大学物理4-4定轴转动的动能定理
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刚体绕定轴转动的动能定理
刚体绕定轴转动的动能定理1. 引言刚体是指其内部各点之间的相对位置关系在运动过程中不会发生改变的物体。
刚体绕定轴转动是指刚体在固定轴线上做圆周运动的情况。
动能定理是物理学中的一条重要定理，描述了物体运动过程中动能的变化与外力做功之间的关系。
本文将对刚体绕定轴转动的动能定理进行全面详细、完整且深入的阐述。
2. 刚体绕定轴转动在刚体绕定轴转动的情况下，我们需要考虑刚体的转动惯量和角速度等因素。
转动惯量是描述刚体对转动运动抵抗程度的物理量，通常用符号I表示。
角速度是描述刚体旋转快慢程度的物理量，通常用符号ω表示。
根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们可以得到刚体绕定轴转动时的基本方程：τ=Iα其中，τ表示作用于刚体上产生转矩（力矩）大小，α表示角加速度。
刚体绕定轴转动的运动规律与作用在刚体上的转矩和转动惯量有关。
3. 动能定理的推导根据刚体绕定轴转动的基本方程，我们可以推导出刚体绕定轴转动的动能定理。
我们来考虑刚体上某一质点的动能T。
由于刚体上各质点都在绕着同一个轴旋转，因此它们具有相同的角速度ω。
设某一质点到轴心的距离为r，则该质点具有的线速度v为v=rω。
该质点的动能T′可以表示为：T′=12mv2=12m(rω)2=12mr2ω2其中，m表示质点的质量。
由于刚体是由众多质点组成的，因此整个刚体的动能T 可以表示为所有质点动能之和：T=∑Tni=1′i其中，n表示刚体上质点的总数。
根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们知道刚体绕定轴转动时转动惯量I和角加速度α之间存在关系τ=Iα。
将该关系代入动能的表达式中，得到：T=12Iω2其中，ω表示整个刚体的角速度。
刚体绕定轴转动的动能可以表示为12Iω2。
这就是刚体绕定轴转动的动能定理。
4. 动能定理的物理意义刚体绕定轴转动的动能定理描述了刚体在转动过程中动能的变化与外力做功之间的关系。
根据动能定理，我们可以得出以下物理结论：1.外力对刚体做功会改变刚体的动能。
大学物理—刚体的动轴转动
F
（3） F1 对转轴的力矩为零，
在定轴转动中不予考虑。
转动 平面
r
F2
（4）在转轴方向确定后，力对 转轴的力矩方向可用+、-号表示。
2. 刚体定轴转动定律 对刚体中任一质量元mi
O’
f i -内力
-外力
ω
Fi
ri
mi
fi
i i
Fi
应用牛顿第二定律，可得： O
v v r sin r sin 900
和 构成的平面，如 图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为
v 的方向垂直于
2
r 78.5m / s
r
at ar 3.14m / s
3
2
2
an r 6.16 10 m / s 边缘上该点的加速度 a an al 其中 a l 的方向 与 v 的方向相反，a n 的方向指向轴心，a 的大小
1 m1 2m 2 m g M / r 2 T1 m1 g a 1 m 2 m1 m 2
22
1 m2 2m1 m g＋M / r 2 T2 m1 g－a 1 m 2 m1 m 2
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动
1. 刚体 刚体是一种特殊的质点系，无论它在多大外力 作用下，系统内任意两质点间的距离恒保持不变。 2.平动和转动 刚体最简单的运动形式是平动和转动。 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直 线，在运动中始终保持平行，这种运动叫平动。 刚体平动时，在任意一段时间内，刚体中各质 点的位移相同。且在任何时刻，各质点的速度和加 速度都相同。
转动动能定理
转动动能定理转动动能定理引言：在物理学中，旋转运动是一种非常重要的运动形式。
它广泛应用于机械、电子、化学等领域。
而转动动能定理则是研究旋转运动的重要定理之一。
一、定义1.1 转动惯量在物理学中，物体的转动惯量是描述物体对于旋转运动的惯性大小的物理量。
它表示了一个物体对于绕某个轴旋转时所表现出来的抵抗力大小。
1.2 角速度角速度是指一个物体绕某个轴线旋转时单位时间内所经过的角度。
它通常用符号ω表示，单位是弧度每秒（rad/s）。
1.3 转动角加速度转动角加速度是指一个物体绕某个轴线旋转时单位时间内角速度变化量，通常用符号α表示，单位是弧度每秒平方（rad/s²）。
二、公式推导2.1 转动运动定律在刚体绕固定轴线做匀加速直线运动时，其加速度a与作用力F之间有如下关系：F=ma同样，在刚体绕固定轴线做匀加速圆周运动时，其加速度a与作用力F 之间也有如下关系：F=ma但是，由于旋转运动涉及到角度的概念，因此在刚体绕固定轴线做匀加速圆周运动时，我们需要引入一个新的物理量——转动惯量。
2.2 转动惯量的定义当一个物体绕某个轴线旋转时，它所表现出来的抵抗力大小与以下三个因素有关：1）物体质量的大小；2）轴线距离物体质心的远近；3）物体形状和密度分布情况。
