(完整版)案例三数列在购房问题中的应用
数列在贷款问题中的应用
住房贷款问题
a1 a2
等额本息还款与等额本金还款虽仅有一字之差，
却是截然不同的两种还款方式。 等额本息还款即借款人每月按相等的金额偿还 贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款 涉及到an与Sn之间的转化 本金计算并逐月结清。 了，很难求解！可否通过 设每个月偿还金额为 x 元，如何求解 x 呢？ 另外的模型先求解 x呢？ 240个月中，一共又产生了多少的利息呢？ 如何构建数列模型？ 设第n个月产生的利息为an可以得到什么？
1 bn bn 4.5% x ,1 n 239 12
1 b1 864836 1 4.5% x 12
b240 0
求解数学模型
bn1
1 bn 1 4.5% x ,1 n 239 12
数据观察
建立数学模型 借贷金额：864,836（元） 借款利率：4.5% 借款年限：20年
住房贷款问题
每月偿还金额分为两个部分： 本金（864,836元）平均分配到每个月的部分：
此时已经偿还了3903.48*(n – 1)元的本金，产 生利息的本金金额为3903.48*(24 – (n – 1)) 1 an 3903.48 3903.48 240 n 1 4.5% 12
a240 240 x 864836
建立数学模型
住房贷款问题
等额本息还款
借贷金额：864,836（元） 借款利率：4.5% 借款年限：20年
我们也可以这样考虑：第
n 个月还款后还剩余 bn元未偿还；那么第 n + 1 个月还款后剩余债 务bn + 1与 bn 之间有什么关系呢？
高中数学新人教版A版精品教案《购房中的数学----数列在房贷中的应用》
购房中的数学——数列在房贷中的应用一、教材内容和内容解析本节课选自人民教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书数学必修5A版》第二章《数列》的“探究与发现购房中的数学”，教材将其安排在等差数列与等比数列之后，符合建构主义理论思想，新旧知识的双向互动作用表现为了同化和顺应。
该内容与数学息息相关，体现出数列与生活联系紧密，数学来自于生活，并服务于生活。
本问题的解决需要掌握数列的概念、数列求和公式等基础知识和数据处理的运算能力，合理地建立数学模型。
数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，其过程可用下框图体现：二、学情分析学生在学习本节内容之前已经学习了数列的基本知识，如求数列通项、数列求和等；学生已具²的商品房，每平方米的售价为7500元。
（二）买二手房：一套面积为12021的二手房，售价为82万元，要求首付30万元以上。
刘先生要买房还需要贷款，他去咨询了一家银行有关购房贷款事宜，银行的工作人员向他提供了以下信息：申请住房商业贷款，贷款期限为2021较合适，购房的首期付款不得低于实际购房总额的30%，贷款额应该不高于实际购房总额的70%，还款方式可采用等额本金或等额本息还款。
等额本金还款：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。
贷款人需要将本金平均分摊到每期内，同时付清上一交易日（还款日）至本次还款日之间产生的利息。
等额本息还款：借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清。
两种还款方式的区别如图，等额本息每月还款数一样，等额本金还款额逐月减少。
分期付款中约定： ⑴利息以复利计算；⑵每次还款间隔相同，还款数目相同；⑶商品价值与每期还款额，从购买之初到贷款全部付清，随着时间的增加而增值。
两者本利和相等。
问题：你能根据所学知识，为刘先生出谋划策吗？ 【设计意图】将生活中的案例以材料的形式推送到学生期（12m年，1期为1个月），每月还款一次，设月利率为r 。
拓展资料数列在生活中的应用
数列在生活中的应用
在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列紧密相关。
如分期付款、个人投资理财和人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。
与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用! 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。
这是对数学与生活关系的出色描述。
第一, 我重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。
（一）按揭货款中的数列问题
随着中央推行踊跃的财政政策，购买房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增加。
众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。
那个等额数是如何得来的，另外假设干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。
下面就来寻求这一问题的解决方法。
假设贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每一个月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有:
a1=a0(1+p)-a,
a2=a1(1+p)-a,
a3=a2(1+p)-a,
......
an+1=an(1+p)-a,.........................(*)
将（*）变形，得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p.
