垂线段最短解决最值问题2017

初中几何的最值问题，主要是求一条或两条线段长度的最大（最小）值，三角形或四边形周长的最小值，对一些简单问题可以通过诸如“两点之间线段最短”“垂线段最短”等定理解决，综合近几年中考常见的同类考题，经常用到的解决方法主要有以下4种：1、垂线段最短2、利用轴对称3、构造三角形，巧用三角形三边关系4、巧用辅助圆5、构造函数关系。

对每类问题的解决方法及规律，通过以下例题说明。

一、利用垂线段最短解决问题

1、如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是

二、轴对称 P Q

A'C D

A'B'C

B

P'

P'

P

B'A

B

P

A B P Q A

B

1、（八年级上册数学课本90页第18题）如图,甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁,现准备合作修建一座过街天桥.问：

（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短?（注：桥必须与街道垂直）

（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等?

三、构造三角形，巧用三角形三边关系

1、如图，正方形ABCD中，AB=8，O为AB的中点，P为正方形ABCD外一动点，且AP⊥CP，则线段OP的最大值为（）A.4+4 B.2 C.4 D.6

第1题第2题

2、如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是______．

3、如图，E、F分别是边长为2的正方形ABCD边AD、AB上的两个动点，满足AE+AF=2，BE交CF于点P，在点E、F运动过程中，PA的最小值是多少？

四、巧用辅助圆

1、如图，△ABC中，∠ABC= 90°，AB=6，BC=8，O为AC的中点，过D作OE⊥OF，OE、OF分别交射线AB、BC于E、F，则EF的最小值为________

五、构造函数关系

1、如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是____________.

答案

一、利用垂线段最短解决问题

解答：法1：连接BF

法2：如图，取AC的中点G，连接EG，

∵旋转角为60°，

∴∠ECD+∠DCF=60°，

又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，

∴∠DCF=∠GCE，

∵AD是等边△ABC的对称轴，

∴CD=12BC，

∴CD=CG，

又∵CE旋转到CF，

∴CE=CF，

在△DCF和△GCE中，

CE＝CF∠DCF＝∠GCECD＝CG，

∴△DCF≌△GCE（SAS），

∴DF=EG，

根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD=12×60°=30°，AG=12AC=12×6=3，

∴EG=12AG=12×3=1.5，

∴DF=1.5．

二、轴对称

三、构造三角形，巧用三角形三边关系1、

连接AC、BD相交于Q，连接PQ，∵ABCD是正方形，

∴AQ=CQ，

∵AP⊥CP，

∴PQ=1/2AC=4√2，

∵O为AB中点，

∴OQ=1/2BC=4，

∴OP≤OQ+PQ=4+4√2，

∴当OP过Q时，

OP最大=4+4√2。

2、

3、取BC的中点M，连接AM、PM，构造三角形APM

四、巧用辅助圆

1、解法两种①是过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥BC于点N，

∵∠ABC=90゜，

∴四边形OMBN是矩形，

∴OM∥BC，ON∥AB，

∴△AOM∽△ACB，△CON∽△CAB，

∴OM：BC=OA：AC，ON：AB=OC：AC，

∵O为AC的中点，

∴OM=3，

∴MN=5，

由垂线段最短，可得当OE与OM重合，即EF与MN重合时，EF最短，

∴EF的最小值为5．

②是作辅助圆

五、构造函数关系

1、设BE=x，则EC=4﹣x，先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，则可判断Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比可表示出FC=，则DF=4﹣FC=4﹣=x2﹣x+4=（x﹣2）2+3，所以x=2时，DF有最小值3，而AF2=AD2+DF2，即DF最小时，

AF最小，AF的最小值为=5．

解：设BE=x，则EC=4﹣x，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEC=90°，

而∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

∴Rt△ABE∽Rt△ECF，

∴=，即=，解得FC=，

∴DF=4﹣FC=4﹣=x2﹣x+4=（x﹣2）2+3 当x=2时，DF有最小值3，

∵AF2=AD2+DF2，

∴AF的最小值为=5．