各种基础算法
操作系统十大算法具体内容
操作系统十大算法具体内容操作系统是计算机系统的核心组成部分，主要负责管理计算机的硬件资源和提供各种系统服务。
操作系统算法是操作系统实现各种功能和服务的基础，包括进程调度、内存管理、文件系统等方面。
下面将介绍操作系统中的十大算法，以及它们在操作系统中的具体内容：1.进程调度算法进程调度算法决定了操作系统如何选择就绪队列中的进程分配处理机资源。
常见的进程调度算法包括先来先服务调度算法（FCFS）、最短作业优先调度算法（SJF）、轮转调度算法（RR）等。
这些算法基于进程的优先级、执行时间、资源需求等考虑，来决定选择哪个进程获得处理机资源。
2.内存管理算法内存管理算法决定了如何有效地分配和回收内存资源。
常见的内存管理算法包括固定分区算法、动态分区算法和虚拟内存管理算法等。
这些算法根据进程的内存需求和空闲内存空间的情况，来决定如何分配和回收内存资源。
3.页面置换算法页面置换算法是一种在虚拟内存管理中使用的算法，用于将进程的页面从磁盘中换入内存，并选择合适的页面进行置换。
常见的页面置换算法有最佳置换算法（OPT）、先进先出置换算法（FIFO）、最近最少使用置换算法（LRU）等。
这些算法根据页面的访问情况和页面的驻留时间来决定选择哪个页面进行置换。
4.文件管理算法文件管理算法决定了如何组织和管理文件系统中的文件。
常见的文件管理算法有顺序文件组织算法、索引文件组织算法、哈希文件组织算法等。
这些算法根据文件的访问特点和性能需求，来决定如何组织和管理文件数据。
5.磁盘调度算法磁盘调度算法决定了操作系统如何调度磁盘上的IO请求，以提高磁盘的访问效率。
常见的磁盘调度算法有先来先服务调度算法（FCFS）、最短寻半径优先调度算法（SSTF）、扫描调度算法（SCAN）等。
这些算法根据磁盘的寻道距离和IO请求的到达时间等因素，来决定选择哪个IO请求进行调度。
6.死锁检测和解决算法死锁是指多个进程因为互相等待而无法继续执行的情况。
数据结构最基础的十大算法
数据结构最基础的十大算法数据结构是计算机科学中的重要分支，它研究如何组织和存储数据以便于访问和修改。
在数据结构中，算法是解决问题的关键。
下面将介绍数据结构中最基础的十大算法。
1. 线性搜索算法线性搜索算法是最简单的算法之一，它的作用是在一个列表中查找一个特定的元素。
该算法的时间复杂度为O(n)，其中n是列表中元素的数量。
2. 二分搜索算法二分搜索算法是一种更高效的搜索算法，它的时间复杂度为O(log n)。
该算法要求列表必须是有序的，它通过将列表分成两半来查找元素，直到找到目标元素为止。
3. 冒泡排序算法冒泡排序算法是一种简单的排序算法，它的时间复杂度为O(n^2)。
该算法通过比较相邻的元素并交换它们的位置来排序列表。
4. 快速排序算法快速排序算法是一种更高效的排序算法，它的时间复杂度为O(nlog n)。
该算法通过选择一个基准元素并将列表分成两部分来排序列表。
5. 插入排序算法插入排序算法是一种简单的排序算法，它的时间复杂度为O(n^2)。
该算法通过将每个元素插入到已排序的列表中来排序列表。
6. 选择排序算法选择排序算法是一种简单的排序算法，它的时间复杂度为O(n^2)。
该算法通过选择最小的元素并将其放在列表的开头来排序列表。
7. 堆排序算法堆排序算法是一种更高效的排序算法，它的时间复杂度为O(n log n)。
该算法通过将列表转换为堆并进行排序来排序列表。
8. 归并排序算法归并排序算法是一种更高效的排序算法，它的时间复杂度为O(n log n)。
该算法通过将列表分成两部分并将它们合并来排序列表。
9. 哈希表算法哈希表算法是一种高效的数据结构，它的时间复杂度为O(1)。
该算法通过将键映射到哈希表中的位置来存储和访问值。
10. 树算法树算法是一种重要的数据结构，它的时间复杂度取决于树的深度。
树算法包括二叉树、AVL树、红黑树等。
以上是数据结构中最基础的十大算法，它们在计算机科学中有着广泛的应用。
常用算法解析及其应用场景
常用算法解析及其应用场景算法是计算机科学中最基础的概念之一。
在日常生活中，我们无时无刻不在接触着各种算法，从谷歌搜索到智能手机里各种APP的推荐算法，都离不开算法的支持和应用。
在这篇文章中，我将为大家介绍常用的算法和它们的应用场景。
一、排序算法排序算法是程序中最常用的一种算法，其目的是将数据按一定方式进行排列。
常见的排序算法包括冒泡排序、选择排序、插入排序、归并排序和快速排序。
1、冒泡排序冒泡排序是一种简单的排序算法，它的思路是从头到尾扫描一遍需要排序的数据，每一次将相邻两个元素进行比较并交换位置。
这个过程类似于水泡在水中上浮，一遍扫描结束后，最大的元素就会像水泡一样浮到最上面。
冒泡排序的时间复杂度为O(n²)，如果需要排序的数据量很大，那么执行起来会比较慢。
不过它的优点在于代码简单易懂，并且实现起来很容易。
2、选择排序选择排序的思路是每次从数据中选择一个最小（或最大）的元素，并将其放置在序列的起始位置。
按照这样的方式，每次只需要找到一个元素，就可以将数据序列排列好。
选择排序的时间复杂度也为O(n²)，但它比冒泡排序要稍微快一点。
3、插入排序插入排序的思路是将数据分为已排序区间和未排序区间两部分。
不断地将未排序区间的元素逐一与已排序区间的元素相比较，找到合适的位置插入。
重复执行这个过程，最终就能将整个数据序列排列好。
插入排序的时间复杂度也为O(n²)，但它的执行速度相对于冒泡排序和选择排序要慢一些。
不过它的优点在于它在处理小数据量时非常高效，并且在排序过程中需要的额外内存很少。
4、归并排序归并排序的思路是将数据分成两个子序列，分别进行排序，最后将排序好的子序列进行合并。
在合并的过程中，需要使用到一个额外的数组来存储数据。
归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，执行效率相对较高。
尤其是在处理大数据量时，它表现得十分出色。
5、快速排序快速排序的思路不同于以上几种排序算法，它是一种分治法的排序算法。
机器学习的基础理论与算法
