抽象函数问题的解题策略
抽象函数问题解法
抽象函数问题解法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。
它与函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等函数性质联系在一起，具有很强的抽象性。
这类问题主要考查数学思想方法的运用能力，以及对数学语言以及符号的阅读理解能力。
本文结合具体问题分类剖析这类问题的求解策略。
一、利用函数性质的解题思想函数性质是反映函数特征的主要途径，充分利用题设条件中已表明或隐含的函数性质，选择适当的方法解决抽象函数问题。
1.利用对称性，数形结合例1：已知函数f（x）对一切实数x都有f（2+x）= f（2-x），如果方程f（x）=0恰好有4个不同的实根，求这些实根之和。
策略：由f（2+x）= f（2-x）可知是函数图像关于直线x=2对称。
又f（x）=0四个根按由小到大的顺序可设为x1、x2、x3、x4，则x1+x4=2×2=4，x2+x3=2×2=4，∴x1+x2+x3+x4=8。
2. 利用奇偶性分析函数特征例2：已知函数f（x）=ax+bsinx+3，且f（-3）=7，求f（3）的值。
策略：注意到g（x）=ax+bsinx=f（x）-3是奇函数，可得g（-3）= -g（3），即f（-3）-3= -[f（3）-3]，f（3）=6-f（-3）= -1。
3. 利用单调性等价转化例3：已知奇函数f（x）在定义域（－１，1）上是减函数，试求满足不等式f（１－a）+f（1-a2）4.利用周期性研究函数特征例4：已知f（x）是定义在正整数集上的函数，对任意正整数x 都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），且f（1）=2002，求f（2002）。
分析：根据x的任意性，判断函数的周期。
略解：由f（x）=f（x-1）+f（x+1），可得：f（x+3）=-f（x）。
∴f（x+6）=-f（x+3）=[-f（x）]=f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，∴f（2002）=f（333×6+4）=f（４）＝f（３＋１）＝－f（１）＝－２００２。
抽象函数问题的解题策略
抽象函数问题的解题策略固镇二中陈学军2012-5-15抽象函数问题的解题策略抽象函数问题是高考中的热点、难点问题，处理这类问题往往需要深厚的数学知识的积淀。
同时掌握必要的解题技巧，对解决这类问题也有很大帮助。
下面通过实例来分析一下。
一、合理赋值对于求值问题，要善于通过对已知条件和结论的观察、比较，大胆尝试。
通过对变量合理赋值，使问题得到解决。
例1.已知定义在R上的函数f（x）满足对任意x,y∈R， f(x＋y)=f(x)+f(y)-1,则f(0)=______解：令x=y=0，得f(0)=1二、合理变形通过合理变形，使条件和结论更接近。
常见的变形有：和差互化、积商互化等。
例 2.对于任意x,y∈R ,f(x＋y)=f(x)+f(y),且对任意x>0有f(x)>0,求证:f(x)是R上的增函数。
分析：根据函数单调性的定义，要证f(x)在R上是增函数，即证对任意x1,x2∈R且x1<x2,都有f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0，也就是说，结论中出现的是函数值的差。
而条件中出现的是函数值的和，两者不“融合”，这就需要对条件进行“和差”互换，以使条件能和结论“融合”。
证：∵对任意x,y∈R ,f(x＋y)=f(x)+f(y)∴f(x)=f(x+y)-f(y)而x=x+y-y即f(x+y-y)=f(x+y)-f(y),设x>0,则f(x)= f(x+y-y)=f(x+y)-f(y)>0,令x+y= x2y= x1则x+y>y,即x2> x1 ,f(x2)>f( x1),由于x,y的任意性，∴x1,x2也是任意的。
由函数单调性的定义知f(x)是R上的增函数。
例3.已知f(x)是定义域为R的函数，且对任意x∈R,f(x)>0,对任意x,y∈R，f(x＋y)=f(x)〃f(y)，x>0时，f(x)>1.(1)求f(0)的值；（2）求证：f(x)是R上的增函数解：（1）通过合理赋值，令x=y=0,则由f(x＋y)=f(x)〃f(y)得f(0)=f2(0),又∵f(x)>0,∴f(0)=1.(2)分析：证明f(x)在R上单调递增，常用以下两种方法：一、证任意x1, x2∈R，且x1 <x2,证明f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0.二、当f(x)>0时，证明对任意x1, x2∈R且x1 <x2 ，f(x2)/ f(x1)>1.从本题的条件来看，可以看出它和方法二所需结果较为接近，而要把已知条件转化为所需结论，就需要实现两个转化：1.和差转化。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数的解题技巧1.换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2)故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2)2.方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。
例2..232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (xf 3 x ,x1)x (f 2)x1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用 .232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥⨯-≥∆得由例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x1x (f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 解:(1)1),x 0(x x 1)x1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ,x1x 1)x 1x 1x 1x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用 :x )1(x-11 (2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f( 得中的代换再以即-=-+ (3) .x1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x111x 11(f )1x 1(f --=+-+=---+-即 1)x 0(x x2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 3.待定系数法如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1.4.赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
抽象函数问题求解的常用方法
抽象函数问题求解的常用方法
高中数学中，抽象函数的解题方法主要包括以下几个方面：
1.确定定义域和值域：抽象函数的定义域和值域是解题的基础，需要根据题目中给出的条件进行确定。
2.运用函数性质：抽象函数和一般的函数一样，具有诸如奇偶性、周期性、单调性等函数性质。
在解题过程中，可以根据这些性质进行分析和推导，从而得出结论。