因此，我们可以定义一个新的物理量——转动惯量I来描述这种抵抗力大小。
具体而言，当一个质量为m、距离轴线为r、转动惯量为I的物体绕某个轴线旋转时，它所表现出来的抵抗力大小可以表示为：τ=Iα其中τ表示物体所受到的扭矩（或者说力矩），α表示物体绕轴线旋转时所表现出来的角加速度。
2.3 转动动能定理在刚体绕固定轴线做匀加速圆周运动时，其机械能守恒，即E=K+U=常数其中E表示机械能，K表示动能，U表示势能。
我们可以将刚体的机械能分解为平动动能和转动动能两部分：E=Kp+Kr+U其中Kp表示平动动能，Kr表示转动动能。
根据定义可知，Kp=½mv²Kr=½Iω²因此，E=½mv²+½Iω²+U我们将上式两边同时对时间求导数，得到：dE/dt=mvdv/dt+Iωdω/dt+dU/dt由于匀加速圆周运动中v、ω和r之间有如下关系：v=rω因此，dv/dt=r dω/dt代入上式可得：dE/dt=mvr dω/dt+I dω/dt+dU/dt根据牛顿第二定律可以得到：F=mvr dω/dt=τ因此，dE/dt=τdθ/dt+dU/dθ dθ/dt=d(τθ)/dt+dU/dθ dθ/dt=d(τθ)/dt+dU/dt=dWext/dt其中Wext表示外力所做的功。
大学物理—刚体的动轴转动
25
麦克斯韦分布
2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
t 0 2 1 g dt R d 0 0 3 2
F1
转动 平面
F
F2
r F1 只能引起轴的
变形, 对转动无贡献。 注 （1）在定轴动问题 中，如不加说明，所指的 力矩是指力在转动平面内 的分力对转轴的力矩。
r
（2） M Z rF2 sin F2d
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。
F123麦克来自韦分布例 2: 一半径为 R ，质量为 m 匀质圆盘，平放 在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘 面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
d r dr
R
e
解 : 因摩擦力不是集中作用于一点，而是分布 在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积 分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质 元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
a m2 G2
a
21
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮 边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即
麦克斯韦分布
a r
从以上各式即可解得
m 2 m1 g M r / r m 2 m1 g M / r a
J m 2 m1 2 r 1 m 2 m1 m 2
1. 刚体的角动量
图为以角速度绕定轴oz 转动的一根均匀细棒。
L
z
ri
O
Li
把细棒分成许多质点，其中第 i 个质点的质量为 mi 当细棒以转动时，该 质点绕轴的半径为 ri
面向新世纪课程教材大学物理大作业答案——刚体力学作业
L2
−
L1
=
J 2ω2
−
J1ω1
质点的动量定理
dpr
=
r F
⋅
dt
∫ r
I
=
tr F ⋅ dt =
t0
pr − pr0 = mvr − mvr0
三、刚体的角动量守恒定律
1. 角动量守恒定律
∫ 由角动量定理
r M
当
r M外
=
0
时，
外
d
t r
ΔL
= =
Δ 0
r L
r L
=
恒矢量
P.6
1
区分两类冲击摆
(1)
大作业题解
刚体力学
第3章 刚体力学基础
一、对转轴的力矩
r M
=
rr
×
r F
单位：N·m
r M
=
rr
×
r F⊥
r M
=
rr
×
r F
大小: 方向:
M = Frsinϕ
rr
→
r F
右旋前进方向
二、定轴转动定律
M z = Jβ
P.2
转动惯量(moment of inertia)
∑ 1. 定义 J = iri2mi 单位: kg ⋅ m 2
l/4 O
[ A]
mg l = 1 Jω 2 J = 7 ml 2
22
48
⇒ ω = 4 3g 7l
P.11
9．如图所示，一人造卫星到地球中心C的最大距离和
最小距离分别为RA和RB。设人造卫星对应的角动量分
别为LA和LB，动能分别为EkA和EkB，则有
(A) LB > LA，EkB > EkA
刚体的能量定轴转动的动能定理
三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的
r i vi mi
M
质元 m1, m2 mi mn
r 任取一质元 mi 距转轴 i ，则该质元动能：
mivi2 / 2 mi (ri)2 / 2 miri22 / 2
故刚体的转动动能：
n
Ek Ek