机器学习的基础理论与算法机器学习（Machine Learning）是一门应用数学、人工智能和统计学等多个学科的交叉领域，在当今信息爆炸的时代具有重要的应用价值。
本文将介绍机器学习的基础理论与算法，以帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
一、机器学习的基础理论1.1 统计学基础机器学习的基础是统计学，通过对大量样本进行分析和建模，从而推断出未知的数据。
统计学中的概率论、假设检验和参数估计等方法为机器学习提供了重要的理论基础。
1.2 信息论基础信息论是机器学习中的另一个重要基础理论，它主要研究信息的度量和信息传输的规律。
信息论中的熵、互信息和条件熵等概念对于机器学习中的特征选择、聚类和分类等任务具有重要的指导意义。
1.3 线性代数基础线性代数在机器学习中扮演着重要的角色，它是研究向量、矩阵和线性变换等数学工具。
矩阵运算、特征值和特征向量等概念在机器学习中广泛应用于降维、主成分分析和矩阵分解等任务。
二、机器学习的基础算法2.1 监督学习算法监督学习是机器学习中最常用的算法之一，它通过已知输入和输出的训练样本，建立模型进行预测和分类。
常见的监督学习算法包括线性回归、逻辑回归、决策树和支持向量机等。
2.2 无监督学习算法无监督学习是指从未标记的数据中寻找隐藏结构和模式，用于聚类、降维和关联规则挖掘等任务。
常见的无监督学习算法包括K均值聚类、主成分分析和关联规则挖掘等。
2.3 强化学习算法强化学习是机器学习中的一种学习范式，它通过智能体与环境的交互，通过试错来优化策略以实现最大化的累积奖励。
常见的强化学习算法包括Q学习、深度强化学习和蒙特卡洛树搜索等。
2.4 深度学习算法深度学习是机器学习中的一种重要算法，它模拟人脑神经网络的结构和功能，通过多层次的网络结构进行特征提取和模式识别。
深度学习最著名的算法是人工神经网络和卷积神经网络等。
三、机器学习的应用领域3.1 自然语言处理自然语言处理是机器学习的重要应用领域之一，它主要研究计算机如何理解和处理人类语言。
人工智能基础算法【范本模板】
一、粒子群算法粒子群算法，也称粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization），缩写为PSO，是近年来发展起来的一种新的进化算法((Evolu2tionary Algorithm - EA）.PSO 算法属于进化算法的一种，和遗传算法相似,它也是从随机解出发,通过迭代寻找最优解，它也是通过适应度来评价解的品质，但它比遗传算法规则更为简单，它没有遗传算法的交叉(Crossover）和变异(Mutation) 操作,它通过追随当前搜索到的最优值来寻找全局最优。
这种算法以其实现容易、精度高、收敛快等优点引起了学术界的重视，并且在解决实际问题中展示了其优越性。
优化问题是工业设计中经常遇到的问题，许多问题最后都可以归结为优化问题.为了解决各种各样的优化问题，人们提出了许多优化算法,比较著名的有爬山法、遗传算法等.优化问题有两个主要问题:一是要求寻找全局最小点，二是要求有较高的收敛速度。
爬山法精度较高，但是易于陷入局部极小。
遗传算法属于进化算法(EvolutionaryAlgorithms）的一种,它通过模仿自然界的选择与遗传的机理来寻找最优解。
遗传算法有三个基本算子:选择、交叉和变异.但是遗传算法的编程实现比较复杂,首先需要对问题进行编码，找到最优解之后还需要对问题进行解码，另外三个算子的实现也有许多参数，如交叉率和变异率，并且这些参数的选择严重影响解的品质,而目前这些参数的选择大部分是依靠经验。
1995年Eberhart 博士和kennedy博士提出了一种新的算法；粒子群优化（ParticalSwarmOptimization-PSO）算法。
这种算法以其实现容易、精度高、收敛快等优点引起了学术界的重视，并且在解决实际问题中展示了其优越性。
粒子群优化(ParticalSwarmOptimization—PSO）算法是近年来发展起来的一种新的进化算法（Evolu2tionaryAlgorithm-EA).PSO算法属于进化算法的一种，和遗传算法相似,它也是从随机解出发,通过迭代寻找最优解,它也是通过适应度来评价解的品质。
基础算量公式
基础算量公式基础算量公式是指计算机科学中常用的一些基本算法和数据结构的计算复杂度公式。
这些公式可以帮助我们评估算法的时间和空间复杂度，并选择最适合的算法来解决问题。
本文将介绍一些常见的基础算量公式，并解释它们的含义和用途。
一、时间复杂度时间复杂度是衡量算法执行时间的指标，表示算法的运行时间与输入规模的增长率之间的关系。
常见的时间复杂度有：常数阶O(1)、对数阶O(log n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(n log n)、平方阶O(n^2)等。
1. 常数阶O(1)常数阶表示算法的执行时间与输入规模无关，即执行时间是一个常数。
例如，访问数组中的某个元素、执行一个简单的赋值语句等，都可以认为是常数阶的。
2. 对数阶O(log n)对数阶表示算法的执行时间随着输入规模的增大而增长，但增长速度较慢。
例如，二分查找算法的时间复杂度就是对数阶的。
3. 线性阶O(n)组、查找一个元素等都是线性阶的算法。
4. 线性对数阶O(n log n)线性对数阶表示算法的执行时间与输入规模的对数值成正比。
例如，归并排序、快速排序等排序算法的时间复杂度都是线性对数阶的。
5. 平方阶O(n^2)平方阶表示算法的执行时间与输入规模的平方成正比。
例如，冒泡排序、插入排序等排序算法的时间复杂度都是平方阶的。
二、空间复杂度空间复杂度是衡量算法占用空间的指标，表示算法所需空间与输入规模的增长率之间的关系。
常见的空间复杂度有：常数阶O(1)、线性阶O(n)、线性对数阶O(n log n)等。
1. 常数阶O(1)常数阶表示算法所需空间与输入规模无关。
即算法所需的额外空间是一个常数。
例如，只需要几个变量的存储空间的算法就是常数阶的。
2. 线性阶O(n)入规模相等的数组来存储数据的算法就是线性阶的。
3. 线性对数阶O(n log n)线性对数阶表示算法所需空间与输入规模的对数值成正比。
