高等数学作业题及参考答案

高等数学作业题（一）
第一章 函数
1、填空题
（1）函数1142-+
-=x x y 的定义域是 2、选择题
(1)下列函数是初等函数的是（ ）。

A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,
01,
112x x x x y
D. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)x
y 1sin =在定义域内是（ ）。

A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数
3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域
4、设,1)(2+-=x x x f 计算
x
f x f ∆-∆+)2()2(
5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底
单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。

6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α
的函数。

第二章 极限与连续
1、填空题
（1）3
2+=x y 的间断点是 （2）0=x 是函数x x y +=1的第 类间断点。

（3）若极限a x f x =∞
→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的 渐近线。

（4）有界函数与无穷小的乘积是
（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是 无穷小。

（6）x
x x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。

（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0
=→x g x ， 则()()=→x g x f x 0
lim （9）设x y 3sin =，则=''y (10) x x x
)211(lim -∞→=
2、选择题
（1）x
x x sin lim 0→的值为（ ）。

A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。

A. 3x B x C. x D. 3x
（3）设函数x
x x f 1sin )(⋅=，则当0)(>-x f 时，)(x f 为 ( ) A. 无界变量 B.无穷大量 C. 有界，但非无穷小量 D. 无穷小量
（4）lim sin
sin x x x x →021的值为（ ）。

A.1
B.∞
C.不存在
D.0
（5）下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。

A ．e 1
x x ,()→∞ B.sin ,()x x
x →∞ C. ln(),()11+→x x D.
x x x +-→110,()
（6）当+∞→x 时，下列变量中无穷大量是（ ）
A ．)1ln(x +
B ．12+x x
C ．1+-x e
D ．5x x cos
（7）x
x a x sin lim -∞→等于 ( )。

A. a
B. 0
C. -a
D. 不存在
（8）当0→x 时，变量( )是无穷小量。

A.x sin ln B.x 1cos C.x 1sin D.21
x e - （9）x
x f x 1)(0==是的（ ）。

A. 连续点； B. 跳跃间断点； C.可去间断点； D. 无穷间断点. （10）x x x f x 1
)1()(0+==是的（ ）。

A. 连续点；
B. 跳跃间断点；
C.可去间断点；
D. 无穷间断点. （11）函数x
x x f 1sin )(=在点0=x 处（ ） A.有定义且有极限 B.有定义但无极限 C.无定义但有极限 D.无定义且无极限
（12）=→x x
x 0lim （ ）
A. 0
B. 不存在
C. 1
D. 1-
（13）无穷小量是（ ）
A 趋于∞-的一个量
B 一个绝对值极小的数
C 以零为极限的量
D 以零为极限且大于零的量
（14）1
1lim 21--→x x x =( ) A. -2 B. 2 C. 3 D. 1
(15) 设4
1)(2-=x x f ，则2-=x 是)(x f 的（ ） A ．可去间断点 B.跳跃间断点 C ．无穷间断点 .D.以上答案都不对 (16) 3
9lim 23--→x x x =（ ） A . -6 B. 6 C. 0 D. 2 (17) 2
4lim 22--→x x x =（ ） A . -6 B. 4 C. 0 D . 2
(18) x
x x 2sin lim 0→ A. 1 B. 2 C. 0 D. 1-
3、计算题
（1）1
12lim 221-+-→x x x x
（２）4
586lim 221+-+-→x x x x x
（３）x x x x )1
1(lim -+∞→
（4）x x x 23tan lim
0→
（5）2)21(lim -∞→-x x x
（6）224sin lim
0-+>-x x x
（7）)1
211(lim 21---→x x x
（8）2cos lim
x x x ∞→
（9）)1
21(lim 1--→x x
（10）x x x x x 5sin 2sin lim
0+-→
（11）1310)21(lim -→-x x x
（12）1
3lim 242+-+∞→x x x x x
（13）)1311(lim 31x x x ---→
（14）1214lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x
（15）x x x x sin 1sin
lim
20→
（16）x
x x arctan lim
∞→
4、求下列函数的间断点，并指出其类型。

(1) 2
312+--=
x x x y
（2）x
y 1cos
=
(3) 1132--=
x x y
5、x x f 1)(=，求x
x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0
高等数学作业题（二）
第三章 导数与微分
1、 填空题
（1）抛物线2
x y =在点 处的切线平行于直线0142=-+x y 。

（2）曲线3x y =在点)1,1(--的法线方程是
（3）设函数)(x f y =在点x 可导，则函数)()(x kf x g =（k 是常数）在点x
（可导、不可导）。

（4）一物体的运动方程为1023+=t s ，此物体在2=t 时瞬时速度为
(5) 2)12(+=x y ，则y '=
(6) 设2)13(+=x y ，则y '= 。

(7) )2ln(2x y +=，=dy 。

(8) 设12+=x y ，
dx dy = 。

(9) )2ln(2x y +=，=dy 。

2、选择题
（1）在抛物线2x y =上过⎪⎭
⎫ ⎝⎛41,21点的切线是（ ） A ．平行于ox 轴 B ．与ox 轴构成45ο C ．与ox 轴构成135ο； D ．平行于oy 轴。