3.运用复合函数的性质：抽象函数可能会出现复合函数的形式，运用复合函数的性质可以将抽象函数化简，从而更加方便进行分析和计算。
4.利用函数的图像特征：抽象函数的图像特征包括零点、极值、拐点等，在解题过程中可以结合图像特征进行分析，进一步确定函数的性质和变化趋势。
需要注意的是，抽象函数作为高中数学中的一个较为高级的知识点，需要学生掌握一定的数学基础和思维方法，例如函数图像的绘制、导数和微积分等知识。
因此，在学习抽象函数时，需要逐步扩充自己的数学知识面，并不断提高自己的数学思维能力和分析能力。
抽象函数问题的解题策略
抽象函数问题的解题策略一、利用特殊模型有些抽象函数问题,用常规解法很难解决,但与具体函数“对号入座”后,问题容易迎刃而解.这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,但解答题的解答书写过程一般不能用此法.例1 若函数f(x)与g(x)在R 上有定义,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)= .解 因为 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), 这是两角差的正弦公式模型, 又f(-2)=f(1)≠0,则可取x x f 32sin )(π=于是 f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1) 例2 设函数f(x)是定义在R 上的减函数,且满足f(x+y)=f(x)f(y), f(-3)=8,则不等式f(x)f(x-2)< 的解集为 . 解 因为函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),这是指数函数模型,又 f(-3)=8, 则可取 ∵f(x)f(x-2)< ∴2)21()21(-x x ＜2561, 即22)21(-x ＜8)21(，∴ 2x-2 >8, 解不等式,得 x >5,∴ 不等式的解集为 {x|x >5}.二、利用函数性质函数的特征是通过函数的性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设条件所表明的函数的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能峰回路 转、化难为易.1. 利用单调性例3 设f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2.解 ∵ 函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,∴ 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),32sin )1()1()32sin()34sin(πππ---=-⇒g g .1)1()1()1(23)1(2323-=-+⇒---=⇒g g g g 2561 2561 ,)21()(x x f =由f(x)+f(x-8)≤2,得 f[x(x-8)]≤f(9),∵ 函数f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数, 则 ∴ 不等式解集为 {x|8<x ≤9}. 2. 利用奇偶性例4 已知函数f(x)=ax 5+bsinx+3,且f(-3)=7,求f(3)的值.分析 f(x)的解析式含有两个参数a 、b,却只有一个条件f(-3)=7,无法确定a 、b 的值,因此f(x)仍是抽象函数,但我们注意到g(x)=ax 5+bsinx 是奇函数,有g(-3)=-g(3).解 设g(x)=ax 5+bsinx,显然g(x)是奇函数,∵ f(-3)=7,∴ f(-3)=g(-3)+3=-g(3)+3=7 g(3)=-4,∴ f(3)=g(3)+3=-4+3=-1.3. 利用周期性例5 设函数f(x)在R 上是奇函数,f(x+2)=-f(x) ,当0<x ≤1时,f(x)=x,则f(7.5)= .解 由f(x+2)=-f(x) ,得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数,且是奇函数,于是 f(7.5)=f(2×4-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.例6 已知函数f(x)满足f(1)=2,f(x+1)=)(1)(1x f x f -+,则 f(2007)= . 解 ∵ ∴ f(x)是以4为周期的周期函数, 4. 利用对称性例7 已知f(x)是奇函数,定义域为{x|x ∈R,x ≠0},又f(x)在区间（0,+∞）上是增函数,且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x 的取值区间是 . 解 依已知条件作出f(x)的大致图象,如图1所示,从图象中可看出,当f(x)>0时,x 的取值区间是（-1,0）∪（1,+∞）.x >0, x-8>0, x(x-8)≤9, ⇒ 8<x ≤9, ,)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)2(x f x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++=+ ),()2(1)4(x f x f x f =+-=+从而 º º xy 1-1 0 图1.21)1(1)3()2007(-=-==∴f f f ⇒例8 定义在（-∞,+∞）上的函数y=f(x)在（-∞,2）上是增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f(6)的大小关系为 . 解 设F(x)=f(x+2),∵ F(x)为偶函数,∴ F(-x)=F(x), 即f(2+x)=f(2-x),∴ 函数f(x)的图象关于直线x=2对称,∴ f(-1)=f(5),∵ f(x)在（-∞,2）上是增函数,∴ f(x)在（2,+∞）上是减函数,∴ f(6)<f(5)<f(4), 即f(6)<f(-1)<f(4).三、利用特殊方法有些抽象函数问题,用常规方法来解决往往难于奏效,但用一些非常规方法来求解,常收到意想不到的效果.1. 利用赋值法例9 函数f(x)的定义域为R,对任意x 、y ∈R,都有f(x+y)+f(x-y)= 2f(x)f(y),且f(0)≠0.（1）求证:f(0)=1;（2）求证:f(x)是偶函数; （3） ① 求证:对任意x ∈R,有f(x+c)= -f(x)成 立;② 求证:f(x)是周期函数.解（1）令x=y=0,则有2f(0)=2f 2(0), ∵ f(0)≠0,∴ f(0)=1.（2）令x=0,则有f(y)+f(-y)= 2f(0)f(y),∵ f(0)=1,∴ f(-y)=f(y), ∴ f(x)是偶函数. （3）① 分别用22c 、c x + (c ≠0)替换x 、y, 有f(x+c)+f(x)=2f(2c x +)f(2c ). ∵ f(2c )=0, ∴ f(x+c)= -f(x) .② 由①知 f(x+c)=-f(x),用x+c 替换x,有f(x+2c)=-f(x+c)=f(x),∴ f(x)是以2c 为周期的周期函数.2. 利用递推法例10 设函数f(x)的定义域为R ,且对任意实数x,都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),求证：f(x)是周期函数.解 ∵ f(x)=f(x+1)-f(x+2),∴ f(x+1)=f(x+2)-f(x+3),将以上两式相加,得 f(x+3)=-f(x),∴ f(x+6)=-f(x +3)=f(x),.0)2()0(=≠c f ，c c 使若存在常数∴ f(x)是周期函数,6是它的一个周期.