第3章流体运动学
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第三章流体运动学
第三章 流体运动学
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
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第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
第三章 流体运动学.ppt
1786年，他接受法王路易十六的邀请， 定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领 域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于 拉格朗日的工作。
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
流体力学-第三章
空间各点只要有一个运动要素随时间变化，流体运动称为非恒 定流。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
流体力学与传热：3-1_第三章 流体运动学
（2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值 之差。而与曲线的形状无关。
B
B
B
AB Vds (udx vdy wdz) d B A
A
A
A
对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单
值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，
即 AB 0 。
（3）在空间无旋流场中，势函数相等的面为等势面；在平面 无旋流动中，势函数相等的线是等势线。
vx
x
vy
y
vz
z
若流动无旋，则存在速度势
n
右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明 如图
设Σ与平行于z 轴的直线
z n
:z f (x, y)
相交不多于一点, 并Σ取
上侧,有向曲线 C 为Σ的正
向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域Dxy . x
o
Dxy C
y
定理 设G是空间一维单连域，P,Q, R在G内具有
x
4x
y
0
该流动无旋，存在速度势函数。
（2）由流函数的全微分得：
d
x
dx
y
dy
uydx
uxdy
4
ydx
4xdy
积分
4xy C
由速度势函数的全微分得：
d
x
dx
y
dy
uxdx
uydy
different directions of motion.
• 代入流线微分方程式中，得
dx dy 0
x
y
• 即 d 0
• 所以 C
• 上式说明流函数的等值线与流线重合。
流体运动学
在流体运动的某一初始时刻t = t。每一个流体质点都占有唯一确 定的空间位置，这样，我们就可以用这一质点在t = t。时刻的空间坐 标（X，Y，Z）来标记它。如对于某一流体质点，当t = t。时的坐标 为 ，则该点的轨迹 。 对于任一质点：
流体在初始时刻的坐标或（X，Y，Z）就称为拉格朗日坐标，显然，在以 上描述中 ，或
4. 在定常流中，流线和迹线重合。
所以在定常流中，可以用烟线来显示流谱，问题：在非定常流 场中，烟线是流线还是迹线？——脉线
例2：给定欧拉描述的速度场：u=x+t，v=-y-t。求： 1）t=1时过x=1，y=1点的流体质点的迹线方程；
2）过该点的流线方程。
解：由迹线的微分方程，
积分得： 1）代入t=1时过x=1，y=1点的质点的条件可确定积分常数：
将其代入数度场的关系即可得到数度场的欧拉描述：
对上式求质点到数可得加速度：
与前面得到的结果相同。
那么我们究竟采用那种描述方法呢，仿佛拉格朗日法更符合我们 的习惯，事实是，在流体力学里，除了极特殊的情况，我们一般都采 用欧拉法而不是拉格朗日法。虽然因为拉氏法对运动的描述与理论力 学相同使我们感到熟悉，虽然欧氏法的加速度表述比较复杂，但是：
第二节 迹线和流线
一、 迹线
流体质点运动的轨迹叫迹线。在拉格 朗日法中，流体质点的位移方程就是迹线 方程： 。在欧拉法中，流体质 。 点运动的微分方程为：
可知，迹线是基于拉格朗日观点的流 体运动描述。 欧拉法在直角坐标中的分量表述可以写成：
所以：
二、 流线
流线是这样的一条空间曲线，在某一 时刻，此曲线上任一点的切线方向与流体 在该点的速度方向一致。(场，如电力线、
任一不与流管侧面平行的面被流管截
流体在初始时刻的坐标或（X，Y，Z）就称为拉格朗日坐标，显然，在以 上描述中 ，或
4. 在定常流中，流线和迹线重合。
所以在定常流中，可以用烟线来显示流谱，问题：在非定常流 场中，烟线是流线还是迹线？——脉线
例2：给定欧拉描述的速度场：u=x+t，v=-y-t。求： 1）t=1时过x=1，y=1点的流体质点的迹线方程；
2）过该点的流线方程。
解：由迹线的微分方程，
积分得： 1）代入t=1时过x=1，y=1点的质点的条件可确定积分常数：
将其代入数度场的关系即可得到数度场的欧拉描述：
对上式求质点到数可得加速度：
与前面得到的结果相同。
那么我们究竟采用那种描述方法呢，仿佛拉格朗日法更符合我们 的习惯，事实是，在流体力学里，除了极特殊的情况，我们一般都采 用欧拉法而不是拉格朗日法。虽然因为拉氏法对运动的描述与理论力 学相同使我们感到熟悉，虽然欧氏法的加速度表述比较复杂，但是：
第二节 迹线和流线
一、 迹线
流体质点运动的轨迹叫迹线。在拉格 朗日法中，流体质点的位移方程就是迹线 方程： 。在欧拉法中，流体质 。 点运动的微分方程为：
可知，迹线是基于拉格朗日观点的流 体运动描述。 欧拉法在直角坐标中的分量表述可以写成：
所以：
二、 流线
流线是这样的一条空间曲线，在某一 时刻，此曲线上任一点的切线方向与流体 在该点的速度方向一致。(场，如电力线、
任一不与流管侧面平行的面被流管截
第三章流体流动的基本概念和方程
第三章流体流动的基本概念和方程引言：流体流动的特点1、流体的变形运动2、描述流体运动的主要物理量流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系l 3.1研究流体运动的两种方法连续介质模型：我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。
描述流体运动的各物理量（如速度、加速度等）均应是空间点的坐标和时间的连续函数流场（flow field ）：流体质点运动的全部空间。
流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange ）方法，另一种是欧拉（Euler ）方法。
一、拉格朗日方法1、分析方法：又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。
2、位置表示：这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移，在某一时刻t ，任一流体质点的位置可表为：（velocity ）和加速度（acceleration ）为：4、密度表示：流体的密度（density ）、压强（pressure ）和温度（temperature ) 写成a 、b 、t 的函数，即ρ= ρ( a , b , c , t ) , p = p ( a , b , c , t ) , t = t ( a , b , c , t)二、欧拉法1、分析方法：又称局部法，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运动的，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。
