 了解导数的几何意义；
4．
掌握常见函数的导数公式，并会正确运用；
掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法 则。
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第二章小结与复习
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一、教学目标：1、认识到平均变化率是刻画物体平 均变化的快慢的量，瞬时变化率是刻画物体在一个瞬 间的变化快慢的量； 2、理解导数概念的实际背景和几何意义，并能用导 数定义计算简单的幂函数的导数。 3、利用导数公式表和运算法则计算基本初等函数的 导数，并能解决简单的求曲线的切线的问题。 二、教学重点：导数概念的理解和利用导数公式表 和导数运算法则进行简单函数的导数运算 教学难点：利用极限的语言刻画导数概念和讨论导 数的运算法则 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（3）∵ y x 1 sin 2 x x (sin x cos x) 2 x sin x cos x
又∵ x (0, ，∴ )

∴ y 1 (cosx sin x) x ( sin x cos x) (1 x) cos x (1 x) sin x 。
数（或变化率），记作
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x) f ( x 0 ) y f ( x0 ) lim lim lim ； x o x x o x x0 x x x0 2013-4-2
/
y 就叫做函数y=f(x)在 x
1．导数的概念： （3）如果函数y=f(x)在开区间（a,b）内每一点都 可导，就说y=f(x)在开区间(a,b)内可导，由这些 导数值构成的函数叫做y=f(x)在区间(a,b)内的导 函数， y f ( x x) f ( x) / lim lim y ＝ x0 x x0 f / ( x) x 记作 ＝ 。 2．求导数的方法： （1）求函数的增量⊿y； （2）求平均变化率
2013-4-2 （3）求极限
y lim x 0 x
y x ；
。
3．导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数的 几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x0，y0）处 的切线的斜率，即斜率为
f ( x0 )
/
。过点P的切
f / ( x0 ) x ). 线方程为：y- y0= (x- 0
1 (ln x )' x
1Hale Waihona Puke Baidu(log a x)' log a e ； ； x
(e )' e
x
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x
；
(a )' a ln a
x x
。
5．导数的四则运算法则：
[u( x) v( x)] u ( x) v ( x)
' ' '
[u( x)v( x)] u '( x)v( x) u( x)v '( x)
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4
sin x cos x ∴ y x(cosx sin x)
(e 2 x1 )(1 3x) 3 e 2 x1[(1 3x) 3 ] 2e 2 x1 (1 3x) 3 e 2 x1 3(1 3x) 2 (3) （4） y 3 2 [(1 3x) ] (1 3x) 6
k k P2 (2 , 。由斜率公式得 ) 2 4
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2
k2 k2 ( ) 4 4 k k k (2 ) 2 2
k ，解得：
k 4
0或
当 k 0 时， 1 (0,0) ，l的方程为 P
y 0；
当k 4 时，P ( 2,4) ，l的方程为 y 4 x 4 。 1
导数的物理意义：如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t0的瞬时速度v就是位移 s的导数在t0的值，
s / (t0 ) v=
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4．几种常见函数的导数：
C ' 0 (C为常数)； x )' nx (
n
n 1
( n Q )；
(sin x)' cos x ； (cos x)' sin x ；
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知识提要： 1．导数的概念：
（1）已知函数y=f(x)，如果自变量x在x0处有增量 ⊿x，那么函数y相应地有增量 ⊿y=f(x0+⊿x)-f(x0),比值 x0到x0+⊿x之间的平均变化率； y （2）当⊿x→0时， x 有极限，就说函数y=f(x) 在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x0处的导
例2、已知曲线C1： y x 与曲线C2：y ( x 2)
2
，
e 2 x1 (11 6 x) (1 3x) 4
2
，直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程。
，
解：设l与C1相切于点 P ( x1 , y1 ) ，l与C2相切于点 P2 ( x2 , y 2 ) 1 2 k k2 ，直线l的斜率为k。C1： y x y 2 ， k 2x1 P1 ( , ) ， x ， 2 4 2 C2： y ( x 2) y 2( x 2) ， 2( x 2) ， k ， 2
3 3

1 2
∴
1 y x 2
3 2
x 1 2 x ln x 2 x 3 1 2 1 2 ln x x 1 x 1 。 4 3 2 x x
2 4 2
ln x x 2 ， x
（2）∵
y x ( x 3)(x 3) x 9x
∴ y 4x 3 18x
例题探析
⑴
⑶
y
例1、求下列函数的导数：
x 3 x 3 ln x x2
⑵

4 )
y x ( x 3)(x 3)
2
y x 1 sin 2 x , x (0,
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e ⑷ y 3 (1 3x)
2 x 1
解：（1）∵ y x x ln x x 2
f ( x) ax3 bx2 cx(a 0) 在 例3、已知
x 1
处的导数等于0，且 f (1) 1 ，求a，b，c的值。 解： x 1 是方程 f ( x) 0 的根，即
3ax 2bx c 0 的两根， 2b
2
又 f (1) 1 ，∴ a b c 1 1 3 a , b 0, c 2 2013-4-2 2
练习：课本 P53 复习题：A组1、2、3、4.
作业：课本 P53 复习题：A组 5； B组2
五、教后反思：
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