2018年上海市宝山区高三一模数学试卷(2017.12)

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上海市宝山区2017届高考数学一模试卷Word版含解析.pdf

2017年上海市宝山区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．=．2．设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩?U B=．3．不等式的解集为．4．椭圆（θ为参数）的焦距为．5．设复数z满足（i为虚数单位），则z=．6．若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为．7．若点（8，4）在函数f（x）=1+log a x图象上，则f（x）的反函数为．8．已知向量，，则在的方向上的投影为．9．已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为．10．某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）11．设常数a＞0，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=．12．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）13．设a∈R，则“a=1”A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A．80 B．96 C．108 D．11015．设M、N为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M、N为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则M、N为相互独立事件；（3）若，，，则M、N为相互独立事件；（4）若，，，则M、N为相互独立事件；（5）若，，，则M、N为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．416．在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“ｋ⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“０⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f （t）|的最大值为（）A．B．3 C．D．2三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为，侧面积为36；（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．18．已知椭圆C的长轴长为，左焦点的坐标为（﹣2，0）；（1）求C的标准方程；（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且，试求直线l的倾斜角．19．设数列{x n}的前n项和为S n，且4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*）；（1）求数列{x n}的通项公式；（2）若数列{y n}满足y n+1﹣y n=x n（n∈N*），且y1=2，求满足不等式的最小正整数n的值．20．设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，解不等式；（2）若f（0）=1，且在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2n x）]＜lg2对任意n ∈N均成立，求实数x的取值集合．21．设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}；（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*，且n≥2时，曲线的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B=，设A+B中的所有元素之和为S n，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n﹣λＳk＞0恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合A1?A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“Ｎ*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．2017年上海市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．=2．【考点】极限及其运算．【分析】分子、分母都除以n，从而求出代数式的极限值即可．【解答】解：==2，故答案为：2．2．设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩?U B={﹣1，0，1} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，写出?U B与A∩?U B即可．【解答】解析：因为全集U=R，集合B={x|x≥2}，所以?U B={x|x＜2}=（﹣∞，2），且集合A={﹣1，0，1，2，3}，所以A∩?U B={﹣1，0，1}故答案为：{﹣1，0，1}．3．不等式的解集为（﹣2，﹣1）．【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式转化（x+1）（x+2）＜0求解即可．【解答】解：不等式等价于（x+1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，∴原不等式组的解集为（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．4．椭圆（θ为参数）的焦距为6．【考点】椭圆的参数方程．【分析】求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【解答】解：消去参数θ得：，所以，c==3，所以，焦距为2c=6．故答案为6．5．设复数z满足（i为虚数单位），则z=1+i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设z=x+yi，则代入，再由复数相等的充要条件，即可得到x，y的值，则答案可求．【解答】解：设z=x+yi，∴．则=x+yi+2（x﹣yi）=3﹣i，即3x﹣yi=3﹣i，∴x=1，y=1，因此，z=1+i．故答案为：1+i．6．若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用行列式的计算，二倍角公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性，求得a的值．【解答】解：∵y=cos2x﹣sin2x=cos2x，T=π=aπ，所以，a=1，故答案为：1．7．若点（8，4）在函数f（x）=1+log a x图象上，则f（x）的反函数为f﹣1（x）=2x ﹣1．．【考点】反函数．【分析】求出函数f（x）的解析式，用x表示y的函数，把x与y互换可得答案．【解答】解：函数f（x）=1+log a x图象过点（8，4），可得：4=1+log a8，解得：a=2．∴f（x）=y=1+log2x则：x=2y﹣1，∴反函数为y=2x﹣1．故答案为f﹣1（x）=2x﹣1．8．已知向量，，则在的方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据投影公式为，代值计算即可．【解答】解：由于向量，，则在的方向上的投影为=．故答案为：9．已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为18π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意，得：底面直径和母线长均为6，利用侧面积公式求出该圆锥的侧面积．【解答】解：由题意，得：底面直径和母线长均为6，S侧==18π．故答案为18π．10．某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，由此能求出在选出的3人中男、女生均有的概率．【解答】解：某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，基本事件总数n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，∴在选出的3人中男、女生均有的概率：p==．故答案为：．11．设常数a＞0，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=2．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式T r+1=（r=0，1，2，…，9）．令9﹣2r=5，解得r，即可得出．【解答】解：T r+1==（r=0，1，2，…，9）．令9﹣2r=5，解得r=2，则=144，a＞0，解得a=2．故答案为：2．12．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为6．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意，公差d=1，na1+=2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23×23×29，得出满足题意的组数，即可得出结论．【解答】解：由题意，公差d=1，na1+=2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23×23×29，∵n＜2a1+n﹣1，且二者一奇一偶，∴（n，2a1+n﹣1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组；同理d=﹣1时，也有三组．综上所述，共6组．故答案为6．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．设a∈R，则“a=1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及纯虚数的定义判断即可．【解答】解：当a=1时，（a﹣1）（a+2）+（a+3）i=4i，为纯虚数，当（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数时，a=1或﹣2，故选：A．14．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A．80 B．96 C．108 D．110【考点】分层抽样方法．【分析】求出高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400，即可得出该样本中的高二学生人数．【解答】解：设高二x人，则x+x﹣50+500=1350，x=450，所以，高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400因为=，所以，高二学生抽取人数为：=108，故选C．15．设M、N为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M、N为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则M、N为相互独立事件；（3）若，，，则M、N为相互独立事件；（4）若，，，则M、N为相互独立事件；（5）若，，，则M、N为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】在（1）中，P（M∪N）==；在（2）中，由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（3）中，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（4）中，当M、N为相互独立事件时，P（MN）=；（5）由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件．