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中
XX 力1矩O1作的2功2 M M
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 功
1
2
则力矩的
A dA 2 Md (2) 1
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
/2 mg L cosd
0
2
mgL / 2
N
YZ
XO
r
mg
依动能定理
A力矩
1 2
J2
1 2
J02
A力矩
mg
L 2
mg
L 2
1 2
J
2
0
mgL J
mgL 1 mL2
3g L
3
XX
1
1 O
2
2
2 1
Md
1 2
J
2 2
1 2
J12
M
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
求： 当杆过铅直位置时的角速度：
N
YZ
XO
r
mg
定轴转动的动能定理
例题2 一根质量为m、长为 l 的均匀细棒OA （如图），可绕通过其一
端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒
摆到竖直位置时其中点C和端点A的速度。
C
解 先对细棒OA 所受的力作一分析；重力G O
作用在棒的中心点C，方向竖直下；轴和棒之间没
A
有摩擦力，轴对棒作用的支承力 N 垂直于棒和 轴
的接触 面且通过O点，在棒的下摆过程中，此力
的方向和大小是随时改变的。
A
在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通
G
过O点，所以支撑力N的力矩等于零，重力G的力矩则
是变力矩，大小等于mg(l /2) cos ，棒转过一极小的角位移d 时，重力
矩所作的元功是
dW mg l cosd
2
在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所作的功是
度ω0=0,转动动能为0，重力势能为 mg（2l 选下摆到竖直位置hc=0），下摆到竖
直位置时角速度ω=ω,转动动能为
1 2
J重2 力势能为0。
mg l 1 J 2
22
由此得
3g l
mgl
J
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
J2
2
1 2
J12
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能
的增量。
注：
1. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。
设刚体中第i个质点的质量为 mi ，速度为 vi
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。
,则该质点的动能为
刚体定轴转动的动能定理
它的动能为 ΔEki
1 2
Δmi vi2
1 2
Δmi
ri 2 2
整个刚体的动能为全部质元的动能之和，即 Ek
1
2
n i 1
Δmi
ri2
2
1 2
J2
式即为刚体转动动能的表达式。
刚体定轴转动的动能定理
1.3 刚体定轴转动的动能定理
将式的转动定律代入可得 dW Md J d J d d Jd
式中 ds ——位移元 dr 对应的弧长，其与对应角位移 dθ 的关系为 ds rd
刚体定轴转动的动能定理
1.1 力矩的功
于是，式可写为 dW Fτrd Md
当刚体的角位置由1 变为2 时，外力矩所做功为W
2 Md
1
式中，M 若是合外力矩，则 W 就是合外力矩的功。
刚体定轴转动的动能定理 1.2 转动动能
大学物理
刚体定轴转动的动能定理 1.1 力矩的功
如图所示，一个绕固定轴 OO 转动的圆盘状刚体，在圆盘平面上有外力 F 作用于 A 点。外力 F 可分解 为切向分力 Fτ 和法向分力 Fn 。
刚体定轴转动的动能定理 1.1 力矩的功
由于法向分力 Fn 垂直于 A 点的角位移，不做功，因此，外力 F 所做的功等于切向分力 Fτ 所做的功，则 外力 F 所做的元功为 dW F dr Fτds
静止下降 h 距离时物体的速率 v。
【解】 由题意可知，以滑轮、物体和地球组成的系统机械能守恒。
取物体在 h 处时系统的重力势能为零，设物体下降到 h 处时滑轮的角速度为 ω，
则根据机械能守恒定律可得
m2 gh
1 2
J2
1 2
m2v2
根据表可知，滑轮的转动惯量为
大学物理 习题课(刚体)
J1r1r2 10 2 2 2 J1r2 J 2 r1
11、质量为m，长为 l的均匀棒，如图， 若用水平力打击在离轴下 y 处，作用时 Ry 间为t 求：轴反力
解：轴反力设为 Rx Ry d 由转动定律： yF J y dt yF t t 为作用时间 F 得到： J 由质心运动定理： l d l 2 切向： F Rx m 法向： R y mg m 2 dt 2 2 2 2 3y 9 F y (t ) R 于是得到： x (1 ) F R y m g 2l 2l 3 m
10
r1
r2
解： 受力分析： 无竖直方向上的运动
10
o1
N1
f
r1
N2
r2
N1 f m1 g N 2 f m2 g