例11 f(x)是定义在正整数集的函数,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy (x,y ∈N +),f(1)=1,求函数f(x)的解析式.解 令y=1,∵ f(1)=1,∴ f(x+1)=f(x)+f(1)+x, 即f(x+1)-f(x)=x+1,则 f （2)-f(1)=2,f （3)-f(2)=3,……f(x)-f(x-1)=x.将以上各式相加,得 f(x)-f(1)=2+3+4+ (x)∴ f(x)=1+2+3+4+…+x=21x(x+1) (x ∈N +). 3. 利用反证法例12 已知函数f(x)在区间(-∞,+∞）上是增函数,a,b ∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).求证:a+b ≥0.证明 假设a+b <0,则a <-b,b <-a,∵ 函数f(x)在区间(-∞,+∞）上是增函数,∴ f(a) <f(-b),f(b) <f(-a),∴ f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与已知矛盾,∴ a+b <0不成立,即a+b ≥0.例13 设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x) ≠0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立,求证:对定义域内任意x,都有f(x) >0.证明 假设在定义域内存在x 0,使f(x 0)≤ 0, ∵ ∴ f(x 0) >0,这与假设的f(x 0)≤ 0矛盾, 所以假设不成立,故对定义域内任意x,都有f(x) >0. 以上我们利用抽象函数的特殊模型、函数性质、特殊方法等途径举例说明了求解抽象函数问题的一些策略.事实上处理这类问题时,常将几种解题策略综合使用,“多管齐下”方能游刃有余.,0)2(),2()2()2()22()(00200000≠==+=x f x f x f x f x x f x f。
抽象函数题的几种解题策略
抽象函数题的几种解题策略徐雅晶策略之一：定义法凡涉及函数的定义、函数的奇偶性、单调性等有关概念的抽象函数问题，其求解的一般思路是：紧扣有关概念，充分利用定义来解决问题。
例1： 已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，又当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)．(1)求f (1)、f (4)、f (8)的值；(2)若有f (x )＋f (x －2)≤3成立，求x 的取值范围．变式：设f(x)对任意x,y R ∈，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，f(x)<0，f(1)=－2．（1）求证：f(x)是奇函数；（2）试问在33≤≤-x 时，f(x)是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由.策略之二：特殊化思想根据抽象函数f(x)的性质和特征，从满足题设条件的特殊函数（或特殊值）入手分析、研究，寻求问题的解题思路或结论。
例2、定义在区间（-∞，+∞）的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间（0，+∞）的图象与f(x)的图象重合。
设a>b>0，给出下列不等式：①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)其中成立的是（ ） A 、①与④B 、②与③C 、①与③D 、②与④策略之三：整体思想运用整体思想进行求解，即先化整体为局部，再由各局部的解决使问题获解。
例3、已知f(x)、g(x)为奇函数，F(x)=af(x)+bg(x)+3（a,b 为常数），若F(4)=-4，则F(-4)=。
策略之四：巧用性质合理利用抽象函数的性质及性质间的内在联系，经过推理或计算来解决问题。
例4、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[-7，-3]上是（ ）A 、增函数且最小值为-5B 、增函数且最大值为-5C 、减函数且最小值为-5D 、减函数且最大值为-5策略之五：数形结合充分挖掘抽象函数的图象信息，运用数形结合思想方法来解决问题。
抽象函数问题的解题策略.doc
抽象函数问题的解题策略鄂尔多斯市 东联现代中学抽象函数是指没有给出具体的解析式，只给出了其他的一些条件（如函数 的定义域、经过的点，解析递推式，部分图象特征等）的函数问题，它是高中 数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的一个衔接点，因为抽象函数没有具体的解析式，所以理解研究起来往往困难重重，但是着类问题对于培养 学生的创新精神和实践能力，增强运用数学的意识，有着十分重要的作用，近 几年的高考都设置了有关抽象函数问题试题，分量一年比一年重，为此，本文 根据近几年的教学经验，从利用特殊模型、函数性质，特殊方法等方面谈谈求 解抽象函数问题的策略。
一、 利用特殊模型中学阶段，抽象函数对应具体模型有:例1、若函数/（兀）具有性质：1. 为偶函数；2、对任意都有足条件的f ⑴的一个解析式即可） 分析：看到已知条件中有关于龙的不等式，所以联想到三角函数，结合 几兀）为偶函数，得满足条件的函数几兀）的解析式是f （x ）= cos4^或/(x) = |sin 2x| o例 2、 若函数/（x ）和g （x ）在 R 上有定义，且f(^-y) = f(^)g(y)-f(^)g(y)9f(-2) = f(i)^o 9 则 g(i) g(i)+g(_i) = _。
(用数字作答)。
分析与解：v/(x-y) = /(x)g (y)-/(x)g(y),则函数的解析式可以是 （只须写出满・•・联想到三角公式，可取/(x) = sin%,则/(兀)是奇函数，于是有：sin(-2)= sin(-1-1) = sin(-l)cc?c(l)-cos(-l)sin(l) = sinl cos 1 +cos(-1) =sinlcosl + cos(-l) =-1,即g(l) + g(-l) = _l例3、设函数/(x)的定义域为R,对于任意实数m,n,总有/(n + m) = /(/??)/(/?)且x>0,时0</(x)<l,⑴证明:/(0) = 1,且当xvO时,/(兀)>1(2)证明:/(兀)在R上单调第减.⑶设 A = /{(x,y)|/(x2)/(/)>/(l)},B = {(x,y)|/(ax-y + 2) = l,ae/?} … 若4门3 = 0,确定。
抽象函数问题的解决策略
（1）求 f (8) 的值； （2）解不等式 f ( x) f ( x 2) 3.
解： （1） f (2) 1 f (4) 2 f (8) 3 （2） f ( x) f ( x 2) 3 f ( x) f ( x 2) f (8) f ( x) f [8( x 2)] 由函数 f ( x) 是定义在 (0,) 上的增函数，则 x 8( x 2) 即 x
二、求参数范围“穿脱”策略 加上函数符号即为“穿”，去掉函数符号即 为“脱”。对于有些抽象函数，可根绝函数 值相等或者函数的单调性，实现对函数符号 的“穿脱”，以达到简化的目的。
【例 9】 已知函数 f ( x) 是定义在 (0,) 上的增函数， 且满足对于任意的正实数 x 、y ， 都有
f ( x y) f ( x) f ( y) ，且 f (2) 1.