2、表示：流体质点的流动是空间点坐标（x , y , z ）和时间t 的函数，流体质点的三个速度分量表示为：流体质点密度表示：（3——6）式（ 3 一 6 ）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间t 求导就可得流体质点沿运动轨的三个速度分量根据矢量分析的点积公式间的变化而产生的，即式（ 3 一 8 ）中等式右端的第一项tw t v t u ∂∂∂∂∂∂、、 ○2第二部分，迁移加速度（ acceleration of transport )：是某一瞬时由于流体质点速度随空间点的变化而引起的，即式（ 3 一 8 ）中等式右端的后三项z u w y u v x u u ∂∂∂∂∂∂、、等 当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度（ total acceleration ）5、流体质点的加速度的物理意义如图 3 一 1 所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面 2 比截面 1 小，则截面 2 的速度就要比截面 1 的速度大。
工程流体力学-第三章
三、流管、流束和总流
1. 流管：在流场中任取一不是流 线的封闭曲线L，过曲线上的每 一点作流线，这些流线所组成的 管状表面称为流管。 2. 流束：流管内部的全部流体称 为流束。 3. 总流：如果封闭曲线取在管道 内部周线上，则流束就是充满管 道内部的全部流体，这种情况通 常称为总流。 4. 微小流束：封闭曲线极限近于 一条流线的流束 。
ax
dux dt
dux (x, y, z,t) dt
ux t
ux
ux t
uy
ux t
uz
ux t
ay
du y dt
duy (x, y, z,t) dt
u y t
ux
u y t
uy
u y t
uz
u y t
az
du z dt
duz (x, y, z,t) dt
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
欧拉法中的迹线微分方程
速度定义
u dr (dr为质点在时间间隔 dt内所移动的距离) dt
迹线的微分方程
dx dt
ux (x, y, z,t)
dy dt uy (x, y, z,t)
dz dt uz (x, y, z,t)
说明： （1）体积流量一般多用于表示不可压缩流体的流量。 （2）质量流量多用于表示可压缩流体的流量。
(3) 质量流量与体积流量的关系
Qm Q
(4) 流量计算 单位时间内通过dA的微小流量
dQ udA
通过整个过流断面流量
Q dQ udA A
水力学 第三章 流体运动学
§3-1 描述流体运动的两种方法
4
2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
6
3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
15
例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
4
2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
6
3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
15
例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
第三章流体运动学
于是，对（3-1）式，速度表示为
d x x x(a, b, c, t ) vx x(a, b, c, t ) d t t t d y y y (a, b, c, t ) vy y(a, b, c, t ) d t t t d z z z (a, b, c, t ) vx z (a, b, c, t ) d t t t
vz 0
解：由vz=0，为二元流动，代入流线方程
dx 2 dy 2 2 (x y ) (x y2 ) ky kx
y v vy vx o x
k 0, x d x y d y 0
积分：
x y C
2 2
为以原点为圆心的圆。 因k>0，则 当x 0, y 0时
vx 0, v y 0
4、过流断面、湿周、水力半径、当量直径
与流束或总流中所有流线均垂直的断面，称过 流断面，面积用A表示。 在总流的过流断面上，与流体相接触的固体壁 面边壁周长称湿周，用χ表示[kai]。 总流过流断面积与湿周之比称水力半径，用R表 示。
4倍总流过流断面积与湿周之比称当量直径，用 de表示。
对圆管半充满
（3-4）
在不同时刻，给点上的原质点由其它质点替换而 出现不同，欧拉法不随质点走，只固定位置。 欧拉法应先确定v的表达式，而拉格朗日法先确 定x，y，z的关系式，然后给出速度。虽然变量 不同，但描述的核心不变，只是方法不同，数 学表达不同罢了。
其向量表示为：a v (v )v t
( vx ) v x vx x x x
( v y ) y vy y y v y
（3-9）
即为直角坐标系下的连续性方程。
流体力学 第三章
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到 的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流 流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
北航水力学第三章—流体运动学
第三章 流体运动学
自然界和工程实际中，流体大多数处于流动状态，流体 的流动性是流体在存在状态上与固体的最基本区别。
本章介绍研究流体运动的两种方式；以及相应的运动要素表达；迹线流线 等概念；连续性方程；有旋运动与无旋运动；环量与涡量概念
第三章 流体运动学
第一节 描述流体运动的方法
描述流体运动形态和方式：拉格朗日法和欧拉法
三元流：流动参数是三个空间坐标函数, ux ux (x, y, z,t) uy uy (x, y, z,t) uz uz (x, y, z,t)
实际流动一般都是三元流动。 三元流分析时分析起来十分复杂，一般我们设法将其简化为二元流或一元 流。简化过程中要引进修正系数，修正系数可通过实验方法来确定。
ux uy uz 0 x y z
得
uz (ux uy ) 2(x y)
z
x y
积分得
uz z
dz
2(x
y)dz
得 uz 2(x y)z c 其中，c可为某一常数，也可以是与 z 无关的某一函数 f (x, y)
所以 uz 2(x y)z f (x, y)
(3)
ux 2ln(xy)
uy
3y x
uz 4
(4) ux x2 z2 5 uy y2 z2 3
解： (1)
ux uy uz 2 11 0 x y z
满足
(2)
ux uy uz 2x y 2 y 0
x y z
三维定常流：流动参数是三个空间坐标函数，与时间无关
ux ux (x, y, z) uy uy (x, y, z) uz uz (x, y, z)
自然界和工程实际中，流体大多数处于流动状态，流体 的流动性是流体在存在状态上与固体的最基本区别。
本章介绍研究流体运动的两种方式；以及相应的运动要素表达；迹线流线 等概念；连续性方程；有旋运动与无旋运动；环量与涡量概念
第三章 流体运动学
第一节 描述流体运动的方法
描述流体运动形态和方式：拉格朗日法和欧拉法
三元流：流动参数是三个空间坐标函数, ux ux (x, y, z,t) uy uy (x, y, z,t) uz uz (x, y, z,t)
实际流动一般都是三元流动。 三元流分析时分析起来十分复杂，一般我们设法将其简化为二元流或一元 流。简化过程中要引进修正系数，修正系数可通过实验方法来确定。
ux uy uz 0 x y z
得
uz (ux uy ) 2(x y)
z
x y
积分得
uz z
dz
2(x
y)dz
得 uz 2(x y)z c 其中，c可为某一常数，也可以是与 z 无关的某一函数 f (x, y)
所以 uz 2(x y)z f (x, y)
(3)
ux 2ln(xy)
uy
3y x
uz 4
(4) ux x2 z2 5 uy y2 z2 3
解： (1)
ux uy uz 2 11 0 x y z
满足
(2)
ux uy uz 2x y 2 y 0
x y z
三维定常流：流动参数是三个空间坐标函数，与时间无关
ux ux (x, y, z) uy uy (x, y, z) uz uz (x, y, z)
第三章 流体运动学讲解
1 v1
2
3 3
v3
4 v4
v2 1
2
解：由题意 v4 A4 4 v4 4
v1
4