由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数列。
日常生活中一切有关按揭货款的问题，都可依照此式计算。
（二）有关数列的其他经济应用问题。
人教A版高中数学必修五优秀教案备课资料求数列前n项和知识的运用
备课资料
购房中的数学
一位居民决定重新购买住房，他列出了他的家庭经济状况和可供选择的方案如下：家庭经济状况：家庭每月总收入3 000元，也就是年收入3.6万元.现存款6万元，但是必须留2万元～3万元以备急用
预选方案：1.购买商品房：一套面积为80 cm2的住宅，每平方米售价1 500元
2.买二手房：一套面积为110 cm2左右的二手房，售价为14.2万元，要求首付4万元.
购房还需要贷款，这位居民选择了一家银行申请购房贷款，该银行的贷款评估员根据表
格中的信息，向他提供了下列信息和建议：
申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率为5.04%.购房的首期付款应不低于实际购房总额的20%，贷款额应不高于实际购房总额的80%.还款方式为等额本金还款，如果按季还款，每季还款额可以分成本金和部分利息部分，其计算公式分别为本金部分＝贷款本金÷贷款期季数
利息部分＝(贷款本金-已归还贷款本金累计额)×季利率
请你帮这位居民算一笔经济帐，根据以上的贷款方式，你认为预选方案1与2到底哪一个是他的最佳选择？说明你的理由。
案例三数列在购房问题中的应用
《数列的应用举例》一、知识与技术1、使学生掌握等差数列与等比数列在购物付款方式中的应用；2、培育学生收集、选择、办理信息的能力，发展学生独立研究和解决问题的能力，提升学生的应意图识；二、教课要点难点要点：抓住分期付款问题的实质剖析问题；难点：成立数学模型，理解分期付款的合理性。
三、过程与方法经过创建情境、讲解法、议论法、直观演示法、练习法提升学生发现问题、剖析问题、解决问题的能力。
四、感情态度与价值观经过学生之间，师生之间的沟通与配合培育学生的合作意识和团队精神，经过独立运用数学知识解决实质问题，使学生领会学习数学知识的重要性，加强他们对数学学习的兴趣和对数学的感情。
五、实验与教具多媒体六、教课过程创建情境题型一、等差数列模型（单利问题）例 1、某家庭预购买一套 40 万元的商品房，要求购房当日首付 40%（即 16 万元），欠款24 万元需贷款，贷款限期 10 年（ 120 个月），每个月还欠款 2000 元，并每个月加付欠款利息，月利率为 0.4%，购买后下一月当日开始付款，此后每个月付款一次，问购买这套商品房实质总价多少元？解：按等额本金还款方式，设每个月还欠款加所欠款产生的利息为数列a n ，则：第一月还欠款以及所欠款产生的利息为：a1 2000 240000 0.4% ，第二月还欠款以及所欠款产生的利息为：a2 2000 (240000 2000) 0.4% ，第三月还欠款以及所欠款产生的利息为：a3 2000 (240000 2000 2) 0.4% ，以此类推：第 n 月还欠款以及所欠款产生的利息为：a n2000 [ 240000 2000 (n 1)] 0.4%∴各月还欠款以及所欠款产生的利息成等差数列∴ 10 年还清欠款总数为：120(2960 2008)S120 298080 （元）2购买这套商品房实质总价为：S 298080 160000 458080（元）答：该家庭购买这套商品房实质总价为458080 元。
数列在购房贷款中的应用
数列在购房贷款中的应用作者：黄映丽来源：《新教育时代·学生版》2018年第46期摘要：数学，来源于生活，服务于生活。
数列只是有着广泛的应用，比如银行中的利息计算、购房贷款中的问题，都会用到数学中的数列知识。
“分期付款”是数列的重要应用，“等比数列应用举例”（高中的数学必修五数列）中有一个实例研究分期付款中的有关计算，建立数列模型，从而解决实际问题。
关键词：数列购房贷款应用一、问题的背景数学家华罗庚曾说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日月之繁，无处不用数学。
”这是对生活与数学关系的精彩描述。
当今，随着人们生活水平的提高，大家的消费观念也发生了转变，分期付款、贷款购物已深入我们的生活中，不再生疏，分期付款方式在今天的商业活动中应用日趋广泛，可以贷款买房，贷款买车，贷款创业；助学贷款，旅游贷款，甚至还可以贷款买手机、电视、电脑等小物件。
