2021届高三第一学期入学调研试卷理科数学(1)(含答案)

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2021年高三上学期开学初检测数学(理)试卷含答案

2021年高三上学期开学初检测数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）.1．设全集，，，则（）A． B．C．D．2．若复数（是虚数单位），则A．B．C．D．3. 设是数列的前项和，若，则A．5 B．7 C．9 D．11 4．设f（x）＝，则f（f（－2））＝A．－1 B．C．D．5．的展开式中的有理项且系数为正数的项有( )A．1项 B．2项C．3项 D．4项6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．3πB．4πC．2π＋4 D．3π＋47．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的（）A．B．C．D．8．设，则是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9.函数的图像与函数的图像（）A 有相同的对称轴但无相同的对称中心B 有相同的对称中心但无相同的对称轴C 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心D 既无相同的对称中心也无相同的对称轴10．不等式组表示的点集为M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则的概率为( )A． B． C． D．11、已知双曲线与抛物线有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若，则点F到双曲线的渐近线的距离为( )A． B． C． D．12．对一定义域为D的函数和常数，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛函数”，现给出如下函数：①②③④其中为“敛1函数”的有( )A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.过函数f（x）＝－＋2x＋5图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是________________.14、已知函数的图象关于直线对称，则的值为 .15.已知函数，若方程有且仅有两个不等的实根，则实数的取值范围是 . 16．已知抛物线上一点，若以为圆心，为半径作圆与抛物线的准线交于不同的两点，设准线与x轴的交点为A，则的取值范围是 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分).参加人数AC E17．在中，角对应的边分别是,已知23cos cos 23sin sinC 2cos B C B A +=+.(I)求角的大小；(II)若,,求△ABC 的面积.（12分）18．如图所示的多面体中，⊥平面，⊥平面ABC ，，且，是的中点．（Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. （12分）19．学校高一年段在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动.高一（1）班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示.（1）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率.（2）从该班中任意选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望.（3）从该班中任意选两名学生，用表示这两人参加活动次数之和，记“函数在区间（3，5）上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率. （12分）20.椭圆的上顶点为是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由.（12分）21.已知函数.(1)若的切线方程;(2) 若函数在上是增函数,求实数m 的取值范围;(3) 设点满足,判断是否存在点P (m,0),使得以AB 为直径的圆恰好过P 点，说明理由. （12分）请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22．选修4-1：几何证明选讲如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．（I）证明：；（II）若，，求的直径．（10分）A23. 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线C：（t为参数）， C：（为参数）。

2021年高三起点调研考试数学(理)试题含答案

2021年高三起点调研考试数学（理）试题含答案考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4. 考试结束，只需上交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上）1. 已知集合，，若，则A. B. C. 或 D. 或2. 如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则A. B.C. D.3. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 A. B. C. D.4. 已知向量、满足，，，则A. B. 3 C. D. 5. 已知、取值如下表：0 1 4 5 6 1.3 5.6 7.4画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则的值（精确到0.1）为 A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.86. 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.7. 已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则该等差数列的公差A. B. C. D. 8. 函数的部分图像可能是Ox O yx O yx.Ox .C D9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. 14B. 15C. 16D. 17 10. 若，，，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件正视图侧视图俯视图11. 过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于、两点，是坐标原点，当时，直线的斜率的取值范围是A.B.C.D.12. 已知定义在上的函数满足①，②，③在上表达式为，则函数与函数的图像在区间上的交点个数为A. 5B. 6C. 7D. 8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 若函数，则____________.14. 在的展开式中，项的系数是____________. 15. 若实数满足，则的取值范围是___________.16. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分10分）在△中，三个内角、、所对的边分别为、、，且. (1) 求角；(2) 若△的面积，，求的值. 18.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足. (1) 求数列的通项公式； (2) 设，求数列的前项和. 19.（本小题满分12分）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.(1) 求某两人选择同一套餐的概率；(2) 若用随机变量表示某两人所获优惠金额的总和，求的分布列和数学期望. 20.（本小题满分12分）如图所示几何体是正方体截去三棱锥后所得，点为的中点. (1) 求证：平面平面； (2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21.（本小题满分12分）如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点. 的最大值是，的最小值是，满足.(1) 求该椭圆的离心率； (2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点. 记的面积为，的面积为，求的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数，其中为实数，常数.(1) 若是函数的一个极值点，求的值； (2) 当时，求函数的单调区间；(3) 当取正实数时，若存在实数，使得关于的方程有三个实数根，求的取值范围.长春市xx 学年新高三起点调研考试数学（理科）试题答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. A3. D4. B5. C6. D7. B8. B9. C 10. B 11. D 12. B 简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性.【试题解析】C 由题可得或，则，又当时，集合出现重复元素，因此或. 故选C. 2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算与复数模的概念，另外对复平面上点与复数的对应也提出较高要求.【试题解析】A 由图可知：，，，则. 故选A.3. 【命题意图】本题考查函数奇偶性的概念，同时也对函数单调性与函数极值做出考查.【试题解析】D 由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值. 故选D.4. 【命题意图】本题主要对向量的运算进行考查，同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求.【试题解析】B 由，且可知，. 故选B.5. 【命题意图】本题考查了回归直线的特征，对解释变量的运算也有提及.【试题解析】C 将代入回归方程为可得，则，解得，即精确到0.1后的值为. 故选C. 6. 【命题意图】本题通过三视图考查几何体表面积的运算.【试题解析】D 如图所示，该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和，即2148(82S r rl ππππ=⋅+=+=+. 故选D. 7. 【命题意图】本题考查数列基本量的求法.【试题解析】B 由题意，，，作差可得，即. 故选B.8. 【命题意图】本题通过图像考查函数的奇偶性以及单调性.【试题解析】B 由题可知，为奇函数，且存在多个零点导致存在多个零点，故的图像应为含有多个零点的奇函数图像. 故选B.9. 【命题意图】本题利用程序框图考查对数的运算性质及对数不等式的求解.【试题解析】C 由程序框图可知，从到得到，因此将输出. 故选C. 10. 【命题意图】本题考查指对幂三种基本初等函数的图像和充要条件的概念等基础知识.【试题解析】B 如右图可知，“”“”，但“” “”，即“”是“”的必要不充分条件. 故选B.11. 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系等知识.【试题解析】D 由题可知，点的横坐标时，满足，此时，故直线（即直线）的斜率的取值范围是. 故选D. 12. 【命题意图】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图像交点个数等问题.【试题解析】B 根据①可知图像的对称中心为，根据②可知图像的对称轴为，结合③画出和的部分图像，如图所示，据此可知与的图像在上有6个交点. 故选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16. 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查利用微积分基本定理求解定积分的知识. 14. 【试题解析】计算可得.15. 【命题意图】本题考查二项展开式系数问题.16. 【试题解析】在的展开式中，项是，故的系数为.17. 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识. 18. 【试题解析】由题可知，可行域如右图，目标函数的几何意义为区域内点到原点距离的平方，故的取值范围是. 19. 【命题意图】本题考查正棱柱与球体等基本几何体体积的最值问题.20. 【试题解析】设三棱柱的高为，由题意可得，正三棱柱的体积为，求导可得当时，取得最大值为. 三、解答题 17. (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形问题中的应用，结合三角形面积的求法综合考查学生的运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 根据正弦定理可化为即整理得，即，. （5分） (2) 由△的面积，可知，而由余弦定理得b ===.（10分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用.【试题解析】解：(1) 当时，，解得当时，，有，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，有. （6分） (2) 由（1）知，有 ①①，② ①-②，得整理得. （12分） 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为 . （4分）(2) 由题意知某两人可获得优惠金额的可能取值为400，500，600，700，800，1000. （8分）综上可得的分布列为：（10分）的数学期望169824164005006007008001000775646464646464EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以正方体为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了空间平面的垂直关系，以及二面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】(1) 证明：因为几何体是正方体截取三棱锥后所得，11111111111111111111DA DC DM AC A M C M BA BC AC MBD BM AC AC D MBD A M C M DM BM M AC AC D ⎫⎫=⎫⇒⊥⎪⎬⎪=⎭⎪⎪⎪⎪=⎫⎪⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎪⎬⇒⊥=⎬⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎭⎪⊂⎪⎭平面平面平面平面.（6分） (2) 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，依题意知，，有设平面的一个法向量，有代入得，设，有，平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角大小为，有，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的离心率的有关运算，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 设，则根据椭圆性质得而，所以有，即，，因此椭圆的离心率为. （4分） (2) 由(1)可知，，椭圆的方程为.400 500 600 700 800 1000根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，并设则由消去并整理得从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，（6分）所以.因为，所以，. 由与相似，所以22222222122222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+. （10分）令，则，从而，即的取值范围是. （12分） 22. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：(1) （2分）因为是函数的一个极值点，所以，即.而当时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：是函数的一个极值点. 因此.（4分）(2) 当时，令得，解得，而. 所以当变化时，、的变化是极小值极大值因此的单调增区间是，；的单调减区间是，，；（9分） (3) 当取正实数时，，令得，当时，解得.在和上单调递增，在上单调递减，但是函数值恒大于零，极大值，极小值，并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当时，，当时，. 因此当时，关于的方程一定总有三个实数根，结论成立；当时，的单调增区间是，无论取何值，方程最多有一个实数根，结论不成立. 因此所求的取值范围是. （12分）28280 6E78 湸26047 65BF 斿26856 68E8 棨32829 803D 耽 ? y 24708 6084 悄30150 75C6 痆23284 5AF4 嫴21582 544E 呎22922 598A 妊34977 88A1 袡29173 71F5 燵。

新高考2021届高三数学入学调研试题一(含参考答案)

（新高考）2021届高三数学入学调研试题（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,0,2,3}A =-，集合{|20}B x x =-≤≤，则A B =（）A ．{2,3}B ．{2}-C ．(2,0)-D ．{2,0}-2．设复数1i 1iz =--，则||z =（）A ．0B ．2C ．22D ．13．将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案（） A ．81种B ．256种C ．24种D ．36种4．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从中抽出一个容量为28的样本，那么应抽出男运动员的人数为（） A ．10B ．12C ．14D ．165．阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为π()ln xx x≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（）（素数即质数，lg 0.43429e ≈，计算结果取整数） A ．1089B ．1086C ．434D ．1456．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为（）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒7．已知单位向量1e ，2e 分別与平面直角坐标系x ，y 轴的正方向同向，且向量123ACe e ，1226BDe e ，则平面四边形ABCD 的面积为（）A ．10B ．210C ．10D ．208．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x -+=，当1x >时，()2f x x =-，则不等式()0f x <的解集为（）A ．(1,2)B ．(,0)-∞C ．(0,2)D ．(,0)(1,2)-∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线1l 的方程为2(5)8x m y ++=，直线2l 的方程为(3)45m x y ++=，若12l l ∥，则m =（） A ．1-B ．1-C ．7-D ．3-10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π0||2ϕ<<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．2ω=B ．π3ϕ=-C ．π()12f x +是奇函数 D ．π()12f x -是偶函数 11．已知,x y ∈R ，且5757x yy x ，则（）A ．11()3()3xy≥B ．22x y ≤ C ．33x y≤D ．1122log log x y ≤12．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中不正确的是（）A ．()f x ，()g x 在点(1,0)处有相同的切线B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立C ．()f x ，()g x 的图象有且只有一个交点D ．()f x ，()g x 的图象有且只有两个交点第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．椭圆22:1916x y C +=的两个焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，若2210AF BF +=，则AB 的值为．14．已知等比数列{}n a 的首项为1，且64312()a a a a +=+，则1237a a a a = ．15．已知二项式(2)nx x-的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则n = ，3x 的系数为．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 分别为棱11A D 、11C D 的中点，N 是线段1BC 上的点，且114BN BC ，若P 、M 分别为线段1D B 、EF 上的动点，则||||PM PN +的最小值为__________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在三角形ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22242b cabc ．（1）求sin A 的值；（2）若ABC △223sin B C ，求三角形ABC △的周长．18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为0d ，且2340a a ，1413a a ，公比为(01)q q的等比数列{}n b 中，1b ，2b ，311111{,,,,}60322082b ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ；（2）若数列{}nc 满足n n n c a b ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（12分）为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动．随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩90分以上的学生也越来越多．用y 表示x 月后体育成绩90分以上的学生的百分比，得到了如下数据．（1）求出y 关于x 的回归直线方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测7个月后，体育成绩90分以上的学生的百分比是多少? 参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是ybx a 其中，^1122211()()()nnii i i i i nn ii i i x x y y x y nx y bx x x nx，ay bx ．20．（12分）在三棱锥P ABC -中，PB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB PB ==，23BC =，E 、G 分别为PC 、PA 的中点．（1）求证：平面BCG ⊥平面PAC ；（2）假设在线段AC 上存在一点N ，使PN BE ⊥，求ANNC的值；（3）在（2）的条件下，求直线BE 与平面PBN 所成角的正弦值．21．（12分）已知函数()ln af x xx x．（1）若1a，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若任意的1(,)2x，2()x xf x e x 恒成立，请求出a 的取值范围．22．（12分）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA ，MB 分别交于点C ，D ，记EABMCDS S λ=△△，问λ是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由．（新高考）2021届高三入学调研试卷数学（一）答案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】{2,0,2,3}A =-，{|20}B x x =-≤≤，∴{2,0}A B =-．2．【答案】C 【解析】211i 1i 1i 1ii i i i 1i (1i)(1i)1i 222z +++=-=-=-=-=-+--+-，||2z ==． 3．【答案】D【解析】第一步，将4名老师分成三组，其中一组2人，其他两组每组1人，不同的分法种数是24C 6=种，第二步，分到三个班的不同分法有33A 6=种，故不同的分配方案为6636⨯=种． 4．【答案】D【解析】设抽取的男运动员的人数为x ，则抽取的女运动员的人数为28x -， ∴285642x x -=，解得16x =． 5．【答案】B【解析】由题可知小于数字x 的素数个数大约可以表示为π()ln xx x≈，则10000以内的素数的个数为100001000010000lg π(10000)2500lg 0.4342925001086ln100004ln104ee ≈===≈⨯≈．6．【答案】B【解析】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，连结OM ，ON ，MN ，则12ON CD 平行且等于，12MN AB 平行且等于，所以ONM ∠或其补角即为所求的角．因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，所以BO ⊥平面ACD ，所以BO OD ⊥，设正方形边长为2，2OB OD ==，所以2BD =，则112OM BD ==，所以1ON MN OM ===，所以OMN △是等边三角形，60ONM ∠=︒．所以直线AB 与CD 所成的角为60︒．7．【答案】C 【解析】1212(3)(26)660AC BD e e e e ，∴AC BD ，又22||3(1)10AC ，22||26210BD ， ∴平面四边形ABCD 的面积11||||102101022AC BD ．8．【答案】D【解析】由已知(2)()0f x f x -+=，即(1)(1)0f x f x -++=，∴()f x 关于(1,0)中心对称，又当1x >时，()2f x x =-，作出函数()f x 的图象如图所示，由图可知()0f x <的解集为(,0)(1,2)-∞．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．【答案】AC【解析】因为12l l ∥，故24(5)(3)m m ⨯=++，整理得到2870m m ++=，解得1m =-或7m =-．10．【答案】ABD【解析】由图可得π()sin(2)3f x x =-，所以A 、B 正确；ππππππ()sin[2()]sin(2)sin(2)12123636f x x x x +=+-=+-=-，故C 错； ππππππ()sin[2()]sin(2)sin(2)cos 212123632f x x x x x -=--=--=-=-为偶函数，所以D 正确． 11．【答案】AC 【解析】∵函数57x x y为增函数，∴5757x yy x ，即5757x xy y ，可得x y ，∴A 、C 正确． 12．【答案】ABC【解析】因为()2f x x '=，(1)2f '=，1()g x x'=，(1)1g '=，所以()f x ，()g x 在点(1,0)处的切线不同，选项A 不正确；()()()()0f x g x f x g x ≥⇔-≥，22(12122[()()]2x x x f x g x x x xx-+-'-=-==，因为x ∈，[()()]0f x g x '-<；)x ∈+∞，[()()]0f x g x '->；x =，[()()]0f x g x '-=，所以2x =时，()()f x g x -有最小值1(ln 21)02-<，所以当0x >时，()()f x g x ≥不恒成立，选项B 不正确；由上可知，函数()()f x g x -在(0,)+∞上有且只有两个零点，所以()f x ，()g x 的图象有且只有两个交点．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】6【解析】由题意可得221110416AF BF AF BF AB a +++=+==，解得6AB =，故答案为6． 14．【答案】128【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则364312a a q a a +==+，所以3412a a q =⋅=，77123742128a a a a a ===．15．【答案】6，240【解析】二项展开式的第1r +项的通项公式为1C (2)(rn rrr n T x -+=，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，可得12C :C 2:5n n =，解得6n =，所以366216C (2)(C 2(1)r r n rr r r rr nT x x ---+==-，令3632r -=，解得2r =，所以3x 的系数为26226C 2(1)240--=．16．【解析】首先PM 的最小值就是P 到EF 的距离．连接11B D 交EF 于G ，连接PG ，则EF平面11B D DB ，故EFPG ，从而PM 的最小值PG ，可知G 为EF 的中点，1D G 为11D B 的四分之一．其次，连接BD ，在线段BD 上取点H ，使BH BN ，连接PH ，则PHB PNB △△，从而PNPH ，最后，连接GH 交1BD 于K ，则当P 为K 时，PM PN 取得最小值，所求最小值为GH ，∵正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，∴6GH ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）1sin 3A；（2）2326．【解析】（1）∵2222cos b c a bc A ，∴422cos 3bc Abc ， ∴22cos A， ∴在ABC △中，21sin 1cos 3AA．（2）∵ABC △2，即11sin 226bc A bc ，∴62bc，23sin B C 23bc ，∴32b ，2c，则2222cos 6a b c bc A ，∴6a，∴ABC △的周长为2326．18．【答案】（1）31na n ，211()2n nb ；（2）(31)21(1)234n n n n T ．【解析】（1）由题意可得：等差数列{}n a ，1111()(2)40223133a d a d a a d d，31na n ；因为等比数列{}n b 中，1b ，2b ，311111{,,,,}60322082b ，01q ，所以112b ，218b ，3132b ，∴112111112()()12424nn nb b q．（2）21131()2n n n nc a b n ，∴11[1()](231)(31)2124(1)1223414n nn n n n n T ． 19．【答案】（1）0.080.22y x ；（2）78%．【解析】（1）由表格数据可得3x，0.46y，122150.085ni ii nii x y x y bx x，0.460.0830.22ay bx ，故y 关于x 的回归直线方程为0.080.22y x ．（2）由（1）知0.080.22y x ，令7x，解得0.7878%y．20．【答案】（1）证明见解析；（2）12AN NC =；（3）7．【解析】（1）因为PB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PB BC ⊥，又AB BC ⊥，ABBP B =，所以BC ⊥平面PAB ，则BC PA ⊥，又2AB PB ==，PAB △为等腰直角三角形，G 为PA 的中点，所以BG PA ⊥，又BGBC B =，所以PA ⊥平面BCG ，因PA ⊂平面PAC ，则有平面BCG ⊥平面PAC ．（2）分别以BA ，BC ，BP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，那么(2,0,0)A ，(0,23,0)C ，(0,0,2)P ，(0,3,1)BE =，因此(2,23,0)AC =-，(2,0,2)PA =-，设(2,23,0)AN AC λλλ==-，那么(22,23,2)PN λλ=--，由PN BE ⊥，得0PN BE ⋅=，解得13λ=，因此13AN AC =，因此12AN NC =．（3）由（2）知423(,,2)3PN =-，设平面PBN 的法向量为(,,)x y z =n ，则0PN ⋅=n ，0BP ⋅=n ，即204232033z x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令3x =，得2y =-，0z =，因此(3,2,0)=-n ，设直线BE 与平面PBN 所成角为θ，那么2321sin 727BE BE θ⋅===⨯⋅n n．21．【答案】（1）1yx ；（2）1211ln 22ae．【解析】（1）因为1a ，所以211()1f x x x ，(1)1f ，(1)2f ，所以切线方程为1y x ．（2）不等式2()xxf x e x ，对任意的1(,)2x恒成立，即ln xae x x 对任意的1(,)2x 恒成立．令()ln xv x e x x ，则()ln 1xv x e x ，令()ln 1xx e x ，则1()xx e x，易知()x 在1(,)2上单调递增，因为121()202e，(1)10e ，所以存在唯一的01(,1)2x ，使得0()0x ，即010x ex ，则00ln x x ．当01(,)2xx 时，()x 单调递减，当0(,)x x 时，()x 单调递增．则()x 在0xx 处取得最小值，且最小值为0000011()ln 112110x x e x x x x x ，所以()0v x ，即()v x 在1(,)2上单调递增，所以1211ln 22a e． 22．【答案】（1）(0,2)p ；（2）λ是定值，2EABMCDS S λ==△△．【解析】（1）22x y p=，x y p '=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，过A 点的切线方程为2111()2x x y x x p p -=-，过B 点的切线方程为2222()2x x y x x p p-=-，联立这两个方程可得212M x x x +=，122M x x y p =，又2121212ABy y x x k x x p -+==-，故直线AB 的方程为21211()22x x x y x x p p+-=-，化简得1212()20x x x py x x +--=，令0x =，122x x y p=-，又1222M x x y p p==-，∴2y p =，∴直线AB 过(0,2)p 点．（2）由（1）得122M x x x +=，同理可得12E C x x x +=，22ED x x x +=，11111212||2||||||||22EC E E M C Ex x x x x x x AC x x x x CM x x x x +---===++---，11222||||||||2EE E C E E D E EEx x x CE x x x x x x ED x x x x x +---===+---， ∴||||AC CE CM ED =，同理12||||E EMD x x DB x x -=-，∴||||||AC EC DM CM ED DB ==，设||||||AC EC DMt CM ED DB===，记MCE S S =△，则ACE S tS =△，同理，MDES S t =△，2BDE SS t=△，2||||11(1)||||1MAB MCD S MA MB t t t S MC MD t t +++==⋅=△△，于是2232(1)(1)(1)()MABMCD t t S t S S S S t t t t+++==+=△△， ∴2(1)EAB MAB MCD ACE BDE t S S S S S S t +=---=△△△△△，1MCD t S S t+=△， ∴2EABMCDS S λ==△△．。

