三、梁弯曲的内力、变形、应力

目录

引言 (2)

一杆件受拉压的内力、应力、变形 (2)

1.1轴向拉压的内力、轴力图 (2)

1.2 轴向拉压杆横截面上的应力 (5)

1.3 轴向拉压杆横截面上的变形 (7)

1.4 圣维南原理 (9)

1.5 工程结构实例分析 (11)

二圆轴扭转 (15)

2.1、扭转的力学模型及ANSYS建模 (15)

2.2、圆轴扭转时，横截面上的内力偶矩------扭矩 (15)

2.3、圆轴扭转时，横截面上的应力、强度条件 (15)

(1) 横截面上的切应力 (15)

(2) 极惯性矩与抗扭截面系数 (15)

三、梁弯曲的内力、变形、应力 (20)

3.1 梁的弯曲内力、变形 (20)

3.2 弯曲应力 (27)

3.3 工程实例： (31)

四、压杆稳定 (35)

4.1、压杆稳定的概念 (35)

4.2、临界压力 (35)

4.3、三类压杆的临界载荷 (36)

4.4、压杆稳定性计算 (36)

4.5 工程实例4 (38)

引 言

《材料力学》是机械、土木类工科学生重要的技术基础课，其计算方法和思想在工程计算中应用非常广泛。为了使学生对课内知识体系有一个比较清晰的感性认识，锻炼学生的求真精神和实践动手能力，进一步培养学生的综合创造力，兴趣小组的学生们在教师的指导下基于ANSYS 有限元分析软件对《材料力学》的某些知识点进行数值计算与模拟，得到相关的数据、云图或动画，从而对理论公式进行形象验证，更开阔了学生的视野，提高了学生的CAE 水平。

本研究内容包括三部分：

（1）对《材料力学》课程中的基本内容，包括拉压、剪切、扭转、弯曲的内力、应力、变形、压杆稳定、动载荷、疲劳强度、圣维南原理等重要理论知识点情况通过ANSYS 进行分析，得到内力、变形、应力、应变相关的数据、云图或动画；

（2）对重要知识点的典型例题通过ANSYS 进行计算，并与理论计算结果进行对比验证。

（3）对《材料力学》理论知识能够解决的典型工程实际问题进行建模、分析与计算。

一 杆件受拉压的内力、应力、变形

1.1轴向拉压的内力、轴力图

在工程结构和机械中，发生轴向拉伸或压缩的构件是很常见的。 在轴向外力作用下，杆件横截面上唯一的内力分量是轴力N F

轴向拉压杆件的受力特点：作用于杆件上的合外力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的延长或缩短。

对如图1-1a 所示的两端受轴向外力p F 作用的杆件，用一假想平面沿任意横截面将杆截为两段，由任一部分的平衡方程0=∑F ,可求得截面上的轴力

N F =p F (如图1-1b)

图1-1

一般规定拉伸的轴力为正，压缩的轴力为负。

例1.1 试用Ansys 绘制图1-2a 所示杆件的轴力图。(设a=1m).

图1-2a

解：水平方向受力平衡得：

8kN F P3=

根据平衡方程及杆的各段的轴力方程得到如下理论值：

kN F kN

F kN

F N N N 4126321-=-==

下面用ANSYS 进行绘图计算：有限元模型如图1-2b ，绘制轴力图如图1-2c 。

从上图可以读取AB 段横截面上的轴力为红色区域，值为6000N ；从左向右BC 段蓝色区域轴力为-12000N ；CD 段绿色区域轴力值为-4000N 。

可见理论值与通过ANSYS 计算得到的值相同。

图 1-2b ANSYS 模型

1-2c 杆件的轴力图

1.2 轴向拉压杆横截面上的应力

轴向拉压杆横截面上的内力分量只有轴力N F ，而轴力N F 是截面上轴向分布内力的合力，即

⎰A =A

N d F σ

由于外力合力的作用线与杆轴重合(图1-3a)，材料又是均匀连续的，则有试验结果表明，对于细长杆，在离加力端一定距离的大部分区域，其横截面在杆件变形后仍保持平面，杆件各纵向线段的伸长都相等，这表明横截面上只有正应力且是均匀分布的，如图1-3b 所示。于是

A =A =⎰σσA

N d F

图1-3

可得轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式

A

F N

=

σ 正应力与轴力具有相同的正负符号，即受拉的应力为正，受压的为负。 例1.2：三角架结构尺寸及受力如图1-4a 所示。其中kN F P 2.22=,钢杆BD 的直径mm d BD 4.25=，钢杆CD 的横截面面积231032.2mm CD ⨯=A 。试用ANSYS 求BD 与CD 的横截面上的正应力。 解：BD 杆横截面积：()

4

)

10

4.25(14.32

3-⨯⨯ =410064506.5-⨯m ；

CD 杆横截面积：;1032.2101032.2363m m --⨯=⨯⨯ E=Pa 11101.2⨯

图 1-4

首先用杆单元建模如图1-4c 所示：

理论值：根据平衡方程及应力的计算公式得MPa CD 75.962.0MPa;BD ==σσ

用ANSYS 分析的应力图为1-4d 所示；ANSYS 分析结果：

图1-4c ANSYS 模型

BD 杆横截面上的应力

080.61991E BD +=σ

CD 杆横截面上的应力

07-0.95690E +=CD σ

1.3 轴向拉压杆横截面上的变形

实验表明，杆件在轴向拉力或压力作用下，杆件沿轴线方向将发生伸长或缩短，而在杆件的横向也同时发生缩短或伸长，如图1-5a,b 所示。

图1-5

杆沿轴线方向的变形称为轴向变形或纵向变形。 拉压杆的胡克定律 EA

l

F l N =

∆，式中的比例系数E 为材料常数，称为弹性模量。由实验测定。EA 称为抗拉（压）刚度。

图1-4d 三角架的应力图