例如，归并排序、快速排序等排序算法的空间复杂度都是线性对数阶的。
计算机的基本算法
计算机的基本算法在计算机科学领域，算法是一组用于解决特定问题的指令和规则。
它们是计算机系统实现各种功能和任务的基础。
本文介绍和探讨了计算机的基本算法，包括排序算法、搜索算法和图算法。
一、排序算法排序算法是计算机科学中最基本和常用的算法之一。
它们的作用是将一组无序的数据按照升序或降序进行排列。
以下介绍几种常见的排序算法：1. 冒泡排序冒泡排序是一种通过多次比较和交换来实现排序的算法。
它的基本思想是从第一个元素开始，依次比较相邻的两个元素，如果它们的顺序不对则进行交换，直到达到整体有序的状态。
2. 插入排序插入排序是一种在已排序序列中插入新元素的排序算法。
它的基本思想是将待排序的数据分为已排序和未排序两部分，每次从未排序中取出一个元素，在已排序序列中找到合适的位置插入，保证每次插入后已排序序列仍然有序。
3. 快速排序快速排序是一种高效的排序算法，它采用分治的思想。
它的基本思想是选择一个基准元素，通过一趟排序将原数据划分为两部分，左边部分的元素都小于基准元素，右边部分的元素都大于基准元素，然后递归地对左右两部分进行排序。
二、搜索算法搜索算法是在给定数据集中查找特定元素或信息的算法。
以下介绍几种常见的搜索算法：1. 顺序搜索顺序搜索是一种逐个遍历数据元素进行匹配的搜索算法。
它的基本思想是从数据的第一个元素开始，依次和目标元素进行比较，直到找到匹配的元素或者遍历完整个数据集。
2. 二分搜索二分搜索是一种在有序数据集中查找目标元素的算法。
它的基本思想是将数据集分为两部分，判断目标元素可能在哪一部分，然后递归地在相应的部分中进行搜索，缩小搜索范围直至找到目标元素或确定不存在。
三、图算法图算法是用于解决图结构相关问题的算法。
图是由节点和边组成的数据结构，常用于表示多个对象之间的关系。
以下介绍几种常见的图算法：1. 广度优先搜索广度优先搜索是一种遍历图的算法，它从指定的起始节点开始，逐层扩展搜索到的节点，直到没有未搜索的节点为止。
SM4算法、AES算法、DES算法三种分组密码的基础分析
SM4算法、AES算法、DES算法三种分组密码的基础分析 分组密码当中代表性的SM4算法、AES算法、DES算法在计算机和通信系统中起着重要的实际作用，每一种的算法都会有其独有的一份结构，讲解起来其实每一种都有很大的一个篇幅。
在这里主要是把这几种密码算法放在一起做一个简单的分析，也可以通过了解每一种算法来比较一下三者之间的差别。
那么，我们就通过了解SM4算法、AES算法、DES算法这几种有代表性的近代分组密码来讨论一下分组密码的基本理论及其在计算机和通信系统中的实际应用。
1、SM4算法 SM4密码算法是一个分组算法，其算法设计简沽，结构有特点，安全高效。
数据分组长度为128比特，密钥长度为128比特。
加密算法与密钥扩展算法均采取32轮迭代结构。
SM4密码算法以字节8位和字节32位作为单位进行数据处理。
SM4密码算法是对合运算，因此解密算法与加密算法的结构相同，只是轮密钥的使用顺序相反，解密轮密钥是加密轮密钥的逆序。
SM4密码算法结构 SM4算法的基本内容有以下几方面： 基本运算：SM4密码算法使用模2加和循环移位作为基本运算。
基本密码部件：SM4密码算法使用了S盒、非线性变换τ、线性变换部件L、合成变换T基本密码部件。
轮函数：SM4密码算法采用对基本轮函数进行迭代的结构。
利用上述基本密码部件，便可构成轮函数。
SM4密码算法的轮函数是一种以字为处理单位的密码函数。
加密算法：SM4密码算法是一个分组算法。
数据分组长度为128比特，密钥长度为128比特。
加密算法采用32轮迭代结构，每轮使用一个轮密钥。
解密算法：SM4密码算法是对合运算，因此解密算法与加密算法的结构相同，只是轮密铝的使用顺序相反，解密轮密钥是加密轮密钥的逆序。
密钥扩展算法：SM4密码算法使用128位的加密密钥，并采用32轮法代加密结构，每一轮加密使用一个32位的轮密钥，共使用32个轮密钥。
因此需要使用密钥扩展算法，从加密密钥产生出32个轮密钥。
密码学基础(一)常见密码算法分类
密码学基础（一）常见密码算法分类对称算法是指一种加密密钥和解密密钥相同的密码算法，也称为密钥算法或单密钥算法。
该算法又分为分组密码算法（Block cipher）和流密码算法（Stream cipher）。
•分组密码算法o又称块加密算法o加密步骤一：将明文拆分为 N 个固定长度的明文块o加密步骤二：用相同的秘钥和算法对每个明文块加密得到 N 个等长的密文块o加密步骤三：然后将 N 个密文块按照顺序组合起来得到密文•流密码算法o又称序列密码算法o加密：每次只加密一位或一字节明文o解密：每次只解密一位或一字节密文常见的分组密码算法包括 AES、SM1（国密）、SM4（国密）、DES、3DES、IDEA、RC2 等；常见的流密码算法包括 RC4 等。
•AES：目前安全强度较高、应用范围较广的对称加密算法•SM1：国密，采用硬件实现•SM4：国密，可使用软件实现•DES/3DES：已被淘汰或逐步淘汰的常用对称加密算法二、非对称密码算法（Asymmetric-key Algorithm）非对称算法是指一种加密密钥和解密密钥不同的密码算法，也称为公开密码算法或公钥算法。
该算法使用一个密钥进行加密，另一个密钥进行解密。
•加密秘钥可以公开，又称为公钥•解密秘钥必须保密，又称为私钥常见非对称算法包括 RSA、SM2（国密）、DH、DSA、ECDSA、ECC 等。
三、摘要算法（Digest Algorithm）算法是指将任意长度的输入消息数据转换成固定长度的输出数据的密码算法，也称为哈希函数、哈希函数、哈希函数、单向函数等。
算法生成的定长输出数据称为摘要值、哈希值或哈希值，摘要算法没有密钥。
算法通常用于判断数据的完整性，即对数据进行哈希处理，然后比较汇总值是否一致。
摘要算法主要分为三大类：MD（Message Digest，消息摘要算法）、SHA-1（Secure Hash Algorithm，安全散列算法）和MAC（Message Authentication Code，消息认证码算法）；另国密标准 SM3 也属于摘要算法。
