一元二次方程解法直接开平方
一元二次方程解法知识整理
知识点 3 用判别式判断一元二次方程的根
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) •b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程没有实数根. 我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0), 的根的判别式，用符号“Δ”来表示.
有两个不等的实数根x1＝ p ，x2＝- p； (2) 当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3) 当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，
所以方程无实数根．
知识点 1 直接开平方法
知识点 1 直接开平方法 用直接开平方法解一元二次方程的步骤（三步法）：
变形
将方程化为“含未知数的完全平方式=非负常数” 的形式
若方程的右边为非负数，则两边开平方求得方程 的根
知识点 3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
字母表述：用配方法解形如x2 + px + q = 0的一元二次方程
①将常数项移到方程的右边.（注意：移项变号）
x2 + px = -q
②两边都加上一次项系数一半的平方.（注意：两边都加）
x2 + px + （ p ）2 = （ p ）2 - q
列方程（一般找出能够表达应用题主干含义的一个相等关系，
列
列代数式表示相等关系中的各个量，即方程）
解 求出所列方程的解
验 检验方程的解是否正确，能否保证实际问题有意义
答 根据题意，选择合理的答案作答
知识点 2 面积问题
解决面积问题可应用“等积变形”，若图形不规则应割或补成规 则图形，分散的图形应通过平移使之成为一个图形，以便求解
初三一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一、结构特殊的直接开平方法利用平方根的定义，直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法．直接开平方法的理论依据是平方根的定义．形如2(0)x a a =≥或2()(0)ax b c c +=≥的方程可以直接运用“直接开平方法”求解．例1．解方程2256x =．解：∵2256x =，∴25616x =±=±．∴121616x x ==-，．例2．解方程2536x -=（）． 解：∵2536x -=（），∴56x -=±．∴12111x x ==-，． 有的方程可以通过整理，变形化为形如2(0)x a a =≥或2()(0)ax b c c +=≥的形式后，再采用直接开平方法来解．例3．解方程290x -=．解：∵290x -=，∴29x =．∴1233x x ==-，．例4．解方程21120x +-=（）． 解：∵21120x +-=（），∴2112x +=（）．∴123x +=±． ∴12231231x x =-=--，．通过以上例子，我们可以归纳出运用“直接开平方法”解一元二次方程的一般步骤： 1．将方程化为2(0)x a a =≥或2()(0)ax b c c +=≥的形式； 2．两边开平方，得x a =±或b cx a-±=． 这里要特别注意00a c ≥或≥的条件．若00a c <<或，则方程无实数根，只有当00a c ≥或≥时，方程才有实数根，而运用“直接开平方法”解应用题的关键是将方程化为2(0)x a a =≥或2()(0)ax b c c +=≥的形式．练习：用直接开平方法一元二次方程：1．9x 2-25＝0；2．(3x+2)2-4＝0； 4．(2x+3)2＝3(4x+3) ．二、法力无边的配方法把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告我们根据完全平方公式2222a ab b a b ±+=±（）可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法 —— “配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222a ab b a b ±+=±（）．例5．解方程2210x x +-=．解：方程两边都除以2，得21022x x +-=，移项，得2122x x +=， 配方，得2111216216x x ++=+，即219416x +=（）．开方，得12112x x ==-，．通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤： 1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式； 4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解． “配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．练习：用配方法解一元二次方程：1．x 2-4x -3＝0； 2．6x 2+x ＝35；3．4x 2+4x+1＝7； 4．2x 2-3x -3＝0．三、神通广大的公式法公式法是解一元二次方程的一般方法，它是直接利用了“配方法”的结果，求根公式为224(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥．例6．解方程28103x x +=．解：把该方程化为一般形式： 281030x x +-=．∵8103a b c ===-，，，22410483196b ac -=-⨯⨯-=（）， ∴2410196101422816b b ac x a -±--±-±===⨯．∴121342x x ==-，．通过本例可以看出，用公式法解一元二次方程的一般步骤是： 1．将方程化为一般形式：200ax bx c a ++=≠（）；2．正确确定a b c ，，的值；3．代入公式242b b acx a -±-=求解，若240b ac -≥则方程有实数根，若240b ac -<则方程无实数解即无解．练习：用公式法解一元二次方程：2．2x 2+7x -4＝0； 3 .2y 2 -y=5 4．3x 2+5(2x+1)=0四、简便易行的因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，它是解一元二次方程的基本方法，它的理论依据是两个因式的积等于零的充分必要条件是这两个因式至少要有一个等于零，即0a b =，则00a b ==或，这种方法简便易行．是最常用的一种方法．例7．解方程23520x x --=．解：方程左边因式分解，得3120x x +-=（）（），∴31020x x +=-=，，∴12123x x =-=，．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： 1．将方程的右边化为零；2．将方程的左边分解为两个一次因式的积； 3．令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4．解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．用因式分解法解一元二次方程的关键是： 1．要将方程右边化为零； 2．要熟练掌握因式分解的方法． 练习：用因式分解法解一元二次方程：1. )7(5)7(2+=+x x x2.223)(x 3)-(4x +=3．0822=--x x 4．06)23(2=---x x这四种方法既有区别又有联系．公式法比配方法简单，它直接由配方法导出的求根公式求解，但不如直接开平方法和因式分解法快捷，具体解方程时，要根据题目的特点，选择适当的方法求解．一般顺序为：先特殊后一般．直接开平方法→因式分解法→公式法．没有特别说明，一般不用配方法．遇到特殊结构或次数较高的方程，就需用到下面要讲的“换元法”．五、出奇制胜的换元法把一个数学式子或者其中的一部分看作一个整体，用一个中间变量去代替，从而达到繁为简，化难为易的目的，这种方法叫“换元法”，有些一元二次方程数式结构复杂，或次数较高，或字母个数过多，用常规的四种一元二次方程的解法计算既繁琐也困难，甚至根本无法求解，这时用“换元法”就会出奇制胜．例8．解方程25425430x x -+--=（）（）．解：设54x y -=，则原方程可化为2230y y +-=，130y y -+=（）（），1030y y -=+=或，∴13y y ==-或，即541543x x -=-=-或．∴12115x x ==，．例9． 解方程42440x x -+=．解：设2x y =，则原方程变为2440y y -+=，解之，得2y =．∴22x =，∴2x =±． 练习：用适当的方法解关于x 的方程1、095162=-+）（x 2、8)4(2=-x 3、8)32)(2(=++y y4、02x 3x 2=+-5、04x 3x 22=-+ 6、y 249y 162=+；7、0x 7)1x (52=-+ 8、（3 x-1）2-9x+3=4 9、（x-5）2+x 2=510、)7(5)7(2+=+x x x 11、01224=--x x 12、012222=--x x13、012)(8)(222=+---x x x x 14、02)32(3)32(2=++-+x xx x六、一元二次方程根的两个特性例1、先阅读，再填空解题：(1)方程：x 2-4x-12=0 的根是：x 1=6, x 2=-2，则x 1+x 2=4，x 1·x 2=-12； (2)方程2x 2-7x+3=0的根是：x 1=12, x 2=3，则x 1+x 2=72，x 1·x 2=32；(3)方程3x 2+6x-2=0的根是：x 1= , x 2= .则x 1+x 2= ，x 1·x 2= ； 根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0且a 、b 、c 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1+x 2、x 1x 2与系数a 、b 、c 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。
专题02 一元二次方程的解法(提高)-2020-2021学年八年级数学下册学霸全能突破-解析版
专题02一元二次方程的解法要点一、直接开平方法解一元二次方程1.直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2.直接开平方法的理论依据：平方根的定义.3.能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.要点二、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．要点三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．要点四、一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.要点五、用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.要点六、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.一、单选题1．（2020ꞏ辽宁锦州市ꞏ九年级期中）若2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根，则m 的值为（）A ．1或4B ．-1或-4C ．-1或4D ．1或-4【答案】B 【分析】把2x =-代入关于x 的方程22502x mx m -+=，得到2450m m ++=，解关于m 的方程即可．【详解】解：∵2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根，∴2450m m ++=解得121,4m m =-=-故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程根的定义得到关于m 的方程是解题关键．2．