例
1,1, 当 8. 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x ) 的 值域为
x 0 时 1 f ( x ) 0 , 且 对 任 意 a , b R , 满 足
f (a ) f (b) . f (a b) 1 f (a ) f (b)
(1)求 f (0)的值; (2)求证 f ( x )是奇函数； (3)判断 f ( x )在R上的单调性
)
考点5 幂函数模型:f(xy)=f(x)f(y)
例6.若f ( x)对任意的x, y有f ( xy ) f ( x) f ( y ) 且f (1) 1, f (27) 9, 当0 x 1时, f ( x) 0,1
（1）判断f ( x)的奇偶性；
3
（2）判断f ( x)在 0， + 上的单调性；
抽象函数问题的处理策略
抽象函数问题的处理策略霍邱一中 余其权抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点.因为抽象，学生难以理解，接受困难；因为抽象，教师对教材难以处理，何时讲授，如何讲授，讲授哪些内容，采用什么方式等等，深感茫然无序.其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路，本文就上述问题作一些探讨.1、线性函数型抽象函数f （x ）＝kx （k ≠0）---------------f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ）例1、已知函数)(x f 对任意实数x ，y ，均有)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，0)(>x f ，2)1(-=-f ，求)(x f 在区间[－2，1]上的值域。
解：设21x x <，则012>-x x ，∵当0>x 时，0)(>x f ，∴0)(12>-x x f ， ∵[])()()()(1121122x f x x f x x x f x f +-=+-=，∴0)()()(1212>-=-x x f x f x f ，即)()(21x f x f <，∴)(x f 为增函数在条件中，令y ＝－x ，则)()()0(x f x f f -+=，再令x ＝y ＝0，则)0(2)0(f f =， ∴ 0)0(=f ，故)()(x f x f -=-，)(x f 为奇函数，∴ 2)1()1(=--=f f ，又4)1(2)2(-=-=-f f ，∴)(x f 的值域为［－4，2］。
例2、已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>2，f (3)＝ 5，求不等式3)22(2<--a a f 的解.分析：先证明函数f （x ）在R 上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.2、二次函数型抽象函数m a x k x f +-=2)()(———— )()(x a f x a f -=+二次函数型抽象函数即由二次函数抽象而得到的函数若抽象函数)(x f y =满足R x ∈，总有)()(x a f x a f -=+，则可用二次函数m a x k y +-=2)(为模型引出解题思路；例3、 已知实数集上的函数)(x f 恒满足)2()2(x f x f -=+,方程)(x f =0有5个实根,则这5个根之和=_____________分析：因为实数集上的函数)(x f 恒满足)2()2(x f x f -=+,方程)(x f =0有5个实根，可以将该函数看成是类似于二次函数2)2(-=x k y 为模型引出解题思路，即函数的对称轴是2=x ，并且函数在0)2(=f ，其余的四个实数根关于2=x 对称，解：因为实数集上的函数)(x f 恒满足)2()2(x f x f -=+,方程)(x f =0有5个实根，所以函数关于直线2=x 对称，所以方程的五个实数根也关于直线2=x 对称，其中有一个实数根为2，其它四个实数根位于直线2=x 两侧，关于直线2=x 对称，则这5个根之和为103、指数函数型的抽象函数f （x ）＝a x ------------------- f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝)()(y f x f 例4、设f (x )是定义在R 上的偶函数。
抽象函数的解题策略
抽象函数的解题策略1．理解抽象函数：首先，应该了解抽象函数的定义，它是指一个函数不涉及具体的参数值，而是做出一般性的抽象，表达一般行为的形式。
2．掌握函数的概念：除了理解抽象函数的定义外，还需要掌握函数的概念，它被定义为一个参数变量到另一个输出值的关系，一般分为变量和参数，参数是可以改变的。
3．熟悉函数的几种类型：熟悉函数的几种类型，有一元函数、双元函数、多元函数以及化简函数，以及还有抽象函数等，仔细分析各种函数，理解抽象函数的特点，并利用这些特点解决问题。
4．理解函数运算：函数运算是关于函数关系的常见解决方案，其中包括函数的求值、常见函数的图像因素、单调及其他运算，要想解决抽象函数的问题，需要理解这些函数的运算，充分利用数学知识找出最佳的解决方案。
5．利用特殊工具解决特殊问题：特殊工具包括特定编程语言，如C 语言或Matlab，还有函数图像分析等，然后利用这些特殊工具来解决抽象函数的问题。
6．通过图像因素处理：利用图像因素处理的方法，可以解决抽象函数的复杂性及其他问题，因此，当需要解决抽象函数问题时，可采用图像因素处理的方法进行解决。
7．建立抽象模型：抽象模型是指通过不涉及具体数字的方法来描述函数，可以利用单位跳变模型、皮克定理以及关于解析函数分析的常见方法，结合抽象模型，可以很好的解决抽象函数问题。
8．利用算法工具：在解决抽象函数的问题时，可以采取算法的方式来解决，在算法方面，包括基本的数学归纳法、分式法、牛顿迭代法、区间分割法、差值拟合法等，可以利用算法工具求解抽象函数的问题。
9．结合实际：最后，解决抽象函数的问题时，还可以结合实际情况，借鉴或者组合已有方法，根据实际情况及需求来抽象通用解决方案，使得解决问题更加简单、高效。
抽象函数的解题策略