（2）过点)3,1(，且切线斜率为x 2的曲线方程)(x y y =应满足的关系是（ ）
A ．x y 2='
B ．x y 2=''
C ．31(2=='），y x y
D ．3)1(,2==''y x y
(3) )12ln(-=x y ，则)1(f '=（ ）
A . 0 B. 2 C. 1 D. 3
(4) 3ln -=y ，则dy =（ ）
A . dx 3
B . dx 3
1- C. dx 31 D. 0 (5) x e x f 2)(=，则)1(f '=（ ）
A . 2e
B . 2
2e C. e D. 2
(6) 22)(2-=x x f ，)1(f '=（ ） A. 1 B. -4 C. 0 D. 4
3、求下列函数的导数dx
dy （1）38)1ln(cos x x x y ++⋅=
（2）21sin x y +=
（3）5ln cos sin 2+⋅+=x x x x y
（4） x e x x y ++=
1cos sin 2
（5）)(sec ln 2x y =
（6）221x a y -=，()
a x <
(7) ()21arccos x y -=
(8) x e
y 1sec 2-=
（9） )1ln(sin x
y =
（10）x y 31arcsin +=
(11)a y x =+，求dx
dy
(12)⎪⎩⎪⎨⎧-=+=t
y t x 11 , 求dx dy
（13）cos sin x a t y b t
=⎧⎨=⎩,求dx dy 。

(14) 0233=+-x y y
(15) x x y sin )
(tan =
(16) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2321t t y t x ,求dx dy
(17) ⎪⎩⎪⎨⎧-==2332t
t y t x ，求dx dy
(18) 2)23ln(+=x y
4、求下列函数的微分
（1）5555++=x x y
（2）x
x y sin 1cos 1+-=
(3) )2ln(3-=x y
5、求下列函数的二阶导数
x d y d 22 （1）22x y x +=
（2）求()
21ln x x y ++=的二阶导数。

6、求由参数方程()⎩
⎨⎧-=+=t t y t x arctan 1ln 2
所确定的函数的二阶
7、求抛物线()022>=p px y ，在点⎪⎭
⎫ ⎝⎛p p M ,2处的切线方程为与法线方程
高等数学作业题（三）
第四章 中值定理与导数应用
１、填空题
(1) )1ln(+-=x x y 在区间 内单调减少，在区间
内单调增加。

（2）若曲线3)(b ax y -=在))(,1(3
b a -处有拐点，则a 与b 应满足关系 （3）函数x x y +=12在]1,2
1[-上的最小值是 (4) 设在),(b a 内曲线弧是凸的，则该曲线弧必位于其上每一点处的切线的 方。

２、选择题
（1）若函数 )(x f 在 0x 点取得极小值，则必有（ ）
A ．0)('0=x f 且 0)(''=x f
B ．0)('0=x f 且 0)(''0<x f
C ．0)('0=x f 且 0)(''0>x f
D ．0)('0=x f 或不存在
(2) 极限e
x x e x --→1ln lim 的值为 ( )。

A. 1 B. 1-e C. e D. 0
(3) 若))(,(00x f x 为连续曲线 )(x f y =上的凹弧与凸弧分界点,则 ( )。

A. ))(,(00x f x 必为曲线的拐点
B. ))(,(00x f x 必定为曲线的驻点
C. 0x 为)(x f 的极值点
D. 0x 必定不是)(x f 的极值点
（4）函数12
+=x y 在区间[0，2]上（ ）
A. 单调增加
B. 单调减少
C. 不增不减
D. 有增有减 （5）如果0)('0=x f ，则0x 一定是（ ）
A. 极小值点
B. 极大值点
C. 驻点
D.
拐点 （6）函数)(x f y =在点0x x =处取得极值，则必有（ ）
A. 0)("0<x f
B. 0)("0>x f
C. 0)('0=x f 或)('0x f 不存在
D.
0)("0=x f
（7）（ ）为不定式。

A ．0∞ B. ∞0
C. ∞0
D. 0∞
3、求极限 (1) x
x x 3ln 2ln lim 0+→
(2) x
x x sin 0
lim +→
(3) 2
1
20lim x x e x →
(4) x x x ln 1
)(cot lim +→
(5)⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x x arctan 2lim π
（6）x
x x 2tan cos 1lim +→π
（7）x n
x e
x λ+∞→lim ()0>λ
(8) x
x x x x sin sin lim
-++∞→
（9） )1(lim 1-∞→x x e x
（10）x
arc x x cot )11ln(lim ++∞→
4、求函数3
23x x y -=的单调区间
5、点（1，3）是曲线23bx ax y +=的拐点，求b a ,
6、讨论函数x x y -=arctan 的单调性并求极值。

7、讨论2
332x x y -=单调性并求极值。

8、讨论曲线55332++-=x x x y 的凹凸性,并求拐点。

9、求)1ln(4+=x y 在[]2,1-上的最大值与最小值。

10、试确定,,,c b a 使 c bx ax x y +++=2
3有一拐点)1,1(-,且在0=x 处有极大值1。

11、求函数323x x y -=的单调性
12、某车间靠墙盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成怎样的长方形,才能使这间小屋的面积最大?
13、在边长为a 2的正方形铁皮上，四角各减去边长为x 的小正方形，试问边长x 取何值时，它的容积最大？
14、要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为3
72cm ，其底边成2:1的关系，问各边的长怎样，才能使表面积为最小
第五章 积分
1、填空题
（1）设()x f 的一个原函数为()12cos +x ，则()=x f ___________；
（2）=⎰-dx x x 11
23sin (3）dx e x ⎰
2= (4) =⎰
-dx x x 112arcsin
(5) ⎰xdx 2cos =
(6)
=+⎰-dx x x 11
4arctan )1( (7) =⎰dx xe x 2
12。