取过水断面1-1到3-3和4-4间 为对象
有： Q1 Q3 Q4 所以：
Q3 Q1 Q4
取过水断面1-1到2-2 为对象
4
有： v1 A1 v2 A2
试检查流动是否满足连续条件。
解：代入连续性方程，看是否满足连续性条件：
(2 x) (2 y ) (1) 22 0 x y
满足连续性条件
(0) (3xy) (2) 0 3x 0 x y
不满足连续性条件，说明该流动不存在。
见“流体力学课内练习”
例：不可压缩二维流动的流速分量为 ux x 4 y, u y y 4x 求 （1）流动是否存在，若存在，写出流函数表达式；（2）流 动是否有势，若有势，写出速度势表达式。 解：（1） （2） u y 4, u x 4 x y u x u y 1 u y u x 1 (1) 0 z ( )0 x y 2 x y
3-2 描述流体运动的基本概念 一、流管、元流和总流 1、流管
在流场中任取一封闭曲线，通过此封闭曲线上的每 一点作某一瞬时的流线，由这些流线所构成的管状曲 面称为流管。（P44图3-5）
2、元流 当封闭曲线所包围的面积无限小时，充满微小流管内 的液流称为元流。 3、总流 当封闭曲线取在运动液体的边界上时，则充满流管内 的整股液流称为总流。
5、掌握流函数、速度势函数与速度的关系。
3-1 1、拉格朗日法
流动描述
一、描述流体运动的两种方法
拉格朗日法又称质点系法，它是跟踪并研究每一个 液体质点的运动情况，把它们综合起来掌握整个液体 运动的规律。 在固体力学中应用较多。 2、欧拉法
水力学-第3章流体运动学 - 发
【解】由于 uz=0，所以是二维流动，其流线方程微分为
dx dy ux (x, y, z,t) uy (x, y, z,t)
将两个分速度代入流线微分方程（上式），得到
dx dy ky kx
xdx ydy 0 积分 x2 y2 c
即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。
流线的基本特性
• 流线的特性 – 流线一般不相交
§3.1 研究流体运动的两种方法
怎样描述整个流体的运动规律呢？
拉格朗日法
欧拉法
§3.1 研究流体运动的两种方法
1.拉格朗日法
拉格朗日法: 从分析流体质点的运动入手，设法描述出每一 流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的 规律，综合流场中所有流体质点的运动情况，来获得整个流 体运动的规律。
§3.1 研究流体运动的两种方法 迹线、流线和脉线
• 迹线
– 一个流体质点在一段连续时间内在空间运动的轨迹
线，它给出同一质点在不同时刻的速度方向
• 迹线方程
拉格朗日法
欧拉法
x x(a,b,c,t) y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a,b,c确定后，消去t 后可得迹线方程
dx uxdt dy uydt dz uzdt
(x, y, z) :
(a, b, c , t ) :
质点起始坐标 任意时刻 质点运动的位置坐标 拉格朗日变数
欧拉法
(x, y, z) : t:
(x, y, z , t ) :
空间固定点（不动） 任意时刻 欧拉变数
§3.1 研究流体运动的两种方法
液体质点通过任意空间坐标时的加流速
a x
du ( x, y, z, t) x dt
dx dy ux (x, y, z,t) uy (x, y, z,t)
将两个分速度代入流线微分方程（上式），得到
dx dy ky kx
xdx ydy 0 积分 x2 y2 c
即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。
流线的基本特性
• 流线的特性 – 流线一般不相交
§3.1 研究流体运动的两种方法
怎样描述整个流体的运动规律呢？
拉格朗日法
欧拉法
§3.1 研究流体运动的两种方法
1.拉格朗日法
拉格朗日法: 从分析流体质点的运动入手，设法描述出每一 流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的 规律，综合流场中所有流体质点的运动情况，来获得整个流 体运动的规律。
§3.1 研究流体运动的两种方法 迹线、流线和脉线
• 迹线
– 一个流体质点在一段连续时间内在空间运动的轨迹
线，它给出同一质点在不同时刻的速度方向
• 迹线方程
拉格朗日法
欧拉法
x x(a,b,c,t) y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a,b,c确定后，消去t 后可得迹线方程
dx uxdt dy uydt dz uzdt
(x, y, z) :
(a, b, c , t ) :
质点起始坐标 任意时刻 质点运动的位置坐标 拉格朗日变数
欧拉法
(x, y, z) : t:
(x, y, z , t ) :
空间固定点（不动） 任意时刻 欧拉变数
§3.1 研究流体运动的两种方法
液体质点通过任意空间坐标时的加流速
a x
du ( x, y, z, t) x dt
第三章 流体运动学§3-1 研究流体流动的两种方法及系统和控讲解
§3- 3 流体流动的分类
1.物理性质
2.流动状态 3.时间变数 4.空间变数 (1)理想流体和粘性流体流动 (2)不可压缩与可压缩流体流动 (1)有旋流动和无旋流动
(2)层流流动和湍流流动
定常流动和非定常流动 (1)均匀流动和非均匀流动 (2)一元,二元,三元流动
一.定常、非定常流动
1.定义
2.举例 3.数学表达式及特点
组分方程：
Y fu t ( Y fu ) ( Y fu ) 1 urY fu r u zY fu 1 Dr D R fu r r z r r r z z
§3- 1 研究流体流动的两种方法 及系统与控制体
一.拉格朗日法
1.定义 着眼于流体质点，研究每一个流体质点在运动 2.举例 过程中的位置、速度、加速度等各种物理量的 变化规律，并综合所有流体质点的这种规律， 3.评价 以获得整个流体运动的规律。
二.欧拉法
1.定义
2.举例 3.评价 着眼于流场（充满运动流体的空间）而不是着眼 于个别流体质点的运动，通过研究不同流体质点 在所流经的空间点的物理量随时间的变化规律， 以获得整个流场内流体的运动规律。
1 1 rotv v 2 2
5.点C的运动分解(数学方法)
vxc vx z dx ez dy e y dz y dz z dy
6.有旋运动与无旋运动(判据)
0
vz v y y z vx vz z x v y vx x y
二.均匀流动和非均匀流动
1.定义 2.举例 3.数学表达式及特点
4.一元、二元和三元流动
三.例题（p43.例3-1）
《水力学》课件——第三章 流体运动学
是否是接
均匀流 否
？
渐变流
流线虽不平行，但夹角较小； 流线虽有弯曲，但曲率较小。
急变流
流线间夹角较大； 流线弯曲的曲率较大。
• 渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的
划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况
来判定
急变流示意图
五. 流动按空间维数的分类
一维流动 二维流动 三维流动
• 根据流线的定
• 在非恒定流情况下，流
义，可以推断：除
线一般会随时间变化。在
非流速为零或无穷
恒定流情况下，流线不随
大处，流线不能相
时间变，流体质点将沿着
交，也不能转折。
流线走，迹线与流线重
合。
• 迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流
体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观
点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速
• 由确定的流体质点组成
的集合称为系统。系统在 运动过程中，其空间位 置、体积、形状都会随时 间变化，但与外界无质量 交换。
• 有流体流过的固定不变
的空间区域称为控制 体，其边界叫控制面。 不同的时间控制体将被 不同的系统所占据。
• 通过流场中某曲面 A 的流速通量
u nd A
A
称为流量，记为 Q ，它的物理意 义是单位时间穿过该曲面的流体 体积，所以也称为体积流量，单 位为 m3/s .