（2020ꞏ湖州市第四中学教育集团八年级期中）三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2－6x+8=0的根，则这个三角形的周长是（）A ．11B ．13C ．11或13D ．11和13【答案】B 【详解】由方程得，，，∴周长是，故选B.3．（2020ꞏ广西贺州市ꞏ七年级期中）若(a +b ﹣1)(a +b +1)﹣4＝0，则a +b 的值为()A ．2B ．±2C D ．±【答案】D 【分析】先运用平方差公式进行计算，再用直接开平方法解答．【详解】(a+b)2﹣1﹣4＝0，(a+b)2＝5，∴a+b=±．故选D ．【点睛】本题是解二元二次方程，主要考查了一元二次方程的解法，平方差公式，关键是运用整体思想和平方差公式，把方程转化为（a+b ）的一元二次方程进行解答．4．（2020ꞏ上海市静安区实验中学八年级课时练习）用配方法解方程2520x x ++=时，四个学生在变形时，得到四种不同的结果，其中配方正确的是（）A ．2517()24x +=B ．2521(24x +=C ．2525(24x +=D ．2533(24x +=【答案】A 【分析】把左边配成完全平方式，右边化为一个常数，即可得答案.【详解】2520x x ++=222555(2()22x x ++=-+2517()24x +=故选A.【点睛】本题考查的是用配方法解一元二次方程，配方过程中先把二次项系数化成1，常数项移到右边，然后两边加上一次项系数一半的平方，把方程的左边配成完全平方的形式．熟练掌握配方的步骤是解题关键.5．（2017ꞏ全国九年级课时练习）2(3)5(3)x x x ---因式分解结果为（）A ．221115x x -+B ．(5)(23)x x --C ．(25)(3)x x +-D ．(25)(3)x x -- 【答案】D 【解析】根据因式分解的方法，可提公因式（x-3）为：（x-3）（2x-5）.故选：D.点睛：此题主要考查了因式分解，因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）.二、填空题6．（2020ꞏ上海浦东新区ꞏ八年级月考）用换元法解方程221x x -﹣21x x -＝1，设y ＝21x x-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为_____．【答案】y 2+y ﹣2＝0【分析】可根据方程特点设y ＝21x x-，则原方程可化为2y ﹣y ＝1，化成整式方程即可．【详解】解：方程221x x -﹣21x x -＝1，若设y ＝21x x-，把设y ＝21x x-代入方程得：2y ﹣y ＝1，方程两边同乘y ，整理得y 2+y ﹣2＝0．故答案为：y 2+y ﹣2＝0．【点睛】本题主要考查用换元法解分式方程，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．7．（2020ꞏ上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程2210x x +-=中，24b ac -的值为__________，根是___________．【答案】9121,12x x ==-【分析】先根据一元二次方程的定义确认,,a b c 的值，从而可得24b ac -的值，再利用公式法解方程即可得方程的根．【详解】方程2210x x +-=中，2,1,1a b c ===-，则224142(1)9b ac -=-⨯⨯-=，由公式法得：1132224b x a -±-±-±===⨯，则121,12x x ==-，故答案为：9；121,12x x ==-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、利用公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题关键．8．（2020ꞏ全国九年级专题练习）设一元二次方程250x x +=的较大的根为m ，2320x x -+=的较小的根为n ，则m n +的值为______．【答案】1【分析】先利用因式分解法解两个一元二次方程得到m=0，n=1，然后计算m+n ．【详解】∵250x x +=，∴(5)0x x +=，解得0x =或5x =-，∴0m =．∵2320x x -+=，∴(1)(2)0x x --=，解得1x =或2x =，∴1n =，∴1m n +=．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．9．（2018ꞏ全国九年级单元测试）已知实数a ，b 满足条件2720a a -+=，()2720b b a b -+=≠，则b aa b+=________．【答案】452【解析】【分析】由实数a ，b 满足条件a 2﹣7a +2＝0，b 2﹣7b +2＝0，且a ≠b ，可把a ，b 看成是方程x 2﹣7x +2＝0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．【详解】由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，∴a+b＝7，ab＝2，∴22224944522b a a b a b aba b ab ab++--+====（）．故答案为：452．【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．三、解答题10．（2015ꞏ山西）已知a、b、c+|b+1|+（c+3）2＝0，求方程ax2+bx+c ＝0的根．【答案】x1＝32，x2＝﹣1．【分析】本题要求出方程ax2+bx+c＝0的根，必须先求出a、b、c的值．根据非负数的性质，带根号、绝对值、平方的数值都大于等于0，三个非负数相加和为0，则这三个数的值必都为0，由此可解出a、b、c的值，再代入方程中可解此题．【详解】解：根据分析得：a﹣2＝0，b+1＝0，c+3＝0a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3方程ax2+bx+c＝0即为2x2﹣x﹣3＝0∴x 1＝32，x 2＝﹣1．【点睛】本题主要考查一元二次方程求解问题，考点还涉及偶次方、绝对值以及二次根式非负性的应用.11．（2020ꞏ全国八年级课时练习）按要求解方程．（1）2(32)24x +=（直接开方法）（2）2314x x -=（公式法）（3）()()221321x x +=+（因式分解）（4）223990x x --=（配方法）【答案】（1）x 1=23-+，x 2=23--；（2）x 1=3，x 2=23；（3）x 1=﹣12，x 2=1；（4）x 1=21，x 2=﹣19【详解】解：（1）()23224x +=，32x +=±32x =-±23x -±=1222.33x x -+--∴==（2）2314x x -=，23410x x --=，()()24431161228=--⨯⨯-=+= ，442663x ±===1222,33x x +==（3）()()221321x x +=+，()()212130,x x ++-=()()21220,x x +-=210x +=或220x -=，121 1.2x x =-=，（4）223990x x --=，2 21400x x -+=，()21400x -=，120x -=±，120x =±，122119.x x ==-，12．（2020ꞏ全国八年级课时练习）是同类二次根式，且x为整数，求关于m 的方程xm 2+2m-2=0的根.【答案】121122m m =-=--，【解析】试题分析：根据同类二次根式的定义，列出关于x 的一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程，求出x 的整数值；将x 的值代入xm 2＋2m －2＝0中，得到关于m 的一元二次方程；最后利用直接开平方法解一元二次方程，求出m 的值.是同类二次根式，∴2x 2－x ＝4x －2，2x 2－5x ＋2＝0，(2x －1)(x －2)＝0，x 1＝12，x 2＝2.∵x 为整数，∴x ＝2，代入xm 2＋2m －2＝0中，则有2m 2＋2m －2＝0，m 2＋m ＝1，(m ＋12)2＝54m ＋12＝±2m 1＝2－12，m 2＝－2－12.13．（2020ꞏ全国九年级专题练习）如果方程260--=ax bx 与方程22150ax bx +-=有一个公共根是3，求a 、b 的值，并分别求出两个方程的另一个根．【答案】a=b=1；该方程的另一个根为－2；该方程的另一个根为－5．【分析】把x=3代入题中两个方程中，得到关于a 、b 的二元一次方程组，用适当的方法解答，求出a 、b 的值，再解方程即可求得．【详解】解：将3x =代入两个方程得936096150a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩,1a b ∴==将11a b =⎧⎨=⎩代入方程260--=ax bx 得260x x --=，∴()()230+-=x x ，∴122,3x x =-=，∴该方程的另一个根为－2；将11a b =⎧⎨=⎩代入方程22150ax bx +-=得22150x x +-=，∴()()530x x +-=，∴125,3x x =-=，∴该方程的另一个根为－5．14．（2020ꞏ全国九年级课时练习）已知实数x 满足2213380x x x x+---=，求1x x +的值．【答案】5或2-．【分析】根据完全平方公式利用222121x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭对方程进行变形，得到2113100x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把1x x +看成整体，再解方程即可．【详解】解：222112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，∴原方程可变形为2113100x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设1x t x+=，则原方程可变形为23100t t --=，解得125,2t t ==-．15x x∴+=或2-．【点睛】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，利用完全平方公式对方程进行变形，把x +1x当成一个整体是解题关键．15．（2019ꞏ全国八年级单元测试）已知关于x 的方程231x x m -+=.（1）当0m <时，解这个方程；（2）当0m >时，解这个方程.【答案】（1）132x =，232x -=；（2）当1304m <≤时，132x =，232x =；当134m >时，此一元二次方程无解.【分析】（1）方程化为一般形式2310x x m -+-=，计算判别式得134m =- ，由于0m <，所以0> ，然后利用求根公式解方程；（2）方程化为一般形式2310x x m -+-=，计算判别式得134m =- ，由于0m >，分类讨论：当1304m <≤时，0> ，然后利用求根公式解方程，当134m >时，0< ，此时方程没有实数根.【详解】解：（1）231x x m -+= ，2310x x m ∴-+-=1a \=，3b =-，1c m =-()24941134b ac m m∴∆=-=--=-0m < 1340m ∴->322b x a -±±∴==132x +∴=，232x -=（2）231x x m -+= 2310x x m ∴-+-=1a \=，3b =-，1c m =-，()24941134b ac m m∴∆=-=--=-0m > ，∴当1304m <≤时，322b x a -==，132x +∴=，232x -=，∴当134m >时，此一元二次方程无解.【点睛】本题考查了解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，即考查了判别式的意义，也考查了求根公式.。
一元二次方程的解法(知识梳理)
一元二次方程的解法
1、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
2、方法
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±
.