抽象函数是数学中一个重要的概念，它用于表达抽象问题。
抽象函数可以帮助我们解决各种复杂问题，但如何正确地使用它们来解题是一个棘手的问题。
在本文中，我们将探讨抽象函数的解题策略，以帮助读者正确地解决抽象函数问题。
首先要明白，抽象函数是一种推理。
它们帮助我们找出一个函数的一组可能的值，这些值可以满足给定约束条件。
因此，使用抽象函数解决问题的关键是，要确定函数的可能值范围，只有这样，你才能选择一个最优解。
具体来说，要解决一个抽象函数问题，可以按以下步骤：
1. 首先，对函数的参数进行推断：它们是何种参数，可以取的范围是多大？比如说，整数型参数是否有范围限制？
2. 确定函数的参数大致范围，以限定函数的范围。
3. 测试函数取值。
试着进行一些取值测试，观察函数的输出，以期找到函数的最优解。
4. 通过观察函数的取值，识别它的模式。
5. 作出结论，确定函数的最优解。
此外，在解决抽象函数问题时，你还可以使用一些数学工具，比如图像、积分、极限、微分等。
只有理解了这些工具，你才能更好地探索和解决抽象函数问题。
总之，抽象函数是一种有力的推理工具，可以用来描述问题的解决过程。
解决抽象函数问题的核心是确定函数的可能值范围，这可以使用一些数学工具，比如图像、积分、极限、微分等。
当你掌握了这些技能，就可以更好地研究并解决抽象函数问题。
抽象函数题的十种解题策略
抽象函数题的十种解题策略湖南省冷水江市第六中学（417500）邓赞武我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数。
由于它既能考查函数的概念与性质，又能考查学生的思维能力及对函数思想的理解程度，因而在高考中备受青睐。
本文结合实例，介绍求解抽象函数题的十种常用策略。
策略一：活用定义与性质以函数“三性”为突破口，紧扣其定义及性质间的相互联系，经推理或计算求解问题。
例1：己知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x+32)=-f(x)且y=f(x-34)是奇函数，给出以下四个命题：（1）函数f(x)是周期函数，（2）函数f(x)的图象关于点（-34，0）对称，（3）函数f(x)是偶函数，（4）函数f(x)是R上的单调函数，以上四个命题中，真命题序号是。
解析：∵f(x+32)=-f(x) ∴f(x)=-f(x-32)两式相减得：f(x+32)= f(x-32)即f(x+3)=f(x)故（1）正确∵y=f(x-34)是奇函数所以f(-x- 34)= -f(x-34)即f(-x- 34)+f(x-34)=0 即f(x)的图象关于点（-34，0）对称。
故（2）正确；又由f(-x- 34)= -f(x-34)用x-34代替x得：f(-x)=-f(x+32) 而f(x+32)=-f(x) ∴f(-x)=f(x) 故（3）正确，从而（4）错误∴真命题是（1）、（2）、（3）策略二：巧妙赋值抽象函数常以函数方程的形式出现，求解这类问题常赋予变量恰当的数值或代数式，经运算与推理，得出结论：例2、己知定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2，满足关系f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2，（1）证明f(x)的图象关于点（0，-2）成中心对称，（2）若x>0，则有f(x)>-2，求证：f(x)是R 上的增函数。
证明：（1）令x1=x2=0,则f(0)=-2,对任意实数x,令x1=x，x2=-x，则有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2即f(x)+f(-x)=-4，故f(x)的图象关于点（0，-2）成中心对称。
抽象函数解题策略探索
抽象函数解题策略探索摘要抽象函数通常是指只给出函数具有的某些性质而没有给出具体解析式的一类函数.由于抽象函数没有解析式，它是高中学生学习数学函数部分的难点。
作为大学数学的一个衔接点，无疑是高考的热点。
这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，对一般和特殊关系的认知能力，以及对数学知识的综合运用能力.一般题目新颖，难度较大，所以学生普遍感到束手无策，力不从心.下面我们通过例题全面探讨抽象函数要考查的内容及其常用解法。
关键词抽象函数；解题；策略一、抽象函数常见解法1.特殊赋值法特殊赋值法是赋予自变量一些特殊的值或特殊的式子，求得抽象函数的函数值或特殊的性质，然后再进行求值或推理，从而解决抽象函数问题的一种方法。
反思：这一道题综合考察了函数的奇偶性、对称性，周期性的联系.f（x）=0既考察了函数根的情况，又考察了函数图象的变化情况.学生需要对每一个最小正周期（或每一段区间）内f（x）=0根的情况都要搞清.三、抽象函数综合题前面我们探讨了抽象函数常用的解题办法，但是抽象函数的题目一般比较难，光是用一种办法往往无法解决，所以我们要把多种方法结合起来灵活运用.下面我们再通过几个比较典型的例题来探讨抽象函数的常用解题模型.我们会发现难度较大的抽象函数题目一般集定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性于一体.点评：在近几年的高考试卷中，都能找到与这三道题类似的题型，这些题目类型需要我们通过一些代数恒等变换得到一些常用的结论，并加以灵活运用，但是如果我们能在形象的理解的基础上加以记忆，那就会有事半功倍的效果。
通过以上典型例题的分析讲解，可以引导学生“在抽象中寻找具体”，从而克服学生的害怕心理，调动学生的积极性，发挥学生的主观能动性，从而去完成后半部分的内容——“从具体中进行抽象”.所以，虽然抽象函数问题的求解用常规方法难以奏效，但如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段，还是可以找出一条路来的，从而让学生体会“在抽象中寻找具体，在具体中进行抽象”的数学思维.。
例析抽象函数问题的求解策略
例析抽象函数问题的求解策略上海市吴淞中学贺明荣（２０09４0）近年来，经常在高考、高考模拟以及竞赛中出现与抽象函数有关的试题。
一般地,抽象函数是指：没有给出具体的函数解析式，只是给出函数所具有的某些性质的函数。