2、选择题
（1）若()()x f x F ='，则()()=⎰dx x f d （ ）
A. ()x f
B. ()dx x f
C. ()x F
D. ()dx x F
（2）设)(x f 为可导函数，则（ ）
A.()()⎰=x f dx x f
B.()()⎰='x f dx x f
C.
()()()x f dx x f ='⎰ D. ()()()C x f dx x f +='⎰ （3）⎰
=dx e x ( ) A ．2C e x + B ．2C e x + C ．C e x + D ．C
e x 1+ （4）曲线()x
f y =在点x 处的切线斜率为2+-x ，且曲线经过点()5,2，则该曲线方程为（ ）
A ．22+-=x y
B ．x x y 221
2+-= C ．3
221
2++-=x x y D ．522++-=x x y （5）若v u ,都是x 的可微函数，则⎰udv =（ ）
A. ⎰-vdu uv B .⎰-udv v vu ' C .⎰-dv u vu ' D .⎰-du
vu uv '
(6) 下列等式正确的是（ ） A )()(x f dx x f dx d
=⎰ B )()('x f dx x f =⎰ C )()(x f x df =⎰ D
)()(x f dx x f d =⎰ (7) 设)(x f '存在且连续,则⎰'])([x df =（ ）
A. )(x f
B. )(x f '
C. c x f +')( D .c x f +)(
(8) ⎰-2
0)22(dx x =( )
A 、1
B 、21
C 、0
D 、 1-
3、求下列不定积分
（1）()⎰dx x 3cos
（2）dt t t
⎰sin
（3）⎰+dx x x 1
（4）21x
x e dx e +⎰
（5）⎰dx x x
2ln
（6）
⎰++dx x x 123
（7）⎰
dx x sin （8）⎰+dx e
x 1
（9）xdx ⎰2ln
（10）⎰xdx x arctan
（11）⎰
xdx x 2sin
（12）dx x x ⎰+1
23
（13
）
（14）dx x x ⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++221311
（15）3x x e dx ⎰
（16）dx x ⎰-2
3
123
（17）
⎰+20sin 1cos π
dx x
x
（18）⎰--2
2
3cos cos π
πdx x x
（19）⎰
e xdx 1ln （20）dx x x ⎰+2
1
2)1(
（21）
dx x ⎰-201
（22）dx xe x ⎰1
02
4、判断下列各广义积分的敛散性，若收敛，计算其值。

（1）
⎰∞+1x dx
（2）
⎰∞+-02dx xe x
（3）
dx x e x ⎰∞+-0
（4）
⎰+∞
∞-++dx x x 8412
高等数学作业题（四）
第六章 定积分的应用
１、求由抛物线2x y =及其在点)4
1,21(处的法线所围成的平面图形的面积。

2、求曲线3,2,0y x x y ===所围成的区域分别绕x 轴及y 轴旋转所产生的旋转体的体积。

3、 求由曲线22x y =，2x y =与2=y 所围成的平面图形面积。

4、求直线x y =与曲线2y x =所围成的平面图形绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积。

第七章 多元函数微分学分
1、填空题
（1）y x y x z -++=1
1
的定义域为___________；
（2）在空间直角坐标系OXYZ 下，方程42
2=+y x 表示的图形为___________； （3）()y x z +=ln ，则=∂∂∂x
y z 2___________； （4）xy e y x z +=2在点()1,1处的=dz ___________；
（5）如果()y x f z ,=在点()y x ,处有极值，则当0<A 时，有______值；当0>A 时，有______值；
(6) )ln(y x z +=的定义域为
(7) y x z = ，
y z ∂∂= 。

(8) y x z = ，
x z ∂∂ = 。

2、选择题
（1）二元函数的几何图形一般是（ ）
A. 一条曲线
B. 一个曲面
C. 一个平面区域
D. 一个空间区域
（2） 函数222211arcsin y x y
x z --++=的定义域为（ ） A. 空集 B. 圆域 C. 圆周 D. 一个点
（3）设,xy z =则=∂∂)
0,0(x z （ ） A. 0 B. 不存在 C. 1- D. 1
（4）二元函数221y x z +-=的极大值点是（ ）
A. ()1,1
B. ()1,0
C. ()0,1
D. ()0,0
3、求下列函数的一阶偏导数
（1）设()22,y x y x y x f +-
+=，求()4,3x f '，()4,3y f '。

（2） 13
3+-=x y y x z （3）2
22y x xy
z +=
（4） y
xy z )1(+=
（5）)ln(y x x z +=
4、求下列函数的所有二阶偏导数 （1）()y x e z x
+=sin
（2）234
2
3
+++=y y x x z
（3）()y x z -=arctan
5、求下列函数的全微分 （1）y
x z arcsin =
（2）1322
2++-=y xy x z （3）x
y z sin =
6、求下列函数的
y
z x z ∂∂∂∂, （1）x y v y x u v
u
z cos ,cos ,===
（2）y x v y
x
u v u z 23,,ln 2
-===
7、设y x z sin =，其中3
,2t y t x ==，求dt
dz 。

8、求下列函数的极值 （1）()1,2
2
+-=x y y x f
（2）()y x y xy x y x f z +-+-==2,2
2
9、要造一个容积等于定数V 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。

高等数学作业题（五）
第八章 二重积分
1、改变下列二次积分的次序： （1）
⎰
⎰
--210
1
1
),(x dy y x f dx
（2）⎰
⎰
x e
dy y x f dx ln 0
1
),(
（3）⎰
⎰⎰⎰-+x x dy y x f dx dy y x f dx 20
21
10
),(),(
（4）⎰⎰⎰⎰
+y dx y x f dy dx y x f dy 11
1
2
121
21
),(),(
（5）⎰
⎰
--y y dx y x f dy 212
2
),(
2、计算⎰⎰
+D
dxdy y x )(2
，其中D 是由x y x y ==22,所围成的区域
4、⎰⎰+D
dxdy y x )(22，其中D 是由x y x y x x 2,,1,0====所围成的区域 5、⎰⎰-D
y dxdy e x 2
2，D ：0=x ，1=y ，x y =所围成的区域。