以O1点为参考点， 计算系统的外力矩：
o2
f
m1 g
m2 g
M ( N2 m2 g )(r1 r2 )
f (r1 r2 ) 0
作用在系统上的外力矩不为0，故系统的角动量不守恒。 只能用转动定律做此题。
r
at r
在R处：
R
at R
（2）用一根绳连接两个或多个刚体
B
C
M 2 o2 R 2
o1R1 M1
D
A
m2
m1
• 同一根绳上各点的切向加速度相同；线速度也相同；
a t A a t B a t C a t D
A B C D
• 跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等；
TA TB TD
但 TB TC
B
C
M 2 o2 R 2
o1R1 M1
4-4力矩的功定轴转动的动能定理
l
dt
2l
8
例（习题4-33）在题 习题 ）在题3-30的冲击摆问 的冲击摆问 题中， 题中，若以质量为 m′ 的均匀细棒代 替柔绳，子弹速率的最小值应是多少？ 替柔绳，子弹速率的最小值应是多少？
解：
(1)若为绳时（题3-30的解法） 若为绳时（ 的解法） 若为绳时 的解法 a、子弹与物块在最低点碰 、 撞，系统的动量守恒 b、物块做圆周运动的过程 、 中机械能守恒 c、物块做圆周运动能越过 、 最高点的条件： 最高点的条件：
F向心力 ≥ M 物 g
(2)当绳变为细棒时： 当绳变为细棒时： 当绳变为细棒时 分析： ①细棒和摆钟构成一个刚体，可绕O 分析： 细棒和摆钟构成一个刚体，可绕 轴作定轴转动。 轴作定轴转动。在A处，子弹与摆钟碰撞， 处 子弹与摆钟碰撞， 使刚体获得绕O轴转动的角速度 轴转动的角速度w。 使刚体获得绕 轴转动的角速度 。若取子 摆钟和细杆为系统， 弹、摆钟和细杆为系统，在碰撞过程中刚体 受到定轴O的水平方向作用力 的水平方向作用力， 受到定轴 的水平方向作用力，系统所受合 外力不等于零，系统的动量不守恒。但由于 外力不等于零，系统的动量不守恒。 转轴对刚体的作用的作用线过转轴O,不产生 转轴对刚体的作用的作用线过转轴 不产生 转动力矩，因而作用于系统的合外力矩为零， 转动力矩，因而作用于系统的合外力矩为零， 系统的角动量守恒。 系统的角动量守恒。 设摆钟对O点的转动惯量为 ， 设摆钟对 点的转动惯量为J，则J=m1l 2 点的转动惯量为 细棒对O点的转动惯量为 细棒对 点的转动惯量为 J ' ，则 J ' = 1 m ' l 2
O v0 l A R
α
作业： 作业：
一匀质细棒长为l 质量为m， 可绕通过其端点O 一匀质细棒长为 ， 质量为 ， 可绕通过其端点 的水平轴转动，如图所示。 的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后 它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。 ，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的 质量也为m ， 它与地面的摩擦系数为 µ。 相撞后物体 质量也为 沿地面滑行一距离s而停止 求相撞后棒的质心C 而停止。 沿地面滑行一距离 而停止。求相撞后棒的质心 离地 面的最大高度h， 面的最大高度 ， 并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆 的条件。 的条件。
dt
2l
8
例（习题4-33）在题 习题 ）在题3-30的冲击摆问 的冲击摆问 题中， 题中，若以质量为 m′ 的均匀细棒代 替柔绳，子弹速率的最小值应是多少？ 替柔绳，子弹速率的最小值应是多少？
解：
(1)若为绳时（题3-30的解法） 若为绳时（ 的解法） 若为绳时 的解法 a、子弹与物块在最低点碰 、 撞，系统的动量守恒 b、物块做圆周运动的过程 、 中机械能守恒 c、物块做圆周运动能越过 、 最高点的条件： 最高点的条件：
F向心力 ≥ M 物 g
(2)当绳变为细棒时： 当绳变为细棒时： 当绳变为细棒时 分析： ①细棒和摆钟构成一个刚体，可绕O 分析： 细棒和摆钟构成一个刚体，可绕 轴作定轴转动。 轴作定轴转动。在A处，子弹与摆钟碰撞， 处 子弹与摆钟碰撞， 使刚体获得绕O轴转动的角速度 轴转动的角速度w。 使刚体获得绕 轴转动的角速度 。若取子 摆钟和细杆为系统， 弹、摆钟和细杆为系统，在碰撞过程中刚体 受到定轴O的水平方向作用力 的水平方向作用力， 受到定轴 的水平方向作用力，系统所受合 外力不等于零，系统的动量不守恒。但由于 外力不等于零，系统的动量不守恒。 转轴对刚体的作用的作用线过转轴O,不产生 转轴对刚体的作用的作用线过转轴 不产生 转动力矩，因而作用于系统的合外力矩为零， 转动力矩，因而作用于系统的合外力矩为零， 系统的角动量守恒。 系统的角动量守恒。 设摆钟对O点的转动惯量为 ， 设摆钟对 点的转动惯量为J，则J=m1l 2 点的转动惯量为 细棒对O点的转动惯量为 细棒对 点的转动惯量为 J ' ，则 J ' = 1 m ' l 2
O v0 l A R
α
作业： 作业：
