南开大学高等数学12极限共68页
高数期末考试试题
1. 请指出间断点的类型: x=0 是函数 f (x) sin 1 的 x
间断点.
2. lim(1 2)x = ________
x
x
3. 若 f (x) arctan(1 x2 ) ，则 f (x) ________
D
4. 若 f (arctant) 1 ，则 f ( )
t2 1
6
5. f(x)在 a 处可导,导数为 f’(a), 则 lim f (a 2h) f (a)
由
x
t ln(1 y t3 t2
t)
确定，求
dy dx
.
三、（10 分）求曲线 y x ln y 在点 (e 1,e) 处的切线方程.
四、（10 分）求函数 f (x) xx 在 (0,) 上的最小值.
五、（10 分）求曲线 ln(1 x2 ) 的凹凸区间和拐点. 六、（10 分）（10 分=5 2）求下列不定积分：
0,
x 0,
g(0) 1.
(1)求 f (x) ；
(2)讨论 f (x) 在 (,) 上的连续性.
九、（6 分）设函数 f (x) 在闭区间[1,1] 上具有连续的三阶导数，且 f (1) 0,
f (1) 1, f ' (0) 0. 求证：在开区间 (1,1) 内至少存在一点 , 使得 f ( ) 3.
证明存在, (a,b) ，使得
f '( ) 2
ln b
b2
a a2
f
' ( )
.
八、（6 分）设函数 f (x) 在 (, ) 上连续，函数(x) f (x) x f (t)dt 单调递减, 0
证明： f (x) 0, x (,) .
南开大学高等数学下册教材
南开大学高等数学下册教材南开大学高等数学下册教材是一本经典教材，为南开大学的学生提供了深入学习高等数学的机会。
本教材分为多个章节，涵盖了高等数学下册的重要内容。
下面将对本教材的主要章节进行简要介绍。
第一章：多元函数及其极限与连续本章主要介绍了多元函数的概念，以及多元函数的极限和连续。
其中，重点介绍了极限的定义及其相关性质，并讲解了多元函数的连续性及其应用。
第二章：偏导数与全微分该章节主要讨论了多元函数的偏导数及其计算方法，并引入了全微分的概念。
通过对偏导数与全微分的理解，学生可以进一步了解多元函数的变化规律与性质。
第三章：多元函数的一元极值与二元极值本章重点介绍了多元函数的一元极值和二元极值的概念及求解方法。
学生将学会如何通过导数和二阶偏导数来判断函数的极值，并应用到实际问题中。
第四章：多元函数的梯度与方向导数该章节深入讨论了多元函数的梯度和方向导数的概念。
学生将学会如何使用梯度和方向导数来描述函数在某一点上的变化规律，并掌握利用这些概念解决实际问题的方法。
第五章：重积分的概念与性质本章介绍了重积分的概念及其性质，包括累次积分、二重积分和三重积分的计算方法。
学生将学会如何使用重积分来计算曲面面积、体积等问题。
第六章：曲线与曲面积分该章节重点讲解了曲线积分和曲面积分的概念，并介绍了计算方法和应用场景。
学生将了解如何通过曲线积分和曲面积分来描述曲线和曲面上的物理量。
第七章：常微分方程本章主要介绍了常微分方程的基本概念、解法和应用。
学生将学习如何求解常微分方程，并理解常微分方程在物理、生物、经济等领域的应用。
通过学习南开大学高等数学下册教材，学生将掌握高等数学下册的基本理论和方法，培养解决实际问题的能力。
本教材内容丰富、知识点全面，是学习高等数学的重要参考资料。
希望广大南开大学的学生能够充分利用这本教材，努力提高数学水平，为将来的学习和研究奠定坚实基础。
南开大学用的高等数学教材
南开大学用的高等数学教材南开大学作为中国著名的综合性大学，其教材选用一直备受关注。
在高等数学教育方面，南开大学选择的教材更是备受期待。
本文将介绍南开大学用的高等数学教材，从内容、特点和优势等方面进行阐述。
一、教材内容南开大学选用的高等数学教材内容丰富、完整，包含了数学分析、线性代数、概率统计等多个重要分支，以及与其他学科的交叉应用等内容。
教材从基础概念出发，循序渐进地引导学生掌握高等数学的核心思想和方法。
1. 数学分析数学分析是高等数学的基础，南开大学选用的教材对数学分析的内容进行了全面而深入的讲解。
从极限与连续、导数与微分、积分学等多个方面展开论述，旨在培养学生的分析思维和问题解决能力。
2. 线性代数线性代数在现代数学中具有广泛的应用价值，南开大学高等数学教材对线性代数的内容进行了系统的介绍。
从向量空间、线性变换、特征值与特征向量等基本概念开始，深入阐述了线性代数的理论和方法，使学生能够熟练运用线性代数解决实际问题。
3. 概率统计概率统计是数学与实际问题相结合的重要领域，南开大学高等数学教材对概率统计的内容进行了精心编排。
从随机事件、概率与数学期望、正态分布等方面展开，既注重理论讲解，又注重实际问题的分析与应用。
二、教材特点南开大学用的高等数学教材具有以下特点：1. 系统性教材内容安排有条理，从基础概念出发，逐步拓展，构建起完整的数学知识体系。
学生可以清晰地了解各个知识点之间的逻辑关系，提高学习效果。
2. 理论与实践结合教材注重理论的讲解，同时也强调将理论与实际问题相结合。
通过一些具体案例和实际应用，帮助学生更好地理解数学知识的实际运用。
3. 突出重点难点教材对于一些重点难点进行了重点讲解和强化练习，帮助学生解决学习中的困惑。
通过适当的引导和示范，学生能够更好地掌握关键知识和方法。
三、教材优势南开大学用的高等数学教材在教学实践中展现出一定的优势：1. 适应性广教材内容全面，涵盖了高等数学的各个领域。
高数极限1-2pdf
函数的极限
无限增大. 用数学语言刻划 无限接近、 无限接近、
f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小; x > X 表示 x → ∞的过程 .