6、⎰
⎰60
6
cos π
π
y dx x
x
dy
7、⎰⎰
D
ydxdy ，D 为圆2
22a y x =+所围的在第一象限中的区域。

8、⎰⎰+D
dxdy y x )cos(，D 由0,1,===x y x y 围成区域
9、计算σd y x D
⎰⎰
2
2
， D 为2,==x x y 及曲线1=xy 所围成。

第九章 微分方程及其应用
1、填空题
（1）微分方程04)(6
'
5
3
=++''x y y y x 的阶数为（ ） （2）过点(2,3)且斜率为2
x 的曲线方程为（ ）
（3）0422=-x dt
x
d 的特征方程为（ ）
２、选择题
（1）若曲线上任一点切线的斜率与切点横坐标成正比，则这条曲线是（ ） A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线 （2）微分方程⎩⎨⎧==+0
)1(3
'y y xy 的解是（ ）
A ． )11(3x
y -
= B. )1(3x y -= C. x y 1
1-= D.x y -=1
(3) 微分方程xdx dy 2=的解是（ ）
A 、x y 2=
B 、x y 2-=
C 、2x y =
D 、x y -= (4) 方程02=-'y y 的通解是（ ）
A x y sin =
B x e y 24=
C x ce y 2=
D x e y = ３、求下列微分方程的解
（1）0sin sin cos cos =+ydy x ydx x
（2）1,0
2'
===-x x
y y
e y
（3）e y y y x y x ===2
,ln sin '
π
(4) x
e y y -=+'
(5) 2x y dx
dy
x =-
(6) 044'
'=+'-y y y
(7) 012'
''=-+y y y
（8）1,sin ==+=π
x y x x
y
dx dy
（9）x
e x x y 2'''sin -=
（10）5)0(,0)0(,043'
'
'
'-===--y y y y y
４、求一曲线，这曲线过点（0，1），且它在点(,)x y 处的切线斜率等于y x -。

5、试求x y =''过点（0，1），且在此点与直线12
+=x
y 相切的积分曲线
6、一曲线通过点)3,2(，它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点所平分，求这条曲线。

7、在理想情况下，人口变更的规律是：在任何时间，人口增长率与人口数成正比。

若一城市人口在1960年为10000，在1970年为12000，求1980年的人口数。

东北农业大学网络教育学院 高等数学参考答案（09最新）
第一章 函数
1、填空题 (1)[)(]2,11,2Y - 二、选择题 (1)（B ） (2)（D ）
3、解：1
20
201<≤-⇒⎩⎨⎧≥+>-x x x
4、解：
x
f x f ∆-∆+)
2()2(
()[]x x
x x ∆+=∆+--+∆+-∆+=
3)
122(1)2(22
2
5、解：设池底半径为x 米，总造价为y 元
)2250
22
2r r
a r a y πππ⋅+
= )250
(2r
r a +
=π，0>r 6、解：设圆锥体积为V ，圆形铁片半径为R ，则
圆锥底面半径πα2R r =，高2
2
222⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=παR R r R h
所以圆锥体积222
2
3242431αππαπ-=
=R h r V ，)2,0(πα∈
第二章 极限与连续
1、填空题
（1） 3-=x （2） 一 （3） 水平 （4） 无穷小 （5） 同阶
（6） 2
e
（7） 无限增大 (或∞→) （8） 0 （9） x 3sin 9- (10) 2
1-e
2、选择题
（1） A （2） B （3） D （4） D （5） D （6） A （7） C （8） D （9） D （10） C （11） C （12） B （13） C （14） B (15) C (16) B (17) B (18) B 3、计算
（1） 解：112lim 221-+-→x x x x （２） 解：4
58
6lim 221+-+-→x x x x x 11lim
1+-=→x x x 12
lim 1--=→x x x
0= ∞=
（３） （4）
解： x
x x x ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+∞→11lim 解：x x x 23tan lim 0→ 1
221121lim -⋅-∞→⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+=x x
x x x 2
e = x x x 23lim
0→= 2
3=
（5）2
)
2
1(lim -∞
→-x x x
（6）224sin lim
-+>-x x
x
解：2
21lim -∞
→⎪
⎭
⎫
⎝⎛-x x x 解：2
24sin lim
-+→x x
x
()x
x x x x 22221lim --⋅-∞→⎪⎭⎫ ⎝
⎛-= (
)
x
x x x 2
24sin lim
++⋅
=→
2-=e (
)
x
x x x 2
24lim
++⋅
=→
28=
（7）)1
211(
lim 21
---→x x x （8）2cos lim x x x ∞→
解：⎪⎭⎫
⎝
⎛---→1211
lim 21x x x 当∞→x 时，012→x ，是无穷小量
()()
112
1lim
1-+-+=→x x x x 1cos ≤x ，x cos 为有界函数
2
1
11lim
1=+=→x x Θ有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小
∴0cos lim 2
=∞→x x
x
（9）)12
1(lim 1--→x x （10）x x x x x 5sin 2sin lim
0+-→ 解：⎪
⎭⎫ ⎝⎛--
→121lim 1
x x 解：x
x x
x x 5sin 2sin lim 0+-→ 12lim
11--=→x x x
x
x x
o x 5sin 12sin 1lim +
-
=→ ∞= ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
→→x x x x o x o x 5sin 1lim 2sin 1lim
6
1
5121-=+-=
（11）1
31
0)2
1(lim -→-x x x （12）13lim 242
+-+∞→x x x x x
解：1310
21lim -→⎪
⎭
⎫
⎝⎛-x
x x 解：1
3lim 242+-+∞→x x x
x x
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-→⎪⎭⎫ ⎝⎛-
=131220
21lim x x x x x 2
2/13/11lim
x x x
x +-+=∞→
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⋅-→⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
=26120
21lim x x x x 0=
6
1-=e
（13）)1311(lim 31x x x ---→ （14）1
214lim -∞→⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-x x x x
解：⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x 解：1
214lim -∞→⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-x x x x
()()
22
11131lim
x x x x x x ++--++=→ ()1
12551151lim +--⋅
+-
∞→⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-=x x x x x
12
lim 21+++-
=→x x x x 1-= 10
-=e
（15）x x x x sin 1sin
lim
20→ （16）x x x arctan lim ∞→ 解：x x x x sin 1sin
lim
20→ 解：x x x arctan lim ∞→
x x x x x x 1sin lim sin lim 00→→⋅= 当∞→x 时，0
1
→x
x x x 1sin lim 0→= 2arctan π
≤x ，x arctan 为有界函数
当0→x 时，x 为无穷小，
因此0arctan lim =∞→x
x
x
11sin
≤x ，x
1
sin 为有界函数 因此01sin lim sin 1
sin
lim
020==→→x
x x x x x x
4、求下列函数的间断点，并指出其类型。