可见，贷款已经是一种相当普遍的生活方式了。
那么对于贷款的利息、还贷期限、还款金额等又是如何计算的？课本例题：某人2004年初银行申请个人住房商业贷款20万元购买住房，月利率为3.375‰，按复利计算利，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷，如果10年还清，那么每个月应还贷多少钱？二、问题的提出从课本这道例题出发，让学生自己去银行了解目前买房商业贷款还贷利率是多少？还贷方式最常用的方式有几种？哪种还贷方法比较省钱？三、探究、解决方案学生从银行了解到在生活中应用较多的分期付款还贷的模式基本有两种：一种是等额本息还款，即按月等额归还贷款本息的方法。
一种是等额本金还款，即将本金分别摊派到每个月内，同时，付清上一个交易日至本次还款日之间的利息。
1.个人住房“等额本息”还款法该类分期付款问题规定：（1）一般按每（月）一期等额付款，即等额本息还款，合同签订后，不得更改；（2）每期利息按复利计算，即上期利息要记入下期本金。
注意：分期付款中，贷款与每期付款额在贷款付清前，均会随着时间的推移不断增值，时间愈长，利息愈多，增值愈大。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 探究与发现 购房中的数学》优质课教案_3
数列在生活中的应用---分期付款教学设计一、选课背景2017年数学高考课标中提出了“数学文化”这一概念。
而数学作为一种文化现象，早已是人们的常识了。
古希腊和文艺复兴时期的许多文化名人，往往本身就是数学家，如柏拉图、达芬奇、爱因斯坦、希尔伯特、罗素等。
从20世纪初期以来，数学教学的形式化现象越来越严重，学生往往只会做死题，死做题，忽略了数学源于生活，服务于生活的本质。
随着社会的发展，信息化的推进，信用制度的完善和人们生活的需要，分期付款购物已成为一种必然的趋势，作为新一代的高中学生，借助所学知识，掌握分期付款原理，合理安排收支也是其步入社会的一项能力，所以选择这堂课，不但可以作学生刚学完数列知识的习题拓展课，还可以让学生体会到数学学科在实际应用中的价值。
二、学情分析函数应用举例部分又学习过复利（平均增长率）计算，所以知识储备已足。
但由于经济不独立，真正接触过分期付款的同学不多，大多数同学只是听说过这种说法，但实际的操作是一无所知的。
因为这堂课需要大运算，科学计算器必需准备好，但之前了解了下，其实很多同学是不会用的，特别是高指数的运算，所以有必要在课前培训一下。
三、教学目标1.通过生活实例，体会分期付款本质，即本金加利息2.通过本课学习，使学生能推导等额本金与等额本息两种不同还款方式的计算公式，并会将实际生活问题中的数据代入计算，通过结果能初步得出结论。
3.渗透理论与实际相结合的思想，强化数学来源于生活并服务于生活的思想，提高学生的数学文化修养。
四、教学手段采用多媒体辅助，科学计算器和导学案五、教学过程1、引入部分：通过图片展示，首先让学生了解分期付款已经在各个领域走入了我们的生活，为后续学习相关知识的必然性打下基础。
2、通过小明买手机的问题，引出等额本金与等额本息两种不同的还款方式，点出本节课的学习内容。
3、以还6期为例，先引导学生计算等额本息还款法，抓住其特点，即每期还款额相同，再强调分期本身的特点，即本金+利息。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 探究与发现 购房中的数学》示范课课件_3
购买后1个月第1次付款，
3期
再过1个月第2次付款，再 过1个月第3次付款。
2016 6048
48
6期
购买后1个月第1次付款， 再过1个月第2次付款，……
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购买后6个月第6次付款。
购买后1个月第1次付款， 12期 过1个月第2次付款，…… 购
513
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买后12个月第12次付款。
a (1+p) 5 - x (1+p) 4 - x (1+p) 3 – x (1+p) 2 - x (1+p) – x
则第六次还款后剩余金额为