【解答】解：在（1）中，若M、N为互斥事件，且，，则P（M∪N）==，故（1）正确；在（2）中，若，，，则由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（2）正确；在（3）中，若，，，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（3）正确；在（4）中，若，，，当M、N为相互独立事件时，P（MN）=，故（4）错误；（5）若，，，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（5）正确．故选：D．16．在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“ｋ⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“０⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f （t）|的最大值为（）A．B．3 C．D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】设出函数f（x）的解析式，求出|t的范围，求出|f（t）|的解析式，根据不等式的性质求出其最大值即可．【解答】解：设f（x）=ax2+bx+c，则|f（﹣2）|≤2，|f（0）|≤2，|f（2）|≤2，即，即，∵t+1∈[﹣1，3]，∴|t|≤2，故y=|f（t）|=|t2+t+f（0）|=|f（2）+f（﹣2）+f（0）|≤|t（t+2）|+|t（t﹣2）|+|4﹣t2|=|t|（t+2）+|t|（2﹣t）+（4﹣t2）═（|t|﹣1）2+≤，故选：C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为，侧面积为36；（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，高为h，由底面积和侧面积公式列出方程组，求出a=3，h=4，由此能求出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．（2）由AB∥A1B1，知∠B1A1C是异面直线A1C与AB所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与AB所成的角．【解答】解：（1）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，高为h，则，解得a=3，h=4，∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC?h=．（2）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AB∥A1B1，∴∠B1A1C是异面直线A1C与AB所成的角（或所成角的补角），连结B1C，则A1C=B1C=5，在等腰△A1B1C中，cos==，∵∠A1B1C∈（0，π），∴．∴异面直线A1C与AB所成的角为arccos．18．已知椭圆C的长轴长为，左焦点的坐标为（﹣2，0）；（1）求C的标准方程；（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且，试求直线l的倾斜角．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：设椭圆方程为：（a＞b＞0），则c=2，2a=2，a=，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为：y=k（x﹣2），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得k的值，即可求得直线l的倾斜角．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为：（a＞b＞0），则c=2，2a=2，a=，b==2，∴C的标准方程；（2）由题意可知：椭圆的右焦点（2，0），设直线l的方程为：y=k（x﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2）；整理得：（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，丨AB丨=?=?=，由丨AB丨=，=，解得：k2=1，故k=±1，经检验，k=±1，符合题意，因此直线l的倾斜角为或．19．设数列{x n}的前n项和为S n，且4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*）；（1）求数列{x n}的通项公式；（2）若数列{y n}满足y n+1﹣y n=x n（n∈N*），且y1=2，求满足不等式的最小正整数n的值．【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）由4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*），可得n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1．n ≥2时，由S n=4x n﹣3，可得x n=S n﹣S n﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）y n+1﹣y n=x n=，且y1=2，利用y n=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（y n﹣y n﹣1）与等比数列的求和公式即可得出y n．代入不等式，化简即可得出．【解答】解：（1）∵4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*），∴n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1=1．n≥2时，由S n=4x n﹣3，∴x n=S n﹣S n﹣1=4x n﹣3﹣（4x n﹣1﹣3），∴x n=，∴数列{x n}，是等比数列，公比为．∴x n=．（2）y n+1﹣y n=x n=，且y1=2，∴y n=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（y n﹣y n﹣1）=2+1+++…+=2+=3×﹣1．当n=1时也满足．∴y n=3×﹣1．不等式，化为：=，∴n﹣1＞3，解得n＞4．∴满足不等式的最小正整数n的值为5．20．设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，解不等式；（2）若f（0）=1，且在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2n x）]＜lg2对任意n ∈N均成立，求实数x的取值集合．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据对数的运算解不等式即可．（2）根据f（0）=1，求f（x）的解析式，根据在闭区间[2，3]上有实数解，分离λ，可得λ=lg（x+10）﹣，令F（x）=lg（x+10）﹣，求在闭区间[2，3]上的值域即为λ的范围．（3）函数f（x）的图象过点（98，2），求f（x）的解析式，可得f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2n x）]＜lg2转化为lg（2+cos（2n x））＜lg2转化为，求解x，又∵2+x＞0，即x＞﹣2和n∈N．讨论k的范围可得答案．【解答】解：函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，f（x）=lg（x+2）那么：不等式；即lg（+2）＞lg10，可得：，且解得：．∴不等式的解集为{x|}（2）∵f（0）=1，可得m=10．∴f（x）=lg（x+10），即lg（x+10）=在闭区间[2，3]上有实数解，可得λ=lg（x+10）﹣令F（x）=lg（x+10）﹣，求在闭区间[2，3]上的值域．根据指数和对数的性质可知：F（x）是增函数，∴F（x）在闭区间[2，3]上的值域为[lg12﹣，lg13﹣]故得实数λ的范围是[lg12﹣，lg13﹣]．（3）∵函数f（x）的图象过点（98，2），则有：2=lg（98+m）∴m=2．故f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2n x）]＜lg2转化为lg（2+cos（2n x））＜lg2即，∴，n∈N．解得：＜x＜，n∈N．又∵2+x＞0，即x＞﹣2，∴≥﹣2，n∈N．解得：k，∵k∈Z，∴k≥0．故得任意n∈N均成立，实数x的取值集合为（，），k∈N，n ∈N．21．设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}；（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*，且n≥2时，曲线的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B=，设A+B中的所有元素之和为S n，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n﹣λＳk＞0恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合A1?A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“Ｎ*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）根据新定义A+B={a+b|a∈A，b∈B}，结合已知中的集合A，B，可得答案；（2）曲线表示双曲线，进而可得a n=，S n=n2，则S m+S n﹣λＳk ＞0恒成立，?＞λ恒成立，结合m+n=3k，且m≠n，及基本不等式，可得＞，进而得到答案；（3）存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集，结合已知中“自生集”和“Ｎ*的基底集”的定义，可证得结论；【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线，即，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=，∴a1+a2+a3+…+a n=，∵B=，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（）=3?﹣m=n2，∴S m+S n﹣λＳk＞0恒成立，?＞λ恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴，即实数λ的最大值为；（3）存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集，理由如下：设整数集合A={x|x=（﹣1）n?F n，n∈N*，n≥2}，其中{F n}为斐波那契数列，即F1=F2=1，F n+2=F n+F n+1，n∈N*，下证：整数集合A既是自生集又是N*的基底集，①由F n=F n+2﹣F n+1得：（﹣1）n?F n=（﹣1）n+2?F n+2+（﹣1）n+1?F n+1，故A是自生集；②对于任意n≥2，对于任一正整数t∈[1，F2n+1﹣1]，存在集合Ar一个有限子集{a1，a2，…，a m}，使得t=a1+a2+…+a m，（|a i＜F2n+1，i=1，2，…，m），当n=2时，由1=1，2=3+1﹣2，3=3，4=3+1，知结论成立；假设结论对n=k时成立，则n=k+1时，只须对任何整数m∈[F2k+1，F2k+3]讨论，若m＜F2k+2，则m=F2k+2+，∈（﹣F2k+1，0），故=﹣F2k+1+m′，m′∈[1，F2k+1），由归纳假设，m′可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k+1的元素的和．因为m=F2k+2﹣F2k+1+m′＝（﹣1）2k+2?F2k+2+（﹣1）2k+1?F2k+1+m′，所以m可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k+3的元素的和．若m=F2k+2，则结论显然成立．若F2k+2＜m＜F2k+3，则m=F2k+2+m′，m′∈[1，F2k+1），由归纳假设知，m可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k+3的元素的和．所以，当n=k+1时结论也成立；由于斐波那契数列是无界的，所以，任一个正整数都可以表示成集合A的一个有限子集中所有元素的和．因此集合A又是N*的基底集．。