1. 定义 定义 (ε − X ) 设f ( x )在 | x |> a上有定义 .若 ∀ε > 0,
∃X > 0, 使得当 | x |> X时, 恒有 X ≥a | f ( x ) − A |< ε
则称x → ∞时函数 f ( x )有极限 A,记作
lim f ( x ) = A, 或 f ( x ) → A( x → ∞ ). x→∞
→∞
函数的极限
2. 另两种情形
(1) x → +∞ 情形 : lim f ( x ) = A
x → +∞
设f ( x )在x > a上有定义 . ∀ε > 0, ∃X > 0,
证略。（ 证略。（P8）
函数 f ( x ) 在点 x0 处极限存在的充要条件 为 : f ( x ) 在点 x0 处的左右极限都存在且 相 等。
性质常用于判断分段函数 性质常用于判断分段函数当 分段函数当x趋近于 分段点 分段点 时的极限.
函数的极限
例
x 试证函数 f ( x ) = sin x 当x → 1时, 无极限 .
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函数的极限
一、函数在一点 函数在一点(one-point)的极限
用数学语言刻划 x → x0 , 函数f ( x ) 无限接近 于确定值A.
f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小;
0 < x − x0 < δ 表示x → x0的过程 . x ≠ x0 δ U ( x0 , δ ) δ
大学数学极限ppt课件
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22
y 1 x
时,函数f(x)的极限
y
ox
-∞
+∞
y 1 x
x y=f(x) →0
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23
1. x时,函数f(x)的极限
定义2.2：设函数 y f(x) ，如果当X无 限增大时，函数无限趋近于某个固 定的常数 A,则称当X趋于正无穷时， f(x) 以A为极限，
记为
lifm (x ) A或 f(x ) A (x )
lim C C
xx0
lim x
x x0
x0
limsinx sin x0
xx0
limcosx cos x0
xx0
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38
小结
-、数列 xn的极限：
给定一个数列xn如果当项数n无限增大时，xn无限趋近于
某个固定的常数A则称常数A为该数列的极限。
记作
lni mxn A
或 xnA(n )
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12
例：
2,4,8, ,2n,
xn 2n → ∞ (n)
lim2n 极限不存在
n
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13
1, 1, 1,, 1,
234 n
lim 1 0
收
2,1,4,n3 , n ,n(1)n 1,敛
234
n
n(1)n1 lim
1
n n
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14
2,4,8, ,2n,
lim2n
通项 n n 1
→1
(n)
lim n 1 n n 1
数列收敛
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17
2.1.2函数的极限
(limit of function)
南开大学高等数学教材答案
南开大学高等数学教材答案第一章：函数与极限1. 函数的概念及表示方法1.1 函数的定义1.2 函数的表示方法2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义2.2 极限的性质3. 极限存在准则3.1 保号性3.2 夹逼准则4. 函数的连续性与间断点4.1 函数的连续性4.2 间断点的分类5. 无穷小与无穷大5.1 无穷小的概念5.2 无穷小的性质第二章：导数与微分1. 导数的概念与几何意义 1.1 导数的定义1.2 导数的几何意义2. 常用函数的导数2.1 幂函数的导数2.2 指数函数的导数2.3 对数函数的导数2.4 三角函数的导数2.5 反三角函数的导数2.6 复合函数的导数3. 导数的运算法则3.1 四则运算法则3.2 引理与推论4. 高阶导数4.1 高阶导数的定义4.2 高阶导数的性质5. 隐函数与参数方程的导数5.1 隐函数的导数5.2 参数方程的导数第三章：微分中值定理与导数的应用1. 极值与最值1.1 极值的概念1.2 极值的判定条件2. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理 2.1 罗尔中值定理2.2 拉格朗日中值定理3. 柯西中值定理与洛必达法则3.1 柯西中值定理3.2 洛必达法则4. 函数图像的性质与曲率4.1 函数图像的对称性与奇偶性4.2 函数的凹凸性与拐点4.3 曲率半径的概念与计算5. 微分的应用5.1 高阶导数的应用5.2 凸函数与切线问题以上为南开大学高等数学教材的答案提纲。
具体的答案内容请参考教材中相应的章节与练习题进行学习和练习。
祝学习顺利！。
2.2 极限(1-96)PPT课件
单调数列: (1) 若对一切 n , 有
a n a n 1
则称数列 { an } 为单调增数列 .