n A
dA
u
• u n d A 称为质量流量，记为Qm，单位为 kg/s . 流量计算
A
公式中，曲面 A 的法线指向应予明确，指向相反，流量将反
s s — 空间曲线坐标
元流是严格的一维流动，空间曲线坐标 s 沿着流线。
第3章流体运动学上PPT课件
3.2 描述流体运动的两种方法
3.2.1 Lagrange法
1.基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录 它们在运动过程中的各物理量及其变化
2.拉格朗日变数：（a,b,c,t）——区分流体 质点的标志
3.质点物理量：B(a,b,c,t)， 如：
pp(a,b,c,t) (a,b,c,t)
3.2 描述流体运动的两种方法
3.2 描述流体运动的两种方法
3.2.0 流体质点和空间点
•流体质点：是个物理点，它是在 两者相互关系：流场
连续介质中取出的，在几何尺寸 中空间某一点，先后由 上无限小，可以看作一点，但包 不 同 的 流 体 质 点 所 占 含许多分子，具有一定物理量。 据；流体质点物理量会
发生变化，而空间点是
•空间点：几何点，表示空间位置 不动的。
Reynolds数的物理意义：
惯性力 Re 粘性力
惯性使扰动放大，导致湍流，粘性抑制扰动使流动保持稳定。 当 Re 时，流动趋于理想流体运动。
2. 机翼绕流风洞试验
机翼绕流流场的特点：
流线(streamline)： 上翼面：流线密 下翼面：流线稀
(a) Re~1
3. 卡门涡街(Karman vortex street)
第3章 流体运动学
(Fluid Kinematics)
第3章 流体运动学
从几何的观点研究流体的运动，不 讨论运动产生的动力学原因。
ma F
rrx,y,z,t vvx,y,z,t aax,y,z,t
3.1 流动图形观察 (flow visualization)
观察几个典型流动，感受实际流动现象和特征。 圆管流动——流动状态 机翼绕流——升力、阻力 圆柱绕流——涡激振荡
3工程流体力学 第三章流体运动学基础
总流： 由无数元流构成的大的流束，包括整
个流动区域上的所有质点的流动。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续16）
三、湿周、水力半径
1.湿周x 在总流过流断面上，液体与固体相接触的线
称为湿周。用符号x 表示。
2.水力半径R
总流过流断面的面积A与湿周的比值称为水Βιβλιοθήκη 力半径。R A x
注意：水力半径与几何半径是完全不同的两个概念。
这是两个微分方程，其中 t 是参数。 可求解得到两族曲面，它们的交线就是 流线族。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续10）
例3-1 已知直角坐标系中的速度场 u=x+t； v= -y+t；w=0,
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
解：由流线的微分方程：
dx d y dz u vw
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续5）
因为u不随t变，所以同一点的流线 始终保持不变。即流线与迹线重合。
某点流速的方向是
流线在该点的切线方向 A
B
流速的大小由流 线的疏密程度反映
uA=uB ?
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续6）
迹线与流线方程 采用拉格朗日方法描述流动时，质
点的运动轨迹方程:
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：由迹线的微分方程：
dx d y dz dt u vw
u=x+t；v=-y+t；w=0
dx xt dt
d y y t
dt
求解
x C1 et t 1
t = 0 时过 M(-1,-1)：C1 = C2 = 0 y C2 et t 1 x= -t-1 y= t-1 消去t，得迹线方程： x+y = -2
个流动区域上的所有质点的流动。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续16）
三、湿周、水力半径
1.湿周x 在总流过流断面上，液体与固体相接触的线
称为湿周。用符号x 表示。
2.水力半径R
总流过流断面的面积A与湿周的比值称为水Βιβλιοθήκη 力半径。R A x
注意：水力半径与几何半径是完全不同的两个概念。
这是两个微分方程，其中 t 是参数。 可求解得到两族曲面，它们的交线就是 流线族。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续10）
例3-1 已知直角坐标系中的速度场 u=x+t； v= -y+t；w=0,
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
解：由流线的微分方程：
dx d y dz u vw
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续5）
因为u不随t变，所以同一点的流线 始终保持不变。即流线与迹线重合。
某点流速的方向是
流线在该点的切线方向 A
B
流速的大小由流 线的疏密程度反映
uA=uB ?
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续6）
迹线与流线方程 采用拉格朗日方法描述流动时，质
点的运动轨迹方程:
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：由迹线的微分方程：
dx d y dz dt u vw
u=x+t；v=-y+t；w=0
dx xt dt
d y y t
dt
求解
x C1 et t 1
t = 0 时过 M(-1,-1)：C1 = C2 = 0 y C2 et t 1 x= -t-1 y= t-1 消去t，得迹线方程： x+y = -2
流体力学第3章流体运动学
第3章流体运动学选择题:.2dr v【3.1】用欧拉法表示流体质点的加速度a等于：（a）dt2；（b）t；（c）（v ）v；v（V ）v（d）t odv va —— v解：用欧拉法表示的流体质点的加速度为dt t v（d）【3.2】恒定流是：（a）流动随时间按一定规律变化；（b）各空间点上的运动要素不随时间变化；（c）各过流断面的速度分布相同；（d ）迁移加速度为零。
解：恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间点若流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动•（b）【3.3】一元流动限于：（a ）流线是直线；（b ）速度分布按直线变化；（c）运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；（d）运动参数不随时间变化的流动。
解：一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。