a (1+p) 6 - x (1+p) 5 - x (1+p) 4 - x (1+p) 3 – x (1+p) 2 - x (1+p)
–x 0
可解得
x
ap(1 p)6 (1 p)6 1
x
ap(1 p)n (1 p)n 1
3、等额本息总还款公式 ap(1 p)n n (1 p)n 1
分期付款在现实生活中广
泛存在。它满足了人们的购物 欲望，使高消费成为可能，同 时也给资金周转提供了便利。 因此，掌握好分期付款对于我 们处理好现实问题有极大帮助。
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备注
月利率0.4%，每月利息按复利计算
分期 付款总额
付款总额
方案 （等额本息） （等额本金）
与一次性 付款差额
3期
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6期
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12期 备注
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(教学案)1.4数列在日常经济生活中的应用Word版含解析
四、实际应用，解决疑难老师购房中向银行贷款35万元，按月还款，贷款年限为20年。
以小组为单位解决以下疑难。
分别计算出两种不同还款方式学生跟随教师分析两种不同还款额度的数据。
因实际问题中计算量较大，教师借助计算机帮助学生计算，目的在于学生会通过具体的等额本金、等额本息数据来分析、选择还款方式。
合作探究活动1：老师应如何选择还款方式，请做出合理的决策依据，并说明原因。
合作探究活动2：针对房地产商调研出现的五类不同购置房屋人群，选取何种贷款方式、还款方式较为适宜。
学生根据对等额本金、等额本息的理解，在具体决策的选择中可能出现不同的选择形式。
决策的选择没有绝对的正确答案，即学生言之有理即可。
五、归纳小结，引申拓展1.本节课学到了哪些知识的实际应用2.本节课学习了如何应用数学思想指导解决实际问题3.在大数据信息时代下，如何选取、处理有效数据4.在实际问题中如何做出合理的决策依据学生跟随教师总结分析。
通过小结，反思学习过程，梳理本节课内容，加深对等额本金、等额本息的理解及其应用。
六、课后思考，提升素养银行方面让贷款者自由选择，难道银行不想多赚点钱吗?实际上对银行而言两种还款方法其实是一样的，你能解释其中的原因吗？随着经济开展工资收入可能会越来越高，假设有提前还款的可能性又该如何选择呢?学生目前可能会存在一定困难。
课后思考是对本节课的升华。
目的在于开展学生的自主学习的能力，树立善于思考、严谨求实的科学精神，不断提高实践能力。
数列在分期付款中的应用
复利计算:即上期（月、或年）的利息要计入下期的本金． 单利计息:指当期利息不纳入下期的本金中去
假定银行存款月利率为p％，某人存入a元，每月利 息按复利计算过1个月的本利和为________；过2个的本 利和为________；…… 过n个月的本利和为_________。 若按单利计算，n个月后本利和为_________。
4
=
104·1.00457524
ห้องสมุดไป่ตู้
第22次 偿还的x 元， 到贷款 还清时 的本利 和
24
第1次 偿还的x 元， 到贷款 还清时 的本利 和
贷款的一 万在贷款 还清时 （2年后） 的本利 和
10 鬃 1.004575 0.004575 x= 24 1.004575 - 1
按存入方式计算，这样考虑，每次的还贷相当于在存款，存了24 次后的本息和应该与贷款的10000元在还贷结束后的本息和相等。
例1： 中国建设银行设立了教育助 学贷款，其中规定一年期以上贷款 月均等额还本付息。如果贷款10000 元，两年还清，月利率为0.4575%， 那么每月应还多少钱呢？
注：等额还本付息指的是在贷款期内每期以相等的金 额平均偿还贷款本金和利息。
表格1
10000元贷款的本金与它的利息之和 1个月后 2个月后
【例2】 郭老师想买一套价值30万的住房，首付8万，其余的采用分期等额还
款付息的方式，分10年还清。银行有以下三种付款方式可供选择:
方案 类别 1 (按月) 120次 分几次 付清
付款方法
贷款后1个月第1次还贷， 再过1个月第2次还贷…… 贷款后 120 个月第120次还 贷.