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+
x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：
x2+
x+(
)2=-
+(
)2方程左边成为一个完全平方式：(x+
)2=
当b2-4ac≥0时，x+
=±
∴x=
(这就是求根公式)
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=
(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法（直接开平方法）教学目标（一）使学生会解x^2=m(m≥0)型方程，并知道这种解法的算法；（二）使学生理解换元的数学思想，并会解（x+a）^2=m（m≥0）型方程；（三）训练学生准确、迅速的计算能力.教学重点和难点重点：会解x^2=m(m≥0)、(x+a)^2=m(m≥0)型方程.难点：正确表示方程的两个根.教学过程设计（一）复习联系上一节课，提出新需求：上一节课，在开始时根据题意我们提出了两个解法，得到了两个一元二次方程：x^2+5x-150=0和x^2-5x-150=0同学们自然要问，这两个方程的形式（一次项系数）不同，结果会一样吗？实践是检验真理的标准，最有说服力的办法是把这两个方程的根解出来比较.于是，提出一个新的需求：怎样解一元二次方程？（二）新课从简单到复杂，逐步攻克难关.1.我们已经知道一元二次方程的一般形式是ax^2+bx+c=0（a≠0）.其中a，b，c的取值，a绝不可能为零（为什么？），至于b，c没有限制，b，c中有一个为零或两个都为零，仍属一元二次方程.可以用下面的表格把一元二次方程分类我们把ax^2=0(a≠0),ax^2+c=0(a≠0,c≠0)和ax^2+bx=0(a≠0,b≠0)都叫做不完全的一元二次方程.今天我们来解ax^2=0和ax^2+c=0两种类型.2.怎样解ax^2=0(a≠0)，算理是什么？例1解方程：3x^2=0.启发学生（1）先化成x^2=0（算理是：方程两边除以同一个部位零的数，所得的方程与原方程是同解方程）；（2）x^2=0,x=0的算理是什么？（平方根的定义）为了与一元一次方程x=0有区别，x^=0有两个实根，所以写成x1=0,x2=0.3.怎样解ax^2+c=0（a≠0,c≠0），算理是什么？例2解方程x^2-36=0.（启发学生说出解题过程）解：移项得 x^2=36开平方，得 x=±6（要求学生说出算法）所以 x1=6,x2=-6（这种解法叫直接开平方法）与学生一起检验6是不是原方程的根？特别要注意检验-6是不是原方程的根.提问学生，如果由x^2=36得到x=6，这个解正确吗？错误原因是什么？（错误原因是对平方根与算术平方根的概念不清. 一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根.一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根. 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0）4.巩固练习用直接开平方法解下列方程：（1）3x^2-75=0; (2)4x^2-9=0; (3)5y^2-10=0;(4)x^2+4=0.（答：（1）x1=5，x2=-5；（2）x1=3/2,x2=-3/2; (3)y=√2;y=-√2; (4)无解）5．运用换元法，更上一层楼例3解方程（x-2）^2-3=0.提问：如果（x-2）^2用乘法公式展开，原方程是怎么样？（答：x^2-4x+4=0），这是一个完全的一元二次方程我们暂时还不会解这类方程.怎么办？启发学生回答，并写出完整的板书，解方程（x-2）^2-3=0. 解：移项（x-2）^2=3x-2=±√3(算理是什么？)得x-2=√3或x-2=-√3所以x1=2+√3 ，x2=2-√3总结此例的解题思路：把一个代数式看作一个整体，以便适合数学公式，这种方法叫做“换元法”.这种方法我们在初二代数的因式分解中已经常运用.像（1）分解因式16（a-b）^2-9（a+b）^2，（2）分解因式1+(a^3b^3)/8,等等.换元法是中学数学里的一种重要的数学方法，请同学们重视它，掌握它.（三）课堂练习解下列方程：（1）（x-3）^2-25=0；（2）（2x+3）^2-4=0;(3)5-(x-6)^2=0(4)a(x-b)^2+c=0(a≠0).(答：(1)x1=8,x2=-2; (2)x1=-1/2,x2=-5/2; (3)x1=6+√5,x2=6-√5;(4)当a,c异号时，x1=b+√(-c/a),x2=b-√(-c/a);当a,c同号时，无实数解）（四）小结1.从简单到复杂，逐步攻克难关.在解完全的一元二次方程之前，先解（1）ax^2=0(a≠0);(2)ax^2+c=0(a≠0).2.对于ax^2+c=0(a≠0)形式的方程.（1）当a，c异号时有解；（2）当a，c同号时无实数解.解这类方程时，要牢记平方根的概念，不要丢了负数根.3.对于(x+a)^2+b=0形式的方程，要运用“换元”的思想方法，先把x+a看成一个字母.（五）作业1.方程2x^2+a=0(a<0)的根是____2.方程ax^2=c有实数根的条件是()(A)a≠0 (B)ac≠0 （C）ac≥0 （D）c/a≥0且a≠0.3.用直接开平方法解下列方程：（1）x^2-7=0;(2)4y^2=9;(3)t^2-45=0;(4)3x^2-x=15-x.4.解下列方程：(1)(2x-3)^2=5;(2)(x+1)^2-12=0;(3)(x-5)^2-36=0;(4)(6x-1)^2=25;(5)x^2/a=1(a>0);(6)x^2-a=0(a≥0);(7)(x-a)^2=b^2;(8)(ax+c)^2=d(d≥0,a≠0);(9)5(2y-1)^2=80;(10)4(3x-2)^2=32.5.x是什么值时，x^2-6x的值等于-7.作业的答案或提示1.x1=(√-2a)/2;x2=-(√-2a)/2.2.选(D).3.(1)x1=√7,x2=-√7;(2)y1=3/2,y2=-3/2;(3)t1=3√5,t2=-3√5;(4)x1=√5,x2=-√5.4. (1)x1=1/2(3+√5),x2=1/2(3-√5);(2)x1=-1+2√3,x2=-1-2√3;(3)x1=11,x2=-1;(4)x1=1,x2=-2/3;(5)x^2=a,x1=√a,x2=-√a;(6) x^2=a,x1=√a,x2=-√a；（7）x-a=±b,x=a±b,x1=a+b,x2=a-b;(8)ax+c=±√d,ax=-c±√d,x1=1/a(-c+√d),x2=1/a(-c-√d);(9)(2y-1)^2=16,2y-1=±4,2y=1±4,y1=5/2,y2=-3/2;(10)(3x-2)^2=8,3x-2=±2√2,3x=2±2√2,x1=2/3(1+√2),x2=2/3(1-√2).5.列方程x^2-6x=-7,配方x^2-6x+9=-7+9,(x-3)^2=2,x-3=±√2,所以x=3+√2或x=3-√2时,x^2-6x的值等于-7.课堂教学设计说明1.为了激发学生有求出方程的解需要，在课堂一开始提出问题：两个一元二次方程x^2+5x-150=0和x^2-5x-150=0的解是不是一样？2.为了使解方程由简单形式过渡到复杂形式，所以列出一元二次方程分类的表格，使学生能纵览全局，认识到完全的一元二次方程及不完全一元二次方程.同时，（表格的）分类过程进一步培养学生初步树立分类讨论的数学思想.3.在讲解ax^2=0及ax^2+c=0型的一元二次方程时，通过例1、例2，每步都强调算理及分辨算术平方根与平方根的概念，使学生养成有条有理的思维品质.4.在解（ax-b）^2=c型的方程时，要用到换元的数学思想，为此先从已学过的用换元法把多项式因式分解入手，让学生回忆换元法，使学生对运用换元法解方程不生疏，为此，安排了例3.所以本节课的设计是由简单到复杂，但好不生硬.。
1.2.1一元二次方程的解法(因式分解法,直接开平方法 1)
2
上述解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
利用因式分解的方法解方程，这种方法 叫做因式分解法。
动脑筋
方程①还有其他解法吗？ (35-2x) -900 = 0．
2
①
把方程①写成(35-2x)2=900， 这表明35-2x是900的平方根， 因此 3 5 2 x 9 0 0 或 35 2 x 900 ， 即35-2x=30 或 35-2x=-30． 解得 x=2.5 或 x=32.5．
（4）解这两个一元一次方程， 它们的解就是原方程的解。
因式分解法的依据是什么？
若ab＝0,则a＝0或b＝0。
布置作业
P19
(A) T1
结
束
可以用平方差公式， 把方程①的左边因式 分解．
先把方程①写成 (35-2x) -30 =0. 把此方程的左边因式分解 (35-2x+30)(35-2x-30)=0， 即 (65-2x)(5-2x)=0. ② 因此，从方程②得 其次，我们知道:“如果p q = 0， 65-2x=0或 5-2x=0． ③
（1） 9x -49=0 ， 原方程可以写成 解 2 2 (3x) -7 = 0， 把方程左边因式分解，得 (3x+7)(3x-7)=0. 由此得出 3x+7=0 或 3x-7=0. 解得 x1 7 ，x 2 7 . （2） 36-x =0 ， 原方程可以写成 解 62-x2 = 0， 把方程左边因式分解，得 (6+x)(6-x)=0. 由此得出 6+x=0 或 6-x=0. 解得 x1 6 ，x 2 6 .