（c）【3.4】均匀流是：（a）当地加速度为零；（b ）迁移加速度为零；（c）向心加速度为零；（d）合加速度为零。
解：按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度（亦称迁移加速度）这两部分组成，若变位加速度等于零，称为均匀流动（b）【3.5】无旋运动限于：（a）流线是直线的流动；（b）迹线是直线的流动；（c）微团无旋转的流动；（d ）恒定流动。
解：无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流动，或旋度等于零的流动。
（d ）【3.6 ］变直径管，直径d i 320mm, d2 160mm，流速V i 1.5m/s。
V2 为：（a ）3m/s ； ( b) 4m/s ； ( c)6m/s ； ( d ) 9m/s。
V| — d；V2— d；解：按连续性方程，4 4 ，故V V虫1.5 320 6m/sd2160【3.7】平面流动具有流函数的条件是：（a）理想流体；（b）无旋流动；（c）具有流速势；（d）满足连续性。
解：平面流动只要满足连续方程，则流函数是存在的。
（d）【3.8】恒定流动中，流体质点的加速度：（a）等于零；（b）等于常数；（c）随时间变化而变化；（d）与时间无关。
第三章：流体运动学
或：
欧拉型连续方程式的积分形式，物理意义是：单位时间内控制体内流体质量的增减，等于同一时间内进出控制面的流体质量净通量。
使用高斯定理，将其面积分变为体积分：
第一项的微分符号移入积分号内得
所以得：
积分域τ是任取的，必有：
上式即欧拉型连续方程的微分形式。
§３-４流体微团运动的分析
流体微团的运动比较复杂，具有平移，转动，变形运动。微团的运动速度也相应地由平移速度、变形速度和转动角速度所组成。
过水断面：流管的垂直截面，
流量：每秒钟通过过水断面的体积。
微小流管的流量积分：
平均流速：
用实验方法量出体积流量Ｑ，除以σ得平均流速Ｕ。
五、条纹线
举例烟囱的流动来说明。
轨迹线、流线、条纹线这三条线中，流线最为重要。
§３-３连续性方程式
连续性方程式：质量守恒定律在流体力学中的表达式。
一、一元运动的连续性方程式
§３-２几个基本概念
一、定常运动与非定常运动
定常运动：任意固定空间点处所有物理量均不随时间而变化的流动，反之称为非定常运动。
对于定常运动，所有的物理量不随时间而变化，仅是空间坐标（ｘ，y，ｚ）的函数：
ｖｘ＝ｖｘ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｙ＝ｖｙ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｚ＝ｖｚ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｐ＝ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）
ρ＝ρ（ｘ，ｙ，ｚ）
３）质点的加速度
４）由质点一般运动规律
可求得拉格朗日变数ａ与ｂ的表达式为
代回拉格朗日法表示的速度表达式，得欧拉法表示的速度表达式：
欧拉法表示的加速度：
应用欧拉法研究流体运动，又有两种处理方法。一种是在流场空间取一微元体（如六面体），分析流体通过该微元体时流体微团的运动规律，建立流体运动时各种微分方程式。因此这种方法叫微分法。另一种方法是在流场中取一有限的任意形状的固定控制体（其边界封闭曲面称为控制面），分析流体通过该控制体时的运动规律，建立流体运动时各种整体关系式（即积分方程式），这种方法叫控制体方法，或称积分方法。
欧拉型连续方程式的积分形式，物理意义是：单位时间内控制体内流体质量的增减，等于同一时间内进出控制面的流体质量净通量。
使用高斯定理，将其面积分变为体积分：
第一项的微分符号移入积分号内得
所以得：
积分域τ是任取的，必有：
上式即欧拉型连续方程的微分形式。
§３-４流体微团运动的分析
流体微团的运动比较复杂，具有平移，转动，变形运动。微团的运动速度也相应地由平移速度、变形速度和转动角速度所组成。
过水断面：流管的垂直截面，
流量：每秒钟通过过水断面的体积。
微小流管的流量积分：
平均流速：
用实验方法量出体积流量Ｑ，除以σ得平均流速Ｕ。
五、条纹线
举例烟囱的流动来说明。
轨迹线、流线、条纹线这三条线中，流线最为重要。
§３-３连续性方程式
连续性方程式：质量守恒定律在流体力学中的表达式。
一、一元运动的连续性方程式
§３-２几个基本概念
一、定常运动与非定常运动
定常运动：任意固定空间点处所有物理量均不随时间而变化的流动，反之称为非定常运动。
对于定常运动，所有的物理量不随时间而变化，仅是空间坐标（ｘ，y，ｚ）的函数：
ｖｘ＝ｖｘ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｙ＝ｖｙ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｚ＝ｖｚ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｐ＝ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）
ρ＝ρ（ｘ，ｙ，ｚ）
３）质点的加速度
４）由质点一般运动规律
可求得拉格朗日变数ａ与ｂ的表达式为
代回拉格朗日法表示的速度表达式，得欧拉法表示的速度表达式：
欧拉法表示的加速度：
应用欧拉法研究流体运动，又有两种处理方法。一种是在流场空间取一微元体（如六面体），分析流体通过该微元体时流体微团的运动规律，建立流体运动时各种微分方程式。因此这种方法叫微分法。另一种方法是在流场中取一有限的任意形状的固定控制体（其边界封闭曲面称为控制面），分析流体通过该控制体时的运动规律，建立流体运动时各种整体关系式（即积分方程式），这种方法叫控制体方法，或称积分方法。
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第3章 流体运动学
§3-1 流体运动的描述 §3-2 欧拉法的基本概念 §3-3 连续性方程 §3-4 流体微团的运动
【教学基本要求】 教学基本要求】
1、了解描述液体运动的拉格朗日法和欧拉法的内容和特点。 、了解描述液体运动的拉格朗日法和欧拉法的内容和特点。 2、理解液体运动基本概念 流线和迹线，元流和总流，过流断面，流量， 流线和迹线， 、理解液体运动基本概念(流线和迹线 元流和总流，过流断面，流量， 断面平均流速，一元流、二元流和三元流)。 断面平均流速，一元流、二元流和三元流 。 3、掌握液体运动分类和特征 恒定流和非恒定流、均匀流和非均匀流 。 恒定流和非恒定流、 、掌握液体运动分类和特征(恒定流和非恒定流 均匀流和非均匀流)。 4、掌握并能应用恒定总流连续性方程。 恒定总流连续性方程。 、掌握并能应用恒定总流连续性方程 5、了解液体运动的基本形式：平移、变形（线变形和角变形）、旋转。 、了解液体运动的基本形式：平移、变形（线变形和角变形） 旋转。 6、理解无旋流动 有势流动 和有旋流动物理意义。 有势流动)和有旋流动物理意义 、理解无旋流动(有势流动 和有旋流动物理意义。
【学习重点】 学习重点】