(1) 解：函数231
2
+--=x x x y 在2,1==x x 处无定义，必为间断点。

由于12
1
lim 231lim 121-=-=+--→→x x x x x x ，故1=x 为可去间断点，属于第一类间断点。

由于∞=-=+--→→2
1
lim 231lim 222x x x x x x ，故2=x 为无穷间断点，属于第二类间断点。

（2） 解：函数x
y 1
cos
=在0=x 无定义，必为间断点。

x x 1cos lim 0+→，x x 1cos lim 0-→均不存在，0=∴x 是函数x
y 1
cos =的振荡间断点,属于第二类 间断点。

(3) 解：()()()()
1
11111232++-+-=
--=x x x x x x x y 函数1
1
32--=x x y 在1=x 无定义，必为间断点
()()
3
211lim 11
lim 21321=+++=--→→x x x x x x x
1=∴x 是函数1
1
3
2--=x x y 的可去间断点，属于第一类间断点。

由于011lim 1
1
=--→+
x x x e
，111lim 1
1
=--→-
x x x e
1=∴x 是函数的跳跃间断点，属于第一类间断点。

5、x x f 1)(=
，求x
x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0
解：()()()20001
1lim 1
1lim lim
x
x x x x x x x x x f x x f x x x -=∆+-=∆-
∆+=∆-∆+→∆→∆→∆
第三章 导数与微分
1、 填空题 （1）)1,1(- （2） 3
4
31--
=x y （3） 可导 （4） 24 （5） )12(4+x （6）)13(6+x （7）
dx x
x
2
22+ （8）99
)50(100+='x y （9）2='y （10）dx x
x
dy 2
22+= 2、选择题 （1） B （2） C (3) B (4) D
（5） B （6） B (7) D
3、求下列函数的导数
dx
dy （1） 解：32
878
31
18cos )1ln(sin x x x x x x y +
+++-=' （2）解：2
2
11cos x x x y ++=
'
（3）解： x
x
x x x
x y cos cos 2sin +
+=' x x ln sin - （4） 解：2
)
1(sin 3cos sin cos 2x x x e x
e x e x x y +-+-=' （5）)(sec ln 2
x y = （6）2
2
1x
a y -=
，()
a x <
解：)ln(sec tan 2x x y =' 解：3
22)
(x a x y -=
'
（7） ()2
1arccos x y -= （8）x
e
y 1sec 2
-=
解：4)
1(1)
1(2x x y ---=' 解：x
e x x x y 1
sec 2221tan )1(sec 12-='
(9) )1ln(sin x
y = (10) x y 31arcsin += 解：x x y 1cot 12
-
=' 解：)
31(323
x x y +-='
(11)a y x =+，求dx dy (12) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=t
y t
x 11 , 求dx dy
解：两边对x 求导数得： 解：
t
t
t d t d dx dy -+-
=+-=1111 02121='+
y y
x
解得x
a x
x a x
y y -
=--
=-
='1 从而，x
x a
x a y 2)1(=
'-
=' （13）cos sin x a t y b t
=⎧⎨=⎩,求。

