北京科技大学有限元总结

科技大学2009—2010学年硕士研究生

“工程中的有限元方法”试题

__________________ 学号______________________班级______________ 成绩________________ 说明：1--5题为笔试题，每题10分。上机题结合实验报告共50分。

1、 简述弹性力学四边形四节点等参元的收敛性质以及由该单元刚度矩阵装配成的总刚度矩阵的性质。

在单元分析已经提出有限单元解的收敛性要求, 即, 单元必须是完备的和协调的。对于等参单元: 1.完备性:对于C0型单元,由于等参单元的形函数中包含有常数项和线性项,满足完备性的要求。

2. 协调性:由于单元之间的公共边上有完全相同的节点, 同时每一单元沿这些边的坐标和未知函数均采用相同的插值函数加以确定。因此, 只要在划分网格时, 遵守单元选择和节点配置的要求, 则等参单元满足协调性的要求。

2. 总刚的性质1）对称性2）奇异性，需引入合适的位移约束。3）稀疏，（存在许多零元素）4）非零元素呈带状分布5)主元恒正根据物理意义可得此性质，正常情况下，主元占优

2、 分析图示的两个单元在什么条件下其连接关系正确。要求说明所采用单元的类型和连接方法。

采用四边形等参元附加多点约束方程过渡。

4边形5节点Serendipity 过渡单元

约束方程：u 6=(u 2+u 3)/2

3、对于右图所示三节点网格，设每个节点具有一个自由度。其： 最大带宽= (9-1)*1=8 最大波阵宽=3

1,2,10 9,2,10 9,2,3 9,8,3 4,8,3 .

4、某非协调板单元，单元长度为2⨯2，节点基本未知量为：

()()

,,,(1,2,3,4)T

i i i i

w

w

w i y x φ⎡⎤

∂∂=-=⎢⎥∂∂⎣

⎦

在图示的坐标系下，其关于w 的插值函数形式为：

其中： ()()()()()

[]44

11

,,11T i i i i i i i i w w w N N w y x ξηξηφξηξη==⎡⎤∂∂==-∈-⎢⎥∂∂⎣⎦∑∑

，，，，，；(

)

222

0000i 0001[(+1)(+1) 2(+1)(+1)(1)8

i N ξηξηξηηξηη=++--+-单元构造示意图

4

3 1

试：（1）说明此插值函数属于哪一族插值函数？（2）说明此插值函数具有什么基本性质？

Hermite 族插值函数

插值函数及其导函数均具有δij 的性质。

5、三维实体元如图所示。根据已知形函数，写出它们在图示坐标系下是哪个节点形函数，依此规律写出节点7、18的形函数形式。

22 23

N7=1/64[-10+9（x^2+y^2）]（1+x ）(1+y)(1-z)

N18=9/64(1-x^2)(1+9z)(1+x)(1+1/3y)

科技大学2010—2011学年硕士研究生

“工程中的有限元方法”试题

_______________学号_______________班级______________ 成绩________________ 说明：1~7题为笔试题，共50分。上机题结合实验报告共50分。

3、 等参元有何特点？ 在四边形等参元网格的划分中，为什么要保证其角小于180°? （8分）

等参数单元（简称等参元）就是对单元几何形状和单元的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型单元。

优点：由于等参变换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算仍在前面所表示单元的规则域进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。也正因为如此，等参元已成为有限元法中应用最为广泛的单元形式。具有计算精度高和适应性好的特点，是有限元程序中主要采取的单元形式。

为了保证等参变换的一一对应性质，应当避免单元一边上的两点退化成一个节点，还要防止单元的任意

()()()()

()()

()()22

21

111641099

11641+31N N ξηζξηξηηζ=-++⋅

⎡⎤-++⎣⎦=--⋅

+————；

两边的夹角接近180度。更不允许夹角等于或大于180度。

2、在图1 所示的坐标系下，某插值函数形式为：

其中：

试：（1）说明此插值函数属于哪一族插值函数？Q1、Q2、Q3、Q4代表什么意义？（4分）（2）此插值函数具有什么基本性质？（4分）

Hermite插值函数，

有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式

3、构造一个四边形5节点Serendipity单元（长度：2×2），其中，5节点为等距离边点。要求写出单元的1节点和5节点所对应的形函数的具体形式。（8分）

已知：4结点矩形单元的插值函数：

4、三维四面体10节点元如图所示。补全已给形函数中的下标，以表明它们在图示坐标系下是哪个节点形函数。（6分）

对于图示的单元，其形函数为：

()()[]

4

1

01

i i

i

x

N Q

l

φξξξ

=

==∈

∑；，；

32222

1234

231(1)(32)(1-) N N l N N l

ξξξξξξξξ

=-+=-=-=-

；；；

η

ξ

3

2

1

4

5 12

34

11

(1)(1),(1)(1),

44

11

(1)(1),(1)(1)

44

N N

N N

ξηξη

ξηξη

=++=-+

=--=+-

()

3324

2L1;4

N L N L L

=-=

————

η

ξ

2

1 12

34

11

(1)(1),(1)(1),

44

11

(1)(1),(1)(1)

44

N N

N N

ξηξη

ξηξη

=++=-+

=--=+-

l x

y