每期所 付款额
付款 总额
贷款后 1 个月第 1 次还贷， 再过 1 个月第 2 次还贷 …… 贷款后 120 个月第 120 次还 贷.
人教版高中数学选择性必修第二册4.3.2-专题3 数列的应用问题
专题讲解
题型一 等差数列模型的应用
例 1 某单位用分期付款的方式为职工购买 40 套住房，共需 1 150 万元，购买当天先付 150 万元，以后每月这一天都交付 50 万元，并加付欠款利息，月利率为 1%.若交付 150 万元后的第一 个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第 10 个月应付 多少钱？全部按期付清后，买这 40 套住房实际花了多少钱？
(2)为支持退耕还林工作，国家财政从 2019 年起补助农民当 年退耕地每亩 300 斤粮食，每斤粮食按 0.7 元折算，并且补助当 年退耕地每亩 20 元．则西部完成退耕还林计划，国家财政共需 支付多少亿元？(精确到 0.1 亿元)
【解析】 (1)设从 2018 年底起以后每年的退耕还林的土地 面积(单位：万亩)依次为 a1，a2，a3，…，an，…，
(2)同方案一的(2)． 方案三：选条件③. (1)因为 2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1(n∈N*)(ⅰ) 所以当 n≥2 时，2n－1a1＋2n－2a2＋…＋2an－1＝(n－1)an(n≥2)， 所以 2na1＋2n－1a2＋…＋22an－1＝2(n－1)an(n≥2)，(ⅱ) (ⅰ)－(ⅱ)得 2an＝nan＋1－2(n－1)an，即 an＋1＝2an(n≥2)， 当 n＝1 时，2a1＝a2，适合上式，所以数列{an}是首项为 1， 公比为 2 的等比数列，所以 an＝2n－1(n∈N*)． (2)同方案一的(2)．
探究 2 构建等比数列模型解实际问题，要弄清 a1 与 n 的实 际含义，分清是求通项 an 还是求前 n 项和 Sn.
思考题 2 有纯酒精 a L(a>1)，从中取出 1 L，再用水加满，
然后再取出 1 L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十 次共倒出纯酒精___1_－_1a_8_2_－__1a _____L.