dx dy (14) 0233
=+-x y y
解：
t a
b
x da t db dx dy cot cos sin -== 解：两边对x 求导数得; 02332
=+'-'y y y
解得，2
332
y
y -=
' (15) x
x y sin )
(tan =
解：两边取对数得：
x x y tan ln sin ln =
两边对x 求导数得：
x
x x x x y y tan )(tan sin tan ln cos '+=' 解得，x
x x x x y sin ))(tan sec tan ln (cos +='
（16）
2
623t t
dx dy -=
（17）
236)23()23(62+=++=x x x dx dy （18）
223143)31()43(t
t dt t dt t dx dy --=--= 4、求下列函数的微分
（1）5555++=x x y （2）x
x
y sin 1cos 1+-=
解：dx x x
dy x
)5ln 551
(254-= 解：dx x x dy '
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=sin 1cos 1 dx x x x 2
)
sin 1(1
cos sin ++-=
（3）解：dx x x dy 2
33
2
-= 5、求下列函数的二阶导数
x
d y d 2
2
（1） 解：x dx
dy x
22ln 2+= 2)2(ln 2222+=x dx y d
（2）解：2
2
2
2
211112211)1(x
x
x x x x
x x x y +=
++++=
++'++=
'
3
2)
1(x x y +-
=''
6、解：
2))
1(ln()arctan (2t
t d t t d dx dy =+-= 7、 解：
y p dx dy =,1)2
(='p
y 切线方程为：2p
x y +
= 法线方程为：p x y 2
3
+-=
第四章中值定理与导数应用
１、填空题
(1) )0,1(-；),0(+∞ （2）b a = （3） 0 (4) 下 ２、选择题
（1）D (2) B (3) A （4）A （5）C （6）C （7）D 3、求极限
(1) 解：133
22
lim 0==+→x
x x
(2) 解： (3) 解：
1
tan sin lim cot csc 1
lim csc ln lim
ln sin lim 00
00=====-
-
+
→+→+→+
→x x
x
x x x x x x
x x x x x e
e
e
e 2
101lim
2
x e x x →=)1
()1(
lim 221
02
''=→x x e x x ∞=
(4) 解： (5) 解：
1
sin tan lim 1)csc (cot 1
lim
ln cot ln lim
20200--
-====+
→+
→+→e e
e e
x
x x x x x x x x x x x
x x 1arctan 2
lim -=+∞
→π
2
2
111lim
x
x x -+-
=+∞
→1=
（6）解：
212cos lim sec tan 2sin lim
32=-=⋅-=→→x x
x x x x ππ （7） 解： （8）解：
!lim )1(lim lim 22
1===-==+∞→-+∞→-+∞→x n x x n x x n x e n e x n n e nx λλλλλλΛ 1
sin 1
1sin 11lim
=-+=+∞→x
x
x
x x (9) 解： （10）解：
111
lim )1~1(11lim 1
1
==--=∞→∞→x x x e x
e x x x
x 其中 1
11
1lim cot 1lim
2
2
=+-
-==+∞→+∞→x x x arc x x x
4、解:函数3
2
3x x y -=的定义域是()+∞∞-,
)2(3362--=-='x x x x y ,令0='y ,求得驻点为2,0==x x
,0),0,(<'-∞∈y x 函数单调递减 ,0),2,0(>'∈y x 函数单调递增 ,0),,2(<'+∞∈y x 函数单调递减
5、解：bx ax y 232
+='，b ax y 26+=''
因为点)3,1(是曲线的拐点，而且曲线无y ''无意义的点
所以⎩⎨
⎧=''=0)1(3)1(y y ，即⎩⎨⎧=+=+0
263
b a b a
所以⎪⎩
⎪⎨
⎧=
-=2923b a 6、解：函数x x y -=arctan 的定义域是()+∞∞-,
2
2
1x
x y +-='，令0='y ，求得驻点为0=x 0),0,(<'-∞∈y x ，函数单调递减 0),,0(<'+∞∈y x ，函数单调递减
所以在()+∞∞-,上函数单调递减，无极值 7、解:函数2
3
32x x y -=的定义域是()+∞∞-,
)1(6662-=-='x x x x y ,令0='y ,求得驻点为1,0==x x
,0),0,(>'-∞∈y x 函数单调递增 ,0),1,0(<'∈y x 函数单调递减 ,0),,1(>'+∞∈y x 函数单调递增
0=x 是极大值点，极大值为0)0(=y 1=x 是极小值点，极小值为1)1(-=y
8、解：函数5533
2
++-=x x x y 的定义域是()+∞∞-,
23103x x y +-=',106-=''x y
令0=''y ,求得35=
x ，27
20)35(=f ,0),35
,(<''-∞∈y x 曲线是凸的
,0),,3
5
(>''+∞∈y x 曲线是凹的
拐点是)27
20
,
35( 9、解：1
443
+='x x y ，令0='y ，求得驻点为0=x
17ln )2(,2ln )1(,0)0(==-=y y y
所以最大值是17ln )2(=y ，最小值是0)0(=y 10、解：b ax x y ++='232
，a x y 26+=''
因为函数有拐点)1,1(-，所以⎩⎨⎧-==''1)1(0)1(y y ，即⎩⎨⎧-=+++=+1
10
26c b a a
因为在0=x 处有极大值1，所以0)0(='y ，即0=b ，带入上式得
⎪⎩
⎪
⎨⎧==-=103
c b a 11、定义域为),(+∞-∞
0,2,0)2(3362===-=-='x x x x x x y
)(,0),0,(x f y <'-∞为单调减函数 )(,0),2,0(x f y >'为单调增函数 )(,0),,2(x f y <'+∞为单调减函数
12、解：设宽为x 米，则长为（x 220-）米，
面积 x x x x x S 202)220()(2
+-=-=，)10,0(∈x
204)(+-='x x S ，令0)(='x S ，驻点为5=x
04)5(<-=''S ，开区间内唯一驻点取得最大值，此时小屋的长为10
5米。

13、解：根据题意可知，容积2
)22(x a x V -=，),0(a x ∈
)22)(62()(x a x a x V --='，令0)(='x V ，求得驻点为3
a
x =
，a x =（舍去） 3a x =是开区间内唯一驻点，由实际问题可知容积有最大值，所以在边长3
a x =时
容积最大。