解:(解法一) 原方程可以写成
我们可以用因式分解法 解这个方程。
把方程左边因式分解，得
1.2.1 一元二次方程的解法-直接开平方法(解析版)
1.2.1 一元二次方程的解法-直接开平方法考点一、直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.题型1：直接开平方法解一元二次方程1．一元二次方程2250x -=的解为（ ）A ．125x x ==B ．15=x ，25x =-C ．125x x ==-D ．1225x x ==【答案】B 【解析】【分析】先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可．解：2250x -=，移项得：2=25x ，开平方得：15=x ，25x =﹣，故选B ．本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法．2．若()222a =-，则a 是（ ）A ．-2B ．2C ．-2或2D ．4【答案】C 【解析】【分析】先计算2(2)-，再用直接开平方法解一元二次方程即可．()2224a =-=Q 2a \=±故选C 【点睛】本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键．3．方程x 2- =0的根为_______．【答案】x=± 【解析】【分析】，得出x 2=8，利用直接开平方法即可求解．解： x 2- =0，∴x 2=8，∴x =±故答案为：x =±．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程及算术平方根，解题关键是熟练掌握直接开平方法的解题步骤．4．有关方程290x +=的解说法正确的是（ ）A ．有两不等实数根3和3-B ．有两个相等的实数根3C ．有两个相等的实数根3-D ．无实数根【答案】D【分析】利用直接开平方法求解即可．∵290x +=，∴290x =-<，∴该方程无实数解．故选：D 【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．5．若方程()20ax b ab =>的两个根分别是4m -与38m -，则ba=_____．【答案】1【解析】【分析】利用直接开平方法得到x =，得到方程的两个根互为相反数，所以4380m m -+-=，解得3m =，则方程的两个根分别是1与1-1=，然后两边平方得到b a 的值．解：∵()20ax b ab =>，∴2b x a=，∴x =，∴方程的两个根互为相反数，∵方程2ax b =的两个根分别是4m -与38m -，∴4380m m -+-=，解得3m =，∴4341m -=-=-，383381m -=´-=，∴一元二次方程ax 2＝b 的两个根分别是1与1-，1=，∴1ba=．故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如2x p =或()()20nx m p p +=³的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成2x p =的形式，那么可得x =()()20nx m p p +=³的形式，那么nx m +=6．解方程：（1）23270x -=； （2）2(5)360x --=；（3）21(2)62x -=； （4）()()4490+--=y y ．【答案】（1）123,3x x ==-；（2）1211,1x x ==-；（3）122,2x x ==-；（4）125,5y y ==-．【解析】【分析】（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．（1）23270x -=，2327x =，29x =，3x =±，即123,3x x ==-；（2）2(5)360x --=，2(5)36x -=，56x -=或56x -=-，11x =或1x =-，即1211,1x x ==-；（3）21(2)62x -=，2(2)12x -=，2x -=2x -=-，2x =或2x =-+，即122,2x x ==-；（4）()()4490+--=y y ，21690y --=，225y =，5y =±，即125,5y y ==-．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．7．计算：4（3x +1）2﹣1＝0、3274y ﹣2＝0的结果分别为（ ）A ．x ＝±12，y ＝±23B ．x ＝±12，y ＝23C ．x ＝﹣16，y ＝23D ．x ＝﹣16或﹣12，y ＝23【答案】D 【解析】【分析】直接开平方与开立方，再解一次方程即可．解：由4（3x +1）2﹣1＝0得（3x +1）2＝14，所以3x +1＝±12，解得x ＝﹣16或x ＝﹣12，由3274y ﹣2＝0得y 3＝827，所以y ＝23，所以x ＝﹣16或﹣12，y ＝23．故选：D ．【点睛】本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键．82x = ）A ．120,x x ==B ．120,x x ==C ．12x x ==D ．12x x ==【答案】A 【解析】【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得．2x =(23x =，利用直接开方法得：x解得120,x x ==故选：A ．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．题型2：直接开平方法解一元二次方程的条件9．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )A ．230x =－B ．2(14)0x =－－C ．220x =＋D ．22()12()x =－－【答案】C 【解析】【分析】方程整理后，判断即可得到结果230x =－移项得23x =，可用直接开平方法求解；2(10)4x -=－移项得2(14)x =－，可用直接开平方法求解；22()(12)4x ==－－，可用直接开平方法求解．故选C.【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键10．方程y 2＝-a 有实数根的条件是（ ）A ．a ≤0B ．a ≥0C ．a >0D ．a 为任何实数【答案】A 【解析】【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a ≥0，再进行整理即可．解：∵方程y 2＝﹣a 有实数根，∴﹣a ≥0（平方具有非负性），∴a ≤0；故选：A ．【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a ≥0．11．有下列方程：①x 2-2x=0；②9x 2-25=0；③(2x-1)2=1；④21(x 3)273+=．其中能用直接开平方法做的是( )A ．①②③B ．②③C ．②③④D ．①②③④【答案】C 【解析】【分析】利用因式分解法与直接开平方法判断即可得到结果．①x 2-2x=0，因式分解法；②9x 2-25=0，直接开平方法；③(2x-1)2=1，直接开平方法；④21(x 3)273+=，直接开平方法，则能用直接开平方法做的是②③④.故选:C.【点睛】考查直接开方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键.12．方程 x 2=（x ﹣1）0 的解为（ ）A ．x=-1B ．x=1C ．x=±1D ．x=0【答案】A 【解析】【分析】根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x 2=1，确定x 的值即可.∵(x-1)0有意义，∴x-1≠0，即x≠1，∵x 2=（x ﹣1）0∴x 2=1，即x=±1∴x=-1.故选A.【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂.13．如果方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，那么m 的取值范围是（ ）.A ．0m >B ．7m …C ．7m >D ．任意实数【答案】B 【解析】【分析】根据70-³m 时方程有实数解，可求出m 的取值范围．由题意可知70-³m 时方程有实数解，解不等式得7m …，故选B ．【点睛】形如()2+m =a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．14．已知方程()200ax c a +=¹有实数根，则a 与c 的关系是（ ）.A ．0c =B ．0c =或a 、c 异号C ．0c =或a 、c 同号D ．c 是a 的整数倍【答案】B 【解析】【分析】将原方程化为2a=c-x 的形式，根据2x 0³可判断出正确答案．原方程可化为2a=c -x ，∵2x 0³，∴c0a -³时方程才有实数解．当c=0时，20=x 有实数根；当a 、c 异号时，c0a -³，方程有实数解．故选B ．【点睛】形如2=a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．题型3：直接开平方法解一元二次方程的复合型15．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-【答案】C 【解析】【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．16．方程224(21)25(1)0x x --+=的解为（ ）A ．127x x ==-B ．1217,3x x =-=-C ．121,73x x ==D ．1217,3x x =-=【答案】B 【解析】【分析】移项后利用直接开平方法解答即可．解：移项，得224(21)25(1)x x -=+，两边直接开平方，得2(21)5(1)x x -=±+，即2(21)5(1)x x -=+或2(21)5(1)x x -=-+，解得：17x =-，213x =-．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．17．解方程：（1）21(2)602y +-=；（2）22(4)(52)x x -=-．【答案】（1）122,2y y =-=--；（2）121,3x x ==．【解析】【分析】（1）原方程先整理，再利用直接开平方法解答即可；（2）利用直接开平方法求解即可．解：（1）21(2)602y +-=，整理，得2(2)12y +=．