建筑物地基基础承载力分析的数学模型及其算法研究
建筑物地基基础承载力分析的数学模型及其算法研究建筑物地基基础承载力分析是一项关键的工程问题，直接关系到建筑物的安全性和稳定性。
为了准确预测建筑物的承载力，许多研究人员提出了各种数学模型和算法。
本文将对几种常用的数学模型和算法进行分析和研究，探讨它们的优缺点及适用范围。
一、Winkler模型及其算法Winkler模型是最基础也是最常用的地基基础承载力数学模型之一。
在该模型中，地基被视为由无限个独立的弹性基础单元组成，在垂直向上受到建筑物荷载作用时，每个单元的变形程度与地面应力发生关联。
该模型的算法通常采用有限差分法或有限元法等数值计算方法。
二、半解析解法半解析解法是一种常见的地基基础承载力分析算法，它结合了解析解法和数值解法的优点。
该算法的核心思想是将复杂的地基结构简化为一系列解析解能够适用的基础，通过叠加这些解析解的结果获得整个结构的反应。
该算法适用于一些较为简单的地基结构及荷载情况，但对于复杂的情况需要使用其他更为精确的数值解法。
三、弹性半空间模型弹性半空间模型是建筑物地基基础承载力分析的一种常用数学模型。
该模型考虑了地基土壤的弹性特性以及地下水位等因素的影响。
通过建立弹性半空间的有限差分或有限元模型，可以计算出建筑物地基基础的力学响应。
该模型的算法通常使用迭代法或直接求解法等数值计算方法。
四、Plaxis计算软件Plaxis是一种广泛应用于地基基础承载力分析的专业计算软件。
它集成了各种数学模型和算法，并提供了友好的用户界面来进行模型的建立和计算结果的分析。
使用Plaxis可以方便地对不同类型的地基基础进行承载力分析，并得到准确的计算结果。
总结：建筑物地基基础承载力分析是一项重要的工程问题，需要运用数学模型和算法来准确预测建筑物的承载力。
在本文中，我们分析和研究了Winkler模型、半解析解法、弹性半空间模型和Plaxis计算软件等几种常用的数学模型和算法。
每种模型和算法都有其适用范围和优缺点，需要根据具体情况选择合适的方法进行建筑物地基基础承载力分析。
计算机基本算法
计算机基本算法
计算机基本算法是指计算机科学中常用的算法，是计算机程序设计的基础。
这些算法可以用来解决各种问题，例如排序、搜索、图形处理、人工智能等。
在计算机科学中，算法的效率和正确性是非常重要的。
因此，计算机基本算法必须满足以下几个要求：
1.正确性：算法必须能够正确地解决问题。
2.可读性：算法必须易于理解和阅读。
3.可维护性：算法必须能够方便地进行修改和维护。
4.可扩展性：算法必须能够适应数据的规模增大而不影响效率。
计算机基本算法可以分为以下几类：
1.排序算法：排序算法是指将一组数据按照一定的规则进行排序的算法，例如冒泡排序、快速排序、归并排序等。
2.搜索算法：搜索算法是指在一组数据中查找一个特定的值的算法，例如线性搜索、二分搜索等。
3.图形处理算法：图形处理算法是指对图形进行处理的算法，例如网格化、线性插值、变形等。
4.人工智能算法：人工智能算法是指模拟人类智能的算法，例如神经网络、遗传算法等。
在实际应用中，计算机基本算法是实现各种计算机程序的基础，它们的效率和正确性对程序的运行速度和功能实现有直接影响。
因此，学习计算机基本算法对于计算机科学专业的学生和从事计算机程序
设计工作的人员来说非常重要。
C语言常用的入门算法
C语言常用的入门算法C语言是一种广泛应用的编程语言，主要用于开发系统软件和应用程序。
对于初学者来说，了解一些常用的入门算法可以帮助他们掌握基本的编程技巧和思维方式。
以下是C语言常用的入门算法。
1.顺序结构：按照顺序执行代码。
这是C语言中最基础的算法结构。
例如，计算两个数的和：先输入两个数，然后将它们相加。
2. 分支结构：根据条件选择执行不同的代码块。
这是通过if-else语句实现的。
例如，判断一个数是奇数还是偶数：如果数除以2的余数为0，则为偶数，否则为奇数。
3. 循环结构：重复执行一段代码，直到满足一些条件。
这是通过for、while或do-while语句实现的。
例如，打印1到10的所有整数：使用for循环从1到10循环遍历，并打印每个数。
4.数组：一组相同类型的数据的集合。
可以使用循环结构对数组进行遍历和操作。
例如，计算一个数组的总和：使用循环遍历数组的每个元素，并将它们相加。
5.字符串操作：处理文本的一系列算法。
C语言中字符串是以字符数组的形式存储和操作的。
例如，计算字符串的长度：使用循环遍历字符串，直到找到字符串的结束符'\0'。
6.排序算法：将一组数据按照一定的顺序排列的算法。
常用的排序算法有冒泡排序、插入排序和快速排序等。
例如，使用冒泡排序对一组数进行排序：比较相邻的两个数，如果它们的顺序不正确，则交换位置。
7.查找算法：在一组数据中查找一些特定值的算法。
常用的查找算法有线性查找和二分查找等。
例如，使用线性查找在数组中查找一个数：遍历数组，逐个比较每个元素，直到找到目标数或遍历结束。
8.递归：一个函数调用自身的过程，可以用来解决一些重复性的问题。
例如，计算阶乘：使用递归调用函数自身，直到达到基本情况并返回结果。
10.文件操作：C语言中可以使用文件操作来读写文件。
例如，读取文件中的内容并打印：打开文件，逐行读取文件内容，然后打印。
这些算法只是C语言中的一小部分，但对于初学者来说足够入门，并可以帮助他们培养基本的编程思维和解决问题的能力。
基础算法(一)枚举法
基础算法（一）枚举（穷举）法无论什么类型的试题，只要能归纳出数学模型，我们尽量用解析方法求解，因为一个好的数学模型建立了客观事物间准确的运算关系。
在一时找不出解决问题的更好途径时，可以根据问题中的约束条件，将所有可能的解全部列举出来，然后逐一验证是否符合整个问题的求解要求。
一、枚举法的基本思想:从可能的解集合中一一穷举各元素，用题目给定的检验条件判定哪些是有用的，哪些是无用的，能使命题成立的，即为其解。
这种思维方法主要是基于计算机运算速度快的特点。
二、枚举法解题思路：1、对命题建立正确的数学模型；2、根据命题确定数学模型中各变量的变化范围（即可能解的范围）；3、利用循环语句、条件判断语句逐步求解或证明。