1、液体运动的分类和基本概念。 、液体运动的分类和基本概念。 2、恒定总流的连续性方程的形式及应用条件。 、恒定总流的连续性方程的形式及应用条件。 流体最基本特征：流动性，是流体与固体的最基本区别。 流体最基本特征：流动性，是流体与固体的最基本区别。 运动要素(流动要素) 位移、速度、加速度，不涉及引起运动的“ 要素。 运动要素(流动要素)：位移、速度、加速度，不涉及引起运动的“力”要素。 流体运动学任务： 流体运动学任务： 建立流体运动的概念， (1)建立流体运动的概念，研究描述流体运动的方法； 建立流体运动的概念 研究描述流体运动的方法； 确定流动的运动要素， 质量守恒方程。 (2)确定流动的运动要素，建立流动最基本规律 质量守恒方程。 确定流动的运动要素 建立流动最基本规律—质量守恒方程
流体运动的描述 3.1.2 欧拉法
研究流体质点流经流场中各空间点的运动，不研究流体质点的运动历程， 研究流体质点流经流场中各空间点的运动，不研究流体质点的运动历程， 流体质点流经流场中各空间点的运动 综合各空间点运动要素变化规律。欧拉法以“流场”为研究对象——流场法。 流场法。 综合各空间点运动要素变化规律。欧拉法以“流场”为研究对象 流场法 观看录像 要点： 要点： (1)分析流体空间固定位置处运动要素 速度、压强)随时间变化规律； 分析流体空间固定位置处运动要素( (1)分析流体空间固定位置处运动要素(速度、压强)随时间变化规律； (2)分析某一空间位置到另一空间位置时 运动要素随位置变化规律。 分析某一空间位置到另一空间位置时， (2)分析某一空间位置到另一空间位置时，运动要素随位置变化规律。 时间t的函数固定点 ),流场 图3-1-1时间 的函数固定点 时间 的函数固定点M(x、y、z),流场t运动要素如下。 、 、 ),流场t运动要素如下。 欧拉变数：x、y、z、t自变量。流场运动要素是时空(x,y,z,t)连续函数。 欧拉变数： 、 、 、 自变量。流场运动要素是时空 连续函数。 自变量 连续函数 流速场 （3-4） ） （3-5） ） 压强场: ＝ （ ， ， ， ） 压强场: p＝p（x，y，z，t） ， ，， 密度场: 密度场: ρ=ρ(x，y，z，t ) （3-6） ） （3 - 7 ）
流体质点速度沿x方向成线性变化 已知相距l=50cm两点 方向成线性变化， 补例 流体质点速度沿 方向成线性变化，已知相距 两点 的速度为u 的速度为 A=2m/s，uB=6m/s。流动为恒定流，试求 、B两点 ， 。流动为恒定流，试求A、 两点 的质点加速度。 的质点加速度。
[解] 设速度 =ax+b。已知 点为坐标原点，即 解 设速度u 点为坐标原点， 。已知A点为坐标原点 x x=0时，ux=b=2m/s；x=0.5m时，ux=0.5a+2=6，得a=8s-1。则 时 ； 时 ， ux=8x+2
观看录像一
观看录像二
观看录像三
欧拉法的基本概念
(3)均匀流、非均匀流 )均匀流、 空间 均匀流：流线相互平行的直线流动， 均匀流：流线相互平行的直线流动，即 (3-14) ) 观看录像 均匀流特征： 均匀流特征： 过流断面为平面，形状和大小沿程不变； ①过流断面为平面，形状和大小沿程不变； 同一条流线上各点流速相同，各过流断面上v相等 相等； ②同一条流线上各点流速相同，各过流断面上 相等； ③同一过流断面上各点测压管水头为常数(z+ 同一过流断面上各点测压管水头为常数( =c)。 ) 例：等直径直管液流或断面形状和水深不变长直渠道中的水流都是均匀流。 等直径直管液流或断面形状和水深不变长直渠道中的水流都是均匀流。 非均匀流：流线不是平行直线的流动,又分急变流和渐变流 急变流和渐变流。 非均匀流：流线不是平行直线的流动,又分急变流和渐变流。 观看录像 非均匀流中流场中相应点的流速大小或方向或同时二者沿程改变， 非均匀流中流场中相应点的流速大小或方向或同时二者沿程改变，即沿流 程方向速度分布不均。 程方向速度分布不均。 流体在收缩管、扩散管或弯管中的流动。 例：流体在收缩管、扩散管或弯管中的流动。 均匀流或非均匀流与过流断面上流速分布是否均匀没有关系。 均匀流或非均匀流与过流断面上流速分布是否均匀没有关系。 恒定、非恒定流相对时间，均匀、非均匀流相对空间；恒定流可是均匀流， 恒定、非恒定流相对时间，均匀、非均匀流相对空间；恒定流可是均匀流， 也可为非均匀流，非恒定流也如此，但注意明渠非恒定均匀流不可能存在。 也可为非均匀流，非恒定流也如此，但注意明渠非恒定均匀流不可能存在。 恒定流中流场中任意空间点的运动要素不随时间变化， 恒定流中流场中任意空间点的运动要素不随时间变化，所以时变加速度等于 均匀流中质点运动速度不随空间位置变化，所以位变加速度等于零。 零；均匀流中质点运动速度不随空间位置变化，所以位变加速度等于零。 P49 例3-1
§3-1 流体运动的描述
理论力学：刚体模型，质点。 流动：拉格朗日法、欧拉法。 理论力学：刚体模型，质点。 流动：拉格朗日法、欧拉法。
3.1.1 拉格朗日法
综合足够多流体质点随时间运动得整个流动规律—质点系法。 综合足够多流体质点随时间运动得整个流动规律 质点系法。 质点系法 研究对象：流体质点。 研究对象：流体质点。 t0起始位置(a，b，c)为各质点标志，时刻 位置(x，y，z)。 起始位置( ， ， )为各质点标志，时刻t位置 ， ， ) 位置( 拉格朗日变数： 、 、 、 自变量 自变量。 拉格朗日变数：a、b、c、t自变量。 ＝ ＝ 位置坐标： ＝ 位置坐标： x＝x(a，b，c，t)、 y＝y(a，b，c，t)、 z＝z(a，b，c，t) 速度分量: 速度分量 (3-2) 加速度分量： 加速度分量： (3-3)
(3-1)
压强、密度： ＝ 压强、密度： p＝p (a，b，c，t) ，ρ=ρ (a，b，c，t) 为变数， 为变数 可得某指定质点任意时刻所处位置。 含 (1) (a,b,c)=const,t为变数，可得某指定质点任意时刻所处位置。 义 (2) (a,b,c)为变数，t=const，可得某一瞬间不同质点在空间的分布。 为变数， 为变数 ，可得某一瞬间不同质点在空间的分布。 优点：直观性强、概念简明、描述各质点时变过程。可用质点动力学理论分析。 优点：直观性强、概念简明、描述各质点时变过程。可用质点动力学理论分析。 缺点：用于如射流、波浪简单运动，实际流动应用中有很多数学困难。 缺点：用于如射流、波浪简单运动，实际流动应用中有很多数学困难。 运动要素空间分布规律，不需了解流体质点的时变过程，流体力学中很少采用。 运动要素空间分布规律，不需了解流体质点的时变过程，流体力学中很少采用。
欧拉法广泛用于描述流体运动，例如气象预报。 欧拉法广泛用于描述流体运动，例如气象预报。
流体运动的描述 流体质点的加速度、 3.1.3 流体质点的加速度、质点导数
(1)流体质点加速度 (1)流体质点加速度 拉格朗日法的式( 即为指定质点( 的加速度表达式。 拉格朗日法的式(3-3)即为指定质点(a、b、c)的加速度表达式。 即为指定质点 、 、 的加速度表达式 欧拉法的流场某点加速度：流体质点沿其流线通过该点时所具有的加速度。 欧拉法的流场某点加速度：流体质点沿其流线通过该点时所具有的加速度。 x、y、z是质点运动轨迹空间点坐标，有x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)。则质点加速度 是质点运动轨迹空间点坐标， 、 、 是质点运动轨迹空间点坐标 、 、 。 复合函数求导 泰勒展开，略去高阶小量} {注:泰勒展开，略去高阶小量 其中流体质点位置坐标( ， ， )时间变化率等于质点运动速度， 其中流体质点位置坐标(x，y，z)时间变化率等于质点运动速度，即