∴2y +=±即122,2y y ==-；（2）22(4)(52)x x -=-Q ，4(52)x x \-=±-，∴452x x -=-或()452x x -=--，解得：121,3x x ==．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．题型3：一元二次方程的根的概念深入理解18．一元二次方程2251440t -=的根与249(1)25x -=的根（ ）A ．都相等B ．都不相等C ．有一个根相等D ．无法确定【答案】C【解析】【分析】运用直接开平方法分别求出两个方程的解，然后再进行判断即可得解.2251440t -=，214425t =，∴125t =±；249(1)25x -=，715x -=±，∴1125x =，225x =-；∴两个方程有一个相等的根125.故选C.【点睛】此题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程和确定方程的解，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．题型4：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式19．关于x 的方程(x+a)2 =b(b>0)的根是（ ）A ．-aB ．C ．当b≥0时，D ．当a≥0时，【答案】A【解析】【分析】由b>0，可两边直接开平方，再移项即可得．∵b>0，∴两边直接开平方,得：∴-a ，故选A【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则20．形如2()(0)ax b p a +=¹的方程，下列说法错误的是（ ）A ．0p >时，原方程有两个不相等的实数根B ．0p =时，原方程有两个相等的实数根C ．0p <时，原方程无实数根D ．原方程的根为x =【答案】D【解析】【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．解：A 、当0p >时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；B 、当0p =时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；C 、当0p <时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D 、当0p ³时，原方程的根为x =故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．题型5：直接开平方法解一元二次方程-降次21．方程4160x -=的根的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】移项得416x ==24,然后两边同时开四次方得x-=±2，由此即可解决问题．解：∵4160x -=∴416x ==24，∴x=±2，∴方程4160x -=的根是x=±2.故选B.【点睛】本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次．题型6：直接开平方法解一元二次方程-换元法22．若()222225a b +-=，则22a b +的值为( )A ．7B ．-3C ．7或-3D ．21【答案】A【解析】【分析】把()222225a b +-=两边开方得到a 2+b 2-2=±5，然后根据非负数的性质确定22a b +的值．解：∵()222225a b +-=，∴a 2+b 2-2=±5，∴a 2+b 2=7或a 2+b 2=-3（舍去），即a 2+b 2的值为7．故选A ．【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法：形如x 2=p 或（nx+m ）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．题型7：直接开平方法解一元二次方程-创新题，数系的扩充23．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-．若我们规定一个新数“i ”，使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()21232422,1,(1),(1)1i i i i i i i i i i ==-=×=-=-==-=，从而对于任意正整数n ，我们可以得到()41444n n n i i i i i +=×=×=，同理可得424341,,1n n n i i i i ++=-=-=．那么234202*********i i i i i i ++++++L 的值为________．【答案】1-【解析】【分析】根据()41444nn n i i i i i +=×=×=，424341,,1n n n i i i i ++=-=-=，化简各式即可求解．解：依题意有()()()22123242,1,1,11i i i i i i i i i i ==-=×=-=-==-=，∵2022÷4＝505…2，∴2022i =21i =-∴234202*********i i i i i i ++++++L ＝−1−i ＋1＋i ＋…＋1＋i −1＝−1．故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．一、单选题1．方程()2690x +-=的两个根是（ ）A ．13x =，29x =B ．13x =-，29x =C ．13x =，29x =-D ．13x =-，29x =-【答案】D【分析】根据直接开平方法求解即可．【解析】解：()2690x +-=，()269x +=，63x \+=±，123,9x x \=-=-，故选：D ．A ．0k ³B ．0h ³C ．0hk >D ．0k <【答案】A 【分析】根据平方的非负性即可求解．【解析】解：()20x h +³Q ，0k \³．故选：A ．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，理解直接开平方法的条件是解题的关键．5．已知()22230aa x x ---+=是关于x 的一元二次方程，那么a 的值为（ ）A ．2±B ．2C ．2-D ．以上选项都不对【答案】C【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可．【解析】解：∵()22230aa x x ---+=是关于x 的一元二次方程，∴222,20a a -=-¹，解得2a =-，故选：C ．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟记定义是解题的关键．6．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-【答案】C【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．【解析】解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：【解析】∵根据题意可得：420420a b c a b c ++=ìí-+=î①②，①－②＝40b =，得0b =，①＋②＝820a c +=，∴解得：0b =，4c a =-．将a 、b 、c 代入原方程()200ax bx c a ++=¹可得，∵240ax bx a +-=，240ax a -=24ax a=∴2x =±故选：D ．【点睛】本题考查解一元二次方程，联立关于a 、b 、c 的方程组，由方程组推出a 、b 、c 的数量关系是解题关键．二、填空题11．方程240x -=的根是______．【答案】12x =-，22x =【分析】根据直接开平方法求解即可．【解析】解：240x -=，24x =，∴2x =±，即12x =-，22x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．12．方程()219x +=的根是_____．【答案】1224x x ==-，【分析】两边开方，然后解关于x 的一元一次方程．【解析】解：由原方程，得13x +=±．＝−1．故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．两边开平方，得63x +=第二步所以3x =- 第三步“小华的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．【答案】(1)-1；(2)二 ；正确的解答过程，见解析【分析】（1）利用平方差公式展开，合并同类项即可；（2）根据直接开平方法求解即可．【解析】（1）解：2(1)(1)+--m m m 221m m =--=-1；（2）解：第二步开始出现错误；正确解答过程：移项，得（x +6）2=9，两边开平方，得x +6=3或x +6=-3，解得x 1=-3，x 2=-9，故答案为：二．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．27．嘉嘉和琪琪用图中的A 、B 、C 、D 四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按A B C D ®®®的顺序运算，则琪琪列式计算得：222[(23)(3)2](152)(17)289+´--=--=-=．（1）嘉嘉说-2，对-2按C A D B ®®®的顺序运算，请列式并计算结果；。
一元二次方程的解法(直接开平方法)
2、（3x -4）² =（4x -3）²
解：两边开平方，得： 3x-4=±（4x-3） 3x -4=4x-3
（3x-2）²=49 两边开平方，得： 3x -2=±7 所以：x=
27 3
5 3
或3x-4= -4x+3
-x=1或 7x=7
所以 =3， =- x2 x1
x x1 =-1， =12
如果 x2=a , 那么x = a .
这种方法称为直接开平方法。 解题步骤：
1，将一元二次方程常数项移到方程的一边。
2，利用平方根的意义，两边同时开平方。
3，得到形如： x =
a . 的一元一次方程。
x2= ?
4，写出方程的解 x1= ?,
例题讲解
1、（3x -2）² -49=0
解：移项，得：
数是___，常数项是___. -6 8 2 x 1 0, y 2 x 1, x 2 1 0, ( x 3) x 2 x 2中,是 (4)在下列方程 2 2 ( x 3) x 2 x x 1 0, 一元二次方程的有:_________________________.
整理得
x 25 x 150 0
2
这是一个什么方程?