一匀质细棒长为l 质量为m， 可绕通过其端点O 一匀质细棒长为 ， 质量为 ， 可绕通过其端点 的水平轴转动，如图所示。 的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后 它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。 ，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的 质量也为m ， 它与地面的摩擦系数为 µ。 相撞后物体 质量也为 沿地面滑行一距离s而停止 求相撞后棒的质心C 而停止。 沿地面滑行一距离 而停止。求相撞后棒的质心 离地 面的最大高度h， 面的最大高度 ， 并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆 的条件。 的条件。
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
物理学
第五版
4-4
力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
M 4 µg α= = 作匀加速转动） （作匀加速转动） J 3R 3ωR 由 ω = ω0 + αt 可求得 t = 4 µg 2 2 (3) 由 ω = ω0 + 2αθ 可得在 0 到 t ) 2 的时间内， 的时间内，转过的角度为 θ = 3ω R 8µg 1 驱动力矩做的功为 W = Mθ = mR 2ω 2 4
第四章 刚体的转动
13
物理学
第五版
4-4
力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
解 (1) 如图取面 ) 积元ds 积元 = drdl，该面元 ， 所受的摩擦力为
df
df =
µ mg
πR
2
o
r
dl dr
drdl
R
此力对点o的力矩为
rdf =
µmg
πR
2
rd r d l
刚体的转动
14
第四章
物理学
第五版
4-4
O
G
N
θ
A
l dA = mg cosθdθ 2
π
ω
A′ G
l l 2 A = ∫ dA = ∫0 mg cosθdθ = mg 2 2
第四章 刚体的转动
11
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 按力矩的功和转动动能增量的关系式得
由此得
l 1 2 mg = Jω 2 2 mgl ω= J
例， 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘 作匀速转动． 面的轴以角速率 ω 作匀速转动．放上唱片 后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转 设唱片的半径为R，质量为m， 动．设唱片的半径为 ，质量为 ，它与转 盘间的摩擦系数为 µ ，求：(1)唱片与转盘 ) 间的摩擦力矩； ) 间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速度 ω时需 要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱 要多长时间； )在这段时间内， 动力矩做了多少功？ 动力矩做了多少功？
刚体力学_功 动能定理
m
.
N
R
m1
m2 解: 把m1、m2和m看作一系统 系统所受 m g 看作一系统,系统所受 看作一系统 1 m2 g 合外力有重力m 、 合外力有重力 1g、m2g,这两个力对轴 这两个力对轴 支撑力N通过转轴 的力矩分别为m 的力矩分别为 1gR、m2gR;支撑力 通过转轴 对轴的力 、 支撑力 通过转轴,对轴的力 矩为零.加上阻力矩 加上阻力矩M 系统所受合外力矩为 顺时针为正) 系统所受合外力矩为(顺时针为正 矩为零 加上阻力矩 f ,系统所受合外力矩为 顺时针为正 M=m2gR-m1gR-Mf 系统的总角动量为(顺时针为正 顺时针为正) 系统的角 m: Jω 系统的总角动量为 顺时针为正 动量包括 m1: Rm1v L=Jω+Rm1v+Rm2v m2: Rm2v
1 1 1 2 2 2 mv 0 = mv + Jω 2 2 2
的圆盘， 例 一质量为 m' 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂 圆盘上绕有轻绳， 直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳， 问物体由静止下落高度 一端挂质量为m 一端挂质量为 的物体 . 问物体由静止下落高度 h 时， 其速度的大小为多少? 其速度的大小为多少 设绳的质量忽略不计 . v 对圆盘做功， 解1 拉力 FT 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动 v 能定理可得， 能定理可得，拉力 FT 的力矩所作的功为
o
圆 锥 摆
o
v θ T
'
m
v v
v p
o
v v
R
以子弹和杆为系统 守恒； 动量不守恒； 守恒； 角动量 守恒； 机械能 不守恒 .
圆锥摆系统 守恒； 动量不守恒； 对 O'O 轴角动量 守恒； 守恒； 机械能 守恒 .
