薄板的小挠度弯曲问题及经典解法

x y

xy
1 E
(
x
1 E
(
y
2(1
E
y
x ) xy
) )
（9-2）
即薄板小挠度弯曲问题的物理方程和薄板平面应力问题的物理方程相同。
， （3）薄板中面内各点都没有平行于中面的位移
(u) z0 0 (v) z0 0
v


w y
z

f1 (x,
y)
，
u


w x
z

f2 (x,
y)
应用假定（3），即式（9-3），有：f1(x, y) 0 ，f2 (x, y) 0 ，即
v w z ， u w z
y
x
x

u x


2w x 2
z

y

v y
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2w z y 2
z
w
w(x, y)即在垂直于中面的任一法线
上，薄板全厚度内各点的挠度相同。
2）由几何方程， zy

w v y z
0
， zx

u z
w x
0
，得
v w ， u w z y z x （2） z 引起的形变可以不计。
（9-1）
由物理方程（7-12），有：
(z2

d2
4
)
y
2 w

（9-5）
（4）用w表示应力分量z
由平衡方程（7-1）式的第三式有（取 fz=0）：
z zx yz
z
x y
（c）
若体力不为零，可把薄板单位面积内的体力及面力归入薄板上面的
面力，并用 q表示。
d
q ( f )z zd
（9-8） （9-9）
称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是：L2MT-2
方程（9-8）称为薄板的弹性曲面微分方程。是薄板弯曲问题的基本 微分方程。具体求解时要考虑（板边上）薄板侧面的边界条件。
§9-3 薄板横截面上的内力及应力
一般情况下，很难使应力分量精确满足边界条件，应用圣维南原 理，应使应力组成的内力整体地满足边界条件。
( f z )zd

2 d
f z dz
2
2
2
（d）
由于 zx xz、 zy yz ，将（9-5）式代入（c）式，
z
E
d2
(

z 2 )4 w
z 2(1 2 ) 4
z

E
d2
(
2(1 2 ) 4
z
z 3 )4 w 3
F3 (x, y)
zx x yx ，将（9-4）式代入，有：
z
x y
zx Ez (3w 3w ) Ez 2w z 1 2 x3 xy 2 1 2 x
zx

Ez 2
2(1 2 )
x
2w
F1 (x,
y)
由边界条件( zx ) zd 2
1 2

z
d
)
2
(1

z
d
)
4
w
（9-6）
3. 弹性曲面微分方程
（1）在薄板上边界，( z ) d q，q薄板单位面积内的横向荷载， z
包括横向面力及体力。 2
（2）将（9-6）式代入上式，有：
Ed
12(1
3

2
)

4
w

q
（9-7）
D4w q
其中:
Ed 3
D
12(1 2 )
x

u x
、
y

v y
、
xy

v x

u y
（9-3）
( x ) z0 0 、( y ) z0 0 、( yz ) z0 0 即投影保持形状不变。
§9-2 弹性曲面微分方程
按位移求解，基本未知量 w w(x, y)。
1. 用w表示形变分量
将假定（1），即式（9-1）对z积分：

0
，有，
F1
(x,
y)


Ed 2 8(1
2
)
x

2
w
即有：
zx

E
2(1 2 )
(z2

d2
4
)
x
2w
同理，有： zy

E
2(1 2 )
(z2

d2
4
)
y
2w
zx

E
2(1 2 )
(z2

d2
4
)
x

2
w
zy

E
2(1 2 )
1. 横截面上的内力
取出平行六面体dxdyd 。
（1）在x为常量的截面上，作用有x、 xz、xy 。由于应力分量x和xy都与 z成 正比，全截面上其合力为零，只能合 成为弯矩和扭矩。
1）弯矩（沿y方向取单位宽度）由x合成：
2. 荷载的分解
将板受到的一般荷载分解为两种： 作用于中面之内的荷载（平面应力问题）。 垂直于中面的荷载（板的弯曲问题）。
3. 小挠度弯曲理论
板的弯曲刚度较大，板的挠度远小于其厚度。
4. 三个基本假定
（1）形变分量 z 、 zy 、 zx都可以不计。
1）由几何方程， z

w 0，知
§9-1 有关概念及计算假定
1. 名词解释
图9-1
（1）板 两个平行面与垂直于该平面的棱柱面所围成的物体称为 平板，简称板。 （2）中面 平分板厚度d的平面称为中面。 （3）弹性曲面 板弯曲时中面所形成的曲面。
（4）挠度 中面在 z方向上的位移。 （5）薄板 板的厚度d远小于中面的最小尺寸 b。 （3）弹性曲面 板弯曲时中面所形成的曲面。 （如小于b/8至b/5 ）的平板。
在薄板下面，边界条件 ( z ) zd （0 面力已等效），可得： 2
F3 (x,
y)


E
d3
(
2(1 2 ) 8

d 3 )4 w
38
回代（e）式，有：
z

E d2 2(1 2 ) [ 4
(z

d)
2

1 3
(z3

d 3 )]4w
8


Ed 3 6(1
2
)
(
将（a）式代入（b）式，有
x

Ez
1 2
2w (
x 2


2w
y 2
)
y

Ez
1 2
(
2w y 2


2w x 2
)
xy

Ez
1
( 2w ) xy

（9-4）
（3）用w表示应力分量zx、zy
由空间问题的平衡方程（7-1）式的第一式有（令fx=fy=0）：

xy

v x

u y

2w 2
xy
z
（a）
2. 用w表示应力分量
（1）由物理方程（9-2）式解得应力分量：
x
E
1 2
( x
y ) ， y
E
1 2
( y
x ) ， xy

E 2(1

)

xy
（b）
（2）用w表示应力分量x、y、xy