机械振动理论中的一些原理问答

1.请指出弹簧的串、并联组合方式的计算方法。确定弹性元件的组合方式是串联还是并联的方法是什么？对两种组合方式分别加以说明。

答：n 个刚度为i k 的弹簧串联，等效刚度∑==n

i i

eq k k 11

1；n 个刚度为i k 的弹簧

并联的等效刚度为∑==n

i i eq k k 1

；并联弹簧的刚度较各组成弹簧“硬”，串联弹簧较

其任何一个组成弹“簧软”。

确定弹性元件是串联还是并联的方法：若弹性元件是共位移——端部位移相等，则为并联关系；若弹性元件是共力——受力相等，则为串联关系。

2.非粘性阻尼包括哪几种？它们的计算公式分别是什么？ 答:非粘性阻尼包括：

（1）库仑阻尼计算公式⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅=.sgn -x mg F e μ，其中，sgn 为符号函数，这里

定义为)

()()(sgn t x t x x ∙

∙

∙

=

，须注意，当0)(x =∙

t 时，库仑阻尼力是不定的，它取决

于合外力的大小，而方向与之相反；

（2）流体阻尼计算公式：是当物体以较大速度在粘性较小的流体（如空气、

液体）中运动是，由流体介质所产生的阻尼，计算公式为⎪⎭

⎫

⎝⎛-=∙∙x x F n sgn 2

γ；

（3）结构阻尼：由材料内部摩擦所产生的阻尼，计算公式为2

X E s α=∆ 3.单自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程是什么？其自然频率、振幅、初相角的计算公式分别是什么？

答：单自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程()0=+∙

∙t kx x m ； 自然频率：m

k f n n ππω21

2==

； 振幅：2

02

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=n

v x X ω；

初相角：0

x v arcran

n ωϕ=。 4.对于单自由度无阻尼系统自由振动，确定自然频率的方法有哪几种？具体过程是什么？

答：单自由度无阻尼系统自由振动，确定自然频率的方法：

（1）静变形法：该方法不需要到处系统的运动微分方程，只需根据静变形的关系就可以确定出固有频率具体如下：mg k st =δ，又m

k

n =

ω，将这两个式子联立即可求得st

n g

δω=

；

（2）能量法，该方法又可以分为三种思路来求自然频率。

A ：用能量法确定运动微分方程，然后根据运动微分方程来求自然频率。无阻尼系统满足能量守恒定律，因此有常数==+E V T ，对该式进行求导可得

()0dt dE =+=V T dt d

根据此式即可导出运动微分方程，其中T 为质的动能，V 为弹簧的势能。

B ：用能量法直接确定固有频率：其原理是依据系统在任意时刻的能量和（势能，动能和）相等，因此取两个特殊时刻静平衡位置（动能达到最大值m ax T ）和最大位移处（势能达到最大m ax V ），可得m ax T =m ax V 该方法不用导出系统运动微分方程，因此对于复杂系统非常有效。

C ：用能量法计算弹簧的等效质量，该方法利用弹簧的分布质量对系统振动频率的影响加以估计，从而得出较准确的频率值。3

'

m m k

n +=ω其中'm 为弹簧的质量。

5.对于单自由度有阻尼系统自由振动，其运动微分方程是什么？对无阻尼、小阻尼、过阻尼、临界阻尼的情况分别加以介绍。对于小阻尼情况，其阻尼自然频率、振幅、初相角的计算公式是什么？

答：单自由度有阻尼系统自由振动，其运动微分方程是

()()()0=++∙∙∙t kx t x c t x m 或()()()022

=++∙

∙∙t x t x t x n n ωξω。

无阻尼： 0=ξ，此时运动微分方程的特征方程的特征根为虚数，此时系统运动微分方程的解为：()()ϕω-=n X t x cos 其中，X 、ϕ由初始条件确定此时特征根在复平面虚轴上，且处于原点对称的位置，此时，()t x 为等幅振动。

小阻尼：（10<<ξ），此时运动微分方程的解为：()()ϕωξω-=-t Xe t x d t n cos ， 其中n d ωξω21-=为有阻尼自然

()2

2

002

0d

n x v x X ωξω++

=，

d

n x x v ωξωϕ00

0arctan

+=

系统的特征根为共轭复数，具有负实部，分别位于复平面左半面与实轴对称的位置上；

有阻尼系统的自由振动是一种减幅振动，其振幅按指数规律衰减，阻尼率ξ越大，振幅衰减的越快；

特征根的虚部的取值决定了自由振动的频率，阻尼系统的自然频率完全有系统本身的特性决定。初始条件0x 与0v 只影响有阻尼自由振动的初始幅值与初相角。

过阻尼：（1>ξ）()t s t s e X e X t x 2121+=，式中，1X 、2X 为由初始条件确定的常数，特征根为负实数，位于复平面的实轴上这时系统不产生振动很快就趋近平衡位置。

临界阻尼（1=ξ），此时系统微分方程的解为：()()[]t x v x e t x n t n 000ωω++=- 临界阻尼mk c 20=，临界阻尼率0c c =ξ。

6.对数衰减率的定义是什么？如何运用对数衰减率计算阻尼率？ 答：对数衰减率2

21122ln ln ξ

πξωπ

ξωδ-=

=-=d

n

A A 。其中1A 、2A 为间隔j

个周期T 的振动位移的两个峰值，利用测得的峰值按公式()()

jT t x t x j i i +=

ln 1

δ可以