2021-2022年高三上学期入学考试数学(理)试题含解析

2021年高三上学期入学考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，，则（） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：∵集合332{|}{}{}{101212212}I x x x Z A B <<=∈===﹣，﹣，﹣，，，，，，﹣，﹣，，∴，则．故选：A ．考点：交、并、补集的混合运算．2．复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点位（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】试题分析：()()()()22121(1)11112i i i i i z i i i i ----+====--+-+--，故z 对应点的坐标为（1，﹣1），从而得出结论．故选D ．考点：1.复数的代数表示法及其几何意义；2.复数相等的充要条件．3．已知正数组成的等比数列，若，那么的最小值为（） A ．20 B ．25 C ．50 D ．不存在【答案】A【解析】试题分析：由已知得71720414122100220a a a a a a +==≥=．故选：A ．考点：等比数列的通项公式． 4．设，则“ ”是“ ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析： 2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,或，所以 “ ”是“ ”的充分不必要条件，故选A.考点：不等式解法与充分条件、必要条件.5．若，满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则的最大值为（）A ．0B ．1C ．D ．26．已知函数，则函数的图象的一条对称轴是（） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】试题分析：由．令，求得，则函数的图象的一条对称轴为，故选：A ．考点：1.三角函数化简;2.函数的图象变换．7．已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点（2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为( ) A. -=1 B. -=1 C. -=1 D. -8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A. 2 B .4 C.8 D. 16【答案】C【解析】试题分析：，，，，，循环结束，输出的s为8，故选C.考点：程序框图．9．已知点，若函数的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数为“点距函数”，给定下列三个函数：①；②；③．其中，“点距函数”的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知函数224,0()4,x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩,若则实数的取值范围是( )A B C D 【答案】C 【解析】试题分析：由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C. 考点：1.分段函数的单调性;2.一元二次不等式. 11．在△中，=2,=3 , ·=1，则= ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】试题分析：由下图知·cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=..又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，解得.考点：向量的数量积及余弦定理12．已知定义在上的函数满足=2，当时，．设在上的最大值为（），且{}的前项和为，则=（） A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．在的展开式中，含项的系数为【答案】15 【解析】试题分析：利用通项公式来解决，在通项中令的指数幂为可求出含是第几项，由此算出系数．考点：二项式定理的应用．14．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是．________ 【答案】【解析】试题分析：总的取法有种，相克的有5种，所以不相克的有10-5=5种，故不相克的概率. 考点：排列、组合概率.15．已知P 为△ABC 所在的平面内一点，满足，△ABC 的面积为xx ，则ABP 的面积为．【答案】【解析】试题分析：取中点，根据已知条件便容易得到，所以三点共线，并可以画出图形，根据图形53CDPD ，所以便可得到．考点：平面向量的基本定理及其意义．16．若实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点，则线段长度的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分14分）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （Ⅰ）求最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）最大值为，最小值为. 【解析】试题分析：（Ⅰ）化简可得，()2sin(2)14f x x π=++；根据周期公式，即可求出结果..（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f ，当时，18．（本小题满分14分）已知是递增的等差数列，，是方程的根。

2021-2022年高三上学期第一次调研数学理试题

2021年高三上学期第一次调研数学理试题第I 卷（选择题）一、选择题1．设集合{}1|(cos sin )(cos sin ),,M y y x x x x x R N x x i i⎧==-+∈=+<⎨⎩为虚数单位，则为（）A. (0,1)B.C.D.2．在中，是为等腰三角形的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．如果函数对于任意实数，存在常数，使该不等式恒成立，就称函数为有界泛涵，下面有4个函数：① ②③ ④，其中有两个属于有界泛涵，它们是（）A. ①②B. ②④C. ①③D. ③④4．若函数有大于零的极值点，则实数a 的范围是（）A. B. C. D.5．已知曲线，点及点，从点A 观察B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6．等于（）A. 1B.C.D.7．设集合=｛4，5，7，9｝，=｛3，4，7，8，9｝，全集，则集合中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在上为减函数的是（）A ．B ．Ｃ．Ｄ．9．等差数列的前项和为，若，则（）A ．55B ．95C ．100 Ｄ．不能确定10．设是函数f(x)＝在定义域内的最小零点，若，则的值满足 ( )A. B ．C ．D ．的符号不确定11．设函数在区间上是减函数，则的取值范围是（）A ．B ．Ｃ．Ｄ．12．设，若，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．3第II卷（非选择题）二、填空题13．设函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则在下面四个结论：①图象关于点对称；②图象关于点对称，③在上是增函数中，所有正确结论的编号为________ 14．函数的最小正周期是_____________15．已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有，且的最大值为1，则满足的解集为．16．函数的最大值为，最小值为，则=三、解答题17．在中，内角对边的边长分别是，已知，（1）若的面积等于，求；（2），求的面积。

2021-2022年高三第一次调研考试数学理试题含答案

2021年高三第一次调研考试数学理试题含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合，集合，则＝（） A. B 。

C 。

D 。

2、已知复数满足（其中为虚数单位），则（） A. B 。

C 。

D 。

3、若函数的部分图象如图1所示，则 A. B 。

C. D 。

4、已知实数满足不等式组300≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+y x y x ，则的最大值为（）A.3 B 。

4 C 。

6 D 。

9 5、已知直线，平面，且，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6、执行如图2所示的程序框图，则输出S 的值为（） A. 16 B 。

25 C 。

36 D 。

497、在中，分别为所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则的范围是（）A. B 。

C 。

D 。

8、如果自然数的各位数字之和等于8，我们称为“吉祥数”。

将所有“吉祥数”从小到大排成一列…，若，则（）A. 83 B 。

82 C 。

39 D 。

37二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须做答。

9、的展开式中常数项为 .（用数字表示） 10、 11、已知向量，，若，则的最小值为12、已知圆C ：经过抛物线E ：的焦点，则抛物线E 的准线与圆C 相交所得弦长Oxy图11-1 图2为13、设P是函数图象上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分。

14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线：与曲线相交于A，B两点，则｜AB｜＝15、（几何证明选讲选做题）如图3，在中，，，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙与AC相切于点E。

2021届高三入学调研试卷理数(一)