20cm
xcm
1 （1）定义：只含有_____个未知数，且未知数 2 的最高次数是____的整式方程，叫做一元二次 ax2 bx c 0(a 0) 方程。 2 ax a bx c b （2）一元二次方程的一般形式是 ____________。其中____叫二次项，_____是 2 (3)将方程 5x 6 x 8化为一元二次方程的一般形式是： 二次项系数；_____叫一次项,______是一次项 2 5 5x 6 x 8 0 _____________，它的二次项系数是____，一次项系 系数；______叫常数项。
2.2.1一元二次方程的解法配方法————直接开平方法
①
② 直接开平方得（ 2 2 x 1) 5( x 1)， x 7
上述解题过程，有无错误，如有，错在第 ？步， 原因是 ？
请写出正确的解答过程
能力提升：解方程： 2(2 x 1) 5( x 1) 解：2(2 x 1) 5( x 1)或2(2 x 1) 5( x 1)
2
2
2x 2
2
解：4 x 2 81
81 x 4 9 9 x1 , x2 2 2
x 1
2
x1 1, x2 1
③
解：
(1 x) 64
2
④
解：
(2 x 1) 9
2
1 x 64 1 x 8 x1 7, x2 9
2x 1 9 2 x 1 3 x1 2, x2 1
一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根
归纳：
利用平方根的定义直接开平方求一 元二次方程的方法叫做直接开平方法。
x a(a 0)
2
x a
通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两 个一元一次方程
2、自主学习P30—31页，例1、例2，完成下列各题
①
解：
2x 2 0
2
②
4 x 81 0
4 x 2 5x 5
x 7
x1 7
4 x 2 5 x 5
9 x 3
1 x2 3
直接开平方法解一元二次方程也就是 利用平方根的意义解一元二次方程
x a(a 0)
2
b ax b( 0) a
2
动脑筋：用平方根的意义解一元二次方程 （ 4 2 x 1) 25( x 1) 0
直接开平方法解一元二次方程
直接开平方法解一元二次方程直接开平方法解形如p x =2（p ≥0）和()c b ax =+2（c ≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:（1）把一元二次方程化为p x =2（p ≥0）或()c b ax =+2（c ≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.注意:（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解;（2）对于一元二次方程p x =2,当0<p 时,方程无解;（3）对于一元二次方程()c b ax =+2: ①当0>c 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;②当0=c 时,一元二次方程有两个相等的实数根;③当0<c 时,一元二次方程没有实数根.例1. 解下列方程:（1）022=-x ; （2）081162=-x .分析:观察到两个方程的特点,都可以化为p x =2（p ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.解:（1）22=x2±=x ∴2,221-==x x ;（2）1681,811622==x x 491681±=±=x ∴49,4921-==x x .（1）()0932=--x ; （2）()092122=--x . 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为()c b ax =+2（c ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.解:（1）()932=-x33±=-x∴33=-x 或33-=-x∴0,621==x x ;（2）()92122=-x()4312922==-x ∴23432±=±=-x ∴232=-x 或232-=-x∴232,23221-=+=x x .习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【 】 （A ）032=-x （B ）()0412=--x（C ）022=+x （D ）()()2221-=+x习题2. 若()41222=-+y x ,则=+22y x _________.习题3. 若b a ,为方程()1142=+-x x 的两根,且b a >,则=b a【 】 （A ）5- （B ）4- （C ）1 （D ）3习题4. 解下列方程:（1）()16822=-x ; （2）()642392=-x .（1）()09142=--x ; （2）4312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x .习题6. 对于实数q p ,,我们用符号{}q p ,min 表示q p ,两数中较小的数,如{}12,1min =.（1）{}=--3,2min _________;（2）若(){}1,1min 22=-x x ,则=x _________. 习题7. 已知直角三角形的两边长y x ,满足091622=-+-y x ,求这个直角三角形第三边的长.（注意分类讨论第三边的长）。
一元二次方程解法
∴x=[(-b±√（b²-4ac)]/（2a)∴原方程的解为x?=,x?= .4．因式分解法（十字相乘法）：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
（老教材中这种方法称为十字相乘法）例4．用因式分解法解下列方程：⑴ (x+3）（x-6）=-8 ⑵ 2x²+3x=0 ⑶ 6x²+5x-50=0 （选学）⑷x²-4x+4=0 （选学）⑴解：（x+3）（x-6）=-8化简整理得x²-3x-10=0（方程左边为二次三项式，右边为零）（x-5）（x+2）=0（方程左边分解因式）∴x-5=0或x+2=0（转化成两个一元一次方程）∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
⑵解：2x²+3x=0 x（2x+3）=0（用提公因式法将方程左边分解因式）∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程）∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
⑶解：6x²+5x-50=0（2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）∴2x-5=0或3x+10=0∴x1=,x2=- 是原方程的解。
⑷解：x²-4x+4 =0（∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）（x-2）（x-2）=0∴x1=2,x2=2是原方程的解。
小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。
公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法、公式法和分解法）一元二次方程定义:只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式：ax²+bx+c=0（a,b，c为常数，x为未知数,且a≠0）。
顶点式：y=a（x—h）²+k（a≠0,a、h、k为常数）交点式：y=a（x—x₁）（x—x₂）（a≠0）［有交点A(x₁，0）和B(x₂,0)的抛物线，即b²—4ac≥0］ .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如（x-m)²=n（n≥0）的方程，其解为x=m±配方法：1。
将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根）2。
将二次项系数化为13。
将常数项移到等号右侧4。
等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5。
将等号左边的代数式写成完全平方形式6。
左右同时开平方7.整理即可得到原方程的根公式法:1。
化方程为一般式：ax²+bx+c=0 （a≠0）2。
确定判别式，计算Δ（=b²—4ac)；3。
若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根:x=若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根：x₁=x₂=若Δ〈0,该方程在实数域内无实数根因式分解法：因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 将方程右边化为0；2. 将方程左边分解为两个一次式的积；3. 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:y=ax²+bx+c（a≠0).（2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小）值时,可设解析式为顶点式：y=a(x—h）²+k（a≠0）。
(完整版)一元二次方程知识点总结和例题——复习,推荐文档
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项 系数为 1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使 左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q≥0，方程的根是 x=-p±√q；如果 q＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一 般方法。
一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中 ax2 是二次项，
程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两 根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
7.分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
c a
。
温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。
例题：
1、关于 x 的一元二次方程 x2 kx 4k 2 3 0 的两个实数根分别是 x1, x2 ，
且满足 x1 x2 x1x2 ，则 k 的值为：
（）
（A） 1或 3 4
（B） 1
3
（C）
4
（D）不存在
2、已知 , 是关于 x 的一元二次方程 x2 2m 3x m2 0 的两个不相
12、当 x =
时，代数式 x2 3x 比代数式 2x2 x 1的值大 2 ．
13、某商品原价每件 25 元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件 16
A．2 B．3 C．－2 或 3 D．2 或－3
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10、若（m+1） xm(m2)1 +2mx－1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是
《直接开平方法解一元二次方程》教案
m (m ≥0)n ）2=m( m 学生经历知识探索的过程，体会用直接开平方法解一元二次方程的过程中的转化思想和分类讨论的思想，提高学生的观察分析能力和运算能力。
2
)(0)n m m 的一元二次方程都可以用
220y （ ）35x ( ) 26x ( )
2
8)144( ) 222)325x x （）2
350x ( ) ⑧240a ( )
知方程1(1)250m m x x 是一元二次方程，_______
35x ，40， 你认为哪几个方程可以根据曾经学
过的知识求出解来？请说说你的看法。
经过学生的观察可以发现方程2
40
a 可以用平方根的定义来解出方程的根。
40可以转化为4。
方程的解就是4的平
对于方程2
(8)144m 。
可以把 8m 看做一个整体，
的平方根，从而可以求出这两个方程的解。
（学生进行分析，老师适当补充） 给出规范的解题格式： 40
解：方程化为：24a ，
直接开平方得：2a
2 2
2x 2
8)144
解：直接开平方得： 812m
812得：4m
812得：16m
引出直接开平方法定义： 直接开平方法：凡是形如2x =m(m ≥0)方的方法来求它的解，这种解法叫直接开平方法。
学并论 师生操作。
解一元二次方程(直接开平方、配方法、配方法的应用)(解析版)