三、枚举法的特点：算法简单，但运算量大。
对于可能确定解的范围，又一时找不到更好的算法时，可以采用枚举法。
1、求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A、B、C为1～3之间的整数。
2、鸡兔同笼问题（在同一个笼子里有鸡和兔子若干只，从上面看，能看到20个头，从下面看，能看到60只脚，问鸡兔各有多少只？）3、百钱百鸡问题（一百块钱要买一百只鸡，这一百只鸡必须包含母鸡、公鸡和小鸡，其中，公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只，问有哪些购买方案？）4、水仙花数问题（ABC=A3+B3+C3,列出所有的整数ABC）5、一根29厘米长的尺子，只允许在上面刻7个刻度，要能用它量出1～29厘米的各种长度，试问刻度应该怎样选择？6、猴子选大王：有M个猴子围成一圈，每个有一个编号，编号从1到M。
打算从中选出一个大王。
经过协商，决定选大王的规则如下：从第一个开始，每隔N个，数到的猴子出圈，最后剩下来的就是大王。
要求：从键盘输入M，N，编程计算哪一个编号的猴子成为大王。
参考程序：7、变形猴子选大王：有M个人围成一圈，每人有一个编号，从编号为1的人开始，每隔N个出圈，按出圈次序排成一列，其编号刚好按顺序从1到M。
要求：从键盘输入M，N，编程计算并输出这M个人原来在圈中的位置。
C语言基本算法
C语言基本算法C语言是一门用于编写计算机程序的高级编程语言，其特点是语法简洁、表达力强，广泛应用于科学计算、系统开发等领域。
在C语言中，算法是解决问题的关键，因此掌握基本算法对于学习和使用C语言非常重要。
本文将介绍C语言中一些简单级别的基本算法。
1.顺序查找算法顺序查找算法是一种简单的算法，用于在一个无序数组中查找目标元素。
它的基本思想是逐个比较数组中的元素，如果找到目标元素则返回其索引，否则返回-12.二分查找算法二分查找算法是一种高效的算法，用于在一个有序数组中查找目标元素。
它的基本思想是将数组分成两半，判断目标元素在哪一半中，然后再在该半中进行查找，如此循环直到找到目标元素或确定不存在。
3.冒泡排序算法冒泡排序算法是一种简单的排序算法，用于将一个无序数组按照升序或降序排列。
它的基本思想是从数组的第一个元素开始，两两比较相邻元素的大小并交换位置，按照此规则不断遍历数组直到排序完成。
4.选择排序算法选择排序算法是一种简单的排序算法，用于将一个无序数组按照升序或降序排列。
它的基本思想是从数组中选择最小（或最大）的元素并放置到第一个位置，然后在剩余的元素中选择最小（或最大）的元素并放置到第二个位置，如此循环直到排序完成。
5.插入排序算法插入排序算法是一种简单的排序算法，用于将一个无序数组按照升序或降序排列。
它的基本思想是将数组分为已排序部分和未排序部分，每次从未排序部分选取一个元素插入到已排序部分的适当位置，如此循环直到排序完成。
6.计数排序算法计数排序算法是一种简单的排序算法，适用于待排序的元素是有限个数的情况。
它的基本思想是统计数组中每个元素出现的次数，然后根据统计结果重新排列数组。
7.求和算法求和算法是一种简单的计算算法，用于计算一个数组中所有元素的和。
它的基本思想是遍历数组，累加每个元素的值得到最终结果。
8.求平均值算法求平均值算法是一种简单的计算算法，用于计算一个数组中所有元素的平均值。
C语言常用的入门算法
C语言常用的入门算法C语言是一门广泛应用于计算机科学和软件开发领域的编程语言。
作为一门通用的编程语言，C语言提供了丰富的算法和数据结构库，使得开发人员能够解决各种不同类型的问题。
下面是C语言入门算法的一些常见示例：1.排序算法：-冒泡排序：通过不断比较相邻的元素，并交换它们的位置来排序。
-插入排序：将未排序的元素逐一插入已排序的列表中。
-选择排序：通过重复找到最小的元素并将其放置在已排序序列的末尾来排序。
-快速排序：通过选择一个基准元素，将列表划分成较小和较大的两部分，然后对其进行递归排序。
-归并排序：将列表分成较小的子列表，然后逐个合并这些子列表。
2.查找算法：-顺序查找：逐个比较列表中的元素，直到找到匹配的元素为止。
-二分查找：在已排序的列表中通过递归或循环的方式，将待查找的元素与中间元素进行比较，以确定它可能在哪一半中。
-哈希表：通过散列函数将元素映射到一个较小的固定大小的数组（哈希表）中，并通过索引快速查找。
3.字符串算法：-字符串长度：使用循环逐个字符遍历，直到遇到字符串结束符'\0'为止，统计字符个数。
-字符串比较：逐个字符比较两个字符串的对应位置，直到遇到不相等的字符或字符串结束符。
-字符串拼接：将一个字符串的字符逐个复制到另一个字符串的末尾，直到遇到字符串结束符'\0'。
-子字符串匹配：在一个较长的字符串中查找一个较短的子字符串，常用的算法有朴素算法和KMP算法。
4.数值算法和运算：-求和、平均值、最大/最小值：循环遍历列表，累加求和，计算平均值，找出最大/最小值。
-阶乘和斐波那契数列：使用循环或递归计算给定数字的阶乘和斐波那契数列。
-幂运算和开方：通过循环或递归计算给定数字的幂和开方。
- 线性方程求解：求解形如ax + b = 0的一元线性方程。
5.图算法：-广度优先（BFS）：通过遍历图的邻居节点来逐层扩展区域，通常用于查找最短路径。
-深度优先（DFS）：通过遍历图的邻居节点来递归到达所有可能的节点，通常用于查找所有路径、拓扑排序等。
p算法,k算法,破圈法,穷举法,ew算法,d算法,bf算法,fw算法的基本原理和应用场合
p算法,k算法,破圈法,穷举法,ew算法,d算法,bf算法,fw算法的基本原理和应用场合以下是各种算法的基本原理和应用场合：1.P算法（Proportional Control Algorithm）：P算法是一种比例控制算法，根据偏差与设定值之间的比例关系进行调节。
它通过调整输出信号的比例系数来实现控制。
P算法简单且易于实现，适用于需要快速响应且没有严格精度要求的控制系统。
2.K算法（Kalman Filter Algorithm）：K算法是一种滤波算法，用于估计系统状态变量。