2021届高三入学调研试卷理科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数的实部与虚部分别为，，则（） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】∵，∴．2．设集合，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵，，∴．3．若函数的图象经过抛物线的焦点，则（） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】抛物线的焦点坐标为，则，即，z 1-22z =34i --34i -+34i +34i -12i z =-+2144i 34i z =--=--2{|4}A x x =<{|2,}xB y y x ==∈R A B =(2,2)-(0,2)(2,)+∞(,2)(2,)-∞-+∞(2,2)A =-(0,)B =+∞(0,2)AB =()lg()f x x a =+28y x =a =101-2-28y x =(2,0)(2)lg(2)0f a =+=21a +=班此卷只装订不密封级姓名准考证号考场号座位号解得．4．已知两个单位向量，的夹角为，则下列向量是单位向量的是（） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由平面向量的减法可得的模为，则是单位向量．5．的内角，，的对边分别为，，，已知，则（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵，∴，∴． 6．设，满足约束条件，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线过点时，取得最小值；直线过点时，取得最大值，故．7．设是一个各位数字都不是且没有重复数字的两位数，将组成的个数字按从小到大排成的两位数记为，按从大到小排成的两位数记为(例如，则，1a =-a b 60︒+a b 12-a b 12+a b -a b -a b 1-a b ABC △A B C a b c 2B C =b =cos c C cos c A 2cos c C 2cos c A 2B C =sin sin22sin cos B C C C ==2cos b c C =x y 2602x y x y x+-≤⎧⎨≤≤⎩z x y =+[90,]2[94,]2[0,4][4,)+∞z x y =+(0,0)z 0z x y =+3(,3)2z 929[0,]2z∈a 0a 2()I a ()D a 75a =()57I a =)，执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】，；，；，， ∵为的倍数，∴输出的．8．已知，则曲线在点处的切线方程为（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】令，则，，∵，∴，∵，∴曲线在点处的切线方程为．9．（）A ．B ．C ．D ．【答案】B()75D a =51a =b=3035404551a =511536b =-=36a =633627b =-=27a =722745b =-=45545b =2211()11x x f x x--=++()y f x =(0,(0))f y x =-y x =2y x =2y x =-11x t x -=+11t x t -=+22211()21()111()1t t t f t t t t--+==-+++2222)))(11((t f t t -'=+(0)2f '=(0)0f =()y f x =(0,(0))f 2y x =sin cos()6πx x -+=11sin(224π)6x +-11sin(224π)6x -+11sin(222π)3x -+1sin(224π)3x +-【解析】． 10．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀个小灯，另一种是大灯下缀个小灯，大灯共个，小灯共个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀个小灯的概率为（） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为，，则，解得，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为．11．在正四棱柱中，为侧棱上一点，，，且异面直线与，则（） A ．B ．C ．D．【答案】A【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，1sin cos()sin cos()sin (sin )62π6π2x x x x x x x -+=-=+1112(1cos 2)sin(2)2π464x x x =+-=-+243601200416035928935911910779581077x y 360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩120240x y =⎧⎨=⎩2120236095817C C 107-=1111ABCD A B C D -E 1DD 1AB =12AA =DB 1C E DE =1223132D D xyz -则，，，则，设，则，从而∵，∴． 12．设是双曲线的右焦点，为坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为（） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵到渐近线的距离为，∴，则的内切圆的半径，设的内切圆与切于点，则， ∵，∴，∴，即，则，∴， ∵，∴．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．(0,0,0)D(1,1,0)B 1(0,1,2)C (1,1,0)DB =(02)DE t t =<≤1(0,1,2)C E t =--1,||||s co DB C E 〉==〈02t <≤12t =F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>O F C H FOH △x B 2BF OB =C 344438+34+F ||FH b=||OH a ==FOH △2a b cr +-=FOH △FH M ||2a b cMH r +-==2BF OB =2||||3FM BF c ==2||||||32a b c BF MH c FH b +-+=+==33b a c =+22222)99(69b c a c ac a =-=++24390e e --=1e >e =13．的展开式中的系数为．【答案】【解析】的展开式中的系数为．14．已知函数，若，，则．【答案】【解析】∵，∴的图象关于直线对称，又，且，∴． 15．如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，且圆锥的体积与半球的体积相等，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为．【答案】【解析】设该圆锥的半径与高分别为，，则，即，该圆锥的母线与底面所成角的正切值为． 16．已知函数是上的奇函数，函数，若对恒成立，则的取值范围为．【答案】6()3y x -5x y 2-6()3y x -5x y 161C ()23-=-()sin f x x =()()f a x f a x +=-0πa <<a =π2()()f a x f a x +=-()f x x a =()sin f x x =0πa <<π2a=2r h 32141ππ233r r h ⨯=2h r =2hr=2()log )f x x =R ()|2 |g x m x a =--()()f x g x ≤3[,2]4x ∈-m [7,)2+∞【解析】由是上的奇函数，得，则，因为在上单调递减，所以是上的减函数，作出与的图象，如图所示，由图可知，即，则．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设为数列的前项和，已知，，其中是不为的常数，且，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）若，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴数列是公差为的等差数列， ∵，∴，，， ∵，，成等比数列，∴，∴，∴或，∵，∴，．2()log )f x x =R 2(0)log 0f ==1a=22()log )log f x x ==(0,)+∞()f x R ()f x ()g x 33()()44(2)(2)f g f g ⎧-≤-⎪⎨⎪≤⎩2512log 2)3m m ⎧≤-⎪⎨⎪≤-⎩72m≥n S {}n a n 37a =1(2)n n a a d n -=+≥d 01a 2a 6a {}n a 55m S m =m 32n a n =-37m =1(2)n n a a d n -=+≥{}n a d 37a =172a d =-27a d =-673a d =+1a 2a 6a 2(72)(73)(7)d d d -+=-23d d =3d =0d =0d ≠3d =7(3)332n a n n =+-⨯=-（2）∵，∴，即，∴． 18．（12分）下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位：罐)的雷达图．（1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销量更好；（2）从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的活动，中奖率为，中奖可获得元的红包，以雷达图中一周的销量代替每周的销量．①活动期间，一位顾客买了罐百事可乐，他恰好获得元红包的概率； ②在这连续三周的活动中，求该超市需要投入红包总金额的数学期望．【答案】（1）百事可乐销量的平均数为，可口可乐销量的平均数为，百事可乐的销量更好；（2）①；②元．【解析】（1）百事可乐销量的平均数为，可口可乐销量的平均数为，∵，∴百事可乐的销量更好．（2）①他恰好获得元红包说明他有两次中奖一次未中奖，故所求的概率为．②连续三周该超市罐装可乐（仅限百事可乐或可口可乐）的销量为罐，记连续三周顾客中奖总次数为，则，则，故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为元．1(552)m m m a a S m +==1110m a a +=32109m -=37m=0.1132960794070.027570110012012014016014018096077x ++++++==28012010014018014018094077x ++++++==12x x >22230.1(10.1C )0.027⨯-=(960940)3190035700+⨯=⨯=X (5700,0.1)XB 57000.1570EX =⨯=5701570⨯=19．（12分）在直角坐标系中，已知，，且，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）若过点的直线与交于，两点，且，求直线的斜率．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，∴，即，此即为的方程．（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，当时，或，不合题意；当时，由，得，设，，则，， ∵，，，∴，∴，， ∵，∴，∴．20．（12分）如图，在四面体中，，平面平面，，且．（1）证明：平面；（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值．xOy (1,2)P x y -(1,2)Q x y +3OP OQ ⋅=(,)M x y ΩΩ(1,0)N l ΩA B 2BN NA =l 2214x y +=k =3OP OQ ⋅=2(1)(1)43x x y -++=2244x y +=2214x y +=Ωl k l (1)y k x =-0k =3BN NA =13BN NA =0k ≠22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩222(1420)3k y ky k ++-=11(,)A x y 22(,)B x y 122214ky y k +=-+2122314k y y k =-+2BN NA =22(1,)BN x y =--11()1,NA x y =-212y y =-1212214k y y y k +=-=-+22123214k y k -=-+10y ≠2512k=k =ABCD AD AB ⊥ABD ⊥ABC AB BC AC ==4AD BC +=BC ⊥ABD E AC ABCD C BD E --【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面，∴平面，因为平面，所以，因为，所以，所以，因为，所以平面．（2）设，则，四面体的体积，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故当时，四面体的体积取得最大值，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，AD AB ⊥ABD ⊥ABC ABDABC AB =AD ⊂ABD AD ⊥ABC BC ⊂ABC AD BC ⊥2AB BC AC ==222AB BC AC +=AB BC ⊥ADAB A =BC ⊥ABD (04)AD x x =<<4AB BC x ==-ABCD 232111()(4)(816)(04)326V f x x x x x x x ==⨯-=-+<<211()(31616)(4)(34)66f x x x x x '=-+=--403x <<()0f x '>()V f x =443x <<()0f x '<()V f x =43AD x ==ABCD B B xyz -则，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，同理，平面的法向量为，，由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为． 21．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若在上存在最大值，证明：．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1），当时，，在上单调递减；当时，由，得，在上单调递增；(0,0,0)B 8(0,,0)3A 8(,0,0)3C 84(0,,)33D 44(,,0)33E BCD (,,)x y z =n 0BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 80384033x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2z =-(0,1,2)=-n BDE (1,1,2)=-m cos ,〈〉==m n C BD E --C BD E --62()(2)ln f x a x ax x =++-()f x ()f x (0,)a ()P a 234ln 2()42p a a a <<+-2(1)(22)()2(0)a x x a f x a x x x x++--'=+-=->2a ≤-()0f x '<()f x (0,)+∞2a >-()0f x '>202a x +<<()f x (20,)2a +由，得，在上单调递减．（2）易知，当02a <≤时，，由（1）知，在上单调递增，此时在上不存在最大值，当时，在上单调递增，在上单调递减，则，故，设，， ∵，∴，∴在上单调递增， ∴，即，∵，且， ∴要证：，只需证，即证，设，则，则在上单调递减，从而，即，则，从而．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．()0f x '<22a x +>()f x 2,)2(a ++∞0a >22a a +≥()f x (0,)a ()f x (0,)a 2a >()f x (20,)2a +(2,)2a a +22m x22(2)224()()(2)ln ()(2)ln 222224a a a a a a a a f x f a a +++++-==++-=++224()(2)ln (2)24a a p a a a +-=++>224()(2)ln (2)24x x g x x x +-=++>2()1ln 22x x g x +'=++2x >()0g x '>()g x (2,)+∞()(2)4ln 2g x g >=()4ln 2p a >2314(34)(2)22a a a a +-=-+2a >23()42p a a a <+-2234ln 242a a a +--+<256ln024a a +--<256()ln(2)24x x h x x +-=->15()024h x x '=-<+()h x (2,)+∞()(2)ln 210h x h <=-<256ln024a a +--<23()42p a a a <+-234ln 2()42p a a a <<+-22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线关于极点对称．（1）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上一动点，记到直线与直线的距离分别为，，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，∴，即， ∴曲线的直角坐标方程为．（2）由（1）可设，，直线与直线的直角坐标方程分别为，，从而，，，故的最小值为． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数，且不等式的解集为．（1）求，；（2）若，证明：．【答案】（1），；（2）证明见解析．【解析】（1）当时，由，得，因为不等式的解集为，所以，解得，当时，由，得，所以，经检验，满足题意．C 4cos ρθ=CD x D P D P sin 3ρθ=-cos 2ρθ=1d 2d 12d d +22(2)4x y ++=7-4cos ρθ=24cos ρρθ=224x y x +=22(2)4x y -+=D 22(2)4x y ++=(22cos ,2sin )P αα-+[0,2π)α∈sin 3ρθ=-cos 2ρθ=3y =-2x =12sin 3d α=+22(22cos )42cos d αα=--+=-122sin 342cos 7)π(4d d ααα+=++-=+-12d d+7-()|1||2|f x x x =-++()f x k <{|3}x x a -<<k a m n k +=()()12f m f n +≥5k =2a =2x ≤-()21f x x k =--<12k x +>-()f x k <{|3}x x a -<<132k +-=-5k =1x ≥() 2 15f x x =+<2x <2a =5k =2a =（2）证明：因为，所以，同理，因为5m n k +==，所以．|1||2||12||21|m m m m m -++≥-++=+()|21|f m m ≥+()|21|f n n ≥+()()|21||21||2121||2()2|12f m f n m n m n m n +≥+++≥+++=++=。

2021届(新高考)高三入学调研数学试卷(一)(解析版)

（新高考）2021届高三入学调研数学试卷（一）第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（）A ．B ．C ．D ．2．设复数，则（） A ．BC ．D．3．将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案（） A ．种B ．种C ．种D ．种4．一支田径队有男运动员人，女运动员人，用分层抽样的方法从中抽出一个容量为的样本，那么应抽出男运动员的人数为（）A ．B ．C ．D ．5．阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论．若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数的个数为（）（素数即质数，，计算结果取整数）A ．B ．C ．D ．6．将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，直线与所成的角为（）A ．B ．C ．D ．{2,0,2,3}A =-{|20}B x x =-≤≤A B ={2,3}{2}-(2,0)-{2,0}-1i 1iz =--||z =021812562436564228101214161859x π()ln x x x≈10000lg 0.43429e ≈10891086434145ABCD AC ABC ACD AB CD 90︒60︒45︒30︒7．已知单位向量，分別与平面直角坐标系，轴的正方向同向，且向量，，则平面四边形的面积为（）AB ．C ．D ．8．已知定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（） A ． B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知直线的方程为，直线的方程为，若，则（） A ．B ．C ．D ．10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．B ．C ．是奇函数D ．是偶函数 11．已知，且，则（）A ．11()3()3xy≥B ．22x y ≤C ．33x y≤D ．1122log log x y ≤1e 2e x y 123ACe e 1226BDe e ABCD 1020R ()f x (2)()0f x f x -+=1x >()2f x x =-()0f x <(1,2)(,0)-∞(0,2)(,0)(1,2)-∞1l 2(5)8x m y ++=2l (3)45m x y ++=12l l ∥m =1-1-7-3-()sin()f x A x ωϕ=+0A >0ω>π0||2ϕ<<2ω=π3ϕ=-π()12f x +π()12f x -,x y ∈R 5757x yy x12．已知函数，，下列说法中不正确的是（） A ．，在点处有相同的切线B ．对于任意，恒成立C ．，的图象有且只有一个交点D ．，的图象有且只有两个交点第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．椭圆的两个焦点分别为，，过的直线交于，两点，若，则的值为．14．已知等比数列的首项为，且，则．15．已知二项式的展开式中第项与第项的二项式系数之比是，则，的系数为．16．如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，是线段上的点，且，若、分别为线段、上的动点，则的最小值为__________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．2()1f x x =-()ln g x x =()f x ()g x (1,0)0x >()()f x g x ≥()f x ()g x ()f x ()g x 22:1916x y C +=1F 2F 1F l C A B 2210AF BF +=AB {}n a 164312()a a a a +=+1237a a a a =(2nx 232:5n =3x 21111ABCD A B C D E F 11A D 11C D N 1BC 114BNBC P M 1D B EF ||||PM PN +17．（10分）在三角形中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求的值；（2）若，求三角形的周长．18．（12分）已知等差数列的前项和为，公差为，且，，公比为的等比数列中，，，．（1）求数列，的通项公式，；（2）若数列满足，求数列的前项和．19．（12分）为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动．随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩分以上的学生也越来越多．用表示月后体育成绩分以上的学生的百分比，得到了如下数据．ABC △A B C a b c 22242b c a bc sin A ABC △3sin B C ABC △{}n a n n S 0d 2340a a 1413a a (01)q q{}n b 1b 2b 311111{,,,,}60322082b {}n a {}n b n a n b {}nc n n n c a b {}n c n n T 90y x 90（1）求出关于的回归直线方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测个月后，体育成绩分以上的学生的百分比是多少?参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是其中，，．20．（12分）在三棱锥中，平面，，，、分别为、的中点．（1）求证：平面平面；（2）假设在线段上存在一点，使，求的值；（3）在（2）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．21．（12分）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若任意的，恒成立，请求出的取值范围．y x 790ybx a ^1122211()()()nnii i i i i nniii i x x y y x y nx y bx x x nxa y bx P ABC -PB ⊥ABC AB BC ⊥2AB PB ==BC =E G PC PA BCG ⊥PAC AC N PN BE ⊥ANNCBE PBN ()ln af x xx x1a()f x (1,(1))f 1(,)2x2()x xf x e x a22．（12分）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．（1）求直线与轴的交点坐标；（2）若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与三角形的边，分别交于点，，记，问是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由．——★ 参*考*答*案 ★——第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．『答案』D22(0)x py p =>M 2y p =-M AB AB y E AB E MAB MA MBCD EABMCDS S λ=△△λ『解析』，，∴．2．『答案』C 『解析』，． 3．『答案』D『解析』第一步，将名老师分成三组，其中一组人，其他两组每组人，不同的分法种数是种，第二步，分到三个班的不同分法有种，故不同的分配方案为种． 4．『答案』D『解析』设抽取的男运动员的人数为，则抽取的女运动员的人数为， ∴，解得． 5．『答案』B『解析』由题可知小于数字的素数个数大约可以表示为，则以内的素数的个数为．6．『答案』B『解析』如图，取，，的中点，分别为，，，连结，，，则，，所以或其补角即为所求的角．因为平面平面，，所以平面，所以，设正方形边长为，，则，所以，所以是等边三角形，．{2,0,2,3}A =-{|20}B x x =-≤≤{2,0}A B =-211i 1i 1i 1ii i i i 1i (1i)(1i)1i 222z +++=-=-=-=-=-+--+-||2z ==42124C 6=33A 6=6636⨯=x 28x -285642x x -=16x =x π()ln xx x≈10000100001000010000lg π(10000)2500lg 0.4342925001086ln100004ln104ee ≈===≈⨯≈AC BD AD O M N OM ON MN 12ON CD 平行且等于12MN AB 平行且等于ONM ∠ABC ⊥ACD BO AC ⊥BO ⊥ACD BO OD ⊥2OB OD ==2BD =112OM BD ==1ON MN OM ===OMN △60ONM ∠=︒所以直线与所成的角为．7．『答案』C 『解析』，∴，又，， ∴平面四边形的面积．8．『答案』D『解析』由已知，即，∴关于中心对称，又当时，，作出函数的图象如图所示，由图可知的解集为．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．『答案』AC『解析』因为，故，整理得到，解得或．10．『答案』ABDAB CD 60︒1212(3)(26)660AC BD e e e e AC BD 22||3(1)10AC 22||26210BD ABCD 11||||102101022AC BD (2)()0f x f x -+=(1)(1)0f x f x -++=()f x (1,0)1x >()2f x x =-()f x ()0f x <(,0)(1,2)-∞12l l ∥24(5)(3)m m ⨯=++2870m m ++=1m =-7m =-『解析』由图可得，所以A 、B 正确；，故C 错；为偶函数，所以D 正确． 11．『答案』AC 『解析』∵函数为增函数，∴，即，可得，∴A 、C 正确． 12．『答案』ABC『解析』因为，，，，所以，在点处的切线不同，选项A 不正确；，，因为，；，；，，所以时，有最小值，所以当时，不恒成立，选项B 不正确；由上可知，函数在上有且只有两个零点，所以，的图象有且只有两个交点．第Ⅱ卷π()sin(2)3f x x =-ππππππ()sin[2()]sin(2)sin(2)12123636f x x x x +=+-=+-=-ππππππ()sin[2()]sin(2)sin(2)cos 212123632f x x x x x -=--=--=-=-57x x y5757x yy x 5757x xy y x y ()2f x x '=(1)2f '=1()g x x'=(1)1g '=()f x ()g x (1,0)()()()()0f x g x f x g x ≥⇔-≥22(12122[()()]2x x x f x g x x x xx-+-'-=-==(0,2x ∈[()()]0f x g x '-<)2x ∈+∞[()()]0f x g x '->2x =[()()]0f xg x '-=2x =()()f x g x -1(ln 21)02-<0x >()()f x g x ≥()()f x g x -(0,)+∞()f x ()g x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．『答案』『解析』由题意可得，解得，故答案为． 14．『答案』『解析』设等比数列的公比为，则，所以，．15．『答案』，『解析』二项展开式的第项的通项公式为，由展开式中第项与第项的二项式系数之比是，可得，解得，所以，令，解得，所以的系数为．16．『解析』首先的最小值就是到的距离．连接交于，连接，则平面，故，从而的最小值，可知为的中点，为的四分之一．其次，连接，在线段上取点，使，连接，则，从而，最后，连接交于，则当为时，取得最小值，所求最小值为，∵正方体的棱长为，∴6221110416AF BF AF BF AB a +++=+==6AB =6128{}n a q 364312a a q a a +==+3412a a q =⋅=77123742128a a a a a ===62401r +1C (2)(r n rrr n T x -+=232:512C :C 2:5n n =6n =366216C (2)(C 2(1)r r n rr r r rr nT x x ---+==-3632r -=2r =3x 26226C 2(1)240--=PM P EF 11B D EF G PG EF11B D DB EFPG PM PG G EF 1D G 11D B BD BD H BH BN PH PHB PNB △△PNPH GH 1BD K P K PM PN GH 1111ABCDA B C D 2GH =四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．『答案』（1）；（2）．『解析』（1）∵，∴， ∴， ∴在中，．（2）∵，即，∴，，∴，，则，∴，∴的周长为．18．『答案』（1），；（2）．『解析』（1）由题意可得：等差数列，，；因为等比数列中，，，，，1sin 3A23262222cos b c a bc A 422cos 3bc Abc 22cos 3AABC △21sin 1cos 3AAABC △11sin 226bc A bc 62bc3sin B C 3c 32b 2c2222cos 6a b c bc A6a ABC △232631na n 211()2n nb (31)21(1)234n n n n T {}n a 1111()(2)40223133a d a d a a d d31n a n {}n b 1b 2b 311111{,,,,}60322082b 01q所以，，，∴．（2），∴． 19．『答案』（1）；（2）．『解析』（1）由表格数据可得，，，，故关于的回归直线方程为．（2）由（1）知，令，解得．20．『答案』（1）证明见解析；（2）；（3）．『解析』（1）因为平面，平面，所以，又，，所以平面，则，又，为等腰直角三角形，为的中点，所以，又，所以平面，因平面，则有平面平面．（2）分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，那么，，，，因此，，设，那么，112b 218b 3132b 11211112()()12424nn nb b q21131()2n n n nc a b n 11[1()](231)(31)2124(1)1223414n nn n n n n T 0.080.22y x 78%3x0.46y122150.085ni ii n i i x y x y bxx0.460.0830.22ay bx y x 0.080.22y x 0.080.22y x 7x0.7878%y12AN NC =7PB ⊥ABC BC ⊂ABC PB BC ⊥AB BC ⊥ABBP B =BC ⊥PAB BC PA ⊥2AB PB ==PAB △G PA BG PA ⊥BGBC B =PA ⊥BCG PA ⊂PAC BCG ⊥PAC BA BC BP x y z (2,0,0)A (0,C (0,0,2)P BE =(2,AC =-(2,0,2)PA =-(2,,0)AN AC λλ==-(22,,2)PN λ=--由，得，解得，因此，因此．（3）由（2）知，设平面的法向量为，则，，即，令，，因此，设直线与平面所成角为，那么．21．『答案』（1）；（2）．『解析』（1）因为，所以，，，所以切线方程为．（2）不等式，对任意的恒成立，即对任意的恒成立．令，则，令，则， PN BE ⊥0PN BE ⋅=3λ=13AN AC =12AN NC =4(,2)33PN =-PBN (,,)x y z =n 0PN ⋅=n 0BP ⋅=n 2042033z x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩x =2y =-0z =2,0)=-n BE PBN θsin BE BE θ⋅===⋅n n1y x 1211ln 22ae1a 211()1f x x x (1)1f (1)2f 1yx 2()xxf x e x 1(,)2x ln xae x x 1(,)2x ()ln xv x e x x ()ln 1xv x e x ()ln 1xx e x 1()xx e x易知在上单调递增，因为，，所以存在唯一的，使得，即，则．当时，单调递减，当时，单调递增．则在处取得最小值，且最小值为，所以，即在上单调递增，所以． 22．『答案』（1）；（2）是定值，．『解析』（1），，设，，过点的切线方程为，过点的切线方程为，联立这两个方程可得，，又，故直线的方程为，化简得，令，，又，∴，∴直线过点． ()x 1(,)2121()202e(1)10e 01(,1)2x 0()0x 010x ex 00ln x x 01(,)2xx ()x 0(,)x x ()x ()x 0xx 0000011()ln 112110x x e x x x x x ()0v x ()v x 1(,)21211ln 22a e(0,2)p λ2EABMCDS S λ==△△22x y p=x y p '=11(,)A x y 22(,)B x y A 2111()2x x y x x p p -=-B 2222()2x x y x x p p-=-212M x x x +=122M x x y p =2121212ABy y x x k x x p -+==-AB 21211()22x x x y x x p p+-=-1212()20x x x py x x +--=0x =122x x y p=-1222M x x y p p==-2y p =AB (0,2)p（2）由（1）得，同理可得，，，， ∴，同理，∴，设，记，则，同理，，，，于是，∴，， ∴．122M x x x +=12E C x x x +=22ED x x x +=11111212||2||||||||22EC E E M C Ex x x x x x x AC x x x x CM x x x x +---===++---11222||||||||2EE E C E E D E EEx x x CE x x x x x x ED x x x x x +---===+---||||AC CE CM ED =12||||E E MD x x DB x x -=-||||||AC EC DM CM ED DB==||||||AC EC DMt CM ED DB===MCE S S =△ACE S tS =△MDES S t =△2BDE SS t=△2||||11(1)||||1MAB MCD S MA MB t t t S MC MD t t +++==⋅=△△2232(1)(1)(1)()MABMCD t t S t S S S S t t t t +++==+=△△2(1)EAB MAB MCD ACE BDE t S S S S S S t +=---=△△△△△1MCD t S S t+=△2EABMCDS S λ==△△。