数学——购房中的数学问题
购房中的数学问题（一）研究背景在参加了数学研究性学习这个活动后，我们领悟到了数学在生活中的广泛应用，这使我们对生活中的数学问题很感兴趣，希望从熟悉的事物中理解，体会数学。
于是，数学老师的鼓励下，我们小组对“购房中的数学问题”进行研究。
（二）研究目的意义通过联系实际，从生活中出发进行研究，充分拓展数列的学习内容，以促进学生的对数列的理解，培养学生对学习数列的兴趣。
提高学生运用数列知识来分析、运用多方面的数学方法来进行全方位考虑和解决生活实际问题的能力。
通过本课题的研究，探索提高学生的应用能力、理解能力和实践能力的新方法，全面提高学生的综合素质，培养创新型人材。
（三）研究方法资料调查法、文献资料收集法、例题分析法、联系实际（四）研究内容在探究数列性质的同时，我们要善于将数列与生活联系在一起，这样不但容易了解数列的性质，也懂得了许多生活上的知识，将数列生活化，既加深了我们对数列的了解，又为生活提供了方便。
很多生活上的问题也和数学息息相关，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中数学大纲所要求掌握的概念、公式、定理和法则等基础知识。
数列在实际生活中有很多应用，例如人们在贷款、储蓄、购房、购物等经济生活中就大量用到数列的知识。
问题：某地一位居民为了改善家庭的住房条件，决定在2003年重新购房。
某日，他来到了一个房屋交易市场，面对着房地厂商林林总总的宣传广告，是应该买商品房呢还是应该买二手房呢？他一时拿不定主意。
以下是他的家庭状况以及可供选择的方案家庭经济状况家庭每月总收入3000元，也就是年收入3.6万元。
现有存款6万元，但是必须留2万元-3万元以备急用。
预选方案1.买商品房：一套面积为80 m2的住宅，每平方米售价为1500元2.买二手房：一套面积为110 m2左右的二手房，售价为14.2万元，要求首付4万元。
购房还需要贷款。
这位居民选择了一家银行申请购房贷款。
该银行的贷款评估员根据表格中的信息，向他提供了下列信息和建议：申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率为5.04%。
1.4数列在日常经济生活中的应用(课件)-高二数学(北师大版2019选择性)【精】
即 y x[n n(n 1)r ], n 12,36, 60.
①
2
题型一 等差数列模型(单利问题)
例1:银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金, 这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和，这是整取(现在有一年、三年、五 年3种，年利率分别为1.35%, 1.55%, 1.55%）.规定每次存入的钱不计复利. （1）若每月存入金额为x元,月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整 取时本利和的公式；
2． 数列应用问题的常见模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定 的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是 公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)． 例如：银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x， 则本利和y＝a(1＋xr)．
答案：C
4．李明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%， 那么10年后共得本息和为___6_.2_4_6__万元．的 本 息 ： a10 ＝ 5×(1 ＋ 0.022 5)10≈6.246(万元)．
题型一 等差数列模型(单利问题)
例1:银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金, 这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和，这是整取(现在有一年、三年、五 年3种，年利率分别为1.35%, 1.55%, 1.55%）.规定每次存入的钱不计复利. （1）若每月存入金额为x元,月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整 取时本利和的公式； （2）若每月初存入500元，到第3年整取时的本利和是多少？(精确到0.01元）
解：(1)记n年后得到的本利和为an.根据题意知： 第1年存入的本金P元,1年后到期利息为Pr元,1年后本利和为a1= P+Pr =P(1+r)(元)； 2年后到期利息为P(1+r)r元,2年后本利和为a2=P(l+r)+P(l+r)r = P(l+r)2(元)； ∴各年的本利和是一个首项a1=P(l+r)、公比q=l+r的等比数列{an}，故n年后到期的本利和为