它基于状态估计误差的协方差矩阵来动态调整系统模型和测量模型的权重，从而根据测量结果和先验知识对状态变量进行更精确的估计。
K算法广泛应用于信号处理、控制系统、导航等领域。
3.破圈法（Circumference Method）：破圈法是一种寻找最优解的优化算法。
它通过逐步调整参数，在多个候选解中选择与目标函数最接近的解。
破圈法适用于求解连续优化问题，如函数的极值点或最小化问题。
4.穷举法（Exhaustive Search Algorithm）：穷举法是一种基于暴力搜索的算法，用于找到问题的所有可能解。
它通过枚举所有的可能情况，逐个验证并比较得出最优解。
由于穷举法需要枚举所有可能的解，适用于解空间较小且复杂度较低的问题。
5.EW算法（Exponentially Weighted Algorithm）：EW算法是一种滤波算法，用于对时间序列数据进行平滑处理。
它通过对当前观测值和历史平均值进行加权平均，根据权重的选择，可以灵活调整平滑的程度。
EW算法常用于预测、信号处理、数据挖掘等领域。
6.D算法（Differential Evolution Algorithm）：D算法是一种全局优化算法，用于求解连续非线性优化问题。
它以种群为基础，通过模拟生物进化的过程，不断调整候选解来逼近最优解。
D算法适用于多峰函数、高维优化问题以及参数优化等领域。
计算机的基本算法
计算机的基本算法计算机的基本算法是指在计算机科学中用于解决问题或执行任务的一系列定义良好的指令或规则。
它是计算机科学的基础，对于计算机的功能和性能起着重要的支撑作用。
本文将会介绍几种常见的基本算法，包括搜索算法、排序算法和图算法。
一、搜索算法搜索算法是用于寻找特定目标的过程，通过有限的步骤逐个检查元素，直到找到所需的目标或确定目标不存在。
以下是两种常见的搜索算法：1.1 顺序搜索顺序搜索，也称为线性搜索，是一种直观且简单的搜索算法。
它从列表的起始位置开始，逐个对比每个元素，直到找到目标元素或全部元素都被检查完毕。
顺序搜索的时间复杂度为O(n)，其中n为列表的长度。
1.2 二分搜索二分搜索是一种用于有序列表的高效搜索算法。
它将目标元素与列表的中间元素进行比较，如果相等，则返回该元素的索引；如果目标元素大于中间元素，则在列表的后半部分进行二分搜索；反之，在列表的前半部分进行二分搜索。
通过将搜索范围缩小一半，二分搜索的时间复杂度为O(log n)，其中n为列表的长度。
二、排序算法排序算法是一种将列表或数组中的元素按照特定顺序重新排列的算法。
以下是两种常见的排序算法：2.1 冒泡排序冒泡排序是一种简单但效率较低的排序算法。
它从列表的起始位置开始，依次比较相邻的两个元素，如果它们的顺序不正确，则交换它们的位置。
通过多次遍历列表并重复比较交换操作，最终将最大（或最小）的元素移动到列表的末尾。
冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)。
2.2 快速排序快速排序是一种高效的排序算法，利用分治的思想将列表一分为二，并递归地对子列表进行排序。
它选择一个基准元素，将其他元素分为小于基准元素和大于基准元素的两部分，然后对这两部分分别进行快速排序，最终将它们合并成一个有序的列表。
快速排序的平均时间复杂度为O(nlog n)，最坏情况下为O(n^2)。
三、图算法图算法是解决图相关问题的一类算法，其中图是由节点和边组成的数据结构。
以下是两种常见的图算法：3.1 深度优先搜索深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。
五大基础算法
五大基础算法
五大基础算法是指排序算法、查找算法、递归算法、贪心算法和动态规划算法。
这些算法是计算机科学中最基本的算法，掌握它们可以让我们更好地理解和解决计算机科学中的问题。
排序算法是指将一组数据按照某种规则进行排列的算法，包括冒泡排序、选择排序、插入排序、希尔排序、归并排序和快速排序等。
查找算法是指在一组数据中查找特定值的算法，包括线性查找、二分查找、哈希查找等。
递归算法是指一个函数调用自身的算法，常见的递归算法包括斐波那契数列、阶乘等。
贪心算法是指在每一步选择中都采取最优策略，从而导致全局的最优解，常见的贪心算法包括背包问题、最小生成树等。
动态规划算法是指将一个问题分解成多个子问题并在每个子问
题上只求解一次，从而避免重复计算，常见的动态规划算法包括最长公共子序列、背包问题等。
掌握五大基础算法可以帮助我们更快地解决问题，提高代码效率，是计算机科学学习的必备基础。
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十大基础算法
十大基础算法
1.递归算法：递归是一种解决问题的方法，它把一个问题分解为两个或多个小问题，直到最后问题的规模小到可以被很简单直接求解的程度。
2. 排序算法：排序是计算机程序中常用的算法之一，它将一组数据按照特定的顺序排列。
3. 查找算法：查找是指在一个数据集中查找特定的值或者对象，查找算法的效率对于处理大量数据非常重要。
4. 图论算法：图是一种表示对象之间关系的数据结构，图论算法是研究如何在图上进行各种计算的算法。
5. 动态规划算法：动态规划算法是求解决策过程中最优化问题的一种方法，它将问题分解成若干个子问题，通过求解子问题的最优解来得出原问题的最优解。
6. 贪心算法：贪心算法是一种求解最优化问题的算法，它通过贪心的选择当前最优解来求解问题。
7. 回溯算法：回溯算法是一种求解组合优化问题的算法，它通过不断地尝试每一种可能性来寻找问题的解。
8. 分治算法：分治算法是一种将问题分解成若干个子问题进行求解的算法，它通过将问题分解成若干个规模更小的子问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
9. 模拟算法：模拟算法是一种通过模拟真实场景来解决问题的算法，它可以将问题转化为模拟场景，然后通过模拟场景来得到问题
的解。
10. 线性规划算法：线性规划是一种求解线性约束下的最优解问题的算法，它可以用来求解各种各样的问题，例如生产计划、运输问题等。
基础算法：与、或、异或运算
基础算法：与、或、异或运算
1.与运算（&）