解一元二次方程（直接开平方、配方法、配方法的应用）【知识梳理】一．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.二．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 【考点剖析】题型一、用直接开平方法解一元二次方程例1.解方程（1）3x 2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．【答案与解析】（1）把方程变形为3x2=24，x2=8．开平方，得原方程的根为x=或x=-．(2)原方程可化为(4-3n)2=64， 2222()a ab b a b ±+=±所以有4-3n=8或4-3n=-8．所以，原方程的根为n=-或n=4．【总结升华】应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．例2.解方程(x-3)2=49．【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7或x-3=-7．由x-3=7，得x=10．由x-3=-7，得x=-4．所以原方程的根为x=10或x=-4．【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；2；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵x2=361，∴x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．【答案】解：4（x+3）2=25（x﹣2）2，开方得：2（x+3）=±5（x﹣2），解得：，．题型二、用配方法解一元二次方程例3.用配方法解方程x2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x2-7x＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x＝+或x＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c＝0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2＝0； (2)x2+6x+8＝0.【答案】(1)方程变形为x2-4x＝2．两边都加4，得x2-4x+4＝2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2＝n 的方程，即有(x-2)2＝6．解这个方程，得x-2＝或x-2＝-．于是，原方程的根为x ＝2+或x ＝2-． (2)将常数项移到方程右边x2+6x ＝-8．两边都加“一次项系数一半的平方”＝32，得 x2+6x+32＝-8+32，∴ (x+3)2＝1．用直接开平方法，得x+3＝±1，∴ x ＝-2或x ＝-4．例4.用配方法解方程：22330x x −−=． 【答案与解析】解：∵22330x x −−=， ∴233022x x −−= ∴23993216162x x −+=+ ， ∴2333416x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭∴1233,44x x +== ．【总结升华】原方程的二次项系数不为1，必须先化成1，才能配方．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成的形式，然后用直接开平方法求解即可．【变式】 用配方法解方程 （1）2x 2+3=5x （2）【答案】（1） ()()20x m n n +=≥20x px q ++=2235x x +=2253x x −=−. （2）①当时，此方程有实数解， ；②当时，此方程无实数解.例5．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数 【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.例6．用配方法说明： 代数式 x 2+8x+17的值总大于0. 【答案与解析】 25322x x −=−2225535()()2424x x −+=−+251()416x −=5144x −=±123,12x x ==20x px q ++=222()()22p p x px q ++=−+224()24p p q x −+=240p q −≥12x x ==240p q −＜221078M a b a =+−+2251N a b a =+++M N −22221078(51)M N a b a a b a −=+−+−+++2222107851a b a a b a =+−+−−−−29127a a =−+291243a a =−++2(32)30a =−+>x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x 取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.【变式1】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2＝0时，代数式 x2+8x+17的最小值是1.【变式2】用配方法证明的值小于0．【答案与解析】 证明：． ∵ ，∴ ，即．故的值恒小于0． 【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．【变式3】求证：代数式3x 2﹣2x+4的值不小于． 【答案】 解：3x2﹣2x+4=3（x2﹣x+）﹣+4=3（x ﹣）2+ 21074x x −+−22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫−+−=−+−=−−− ⎪⎝⎭27494910410400400x x ⎛⎫=−−+−− ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=−−−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=−−+−=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2710020x ⎛⎫−−≤ ⎪⎝⎭271111002040x ⎛⎫−−−< ⎪⎝⎭210740x x −+−<21074x x −+−11323191313113∵3（x ﹣）2≥0，∴3（x ﹣）2+≥，即代数式3x2﹣2x+4的值不小于．例7.已知2226100a b a b +−++=，求100123a b −⋅−⋅的值．【思路点拨】采用配方法求出,a b 的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：由题意可得：2221690a a b b −++++=()()22130a b −++=∴10a −=，30b +=∴1,3a b ==−将1,3a b ==−代入得：(11002133213−⨯−⨯−=+=【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．例8.若实数满足，则）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】C ； 【解析】对已知等式配方，得，∴．．故选Ｃ．【总结升华】本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 1313113113113x y ，224250x y x y +−−+=132+3+3−2210x y −+−=2（）（）21x y ==，3====+【变式】（1）2x 2+6x −3的最小值是 ；（2）−x 2+4x +5的最大值是 .【答案】（1）； 所以2x 2+6x −3的最小值是 （2）所以−x 2+4x +5的最大值是9.例9. 分解因式：．【答案与解析】．【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．【过关检测】一、单选题 1．（广东清远·九年级统考期末）将方程2420x x ++=配方后，原方程变形为（ ）A ．2(22)x +=B ．2(4)3x +=C ．2(2)3x +=−D ．2(2)5x +=−【答案】A【分析】用配方法解一元二次方程即可．【详解】解：由题意知，方程2420x x ++=配方后，方程变形为2(22)x +=， 故选：A ． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于正确的运算．2．（2023·河北衡水·统考二模）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+−=+−=++−−=+−⎢⎥⎣⎦152−22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x −++=−−+=−−+−+=−−+42221x x ax a +++−42221x x ax a +++−4222221x x x ax a =+−++−4222212x x x ax a =++−−+（）（）2221x x a =+−−（）（）22(1)(1)x x a x x a =++−+−+A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．【详解】解：228=0x x −−228x x −=22181x x −+=+()219x −=∴13x −=±解得：124,2x x ==−,丁同学是错的，故选：D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 3．（2023·贵州贵阳·统考一模）解一元二次方程2420x x =＋＋时，配方后得到方程()22x c +=，则c 等于（ ）A ．6B ．4C ．2D ．2− 【答案】C【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而求得c.【详解】解：2420x x ++=，242x x ∴+=−， 2442x x ∴++=，()222x ∴+=，2c ∴=． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解答关键.4．（2023·北京东城·统考一模）用配方法解一元二次方程2630x x ++=时，将它化为2()x m n +=的形式，则m n −的值为（ ） A ．6− B ．3− C ．0 D ．2【答案】B 【分析】由2630xx ++=，配方可得()236x +=，进而可得m n ，的值，然后代入m n −，计算求解即可．【详解】解：∵2630x x ++=，∴2696x x ++=，∴()236x +=，∴3m =，6n =， ∴3m n −=−， 故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出m n ，的值． 5．（2023·江苏扬州·统考一模）已知2240y x −+=，则222x y x ++的最小值是（ ） A ．8 B ．8− C ．9− D ．9【答案】A【分析】由已知得224y x =−，注意x 的取值范围，代入222x y x ++再配方，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵2240y x −+=，∴224y x =−，且240x −≥即2x ≥，∴2222422x y x x x x +=−+++ 2448x x +=+−()228x =+−， ∵()220x +≥，2x ≥∴当2x =时，222x y x ++的最小值是8，故选：A ．【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x 的取值范围是解决问题的关键．6．（2022·山东德州·统考中考真题）已知2P x x =−，2Q x =−为任意实数，则P Q −的值( ) A ．大于0 B ．等于0C ．小于0D ．无法确定【答案】A【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出P Q −()2=110x −+>，即可求解．【详解】解：∵2P x x =−，2Q x =−∴P Q −()()222222110x x x x x x =−−−=−+=−+> ∴P Q −的值大于0， 故选：A ．【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．【答案】D【分析】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．【详解】解：221210x x −+=二次项化系数为1得：21602x x −+=移项得：2162x x −=−配方得：216992x x −+=−整理得：()21732x −=故选：D ．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．二、填空题8．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）一元二次方程2450x x −−=配方后得()2x m n −=，则m n +的值为 _____． 【答案】11【分析】移项后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后可得m 、n 的值，再进行计算即可．【详解】解：移项得245x x −=，配方得24454xx −+=+，即()229x −=，∴2m =，9n =， ∴11+=m n ， 故答案为：11．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．9．（2022秋·广东梅州·九年级统考期中）代数式2613a a −+可化为()2269434a a a −++=−+；无论a 取何值()230a −≥，所以()a −+≥2344，即()234a −+有最小值为4．仿照上述思路，代数式248a a −+−的最大值为__________． 【答案】4−【详解】解：248a a −+−()2444a a =−−+−()224a =−−−，∵无论a 取何值，都有()220a −≥，∴()2244a −+≥， ∴()2244a −−−≤−，即()224a −−−有最大值4−，∴248a a −+−的最大值为4−，故答案为：4−．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意是解题的关键．【答案】 16 4 36 6【分析】（1）所填的常数项为一次项系数一半的平方； （2）所填的常数项为一次项系数一半的平方；（3）所填的常数项为一次项系数一半的平方，运用配方法的运算方法，也可以直接利用完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±得出结论．【详解】解：（1）22816(4)x x x ++=+．故答案为：①16； （2）22933()42x x x −+=−故答案为：②94；（3）221236(6)x x x −+=−故答案为：③36，④6．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方的过程中应注意不能改变原式的大小． 11．（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）用配方法将方程220x x +=进行配方得___________．