14、解：设底边长为x x 2,。

高为h
0)3(,3,0)(,0216
821642722227224272,72222
2
222
>''=='=-
='+=⨯⨯+⨯+===⨯⨯s x x s x
x s x x x x x x x s x h h x x
所以x=3时取最小值，各边长分别为3，4，6
第五章 积分
1、填空题
（1）)12sin(2+-x （2）0 （3）
x
e 22
1 (4) 0 (5) x 2sin 2
1 (6) 0 （7）)(214
e e -
2、（1） B （2） C （3） A （4） C
（6） A (7) A (8) A (9) C
3、（1）
()⎰dx x 3
cos ⎰-=x d x sin )sin
1(2
C x x +-=3sin 3
1
sin
（2）dt t
t ⎰
sin t d t ⎰=sin 2C t +-=cos 2
（3）
⎰+
dx x
x 1⎰
++=)1(112x d x
C x ++=)1ln(2
（4）21x x
e dx e
+⎰⎰+=2)(1x x
e de C e x +=arctan （5）⎰dx x x 2ln ⎰=x xd ln ln 2C x +=3ln 31
（6）⎰++dx x x 123t x =+12⎰+dt t )5(212
C t t ++=256312+=x t C x x ++++1225)12(613
（7）⎰dx x sin t x =⎰tdt t sin 2⎰-=t td cos 2C t t t ++-=sin 2cos 2x t =C x x x ++-sin 2cos 2
（8）
212t x t dx tdt =
=-=
222()1)t t t t
e tdt tde te e C C ===-++⎰⎰⎰
（9）2
2
2
2
2
ln ln ln ln 2ln ln 2(ln ln )xdx x x xd x x x xdx x x x x xd x =-=-=--⎰
⎰
⎰
⎰
2ln 2ln 2x x x x x C =-++
（10）⎰xdx x arctan 222221arctan (arctan )arctan 22221x x x x x d x x dx x
=-=-⋅+⎰⎰ 222111arctan (1)arctan (arctan )22122
x x x dx x x x C x =-⋅-=--++⎰ （11）22
111
sin (1cos 2)(sin 2)2222
x x xdx x x dx xd x =-=-⎰⎰⎰
22111
(sin 2sin 2)(sin 2cos 2)44442
x x x x xdx x x x C =--=-++⎰ （12）3222
22
22111()(1)ln(1)1122122
x x x x dx x dx d x x C x x x =-=-+=-+++++⎰⎰⎰ （13
）
t x =3 dt t t
⎰--+)(32
5
C t t +--=--1434
33
x t =C x x +----31
34343
（14）dx x x ⎰⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+
+22
13
11C x x ++=arcsin 3arctan （15）3x x e dx ⎰
⎰=dx e x
)3(C e x
x ++=3
ln 13
(16)
33
221111(32)(32)|233
x x =--=--=
(17) 2
22
000cos 1(1sin )ln(1sin )|ln 21sin 1sin x dx d x x x x
π
ππ
=+=+=++⎰⎰ (18)
令t =
1
1
100
1
222()|2t
t t t te dt te dt te e =-==-=⎰⎰⎰
(19)
2220
2
2
sin 2sin π
π
π
π
π-
-
==⎰⎰⎰
4
2cos 3
x =-=
(20)
111
ln ln ||1e
e e
xdx x x x =-=⎰
（21）
dx x
x ⎰
+21
2)1(3222
1211129(2)(2)|36x x dx x x x =++=-+=⎰
（22）dx x ⎰
-20
12212
12
0101
(1)(1)()|()|122
x x x dx x dx x x =-+-=-+-=⎰⎰
（23）原式=
3
1
)1(3
1
)21)(1(11
2
3221
2=
--=---⎰
x x d x 4、 （1
）
11
+∞+∞
==+∞⎰
广义积分发散 （2）
2222000
0111(|)|244
x x x x xe dx xe e dx e +∞+∞--+∞--+∞
=--=-=⎰
⎰
（3）
dx x
e x
⎰
∞+-
00
022|2e e +∞
+∞
==-=⎰
（4）
⎰+∞
∞-++dx x x 841222
112()2(2)422()1
2
dx x d x x +∞+∞-∞-∞+==++++⎰⎰ 12(arctan )|222
x π+∞-∞+==
第六章 定积分的应用
１、解：因为x y 2='，所以1)2
1
(='y ，
抛物线2
x y =在点)4
1,21(处的法线方程为
)21)(1(41--=-
x y ，即4
3+-=x y 求得抛物线与其法线的交点为)41
,21(),49,23(-，
图形面积⎰
-=-+
-=
212
323
4)43(dx x x S 2、解：求得交点为)8,2(
绕x 轴旋转所产生的旋转体的体积为
⎰=
=2
67
128ππdx x V x 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为
⎰=
-⋅⋅=8
3
22
5
6482π
ππdx y V y 3、解：求得交点)2,1(),2,1(-
3
8328)2(22
-=-
=⎰dy y y S
4、
解：求得交点为)1,1(),0,0(
⎰=
-=1
4215
2)(ππdy y y V y
第七章 多元函数微分学
1、填空题
（1）(){}
x y x y x <<-,
（2）母线为z 轴，224
0x y z ⎧+=⎨=⎩
为准线的圆柱面
（3）()2
1y x +-
（4）()()dy e dx e +++12 （5）极大值，极小值； (6)
x x y
z
y ln =∂∂ (7)
1-=∂∂y yx x
z
2、选择
（1）B （2）C （3）B （4）D 3、（1）()2
21,y x x y x f x +-
='，()5
2
4,3=
'x f ，()2
21,y x y y x f y +-='，()5
14,3=
'x f （2）
23323,3xy x y
z
y y x x z -=∂∂-=∂∂ (3) ()()()()2
2222222222,2y x y x x y z y x x y y x z +-=
∂∂+-=∂∂ (4)
()()()()()xy
x y xy xy y z xy x y xy y z z xy y z xy y x
z y
y +⋅
+++=∂∂∴+⋅++=∂∂⋅∴+=+=∂∂-11ln 111ln 11ln ln ,11
Θ
(5)
()y
x x y z y x x y x x z +=∂∂+++=∂∂,ln 4、（1）因为
()()()y x e y
z
y x e y x e x z x x x +=∂∂+++=∂∂cos ,cos sin 所以 ()()y x e y
z
y x e x
z
x x +-=∂∂+=∂∂sin ,cos 22
222 ()()y x e y x e y x z x
x +-+=∂∂∂sin cos 2，()()y x e y x e x
y z x x +-+=∂∂∂sin cos 2 （2）x x
y z y x z y y z y x x z y x y z xy x x z 6,12,66,43,6322
22222322=∂∂∂=∂∂∂=∂∂+=∂∂+=∂∂+=∂∂ （3）()()()()()()222222
22222211,,,,1111x y x y z z z z x y x y x y x y x y x y ----∂∂-∂∂====∂∂∂∂+-+-⎡⎤⎡⎤+-+-⎣⎦⎣⎦
()()
[]
222212y x y x x y z y x z -+-=∂∂∂=∂∂∂ 5、（1）
y y x x
z
1112
⋅
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∂∂，⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂2211
y x y x y
z dy y x y x dx y x y dy y
z
dx x z dz 2
22
111⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∂∂+∂∂=
（2） （3）
y x x
z
34-=∂∂ , y x y z 23+-=∂∂ )1(cos ,
)(cos 2x x y y z x y x y x z =∂∂-=∂∂ dy y x dx y x dz )23()34(+-+-= dy x
y
x dx x y x y dz cos 1cos 2+-
= 6、（1）
()x y x y x x y y x y v u y v x v v z x u u z x z 22cos sin cos cos cos sin cos 1+=-⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ ()x y y x x y y x x v u y x v y v v z y u u z y z cos cos cos sin cos sin 122--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ （2）)
23(3)23ln(231ln 22
222y x y x y x y x v u y v u x v v z x u u z x z -+-=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂
)
23(2)23ln(2)2()(ln 22
2
3222y x y x y x y x v u y x v u y v v z y u u z y z ----=-⋅+-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 7、 解：
3
332333
cos 6sin 2)3(cos 2sin 2sin 2t t t t t t t dt
dz t t z +=⋅+== 8、（1）()()⇒⎩⎨
⎧===-=0
2,0
2,y y x f x y x f y x 驻点()0,0，()()()2,,0,,2,==-=y x f y x f y x f yy xy xx
在()0,0处，042
<-=-B AC ，于是此函数不存在极值。