参加运算的两个数据，按⼆进制位进⾏“与”运算。
运算规则：0&0=0; 0&1=0; 1&0=0; 1&1=1;
即：两位同时为“1”，结果才为“1”，否则为0
例如：3&5 即 0000 0011 & 0000 0101 = 0000 0001 因此，3&5的值得1。
例如：9&5 即 0000 1001 (9的⼆进制补码)&00000101 (5的⼆进制补码) =00000001 (1的⼆进制补码)可见9&5=1。
2.或运算（|）
参加运算的两个对象，按⼆进制位进⾏“或”运算。
运算规则：0|0=0； 0|1=1； 1|0=1； 1|1=1；
即：参加运算的两个对象只要有⼀个为1，其值为1。
例如:3|5 即 0000 0011 | 0000 0101 = 0000 0111 因此，3|5的值得7。
例如：9|5可写算式如下： 00001001|00000101 =00001101 (⼗进制为13)可见9|5=13
3.异或运算（^）
参加运算的两个数据，按⼆进制位进⾏“异或”运算。
运算规则：0^0=0； 0^1=1； 1^0=1； 1^1=0；
即：参加运算的两个对象，如果两个相应位为“异”（值不同），则该位结果为1，否则为0。
例如：9^5可写成算式如下： 00001001^00000101=00001100 (⼗进制为12)可见9^5=12。
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A 地基反力及净反力净反力的定义：仅由基础顶面标高以上上部结构（包括基础拉梁）传下来的荷载所产生的地基反力。
有两个要点：①不包括基础自重及其上覆土重；②用于计算基础本身强度（抗弯、抗剪、抗冲切），所以为承载力极限状态下的基本组合；规范里用p j 来表示。
A.1 已知条件分别给出基础顶面标高以上恒载标准值、活载标准值（注意《荷规》第12页表4.1.2的活载折减）：A.1.1计算基底面积时：采用标准值组合k F =恒载标准值+最大活载标准值+其余活载组合值，且与基础自重及其上覆土重G k 相加后，按《基规》第20页5.2.1条计算。
A.1.2 计算基础沉降时：采用准永久值组合F k =恒载标准值+所有活载准永久组合值，且与基础自重及其上覆土重G k 相加后，再减去被挖除的原状土重得到附加应力后，按《基规》第29页计算。
A.1.3 计算基础本身强度时：采用基本组合，分为活载控制（γG =1.2，《荷规》第7页式3.2.3-1）和恒载控制（γG =1.35，《荷规》第7页式3.2.3-2），应分别验算、取大者得到上部结构轴设计值N （如有基础拉梁，按有偏心计算，且计入基础拉梁的压力设计值F b 、对基底形心取矩的弯矩设计值M b =F b ×e b ）。
条基取B ＝1m 计算。
①没有偏心（弯矩及基顶剪力均为零）：净反力设计值p j ＝N ／(A ×B ) ，A —沿弯矩方向基底边长，B —垂直弯矩方向基底边长。
地基反力设计值p ＝p j ＋γG ×20h d (A ×B )，（h d 取基础埋深h ，有室内外高差h ∆时，h d ＝h +0.5h ∆）；②有偏心：基底弯矩设计值M ＝上部结构弯矩设计值M ＋M b ＋V ×h V （h V 为上部结构剪力V 到基底距离），基底压力设计值N ＝N ＋F b ＋γG ×20h d (A ×B )，基底偏心距e 0＝M ／N （且e 0≤基础宽度A ／6），地基反力设计值max0min 6(1)e N p A BA=±⨯，地基净反力设计值,max max ,min min 20j j G d p p h γ=-⨯。
已知设计值：,max,min 26j j N M p A BBA=±⨯。
常取p j ＝p j max计算；A.2 已知条件给出基础顶面标高以上设计值（基本组合值）：近似取设计值（恒载控制）除1.35，作为标准组合值计算基底面积。
基础沉降计算，条件不足无法计算。
计算基础本身强度时同A.1.3。
B 各类基础的验算要求B.1 无筋扩展基础：基本上通过构造满足要求，要保证基础宽度b 及每阶总宽位于压力扩散角（查《基规》第55页表8.1.2）之内。
B.1.2 基础采用不同材料叠合组成时验算内容：①下层为素砼：《混规》第88页第7.8.3条0.9l c l c l F f A ββ≤；②下层为砌体：《砌规》第26页第5.2.1条l l N fA γ≤；B.1.3 素砼基础基底平均压应力＞300kP a 时验算抗剪： 《混规》第67页第7.5.3条，按无腹筋板式构件验算。
B.2 配筋扩展基础的验算要求：公式①：无基础梁00.9s y M A f h =（计算外皮钢筋的00.5h h c d =--，d 假设为20mm ，有垫层时c ＝40mm ，无垫层时c ＝70mm ；计算内层第二排钢筋的0h ，应再减去一个外皮筋直径）。
有基础梁按《混规》第40页插页B.1.1求解。
公式②：《基规》第61页第8.2.7条。
公式③：《混规》第88页第7.8.3条0.9l c l c l F f A ββ≤。
公式④：无基础梁取b 为1000mm ，00.7h t V f bh β≤，按《混规》第64页插页C 求解。
有基础梁，按《混规》第64页插页D.1求解。
公式⑤：按《混规》第75页第7.6节求解。
C 柱下独基的抗冲切验算C.1 基本参数：00.5h h c d =--，d 假设为20mm ，有垫层时c ＝40mm ，无垫层时c ＝70mm ，计算内层第二排钢筋的0h ，应再减去一个外皮筋直径。
f t 查《混规》第17页表4.1.4。
净反力设计值p j 按A.1.3计算。
[][][]51.0800(8.33310)(800) 1.080020000.92000hp h mm h mm h mm h mm β-≤=-⨯-+<<≥⎧⎪⎨⎪⎩，h 为基础高度。
C.2 计算A l 、a m ：独基长边为A 、短边为B ，相应柱截面尺寸为a 、b 。
02b h B +<时：200()()22l A a B b A B h h --=---，0m a b h =+。
02b h B +≥时：02()2l A h aA B --=，2m b B a +=。