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（11套）2018年上海市含所有区高考数学一模试卷汇总2018年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．（4分）不等式＜0的解是．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且S n=a，则a=．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=3．【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}，A∪B={1，2，3，5}，∴a=3．故答案为：3．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式＜0的解是（﹣1，0）．【解答】解：不等式＜0，即x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1﹣i．【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案为：1﹣i．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是21．（用数字作答）【解答】解：（x﹣）7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2，∴一次项的系数是．故答案为：21．6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．【解答】解：若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则：（，）满足f（x）=xα，所以：，解得：，故答案为：．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为18πcm2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为V=πa2•a=27π，解得a=3cm；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．故答案为：18π．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=﹣．【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，∴x＞0时，﹣f（x）=2﹣x﹣a（﹣x），∴f（x）=﹣2﹣x﹣ax，∵f（2）=2，∴f（2）=﹣2﹣2﹣2a=2，解得a=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且S n=a，则a=2．【解答】解：无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且S n=a，可得=a，即有=a，即为2a2﹣5a+2=0，解得a=2或，由题意可得0＜|q|＜1，即有0＜|a﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立．故答案为：2．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有780种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论：①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C53C31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C52C32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C51C33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法，则一共有360+360+60=780；故答案为：780．12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=4．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，设B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC=α，由||=2，知A（﹣a+2cosα，2sinα），∴=（a﹣2cosα，b﹣2sinα），=（2a，0），∴•=2a（a﹣2cosα）+0=2a2﹣4acosα=6，∴a2﹣2acosα=3；又=（2a﹣2cosα，﹣2sinα），∴=（2a﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2=4a2﹣8acosα+4=4（a2﹣2acosα）+4=4×3+4=16，∴||=4，即AC=4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b【解答】解：由a＞b，利用指数函数的单调性可得：2a＞2b．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A，B，C不正确．故选：D．15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线为：y=±x．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A（2，1），B（2，﹣1）．=a+b=（2a+2b，a﹣b）．代入双曲线方程可得：﹣（a﹣b）2=1，化为ab=．∴=ab，化为：|a+b|≥1．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，=AB×BC=2×2=4，∵S正方形ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：V===．（2）∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A1D=A1B==2，∴cos∠A1BD===．∴∠A1BD=arccos．∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．【解答】解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；（2）由f（）=，即2sin（A+）=可得sin（A+）=∵0＜A＜π∴＜A＜∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1时，=1，解得a=，当0＜a＜1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），∵k OA•k OB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==，=|AB|d==•==1∴S△OAB21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．【解答】解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市虹口区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，则=．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=．5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是．7．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC 的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF2的内切圆的面积为π，则=．11．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n+1=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．2018年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为（﹣∞，2）．【解答】解：要使函数有意义，可得2﹣x＞0，即x＜2．函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为：（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=0．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），f（0）=0，即f（﹣1）+f（0）+f（1）=0，故答案为：0．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，则= 1．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}的首项和公比均为，则其前n项和S n==1﹣（）n，则=1；故答案为：1．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=﹣．【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC===﹣．故答案为：﹣5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是[，] ．【解答】解：∵z=a+bi（a，b∈R），且|z|=1，∴，即a2+b2=1，令a=cosθ，b=sinθ，则ab=cosθ•sinθ=，∴ab∈[，]．故答案为：．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是18．【解答】解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，分2种情况讨论：①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，有C31C32=9种选法，②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有C31C32=9种选法，则一共有9+9=18种选法；故答案为：187．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC 的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．【解答】解：如图，设三棱锥P﹣ABC的底面积为S，高为h，∵M是AB的中点，∴，∵N是PC的中点，∴三棱锥N﹣MBC的高为，则，，∴=．故答案为：．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x 的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．【解答】解：根据题意，抛物线y2=12x的焦点为（3，0），若双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的顶点坐标为（±3，0），则有a2=9，则双曲线的方程为：﹣y2=1，双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为故答案为：9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC是等腰三角形，∵底边长为一个周期T=2π，高为，∴△ABC的面积=2=，故答案为：．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF2的内切圆的面积为π，则=4．【解答】解：∵椭圆+的左右焦点分别为F1，F2，a=2，过焦点F1的直线交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，△MNF2的内切圆的面积为π，∴△MNF2内切圆半径r=1．∴△MNF2面积S=×1×（MN+MF2+MF2）=2a=4，故答案为：411．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：如图所示，∵D是BC的中点，∴=+=+，又=+，，∴+=+a n（+），化为：=（1﹣a n﹣a n+1）+，∵点列P n（n∈N*）在线段AC上，∴1﹣a n﹣a n+1+=1，化为：a n=﹣，又a1=1，+1则数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为﹣．∴a n=．故答案为：．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为（0，0）或（1，0）．【解答】解：根据题意，函数y=f（x）的零点为方程x2+2a•x+b•2x=0的根，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，则有f（x）=x，即x2+2a•x+b•2x=x，方程x2+2a•x+b•2x=x的根就是函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点，则有，解可得x=0，即x2+2a•x+b•2x=0的1个根为x=0，分析可得b=0，则f（x）=x2+2a•x，解可得x1=0或x2=﹣2a，f（f（x））=（x2+2a•x）2+2a（x2+2a•x），若函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，分析可得a=0或a=1，则（a，b）为（0，0）或（1，0）；故答案为（0，0）或（1，0）．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]【解答】解：∵异面直线a和b所成的角为θ，∴θ的范围是（0，]．故选：C．14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1【解答】解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”；即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．故选：C．15．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．【解答】解：∵函数，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=1009×f（﹣1）+1008×f（0）=1009×2﹣1+1008×20=．故选：D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．【解答】解：以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），∵||=2，∴M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．∵，∴N是MC的中点．设M（2cosα，2sinα），则N（cosα，sinα+3），∴=（cosα﹣4，sinα+3），∴||2=（cosα﹣4）2+（sinα+3）2=6sinα﹣8cosα+26=10sin（α﹣φ）+26，∴当sin（α﹣φ）=﹣1时，||取得最小值=4，当sin（α﹣φ）=1时，||取得最大值=6．故选B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．【解答】证明：（1）在三棱锥P﹣ABC中，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．∴PM⊥AC，AB⊥平面PAC，∴PM⊥AB，∵AB∩AC=A，∴PM⊥平面ABC．解：（2）连结BM，∵PM⊥平面ABC，∴∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点，∴PM==，BM===，∴tan∠PBM===，∴．∴直线PB和平面ABC所成的角为arctan．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．【解答】解：函数=sinωx+cosωx=2sin （ωx），（1）∵函数的最小正周期等于π．即∴ω=2．可得f（x）=2sin（2x），由2x，k∈Z得：≤x≤故得函数的单调递增区间为[，]，k∈Z（2）∵f（x）=2sin（2x），当，（2x）∈[]∴当2x=时，函数f（x）取得最大值为2．当2x=时，函数f（x）取得最小值为﹣1．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．【解答】解：（1）设AQ=x，则由得：即AP=故S==（x＞1）；（2）由（1）得：S′=（x＞1）；当x∈（1，2）时，S′＜0，当x∈（2，+∞）时，S′＞0，故x=2时，S min=4．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．【解答】解：（1）如图，以FK的中点为坐标原点O，FK所在的直线为x轴，过O的垂线为y轴建立直角坐标系，即有F（，0），直线l：x=﹣，动圆M过点F且与直线l相切，可得|AE|=|AF|，由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线l为准线的抛物线，可得方程为y2=2px；（2）点A到直线l的距离为d，可得|AE|=|AF|=d，且，设A（x0，y0），可得y02=2px0，即有d=x0+，则x0=d﹣，即有|EF|2=p2+y02=p2+2p（d﹣）=2pd，在△EAF中，cos∠EAF==1﹣，可得﹣≤cos∠EAF≤，可得arccos≤π﹣arccos，则∠EAF的取值范围是[arccos]；（3）∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．设A（x0，y0），可得y02=2px0，当A与O重合时，显然一个交点；当A不与O重合，由∠EAF的平分线交x轴于M，连接EM，可得∠AMF=∠MAF，即有|MF|=|AF|=d，四边形AEMF为菱形，EF垂直平分AM，可得∠AMF+∠EFM=90°，tan∠AMF=cot∠EFM==，可设y0＞0，则直线AM的方程为y﹣y0=（x﹣x0），则y0y﹣y02=px﹣px0，化为y0y=px+px0，代入抛物线的方程y2=2px，消去x可得，y2﹣2y0y+2px0=0，即为（y﹣y0）2=0，可得y=y0，x=x0，即∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n+1=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．【解答】解：（1）∵无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．a2=2，且对于一切正整数n，均有，∴==1，=，由此猜想=23﹣n．再利用数学归纳法证明：①当n=1时，=4，成立．②假设n=k时，成立，即，====2（6﹣2k）﹣（4﹣k）=22﹣k=23﹣（k+1）．则a k+1由①②得，∴{a n}是首项为4，公比为的等比数列，∴S n==8（1﹣）．（2）∵对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，∴S n=a n a n+1，S n﹣1=a n﹣1a n，∴a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∴a n+1﹣a n﹣1=1．a1=4，由a n•a n+1=S n，得a2=1，a3=5，a4=3，…∴当n为偶数时，+===．当n为奇数时，S n=++==．证明：（3）∵对于一切正整数n，均有a n+a n+1=3S n，∴a n+a n+1=3S n，a n﹣1+a n=3S n﹣1，﹣a n﹣1=3a n，∴a n+1a1+a2=3a1，a2=2a1=8，能被8整除，a3﹣a1=3a2，a3=28，假设a3k﹣1=8m，m∈N*．=3a2k+1+a3k=3（3a3k+a3k﹣1）+a3k则a3k+2=10a3k+a3k﹣1=40p+24q，p，q∈N*能被8整除，综上，a3n能被8整除．﹣12018年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A=．2．（3分）函数的定义域是．3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为．8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=．9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是（用符号“＜“连接起来）．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是．12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A．B．C．D．15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．4 B．5 C．6 D．716．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{a n}满足，则称数列{a n}为“算术平方根递推数列”．已知数列{x n}满足，且，点（x n+1，x n）在二次函数f（x）=2x2+2x 的图象上．（1）试判断数列{2x n+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记y n=lg（2x n+1）（n∈N*），求证：数列{y n}是等比数列，并求出通项公式y n；（3）从数列{y n}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列{z n}：．若数列{z n}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{z n}各项的和为，求正整数k、m的值．21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A= {x|﹣1＜x≤} ．【解答】解：A={x|﹣1＜x＜1}，∁U B={x|x≤}，则（∁U B）∩A={x|﹣1＜x≤}，故答案为：{x|﹣1＜x≤}，2．（3分）函数的定义域是（1，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，需满足解得x＞1故答案为：（1，+∞）3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=1+2i．【解答】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=1．【解答】解：作函数y=sinx在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a﹣1=0，故a=1；故答案为：1．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为﹣1．【解答】解：设O（0，0），P（1，2），∴|﹣|=≥||﹣1=﹣1=﹣1，∴|﹣|的最小值为﹣18．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=﹣7．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（﹣3）=﹣g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log2（x+1）=3，解得：x=7，即g（3）=7，故得g（﹣3）=﹣7．故答案为：﹣7．9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是α＜m＜n ＜β（用符号“＜“连接起来）．【解答】解：∵α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，∴α、β是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与函数y=7的交点的横坐标，且m、n是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标，故由二次函数的图象可知，α＜m＜n＜β；故答案为：α＜m＜n＜β．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．【解答】解：如图，A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），∴，，由，得，即b=c，∴a2=b2+c2=2b2，．则．故答案为：．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是（1，] ．【解答】解：当A（x）=1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）=2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）=2，当A（x）=3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）=2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．【解答】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），∵=2，可得：2（x2﹣1，y2）=（1﹣x1，﹣y1），可得y2=﹣，x2=，，解得x1=2，y1=±2．||=||，。