4-4定轴转动的动能定理
三.定轴转动的动能定理
根据定轴转动定理 则物体在
dt时间内转过角位移 dθ = ω dt 时
d M = (Jω) dt
外力矩所做元功为： 外力矩所做元功为：
d dθ dA = Mdθ = ( Jω)dθ = Jdω = Jωdω dt dt
θ2 ω2
总外力矩对刚体所作的功为： 总外力矩对刚体所作的功为：
§4-4 定轴转动的动能定理 一.力矩的功
1.定义：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发 定义： 定义 生角位移时，就称力矩对刚体做功。 生角位移时，就称力矩对刚体做功。 由于刚体内任意两质点 的相对位移为零， 的相对位移为零，所以 内力不做功； 内力不做功；平行于转 轴的的外力也不做功； 轴的的外力也不做功； r 只有垂直于转轴的力 F 才做功(即在图示中的 才做功 即在图示中的 r 就是在平面内的力) F 就是在平面内的力 0
r r
0‘
dθ
r dr
r F
ϕ
P
r 作用下， 在外力 F 作用下，刚体有一角位移 dθ ，对应线位移 r，则 为 dr r 点作功： 力 F 对 P点作功： 点作功
r r d A = ϕ)
0
= F ds sin ϕ = Fr dθ sinϕ
r r
0‘
dθ
r dr
1 2 ∆mivi 2
v = ωr
i i
因此整个刚体的动能 1 1 2 EK = ∑ ∆mivi = 2 2
(∑∆m r )ω
2 i i
2
刚体的转动动能
式中∑∆miri 2是刚体对转轴的转动惯量 所以上式写为
J
，
1 2 EK = Jω 2
上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因 上式中的动能是刚体因转动而具有的动能， 此叫刚体的转动动能。 此叫刚体的转动动能。
大学物理—力矩
2、 力矩对刚体做功： 刚体在外力矩作用下，发生角位移 mi : p 点质量 ri : p 点对 o 点位矢 (o p) 已知：
Fi : p 点所受外力 d : p点绕轴转过的角位移
Z
dsi : p 点元位移 : dsi 与 Fi 的夹角
O
d
dsi
Fi
i
i : ri 与 Fi 的夹角
( M
0
ri
i
)d
P
类比法
dsi rd i
i 900
5
§3-4
二、定轴转动的动能定理 1、 公式： 2、 证：
合外力（外力矩） 对刚体做功
定轴转动的动能定理
1 2 A 1 Jw2 Jw12 2 2
2
1
A dA Md
1
2
dw J d dt
M z r F2
M z 正方向的规定： 促进转动的力矩为正
1
§3-3
二、定轴转动定律
力矩 刚体定轴转动定律
dp F= dt
牛二
类比法
dv F =ma m dt
J
dw 转动定律 M z dLz dt dt （转动刚体的第二定律） 已知： mi : p 点质量 Z ri : p 点对 o 点位矢 (o p) 都在与轴 p 点所受合外力 F : i 垂直的平
§3-3
一、 力矩 1、力对定点的力矩：
F 对O点的力矩
力矩 刚体定轴转动定律
rF
Z
MO
F
P对O点的位矢
O
r
d
F1
P
F2
2、力对于转轴
oz 的力矩
绕定轴转动刚体的动能 动能定理
三. 转动动能定理 —— 力矩功的效果 dω 1 2 d dA= M θ = (J )dθ = Jω ω = d( Jω ) d dt 2
对于一有限过程
1 2 1 2 1 2 A = ∫ dA = ∫ d( Jω ) = Jω2 − Jω = ∆Ek 1 θ1 ω 2 2 1 2
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量， 绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过 程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。 程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定 轴转动刚体的—— ——动能定理 轴转动刚体的——动能定理
dh =v， = a dv dt dt m 2 gr a= 2 =常 量 m + JZ r
m 2 2 1at2 = 1 gr t h= 2 2m 2 + JZ r
若滑轮质量不可忽略，怎样？ 若滑轮质量不可忽略，怎样？
gt2 JZ = m 2( −1 r ) 2h
λ1 =30cm
λ2 =10cm
1 2 JO1 = ml 3
1 2 1 1 2 1 kλ 1 = mgl + kλ 2+ Jω 2 2 2 2 2
ω = 5.72 rad / s
例 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体 装在转 动架上，转轴 上装一半径为 的轻鼓轮， 动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕 在鼓轮上， 的重物。 在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。 重物下落时， 轴转动。 重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得 重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t， 物体A对 轴的转动惯量Jz。 求 物体 对Z 轴的转动惯量 。设绳子 不可伸缩，绳子、 不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴 处的摩擦力矩忽略不计。 处的摩擦力矩忽略不计。 解 分析 机械能) 分析(机械能 机械能
刚体定轴转动的动能定理
dm 积分遍及刚体体积V，
分几种情况：
dV , ( x, y, z )
1、刚体具有对称中心，对称中心就是质心；
2、若刚体无对称中心，但可以划分为几部分，而每一部 分都有对称中心，各部分的中心就是各部分的质心，这些质心 形成为分立的质点组，则刚体的质心就归结为这一质点组的质 心； 3、前二个条件都不具备，这时就必须求积分，计算刚体 的质心。
dri j r j ri rij (为什么?) dt dt r r ij j 2 2 d r j d ri i 2 2 即 v j v i , a j ai O ri dt dt