C.3 计算F l ：l j l F p A =，计算00.7hp t m f a h β，如≥F l 则抗冲切满足。
D 柱下独基、墙下条基底板抗弯验算《基规》第63页：p 和p max 不是地基净反力而是地基反力。
墙下条基可按地基净反力设计值p j max 和来p j min 计算，根据第63页a 1插值得到p j a1，按悬臂梁梯形匀载可得内力M Ⅰ和V 。
E 多柱联合条形基础的验算E.1 计算柱荷载合力作用点（荷载重心）位置：第i （从左至右编号）根柱（支座）的集中力为i F 、弯矩为i M （没有时取0，顺时针为正），i F 距离F 1为i x ，则：荷载重心距F 1的距离1'21()ni ii i nii M F xM x F==±+±=∑∑。
E.2 确定基础长度，使基础中心与荷载重心尽量重合：∑A i 为边柱中心距，左、右端外挑（挑出端距边柱中心）距离分别为A 0、A n ，则基础总长度（包括两端挑出长度）A ＝2(A 0＋x ’)＝2(∑A i －x ’＋ A n )＝A 0＋∑A i ＋A n 。
E.3 按地基承载力特征值、荷载标准值确定基底面积：按《基规》第20页分别按轴心、偏心荷载（标准值）计算，其中M k 为各集中荷载对基础几何中心取矩的弯矩和（如有水平剪力应记入其弯矩），此时W ＝(B ×A 2)／6，A 为平行于弯矩平面的长边（基础总长度），B 为垂直于弯矩平面的短边（b f ）。
E.4 按地基净反力直线分布，静定分析基础内弯矩、剪力： ij Fp A B =⨯∑（kN/m 2）直线分布，上部结构柱为铰支座。
E.4.1 第m 跨中最大负弯矩：柱轴力i F （从左至右编号）距离F 1为x i （x 1≡0），第m 跨内剪力零点距离左悬挑端为'1mii m j Fx p B==∑，max'20111()()2m mmiiij m i i M M F xA pB x ===++-∑∑，M i 顺时针为正。
E.4.2求条基内最大支座剪力： 第m 支座左侧剪力： 111()2m m lcm m ijii i a V F p B A --===--∑∑；第m 支座右侧剪力： 11()2m m rcm m ijii i a V F p B A -===-+∑∑；上两式中： a cm 为第m 支座梁、柱宽（对应于基础长边A ），求得的剪力l m V 、rm V 在隔离体内（总是包含左悬挑端）向下为正。
E.5 按地基净反力，计算基础翼缘底板弯矩、剪力（可求解翼缘板厚度）：无偏心地基净反力：ijFp A B=⨯∑（kN/m 2）。
①弯矩2()8j b p B b M -=（b b —沿B 方向基础梁宽或柱宽），配筋面积00.9s y M A f h =（00.5h h c d =--，d 假设为20mm ，有垫层时c ＝40mm ，无垫层时c ＝70mm ；）。
②剪力计算截面位于梁边，剪力()2j b p B b V -=，按《混规》第64页插页C 求解：00.7h t V f bh β≤（此处b 取1m 计算）。
E.6 柱边截面抗冲切验算：第m 根柱（或台阶）平面尺寸为a cm ×b cm （对应于基础长边A 和短边B ）、轴力为F m ，冲切锥体底面积A m 及上、下周边平均值a m 、b m ，冲切力m m j m P F p A =-。
E.6.1 中支座柱，填表计算如下：公式①：00.7m hp t m P f a h β≤；公式②：00.7m hp t m P f b h β≤；《基规》第61页8.2.7条。
E.6.2 边支座柱，填表计算如下：102()()2cm x a h x +≤⎧⎨⎩左悬挑长度右悬挑长度时按中柱计算。
否则按边柱如下：公式①：00.7m hp t m P f a h β≤；公式②：00.7m hp t m P f b h β≤；《基规》第61页8.2.7条。
F 多跨柱下条形基础内力的验算跨数≤2的时候采用E.4分跨计算尚可，否则计算量过大，可改用其它方法整体计算，支座弯矩采用三弯矩方程计算，跨中最大弯矩按F.2，支座剪力按E.4.2条计算。
F.1 采用三弯矩方程计算支座正弯矩： 地基净反力设计值ij j FP p B A==∑（kN/m ）。
从0开始编号，共n 个不动铰支座（上部结构柱），共（n －1）跨，左悬挑长度为l 0、右悬挑长度为l n ，中间各跨跨度为l i 。
M i ’为第i 支座柱弯矩，顺时针为正。
各跨分别计算截面惯性矩I i 、l i ／I i 、l i 3／I i 分别代入方程组①，解方程组，求得各支座弯矩M i （顺时针为正）。
如果各跨截面相同（I 相同），可简化为方程组②计算。
F.2 各跨跨中最大弯矩计算：第i 跨左、右支座编号为i －1、i ，支座弯矩绝对值较小为M 1，另一个M 2。
距M 1距离为212i j il M M x P l -=-处跨中最大负弯矩12max ()()2j i i iP x l x M l x M xM l --+=-。
方程组①2'0033'112212012111221233'1111111112'1122()()()42()()()42j j j i i i i i i i i i i ii i i i i j n n n P l M M P l l l l l l M M M M I I I I I I P l l l l l l M M M M I I I I I I P l M M +++-+-+++--=-++++=-+++++=-++=-+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩共n 个方程组②20'0033'011122212133'1111112'1122()()42()()42j j j i i i i i i i i i i j nn n P l M M P M l M l l M l l l M P M l M l l M l l l M P l M M -++++---=-++++=-+++++=-++=-+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩共n 个。