2018届高三一模难题【学生版】

2018年上海市高三一模数学考试客观题难题解析2017.12一. 宝山区11. 给出函数2()g x x bx =-+，2()4h x mx x =-+-，这里,,b m x R ∈，若不等式()10g x b ++≤（x R ∈）恒成立，()4h x +为奇函数，且函数()()()()()g x x t f x h x x t ≤⎧=⎨>⎩恰有两个零点，则实数t 的取值范围为 .12. 若n （3n ≥，*n N ∈）个不同的点111(,)Q a b 、222(,)Q a b 、⋅⋅⋅、(,)n n n Q a b 满足：12n a a a <<⋅⋅⋅<，则称点1Q 、2Q 、⋅⋅⋅、n Q 按横序排列，设四个实数k 、1x 、2x 、3x 使得312()k x x -，23x ，222x 成等差数列，且两函数2y x =、13y x=+图像的所有交点111(,)P x y 、222(,)P x y 、333(,)P x y 按横序排列，则实数k 的值为 .16. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积，设：数列甲：1x 、2x 、3x 、4x 、5x 为递增数列，且i x ∈*N （1,2,,5i =⋅⋅⋅⋅）；数列乙：1y 、2y 、3y 、4y 、5y 满足{1,1}i y ∈-（1,2,,5i =⋅⋅⋅⋅）则在甲、乙的所有内积中（）A. 当且仅当11x =，23x =，35x =，47x =，59x =时，存在16个不同的整数，它们同为奇数B. 当且仅当12x =，24x =，36x =，48x =，510x =时，存在16个不同的整数，它们同为偶数C. 不存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数D. 存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数二. 徐汇区11. 若不等式1(1)(1)31n na n +--⋅<++对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .12. 已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于y 轴对称，当函数()y f x =与()y g x =在区间[,]a b 上同时递增或同时递减时，把区间[,]a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[1,2]为函数|2|x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是 .16. 如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E 为1CC 的中点，点P 、Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C上动点，求PEQ ∆周长的最小值（）A.B.C.D.所以选B.三. 普陀区11. 已知正三角形ABCM 是ABC ∆所在平面内的任一动点，若||1MA =，则||MA MB MC ++的取值范围为 .12. 双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图像，关于此函数()f x 有如下四个命题：① ()f x 是奇函数； ② ()f x的图像过点3)22或3)22-；③ ()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞； ④ 函数()y f x x =-有两个零点；则其中所有真命题的序号为 .16. 定义在R 上的函数()f x 满足2201()4210x xx f x x -⎧+≤<=⎨--≤<⎩，且(1)(1)f x f x -=+，则函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为（） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8四. 长宁区/嘉定区11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n n S a a +=（*n N ∈），若121(1)nn n n n b a a ++=-，则数列{}n b 的前n 项和n T = .12. 若不等式222()x y cx y x -≤-对满足0x y >>的任意实数x 、y 恒成立，则实数c 的最大值为 .15. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义||cos ||ααβθβ⊗=，其中θ为α和β的夹角，若两个非零的平面向量a 和b 满足：① ||||a b ≥；② a 和b 的夹角(0,)4πθ∈；③ a b ⊗和b a ⊗的值都在集合{|,}2nx x n N =∈中，则a b ⊗的值为（）A. 52B. 32C. 1D. 1216. 已知函数1202()12212x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，且1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，1,2,3,n =⋅⋅⋅，则满足方程()n f x x =的根的个数为（）A. 2n 个B. 22n 个C. 2n 个D. 2(21)n -个五. 金山区10. 向量i 、j 是平面直角坐标系x 轴、y 轴的基本单位向量，且|||2|5a i a j -+-=，则|2|a i +的取值范围为 .11. 某地区原有森林木材存有量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木材量为110a ，设n a 为第n 年末后该地区森林木材存量，则n a = .12. 关于函数||()|||1|x f x x =-，给出以下四个命题：① 当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值；② 方程()f x kx b =+（0k ≠）一定有实数解；③ 如果方程()f x m =（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；④ ()y f x =是偶函数且有最小值；其中假命题的序号是 .16. 给出下列四个命题：（1）函数arccos y x =（11x -≤≤）的反函数为cos y x =（x ∈R ）；（2）函数21m m y x +-=（m ∈N ）为奇函数；（3）参数方程2221121t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t R ∈）所表示的曲线是圆；（4）函数221()sin ()32x f x x =-+，当2017x >时，1()2f x >恒成立；其中真命题的个数为（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个六. 青浦区10. 已知函数22log ()0()30x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .11. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，121a a ==，平面内三个不共线的向量OA 、OB 、OC 满足11()(1)n n n OC a a OA a OB -+=++-，2n ≥，*n N ∈，若A 、B 、C 在同一直线上，则2018S = .12. 已知函数()()(2)f x m x m x m =-++和()33x g x =-同时满足以下两个条件： ① 对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <； ② 总存在0(,2)x ∈-∞-，使00()()0f x g x <成立；则m 的取值范围是 .16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=，又点A 坐标为(3,1)-，M 、N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（）A. 0个B. 2个C. 4个D. 无数个七. 虹口区10. 设椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两点，若△2MNF 的内切圆的面积为π，则2MNF S ∆= .11. 在ABC ∆中，D 是BC 的中点，点列n P （*n N ∈）在直线AC 上，且满足1n n n n n P A a P B a P D +=⋅+，若11a =，则数列{}n a 的通项公式n a = .12. 设2()22x f x x a x b =+⋅+⋅，其中,a b N ∈，x R ∈，如果函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点且它们的零点完全相同，则(,)a b 为 .16. 已知Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，4AB =，6AC =，在三角形所在的平面内有两个动点M 和N ，满足||2AM =，MN NC =，则||BN 的取值范围是（）A. B. [4,6]C. D. 八. 杨浦区11. 已知函数()cos (sin )f x x x x =+x R ∈，设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，则α的值为 .12. 已知点C 、D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD MC λ=，则实数λ的取值范围为 .16. 设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积，则123S S S ++的最大值是（） A.12B. 2C. 4D. 8九. 松江区10. 已知函数()|2|1f x x x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围为 .11. 定义(,)a a bF a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，已知函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为真命题的是（写出所有真命题的序号）① 若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数((),())F f x g x 为奇函数； ② 若()f x 、()g x 都是偶函数，则函数((),())F f x g x 为偶函数； ③ 若()f x 、()g x 都是增函数，则函数((),())F f x g x 为增函数； ④ 若()f x 、()g x 都是减函数，则函数((),())F f x g x 为减函数.12. 已知数列{}n a 的通项公式为2nn a q q =+（0q <，*n N ∈），若对任意*,m n N ∈都有1(,6)6m n a a ∈，则实数q 的取值范围为 .16. 已知曲线1:||2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A. (,1][0,1)-∞-B. (1,1]-C. [1,1)-D. [1,0](1,)-+∞。

2018年上海市15区高考高三一模数学试卷合集带答案

8
第 2 卷 2018 年崇明区一模
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）
1、已知集合 A {1, 2, 5}, B {2, a} ，若 A B {1, 2, 3, 5} ，则 a
；
2、抛物线 y2 4x 的焦点坐标是
Sn ，首项 a1
1，公比为
a
3 2
，且
lim
n
S
n
a
，则
a ________.
11.从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服
务，要求服务队中至少有 1 名女生，共有
种不同的选法.（用数字作答）
12.在 ABC 中， BC 边上的中垂线分别交 BC, AC 于点 D, E .若 AE BC 6 ， AB 2 ，
f (C) 1 ，求 ABC 面积的最大值，并指出此时 ABC 为何种类型的三角形. 2
19. 设数列{an} ，{bn} 及函数 f (x) （ x R ）， bn f (an ) （ n N * ）. （1）若等比数列{an} 满足 a1 1， a2 3 ， f (x) 2x ，求数列{bnbn1} 的前 n （ n N * ）项和；（2）已知等差数列{an} 满足 a1 2 ， a2 4 ， f (x) (q x 1) （、 q 均为常数， q 0 且 q 1）， cn 3 n (b1 b2 bn ) （ n N * ），试求实数对 (, q) ，使得{cn} 成等比数列.
x 1 5. 若 z 2 3i （其中 i 为虚数单位），则 Im z
i 6. 若从五个数 1 ，0，1，2，3 中任选一个数 m ，则使得函数 f (x) (m2 1)x 1 在 R 上