dr j
由于 i ，j 是任意两个质元，所以刚体上所有质元均有相同的速 度和加速度，各质元的运动轨迹的形状也相同。这里很自然想 到一个代表性的质元——质心。
二、刚体的转动
如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转 动，这条直线称为转轴，转轴固定于参考系的情况称为定轴转 动。例如机器上齿轮的运动，门窗等都是定轴转动。若转轴上 有一点静止于参考系，而转轴的方向在变动，这种转动称为定 点转动。例如玩具陀螺的转动就属于定点转动。
分析表明：刚体的任何复杂运动总可以分解为平动和转动（定 轴转动或定点转动）的叠加，例如车轮的滚动、螺帽的运动。 研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于定轴的平面作 为转动平面，如图所示，通过分析，转动平面内各个质点的运 动情况搞清楚了，整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点 P，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，用矢径 r 与Ox 轴间
唯一确定。总之，为描述平面运动，必须给出
rB rB (t ) xB (t )i yB (t ) j, 或 xB xB (t ), yB yB (t )
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
轴以角速率ω 作匀速转动．放上唱片后，唱片将 在摩擦力作用下随转盘一起转动．设唱片的半径 为R，质量为m，它与转盘间的摩擦系数为 ，求： (1)唱片与转盘间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速 度 时需要多长时间； (3)在这段时间内，转盘的 ω 驱动力矩做了多少功？
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
作的总功为 二、力矩的功率
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
刚体中任一质元 的速率 该质元的动能
对所有质元的动能求和
∑
∑
转动惯量 J
得
J
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
四、刚体绕定轴转动的动能定理
回忆质点的动能定理
刚体转动的动能定理
由 力矩的元功 转动定律 则
合外力矩的功
称为
转动动能的增量
L J
2、角动量定理.
dL M dt
2015-7-12
微分形式
积分形式
t1 M dt L2 L1 t2 冲量矩 M dt
t2
t1
17
3、角动量守恒定律.
若作用于物体的合外力矩 M 0 ,则角动量守恒: L 恒矢量
对质点有: 对刚体有:
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
第一节
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理．
力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理．
一 力矩作功
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力
的元功
力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算
若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，
o
x
dx x
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
作的总功为 二、力矩的功率
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
刚体中任一质元 的速率 该质元的动能
对所有质元的动能求和
∑
∑
转动惯量 J
得
J
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
四、刚体绕定轴转动的动能定理
回忆质点的动能定理
刚体转动的动能定理
由 力矩的元功 转动定律 则
合外力矩的功
称为
转动动能的增量
L J
2、角动量定理.
dL M dt
2015-7-12
微分形式
积分形式
t1 M dt L2 L1 t2 冲量矩 M dt
t2
t1
17
3、角动量守恒定律.
若作用于物体的合外力矩 M 0 ,则角动量守恒: L 恒矢量
对质点有: 对刚体有:
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
第一节
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理．
力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理．
一 力矩作功
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力
的元功
力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算
若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，
o
x
dx x
转动动能定理
转动动能定理引言转动动能定理是物理学中的一个重要定理，它描述了刚体绕固定轴旋转时转动动能的变化规律。
本文将对转动动能定理进行全面、详细、完整和深入的探讨。
转动动能定理的定义转动动能定理是指刚体绕固定轴旋转时，刚体的转动动能(简称为转动动能)随着时间的变化而改变的规律。
转动动能可以通过以下公式计算得到：ΔK=12Iω2其中，ΔK表示转动动能的变化量，I表示物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。
转动动能定理的推导转动动能定理的推导过程如下：1.假设刚体在t1时刻的转动动能为K1，在t2时刻的转动动能为K2。
2.刚体在t1时刻的角速度为ω1，在t2时刻的角速度为ω2。