(2) 若对一切 n , 有
a n 1 a n
则称数列 { an } 为单调减数列 本段我们讨论数列 { an } 的极限 lim a n
n
定义 对任意的正数 > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时 , 有
即
k
lim a , lim a 2 k A 2 k 1 A
k
lim a , lim a “” 设 k 2 k A 2 k 1 A k
则对任意 > 0 , 分别存在 K1 > 0 , K2 > 0 , 使当
k > K1 时 , 有 当 k > K2 时 , 有
f( x ) A
则称 A 是 x 趋向于 x 时， f ( x ) 在 x 处的右 , 0 0
记为 f ( x 0 ) , 即 0
f ( x 0 ) lim f ( x ) A . 0
" "定义：
x x 0
x x 0
f ( x 0 ） lim f ( x ) A 0 , 0 , 0
( 点 x0 可以除外) 内有
A
A A
定义 , A 是一常数 , 若
对任意给定的正数ε> 0 ,
o
x0
x0
x0
x
xx 时, 有 总可找到一 0, 使当 0 0
f(x )A
则称当 x x0 时 , f (x) 以 A 为极限 , 记作
x x 0
lim f(x ) A
高等数学教材南开答案
高等数学教材南开答案
高等数学是大学理工科专业中的一门重要课程，对于学生的数学基础和思维能力的培养起着至关重要的作用。
而南开大学出版社出版的高等数学教材是备受学生和教师们认可的教辅材料之一。
在本篇文章中，我将以南开大学高等数学教材为例，为大家提供一些常见章节的答案解析。
以下是对部分章节的答案解析。
一、极限与连续
1.极限与数列
...
答案解析：根据题意可知...
2.函数的极限
...
答案解析：首先我们可以将...
二、导数与微分
1.导数的定义与计算
...
答案解析：使用极限的定义，可以推导出...
2.常用函数的导数
...
答案解析：对于常见的函数，可以通过使用...
三、积分与定积分
1. 不定积分
...
答案解析：对于给定的被积函数，我们可以按照以下步骤进行求不定积分...
2. 定积分
...
答案解析：定积分主要用于计算曲线下的面积，我们可以按照以下方法进行求解...
四、微分方程
1. 一阶微分方程
...
答案解析：一阶微分方程可以按照以下步骤进行求解...
2. 高阶微分方程
...
答案解析：高阶微分方程可以通过将其转化为一系列一阶微分方程来求解...
通过以上对于南开大学高等数学教材中部分章节的答案解析，希望
能够帮助到广大学生和教师们更好地理解和掌握高等数学知识。
当然，在学习中还是需要注重理论联系实际，多做题，多思考。
希望大家在
高等数学学习的道路上取得优异的成果！。
高等数学——极限PPT课件
2. 例1. 求 解：原式
第51页/共71页
两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
第53页/共71页
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
第54页/共71页
第一章
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
第55页/共71页
1
2
1
1
1
x
x 1，x 1
y
x， x 1
y
2
1
1
1
第5页/共71页
xn 1 1 xn 1 n
O
102 103 104
105 106 107
108 109 1010 1011 n
第6页/共71页
xn
xn n
xn
●
n
●
OO
第7页/共71页
n
目标不惟一！！！！！！！！！！！！
xn
xn (1)n
1
●
●
●
●
●
●
●
●
O n 3120 3121 3122 1323 3124 3125 3126 3127 3128 3129 4320 4321 n
2.
解: 原式
第45页/共71页
1.4.3 两个重要极限
1. 函数极限存在的夹逼准则 且
2. 单调有界数列必有极限
第46页/共71页
二、 两个重要极限
证: 当
时，
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
亦故即有
显然有
注
第47页/共71页
例1. 求 解:
第49页/共71页
例2. 求 解: 原式 =
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.2 极限
例如，函数 =
1
1
有
→+∞
=
1
0，
→−∞
= 0.
1
这两个极限值与
→∞
= 0相等，都是0.