观看动画
补例 如图直线过原点(0，0)与点（8，6）。若流体质点沿该直线 如图直线过原点 ， 与点（ ， ）。若流体质点沿该直线 与点 ）。 m／s运动，求质点在（8，6）点的加速度。 运动， 以速度 ／ 运动 求质点在（ ， ）点的加速度。
[解] 解 由直线求得 的分量为u ，设x、y的分量为 x、uy，则 、 的分量为
故有 分量形式： 分量形式：
（3-8） ）
（3-9） ）
+ j +k x y z
Hale Waihona Puke 矢量式： 矢量式：（3-10） ）
=i
流体运动的描述
两个加速度： 两个加速度： 当地加速度(时变加速度) 当地加速度(时变加速度) ：给定空间点速度随时间变化， 给定空间点速度随时间变化， 速度随时间变化 流场不恒定性产生； 流场不恒定性产生； 迁移加速度(位变加速度) 迁移加速度(位变加速度) ：给定瞬时速度场沿流线方向导数 速度随位置变化) 速度场不均匀性产生。 (速度随位置变化)，速度场不均匀性产生。 欧拉法的x、 、 是时间 的函数，所以流速是t的复合函数。 是时间t 欧拉法的 、y、z是时间t的函数，所以流速是t的复合函数。 质点加速度：速度对时间全导数。 质点加速度：速度对时间全导数。速度对时间偏导数代表不同质点先后经 过某固定空间点产生的该空间点上的加速度，为当地加速度； 过某固定空间点产生的该空间点上的加速度，为当地加速度；同一个质点占据 空间点位置变化，形成该质点流速随时间变化而产生的加速度是迁移加速度。 空间点位置变化，形成该质点流速随时间变化而产生的加速度是迁移加速度。 质点加速度=当地加速度 当地加速度+迁移加速度 质点加速度 当地加速度 迁移加速度 水管出流： 图3-2水管出流： 水管出流 H随时间变化：A、B、C、D存在当地加速度、迁移加速度； 随时间变化： 、 、 、 存在当地加速度 迁移加速度； 存在当地加速度、 随时间变化 H随时间不变：A、B、C、D不存在当地加速度， 随时间不变： 、 、 、 不存在当地加速度， 随时间不变 不存在当地加速度 C→D存在迁移加速度 存在迁移加速度 (2)质点导数 质点导数— (2)质点导数—随体导数 质点导数：流体力学将质点物体量随时间变化率的全导数， 质点物体量随时间变化率的全导数 质点导数：流体力学将质点物体量随时间变化率的全导数，即 观看动画 （3-11） ） 质点的物理量 流体压强、密度、温度、速度和加速度 A 当地导数、 —当地导数、局部导数或时变导数 A + (u )A—迁移导数或位变导数 t t A—质点的物理量 流体压强、密度、温度、速度和加速度) 质点的物理量(流体压强、密度、温度、速度和加速度
§3-1 流体运动的描述 §3-2 欧拉法的基本概念 §3-3 连续性方程 §3-4 流体微团的运动
【教学基本要求】 教学基本要求】
1、了解描述液体运动的拉格朗日法和欧拉法的内容和特点。 、了解描述液体运动的拉格朗日法和欧拉法的内容和特点。 2、理解液体运动基本概念 流线和迹线，元流和总流，过流断面，流量， 流线和迹线， 、理解液体运动基本概念(流线和迹线 元流和总流，过流断面，流量， 断面平均流速，一元流、二元流和三元流)。 断面平均流速，一元流、二元流和三元流 。 3、掌握液体运动分类和特征 恒定流和非恒定流、均匀流和非均匀流 。 恒定流和非恒定流、 、掌握液体运动分类和特征(恒定流和非恒定流 均匀流和非均匀流)。 4、掌握并能应用恒定总流连续性方程。 恒定总流连续性方程。 、掌握并能应用恒定总流连续性方程 5、了解液体运动的基本形式：平移、变形（线变形和角变形）、旋转。 、了解液体运动的基本形式：平移、变形（线变形和角变形） 旋转。 6、理解无旋流动 有势流动 和有旋流动物理意义。 有势流动)和有旋流动物理意义 、理解无旋流动(有势流动 和有旋流动物理意义。
【学习重点】 学习重点】
1、液体运动的分类和基本概念。 、液体运动的分类和基本概念。 2、恒定总流的连续性方程的形式及应用条件。 、恒定总流的连续性方程的形式及应用条件。 流体最基本特征：流动性，是流体与固体的最基本区别。 流体最基本特征：流动性，是流体与固体的最基本区别。 运动要素(流动要素) 位移、速度、加速度，不涉及引起运动的“ 要素。 运动要素(流动要素)：位移、速度、加速度，不涉及引起运动的“力”要素。 流体运动学任务： 流体运动学任务： 建立流体运动的概念， (1)建立流体运动的概念，研究描述流体运动的方法； 建立流体运动的概念 研究描述流体运动的方法； 确定流动的运动要素， 质量守恒方程。 (2)确定流动的运动要素，建立流动最基本规律 质量守恒方程。 确定流动的运动要素 建立流动最基本规律—质量守恒方程
流体运动的描述 3.1.2 欧拉法
研究流体质点流经流场中各空间点的运动，不研究流体质点的运动历程， 研究流体质点流经流场中各空间点的运动，不研究流体质点的运动历程， 流体质点流经流场中各空间点的运动 综合各空间点运动要素变化规律。欧拉法以“流场”为研究对象——流场法。 流场法。 综合各空间点运动要素变化规律。欧拉法以“流场”为研究对象 流场法 观看录像 要点： 要点： (1)分析流体空间固定位置处运动要素 速度、压强)随时间变化规律； 分析流体空间固定位置处运动要素( (1)分析流体空间固定位置处运动要素(速度、压强)随时间变化规律； (2)分析某一空间位置到另一空间位置时 运动要素随位置变化规律。 分析某一空间位置到另一空间位置时， (2)分析某一空间位置到另一空间位置时，运动要素随位置变化规律。 时间t的函数固定点 ),流场 图3-1-1时间 的函数固定点 时间 的函数固定点M(x、y、z),流场t运动要素如下。 、 、 ),流场t运动要素如下。 欧拉变数：x、y、z、t自变量。流场运动要素是时空(x,y,z,t)连续函数。 欧拉变数： 、 、 、 自变量。流场运动要素是时空 连续函数。 自变量 连续函数 流速场 （3-4） ） （3-5） ） 压强场: ＝ （ ， ， ， ） 压强场: p＝p（x，y，z，t） ， ，， 密度场: 密度场: ρ=ρ(x，y，z，t ) （3-6） ） （3 - 7 ）
流体质点速度沿x方向成线性变化 已知相距l=50cm两点 方向成线性变化， 补例 流体质点速度沿 方向成线性变化，已知相距 两点 的速度为u 的速度为 A=2m/s，uB=6m/s。流动为恒定流，试求 、B两点 ， 。流动为恒定流，试求A、 两点 的质点加速度。 的质点加速度。
[解] 设速度 =ax+b。已知 点为坐标原点，即 解 设速度u 点为坐标原点， 。已知A点为坐标原点 x x=0时，ux=b=2m/s；x=0.5m时，ux=0.5a+2=6，得a=8s-1。则 时 ； 时 ， ux=8x+2
观看录像一
观看录像二
观看录像三
欧拉法的基本概念