2021年高三上学期第一次质检数学(理)试卷含解析

2021年高三上学期第一次质检数学（理）试卷含解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上）1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B=．2．函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是．3．已知复数z=，则复数z的虚部是．4．函数y=lg（3x+1）+的定义域是．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是．6．已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）= ．7．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．8．若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是．9．在△ABC中，已知BC=2，AC=，，那么△ABC的面积是．10．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）11．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则16x+4y的最小值为．12．若函数y=sinx+mcosx图象的一条对称轴方程为，则实数m的值为．13．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是．14．一般地，如果函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有．（填上所有正确答案的序号）（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]；①f1②f2（x）=sinx，x∈[，π]；③f3（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]；④f4（x）=x﹣lnx，x∈[1，e2]；⑤f5（x）=，x∈[0，2]．二、解答题：（本大题共9小题，共130分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．17．（14分）已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．18．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC﹣csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为边AC的中点，BD=1，求△ABC面积的最大值．19．（14分）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m 的取值范围．20．（16分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．21．（16分）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．22．（16分）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x ﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．23．（16分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．xx学年江苏省徐州市沛县中学高三（上）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上）1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B={1，2} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（xx秋•普宁市校级期中）函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是[1，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先求出函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的导数，然后令f′（x）＞0，求出函数的递增区间即可．【解答】解：f′（x）=2（x﹣1），令f′（x）＞0，解得x＞1，所以f（x）在[1，+∞）递增，即函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的单调性，以及导数的应用，属于基础题．3．已知复数z=，则复数z的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：z==，则复数z的虚部是：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．函数y=lg（3x+1）+的定义域是{} ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】由题意可得，解之可得函数的定义域，注意写成集合的形式即可．【解答】解：由题意可得，解之可得故函数的定义域是{}．故答案为：{}【点评】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是（﹣4，0] ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x﹣y的取值范围．【解答】解：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（﹣2，0）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．当直线y=2x﹣z经过点O（0，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．所以z的最大值为z=﹣2×2=4，最小值z=0﹣0=0．即﹣4＜z≤0．故答案为：（﹣4，0]【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．6．（xx•长春三模）已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=5．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件求解f（x）+f（﹣x）=2，然后即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=+sinx，∴f（x）+f（x）=+sinx++sin（﹣x）=，则f（0）=1，f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=2+2+1=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件得到f（x）+f（﹣x）=2是解决本题的关键．7．（xx•通州区一模）已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，0] ．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：由y=x2在（﹣∞，0）递减，故a≤0，由x+1＞0，解得：x＞﹣1，故a≥﹣1，故答案为：[﹣1，0]．【点评】本题考查了二次函数以及对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．8．若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是（0，3）．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，可得f′（x）=0有两不等实根，其判别式△＞0，即可求得a的取值范围．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=ax2﹣2ax+2a﹣3∵函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，∴f′（x）=0有两不等实根，其判别式△=4a2﹣4a（2a﹣3）＞0∴0＜a＜3．∴a的取值范围是（0，3）．故答案为：（0，3）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．9．（xx•通州区一模）在△ABC中，已知BC=2，AC=，，那么△ABC的面积是．【考点】正弦定理．【专题】对应思想；综合法；解三角形．【分析】利用正弦定理解出sinA，cosA，根据两角和的正弦公式计算sinC，代入三角形的面积公式求得面积．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得，即，解得sinA=，∴cosA=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．===．∴S△ABC故答案为．【点评】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积计算，属于中档题．10．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的充分不必要条件条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】由条件利用充分条件、必要条件、充要条件的定义进行判断，可得结论．【解答】解：由“a＞1”，可得f′（x）=1﹣sinx＞0，故“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，故充分性成立．由“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，可得f′（x）=1﹣sinx≥0，a≥1，不能得到“a ＞1”，故必要性不成立，故答案为：充分不必要条件．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的判定，属于基础题．11．（xx•万州区模拟）已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则16x+4y的最小值为8．【考点】基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0，得到x，y满足的等式；利用幂的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得．【解答】解：∵∴4（x﹣1）+2y=0即4x+2y=4∵=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为8【点评】本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0；考查利用基本不等式求函数的最值需注意满足的条件：一正、二定、三相等．12．（2011秋•雁塔区校级期末）若函数y=sinx+mcosx图象的一条对称轴方程为，则实数m 的值为．【考点】正弦函数的对称性；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】化简函数y=sinx+mcosx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出m即可．【解答】解：函数y=sinx+mcosx=sin（x+θ），其中tanθ=m，，其图象关于直线对称，所以θ+=±，θ=，或θ=（舍去）所以tanθ=m=，故答案为：．【点评】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．13．（xx•韶关模拟）已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是1．【考点】向量在几何中的应用．【专题】压轴题；平面向量及应用．【分析】利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．【解答】解：∵=||||cosA，∠A=120°，∴||||=4∵=（+），∴||2=（||2+||2+2 •）=（||2+||2﹣4）≥（2||||﹣4）=1∴min=1故答案为：1．【点评】本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（xx•安庆二模）一般地，如果函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有②③⑤．（填上所有正确答案的序号）①f1（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]；②f2（x）=sinx，x∈[，π]；③f3（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]；④f4（x）=x﹣lnx，x∈[1，e2]；⑤f5（x）=，x∈[0，2]．【考点】进行简单的合情推理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出题目中所给5个函数的值域，根据已知中“保域函数”的定义逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：对于①，f1（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]的值域为[﹣1，0]，不符合，故①舍去；对于②，f2（x）=sinx，x∈[，π]的值域为，故②正确；对于③，，于是f3（x）在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，其值域为[﹣2，2]，故③正确；对于④，，单调递增，其值域为[1，e2﹣2]，不符合题意，故④舍去；对于⑤，f5（0）=0，当x＞0时，（当且仅当x=1时，等号成立），其值域为[0，2]，故⑤正确．故答案为：②③⑤．【点评】本题考查的知识点是函数的值域，其中熟练掌握求函数值域的方法，并正确理解保域函数”的定义是解答的关键．二、解答题：（本大题共9小题，共130分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）（xx秋•苏州期中）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）利用a=4，求出集合A，对数函数的定义域求出集合B，即可求解集合A∩B．（2）通过“x∈A”是“x∈B”的充分条件，推出关于a的表达式，求出a的范围．【解答】解：（1）因为集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，a=4，所以（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0⇒（x﹣3）（x﹣17）＜0，解得3＜x＜17，所以A={x|3＜x＜17}，由函数y=lg（﹣x2+5x+14）可知﹣x2+5x+14＞0，解得：﹣2＜x＜7，所以函数的定义域为集合B={x|﹣2＜x＜7}，集合A∩B={x|3＜x＜7}；（2）“x∈A”是“x∈B”的充分条件，即x∈A，则x∈B，集合B={x|﹣2＜x＜7}，当3a+5＞3即a＞﹣时，3a+5≤7，解得﹣＜a≤．当3a+5≤3即a≤﹣时，3a+5≥﹣2，解得﹣≥a≥﹣．综上实数a的取值范围：．【点评】本题考查二次不等式的解法，对数函数的定义域的求法，集合的交集与充要条件的应用，考查计算能力．16．（12分）（xx•湖北）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．【解答】解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．∵﹣1≤cosβ≤1，∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2，所以向量的长度的最大值为2．（2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ），•（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．∵⊥（），∴•（）=0，即cos（α﹣β）=cosα．由α=，得cos（﹣β）=cos，即β﹣=2kπ±（k∈Z），∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．【点评】本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．17．（14分）（xx春•洛阳期末）已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【专题】方程思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．（2）将不等式进行化简，利用参数分离法把不等式恒成立问题进行转化，求最值即可．【解答】解：（1）∵f（x）=是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=﹣m=0，则m=0，∵g（x）=x2+nx+1为偶函数．∴对称轴x=﹣=0，即n=0．（2）由（1）知f（x）=，g（x）=x2+1，则3f（sinx）•g（sinx）=（sin2x+1）=3sinx，则不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，等价为不等式3sinx＞g（cosx）﹣λ=cos2x+1﹣λ对任意x∈R恒成立，即λ＞cos2x﹣3sinx+1恒成立，∵cos2x﹣3sinx+1=﹣（sinx+）2+∈[﹣2，4]，∴λ＞4，即实数λ的取值范围是（4，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的常方法．18．（14分）（xx•玉溪三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC ﹣csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为边AC的中点，BD=1，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换化简已知可得cosBsinC=﹣sinCsinB，又sinC≠0，从而可求tanB=﹣，结合B为三角形内角，即可得解B的值．（Ⅱ）由D为边AC的中点，可得2=+，两边平方，设||=c，||=a，可得4=a2+c2﹣ac，结合基本不等式的应用可得ac的最大值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵a=bcosC﹣csinB，∴由正弦定理可得：sinA=sinBcosC﹣sinCsinB，∴sin（B+C）=sinBcosC﹣sinCsinB，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC﹣sinCsinB，∴cosBsinC=﹣sinCsinB，又∵C为三角形内角，可得sinC≠0，∴tanB=﹣，又∵B为三角形内角，可得B=…（6分）（Ⅱ）如图，∵点D为边AC的中点，∴2=+，∴两边平方可得：4||2=||2+2||•||•cos∠ABC+||2，…（9分）又∵由（Ⅰ）知B=，设||=c，||=a，即：4=a2+c2﹣ac≥ac，（当且仅当a=c=2时等号成立），=acsin∠ABC=ac≤．∴S△ABC∴当且仅当a=c=2时，△ABC面积的最大值为．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了平面向量及其应用，考查了基本不等式，三角形面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19．（14分）（xx•江西二模）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ），（2分）当时，由3﹣3x≥6，解得x≤﹣1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x﹣3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．…（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤9，即[|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|]max≤9（7分）∵|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤|（x﹣2﹣m）﹣（x+2）|=|﹣4﹣m|∴﹣9≤m+4≤9，（9分）∴﹣13≤m≤5（10分）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．20．（16分）（xx•宝山区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．【考点】三点共线；三角函数的最值．【专题】综合题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线，可证由三点组成的两个向量共线，由题设条件不难得到；（II）由（Ⅰ）变形即可得到两向量模的比值；（Ⅲ）求出的解析式，判断其最值取到的位置，令其最小值为，由参数即可，【解答】解：（Ⅰ）由已知，即，∴∥．又∵、有公共点A，∴A，B，C三点共线．（3分）（Ⅱ）∵，∴=∴，∴．（6分）（Ⅲ）∵C为的定比分点，λ=2，∴，∴∵，∴cosx∈[0，1]（8分）当m＜0时，当cosx=0时，f（x）取最小值1与已知相矛盾；（9分）当0≤m≤1时，当cosx=m时，f（x）取最小值1﹣m2，得（舍）（10分）当m＞1时，当cosx=1时，f（x）取得最小值2﹣2m，得（11分）综上所述，为所求．（12分）【点评】本题考查三点共线的证明方法及三角函数的最值的运用向量与三角相结合，综合性较强，尤其本题中在判定最值时需要分类讨论的，对思考问题的严密性一个挑战．21．（16分）（xx春•成都校级期中）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】应用题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】分类讨论，按照方案一，二的要求进行讨论．方案一：连OC，设，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC，通过代入化简，由三角函数的最值确定的条件，可以得出答案；方案二：作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，设矩形EFGH的面积为S，求出S的式子，由三角函数的性质求出最值．最后，比较二者最大值的大小，选出最大值即可得出答案．【解答】解：按方案一：如图，连OC，设，在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx在Rt△OAD中，，得，则，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC==sin（2x+）﹣，由得．所以当，即时．按方案二：如图作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα在Rt△ONH中，，得，则，设矩形EFGH的面积为S，则S=2ME•MN=2R2sinα（cosα﹣sinα）=R2（sin2α+cos2α﹣）=由，则，所以当，即时∵，即y max＞S max答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好．【点评】本题考查学生的计算能力，考查学生的转化能力，以及运用三角知识进行求解实际问题的能力，属于中档题．22．（16分）（xx•湖北）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），则有，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞）则g（1）=0，（i）当，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≤lnx在[1，+∞）上恒不成立．（ii）时，若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx综上所述，所求a的取值范围为【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论思想，属于基础题．23．（16分）（xx•桂林模拟）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（3）存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于，令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，函数，f′（x）=，因为f（1）=0，f'（1）=2．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，h（x）=ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，△=4﹣4a2，（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．所以函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3））因为存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于．令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得．因为当x∈[1，e]时，F'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．所以F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．【点评】本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．39179 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2021年高三上学期调研测试数学理试题含答案

2021年高三上学期调研测试数学理试题含答案注意事项：1．第I 卷（选择题）每小题选出答案后，用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上； 2．第II 卷（非选择题）答案写在答卷上。