这类试题往往概念抽象、隐蔽性强、灵活性大、综合程度高，因此，学生常常感到难以掌握，教师也常为如何适时处理它等问题而苦恼。
现本文主要介绍求解抽象函数问题的常见方法，供参考。
1、合理递推例1：函数f具有下列性质:f(x）+f（x-1) =x２如果f(19)=94,那么f(９４)除以1000的余数是多少?解: 由f(ｘ)+ f（x－1）＝x2得f(x）=x2- f(ｘ－1)又f(１９)＝9４，∴ｆ（2０)=２０2–f（１9) ，f(21)=２12–f（2０)= ２12 - 202 ＋ｆ（1９)，依次类推，可得f（9４）=９４２–932＋９2２–912+…＋222-２12+２02–f(19)=９４＋93+9２+91+ …+22＋21+202-ｆ(19)= 错误!×７4+40０–９4=4561，所以，余数为561．评注：当f(x)是定义在自然数集N上的函数时，可根据题中所给函数方程,通过取特殊值得到关于f(n)的递推关系,然后根据递推关系进一步求解.2、适当赋值例2、设函数y=f(ｘ)（x∈R且x ≠0）,对任意实数x1 、x2满足f(x1)+ f（ｘ2）= f(ｘ１·ｘ２)．(１）求证:f(１)=f(－1)＝0；(２) 求证:y=f(x）为偶函数;（3) 已知y=f（x)在（0，+∞)上为增函数，解不等式ｆ(ｘ）＋f( x－１2)＜0.证明:(１）令ｘ1 =ｘ２=1, 得f(１）+f(1)=f(1·1)∴f(1）=0 ;令x1 =x２= -１,得ｆ（-１)+f（-１)＝f〔(-1)·(-1)〕= ｆ(1)=0 , ∴f(－1)＝0 ．(2) 令x1＝ｘ2 = x ,得2f(x)=f(x２);令ｘ1 =x2 = -x ，得２f（-x)=ｆ(x2)；∴ｆ（-x)=ｆ(x) ，即y=ｆ(x)为偶函数．(3）f(x)+f( x -＼f(1,2）)<０, 即f〔x ·(x -错误!)〕＜f（1）, 或f〔x·(x -错误!)〕＜f(-1) ,由(2)和y=f(x)在（0,＋∞)上为增函数，可得0＜x·(x -错误!）<1 或-１＜x·(ｘ－１2)<０解得错误!<x＜错误!且x≠０, 错误!.评注: 对于抽象函数，根据函数的概念和性质,通过观察与分析，将一般量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的.３、巧妙换元例3、 设f(ｘ）的定义域为{x ∣ｘ≠0,且ｘ≠1}，满足f(x)＋f （＼f(x-1,x ))＝1+x , (１） 求ｆ（x) ．解： 令x =y-1y(y≠0,y≠1),并将y 换成ｘ， 得ｆ(错误!）+f （错误!)=１+错误! , (２） 再令(1)中x =＼f(1,1-y ) (y≠0,y≠1),将y 换成ｘ,得 ｆ(错误!)＋ｆ(x)＝１+错误! ，(3) 由(1)+(3)-（2) , 得2ｆ（x)=(1+x ）＋（1+错误!)-(1+错误!）, 即ｆ（x)＝错误!,易验证 f(x)＝ 1+x 2-x 32ｘ(1-x)满足方程(1） .评注: 根据题目结构特点及欲证的结论,将题中的某些量替换成所需要的量（注意：应使函数的定义域不发生改变，有时还需要作几次相应的替换）,得到一个或几个方程,然后设法从中求其解．4、利用函数性质例４、已知定义在R 上的函数f(x)满足（1）对于任意x ，y∈Ｒ都有f(ｘ+y)=f （ｘ)+f(y) ；（2）当ｘ＞0时,f(x)<0，且f(1）＝ － ２ ,求f(x)在〔-3 , 3〕上的最大值和最小值.解：任取－３≤x 1<x 2≤３ ,由条件（1)得f （ｘ２)＝f 〔(x ２-x 1)＋x 1〕= ｆ(ｘ2-ｘ１)+f(x 1),∴ ｆ(x 2)- ｆ(x 1) ＝ f(x 2-x 1) , ∵ ｘ2 - ｘ1 >0 ,由条件(2）得 ｆ(ｘ2-ｘ１) ＜0 ， ∴ f （x 2) ＜f(x 1) ， ∴ ｆ(ｘ)在〔－3 , ３〕上 单调递减.在（1)中令x ＝y ＝0，得f(0+０）=ｆ(０）+f(0) , ∴ f(0)=０再令x ＝-y ， 得f(x －x)=f （x)+f （-x) , ∴ f(-ｘ)= －f(x) , 从而f(x)为奇函数，因此，ｆ（x)在〔－３ , 3〕上的最大值为f(-3）＝--f(3)=-ｆ(1+2)=-f(1)-f(2）= -ｆ(1) -f （1) -f(1)= -3f(1)=6最小值为 f （3)= －f （－３)＝ -6 .评注： 根据题目所给的条件，往往需要探求函数是否还具有哪些特殊的性质,比如，函数的单调性、奇偶性、周期性等等，本题是运用函数的性质得到解答的一个典型，它将奇偶性和单调性有机地结合起来,而函数的单调性是解决最值问题和有关不等式问题的常用性质。
解抽象函数问题的常用策略
解抽象函数问题亦“有章可循”抽象函数问题是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的衔接点。
这类问题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、以及对一般和特殊关系的认识。
近年在一些高考试卷中或地方模拟卷中时常会出现抽象函数。
然而由于这类问题本身的抽象性及其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。
本文举例说明解抽象函数问题其实亦有章可循，有法可依。
供参考！一、换元策略使抽象函数具体化对于抽象函数，可以通过换元化抽象为具体，转化为具体函数可求解，同时要注意新元的取值范围。
例1 已知函数f (x )的值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡49,83，试求的值域。
解：由，得，于是，令=t ，，，所以=＋1，因则当t=1时，y 不能取得最大值1，所以只能在函数图象的对称轴的左侧取得最值。
由对称轴t=1及抛物线开口向下，函数在[]上是增函数，则时，y取最小值，当时，y 取最大值故所求值域为[]。
二、图象示意策略使抽象函数形象化一般地讲，抽象函数的图象为示意图居多，有的示意图可能只能根据题意作出n 个孤立的点，但通过示意图却使抽象变形象化，有利于观察、对比、减少推理、减小计算量等好处。
例2 函数f(x)在［0，3］上是增函数，函数是偶函数，则请比较，f(5)，的大小。