(3)均匀流、非均匀流 )均匀流、 空间 均匀流：流线相互平行的直线流动， 均匀流：流线相互平行的直线流动，即 (3-14) ) 观看录像 均匀流特征： 均匀流特征： 过流断面为平面，形状和大小沿程不变； ①过流断面为平面，形状和大小沿程不变； 同一条流线上各点流速相同，各过流断面上v相等 相等； ②同一条流线上各点流速相同，各过流断面上 相等； ③同一过流断面上各点测压管水头为常数(z+ 同一过流断面上各点测压管水头为常数( =c)。 ) 例：等直径直管液流或断面形状和水深不变长直渠道中的水流都是均匀流。 等直径直管液流或断面形状和水深不变长直渠道中的水流都是均匀流。 非均匀流：流线不是平行直线的流动,又分急变流和渐变流 急变流和渐变流。 非均匀流：流线不是平行直线的流动,又分急变流和渐变流。 观看录像 非均匀流中流场中相应点的流速大小或方向或同时二者沿程改变， 非均匀流中流场中相应点的流速大小或方向或同时二者沿程改变，即沿流 程方向速度分布不均。 程方向速度分布不均。 流体在收缩管、扩散管或弯管中的流动。 例：流体在收缩管、扩散管或弯管中的流动。 均匀流或非均匀流与过流断面上流速分布是否均匀没有关系。 均匀流或非均匀流与过流断面上流速分布是否均匀没有关系。 恒定、非恒定流相对时间，均匀、非均匀流相对空间；恒定流可是均匀流， 恒定、非恒定流相对时间，均匀、非均匀流相对空间；恒定流可是均匀流， 也可为非均匀流，非恒定流也如此，但注意明渠非恒定均匀流不可能存在。 也可为非均匀流，非恒定流也如此，但注意明渠非恒定均匀流不可能存在。 恒定流中流场中任意空间点的运动要素不随时间变化， 恒定流中流场中任意空间点的运动要素不随时间变化，所以时变加速度等于 均匀流中质点运动速度不随空间位置变化，所以位变加速度等于零。 零；均匀流中质点运动速度不随空间位置变化，所以位变加速度等于零。 P49 例3-1
§3-1 流体运动的描述
理论力学：刚体模型，质点。 流动：拉格朗日法、欧拉法。 理论力学：刚体模型，质点。 流动：拉格朗日法、欧拉法。
3.1.1 拉格朗日法
综合足够多流体质点随时间运动得整个流动规律—质点系法。 综合足够多流体质点随时间运动得整个流动规律 质点系法。 质点系法 研究对象：流体质点。 研究对象：流体质点。 t0起始位置(a，b，c)为各质点标志，时刻 位置(x，y，z)。 起始位置( ， ， )为各质点标志，时刻t位置 ， ， ) 位置( 拉格朗日变数： 、 、 、 自变量 自变量。 拉格朗日变数：a、b、c、t自变量。 ＝ ＝ 位置坐标： ＝ 位置坐标： x＝x(a，b，c，t)、 y＝y(a，b，c，t)、 z＝z(a，b，c，t) 速度分量: 速度分量 (3-2) 加速度分量： 加速度分量： (3-3)
(3-1)
压强、密度： ＝ 压强、密度： p＝p (a，b，c，t) ，ρ=ρ (a，b，c，t) 为变数， 为变数 可得某指定质点任意时刻所处位置。 含 (1) (a,b,c)=const,t为变数，可得某指定质点任意时刻所处位置。 义 (2) (a,b,c)为变数，t=const，可得某一瞬间不同质点在空间的分布。 为变数， 为变数 ，可得某一瞬间不同质点在空间的分布。 优点：直观性强、概念简明、描述各质点时变过程。可用质点动力学理论分析。 优点：直观性强、概念简明、描述各质点时变过程。可用质点动力学理论分析。 缺点：用于如射流、波浪简单运动，实际流动应用中有很多数学困难。 缺点：用于如射流、波浪简单运动，实际流动应用中有很多数学困难。 运动要素空间分布规律，不需了解流体质点的时变过程，流体力学中很少采用。 运动要素空间分布规律，不需了解流体质点的时变过程，流体力学中很少采用。
欧拉法广泛用于描述流体运动，例如气象预报。 欧拉法广泛用于描述流体运动，例如气象预报。
流体运动的描述 流体质点的加速度、 3.1.3 流体质点的加速度、质点导数
(1)流体质点加速度 (1)流体质点加速度 拉格朗日法的式( 即为指定质点( 的加速度表达式。 拉格朗日法的式(3-3)即为指定质点(a、b、c)的加速度表达式。 即为指定质点 、 、 的加速度表达式 欧拉法的流场某点加速度：流体质点沿其流线通过该点时所具有的加速度。 欧拉法的流场某点加速度：流体质点沿其流线通过该点时所具有的加速度。 x、y、z是质点运动轨迹空间点坐标，有x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)。则质点加速度 是质点运动轨迹空间点坐标， 、 、 是质点运动轨迹空间点坐标 、 、 。 复合函数求导 泰勒展开，略去高阶小量} {注:泰勒展开，略去高阶小量 其中流体质点位置坐标( ， ， )时间变化率等于质点运动速度， 其中流体质点位置坐标(x，y，z)时间变化率等于质点运动速度，即
观看动画
补例 如图直线过原点(0，0)与点（8，6）。若流体质点沿该直线 如图直线过原点 ， 与点（ ， ）。若流体质点沿该直线 与点 ）。 m／s运动，求质点在（8，6）点的加速度。 运动， 以速度 ／ 运动 求质点在（ ， ）点的加速度。
[解] 解 由直线求得 的分量为u ，设x、y的分量为 x、uy，则 、 的分量为
故有 分量形式： 分量形式：
（3-8） ）
（3-9） ）
+ j +k x y z
Hale Waihona Puke 矢量式： 矢量式：（3-10） ）
=i
流体运动的描述
两个加速度： 两个加速度： 当地加速度(时变加速度) 当地加速度(时变加速度) ：给定空间点速度随时间变化， 给定空间点速度随时间变化， 速度随时间变化 流场不恒定性产生； 流场不恒定性产生； 迁移加速度(位变加速度) 迁移加速度(位变加速度) ：给定瞬时速度场沿流线方向导数 速度随位置变化) 速度场不均匀性产生。 (速度随位置变化)，速度场不均匀性产生。 欧拉法的x、 、 是时间 的函数，所以流速是t的复合函数。 是时间t 欧拉法的 、y、z是时间t的函数，所以流速是t的复合函数。 质点加速度：速度对时间全导数。 质点加速度：速度对时间全导数。速度对时间偏导数代表不同质点先后经 过某固定空间点产生的该空间点上的加速度，为当地加速度； 过某固定空间点产生的该空间点上的加速度，为当地加速度；同一个质点占据 空间点位置变化，形成该质点流速随时间变化而产生的加速度是迁移加速度。 空间点位置变化，形成该质点流速随时间变化而产生的加速度是迁移加速度。 质点加速度=当地加速度 当地加速度+迁移加速度 质点加速度 当地加速度 迁移加速度 水管出流： 图3-2水管出流： 水管出流 H随时间变化：A、B、C、D存在当地加速度、迁移加速度； 随时间变化： 、 、 、 存在当地加速度 迁移加速度； 存在当地加速度、 随时间变化 H随时间不变：A、B、C、D不存在当地加速度， 随时间不变： 、 、 、 不存在当地加速度， 随时间不变 不存在当地加速度 C→D存在迁移加速度 存在迁移加速度 (2)质点导数 质点导数— (2)质点导数—随体导数 质点导数：流体力学将质点物体量随时间变化率的全导数， 质点物体量随时间变化率的全导数 质点导数：流体力学将质点物体量随时间变化率的全导数，即 观看动画 （3-11） ） 质点的物理量 流体压强、密度、温度、速度和加速度 A 当地导数、 —当地导数、局部导数或时变导数 A + (u )A—迁移导数或位变导数 t t A—质点的物理量 流体压强、密度、温度、速度和加速度) 质点的物理量(流体压强、密度、温度、速度和加速度