参考公式：,3114,,(),333V Sh V Sh V S S h V R π'====柱锥台球如果事件、互斥，那么. 如果事件、相互独立，那么.第I 卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={2，4，5}，集合B={1，3，5，7}，则= （A ） {5} （B ） {2,4} （C ）{2,4,5} （D ）{2,4,6}2.下列函数中与函数f()=相同的是（A ） (B) (C) (D)3.复平面内复数对应的点在（A ）第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 4.计算（A ）6 (B) (C) (D) 3 5. 已知两个平面垂直，下列命题中：（1）一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；（2）一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；（3）一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；（4）过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数有（A ）. 1 （B ）. 2 （C ）. 3 （D ）. 4 6.与圆及圆都相外切的圆的圆心在(A)一个椭圆上 (B) 一支双曲线上 (C) 一条抛物线上 (D) 一个圆上 7.已知函数的定义域是R ，则实数的取值范围是 (A) （0,2） (B) （-2,2） (C) [-2,2] (D)8.已知，则（A ）（B ）（C ）（D ）第II 卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分.其中14～15题是选做题，只能做一题，两题全答的，只计算前一题得分.（一）必做题（9～13题）9.已知，且与共线，则y= . 10.如图1，是一问题的程序框图，则输出的结果是 . 16．二项式的展开式中常数项是 .17．设函数，对任意，恒有，其中M 是常数，则M 的最小值是 .18．要将两种大小不同的钢板截成A,B,C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型AB C 第一2 1 1 第二1 2 3 今需要A,B,C 三种规格的成品分别是15,18, 27块，至少需要这两种钢板共是张.（二）选做题（14、15题）14（几何证明选讲选做题）如图2，在△ABC 中，DE//BC,DF//AC,AE=4，EC=2，BC=8，则BF= .15（坐标系与参数方程选做题）圆的极坐标方程为，则圆的圆心的极坐标是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）已知函数（1）当时，求的最大值及相应的x 值；（2）利用函数y=sin 的图象经过怎样的变换得到f(x)的图象.17（12分）在一个盒子里装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品，1枝三等品. （1）从盒子里任取3枝恰有1枝三等品的概率多大？；（2）从盒子里任取3枝，设为取出的3枝里一等品的枝数，求的分布列及数学期望.18（14分）如图3，边长为2的正方形ABCD ，E,F 分别是AB,BC 的中点，将△AED ， △DCF 分别沿DE,DF 折起，使A,C 两点重合于。

(新高考)2021届高三入学调研试卷数学(一) 解析

（新高考）2021届高三入学调研试卷数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,0,2,3}A =-，集合{|20}B x x =-≤≤，则A B =（）A ．{2,3}B ．{2}-C ．(2,0)-D ．{2,0}-【答案】D【解析】{2,0,2,3}A =-，{|20}B x x =-≤≤，∴{2,0}AB =-．2．设复数1i 1iz =--，则||z =（） A ．0 B ．2C ．22D ．1【答案】C 【解析】211i 1i 1i 1i i i i i 1i (1i)(1i)1i 222z +++=-=-=-=-=-+--+-，22112||()()222z =-+=． 3．将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案（） A ．81种 B ．256种 C ．24种 D ．36种【答案】D【解析】第一步，将4名老师分成三组，其中一组2人，其他两组每组1人，不同的分法种数是24C 6=种，第二步，分到三个班的不同分法有33A 6=种，故不同的分配方案为6636⨯=种．4．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从中抽出一个容量为28的样本，那么应抽出男运动员的人数为（） A ．10 B ．12C ．14D ．16【答案】D【解析】设抽取的男运动员的人数为x ，则抽取的女运动员的人数为28x -， ∴285642x x -=，解得16x =． 5．阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为π()ln xx x≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（）（素数即质数，lg 0.43429e ≈，计算结果取整数） A ．1089 B ．1086C ．434D ．145【答案】B【解析】由题可知小于数字x 的素数个数大约可以表示为π()ln xx x≈，则10000以内的素数的个数为100001000010000lg π(10000)2500lg 0.4342925001086ln100004ln104ee ≈===≈⨯≈．6．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为（）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【答案】B【解析】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，连结OM ，ON ，MN ，则12ON CD 平行且等于，12MN AB 平行且等于，所以ONM ∠或其补角即为所求的角．因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，所以BO ⊥平面ACD ，所以BO OD ⊥，此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号设正方形边长为2，2OB OD ==，所以2BD =，则112OM BD ==，所以1ON MN OM ===，所以OMN △是等边三角形，60ONM ∠=︒．所以直线AB 与CD 所成的角为60︒．7．已知单位向量1e ，2e 分別与平面直角坐标系x ，y 轴的正方向同向，且向量123ACe e ，1226BDe e ，则平面四边形ABCD 的面积为（）A ．10B ．210C ．10D ．20【答案】C【解析】1212(3)(26)660AC BD e e e e ，∴AC BD ，又22||3(1)10AC ，22||26210BD ，∴平面四边形ABCD 的面积11||||102101022AC BD ．8．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x -+=，当1x >时，()2f x x =-，则不等式()0f x <的解集为（）A ．(1,2)B ．(,0)-∞C ．(0,2)D ．(,0)(1,2)-∞ 【答案】D【解析】由已知(2)()0f x f x -+=，即(1)(1)0f x f x -++=，∴()f x 关于(1,0)中心对称，又当1x >时，()2f x x =-，作出函数()f x 的图象如图所示，由图可知()0f x <的解集为(,0)(1,2)-∞．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线1l 的方程为2(5)8x m y ++=，直线2l 的方程为(3)45m x y ++=，若12l l ∥，则m =（）A ．1-B ．1-C ．7-D ．3-【答案】AC【解析】因为12l l ∥，故24(5)(3)m m ⨯=++，整理得到2870m m ++=，解得1m =-或7m =-．10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π0||2ϕ<<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．2ω=B ．π3ϕ=-C ．π()12f x +是奇函数 D ．π()12f x -是偶函数【答案】ABD【解析】由图可得π()sin(2)3f x x =-，所以A 、B 正确；ππππππ()sin[2()]sin(2)sin(2)12123636f x x x x +=+-=+-=-，故C 错； ππππππ()sin[2()]sin(2)sin(2)cos 212123632f x x x x x -=--=--=-=-为偶函数，所以D 正确． 11．已知,x y ∈R ，且5757xyy x ，则（）A ．11()3()3xy≥ B ．22x y ≤ C ．33x y≤D ．1122log log x y ≤【答案】AC【解析】∵函数57x x y 为增函数，∴5757x yy x ，即5757x xy y ，可得xy ，∴A 、C 正确．12．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中不正确的是（） A ．()f x ，()g x 在点(1,0)处有相同的切线 B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立 C ．()f x ，()g x 的图象有且只有一个交点 D ．()f x ，()g x 的图象有且只有两个交点【答案】ABC【解析】因为()2f x x '=，(1)2f '=，1()g x x'=，(1)1g '=，所以()f x ，()g x 在点(1,0)处的切线不同，选项A 不正确；()()()()0f x g x f x g x ≥⇔-≥，2222()()12122[()()]2x x x f x g x x x xx-+-'-=-==，因为2(0,)x ∈，[()()]0f x g x '-<；2(,)x ∈+∞，[()()]0f x g x '->；22x =，[()()]0f x g x '-=，所以22x =时，()()f x g x -有最小值1(ln 21)02-<，所以当0x >时，()()f x g x ≥不恒成立，选项B 不正确；由上可知，函数()()f x g x -在(0,)+∞上有且只有两个零点，所以()f x ，()g x 的图象有且只有两个交点．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．椭圆22:1916x y C +=的两个焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，若2210AF BF +=，则AB 的值为．【答案】6【解析】由题意可得221110416AF BF AF BF AB a +++=+==，解得6AB =，故答案为6．14．已知等比数列{}n a 的首项为1，且64312()a a a a +=+，则1237a a a a = ．【答案】128【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则364312a a q a a +==+，所以3412a a q =⋅=，77123742128a a a a a ===．15．已知二项式(2)nx x-的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则n = ，3x 的系数为．【答案】6，240【解析】二项展开式的第1r +项的通项公式为1C (2)()r n rrr n T x x-+=-，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，可得12C :C 2:5n n =，解得6n =，所以366216C (2)()C 2(1)r r n rr r r rr nT x x x---+=-=-，令3632r -=，解得2r =，所以3x 的系数为26226C 2(1)240--=．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 分别为棱11A D 、11C D 的中点，N 是线段1BC 上的点，且114BN BC ，若P 、M 分别为线段1D B 、EF 上的动点，则||||PM PN +的最小值为__________．6【解析】首先PM 的最小值就是P 到EF 的距离．连接11B D 交EF 于G ，连接PG ，则EF 平面11B D DB ，故EF PG ，从而PM 的最小值PG ，可知G 为EF 的中点，1D G 为11D B 的四分之一．其次，连接BD ，在线段BD 上取点H ，使BH BN ，连接PH ，则PHB PNB △△，从而PNPH ，最后，连接GH 交1BD 于K ，则当P 为K 时，PM PN 取得最小值，所求最小值为GH ，∵正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，∴6GH ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在三角形ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222423b cabc ．（1）求sin A 的值；（2）若ABC △的面积为2，且2sin 3sin B C ，求三角形ABC △的周长．【答案】（1）1sin 3A；（2）2326．【解析】（1）∵2222cos b c a bc A ，∴422cos 3bc Abc ， ∴22cos A， ∴在ABC △中，21sin 1cos 3AA．（2）∵ABC △的面积为2，即11sin 226bc A bc ，∴62bc，又∵2sin 3sin B C ，由正弦定理得23bc ，∴32b ，2c，则2222cos 6a b c bc A ，∴6a，∴ABC △的周长为2326．18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为0d ，且2340a a ，1413a a ，公比为(01)q q的等比数列{}n b 中，1b ，2b ，311111{,,,,}60322082b ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ；（2）若数列{}nc 满足n n n c a b ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）31na n ，211()2n nb ；（2）(31)21(1)234n n n n T ．【解析】（1）由题意可得：等差数列{}n a ，1111()(2)40223133a d a d a a d d，31na n ；因为等比数列{}n b 中，1b ，2b ，311111{,,,,}60322082b ，01q ，所以112b ，218b ，3132b ，∴112111112()()12424nn nb b q．（2）21131()2n n n nc a b n ，∴11[1()](231)(31)2124(1)1223414n nn n n n n T ． 19．（12分）为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动．随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩90分以上的学生也越来越多．用y 表示x 月后体育成绩90分以上的学生的百分比，得到了如下数据．（1）求出y 关于x 的回归直线方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测7个月后，体育成绩90分以上的学生的百分比是多少? 参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是ybx a 其中，^1122211()()()nnii i i i i nn ii i i x x y y x y nx y bx x x nx，ay bx ．【答案】（1）0.080.22yx；（2）78%．【解析】（1）由表格数据可得3x，0.46y，122150.085ni ii n i i x y x y bx x，0.460.0830.22ay bx ，故y 关于x 的回归直线方程为0.080.22y x ．（2）由（1）知0.080.22y x ，令7x，解得0.7878%y．20．（12分）在三棱锥P ABC -中，PB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB PB ==，23BC =，E 、G 分别为PC 、PA 的中点．（1）求证：平面BCG ⊥平面PAC ；（2）假设在线段AC 上存在一点N ，使PN BE ⊥，求ANNC的值；（3）在（2）的条件下，求直线BE 与平面PBN 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）12AN NC =；（3）217．【解析】（1）因为PB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PB BC ⊥，又AB BC ⊥，ABBP B =，所以BC ⊥平面PAB ，则BC PA ⊥，又2AB PB ==，PAB △为等腰直角三角形，G 为PA 的中点，所以BG PA ⊥，又BGBC B =，所以PA ⊥平面BCG ，因PA ⊂平面PAC ，则有平面BCG ⊥平面PAC ．（2）分别以BA ，BC ，BP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，那么(2,0,0)A ，(0,23,0)C ，(0,0,2)P ，(0,3,1)BE =，因此(2,23,0)AC =-，(2,0,2)PA =-，设(2,23,0)AN AC λλλ==-，那么(22,23,2)PN λλ=--，由PN BE ⊥，得0PN BE ⋅=，解得13λ=，因此13AN AC =，因此12AN NC =．（3）由（2）知423(,,2)3PN =-，设平面PBN 的法向量为(,,)x y z =n ，则0PN ⋅=n ，0BP ⋅=n ，即204232033z x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令3x =，得2y =-，0z =，因此(3,2,0)=-n ，设直线BE 与平面PBN 所成角为θ，那么2321sin 727BE BE θ⋅===⨯⋅n n．21．（12分）已知函数()ln a f x xx x．（1）若1a，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若任意的1(,)2x，2()x xf x e x 恒成立，请求出a 的取值范围．【答案】（1）1yx ；（2）1211ln 22ae．【解析】（1）因为1a ，所以211()1f x x x ，(1)1f ，(1)2f ，所以切线方程为1y x ．（2）不等式2()xxf x e x ，对任意的1(,)2x恒成立，即ln xae x x 对任意的1(,)2x 恒成立．令()ln xv x ex x ，则()ln 1xv x ex ，令()ln 1xx ex ，则1()x x e x，易知()x 在1(,)2上单调递增，因为121()202e，(1)10e ，所以存在唯一的01(,1)2x ，使得0()0x ，即010x ex ，则00ln x x ．当01(,)2x x 时，()x 单调递减，当0(,)x x 时，()x 单调递增．则()x 在0xx 处取得最小值，且最小值为0000011()ln 112110x x e x x x x x ，所以()0v x ，即()v x 在1(,)2上单调递增，所以1211ln 22a e． 22．（12分）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA ，MB 分别交于点C ，D ，记EABMCDS S λ=△△，问λ是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由．【答案】（1）(0,2)p ；（2）λ是定值，2EABMCDS S λ==△△．【解析】（1）22x y p=，x y p '=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，过A 点的切线方程为2111()2x x y x x p p -=-，过B 点的切线方程为2222()2x x y x x p p-=-，联立这两个方程可得212M x x x +=，122M x x y p =，又2121212ABy y x x k x x p -+==-，故直线AB 的方程为21211()22x x x y x x p p+-=-，化简得1212()20x x x py x x +--=，令0x =，122x x y p=-，又1222M x x y p p==-，∴2y p =，∴直线AB 过(0,2)p 点．（2）由（1）得122M x x x +=，同理可得12E C x x x +=，22ED x x x +=，11111212||2||||||||22E C E E M C E x x x x x x x AC x x x x CM x x x x +---===++---，11222||||||||2EE E C E E D E E Ex x x CE x x x x x x ED x x x x x +---===+---，∴||||AC CE CM ED =，同理12||||E EMD x x DB x x -=-，∴||||||AC EC DM CM ED DB ==，设||||||AC EC DMt CM ED DB===，记MCE S S =△，则ACE S tS =△，同理，MDES S t =△，2BDE SS t=△，2||||11(1)||||1MAB MCD S MA MB t t t S MC MD t t +++==⋅=△△，于是2232(1)(1)(1)()MABMCD t t S t S S S S t t t t+++==+=△△，∴2(1)EAB MAB MCD ACE BDE t S S S S S S t +=---=△△△△△，1MCD t S S t+=△， ∴2EABMCDS S λ==△△．维权声明。