分析：根据已知作合乎题意的最简单、最直观的增函数f(x)=x ，［0，3］的图象OA ，由于是由的图象左移3个单位得到，所以图象是线段O1A1，又因为函数是偶函数，所以图象关于y轴对称，所以y=f(x+3)在上图象为线段A1O2把线段A1O2，右移3个单位为AO3是f(x)在上的图象，通过图象不难看出。
图1例3 若定义在R上的奇函数f(x)在（，0）内是增函数，则xf(x)<0的解集为（）A. B.C. D.分析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，且f(x)的图像关于原点对称。
抽象函数问题的解题策略
侈 已 知 函数 ｆ ）＝口 ＋ｂｉｘ＋３ 且 ＿ ０ １ （ ｓ ｎ ， 厂 （一３ ７， ）＝ 求 ， ３ 的值 ． （）
＋４ ）＝ － （ ｆ ＋２ ）＝
解 析 函数 ， ） 解 析 式 中 含 有 两 个 参 数 ｎ ｂ 却 只 有 （ 的 ，，
一
知 ＿ ） 以 ４为 周 期 的 周 期 函 数 ， 厂 是 （
●
解 题 技 巧 与 方 法
冁 ●
． ．
．ｌ ＿ －， ．
●
抽象函数问题的解题策略
◎ 罗伟 新 （ 东省 兴 宁 市 叶塘 中学 广 ５４２ ） １５ ８
抽 象 函数 通 常 是 指 没 有 给 出 函 数 的具 体 解 析 式 ， 给 只 出 了其 他 一 些 条 件 （ 函 数 的 定 义 域 、 如 函数 图 像 经 过 的 特 殊 点 、 析 递 推 式 、 分 图像 特 征 等 ） 函 数 问题 ， 类 问 题 的 解 部 的 这 解 法 常 涉 及 函数 概 念 及 其 性 质 ， 其 性 质 隐 而 不 露 ， 而 具 且 因 有抽象性 、 合性和 技巧 性等 特点． 既是 教学 中的难 点 ， 综 它
的 主 要 类 型 有 利 用 奇 偶 性 ， 体 思 考 ； 用 单 调 性 ， 价 转 整 利 等 化 ； 用 周 期 性 ， 归 已 知 ； 用 对 称 性 ， 形 结 合 ； 助 特 利 回 利 数 借 殊 点 ， 用 方 程思 想 等 ． 类 问题 求 解 的 思 维 过 程 如 下 面 的 运 这
由＿ｎ 厂 ＋６ ＋ｃ （ ， ）＝１ 得 ０ ， ， ＋６ ＋ ０ ． ） ｃ＝ （ ，
由① ② 消 去 Ｙ 得 （ ＋ｂ） ＋ ａｘ＋ｃ 一ｂ ０ ， ０ ２ ｃ ＜ ．
抽象函数解题策略及方法
厂 ＋ ＝ （） １］ ＿０ １） ＿０ ＋ （） ， （ 厂
１
‘ ． ‘
厂 １ ≠０ ． （ ） ｛ 。令 ＝ ｎ ｖ＝ｌ 得 （） ｆ１ ： ， ，
模 型法是指通过对题 目的特征进行观察 、 析 、 分 类 比和联想 ， 寻找具体 的函数模型 ， 由具体 函数 模 再 型 的图象 和性质来指 导我们解 决抽 象函数问题的方
， Ｙ ，（） ２， ＋ ） ， ｙ ， １ ＝ 。 （ ）Ｉ１ ＝ ，（ Ｙ ： （ 厂 ） ）， ） ２ （
（ ） 不 等 式 厂３ １解 （ —Ｘ ） ４ ２＞ ；
／ ２ｏ ） ２ （ｏ １ ：—０ ０— １
。
（） ２解方程［（ ］＋｛ 厂 ３ ＝ ２ ＋ 。 厂 ０ ） （ ）． ） １ ＋
如果抽象 函数 的性 质 是用 条件恒 等式给 出 的， 可通过赋特殊值法使 问题得 以解决 。 例 １ 对 任 意 实 数 ｚ ｙ 均 满 足 ： （ ＋ ）＝ 、， 厂 ｆ ） 】 （ ） （ ＋２ 厂Ｙ ］ 厂１ ≠０则 ／ ２０ ） 且 （） ， （０ １ ＝— — 。 解 ： ＝Ｙ＝０ 得ｆ ０ ＝０ 令 ＝０ Ｙ：１得 令 ， （） 。 ， ，
ｌ
ｆ ） 即 ＿ ～ ） ） （ ， 厂 ＝ （ 。 因为 厂 为非零函数 ， 以 ． ） （ ） 所 厂 为偶函数。 （
２ 转 化 法 ．
又／ ） ＿鲁十 ： 号） ≥ ， （ ＝ （ 号） ［ 厂 ］ ０假设存在
某个 Ｘ ＥＲ， ＿ ％） ， Ｏ 使 厂 （ ＝０则 ＿ ） ［ — ） ｏ ＝ｆ — ） （ 。 ＝０ ， ＝ｆ （ 。 ＋ ］ （ 。ｆ ） ， 与 已知 矛 盾 ， ｒ ＞ 。 故 （ ） ０ 任取 ｌ ∈Ｒ， ， ２ 且 ｌ ２贝 ２ Ｉ ， （ ＜ ， ４ 一 ＞０ｆ ２
抽象函数的解题策略
） ＞， ｏ＝， ０ ）． ＝ ０ ） 当＞时 ＞ ≠ １ １
综上所述对任意 ∈Ｒ， 恒有 ）０ ＞．
（ ） ｚ ２则ｘ＿ １ ３ 设 ｌ ， ２ ＞ ０，
（ ） ＝ ，ｘ ｂ代人八 ＋ ） ｎ ｂ ２令ｘａ－＝ ， ｎ６ ）
一
０ ）
）所 ，
（） ￣ Ｚ ＋ ） ２已知ｌ （ １的定义域为［，］求函斐 ） ｘ １２ ， 的定义域．
解 ：１因为 函数 ） （） 的定义域为［ ，］ 以ｌ ｌ ， １２ ， 所 ≤ ＋ ≤２所
定义域．
：１ ．
）的定义域（ ） 已知 ｇ ｘ ） （ ）的定
（ ） 证对 任意 ∈Ｒ， ２求 恒有，ｒ＞ ； 【 ）０
义域求 ） 的定义域 ）解决此问题的关键 是在于理解复合函数 ，
（） ｉ ） 上的增函数． ３求ｉ ￣ 是Ｒ Ａｘ 证明：１令ａｂ ０ （ ） ＝＝ ， ０ ０厂 ）又 ） （ ， ０ ≠ｏ所 ０ １ｏ ） ， ）
一
）
Ｉ
Ｉ， ）又知当ｘ １１， ＞１ ￣ ，
ｌ ｌ ／
ｌ／
：
一 ＼Ｘｌ ／
ｆ）
函数 ） 以４ ｌ 是 １为最小正周期的周期函数． ａ
（） ４若函数 ） 满 ２ １ －（）则函数 ） 帆） ＋ ） ， ｆ 是以６
为最小正周期的周期 函数． 例６ （０ ９ ２ ０ 山东卷理 ） 已知定义在Ｒ上的奇 函数 ）满足 ，
证 明： 因为对于定义域 内的任意实数 ｙ 、都满足 ） ） ＋
（若 数（满 ＋＝（（ 或 ）≠） １ 函 厂） ） 。－ 一 ‘ ０ ） ｆ 。 ，
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抽象函数问题的解题策略Last revision on 21 December 2020
抽象函数问题的解题策略
一、利用特殊模型
有些抽象函数问题,用常规解法很难解决,但与具体函数“对号入座”后,问题容易迎刃而解.这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,但解答题的解答书写过程一般不能用此法.
