机械振动理论中的一些原理问答

1.请指出弹簧的串、并联组合方式的计算方法。

确定弹性元件的组合方式是串联还是并联的方法是什么？对两种组合方式分别加以说明。

答：n 个刚度为i k 的弹簧串联，等效刚度∑==ni ieq k k 111；n 个刚度为i k 的弹簧并联的等效刚度为∑==ni i eq k k 1；并联弹簧的刚度较各组成弹簧“硬”，串联弹簧较其任何一个组成弹“簧软”。

确定弹性元件是串联还是并联的方法：若弹性元件是共位移——端部位移相等，则为并联关系；若弹性元件是共力——受力相等，则为串联关系。

2.非粘性阻尼包括哪几种？它们的计算公式分别是什么？ 答:非粘性阻尼包括：（1）库仑阻尼计算公式⎪⎭⎫⎝⎛⋅=.sgn -x mg F e μ，其中，sgn 为符号函数，这里定义为)()()(sgn t x t x x ∙∙∙=，须注意，当0)(x =∙t 时，库仑阻尼力是不定的，它取决于合外力的大小，而方向与之相反；（2）流体阻尼计算公式：是当物体以较大速度在粘性较小的流体（如空气、液体）中运动是，由流体介质所产生的阻尼，计算公式为⎪⎭⎫⎝⎛-=∙∙x x F n sgn 2γ；（3）结构阻尼：由材料内部摩擦所产生的阻尼，计算公式为2X E s α=∆ 3.单自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程是什么？其自然频率、振幅、初相角的计算公式分别是什么？答：单自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程()0=+∙∙t kx x m ； 自然频率：mk f n n ππω212==； 振幅：202⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nv x X ω；初相角：0x v arcrann ωϕ=。

4.对于单自由度无阻尼系统自由振动，确定自然频率的方法有哪几种？具体过程是什么？答：单自由度无阻尼系统自由振动，确定自然频率的方法：（1）静变形法：该方法不需要到处系统的运动微分方程，只需根据静变形的关系就可以确定出固有频率具体如下：mg k st =δ，又mkn =ω，将这两个式子联立即可求得stn gδω=；（2）能量法，该方法又可以分为三种思路来求自然频率。

A ：用能量法确定运动微分方程，然后根据运动微分方程来求自然频率。

无阻尼系统满足能量守恒定律，因此有常数==+E V T ，对该式进行求导可得()0dt dE =+=V T dt d根据此式即可导出运动微分方程，其中T 为质的动能，V 为弹簧的势能。

B ：用能量法直接确定固有频率：其原理是依据系统在任意时刻的能量和（势能，动能和）相等，因此取两个特殊时刻静平衡位置（动能达到最大值m ax T ）和最大位移处（势能达到最大m ax V ），可得m ax T =m ax V 该方法不用导出系统运动微分方程，因此对于复杂系统非常有效。

C ：用能量法计算弹簧的等效质量，该方法利用弹簧的分布质量对系统振动频率的影响加以估计，从而得出较准确的频率值。

3'm m kn +=ω其中'm 为弹簧的质量。

5.对于单自由度有阻尼系统自由振动，其运动微分方程是什么？对无阻尼、小阻尼、过阻尼、临界阻尼的情况分别加以介绍。

对于小阻尼情况，其阻尼自然频率、振幅、初相角的计算公式是什么？答：单自由度有阻尼系统自由振动，其运动微分方程是()()()0=++∙∙∙t kx t x c t x m 或()()()022=++∙∙∙t x t x t x n n ωξω。

无阻尼： 0=ξ，此时运动微分方程的特征方程的特征根为虚数，此时系统运动微分方程的解为：()()ϕω-=n X t x cos 其中，X 、ϕ由初始条件确定此时特征根在复平面虚轴上，且处于原点对称的位置，此时，()t x 为等幅振动。

小阻尼：（10<<ξ），此时运动微分方程的解为：()()ϕωξω-=-t Xe t x d t n cos ， 其中n d ωξω21-=为有阻尼自然()220020dn x v x X ωξω++=，dn x x v ωξωϕ000arctan+=系统的特征根为共轭复数，具有负实部，分别位于复平面左半面与实轴对称的位置上；有阻尼系统的自由振动是一种减幅振动，其振幅按指数规律衰减，阻尼率ξ越大，振幅衰减的越快；特征根的虚部的取值决定了自由振动的频率，阻尼系统的自然频率完全有系统本身的特性决定。

初始条件0x 与0v 只影响有阻尼自由振动的初始幅值与初相角。

过阻尼：（1>ξ）()t s t s e X e X t x 2121+=，式中，1X 、2X 为由初始条件确定的常数，特征根为负实数，位于复平面的实轴上这时系统不产生振动很快就趋近平衡位置。

临界阻尼（1=ξ），此时系统微分方程的解为：()()[]t x v x e t x n t n 000ωω++=- 临界阻尼mk c 20=，临界阻尼率0c c =ξ。

6.对数衰减率的定义是什么？如何运用对数衰减率计算阻尼率？ 答：对数衰减率221122ln ln ξπξωπξωδ-==-=dnA A 。

其中1A 、2A 为间隔j个周期T 的振动位移的两个峰值，利用测得的峰值按公式()()jT t x t x j i i +=ln 1δ可以求得δ，然后利用公式224δπδξ+=，当阻尼率ξ很小时12<<δ，与4π相比可以略去，故ξ的近似计算公式为πδξ2=。