2020-2021学年高三数学(理科)高三第一次调研考试及答案解析

最新高三年级第一次调研考试数学（理科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{A x y =，2{log 1}B x x =≤，则A B =I （） A ．{31}x x -≤≤ B ．{01}x x <≤ C ．{32}x x -≤≤ D ．{2}x x ≤ 【答案】B【解析】{31}A x x =-≤≤，∴{02}B x x =<≤，A B =I {01}x x <≤．2．设i 为虚数单位，复数z 满足i 34i z ⋅=+，则z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】34i43i iz +==-，故选D ． 3．已知平面向量a ，b 满足2=a ，1=b ，a 与b 的夹角为120o ，且()(2)λ+⊥-a b a b ，则实数λ的值为（）A ．7-B ．3-C ．2D ．3 【答案】D【解析】∵()(2)λ+⊥-a b a b ，∴22()(2)2(21)λλλ+⋅-=-+-⋅a b a b a b a b ， 8(21)930λλλ=---=-=， ∴3λ=．4．若变量,x y 满足约束条件220,330,0.x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（）A ．3-B ．1C ．2-D ．2 【答案】C5．公差为1的等差数列{}n a 中，136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为（） A ．65 B ．80 C ．85 D ．170 【答案】C【解析】∵2316a a a =⋅，∴2111(2)(5)a d a a d +=⋅+， ∴2111(2)(5)a a a +=⋅+，即14a =．∴101094101852S ⨯=⨯+⨯=． 6．若函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图像过点(,1)6π，则该函数图像的一条对称轴方程是（） A ．12x π=B ．512x π=C ．6x π=D ．3x π=【答案】D【解析】∵()2sin()163f ππϕ=+=，∴1sin()32πϕ+=．∵2πϕ<，5636πππϕ-<+<，∴36ππϕ+=，∴6πϕ=-，()2sin(2)6f x x π=-∵()23f π=，故选D ．7．261(2)()x x x+-的展开式中常数项为（）A ．40-B ．25-C ．25D ．55 【答案】B【解析】61()x x-的通项662166(1)(1)r r r r r r rr T C x x C x ---+=-=-，令622r -=-，得4r =；令620r -=，得3r =．∴常数项为443366(1)2(1)25C C -+⋅-=-．8．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（） A ．42 B ．25 C ．6 D ．43【答案】D【解析】该几何体为边长为4的正方体的部分，如图，最长的边为43PC =．9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（） A ．49 B ．427 C ．964 D ．364【答案】A【解析】∵23434439C A P ==． CD AB P10．点S 、A 、B 、C的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为12，AB BC CA === 则点S 与ABC ∆中心的距离为（）ABC ．1D ．12【答案】B【解析】设球心为O ,ABC ∆中心为1O ，ABC ∆外接圆半径13r ==，依题意，1OO ⊥平面ABC ，∴11OO ==．作21SO OO ⊥，垂足为2O ，则1212O O =， ∴2O 为1OO的中点，∴1SO SO R ==．11．过点(0,2)b 的直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率为取值范围是（） A ．(1,2] B ．(2,)+∞ C ．(1,2) D．【答案】A【解析】直线l 的方程为2by x b a=+， ∵双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，直线l 和直线by x a =b ≥，∴2()14b a+≤，∴2223c a a -≤，∴12e <≤． 12．函数2()ln f x x ax x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是（）A ． (0,1)B ．(,1)-∞C ．21(,)e e +-∞D ．21(0,)ee + 【答案】A【解析】2()ln 0f x x ax x =-+=，得2ln 1x a x x =+，令2ln 1()x g x x x =+，则 24212ln 1()x x xx g x x x⋅-'=-312ln x x x --=，令()12ln h x x x =--，则2()10h x x'=--<，∴()12ln h x x x =--在(0,)+∞上为单调减函数，∵(1)0h =，∴(0,1)x ∈时，()0h x >，(1,)x ∈+∞时，()0h x <， ∴(0,1)x ∈时，()0g x '>，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值， ∵(1)1g =，∴1a <．O 2AC BSOO 1∵1x e=时，2()0g x e e =-+<， x →+∞时，()0g x >，∴0a >，综上，(0,1)a ∈．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知(),()f x g x 分别是定义域为R 的奇函数和偶函数，且()()3xf xg x +=，则(1)f 的值为______．【答案】43【解析】∵()(),()()f x f x g x g x -=--=，∵()()3xf xg x +=，∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，∴1343(1)23f -==． 14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为______．（参考数据：sin150.2588=o ，sin 7.50.1305=o ）【答案】24【解析】由程序框图可知：15．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，则p 等于______．【答案】45【解析】直线AB 的方程为2p y x =-，由222(0)p y x y px p ⎧=-⎪⎨⎪=>⎩，得2220y py p --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)x y ，则1202y y y p +==，00322p x y p =+=，∴弦AB 的垂直平分线方程为3()2y p x p -=--，∵弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，∴322p p -=，∴45p =．16．数列{}n a 满足221211,,(2)2,.n n n n n a n a n a a n ---⎧ <⎪=≥⎨≥⎪⎩，若{}n a 为等比数列，则1a 的取值范围是______．【答案】9[,)2+∞【解析】当212a <时，2224a ==，∵2243a =<，∴2339a ==．∵2394a =<，∴24416a ==．若{}n a 为等比数列，则2324a a a =，即29416=⨯，显然不成立，∴14a ≥．当212a =时，2128a a ==， ∵2283a =<，∴2339a ==．若{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即2849=⨯，显然不成立，∴14a ≠．当212a >时，212a a =． ①当2123a <时，2339a ==，若{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即211(2)9a a =，194a =与14a >矛盾，故192a ≥． ②当2123a ≥时，312a a =，满足2213a a a =．∴1a 的取值范围是9[,)2+∞．三、解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，60C =o，D 是BC 上一点，31,20,21AB BD AD ===．（1）求cos B 的值；（2）求sin BAC ∠的值和边BC 的长．DBCA【解析】（1）在ABD ∆中，31,20,21AB BD AD ===，根据余弦定理，有222cos 2AB BD AD B AB BD +-=⋅222312021232312031+-==⨯⨯．222cos 2AB BD AD B AB BD+-=⋅（2）∵0B π<<，∴223123sin 1()3131B =-=．∴sin sin[180(600)]sin(60)BAC B B ∠=-+=+o o osin 60cos cos60sin B B =+o o3231123353312=⨯+⨯=．在ABC ∆中，根据正弦定理，有sin sin BC ABBAC C =∠∠, ∴35331sin 6235sin 32AB BAC BC C ⨯∠===∠．18．（本小题满分12分）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X （单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响（1）求未来三年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A 企业影响如下：当[23,27)X ∈时，不会造成影响；当[27,31)X ∈时，损失10000元；当[31,35)X ∈时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由．【解析】（1）由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为：031213333127()()()44432P C C =+=． ∴在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为2732．（2）由题意可知(2327)0.74P X ≤<=，(2731)0.25P X ≤<=，(3135)0.01P X ≤<=，用123,,X X X 分别表示采取方案1,2,3的损失，由题意知13800X =，X 的分布列如下：20.012600⨯=．X 的分布列如下：30.013100⨯=．因为采取方案2的平均损失最小，所以采取方案2较好． 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=o ，PA PB ⊥，2PC =．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若PA PB =，求二面角A PC D --的余弦值.【解析】（1）取AB 中点O ，连接AC 、CO 、PO ， ∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∴2AB BC ==． ∵60ABC ∠=o ，∴ABC ∆是等边三角形． ∴CO AB ⊥，OC =∵PA PB ⊥，∴112PO AB ==．∵2PC =，∴222OP OC PC +=．∴CO PO ⊥． ∵AB PO O =I ，∴CO ⊥平面PAB ．∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．（2）∵22222211OP OA PA +=+==，∴PO AO ⊥．由（1）知，平面PAB ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面∴直线,,OC OB OP 两两垂直．∴以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -,如图，则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),2,0),(0,0,1)O A B C D P --．∴(0,1,1),1),(0,2,0)AP PC DC ==-=u u u r u u u r u u u r．设平面APC 的法向量为(,,)x y z =，由00AP PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rm m ，得00y z z +=⎧⎪-=，取1x =，得(1,=m ， PADCBD设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，由00PC DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n，得020z y -==⎪⎩，取1x =，得=n ，∴cos ,7⋅<>==⋅m n m n m n ，由图可知二面角A PC D --为锐二面角， ∴二面角A PC D --．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，直线0x y ++=与椭圆E 仅有一个公共点（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 被圆22:3O x y +=截得的弦长为3，且与椭圆E 交于,A B 两点，求ABO ∆面积的最大值．【解析】（1）∵2c e a ===，∴222a b =．∴故E 方程可化为222212x y b b +=，由2222012x y x y bb ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，得223620x b ++-=，∴2212(62)0b ∆=--=，解得21b =． ∴椭圆E 的方程为2212x y +=．（2）记O 到直线l 的距离为d ，由垂径定理可得223()32d +=，解得d =当直线l 与y 轴平行，由题意可得直线l的方程为x =±．由22212x x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4y =±，∴2AB =．∴128ABO S AB d ∆=⋅=．当直线l 与y 轴不平行，设直线l 的方程为y kx m =+，∴d ==223(1)4m k =+．由2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2221()2102k x kmx m +++-=． ∴222222151(2)4()(1)4220222k km k m k m ∆=-+-=-+=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++．∴221212(1)[()4]AB k x x x x =++-2222(22)(51)(21)k k k ++=+424210122441k k k k ++=++24212522441k k k -=+++，令2122t k =-，则12t ≥-． 2555269922293332444t t t AB t t t t t t=+=+≤+=+++++⋅，当且仅当32t =时，等号成立， ∵2652>，∴当32t =时，即1k =±时，max 12632()232ABO S h ∆=⨯⋅=．∵303282<，∴1k =±时，max 32()2ABO S ∆=．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)xf x x e =+和函数2()()(1)xg x e a x =--（e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）判断函数()g x 的极值点的个数，并说明理由；（3）若函数()g x 存在极值为22a ，求a 的值.【解析】（1）()(2)xf x x e '=+，令()0f x '>，解得2x >-．∴()f x 的单调增区间为(2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-．（2）()(1)[(1)2)(1)[()2)xg x x x e a x f x a '=-+-=--，当(,1)x ∈-∞-，()(1)0xf x x e =+≤．①当0a e <<时，由（1）知，()f x 在(1,)-+∞单调增，且(1)20,(1)2220f a f a e a --<-=->， ∴∃唯一的0(1,1)x ∈-，使得0()0f x =．当0(,)x x ∈-∞时，()20f x a -<，故()0g x '>．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F ．（1）证明：,,,C E F D 四点共圆；（2）若D 为BC 的中点，且3AF =，1FD =，求AE 的长．【解析】（1）连结EF 、BE ，则ABE AFE ∠=∠， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AE BE ⊥． ∵AB BC ⊥，∴ABE C ∠=∠， ∴AFE C ∠=∠，即180EFD C ∠+∠=o， ∴,,,C E F D 四点共圆．（2）∵AB BC ⊥，AB 是⊙O 的直径，∴BC 是 O 的切线，24DB DF DA =⋅=，即2BD =．∴AB ==∵D 为BC 的中点，∴4BC =，AC ==∵,,,C E F D 四点共圆，∴AE AC ⋅=∴12=,即7AE =．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)απ<<，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos pp ρθ=>-．（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11OA OB+的值．【解析】（1）由cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，得当2πα=时，直线为0x =，其极坐标方程为2πθ=和32πθ=；当2πα≠时，消去参数t 得tan y x α=⋅，又0απ<<，∴直线l 是过原点且倾斜角为α的直线， ∴直线l 的极坐标方程为θα=和θαπ=+综上所述，直线l 的极坐标方程为θα=和(0)θαπαπ=+<<．由1cos pρθ=-，得cos p ρρθ-=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，∴222()x y x p +=+，整理得22()2py p x =+．（2）设1122(,),(,)A B ρθρθ，由1cos p θαρθ=⎧⎪⎨=⎪-⎩，11cos p ρθ=-，即1cos p OA θ=-, 由1cos p θαπρθ=+⎧⎪⎨=⎪-⎩，21cos p ρθ=+，即1cos p OB θ=+, ∴111cos 1cos 2OA OB p p pθθ-++=+=． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()3()f x x a x a R =++-∈．（1）当1a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值．【解析】（1）当1a =时，不等式()8f x x ≥+ 可化为138x x x ++-≥+，∴1228x x x <-⎧⎨-≥+⎩，或1348x x -≤<⎧⎨≥+⎩，或3228x x x ≥⎧⎨-≥+⎩，解得2x ≤-，或10x ≥，∴原不等式的解集为(,2][10,)-∞-+∞U ．（2）∵()3f x x a x =++-()(3)3x a x a ≥+--=+，令35a +=，解得2a =，或8a =-．。

高三数学上学期第一次调研测试试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学上学期第一次调研测试试题理〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求。

{|23},{|0}A x x B x x =-<<=>，那么A B =〔〕A.(2,3)-B.(3,)+∞C.(2,0)-D.(0,3)【答案】D 【解析】【分析】根据集合的交集运算即可求解。

【详解】{|23},{|0}A x x B x x =-<<=>，应选：D【点睛】此题考察集合的根本运算，属于根底题。

3sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是〔〕A.2πB.2πC.3π D.π【答案】B 【解析】【分析】由三角函数的最小正周期2T ωπ=，即可求解。

【详解】4ω=，2T ωπ=应选：B【点睛】此题考察求三角函数sin()y A x ωϕ=+的周期，属于根底题。

(1,2),(2,3)a b =-=-，那么a b ⋅=〔〕A.-8B.4C.7D.-1【答案】A 【解析】【分析】由向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】(1,2),(2,3)a b =-=-应选：A【点睛】此题考察向量的坐标运算，属于根底题.()f x 当0x >时，()(1)f x x x =-，那么当0x <时，()f x 的表达式是()A.(1)x x -+B.(1)x x --C.(1)x x +D.(1)x x -【答案】C 【解析】设x <0，那么−x >0，又当x >0时,f (x )=x (1−x )，故f (−x )=−x (1+x )，又函数为奇函数，故f (−x )=−f (x )=−x (x +1)，即f (x )=x (x +1)，此题选择C 选项.{}n a 满足：111n na a +=-且12a =，那么2019a =〔〕A.12B.-1C.2D.12-【答案】B 【解析】【分析】首先由递推关系111n na a +=-得出1a 、2a 、3a 、4a 且数列的周期为3即可求出2019a .【详解】由111n na a +=-且12a =，那么211122a =-=，32111a a =-=-，43112a a =-=，所以数列{}n a 为周期数列，周期为3，所以2019201631a a a ====-应选：B【点睛】此题考察数列周期性的应用，属于根底题.cos()2πα+=，那么cos2=α〔〕 A.23-B.13-C.13D.23【答案】C 【解析】【分析】本道题化简式子,计算出sin α,结合2cos 212sin αα=-,即可.【详解】cos sin 2παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭,得到sin α=,所以211cos 212sin 1233αα=-=-⋅=,应选C.【点睛】本道题考察了二倍角公式,难度较小.2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到数学函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为〔〕A.24x π=-B.4x π=C.524x π=D.12x π=【答案】A 【解析】分析：根据平移变换可得243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据放缩变换可得函数()g x 的解析式，结合对称轴方程求解即可.详解：将函数()223f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()gx 的图象，即()224241233gx sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24,32x k k Z πππ+=+∈，得1,424x k k Z ππ=-∈，当0k=时，离原点最近的对称轴方程为24x π=-，应选A.点睛：此题主要考察三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.8.,a b 是不一共线的向量，2,2,,A AB a b a b R C λμλμ=-=+∈，假设,,A B C 三点一共线，那么,λμ满足〔〕 A.2λμ+= B.1λμ=- C.4λμ+= D.4λμ=-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量的一共线定理即可求解。

