第十三章 机械振动作业答案(1)

一. 选择题:

[ C ] 1. （基础训练4） 一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴

正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为

(A) T /12． (B)

T /8． (C) T /6． (D) T /4．

【提示】如图，在旋转矢量图上，从二分之一最大位移处到最大位移处矢量转过的角位移为3π，即 3t π

ω=，所以对应的时间为

()332/6

T

t T ππωπ=

== .

[ B ] 2. （基础训练8） 图中所画的是两个简谐

振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为

(A) π2

3． (B) π．

(C) π2

1． (D) 0．

【提示】如图，用旋转矢量进行合成，可得合振动的振幅为

2

A

,初相位为π.

[ B ]3、（自测提高2）两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第

一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为 (A) )π21cos(2+

+=αωt A x ． (B) )π21

cos(2-+=αωt A x ． (C) )π2

3

cos(2-+=αωt A x ．

(D) )cos(2π++=αωt A x ．

【提示】由旋转矢量图可见，x 2的相位比x 1落后π/2。

[ B ] 4、（自测提高3）轻弹簧上端固定，下系一质量为m 1的物体，稳定后在m 1

下边又系一质量为m 2的物体，于是弹簧又伸长了∆x ．若将m 2移去，并令其振动，则振动周期为

A/ -·

O

1

A 2

A A 合

(A) g m x m T 122∆π= ． (B) g

m x

m T 212∆π=． (C) g m x

m T 2121∆π=

． (D) g

m m x m T )(2212+π=∆．

【提示】对轻弹簧和m 1

构成的弹簧振子，其周期表达式：2T π

= 因为加载另一质量为m 2的物体后弹簧再伸长∆x ，显然2m g k x =∆，由此得2m g

k x

=∆； 代入周期公式，即可求出周期T.

[ C ] 5、（自测提高6）如图13-24所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体，再用此弹簧改系一质量为4m 的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为m 的物体，则这三个系统的周期值之比为

(A) 1∶2∶2/1． (B) 1∶

2

1

∶2 ． (C) 1∶2∶

2

1

． (D) 1∶2∶1/4 ． 【提示】从左到右三个弹簧振子分别记为1，2和3； 第一个：111

2 T π

ωω=

=

； 第二个：2121, 22T T ωω==∴= 第三个：将一根弹簧一分为二，每节的弹性系数变成2k ，然后并联，总的弹性系数为4k ，所以3131

2, 2

T T ωω=

=∴=； 得：1231::1:2:2T T T =.

[ D ]6、（自测提高7）一物体作简谐振动，振动方程为)2

1

cos(π+

=t A x ω．则该物体在t = 0时刻的动能与t = T /8（T 为振动周期）时刻的动能之比为：

(A) 1:4． (B) 1:2． (C) 1:1． (D) 2:1． (E) 4:1． 【提示】在t=0时，cos

02πx A ==，势能0p E =，动能21

2

K E E kA ==； t=T/8，cos(

)422

πx A A π

=+=-，势能221124p E kx kA ==，所以动能为

2

14

K p E E E kA =-=

.

图13-24

二 填空题

1、（基础训练12）一系统作简谐振动, 周期为T ，以余弦函数表达振动时，初相为零．在

0≤t ≤

T 4

1

范围内，系统在t =T/8时刻动能和势能相等． 【提示】初相为零，所以()cos x t A t ω=，在0≤t ≤T 4

1

范围内，0A x ≤≤；依题意，动

能和势能相等，为总能量的一半，即

22111222kx kA ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，2x A =

，所以4t πω=，48

T

t πω=

=.

2、（基础训练15）一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半

时,其动能是总能量的3/4（设平衡位置处势能为零）．当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长∆l ，这一振动系统的周期为g

l

∆π

2． 【提示】当物体偏离平衡位置为振幅的一半时，2A x =±

，2211284

P E E kx kA ===， 3

4

k P E E E E E -==； 当物体在平衡位置时，合力为零：mg k l =∆ ，mg k l =

∆

，222T πω∴===

3、（基础训练16）两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：

)2

15cos(10621π+⨯=-t x (SI) ， )5c o s

(10222t x -π⨯=- (SI)

它们的合振动的振辐为210()m -，初相为101108.4323

tg π-+= 【提示】用旋转矢量图求解。由图可见：

11

2

22

2

143

.1083

12622)

(10102=+=+=⨯=+=---tg tg m A A A ππ

ϕ

或用公式计算：

221212210cos(5) , 2, , A 0.06m, A 0.02m; x t πφπφπ-=⨯-====