用数列模型分析比较还房贷方式
用数列模型分析比较还房贷方式【摘要】如今住房问题成为摆在中国年轻人面前的主要问题之一，房价一直是社会、媒体所关注的热点话题之一。
从目前的收入状况来看，居高不下的房价的确让许多刚刚走出校园还没有多少经济实力的毕业生难以承受，许多人就选择了贷款买房以减轻压力。
而贷款买房就涉及了一个还房贷的问题。
本文通过构建数列模型，得到不同还贷方式还款金额等具体数据，对目前常见的两种还房贷方式进行分析和对比，得出和比较两种还款方式的优缺点，为人们购房贷款提供借鉴。
【关键词】等额本金还款；等额本息还款；数列模型一、问题提出目前有很多人特别是年轻人选择了贷款买房，而贷款买房就要涉及将来还房贷的问题。
目前贷款买房有两种比较主流的方式，即等额本金还款和等额本息还款。
两种还款方式有所不同，让许多现状不同的贷款购房者有了不同的选择。
不同的人群究竟适合哪种还贷方式呢？本文从贷款购房者的角度出发，分析比较两种不同的还房贷方式，为人们选择还房贷方法提供借鉴。
二、符号说明贷款本金为m利率为i房贷分n期付清三、提出假设假设一：我国贷款的月利率基本稳定，没有较大波动。
假设二：用不同方法还贷款的时间相同，本金相同。
等额本金是指一种贷款的还款方式，是在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。
贷款人需要将本金平均分摊到每期内，同时付清上一交易日（还款日）至本次还款日之间产生的利息。
设第k 个还款日，这时贷款人需要还款的金额为a k ，k=1，2，3，4......n.此时a k 由两部分构成，即平均分摊到每期的本金和上一还款日至本次还款日之间产生的利息。
平均分摊到每期的本金为nm .上一还款日至本次还款日之间产生的利息为i nmk n )1(+-.所以可得a k =nm +i nm k n )1(+-=ni m mn m )(++-k nmi .因为m,n,i 为常数，所以显然可以看出a k 是一个首项a 1=nmni m +，公差d=i nm -的等差数列。
课题 购房中的数学 (学案)
购房中的数学----数列在分期付款中的应用（学案）学习目标：1、知识与技能：（1）理解银行贷款的两种还款方式：等额本息还款法和等额本金还款法，并能在实际问题中计算出两种还款方法的每月还款数额，贷款期限内的还款总额和累计支付利息。
（2）掌握运用等比数列的知识解决分期付款中的有关问题。
（3）借助具体问题概括出一般情况下等额本息还款法每月还款公式。
2、过程与方法：通过由特殊到一般的研究方法，归纳概括出每月应还款钱数，培养学生抽象概括能力和合情推理能力。
3、情感态度与价值观通过开展数学建模活动解决购房中的贷款问题，让学生体会“数学来源于生活”，并逐步形成数学的应用意识，发展学生的实践能力。
学习重点：运用等比数列的相关知识来理解贷款买房的每月还款数额的计算原理。
学习难点：建立数学模型，理解分期付款到期偿还贷款的意义。
特别是贷款会随着时间推移而增值。
学习方法：小组讨论，探究性学习。
探究过程中充分调动学生的积极性，给予学生足够的思考时间，多让学生发言，进行小组间竞争，并适时予以点拨，在充分发挥教师的主导作用的同时，体现学生的主体地位．学习过程：（一）阅读学习材料：1、如果你家里急用一笔钱买房子或买车，如果大学毕业后想创办一家公司，而你家里有没有足够的存款，你有什么办法解决么？2、案例：2012年10月，王先生为了改善住房条件，决定购置一套房子．他经过一番调查，决定要买一套价值120万的商品房，他目前仅有存款55万元。
他向一家银行申请了购房贷款65万元，根据他的具体情况银行的贷款评估员建议他申请商业贷款，贷款期限为15年、每月还一次。
分期付款的方式：（i）采用等额本息还款：每月还款额相同；每月利息均按复利计算，即上月利息计入下月本金。
（ii）采用等额本金还款：每月还款额可以分成本金部分和利息部分，每月所付本金部分相同。
现在面临贷款买房的人很多，尤其是80、90后，大学毕业参加工作后想要买房，资金不够时都需要贷款。
5.4数列的应用课件高二下学期数学人教B版选择性
流经黄土高原,又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐
变得浑浊.在刘家峡水库附近,清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合,在两条
河流的交汇处,水的颜色一清一浊,互不交融,泾渭分明,形成了一条奇特的水
中分界线.设黄河和洮河在汛期的水流量均为2 000 m3/s,黄河水的含沙量为2
游戏结束.
(1)求P0,P1,P2,并根据棋子跳到第n站的情况,试用Pn-2和Pn-1表示Pn;
(2)求证:数列{Pn-Pn-1}(n=1,2,…,100)是等比数列;
(3)求该游戏获胜的概率.
(1)解:根据题意,棋子跳到第n站的概率为Pn,
则P0即棋子跳到第0站的概率,则P0=1,
1
P1 即棋子跳到第 1 站的概率,则 P1=2,
决实际问题的方法,在解题中不要忽视了这点.