上海市各区2017届高三一模数学试卷

3．已知 M x
1 x P x ≥ 0, x R ， x 1 ≤ 2, x R ，则 M ∩P 等于 x 2
．
．
4．抛物线 y x 2 上一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标为 5．已知无穷数列 {an } 满足 an 1
18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 8 分. 在一个特定时段内，以点 D 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域．点 D 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B 处，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 （其
你认为正确论断的序号都填上）
（注：把
12．已知 AB 为单位圆 O 的一条弦，P 为单位圆 O 上的点．若 f ( ) AP AB ( R) 的
最小值为 m ，当点 P 在单位圆上运动时， m 的最大值为为．
4 ，则线段 AB 的长度 3
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）
x 1 0 的解集为 x2 x 5cos 4. 椭圆（为参数）的焦距为 y 4sin
3. 不等式 5. 设复数 z 满足 z 2 z 3 i （ i 为虚数单位），则 z 6. 若函数 y
cos x sin x
sin x cos x
n
求实数 x 的取值集合；
21. 设集合 A 、 B 均为实数集 R 的子集，记： A B {a b | a A, b B} ；（1）已知 A {0,1, 2} ， B {1,3} ，试用列举法表示 A B ；

高考上海各区数学一模

高考上海各区数学一模上海市宝山区2017 届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题5 分，共54 分）1. lim 2n 3n n 12. 设全集U R ，集合A { 1,0,1,2,3} ，B { x | x 2} ，则 A C U Bx 3. 不等式xx 4. 椭圆y10 的解集为25cos（为参数）的焦距为4sin5. 设复数z 满足z 2z 3 i （i 为虚数单位），则z6. 若函数y cosxsin xsin xcos x的最小正周期为 a ，则实数a 的值为7. 若点(8,4) 在函数 f (x) 1 log a x 图像上，则 f ( x) 的反函数为8. 已知向量 a (1,2) ，b (0,3) ，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为 6 的正三角形，则该圆锥的侧面积为10. 某班级要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人参加公益活动，则在选出的 3 人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）11. 设常数a0 ，若( x a)9 的二项展开式中xx5 的系数为144，则a12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于 2 ），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6 为20 型标准数列，则2668 型标准数列的个数为二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共20 分）13. 设a R ，则“a 1 ”是“复数(a1)(a 2) (a 3) i为纯虚数”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350 人，其中高一500 人，高三比高二少50 人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（）A. 80B. 96C. 108D. 11015. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且P(M ) 1，P(N )51，则P( M N )9；4 206666k l ）之f (x) 为二次状区域” ，如）| 6 ，（2）若P( M ) 1，P( N )1，P(MN )1，则M 、N 为相互独立事件；2 3（3）若P( M ) 1，P( N )1，P(MN )1，则M 、N 为相互独立事件；2 3（4）若P( M ) 1，P( N )1，P(MN )1，则M 、N 为相互独立事件；2 3（5）若P( M ) 1，P( N )1，P(MN )5，则M 、N 为相互独立事件；2 3其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 416.在平面直角坐标系中，把位于直线y k 与直线y l （k 、l 均为常数，且间的点所组成区域（含直线y k ，直线y l ）称为“k l 型带状区域”，设函数，三点( 2, f ( 2) 2) 、(0, f (0) 2) 、(2, f (2) 2) 均位于“0 4型带果点(t ,t 1) 位于“1 3 型带状区域”，那么，函数y | f (t ) | 的最大值为（7 5A. B. 3 C. D. 22 2三. 解答题（本大题共 5 题，共14+14+14+16+18=76 分）9 317.如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面积为，侧面积为36；4（1）求正三棱柱ABC A1B1C1的体积；（2）求异面直线A1C 与AB所成的角的大小；18. 已知椭圆 C 的长轴长为 2 （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线试求直线l 的倾斜角；6 ，左焦点的坐标为( 2,0)l 过C 的右焦点，并与 C 交于；A 、B 两点，且| AB19. 设数列 { x } 的前 n 项和为 S ，且 4 xS3 0 （ n N *）；n（ 1）求数列 { x n } nnn的通项公式；（ 2）若数列 { y } 满足yyx （ n N ），且 y2 ，求满足不等式 y 55 的最小 n正整数 n 的值；n 1nn1n920. 设函数 f ( x)lg( x m) （ m R ）；（ 1）当 m2 时，解不等式1；f ( ) 1 x （ 2）若 f (0) 1 ，且 f ( x) ( 1 )x2在闭区间 [2,3] 上有实数解，求实数的范围；（ 3）如果函数 f (x) 的图像过点 (98,2) ，且不等式 f [cos(2nx )] lg 2 对任意 n N 均成立，求实数 x 的取值集合；21. 设集合 A 、 B 均为实数集R 的子集，记： A B { a b | a A, b B} ；（ 1）已知 A{0,1,2} ， B { 1,3} ，试用列举法表示 A B ；（ 2）设 a2 ，当 n N * ，且 n 2时，曲线 xy 2 1的焦距为 a ，如果131 2 2n 2n n1 1 n 9A { a 1, a 2 , , a n } ，B {, , } 9 9 3，设 A B 中的所有元素之和为 S n ，对于满足 m n 3k ，且 m n 的任意正整数 m 、 n 、 k ，不等式 S m S n S k 0 恒成立，求实数的最大值；（ 3）若整数集合 A 1A 1 A 1，则称A 1为“自生集” ，若任意一个正整数均为整数集合A 2 的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A 2 为“ N * 的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N * 的基底集？请说明理由；*2。

2017年上海高三数学各区一模试题-数列专题

2017年上海高三数学各区一模试题-数列专题1.（2017宝山区一模）如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为 32.（2017宝山区一模）设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）；（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小正整数n 的值；3.（2017崇明县一模）实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+构成的数列（ D ）A. 可能是等差数列，也可能是等比数列B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列4.（2017崇明县一模）已知数列{}n a 、{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和；（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出{}n a 通项公式；（3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积；解：（1）12n b =；（2）1n a n =+；（3）略； 5.（2017金山区一模）若n a 是(2)nx +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 2 6.（2017金山区一模）数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有(1)2n n n S +=；（1）试证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a与1i a +之间插入i 个(1)ii b -*()i N ∈后，得到一个新数列{}n c ，求数列{}n c 中所有项的和；（3）如果存在*n N ∈，使不等式11820(1)()(1)n n n n n b n b b b λ++++≤+≤+成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由；解：（1）n b n =；（2）201822033134+；（3）不存在；7.（2017虹口区一模）若正项等比数列{}n a 满足：354a a +=，则4a 的最大值为 2 8.（2017虹口区一模）已知函数()2|2||1|f x x x =+-+，无穷数列{}n a 的首项1a a =；（1）若()n a f n =（*n N ∈），写出数列{}n a 的通项公式；（2）若1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），要使数列{}n a 是等差数列，求首项a 取值范围；（3）如果1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），求出数列{}n a 的前n 项和n S ；解：（1）3n a n =+；（2）{3}[1,)a ∈--+∞；（3）当2a ≤-，3(1)(2)(1)(3)2n n n S a n a --=+---+；当21a -<≤-，3(1)(2)(1)(35)2n n n S a n a --=+-++；当1a >-，3(1)2n n n S na -=+；9.（2017闵行区一模）已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}nnb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的1b 的值为 210.（2017松江区一模）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2nn n a a +-=*()n N ∈，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，则212limn n na a -→∞= 12-11.（2017松江区一模）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H型数列”；（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，其前n 项和n S 满足2n S n n <+*()n N ∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”；若23n n b a =，n c =5(1)2n n a n -+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时，试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由；解：（1）1(,0)(,)2-∞+∞；（2）不存在；（3）132n n a -=⋅时，{}n c 不是“H 型数列”；14n n a -=时，{}n c 是“H 型数列”；12.（2017浦东新区一模）设数列{}n a 满足21241n n a a n n +=+-+，22n n b a n n =+-；（1）若12a =，求证：数列{}n b 为等比数列；（2）在（1）的条件下，对于正整数2、q 、r (2)q r <<，若25b 、q b 、r b 这三项经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(,)q r ；（3）若11a =，n n c bn =+，n d =n M 是n d 的前n 项和，求不超过2016M 的最大整数；解：（1）12n n b -=；（2）(3,5)；（3）2016；13.（2017青浦区一模）已知数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈均有133n n a ka k +=+-，其中k 为不等于0与1的常数，若{678,78,3,22,222,2222}i a ∈---，2,3,4,5i =，则满足条件的1a 所有可能值的和为 22010314.（2017青浦区一模）如图，已知曲线12:1x C y x =+（0x >）及曲线21:3C y x=（0x >），1C 上的点1P 的横坐标为1a （1102a <<），从1C 上的点n P （*n N ∈）作直线平行于x 轴，交曲线2C 于n Q点，再从2C 上的点n Q （*n N ∈）作直线平行于y 轴，交曲线1C 于1n P +点，点n P （1,2,3,n =⋅⋅⋅）的横坐标构成数列{}n a ；（1）求曲线1C 和曲线2C 的交点坐标；（2）试求1n a +与n a 之间的关系；（3）证明：21212n n a a -<；解：（1）12(,)23；（2）116n n na a a ++=；（3）略；15.（2017奉贤区一模）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 516.（2017奉贤区一模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122n na a +≤≤ *()n N ∈，则称{}n a 是“紧密数列”；（1）若11a =，232a =，3a x =，44a =，求x 的取值范围；（2）若{}n a 为等差数列，首项1a ，公差d ，且10d a <≤，判断{}n a 是否为“紧密数列”；（3）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围；解：（1）[2,3]；（2）是；（3）1[,1]2；17.（2017嘉定区一模）若数列{}n a23n n=+（*n N ∈），则1221lim()231n n a a a n n →∞++⋅⋅⋅+=+ 218.（2017嘉定区一模）已知无穷数列{}n a 的各项都是正数，其前n 项和为n S ，且满足：1a a =， 11n n n rS a a +=-，其中1a ≠，常数r N ∈；（1）求证：2n n a a +-是一个定值；（2）若数列{}n a 是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意*n N ∈，都有n T n a a +=成立，则称{}n a 为周期数列，T 为它的一个周期），求该数列的最小周期；（3）若数列{}n a 是各项均为有理数的等差数列，123n n c -=⋅（*n N ∈），问：数列{}n c 中的所有项是否都是数列{}n a 中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例；解：（1）2n n a a r +-=；（2）2T =；（3）不是；19.（2017普陀区一模）已知数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，对任意的*n N ∈，均有2114(1)n n n a a a +-=⋅+，22log (1)1n n b a =+-；（1）求证：{1}n a +是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉{}n a 的项后，余下的项组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+；（3）设11n n n d b b +=⋅，数列{}n d 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m （1m n <<），使得1T 、m T 、n T 成等比数列，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由；解：（1）21nn a =-；（2）11202；（3）2m =，12n =；20.（2017徐家汇区一模）已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2n n nS b n =⋅*()n N ∈，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是 [0,1) 21.（2017徐家汇区一模）正数数列{}n a 、{}n b 满足：11a b ≥，且对一切2k ≥，k N *∈，ka 是1k a -与1kb -的等差中项，k b 是1k a -与1k b -的等比中项；（1）若22a =，21b =，求1a 、1b 的值；（2）求证：{}n a 是等差数列的充要条件是n a 为常数数列；（3）记||n n n c a b =-，当2n ≥，n N *∈，指出2n c c ++与1c 的大小关系并说明理由；解：（1）12a =12b =（2）略；（3）21n c c c ++<；。

