椅子能在不平的地面上放稳吗

椅子能在不平的地面上放稳吗？

模型假设

对椅子和地面都要作一些必要的假设：

1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。

2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。

3、对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

假设1显然是合理的。假设2相当于给出了椅子能放稳的条件，因为如果地面高度不连续，譬如在有台阶的地方是无法使四只脚同时着地的。至于假设3是要排除这样的情况：地面上与椅脚间距和椅脚长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即连续变化的），致使三只脚无法同时着地。

模型建立

中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。 首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置。

其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。

由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0。当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：

命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g 。 模型求解

将椅子旋转0

90，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g 。

令()()()h f g θθθ=-，则()()02,00<>πh h ，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()0*00=θθf g ，所以

()()000==θθf g 。

四、模型的进一步讨论

Ⅰ.考虑椅子四脚呈长方形的情形

设A 、B 两脚与地面之和为()θf ，C 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，θ为AC 连线与x 轴正向的夹角（如图2所示）。显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、

()θg 至少有一个为0。当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同

C '

D '

时着地，就归结为如下命题：

命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g 。

图2 长方形椅脚

将椅子绕对称中心旋转180°（π），正方形ABCD 变成了C ’D ’A ’B ’（如图2），即AB 与CD 互换，由()()00,00>=f g 可知

()()0,0g f ππ>=。令()()()h f g θθθ=-，则()()00,0h h π><，

由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()000θθπ<<使()00=θh ，即

()()00θθf g =，由()()0*00=θθf g ，所以()()000==θθf g 。

Ⅱ.考虑椅子四脚呈不规则四边形（即任意四边形）的情形

在椅子四脚连线所构成的四边形ABCD 的内部任取一点O ，作为坐标原点，建立直角坐标系，记AO 与x 轴正向夹角为θ，记A 、B 两脚与地面距离之和为()θf ，C 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，根据假设3不妨设当1θθ=时，()()110,0g f θθ=>，将椅子逆时针旋转一定角度，使A 、B 两脚

与地面之和为0，此时，AO 与x 轴正向的夹角变为2θ，由假设3（任意

时刻椅子至少有3只脚着地）易知当2θθ=，()()220,0f g θθ=≥，令()()()h f g θθθ=-，则()()120,0h h θθ>≤，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在

()0102θθθθ<<,121[0,2),(,2]θπθθπ∈∈,使()00=θh ，即

()()00θθf g =，由()()0*00=θθf g ，所以()()000==θθf g 。

图3 不规则四边形 五、评 注

模型巧妙在于用已元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转90°并不是本质的。我们在模型的进一步讨论中更证实了更一般的结论：四脚连线为不规则四边形的椅子能在不平的地面上放稳。

商人过河问题