7.对于谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动，其振幅和相位差的计算公式是什么？放大系数的定义是什么？幅频特性的定义是什么？幅频特性曲线的特性有哪些？幅频特性的极大值点和极大值是什么？答：谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动： 振幅()[]()22221nnAX ωξωωω+-=，相位差：212arctan n nωωωξϕ-=。

放大系数的定义：振幅X 与激励的幅值A 成比例，即()A H X ω=，()ωH 是无量纲的，()222211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=n nH ωωξωωω ，()ωH 表示动态振动的振幅X较静态位移A 放大的倍数，称为放大系数。

幅频特性：()ωH 与振幅X 之间仅差一个常数A ，因此，()ωH 描述了振幅与激励频率ω之间的函数关系，故又称()ωH 为系统的幅频特性。

幅频特性曲线的特性： (1)当0=ω时，()ωH =1，表明所有曲线从()ωH =1开始。

当激励频率很低，即n ωω<<时，()ωH 接近于1，说明低频激励时的振动幅值接近于静态位移。

这时的动态效应很小，强迫振动这一动态过程可以近似地用静变形过程来描述，1<<n ωω的这一频率范围又被称为“准静态区”或“刚度区”。

在这一区域内，振动系统的特性主要是弹性元件的作用结果。

(2)当激励频率ω很高1>>n ω时，()ωH <1，且∞→n ωω时，()0→ωH ，说明在高频率激励下，由于惯性的影响，系统来不及对高频做出响应，因而振幅很小。

因此，称为“惯性区”，这一区域内，振动系统的特性主要是质量元件作用的结果。

(3)在激励频率与固有频率相近的范围内，()ωH 曲线出现峰值，说明此时动态效应很大，振动幅值高出静态位移许多倍，当阻尼率较大时，()ωH 峰值较低，反之()ωH 的峰值较高。

因此，这一频率范围又被称为“阻尼区”这一区域内振动系统的特性主要是阻尼元件作用的结果，在此区域中，增大系统的阻尼对振动有很强的抑制效果。

(4)共振不发生在n ω处，而是发生在略低于n ω处，()ωH 的峰值点随ξ的增大而向低频方向移动。

当阻尼系数ξ<0.707时，系统不会出现共振，且动态位移比静态位移小。

(5)当ξ=0时，共振频率r ω等于自然频率n ω此时()∞=ωH 即振幅无穷大，这种情况下，共振振幅将随时间按线性关系增长。

复频特性的极大值点：221ξωω-=n r ，极大值：()2121ξξω-=r H 。

8.品质因数、半功率点、半功率带宽的定义是什么？如何运用半功率带宽计算系统的阻尼率？答：品质因数：ξω21≈=n H Q ； 复频特性曲线中，在峰值两边，()ωH 等于2Q的频率，1ω、2ω称为半功率点，1ω与2ω之间的频率范围12ωω-称为半功率带宽。

运用半功率带宽计算系统的阻尼率：利用()ωH 等于2Q 构建等式，结合半功率点，半功率带宽的性质，化简后可得 nωωωξ212-=。

通过激振实验得到()ωH 曲线，然后找出共振频率n r ωω=和半功率带宽()12ωω-带入上式即可求出阻尼率。

9.对于谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动，相频特性的特点是什么？Nyquist 图的特点是什么？答：相频特性的特点：（1）当ω=0时，()00=ϕ，即所有曲线从()00=ϕ开始。

当激励频率ω很低时，n ωω取值很小，()ωϕ接近于0，说明低频激励时振动位移()t x 与激励()t f 之间几乎是同相；（2）当n ωω>>时()ωϕπ→，即()t x 与()t f 的相位相反； （3）当n ωω≈时，()2πωϕ≈，这正是“阻尼区的特点。

Nyquist 图的特点：（1）()ωϕ的变化范围为π~0，所以单自由度系统的Nyquist 图位于复平面的下半平面；（2）随着阻尼率ξ的增大，Nyquist 曲线的“环”变小；（3）在共振区域附近，()ωH 取值很大，()ωϕ变化剧烈，故在Nyquist 图上，共振区域的描述更加清楚，而非共振区域则“缩”得很小，显然，这对于分析研究共振区域附近的特性是方便的。

10.对于谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动，库仑阻尼、流体阻尼、结构阻尼的等效阻尼系数的计算公式是什么？答：谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动 库伦阻尼：X mg c eq πωμ4=；流体阻尼：X c eq γωπ38=；结构阻尼：πωα=eq c 。

11.如何运用Fourier 级数分析法对周期激励下的强迫振动响应进行分析？其幅频响应、放大系数和相位差分别是什么？答：运用Fourier 级数分析法对周期激励下的强迫振动响应进行分析的方法： 将周期激励分解为基波及其高次谐波的组合，再将对这些谐波的响应进行叠加这就是Fourier 级数分析法。

基本步骤：将周期激励函数()t f 展开为Fourier 级数，然后根据叠加原理对基波和高次谐波的响应进行叠加：()()()()()()∑∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=∞======11010110000p t p i p p t p i p p tip p p tip p p p ppeX eA p H eA p H eX t x t x ϕωϕωωωωω复频响应：()()[]n n n nn p i p p i p p H ωωξωωωξωωωωω020202202112+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=；放大系数：()()[]()202200211n n p p p H ωωξωωω+-=；相位差：()()200012arctan n np p p p ωωωξωϕ-=；式中，n ω是单自由度系统的自然频率。