例1 若函数f(x)与g(x)在R 上有定义,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),
f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)= .
解 因为 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), 这是两角差的正弦公式模型,
又f(-2)=f(1)≠0,
则可取x x f 3
2sin )(π= 于是 f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1)
例2 设函数f(x)是定义在R 上的减函数,且满足f(x+y)=f(x)f(y),
f(-3)=8,则不等式f(x)f(x-2)< 的解集为 .
解 因为函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),这是指数函数模型,
又 f(-3)=8,
则可取
∵f(x)f(x-2)< ∴2)21()21(-x x ＜2561, 即22)21(-x ＜8)2
1(， ∴ 2x-2 >8, 解不等式,得 x>5,
∴ 不等式的解集为 {x|x >5}.
二、利用函数性质
函数的特征是通过函数的性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设条件所表明的函数的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能峰回路
转、化难为易.
1. 利用单调性
例3 设f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2.
解 ∵ 函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,
∴ 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),
由f(x)+f(x-8)≤2,得 f[x(x-8)]≤f(9),
∵ 函数f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数, 则 ∴ 不等式解集为
{x|8<x ≤9}. 2. 利用奇偶性 例4 已知函数f(x)=ax 5+bsinx+3,且f(-3)=7,求f(3)的值.
分析 f(x)的解析式含有两个参数a 、b,却只有一个条件f(-3)=7,无法确定a 、b 的值,因此f(x)仍是抽象函数,但我们注意到g(x)=ax 5+bsinx 是奇函数,有g(-3)=-g(3). 解 设g(x)=ax 5+bsinx,显然g(x)是奇函数,
∵ f(-3)=7,
∴ f(-3)=g(-3)+3=-g(3)+3=7 g(3)=-4,
∴ f(3)=g(3)+3=-4+3=-1.
x>0, x-8>0, x(x-8)≤9,
8<x ≤9,
3. 利用周期性
例5 设函数f(x)在R 上是奇函数,f(x+2)=-f(x) ,当0<x ≤1时,f(x)=x,则f= .
解 由f(x+2)=-f(x) ,得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
则f(x)是以4为周期的周期函数,且是奇函数,
于是 f=f(2×=f=-f=.
例6 已知函数f(x)满足f(1)=2,f(x+1)=)
(1)(1x f x f -+,则 f(2007)= . 解 ∵ ∴ f(x)是以4为周期的周期函数,
4. 利用对称性
例7 已知f(x)是奇函数,定义域为{x|x ∈R,x ≠0},又f(x)在区间（0,+∞）上是增函数,且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x 的取值区间是 .
解 依已知条件作出f(x)的大致图象,如图1所示,从图象中可看出,当f(x)>0时,x 的取值区间是（-1,0）∪（1,+∞）.
例8 定义在（-在（-∞,2）上是增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则的大小关系为 .
解 设 ∵ F(x)为偶函数 ∴ F(-x)=F(x), ∴ 函数f(x) ∴ f(-1)=f(5),
∵ f(x)在（-∞,2）上是增函数,
∴ f(x)在（2,+∞）上是减函数,
∴ f(6)<f(5)<f(4), 即f(6)<f(-1)<f(4).
三、利用特殊方法
有些抽象函数问题,用常规方法来解决往往难于奏效,但用一些非常规方法来求解,常收到意想不到的效果.
1. 利用赋值法
例9 函数f(x)的定义域为R,对任意x 、y ∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=
2f(x)f(y),且f(0)≠0.
（1）求证:f(0)=1;
（2）求证:f(x)是偶函数;
（3） ① 求证:对任意x ∈R,有f(x+c)=
-f(x)成 立;② 求证:f(x)是周期函数.
解 （1）令x=y=0,则有2f(0)=2f 2(0),
∵ f(0)≠0,
∴ f(0)=1.
（2）令x=0,则有f(y)+f(-y)= 2f(0)f(y),
∵ f(0)=1,
∴ f(-y)=f(y),
∴ f(x)是偶函数.
（3）① 分别用22c 、c x + (c ≠0)替换x 、y, 有f(x+c)+f(x)=2f(2c x +)f(2
c ). 图1
∵ f(
2
c )=0, ∴ f(x+c)= -f(x) .
② 由①知 f(x+c)=-f(x),
用x+c 替换x,有f(x+2c)=-f(x+c)=f(x),
∴ f(x)是以2c 为周期的周期函数.
2. 利用递推法
例10 设函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),求证：f(x)是周期函数.
解 ∵ f(x)=f(x+1)-f(x+2),
∴ f(x+1)=f(x+2)-f(x+3),
将以上两式相加,得 f(x+3)=-f(x),
∴ f(x+6)=-f(x +3)=f(x),
∴ f(x)是周期函数,6是它的一个周期.
例11 f(x)是定义在正整数集的函数,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy
(x,y ∈N +),f(1)=1,求函数f(x)的解析式.
解 令y=1,
∵ f(1)=1,
∴ f(x+1)=f(x)+f(1)+x, 即f(x+1)-f(x)=x+1,
则 f （2)-f(1)=2,
f （3)-f(2)=3,
……
f(x)-f(x-1)=x.
将以上各式相加,得 f(x)-f(1)=2+3+4+ (x)
∴ f(x)=1+2+3+4+…+x=2
1x(x+1) (x ∈N +). 3. 利用反证法
例12 已知函数f(x)在区间(-∞,+∞）上是增函数,a,b ∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).求证:a+b ≥0.
证明 假设a+b<0,则a<-b,b<-a,
∵ 函数f(x)在区间(-∞,+∞）上是增函数,
∴ f(a) <f(-b),f(b) <f(-a),
∴ f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与已知矛盾,
∴ a+b<0不成立,即a+b ≥0.
例13 设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x) ≠0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立,求证:对定义域内任意x,都有f(x) >0.
证明 假设在定义域内存在x 0,使f(x 0)≤ 0,
∵
∴ f(x 0) >0,这与假设的f(x 0)≤ 0矛盾,
所以假设不成立,故对定义域内任意x,都有f(x) >0.
以上我们利用抽象函数的特殊模型、函数性质、特殊方法等途径举例说明了求解抽象函数问题的一些策略.事实上处理这类问题时,常将几种解题策略综合使用,“多管齐下”方能游刃有余.。