定义1
设函数()在 > ( > 0)内有定义，如果当 无限增大时，函数
()无限接近于一个常数，则称当 → ∞时函数()以常数为极限. 记作
() = 或() → ( → ∞).
→∞
类似地，当 → −∞与 → +∞有相应的定义.
定义ሶ
如果函数()在 > 0且无限增大时，函数()无限接近于一个常数，
则称当 → +∞时函数()以常数为极限. 记作 () = 或() → ( → +∞).
1
→∞
2
= − ；
→−∞
= 1.
→0
=0 ；
1
2
→∞
=0 ；
=
→+∞
2
；
= 0 ； − = 0 ； = 0 ；
→−∞
→+∞
→0
例3
3+1
面没有标明自变量的变
化 趋 势 ，但 对 于 以下 每
说明：加减运算和求极
个结论，都是在自变量
说明：乘法运算和求极限
限的运算次序可以交换
的 同 一 变化 趋 势 下讨 论
的运算次序也可以交换
的。
说明：除法运算和求极限
的运算次序也形：
推论1 如果有限个函数1 ()，2 ()，3 ()，⋯ , ()的极限都存在，则极限
《高等数学》电子课件(同济第六版)05第一章 第5节 极限运算法则
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7
例2 求lx i1m x24x2x13.
解 li(m x22x3) 0, 商的法则不能用 x 1
又 li(m 4x1)30, x 1
limx2
2x3
0
0.
x1 4x1 3
由无穷小与无穷大的关系,得
lx i1m x24x2x13.
精选课件ppt
8
例3 求lxim 1x2x22x13. 解 x1时,分子 ,分母的极限. 都 ( 0是 型 )零
提
示作 ：(x)
f
(x)g精(选x课)， 件ppt
利
用
保
号
定
理。 3
.二、复合函数的极限运算法则
设lim (x)a,且对满足 0xx0 1的 x xx0
(x)a, 又limf(u)A, 则有： ua
lim f[(x)]limf(u)A,
x x0
ua
证 要证 0, 0,使0 得 x当 x0时
恒有 f[(x ) ] A f(u ) A .
0
先约去不为因 零x子 的 1后无 再穷 求 .小 极
x21
(x1)x (1)
lx i1m x22x3lx i1(m x3)x (1)
limx 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
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9
例4 求lx i m 27xx33 34xx22 1 5. 解 x时,分子 ,分母的极限都是 .( 无型穷 ) 大
推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则 数
lim cf([x)]clim f(x).
推论2 如果 lim f(x)存,在 而 n是正整 ,则数
limf([x)n ][lim f(x)n ].
高等数学南开大学教材
高等数学南开大学教材高等数学是一门重要的基础学科，为理工科学生提供了必要的数学工具和思维方法。
南开大学的高等数学教材是该领域的重要参考资料之一，以下是对其内容的简要介绍。
第一章：极限与连续这一章主要介绍数列的极限概念与性质，以及函数的极限和连续性。
其中包括各种常见函数的极限计算方法、级数的收敛性判断、函数连续性的定义和常用判定法等内容。
第二章：导数与微分该章节围绕函数的导数展开，介绍导数的定义、性质和计算方法。
其中包括基本初等函数的导数计算、复合函数求导法则、隐函数与参数方程的导数计算等内容。
同时还介绍了微分的概念及其应用，包括泰勒展开式和局部线性化等知识。
第三章：一元函数的高阶导数与微分这一章节进一步深入讨论了函数的高阶导数和微分，介绍了高阶导数的定义与计算、如何利用高阶导数判定函数的性质、泰勒公式的推广和误差估计等内容。
第四章：微分学的应用第四章主要介绍微分学在实际应用中的具体应用，包括曲线的凹凸性与拐点、函数的单调性与极值、附带条件的最大值和最小值等方面的内容。
此外，还介绍了微分中值定理、洛必达法则等重要的计算方法。
第五章：不定积分该章节讨论了不定积分的基本概念、性质和计算方法。
包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等内容。
此外，还介绍了定积分和不定积分之间的关系，以及微积分基本定理。
第六章：定积分与其应用第六章主要介绍定积分的定义和性质，以及定积分的计算方法。
包括分段函数的积分、定积分与不定积分的关系、变限积分和面积计算等内容。
此外，还介绍了牛顿-莱布尼茨公式和定积分的物理应用。
第七章：多元函数的偏导数与全微分这一章节开始讨论多元函数的微积分，引入了偏导数和全微分的概念。
包括偏导数的定义、高阶偏导数的计算、全微分与方向导数的关系等内容。
同时还介绍了多元函数的极值和条件极值的判定方法。
第八章：多元函数的积分学该章节介绍了多元函数的重积分和曲线、曲面积分的概念。
包括二重积分和三重积分的计算方法、变量代换与极坐标系下的积分计算等内容。