2018届上海市高考模拟数学试卷及答案

上海市2018学年度高考数学模拟试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.函数)2(log 1)(2-=x x f 的定义域为2.复数z 满足iiz 1=i +1，则i z 31-+= 3.底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 m 2 4.某工厂生产10个产品，其中有2个次品，从中任取3个产5.若非零向量,a b 满足32a b a b ==+,则,a b 夹角的余弦值为_______6.已知圆O ：522=+y x ，直线l ：)20(1sin cos πθθθ<<=+y x ，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = 7.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为8.已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2n n S a =+*()n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为9.设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值范围为_____________10.已知F 是抛物线42y x =的焦点，B A ,是抛物线上两点，线段AB 的中点为)2,2(M ，则ABF ∆的面积为 11.如图,已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树米时，第11题图看A 、B 的视角最大12.将函数()2sin()3f x x πω=-（0ω>）的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为13.如图，矩形n n n n D C B A 的一边n n B A 在x 轴上，另外两个顶点n n D C 在函数)0(1)(>+=x xx x f 的图象上.若点n B 的坐标),2)(0,(+∈≥N n n n ，记矩形n n n n D C B A 的周长为n a ，数列{}n a 的前m ()+∈N m 项和为m S ，则2limnmn a S +∞→= 14.已知定义域为R 的偶函数)(x f ，对于任意R x ∈，满足)2()2(x f x f -=+。

(11套)2018年上海市含所有区高考数学一模试卷汇总(打包下载)