3.转动动能的变化量可以表示为ΔK=K2−K1。
4.根据定义可以得到K1=12I1ω12，K2=12I2ω22，其中I1和I2分别表示t1和t2时刻刚体的转动惯量。
5.将K1和K2代入ΔK=K2−K1中，得到ΔK=12I2ω22−12I1ω12。
6.化简上式，得到ΔK=12(I2ω22−I1ω12)。
7.根据角动量守恒定理，可以得到I1ω1=I2ω2。
8.将I1ω1代入上式，得到ΔK=12I1ω1(I2ω2I1ω1−1)=12I1ω1(I2I1−1)=12Iω2，其中I=I1。
因此，转动动能定理可以推导得到ΔK=12Iω2。
转动动能定理的应用转动动能定理在物体的转动运动中有广泛的应用。
下面介绍几个应用实例：应用实例1：旋转物体的动能变化当一个物体绕固定轴旋转时，它的转动动能会随着角速度的变化而改变。
转动动能定理可以帮助我们计算物体在不同角速度下的转动动能变化量，从而对物体的旋转运动进行分析。
应用实例2：转子动能的转换转动动能定理可以用来研究转子动能的转换。
例如，发电机中的转子通过机械能转换成电能，由于转子的转动惯量不变，转动动能定理可以帮助我们计算转子在转动过程中的动能转换效率。
应用实例3：转动惯量的测量转动动能定理可以通过测量物体的角速度和转动动能的变化量，间接计算出物体的转动惯量。
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表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集 中在质心时所具有的势能一样。
刚体在重力场中运动时重力作功为 即重力作功等于刚体重力势能的减少
定轴转动的动能定理
例 题 4-7 如 图 ， 冲 床 上 配 置 一 质 量 为 5000kg 的 飞 轮 ， r1=0.3m, r2=0.2m.今用转速为900rev/min的电动机借皮 带传动来驱动飞轮，已知电动机的传动轴直径为 d=10cm。（1）求飞轮的转动动能。
A M d M d 0 0
对于刚体的运动，因质
点间相对距离不变，故任何
一对内力作功为零。
O
F
d r
drP2.刚体定来自转动的动能定理根据刚体定轴转动定理 M J d
dt
则物体在 d时t 间内转过角位移 d 时 dt
外力矩所做元功为：
dA Md J d d Jd d Jd
dt
dt
总外力矩对刚体所作的功为：
解 先对细棒oA所受的力作 O
一分析；重力 G作用在棒的
中心点C，方向竖直向下； 轴和棒之间没有摩擦力，轴
对棒作用力 通N过o点，在
棒的下摆过程中，此力的方 向和大小是随时改变的。
C
G
v
A
A
定轴转动的动能定理
在棒的下摆过程中，支撑力 不N做功。
棒从水平位置摆到竖直位置过程中，重力所作的 功是
A mgl / 2
60
这样飞轮的转动动能是
Ek
1 2
J2
1 2
325
2 3.14 150 60
2
40055J
（2）在冲断钢片过程中，冲力F所作的功为
A Fd 9.80 104 0.5 103 J
49J
定轴转动的动能定理
这就是飞轮消耗的能量，此后飞轮的能量变为
Ek 40055 49J 40006J
棒在水平位置时的角速度0＝0，下摆到竖直位置
时的角速度为 ，由动能定理得
定轴转动的动能定理
mg l 1 J 2
22
由此得 mgl
J
因 J 1 ml 2 代入上式得
3
3g / l
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度
分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
§4-4 定轴转动的动能定理
1.力矩的功
力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动
而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。
力
F对P
点作功：
O
d A F dr
F d s cos 2
F d s sin
d r
F
dr
P
O
d s r d
力矩的功
因 Fr sin M d A M d
则力 F 对P 点作功可表示为力矩 M 对刚体作功：
由
Ek
1 2
J2
求得此时间的角速度 为
2Ek
J
飞轮的转速变为
n飞
60
2
60
2
2 40006rev / min 325
149.8rev / min 150rev / min
定轴转动的动能定理
例题4-8 一根质量为m、长为 l 的均匀细棒OA（如
图），可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转 动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到 竖直位置时其中点C和端点A的速度。
m 2
(r12
r22 )
1 2
5000 (0.32
0.22 )kg
m2
325kg m2
皮带传动机构中，电动机的传动轴是主动轮， 飞轮是从动轮。两轮的转速与轮的直径成反比，即 飞轮的转速为
n飞
n电d电 d飞
900 10 60
150rev / min
定轴转动的动能定理
由此得飞轮的角速度
2 n飞
A
2 Md
1
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
定轴转动的动能定理
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对 刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。
3.刚体的重力势能
对于一个不太大的质量为 m的物体，它的重力
势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。
即：
质心高度为：
hc
mi hi m
Ep mghc
（2）若冲床冲断0.5mm厚
的薄钢片需用冲力9.80104 2r1 2r2 N，所消耗的能量全部由飞
轮提供，问冲断钢片后飞轮
的转速变为多大？
d
定轴转动的动能定理
解 （1）为了求飞轮的转动动能，需先求出它的转 动惯量和转速。因飞轮质量大部分分别布在轮缘上， 由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式，得
J