2021届高三入学调研试卷理科数学(一) 解析

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 的实部与虚部分别为1-，2，则2z =（） A ．34i -- B ．34i -+ C ．34i + D ．34i -【答案】A【解析】∵12i z =-+，∴2144i 34i z =--=--． 2．设集合2{|4}A x x =<，{|2,}xB y y x ==∈R ，则A B =（）A ．(2,2)-B ．(0,2)C ．(2,)+∞D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】B【解析】∵(2,2)A =-，(0,)B =+∞，∴(0,2)AB =．3．若函数()lg()f x x a =+的图象经过抛物线28y x =的焦点，则a =（） A ．1 B ．0 C ．1- D ．2-【答案】C【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为(2,0)，则(2)lg(2)0f a =+=，即21a +=，解得1a =-．4．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60︒，则下列向量是单位向量的是（）A ．+a bB ．12-a b C ．12+a b D ．-a b【答案】D【解析】由平面向量的减法可得-a b 的模为1，则-a b 是单位向量．5．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2B C =，则b =（） A ．cos c C B ．cos c AC ．2cos c CD ．2cos c A【答案】C【解析】∵2B C =，∴sin sin22sin cos B C C C ==，∴2cos b c C =． 6．设x ，y 满足约束条件2602x y x y x +-≤⎧⎨≤≤⎩，则z x y =+的取值范围为（）A ．[90,]2B ．[94,]2C ．[0,4]D ．[4,)+∞【答案】A【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线z x y =+过点(0,0)时，z 取得最小值0；直线z x y =+过点3(,3)2时，z 取得最大值92，故9[0,]2z ∈．7．设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的两位数，将组成a 的2个数字按从小到大排成的两位数记为()I a ，按从大到小排成的两位数记为()D a (例如75a =，则()57I a =，()75D a =)，执行如图所示的程序框图，若输入的51a =，则输出的b =（）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A ．30B ．35C ．40D ．45【答案】D【解析】51a =，511536b =-=；36a =，633627b =-=；27a =，722745b =-=， ∵45为5的倍数，∴输出的45b =．8．已知2211()11x x f x x --=++，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为（） A ．y x =- B ．y x =C ．2y x =D ．2y x =-【答案】C【解析】令11x t x -=+，则11t x t -=+，22211()21()111()1t t t f t t t t--+==-+++， ∵2222)))(11((t f t t -'=+，∴(0)2f '=， ∵(0)0f =，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =．9．sin cos()6πx x -+=（）A ．11sin(224π)6x +- B ．11sin(224π)6x -+ C ．11sin(222π)3x -+D ．13sin(224π)3x +-【答案】B【解析】31sin cos()sin cos()sin (cos sin )62π6π2x x x x x x x -+=-=+ 3111sin 2(1cos 2)sin(2)2π464x x x =+-=-+． 10．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（） A ．160359B ．289359C ．1191077D ．9581077【答案】D【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为x ，y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095817C C 107-=．11．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为侧棱1DD 上一点，1AB =，12AA =，且异面直线DB 与1C E 所成角的余弦值为2613，则DE =（） A ．12B ．23C ．1D ．32【答案】A【解析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，1(0,1,2)C ，则(1,1,0)DB =，设(02)DE t t =<≤，则1(0,1,2)C E t =--，从而1226,|||21(|s 2)co DB C E t 〉==+-〈 ∵02t <≤，∴12t =．12．设F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若FOH △的内切圆与x 轴切于点B ，且2BF OB =，则C 的离心率为（）A ．3174+ B ．4174+ C ．33178+ D ．33174+ 【答案】C【解析】∵F 到渐近线的距离为||FH b =，∴22||OH c b a =-=，则FOH △的内切圆的半径2a b cr +-=，设FOH △的内切圆与FH 切于点M ，则||2a b cMH r +-==， ∵2BF OB =，∴2||||3FM BF c ==，∴2||||||32a b c BF MH c FH b +-+=+==，即33b a c =+，则22222)99(69b c a c ac a =-=++，∴24390e e --=，∵1e >，∴33178e +=．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．6()3y x -的展开式中5x y 的系数为．【答案】2-【解析】6()3y x -的展开式中5x y 的系数为161C ()23-=-． 14．已知函数()sin f x x =，若()()f a x f a x +=-，0πa <<，则a = ．【答案】π2【解析】∵()()f a x f a x +=-，∴()f x 的图象关于直线x a =对称，又()sin f x x =，且0πa <<，∴π2a =． 15．如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，且圆锥的体积与半球的体积相等，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为．【答案】2【解析】设该圆锥的半径与高分别为r ，h ，则32141ππ233r r h ⨯=，即2h r =，该圆锥的母线与底面所成角的正切值为2hr=． 16．已知函数22(()log )f x x a x =+-是R 上的奇函数，函数()|2 |g x m x a =--，若()()f x g x ≤对3[,2]4x ∈-恒成立，则m 的取值范围为．【答案】[7,)2+∞【解析】由22(()log )f x x a x =+-是R 上的奇函数，得2(0)log ()0f a ==，则1a =，因为2222()log 1)log 1(f x x x x x=+-=++在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 是R 上的减函数，作出()f x 与()g x 的图象，如图所示，由图可知33()()44(2)(2)f g f g ⎧-≤-⎪⎨⎪≤⎩，即2512log (52)3m m ⎧≤-⎪⎨⎪-≤-⎩，则72m ≥．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，1(2)n n a a d n -=+≥，其中d 是不为0的常数，且1a ，2a ，6a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若55m S m =，求m ．【答案】（1）32n a n =-；（2）37m =．【解析】（1）∵1(2)n n a a d n -=+≥，∴数列{}n a 是公差为d 的等差数列， ∵37a =，∴172a d =-，27a d =-，673a d =+， ∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴2(72)(73)(7)d d d -+=-， ∴23d d =，∴3d =或0d =，∵0d ≠，∴3d =，7(3)332n a n n =+-⨯=-．（2）∵1(552)m m m a a S m +==，∴1110m a a +=，即32109m -=，∴37m =． 18．（12分）下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位：罐)的雷达图．（1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销量更好；（2）从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的活动，中奖率为0.1，中奖可获得1元的红包，以雷达图中一周的销量代替每周的销量． ①活动期间，一位顾客买了3罐百事可乐，他恰好获得2元红包的概率； ②在这连续三周的活动中，求该超市需要投入红包总金额的数学期望．【答案】（1）百事可乐销量的平均数为9607，可口可乐销量的平均数为9407，百事可乐的销量更好；（2）①0.027；②570元．【解析】（1）百事可乐销量的平均数为110012012014016014018096077x ++++++==，可口可乐销量的平均数为28012010014018014018094077x ++++++==，∵12x x >，∴百事可乐的销量更好．（2）①他恰好获得2元红包说明他有两次中奖一次未中奖，故所求的概率为2230.1(10.1C )0.027⨯-=．②连续三周该超市罐装可乐（仅限百事可乐或可口可乐）的销量为(960940)3190035700+⨯=⨯=罐，记连续三周顾客中奖总次数为X ，则(5700,0.1)XB ，则57000.1570EX =⨯=，故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为5701570⨯=元．19．（12分）在直角坐标系xOy 中，已知(1,2)P x y -，(1,2)Q x y +，且3OP OQ ⋅=，记动点(,)M x y 的轨迹为Ω．（1）求Ω的方程；（2）若过点(1,0)N 的直线l 与Ω交于A ，B 两点，且2BN NA =，求直线l 的斜率．【答案】（1）2214x y +=；（2）15k =【解析】（1）∵3OP OQ ⋅=，∴2(1)(1)43x x y -++=，∴2244x y +=，即2214x y +=，此即为Ω的方程．（2）设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-，当0k =时，3BN NA =或13BN NA =，不合题意；当0k ≠时，由22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得222(1420)3k y ky k ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122214ky y k +=-+，2122314k y y k =-+，∵2BN NA =，22(1,)BN x y =--，11()1,NA x y =-，∴212y y =-，∴1212214k y y y k +=-=-+，22123214k y k -=-+， ∵10y ≠，∴2512k =，∴156k =±．20．（12分）如图，在四面体ABCD 中，AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，22AB BC AC ==，且4AD BC +=．（1）证明：BC ⊥平面ABD ；（2）设E 为棱AC 的中点，当四面体ABCD 的体积取得最大值时，求二面角C BD E --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）30．【解析】（1）证明：因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD平面ABC AB =，AD ⊂平面ABD ，∴AD ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥，因为22AB BC AC ==，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，因为ADAB A =，所以BC ⊥平面ABD ．（2）设(04)AD x x =<<，则4AB BC x ==-，四面体ABCD 的体积232111()(4)(816)(04)326V f x x x x x x x ==⨯-=-+<<， 211()(31616)(4)(34)66f x x x x x '=-+=--，当403x <<时，()0f x '>，()V f x =单调递增；当443x <<时，()0f x '<，()V f x =单调递减，故当43AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值，以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，8(0,,0)3A ，8(,0,0)3C ，84(0,,)33D ，44(,,0)33E ，设平面BCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则00BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即80384033x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令2z =-，得(0,1,2)=-n ，同理，平面BDE 的法向量为(1,1,2)=-m ，30cos ,656〈〉==-⨯m n ，由图可知，二面角C BD E --为锐角，故二面角C BD E --的余弦值为306． 21．（12分）已知函数2()(2)ln f x a x ax x =++-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在(0,)a 上存在最大值()P a ，证明：234ln 2()42p a a a <<+-．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）2(1)(22)()2(0)a x x a f x a x x x x++--'=+-=->，当2a ≤-时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当2a >-时，由()0f x '>，得202a x +<<，()f x 在(20,)2a +上单调递增；由()0f x '<，得22a x +>，()f x 在2,)2(a ++∞上单调递减．（2）易知0a >，当02a <≤时，22a a +≥，由（1）知，()f x 在(0,)a 上单调递增，此时()f x 在(0,)a 上不存在最大值，当2a >时，()f x 在(20,)2a +上单调递增，在(2,)2a a +上单调递减，则22m x22(2)224()()(2)ln ()(2)ln 222224a a a a a a a a f x f a a +++++-==++-=++，故224()(2)ln(2)24a a p a a a +-=++>，设224()(2)ln (2)24x x g x x x +-=++>，2()1ln 22x x g x +'=++， ∵2x >，∴()0g x '>，∴()g x 在(2,)+∞上单调递增， ∴()(2)4ln 2g x g >=，即()4ln 2p a >，∵2314(34)(2)22a a a a +-=-+，且2a >， ∴要证：23()42p a a a <+-，只需证2234ln 242a a a +--+<，即证256ln024a a +--<，设256()ln(2)24x x h x x +-=->，则15()024h x x '=-<+，则()h x 在(2,)+∞上单调递减，从而()(2)ln 210h x h <=-<，即256ln024a a +--<，则23()42p a a a <+-，从而234ln 2()42p a a a <<+-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线C 与曲线D 关于极点对称．（1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线D 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线D 上一动点，记P 到直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最小值．【答案】（1）22(2)4x y ++=；（2）7-【解析】（1）∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，即22(2)4x y -+=， ∴曲线D 的直角坐标方程为22(2)4x y ++=．（2）由（1）可设(22cos ,2sin )P αα-+，[0,2π)α∈，直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的直角坐标方程分别为3y =-，2x =，从而12sin 3d α=+，22(22cos )42cos d αα=--+=-，122sin 342cos 7)π(4d d ααα+=++-=+-，故12d d +的最小值为7- 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|1||2|f x x x =-++，且不等式()f x k <的解集为{|3}x x a -<<．（1）求k ，a ；（2）若m n k +=，证明：()()12f m f n +≥．【答案】（1）5k =，2a =；（2）证明见解析．【解析】（1）当2x ≤-时，由()21f x x k =--<，得12k x +>-，因为不等式()f x k <的解集为{|3}x x a -<<，所以132k +-=-，解得5k =，当1x ≥时，由() 2 15f x x =+<，得2x <，所以2a =，经检验5k =，2a =满足题意．（2）证明：因为|1||2||12||21|m m m m m -++≥-++=+，所以()|21|f m m ≥+，同理()|21|f n n ≥+，因为5m n k +==，所以()()|21||21||2121||2()2|12f m f n m n m n m n +≥+++≥+++=++=．维权声明。

高三数学上学期入学调研考试题一理试题

2021届高三入学调研考试卷理科数学〔一〕考前须知：1．在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的规定的正确位置。

2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1．集合2{|20}M x x x =+-≤，{1,0,1,2}N =-，那么M N 的子集个数为〔〕 A ．2B ．4C ．8D ．162．复数2z i =+，那么1zi+在复平面上对应的点所在象限是〔〕 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在等差数列{}n a 中，假设35a =，424S =，那么9a =〔〕 A ．5-B ．7-C ．9-D ．11-4．以下函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是〔〕 A ．3()f x x x =+ B ．()31x f x =- C ．1()f x x=-D ．3()log f x x =5．中国古代“五行〞学说认为：物质分“金、木、水、火、土〞五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金〞．从五种不同属性的物质中随机抽取2种，那么抽到的两种物质不相生的概率为〔〕A ．15B ．14C ．13D ．126．设,αβ是两平面，,a b 是两直线．以下说法正确的选项是〔〕 ①假设//,//a b a c ，那么b c ∥ ②假设,a b αα⊥⊥，那么a b ∥ ③假设,a a αβ⊥⊥，那么αβ∥ ④假设αβ⊥，b αβ=，a α⊂，a b ⊥，那么a β⊥A ．①③B ．②③④C ．①②④D ．①②③④制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日级姓名准考证号考场号座位号7．以下图是一程序框图，假设输入的12A =，那么输出的值是〔〕A ．25B ．512C ．1229D ．29608．函数()sin()f x A x ωϕ=+〔其中0,0ω>>A ，||2πϕ<〕的图象如下图，为了得到()y f x =的图象，只需把13()sin cos 22ωω=-g x x x 的图象上所有点〔〕A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度9．8(12)2y x +-的展开式中22x y 项的系数是〔〕A ．420B ．420-C．1680D ．1680-10．太极图被称为“中华第一图〞．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、HY 、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因此被称为“阴阳鱼太极图〞．在如下图的阴阳鱼图案中，阴影局部可表示为2222224(,)|(1)1(1)10x y A x y x y x y x ⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪=++≥+-≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎩⎩⎭或，设点(,)x y A ∈，那么2z x y =+的取值范围是〔〕A ．[25,25]-B ．[25,25]-C ．[25,25]-D ．[4,25]-+11．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，,A B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，那么双曲线C 的离心率为〔〕A 2B 3C ．2D 512．函数()()=--+x f x e a e ma x ，〔,m a 为实数〕，假设存在实数a ，使得()0≤f x 对任意x R ∈恒成立，那么实数m 的取值范围是〔〕A ．[)1,e-+∞ B ．[,)-+∞eC ．[1,]e eD ．[1,]--e e二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．13．平面内不一共线的三点O ，A ，B ，满足||1OA =，||2OB =，点C 为线段AB 的中点，假设3||OC =∠=AOB ． 14．数列{}n a 中，11a =，且1230n n a a +++=，n ∈*N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么6S = ． 15．直线l 经过抛物线2:4=xC y 的焦点F ，与抛物线交于,A B ，且8+=A B x x ，点D 是弧AOB 〔O 为原点〕上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的HY 方程为．16．正三棱柱111-ABC A B C 的侧面积为12，当其外接球的外表积取最小值时，异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值等于．三、解答题：本大题一一共6大题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．17．〔12分〕在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设1tan 2=B ，tan()2-=C A ．〔1〕求A ；〔2〕当=a ABC △的面积．18．〔12分〕如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，,D E 分别是1,AC CC 的中点．〔1〕求证：平面AEB ⊥平面1A BD ；〔2〕求二面角1D BE A --的余弦值．19．〔12分〕12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，圆222:O x y c +=〔122F F c =〕与椭圆有且仅有两个交点，点6633在椭圆上．〔1〕求椭圆的HY 方程；〔2〕过y 正半轴上一点P 的直线l 与圆O 相切，与椭圆C 交于点A ，B ，假设PA AB =，求直线l 的方程．20．〔12分〕随着经济的开展，个人收入的进步，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，按照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：某税务部门在某公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：〔1〕假设某员工2月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请计算一下调整后该员工的实际收入比调整前增加了多少?〔2〕现从收入在[3000,5000)及[5000,7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用x表示抽到作为宣讲员的收入在[3000,5000)元的人数，y表示抽到作为宣讲员的收入在[5000,7000)元的人数，设随机变量X x y=-，求X的分布列与数学期望．21．〔12分〕函数2()ln1f x x a x=--，()a∈R．〔1〕假设函数()f x有且只有一个零点，务实数a的取值范围；〔2〕假设函数2()()10xg x e x ex f x=+---≥对[1,)x∈+∞恒成立，务实数a的取值范围．〔e是自然对数的底数， 2.71828e =〕请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分．22．〔10分〕【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是222813(1)1kxkkyk⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩〔k为参数〕，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=．〔1〕曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；〔2〕求曲线C上的点到直线l的间隔的取值范围．23．〔10分〕【选修4-5：不等式选讲】设函数()212f x x x a=-+-，x∈R．〔1〕当4a=时，求不等式()9f x>的解集；〔2〕对任意x∈R，恒有()5f x a≥-，务实数a的取值范围．2021届高三入学调研考试卷理科数学〔一〕答案一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】∵集合{}2{|20}=|21M x x x x x =+-≤-≤≤，{1,0,1,2}N =-，∴{1,0,1}MN =-，那么其子集的个数为328=个．2．【答案】D【解析】∵2z i =+，∴2131122z i i i i -==-++，在复平面对应的点的坐标为13(,)22-，所在象限是第四象限． 3．【答案】B【解析】{}n a 为等差数列，设首项为1a ，公差为d ，由414624S a d =+=，3125a a d =+=，解得19,2a d ==-，所以9112,7n a n a =-=-． 4．【答案】A【解析】B 中函数非奇非偶，D 中函数是偶函数，C 中函数是奇函数，但不在定义域内递增，只有A 中函数符合题意． 5．【答案】D【解析】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，一共2510C =种，而相生的有5种，那么抽到的两种物质不相生的概率511102P =-=． 6．【答案】D【解析】由平行公理知①对，由线面垂直的性质定理知②对，由线面垂直及面面平行定理知③对，由面面垂直性质定理知④对． 7．【答案】C【解析】运行程序框图，2,25A k ==；5,312A k ==；12,4329A k ==>，输出1229A =． 8．【答案】B【解析】由题意知1=A ，由于741234T πππ=-=，故2T ππω==，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，由()(2sin 0)33f ππϕ=+=，求得3πϕ=，故()[()]()sin 2sin 236f x x x ππ=+=+，1()sin sin[2()]26πωω=-=-g x x x x ，故需将()g x 图像上所有点向左平移3π个单位长度得到()f x ．9．【答案】A【解析】展开式中22x y 项的系数是22228612()4202C C -=． 10．【答案】C【解析】如图，作直线20x y +=，当直线上移与圆22(1)1x y +-=相切时，2z x y =+取最大值，此时，圆心(0,1)到直线2z x y =+的间隔等于11，解得max 25z =+，当下移与圆224x y +=相切时，2x y +取最小值，同理25z -=，即min 25z =-，所以[25,25]z ∈-+．11．【答案】C【解析】如图，由题知AF BF ⊥，那么OA OB OF ==，点M 是线段AF 的中点，那么OM AF ⊥，故60AOM MOF ∠=∠=︒，那么tan 603ba=︒=，所以21(3)2e =+=．12．【答案】A【解析】()()=--+x f x e a e ma x ，那么()()1'=-+x f x e a e ，假设0e a -≥，可得()0'>f x ，函数()f x 为增函数，当x →+∞时，()→+∞f x ，不满足()0≤f x 对任意x R ∈恒成立；假设0e a -<，由()0'=f x ，得1xe a e =-，那么1ln x a e=-， ∴当1,ln()x a e ∈-∞-时，()0'>f x ，当,()1ln x a e∈+∞-时，()0'<f x ，∴1ln max111()ln ()ln 1ln()-==--+=--+---a e f x f e a e ma ma a e a e a e，假设()0≤f x 对任意x R ∈恒成立，那么11ln 0()ma a e a e--+≤>-恒成立，假设存在实数a ，使得11ln0ma a e--+≤-成立，那么11ln ma a e ≥-+-，∴1ln()()a e m a e a a -≥-->，令1ln()()a e F a a a-=--，那么222ln()1()ln()()()aa e a e a e ea e F a a a a a e ------'=-=-． ∴当2a e <时，()0F a '<，当2a e >时，()0F a '>，那么min 1()(2)F a F e e==-． ∴1m e ≥-．那么实数m 的取值范围是[)1,e-+∞．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．13．【答案】120︒或者23π【解析】∵点C 为线段AB 的中点，∴1()2OC OA OB =+， 22211(2)(14212cos )44OC OA OB O AO A OB B =++⋅=++⨯⨯⨯∠，解得1cos 2AOB ∠=-，∴120AOB ∠=︒． 14．【答案】48-【解析】因为123+=--n n a a ，所以112(1)++=-+n n a a ，因为1120a +=≠，所以数列{1}n a +是以2为首项，以2-为公比的等比数列，所以112(2)-+=⨯-n n a ，即12(21)--=⨯-n n a ，2(1(2))3n n S n =---，所以662(12)6483S =--=-．15．【答案】22(4)(4)5-+-=x y 【解析】24-+===-A B A BAB A B y y x x k x x ，(0,1)F ，:21=+AB l y x ，点D 到直线l 间隔最大时，圆D 的面积最大，令22'==xy ，解得4=x ，即(4,4)D 到直线l 间隔最大，此时5=d ，所以所求圆的HY 方程为22(4)(4)5-+-=x y ． 16．【答案】514【解析】设正三棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为R ，由题意知312=ah ，即4=ah ，底面外接圆半径32sin3π==a ar ，由球的截面圆性质知2224433=+≥=h ah R r ，当且仅当32=a h 时取等号，将三棱柱补成一四棱柱，如图，知11AC DB ∥，即1∠DB C 为异面直线1AC 与1B C 所成角或者补角，2211==+B C DB a h ，3=DC a ，所以2221222()35cos 2()14+-∠==+a h a DB C a h ．三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．17．【答案】〔1〕45A =︒；〔2〕125．【解析】∵1tan tan()B C A =-，∴sin cos()cos()cos sin()sin cos sin()B C A C A B C A B B C A -=⇒-=-- cos()0C A B ⇒-+=，即cos(1802)0A ︒-=．∴cos 20A =，0180A ︒<<︒，290A =︒，那么45A =︒．〔2〕∵1tan 2=B，∴sin B = ∵tan )1tan(4521tan C C C --︒==+，∴tan 3sin C C =-⇒=，由正弦定理4sin ==a A，可得=b=c ，所以1112csin 225===S b A ． 18．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕14．【解析】〔1〕∵AB BC CA ==，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥， ∵1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AAC C ⊥平面ABC ， ∴BD ⊥平面11AAC C ，∴BD AE ⊥．又∵在正方形11AAC C 中，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，易证得：1A AD ACE ≅△△，∴1A DA AEC ∠=∠，∵90AEC CAE ∠+∠=︒，∴190A DA CAE ∠+∠=︒，即1A D AE ⊥．又1A DBD D =，∴AE ⊥平面1A BD ，AE ⊂平面AEB ，所以平面AEB ⊥平面1A BD ．〔2〕取11AC 中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，(1,1,0)E -，3)B ，1(2,1,0)A ，3)DB =，(1,1,0)DE =-，1(2,1,3)BA =-，1(1,2,0)EA =，设平面DBE 的一个法向量为(,,)x y z m ，那么03000DB x y DE ⎧⋅==⎪⇒⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩m m ，令1x =，那么(1,1,0)=m ，设平面1BA E 的一个法向量为(,,)a b c =n ，那么110230200BA a b c a b EA ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩n n ，令1b =，那么(2,1,3)=-n ，设二面角1D BE A --的平面角为θ，观察可知θ为锐角，,1cos ,||||4<>==m n m n m n ，故二面角1D BE A --的余弦值为14． 19．【答案】〔1〕2212x y +=；〔2〕143222y x = 【解析】〔1〕依题意，得c b =，所以222a b c b =+=，所以椭圆C 为222212x y b b +=，将点代入，解得1b =，那么a =，所以椭圆的HY 方程为2212x y +=．〔2〕由题意知直线l 的斜率存在，设l 斜率为k ，(0,)P m 〔1m >〕，那么直线l 方程为y kx m =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 与圆O 1=，即221m k =+，联立直线与椭圆方程，消元得222(12)4220k x kmx m +++-=，00Δk >⇒≠，122412km x x k +=-+，2212222221212m k x x k k -==++，因为PA AB =，所以212x x =，即1243(12)km x k =-+，221212k x k =+，所以221619(12)m k =+，解得272k =，即k m ==，所求直线方程为y x =+20．【答案】〔1〕220；〔2〕见解析．【解析】〔1〕按调整前起征点应缴纳个税为：15003%250010%295⨯+⨯=元，调整后应纳税：25003%75⨯=元，比拟两纳税情况，可知调整后少交个税220元，即个人的实际收入增加了220元．〔2〕由题意，知[3000,5000)组抽取3人，[5000,7000)组抽取4人，当2x y ==时，0X =，当1,3x y ==或者3,1x y ==时，2X =，当0,4x y ==时，4X =，所以X 的所有取值为：0,2,4，22344718(0)35C C P X C ===，133134344716(2)35C C C C P X C +===， 0434471(4)35C C P X C ===，所求分布列为1816136()024********E X =⨯+⨯+⨯=． 21．【答案】〔1〕(,0]{2}-∞；〔2〕[0,)+∞．【解析】〔1〕2()ln 1f x x a x =--，22()2a x af x x x x-'=-=．①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增，因为(1)0f =，所以()f x 有唯一零点，即0a ≤符合题意； ②当0a >时，令()0f x '=，解得2ax =，列表如下：由表可知，min ()(2af x f =，函数()f x 在2a 上递减，在()2a +∞上递增．〔i 12a=，即2a =时，min ()(1)0f x f ==，所以2a =符合题意；〔ii 12a <，即02a <<时，(1)02af f <=，因为122()110aaaf eee---=+-=>，11ae-<，故存在11(2ax e a-∈，使得1()(1)0f x f ==，所以02a <<不符题意；〔iii1>，即2a >时，(1)0f f <=，因为2(1)(1)ln(1)1(2ln(1))f a a a a a a a -=----=---，设11a t -=>，2ln(1)1ln ()a a t t h t ---=--=，那么1()10h t t'=->，所以()h t 单调递增，即()(1)0h t h >=，所以(1)0f a ->，所以1a ->，故存在21)x a ∈-，使得2()(1)0f x f ==，所以2a >不符题意；综上，a 的取值范围为(,0]{2}-∞．〔2〕()ln x g x a x e ex =+-，那么()x a g x e e x '=+-，2()x ag x e x''=-，[1,)x ∈+∞． ①当0a ≥时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以()(1)0g x g ≥=，即0a ≥符合题意；②当0a <时，()0g x ''>恒成立，所以()g x '单调递增，又因为(1)0g a '=<，(1ln())(ln())0ln()ln()a a e a g e a a e a e a --'-=-=>--，所以存在0(1,ln())x e a ∈-，使得0()0g x '=，且当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，即()g x 在0(1,)x 上单调递减，所以0()(1)0g x g <=，即0a <不符题意．综上，a 的取值范围为[0,)+∞．22．【答案】〔1〕221(3)169x y y +=≠-，:6l x y -=；〔2d ≤≤ 【解析】〔1〕222241:131x k k C y kk ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，平方后得221169x y +=，又263(3,3]1y k =-+∈-+，C 的普通方程为221(3)169x y y +=≠-．cos()4πρθ+=cos sin 6ρθρθ-=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到:6l x y -=．〔2〕将曲线C 化成参数方程形式为4cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩〔α为参数〕，那么d 3tan 4ϕ=，d ≤≤23．【答案】〔1〕712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；〔2〕[3,)+∞．【答案】〔1〕当4a =时，145,21()3,2245,2x x f x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，所以()9f x >的解集为712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或．〔2〕()21221(2)1f x x x a x x a a =-+-≥---=-，由()5f x a ≥-恒成立，有15a a -≥-，当5a ≥时不等式恒成立，当5a <时，由221(5)a a -≥-得35a ≤<，综上，a 的取值范围是[3,)+∞．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