（11套）2018年上海市含所有区高考数学一模试卷汇总2018年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．（4分）不等式＜0的解是．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且=a，则a=．S11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=3．【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}，A∪B={1，2，3，5}，∴a=3．故答案为：3．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式＜0的解是（﹣1，0）．【解答】解：不等式＜0，即x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1﹣i．【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案为：1﹣i．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是21．（用数字作答）【解答】解：（x﹣）7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2，∴一次项的系数是．故答案为：21．6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．【解答】解：若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则：（，）满足f（x）=xα，所以：，解得：，故答案为：．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为18πcm2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为V=πa2•a=27π，解得a=3cm；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．故答案为：18π．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=﹣．【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，∴x＞0时，﹣f（x）=2﹣x﹣a（﹣x），∴f（x）=﹣2﹣x﹣ax，∵f（2）=2，∴f（2）=﹣2﹣2﹣2a=2，解得a=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且=a，则a=2．S【解答】解：无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，=a，且S可得=a，即有=a，即为2a2﹣5a+2=0，解得a=2或，由题意可得0＜|q|＜1，即有0＜|a﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立．故答案为：2．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有780种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论：①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C53C31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C52C32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C51C33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法，则一共有360+360+60=780；故答案为：780．12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=4．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，设B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC=α，由||=2，知A（﹣a+2cosα，2sinα），∴=（a﹣2cosα，b﹣2sinα），=（2a，0），∴•=2a（a﹣2cosα）+0=2a2﹣4acosα=6，∴a2﹣2acosα=3；又=（2a﹣2cosα，﹣2sinα），∴=（2a﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2=4a2﹣8acosα+4=4（a2﹣2acosα）+4=4×3+4=16，∴||=4，即AC=4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b【解答】解：由a＞b，利用指数函数的单调性可得：2a＞2b．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A，B，C不正确．故选：D．15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线为：y=±x．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A（2，1），B（2，﹣1）．=a+b=（2a+2b，a﹣b）．代入双曲线方程可得：﹣（a﹣b）2=1，化为ab=．∴=ab，化为：|a+b|≥1．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，=AB×BC=2×2=4，∵S正方形ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：V===．（2）∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A1D=A1B==2，∴cos∠A1BD===．∴∠A1BD=arccos．∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．【解答】解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；（2）由f（）=，即2sin（A+）=可得sin（A+）=∵0＜A＜π∴＜A＜∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1时，=1，解得a=，当0＜a＜1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），∵k OA•k OB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==，=|AB|d==•==1∴S△OAB21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．【解答】解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市虹口区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，则=．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=．5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是．7．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC 的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF 2的内切圆的面积为π，则=．11．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．+12018年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为（﹣∞，2）．【解答】解：要使函数有意义，可得2﹣x＞0，即x＜2．函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为：（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=0．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），f（0）=0，即f（﹣1）+f（0）+f（1）=0，故答案为：0．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，则= 1．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}的首项和公比均为，则其前n项和S n==1﹣（）n，则=1；故答案为：1．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=﹣．【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC===﹣．故答案为：﹣5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是[，] ．【解答】解：∵z=a+bi（a，b∈R），且|z|=1，∴，即a2+b2=1，令a=cosθ，b=sinθ，则ab=cosθ•sinθ=，∴ab∈[，]．故答案为：．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是18．【解答】解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，分2种情况讨论：①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，有C31C32=9种选法，②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有C31C32=9种选法，则一共有9+9=18种选法；故答案为：187．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．【解答】解：如图，设三棱锥P﹣ABC的底面积为S，高为h，∵M是AB的中点，∴，∵N是PC的中点，∴三棱锥N﹣MBC的高为，则，，∴=．故答案为：．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．【解答】解：根据题意，抛物线y2=12x的焦点为（3，0），若双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的顶点坐标为（±3，0），则有a2=9，则双曲线的方程为：﹣y2=1，双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为故答案为：9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC是等腰三角形，∵底边长为一个周期T=2π，高为，∴△ABC的面积=2=，故答案为：．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF 2的内切圆的面积为π，则=4．【解答】解：∵椭圆+的左右焦点分别为F1，F2，a=2，过焦点F1的直线交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，△MNF2的内切圆的面积为π，∴△MNF2内切圆半径r=1．∴△MNF2面积S=×1×（MN+MF2+MF2）=2a=4，故答案为：411．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：如图所示，∵D是BC的中点，∴=+=+，又=+，，∴+=+a n（+），）+，化为：=（1﹣a n﹣a n+1∵点列P n（n∈N*）在线段AC上，+=1，∴1﹣a n﹣a n+1化为：a n=﹣，又a1=1，+1则数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为﹣．∴a n=．故答案为：．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为（0，0）或（1，0）．【解答】解：根据题意，函数y=f（x）的零点为方程x2+2a•x+b•2x=0的根，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，则有f（x）=x，即x2+2a•x+b•2x=x，方程x2+2a•x+b•2x=x的根就是函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点，则有，解可得x=0，即x2+2a•x+b•2x=0的1个根为x=0，分析可得b=0，则f（x）=x2+2a•x，解可得x1=0或x2=﹣2a，f（f（x））=（x2+2a•x）2+2a（x2+2a•x），若函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，分析可得a=0或a=1，则（a，b）为（0，0）或（1，0）；故答案为（0，0）或（1，0）．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]【解答】解：∵异面直线a和b所成的角为θ，∴θ的范围是（0，]．故选：C．14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1【解答】解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”；即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．故选：C．15．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．【解答】解：∵函数，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=1009×f（﹣1）+1008×f（0）=1009×2﹣1+1008×20=．故选：D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．【解答】解：以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），∵||=2，∴M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．∵，∴N是MC的中点．设M（2cosα，2sinα），则N（cosα，sinα+3），∴=（cosα﹣4，sinα+3），∴||2=（cosα﹣4）2+（sinα+3）2=6sinα﹣8cosα+26=10sin（α﹣φ）+26，∴当sin（α﹣φ）=﹣1时，||取得最小值=4，当sin（α﹣φ）=1时，||取得最大值=6．故选B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．【解答】证明：（1）在三棱锥P﹣ABC中，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．∴PM⊥AC，AB⊥平面PAC，∴PM⊥AB，∵AB∩AC=A，∴PM⊥平面ABC．解：（2）连结BM，∵PM⊥平面ABC，∴∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点，∴PM==，BM===，∴tan∠PBM===，∴．∴直线PB和平面ABC所成的角为arctan．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．【解答】解：函数=sinωx+cosωx=2sin （ωx），（1）∵函数的最小正周期等于π．即∴ω=2．可得f（x）=2sin（2x），由2x，k∈Z得：≤x≤故得函数的单调递增区间为[，]，k∈Z（2）∵f（x）=2sin（2x），当，（2x）∈[]∴当2x=时，函数f（x）取得最大值为2．当2x=时，函数f（x）取得最小值为﹣1．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．【解答】解：（1）设AQ=x，则由得：即AP=故S==（x＞1）；（2）由（1）得：S′=（x＞1）；当x∈（1，2）时，S′＜0，当x∈（2，+∞）时，S′＞0，故x=2时，S min=4．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．【解答】解：（1）如图，以FK的中点为坐标原点O，FK所在的直线为x轴，过O的垂线为y轴建立直角坐标系，即有F（，0），直线l：x=﹣，动圆M过点F且与直线l相切，可得|AE|=|AF|，由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线l为准线的抛物线，可得方程为y2=2px；（2）点A到直线l的距离为d，可得|AE|=|AF|=d，且，设A（x0，y0），可得y02=2px0，即有d=x0+，则x0=d﹣，即有|EF|2=p2+y02=p2+2p（d﹣）=2pd，在△EAF中，cos∠EAF==1﹣，可得﹣≤cos∠EAF≤，可得arccos≤π﹣arccos，则∠EAF的取值范围是[arccos]；（3）∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．设A（x0，y0），可得y02=2px0，当A与O重合时，显然一个交点；当A不与O重合，由∠EAF的平分线交x轴于M，连接EM，可得∠AMF=∠MAF，即有|MF|=|AF|=d，四边形AEMF为菱形，EF垂直平分AM，可得∠AMF+∠EFM=90°，tan∠AMF=cot∠EFM==，可设y0＞0，则直线AM的方程为y﹣y0=（x﹣x0），则y0y﹣y02=px﹣px0，化为y0y=px+px0，代入抛物线的方程y2=2px，消去x可得，y2﹣2y0y+2px0=0，即为（y﹣y0）2=0，可得y=y0，x=x0，即∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．+1【解答】解：（1）∵无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．a2=2，且对于一切正整数n，均有，∴==1，=，由此猜想=23﹣n．再利用数学归纳法证明：①当n=1时，=4，成立．②假设n=k时，成立，即，则a k+1====2（6﹣2k）﹣（4﹣k）=22﹣k=23﹣（k+1）．由①②得，∴{a n}是首项为4，公比为的等比数列，∴S n==8（1﹣）．（2）∵对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，∴S n=a n a n+1，S n﹣1=a n﹣1a n，∴a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∴a n+1﹣a n﹣1=1．a1=4，由a n•a n+1=S n，得a2=1，a3=5，a4=3，…∴当n为偶数时，+===．当n为奇数时，S n=++==．证明：（3）∵对于一切正整数n，均有a n+a n+1=3S n，∴a n+a n+1=3S n，a n﹣1+a n=3S n﹣1，∴a n+1﹣a n﹣1=3a n，a1+a2=3a1，a2=2a1=8，能被8整除，a3﹣a1=3a2，a3=28，假设a3k﹣1=8m，m∈N*．=3a2k+1+a3k=3（3a3k+a3k﹣1）+a3k则a3k+2=10a3k+a3k﹣1=40p+24q，p，q∈N*能被8整除，综上，a3n能被8整除．﹣12018年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A=．2．（3分）函数的定义域是．3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为．8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=．9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是（用符号“＜“连接起来）．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是．12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A．B．C．D．15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．4 B．5 C．6 D．716．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{a n}满足，则称数列{a n}为“算术平方根递推数列”．，x n）在二次函数f（x）=2x2+2x 已知数列{x n}满足，且，点（x n+1的图象上．（1）试判断数列{2x n+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记y n=lg（2x n+1）（n∈N*），求证：数列{y n}是等比数列，并求出通项公式y n；}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，（3）从数列{y把这些项重新组成一个新数列{z n}：．若数列{z n}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{z n}各项的和为，求正整数k、m的值．21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A= {x|﹣1＜x≤} ．【解答】解：A={x|﹣1＜x＜1}，∁U B={x|x≤}，则（∁U B）∩A={x|﹣1＜x≤}，故答案为：{x|﹣1＜x≤}，2．（3分）函数的定义域是（1，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，需满足解得x＞1故答案为：（1，+∞）3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=1+2i．【解答】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=1．【解答】解：作函数y=sinx在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a﹣1=0，故a=1；故答案为：1．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为﹣1．【解答】解：设O（0，0），P（1，2），∴|﹣|=≥||﹣1=﹣1=﹣1，∴|﹣|的最小值为﹣18．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=﹣7．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（﹣3）=﹣g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log2（x+1）=3，解得：x=7，即g（3）=7，故得g（﹣3）=﹣7．故答案为：﹣7．9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是α＜m＜n ＜β（用符号“＜“连接起来）．【解答】解：∵α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，∴α、β是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与函数y=7的交点的横坐标，且m、n是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标，故由二次函数的图象可知，α＜m＜n＜β；故答案为：α＜m＜n＜β．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．【解答】解：如图，A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），∴，，由，得，即b=c，∴a2=b2+c2=2b2，．则．故答案为：．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是（1，] ．【解答】解：当A（x）=1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）=2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）=2，当A（x）=3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）=2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．【解答】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），∵=2，可得：2（x2﹣1，y2）=（1﹣x1，﹣y1），可得y2=﹣，x2=，，解得x1=2，y1=±2．||=||，。

2018年高三最新宝山区2018学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题上海[特约] 精品

宝山区2018学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题一、填空题(本大题共有12题，满分48分)1. 在复数集上，方程x 2+2x +2=0的根是__________。

