有限元法基础知识介绍

F ix (1)F ix (2)F ix (3)
F(e) ix
e
F iy (1)F iy (2)F iy (3)
F(e) iy
e
i节点的平衡方程：
A
e
F (e) ix
Pi
x
F (e) iy
Pi y13
e
有限元法的基本计算步骤
3.单元组集
最终，将所有单元组合起来得到整体的方程：
[K]{δ}={R}
FeKee10
有限元法的基本计算步骤
2. 单元特性分析
② 选择位移模式：在反映力和位移的关系式中，依据那一
个量是未知量，可建立不同的模型。 FeKee
➢ 位移法：选择节点位移作为基本未知量称为位移法； ➢ 力法：选择节点力作为基本未知量时称为力法； ➢ 混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基
对于一般的问题，各种FEA均能自动的进行合理的网格 划分。hypermesh最目前好的划分网格工具 。
A
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有限元法的基本计算步骤
2. 单元特性分析
① 分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数
目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点 位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。 此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方 程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚 度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。
本未知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法 中位移法应用范围最广。
A
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有限元法的基本计算步骤
2. 单元特性分析
③ 计算等效节点力：将外在的负载力等效到各个节点上。 物体离散化后，假定力是通过节点从一个的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在 单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移 到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在 单元上得力。
A
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有限元法的基本计算步骤
1. 物体离散化
3维实体的4面 体单元划分
平面的三角形单 元划分
A
3维实体的6面
体单元划分
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有限元法的基本计算步骤
1. 物体离散化
将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这 一步又称作单元剖分或网格划分。
离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来； 单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述 变形形态的需要和计算进度而定。
有限元法基础知识介绍
A
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有限元的基本思想
A
2
有限元法中的几个基本概念
• 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所 组成的组合体，简称离散化。
• 这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。 • 离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元
与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种 联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发 生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。 • 通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载 称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成 它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程 度的位移，这种位移称为结点位移。
函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，
那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元
的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终
将收敛于精确解。
A
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有限元法的基本计算步骤
物体离散化 单元特性分析
➢分析单元的力学性质 ➢选择位移模式 ➢计算等效节点力
单元组集 求解未知节点位移
A
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有限元法的基本计算步骤
用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分 单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情 况相符合。
网格划分的好坏将直接影响到计算结果的准确性和计算 进度，甚至会因为网格划分不合理而导致计算不收敛。
网格的划分主要取决于专业知识和经验积累。一个水平 高的FEA工程师，80%的时间是用在网格划分上。
弹性体
A
有限元模型
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有限元法的基本计算步骤
3.单元组集
利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按 原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程。 对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载 荷与结点位移的关系，以解出节点位移，这个过程 为整体分析。
Piy Pix
集中力
i节点的节点力：
单元节点力
A
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有限元法中的几个基本概念
• 在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并
对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单
的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利
用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点
力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点
位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移
分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场
A
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有限元法的基本计算步骤
2. 单元特性分析
① 分析单元的力学性质 ② 平面问题的三角形单元的例子：单元有三个结点I、
J、M，每个结点有两个位移u、v和两个结点力U、V。
节点位移
ui
v
i
e
u v
j j
u
m
v m
节点力
U i
V
i
F
e
U
V
j
j
U
m
V m
取决于材料性质、形状、A 尺寸
[M]{δ}+[C]{δ}+[K]{δ}={F}
[M]——整体质量矩阵；[C]——整体阻尼矩阵； [K]——整体刚度矩阵； {δ}——整体结 点位移向量； {F}——整体结点荷载向量。
求出结构的自激振动频率、振型等动力响应，以及动变形和动应力 等。
A
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[K]——整体刚度矩阵； {δ}——全部结点位移组成的列阵； {R}——全部结点荷载组成的 列阵。
在位移法中，只有{δ}是未知的，求解该线性方程组就可得到各结点 的位移。将结点位移代入相应方程中可求出单元的应力分量。
有限元法不仅可以求结构体的位移和应力，还可以对结构体进行稳定 性分析和动力分析。例如，结构体的整体动力方程 ：
1. 物体离散化
– 单元选择：应根据连续体的形状选择最能完满地描述 连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元， 三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单 元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等 等。
– 单元划分：进行单元划分，单元划分完毕后，要将全 部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载 均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的 结点上根据实际情况设置约束条件。