【答案】2(1)1x +=【分析】在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，即可求解．【详解】解：220x x +=，方程两边加上1，2211x x ++=，即()2x 11+=，故答案为：()2x 11+=．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．12．（2023·全国·九年级专题练习）一元二次方程2820x x −−=，配方后可变形为 ____．【答案】()2418x −=【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：282x x −=，281618x x −+=，()2418x −=，故答案为：()2418x −=．【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．13．（2022秋·全国·九年级专题练习）当=a _____时，代数式269a a −−有最小值为______． 【答案】 3 18−【分析】根据偶次方的非负性可知2(3)0a −≥，当30a −=时有最小值，进而可求解． 【详解】解：2269(3)18a a a −−=−−， 2(3)0a −≥∴当30a −=时代数式269a a −−取得最小值，最小值为18−，即3a =时，代数式269a a −−的最小值为18−，故答案为：3；18−．【点睛】本题主要考查了配方法、偶次方的非负性，掌握偶次方的非负性是解题的关键．14．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知实数a ，b 满足1b a =+，则代数式2265a b a +−+的最小值等于__________． 【答案】3【分析】将1b a =+代入代数式，根据配方法即可求解． 【详解】解：∵1b a =+∴2265a b a +−+()22165a a a =++−+247a a =−+()223a =−+，∵()220a −≥， ∴()2233a −+≥，故答案为：3．【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．15．（2023秋·辽宁丹东·九年级校考期中）将方程2890x x −−=化为()2x h k +=形式，则h =______，k =______．【答案】 4− 25【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式即可．【详解】解：∵2890x x −−=，∴289x x −=，配方得2816916x x −+=+，即()2425x −=，∴4h =−，25k =， 故答案为：4−，25．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，解题时要注意步骤，选择用配方法解一元二次方程时，先将常数1，然后进行配方．16．（2022秋·福建宁德·九年级统考阶段练习）若将方程261x x +=化为()210x m +=，则m =___________． 【答案】3【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】解：在方程261x x +=的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得222631+3x x ++=，配方，得2310x +=（）．所以，=3m ． 故答案为：3．【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法．掌握配方法解是解题的关键．17．（2023·浙江台州·统考一模）已知点(),A a b 在一次函数21y x =−图象上，则23a b ++的最小值为______． 【答案】1 【分析】将点(),A a b 代入一次函数解析式得出，21b a =−，代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵点(),A a b 在一次函数21y x =−图象上，∴21b a =−∴23a b ++2213a a =+−+2211a a =+++()2111a =++≥故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．【答案】4【分析】将22326x y x +=适当变形得到用含有x 的代数式表示22x y +的形式，再利用配方法变形后，根据x 的取值范围即可解答．【详解】解：∵22326x y x +=，∴()22226x y x x +=−+，∴222211923(3)222x y x x x +=−+=−−+，∵22326x y x +=，22362x xy −+∴=，∵20y ≥23602x x −+∴>∴02x ≤≤ ∴当2x =时22x y+的最大值为()21923422−−+=．故答案为4．【点睛】本题主要考查了代数式的极值、配方法等知识点，利用配方法对式子灵活变形是解题的关键． 三、解答题19.（2022秋•江都区期中）解方程：（1）4x 2＝49； （2）（2x ﹣1）2﹣25＝0． 【分析】（1）首先将方程整理为x2＝，再利用平方根的意义直接开方求解即可；（2）首先将方程整理为（2x ﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可． 【解答】解：（1）4x2＝49， x2＝，∴，∴x1＝，x2＝﹣； （2）（2x ﹣1）2﹣25＝0， （2x ﹣1）2＝25， ∴2x ﹣1＝±5， ∴x1＝3，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a （a ≥0）；ax2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x+a ）2＝b （b ≥0）；a （x+b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 20．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程：2410x x ++=【答案】12x =−22x =−【分析】先利用配方法得到()223x +=，然后利用直接开平方法解方程．【详解】解：2410x x ++=，移项得：241x x +=−，配方得：24414xx ++=−+，即()223x +=，开平方得：2x +=解得：12x =−22x =−．【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题的关键． 21．（2022秋·贵州黔西·九年级校联考阶段练习）先阅读，后解题． 已知2226100m m n n ++−+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690.m m n n +++−+=即22(1)(3)0m n ++−=．2(1)0m +≥，2(3)0n −≥，且和为0，2(1)0m ∴+=且2(3)0n −=，1m ∴=−，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++−+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+−且ABC 为直角三角形，求c ． 【答案】(1)2x =−，1y =(2)5c =或c =【分析】1（）由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，利用非负数的性质即可求解； 2（）由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，求得a b 、的值，然后根据勾股定理可求解．【详解】（1）解：∵224250x x y y ++−+=，()()2244210xx y y +++−+=，即()()22210x y ++−=，∵()220x +≥，()10y −≥2，且()()22210x y ++−=，∴()220x +=且()210y −=，2x ∴=−，1y =；（2）解：∵228625a b a b +=+−，方程变形为()()22430a b −+−=，∴()240a −≥，()230b −≥，∴4a =，3b =，ABC 为直角三角形，∴当4a =，3b =是直角边时，则5c =；当4a =是斜边，3b =是直角边时，则c =5c ∴=或c =【点睛】本题主要考查配方法的应用及勾股定理，熟练掌握配方法的应用及勾股定理是解题的关键．【答案】(1)见解析(2)t=32，S 最大值【分析】（1）仿照例题，利用配方求解即可．（2）先求s ，再利用配方求最值即可．【详解】（1）证明：（1）247y x x =−+2443x x =−++()223x =−+．∵()220x −≥．∴033y ≥+=．∴0y >．∴y 是正数．（2）解：∵2AP t =，CQ =，62PC t =−．0t ⎛ ⎝≤ ∴12S PC CQ =⋅ ()1622t =−2=+)23t t =− 232t ⎫=−⎪⎭ ∵2302t ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭．∴当32t =时，S【点睛】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键． 23．（2022秋·广西柳州·九年级统考期中）阅读材料数学课上，韦老师在求代数式245x x −+的最小值时，利用公式()2222a ab b a b ±=±＋，对式子作如下变形∶()2224544121x x x x x −+=−++=−+，∵()220x −≥，∴()2211x −+≥当2x =时，()2211x −+=，∴当2x =时，()221x −+有最小值1，即245x x −+的最小值为1．通过阅读，解决下列问题∶(1)当x =___________时，代数式()2254x −+有最小值为___________ (2)代数式 221x x ++的最小值为___________(3)当x 取何值时，代数式263x x −++的有最大或最小值，并求出最大或最小值．【答案】(1)5，4(2)0(3)当3x =时，263x x −++有最大值，最大值是12【分析】（1）由22(5)0x −…可得()22544x −+≥，从而判断它在5x =时取最小值； （2）配方可得2(1)x +，根据2(1)0x +…，即可得出结论； （3）提取1−，然后配方得2(3)12x −−+，根据2(3)0x −−…可得结论． 【详解】（1）解：（1）22(1)0x −…， ()22544x −+≥∴，当5x =时，取到等号，∴当5x =时，22(1)4x −+有最小值，最小值为：4；故答案为5，4；（2）解：2221(1)x x x ++=+，当=1x −时，221x x ++有最小值，最小值为：0；故答案为0；（3）解：263x x −++2(69)93x x =−−+++2(3)12x =−−+，2(3)0x −−…，2(3)1212x ∴−−+…，当3x =时，取到等号，∴当3x =时，263x x −++有最大值，最大值为12．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【答案】(1)2ax b +(2)①240b ac −≥,②ba −；c a(3)见解析【分析】（1）根据完全正确平方公式求解即可；（2）根据二次根式有意义条件求解即可；（3）用配方法解方程即可求出方程的解，再分别代入计算即可12x x +与12x x 计算即可求解．【详解】（1）解：∵2222444a x abx b ac b +++=，∴()2242c a b b x a =−+；（2）解：①一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有实根的条件是：240b ac −≥；②12x x +2b b b a a −−==−，12x x =()2224b a −−=244ac c a a −=−=；（3）解：2410x x −−=，241x x −=，24414x x −+=+，()225x −=，2x −=12x =22x =∴12224x x +=，(22122221x x ==−=−．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程—配方法是解题的关键． 时，22x y +=时，22x y +=时，x 时，x 【答案】(1)=(2)222x y xy +≥，理由见解析；(3)代数式224+x x 的最小值为8．【分析】（1）求得2218x y +=，218xy =，得到222x y xy +=； （2）结合完全平方的非负性即可解答；（3）利用归纳的结论即可求解．【详解】（1）解：当3x =，3y =时，2218x y +=，218xy =，222x y xy ∴+=， 故答案为：=；（2）解：222x y xy +≥，理由如下，∵2222()0x xy y x y −+=−≥，∴222x y xy +≥；（3）解：∵222x y xy +≥，∴22224428x x x x +≥⋅=，∴代数式224+x x 的最小值为8． 【点睛】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键．()212122⨯++= ()3131232⨯+++= 1234+++=(1)第4个图形对应的等式为______；【答案】(1)()515123452⨯+++++=(2)10【分析】（1）根据图形规律第四个图形多一行5个的点，直接列式即可得到答案；（2）根据题意找到图形点数规律列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：由题意可得，第四个图形总点数可列为：()515123452⨯+++++=， 故答案为：()515123452⨯++++=； （2）解：由题意可得，每一个图形的行数比个数多1，每行的数字从1开始逐渐加1，∴第n 个图形的点数为：(1)(11)(1)(2)1234.....(1)22n n n n n n ++++++++++++==，∴()()12662n n ++=， 整理得+−=231300n n ，解得110n =，213n =−（舍去），∴n 的值为10；【点睛】本题考查图形规律问题及解一元二次方程，解题的关键是根据题意找到图形规律．。