2. 双曲线12622=-y x 的两条渐近线所夹的锐角等于__________。

3. 写出命题“若x ∈A ⋃B ，则x ∈A 或x ∈B ”的逆否命题____________________。

4. 在∆ABC 中，已知sin A :sin B :sin C =3:5:7，则∆ABC 最大角的值是__________。

5. 若π32arccos >x ，则x 的取值范围是__________。

6. 若P 是圆x 2+y 2-4x +2y +1=0上的动点，则P 到直线4x -3y +24=0的最小距离是__________。

7. 已知复数z 1=6+2i ，z 2=t +i ，且21z z ⋅是实数，则实数t =__________。

8. 已知⎩⎨⎧<-≥=)0(1)0(1)(x x x f ，则不等式x +(x -3)f (x +1)≤1的解集是__________。

9. 在三位数中，如果十位数字比个位和百位数字都小，则称这个三位数为凹数，如418，745等，那么各数位无重复数字的三位凹数共有__________个。

10. 若(1-2x )9展开式的第3项为288，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n x x x 111lim 2 的值是__________。

11. 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，f (x )=sin x ，则⎪⎭⎫⎝⎛35πf 的值为__________。

12. 与方程x 2+lg x -2018=0的实根最接近的自然数是__________。

二、选择题(本大题共4题，满分16分)13. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列四个命题正确的是( )(A) 若m ⊥α，n //α，则m ⊥n ； (B) 若m ⊂α，n ⊂α，m //β，n //β，则α //β； (C) 若m //α，n //α，则m //n ； (D) 若α⊥γ，β⊥γ，则α //β。

上海市宝山区2017届高三上学期期末教学质量同监测(一模)数学试卷(小题解析) 含答案

上海市宝山区2017届高三期末教学质量监测（一模）数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7—12每题5分,共54分） 1.23lim1n n n →∞+=+解析：23lim1n n n →∞+=+32lim 11x n n→∞++＝22. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥,则U A C B =解析:因为(,2)UCB =-∞,则U AC B ={－1，0，1｝3. 不等式102x x +<+的解集为解析：原不等式组等价于(x ＋1）（x ＋2）＜0，所以,－2＜x ＜－1,填：(－2,－1)4。

椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数）的焦距为解析：消去参数θ得:2212516x y +=,所以，c3，所以,焦距为2c ＝6。

5。

设复数z 满足23z z i +=-(i 为虚数单位），则z = 解析：设z x yi =+，则2()3x yi x yi i ++-=-，即33x yi i -=-,所以，x=1，y=1，因此，z=1+i 6。

若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为解析：y=22cossin cos 2x x x -=，T ＝a ππ=，所以，a ＝17。

若点(8,4)在函数()1log af x x =+图像上，则()f x 的反函数为解析：1＋log 8a ＝4，log 8a＝3，化为指数：3a ＝8，所以,a ＝221log y x =+，即:12y x -=,所以反函数为12x y -=8。

已知向量(1,2)a =,(0,3)b =,则b 在a 的方向上的投影为解析：||cos ||a b b a θ=＝66555= 9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为解析：由题意，得:底面直径和母线长均为6, S 侧＝12362π⨯⨯⨯＝18π10。

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上海市宝山区2018届高三一模数学试卷
2017.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合{2,3,4,12}A ，{0,1,2,3}B ，则A B
2. 57lim 57n n
n n
n 3. 函数22cos (3)1y x 的最小正周期为
4. 不等式
2
11x x 的解集为 5. 若23i
z i
（其中i 为虚数单位），则Im z
6. 若从五个数1 ，0，1，2，3中任选一个数m ，则使得函数2()(1)1f x m x 在R 上单调递增的概率为（结果用最简分数表示）
7. 在23
(
n x
的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则常数项的值等于
8. 半径为4的圆内接三角形ABC 的面积是116
，角A 、B 、C 所对应的边依次为a 、b 、c ，则abc 的值为
9. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点，双曲线22
125144
x y 的右焦点是C 的焦点F ，若斜率
为1 ，且过F 的直线与C 交于A 、B 两点，则||AB
10. 直角坐标系xOy 内有点(2,1)P 、(0,2)Q ，将POQ 绕x 轴旋转一周，则所得几何体的体积为
11. 给出函数2()g x x bx ，2()4h x mx x ，这里,,b m x R ，若不等式
()10g x b （x R ）恒成立，()4h x 为奇函数，且函数()()
()()()
g x x t f x h x x t 恰有
两个零点，则实数t 的取值范围为
12. 若n （3n ，*n N ）个不同的点111(,)Q a b 、222(,)Q a b 、、(,)n n n Q a b 满足：
12n a a a ，则称点1Q 、2Q 、、n Q 按横序排列，设四个实数k 、1x 、2x 、3x
使得312()k x x ，23x ，2
22x 成等差数列，且两函数2y x 、1
3y x
图像的所有交点 111(,)P x y 、222(,)P x y 、333(,)P x y 按横序排列，则实数k 的值为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 关于x 、y 的二元一次方程组341
310
x y x y
的增广矩阵为（）
A. 3411310
B.
34
11310
C. 3411310
D. 3411310
14. 设1P 、2P 、3P 、4P 为空间中的四个不同点，则“1P 、2P 、3P 、4P 中有三点在同一条直线上”是“1P 、2P 、3P 、4P 在同一个平面上”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
15. 若函数(2)y f x 的图像与函数3log 2y 的图像关于直线y x 对称，
则()f x （）
A. 223x
B. 213x
C. 23x
D. 213x 16. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积，设：数列甲：125,,,x x x 为递增数列，且*i x N （1,2,,5i ）；数列乙：12345,,,,y y y y y 满足{1,1}i y （1,2,,5i ）则在甲、乙的所有内积中（）
A. 当且仅当11x ，23x ，35x ，47x ，59x 时，存在16个不同的整数，它们同为奇数
B. 当且仅当12x ，24x ，36x ，48x ，510x 时，存在16个不同的整数，它们同为偶数
C. 不存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数
D. 存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，已知4AB BC ，18DD ，
M 为棱11C D 的中点.
（1）求四棱锥M ABCD 的体积；
（2）求直线BM 与平面11BCC B 所成角的正切值.
18. 已知函数2()12sin 2
x f x . （1）求()f x 在3[,
]22
上的单调递减区间；
（2）设ABC 的内角A 、B 、C 所对应的边依次为a 、b 、c ，若2
1141
1
1
c
a b 且1
()2
f C
，求ABC 面积的最大值，并指出此时ABC 为何种类型的三角形.
19. 设数列{}n a ，{}n b 及函数()f x （x R ），()n n b f a （*n N ）.
（1）若等比数列{}n a 满足11a ，23a ，()2f x x ，求数列1{}n n b b 的前n （*n N ）项和；
（2）已知等差数列{}n a 满足12a ，24a ，()(1)x f x q （、q 均为常数，0q 且1q ），123()n n c n b b b （*n N ），试求实数对(,)q ，使得{}n c 成等比数列.
20. 设椭圆22
22:1x y C a b
（0a b ）过点(2,0) ，且直线510x y 过C 的左焦点.
（1）求C 的方程；
（2）设()x 为C 上的任一点，记动点(,)x y 的轨迹为，与x 轴的负半轴、y 轴的正半轴分别交于点G 、H ，C 的短轴端点关于直线y x 的对称点分别为1F 、2F ，当点P
在直线GH 上运动时，求12PF PF
的最小值；
（3）如图，直线l 经过C 的右焦点F ，并交C 于A 、B 两点，且A 、B 在直线4x 上的射影依次为D 、E ，当l 绕F 转动时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.
21. 设z C ，且(Re 0)
()(Re 0)z z f z z z
.
（1）已知2()()429f z f z z i （z C ），求z 的值；
（2）设z （z C ）与Re z 均不为零，且21n z （*n N ），若存在*0k N ，使得001|(())|2(())k k f z f z
，求证：1|()|2()
f z f z ；
（3）若1z u （u C ），2
1(1)n n n z f z z （*n N ），是否存在u ，使得数列12,,z z
满足n m n z z （m 为常数，且*m N ）对一切正整数n 均成立？若存在，试求出所有的u ，若不存在，请说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. {2,3}
2. 1
3.
13 4. {|1}x x 5. 2 6. 25
7. 405 8. 1 9. 104 10. 4 11. [2,0)[4,) 12. 1
二. 选择题
13. C 14.A 15. C 16. D
三. 解答题
17.（1）
1283；（2）10
.
18.（1）()cos f x x ，在[,]2
递减；（2.
19.（1）3(91)2n ；（2）(2
. 20.（1）22143x y ；（2）115 ；（3）5
(,0)2
.
21.（1）23i ；（2）略；（3）i .。