（2）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=∂∂=--=∂∂012022y x y
z
y x x
z
, 得驻点()0,1 2,1,2=-==yy xy xx f f f
故在点()0,1处，02,052
>=>=-A B AC
故函数),(y x f 在点()0,1处有极小值，极小值为121)0,1(-=-=f 9、解：设长方体的长，宽，高分别为z y x ,, 依题意，xy
V
z V xyz =
⇒= x
V y V xy yz xz xy S 22)(2++
=++= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-=∂∂0
20222y V x y
S x V y x
S
， 求得驻点)2,2(33V V ，因驻点唯一，故当32V y x ==，3
4
V
z =时，表面积最小
第八章 二重积分
1、改变下列二次积分的次序：
（1）⎰
⎰=e e y
dx y x f dy ),(10
（2）⎰
⎰
---=22
1110
),(y y dx y x f dy
（3）⎰
⎰
-=
y y dx y x f dy 210
),(
（4）⎰⎰
=x dy y x f dx 10
20
),(
（5）=
⎰
⎰⎰⎰
---+x x
x x
dy y x f dx dy y x f dx 2411
),(),(
2、 解：
140
33)()(22
10
2
=+=+⎰⎰⎰⎰dx y x dy dxdy y x y
y
D
3、解：
=+⎰⎰D
dxdy y x )6(6
13213)6(3
πππ==+⎰
⎰⎰
ydy dx y x dy y
4、解：
⎰⎰+D
dxdy y x )(2
2
6
5
310)(1
0322
210
==+=⎰
⎰⎰dx x dy y x dx x
x
5、解：
⎰⎰
-D
y
dxdy e x 2
2⎰⎰⎰⎰----===1
21
030
210222
6131y y y
y de y dy e y dx e x dy )21(6
1616
1
1
10210
222----=+
-=⎰e dy e e y y y
6、解：
2
1
cos cos cos 606006
6
===⎰⎰⎰⎰
⎰π
π
ππ
xdx dy x x dx dx x x dy x y
7、解：
⎰⎰D
ydxdy 30220
3
1
)(212
2a dx x a ydy dx a
a
x a =-==⎰
⎰⎰
- 8、解：
⎰⎰+D
dxdy y x )cos(21
1cos 2cos 21)sin 2(sin )cos(1
001
0-+-=-=+=⎰⎰⎰dy y y dx y x dy y
9、求交点，⎩⎨
⎧==1
xy x
y 1x =
⎰⎰⎰
⎰=+-=-=213
x
x
12122
1
x
x
1
2249dx )x x (x )y x (y y
x x d d d 10、12
1)2()1()1(1
321
1
22-
=--=-=-⎰⎰⎰
⎰dx x x x dx y x dy x dx x x
x
x
第九章 微分方程及其应用
1、填空题
（1） 2 （2） 3
1313+=
x y （3） 042
=-λ ２、选择题
（1） B （2） A (3) C (4) C
３、求下列微分方程的解
（1）解：分离变量得xdx ydy cot tan -= 两边积分得⎰⎰
-=xdx ydy cot tan 从而)sin arccos(x C y =
（2）解：分离变量得
x
y e dx
e dy 2=
两边积分得⎰⎰=x y e
dx e dy 2，解得)21ln(2C e y x
+-=-
又由1)0(=y 得211
+=-e C ，从而)2
121ln(12-+-=--e e y x 。

（3）解：分离变量得
x
dx y y dy sin ln =， (4) 解：原方程对应的齐次方程为0=+'y y ， 两边积分得
⎰
⎰=x dx y y dy sin ln 分离变量得dx y
dy
=-，解得x Ce y -=。

解得2
tan
x C e
y =，又由e y =)2
(π
得1=C ， 设原方程的解为x
e
x h y -=)(，
从而原方程的特解为2
tan
x e
y = 代入原方程得
x x e y e x h dx
d
--=+))((， 解得x
e
C x y -+=)(。

(5)解：原方程对应的齐次方程为0=-y dx
dy
x ， 分离变量得
x
dx y dy =，解得Cx y =。

设原方程的解为x x h y )(=，。