【变式训练】 某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第1名得全部
资金的一半多一万元,第二名得剩下资金的一半多一万元,以名次类推都得
剩下资金的一半多一万元,到第10名恰好分完资金,求此科研单位共拿出多
少万元资金进行奖励.
解:设单位共拿出x万元资金,第1名到第10名所得资金构成数列{an},前n项
3
洮河的含沙量为
=14
kg/m
.
2 000
(2)设在第n(n∈N+)个观测点时黄河的含沙量为an,洮河的含沙量为bn,
由题意有a1=2,b1=20,
1 000+2 000 2+
且 an+1=
=
,
3 000
3
1 000+1 000+1 +2
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《数列的应用举例》
一、知识与技能
1、使学生掌握等差数列与等比数列在购物付款方式中的应用；
2、培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识；
二、教学重点难点
重点：抓住分期付款问题的本质分析问题；
难点：建立数学模型，理解分期付款的合理性。
三、过程与方法
通过创设情境、讲授法、讨论法、直观演示法、练习法提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
四、情感态度与价值观
通过学生之间，师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神，通过独立运用数学知识解决实际问题，使学生体会学习数学知识的重要性，增强他们对数学学习的兴趣和对数学的情感。
五、实验与教具
多媒体
六、教学过程
创设情境
题型一、等差数列模型（单利问题）
例1、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付40% （即16万元），欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），每月还欠款2000元，并每月加付欠款利息，月利率为0.4%，购买后下一月当天开始付款，以后每月付款一次，问购买这套商品房实际总价多少元？
解：按等额本金还款方式，设每月还欠款加所欠款产生的利息为数列a n，贝U：
第一月还欠款以及所欠款产生的利息为：a12000 240000 0.4%，
第二月还欠款以及所欠款产生的利息为：a22000 (240000 2000) 0.4%，
第三月还欠款以及所欠款产生的利息为：a32000 (240000 2000 2) 0.4%，
以此类推：
第n月还欠款以及所欠款产生的利息为：a n2000 [240000 2000 (n 1)] 0.4%
•••各月还欠款以及所欠款产生的利息成等差数列
•••10 年还清欠款总额为：S120 120（2960 2008）
298080 （元）2
购买这套商品房实际总价为：S 298080 160000 458080 （元）
答：该家庭购买这套商品房实际总价为458080元。
题后感悟：等额本金还款法，等差数列问题
题型二、等比数列模型（复利问题）
例2、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付16万元，欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），按分期付款的方式偿还欠款，每月等额还款，月利率为
0.4%，购买后下一月当天开始付款，以后每月付款一次，按复利计算该家庭每月实际应付款
多少元？购买这套商品房实际总价为多少元？
解：设每月应付款X 元，则第1月付款与到最后一次付款产生的利息之和为 x(1 0.4%)119 , 第2月付款与到最后一次付款产生的利息之和为 x(1 0.4%)118，第3月付款与到最后一次付 款产生的利息之和为x(1 0.4%)117 ,……，第119月付款与到最后一次付款产生的利息之和 为x(1 0.4%)，最后一次付款(无利息)为x 元。
4 1 nnd.
各月付款连同利息之和为x(1.004119 1.004118 1.004117……1.004 1) x__.—
1 1.004
而按复利计算，贷款金额及产生的利息和为 240000(1 0.4%)120
购买这套商品房实际总价为：
S 252217 120 160000 462660.4 (元)
答：该家庭购买这套商品房每月实际应付款 2522.17元，购买这套商品房实际总价为 462660.4 元。
题后感悟：等额本息还款法，
课堂小结
1、 等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增 长率等方面的问题，解决方法是建立模型，应用数列知识解决问题。
2、 将实际问题转化为数列问题时应注意：①分清是等差数列还是等比数列；②分清是求 a n 还是求S n ，特别要准确确定项数n
1.004120 1.004
240000 1.004120，即 x 2522.17 （元）。