2021届高三入学调研试卷理科数学(一) (含解析)

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 的实部与虚部分别为1-，2，则2z =（） A ．34i --B ．34i -+C ．34i +D ．34i -2．设集合2{|4}A x x =<，{|2,}xB y y x ==∈R ，则A B =（）A ．(2,2)-B ．(0,2)C ．(2,)+∞D ．(,2)(2,)-∞-+∞3．若函数()lg()f x x a =+的图象经过抛物线28y x =的焦点，则a =（）A ．1B ．0C ．1-D ．2-4．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60︒，则下列向量是单位向量的是（） A ．+a bB ．12-a b C ．12+a b D ．-a b5．ABC △的内角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2B C =，则b =（） A ．cos c CB ．cos c AC ．2cos c CD ．2cos c A6．设x ，y 满足约束条件2602x y x y x+-≤⎧⎨≤≤⎩，则z x y =+的取值范围为（）A ．[90,]2B ．[94,]2C ．[0,4]D ．[4,)+∞7．设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的两位数，将组成a 的2个数字按从小到大排成的两位数记为()I a ，按从大到小排成的两位数记为()D a (例如75a =，则()57I a =，()75D a =)，执行如图所示的程序框图，若输入的51a =，则输出的b =（）A ．30B ．35C ．40D ．458．已知2211()11x x f x x --=++，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为（） A ．y x =-B ．y x =C ．2y x =D ．2y x =-9．sin cos()6πx x -+=（）A ．11sin(224π)6x +- B ．11sin(224π)6x -+ C ．11sin(222π)3x -+ D ．13sin(22π)3x +- 10．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（） A ．160359B ．289359C ．1191077D ．958107711．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为侧棱1DD 上一点，1AB =，12AA =，且异面直线DB 与1C E 所成角的余弦值为26，则DE =（） A ．12B ．23C ．1D ．3212．设F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若FOH △的内切圆与x 轴切于点B ，且2BF OB =，则C 的离心率为（）A ．3174+ B．4174+ C ．33178+ D ．33174+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．6()3y x -的展开式中5x y 的系数为．14．已知函数()sin f x x =，若()()f a x f a x +=-，0πa <<，则a = ．15．如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，且圆锥的体积与半球的体积相等，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为．16．已知函数22(()log )f x x a x =+-是R 上的奇函数，函数()|2 |g x m x a =--，若()()f xg x ≤对3[,2]4x ∈-恒成立，则m 的取值范围为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，1(2)n n a a d n -=+≥，其中d 是不为0的常数，且1a ，2a ，6a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若55m S m =，求m ．18．（12分）下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位：罐)的雷达图．（1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销量更好；（2）从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的活动，中奖率为0.1，中奖可获得1元的红包，以雷达图中一周的销量代替每周的销量． ①活动期间，一位顾客买了3罐百事可乐，他恰好获得2元红包的概率； ②在这连续三周的活动中，求该超市需要投入红包总金额的数学期望．19．（12分）在直角坐标系xOy 中，已知(1,2)P x y -，(1,2)Q x y +，且3OP OQ ⋅=，记动点(,)M x y 的轨迹为Ω．（1）求Ω的方程；（2）若过点(1,0)N 的直线l 与Ω交于A ，B 两点，且2BN NA =，求直线l 的斜率．20．（12分）如图，在四面体ABCD 中，AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，2AB BC AC ==，且4AD BC +=．（1）证明：BC ⊥平面ABD ；（2）设E 为棱AC 的中点，当四面体ABCD 的体积取得最大值时，求二面角C BD E --的余弦值．21．（12分）已知函数2()(2)ln f x a x ax x =++-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在(0,)a 上存在最大值()P a ，证明：234ln 2()42p a a a <<+-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线C 与曲线D 关于极点对称．（1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线D 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线D 上一动点，记P 到直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|1||2|f x x x =-++，且不等式()f x k <的解集为{|3}x x a -<<．（1）求k ，a ；（2）若m n k +=，证明：()()12f m f n +≥．2021届高三入学调研试卷理科数学（一）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】∵12i z =-+，∴2144i 34i z =--=--． 2．【答案】B【解析】∵(2,2)A =-，(0,)B =+∞，∴(0,2)A B =．3．【答案】C【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为(2,0)，则(2)lg(2)0f a =+=，即21a +=，解得1a =-． 4．【答案】D【解析】由平面向量的减法可得-a b 的模为1，则-a b 是单位向量． 5．【答案】C【解析】∵2B C =，∴sin sin22sin cos B C C C ==，∴2cos b c C =． 6．【答案】A【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线z x y =+过点(0,0)时，z 取得最小值0；直线z x y =+过点3(,3)2时，z 取得最大值92，故9[0,]2z ∈．7．【答案】D【解析】51a =，511536b =-=；36a =，633627b =-=；27a =，722745b =-=， ∵45为5的倍数，∴输出的45b =．8．【答案】C【解析】令11x t x -=+，则11t x t -=+，22211()21()111()1t t t f t t t t--+==-+++， ∵2222)))(11((t f t t -'=+，∴(0)2f '=， ∵(0)0f =，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =． 9．【答案】B【解析】31sin cos()sin cos()sin (cos sin )6π6π2x x x x x x x -+=-=+ 3111sin 2(1cos 2)sin(2)42π464x x x =+-=-+． 10．【答案】D【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为x ，y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095817C C 107-=．11．【答案】A【解析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，1(0,1,2)C ，则(1,1,0)DB =，设(02)DE t t =<≤，则1(0,1,2)C E t =--，从而1226,|||21(|s 2)co DB C E t 〉==+-〈， ∵02t <≤，∴12t =． 12．【答案】C【解析】∵F 到渐近线的距离为||FH b =，∴22||OH c b a =-=，则FOH △的内切圆的半径2a b cr +-=，设FOH △的内切圆与FH 切于点M ，则||2a b cMH r +-==， ∵2BF OB =，∴2||||3FM BF c ==，∴2||||||32a b c BF MH c FH b +-+=+==，即33b a c =+，则22222)99(69b c a c ac a =-=++，∴24390e e --=，∵1e >，∴3317e +=．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】2- 【解析】6()3y x -的展开式中5x y 的系数为161C ()23-=-． 14．【答案】π2【解析】∵()()f a x f a x +=-，∴()f x 的图象关于直线x a =对称，又()sin f x x =，且0πa <<，∴π2a =． 15．【答案】2【解析】设该圆锥的半径与高分别为r ，h ，则32141ππ233r r h ⨯=，即2h r =，该圆锥的母线与底面所成角的正切值为2hr=． 16．【答案】[7,)2+∞【解析】由22(()log )f x x a x =+-是R 上的奇函数，得2(0)log ()0f a ==，则1a =，因为2222()log 1)log 1(f x x x x x=+-=++在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 是R 上的减函数，作出()f x 与()g x 的图象，如图所示，由图可知33()()44(2)(2)f g f g ⎧-≤-⎪⎨⎪≤⎩，即2512log (52)3m m ⎧≤-⎪⎨⎪-≤-⎩，则72m ≥．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）32n a n =-；（2）37m =．【解析】（1）∵1(2)n n a a d n -=+≥，∴数列{}n a 是公差为d 的等差数列， ∵37a =，∴172a d =-，27a d =-，673a d =+， ∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴2(72)(73)(7)d d d -+=-， ∴23d d =，∴3d =或0d =，∵0d ≠，∴3d =，7(3)332n a n n =+-⨯=-．（2）∵1(552)m m m a a S m +==，∴1110m a a +=，即32109m -=，∴37m =． 18．【答案】（1）百事可乐销量的平均数为9607，可口可乐销量的平均数为9407，百事可乐的销量更好；（2）①0.027；②570元．【解析】（1）百事可乐销量的平均数为110012012014016014018096077x ++++++==，可口可乐销量的平均数为28012010014018014018094077x ++++++==，∵12x x >，∴百事可乐的销量更好．（2）①他恰好获得2元红包说明他有两次中奖一次未中奖，故所求的概率为2230.1(10.1C )0.027⨯-=．②连续三周该超市罐装可乐（仅限百事可乐或可口可乐）的销量为(960940)3190035700+⨯=⨯=罐，记连续三周顾客中奖总次数为X ，则(5700,0.1)XB ，则57000.1570EX =⨯=，故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为5701570⨯=元．19．【答案】（1）2214x y +=；（2）15k =±．【解析】（1）∵3OP OQ ⋅=，∴2(1)(1)43x x y -++=，∴2244x y +=，即2214xy +=，此即为Ω的方程．（2）设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-，当0k =时，3BN NA =或13BN NA =，不合题意；当0k ≠时，由22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得222(1420)3k y ky k ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122214ky y k +=-+，2122314k y y k =-+，∵2BN NA =，22(1,)BN x y =--，11()1,NA x y =-，∴212y y =-，∴1212214k y y y k+=-=-+，22123214k y k -=-+， ∵10y ≠，∴2512k =，∴15k =±．20．【答案】（1）证明见解析；（2）30．【解析】（1）证明：因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD 平面ABC AB =，AD ⊂平面ABD ，∴AD ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥，因为22AB BC AC ==，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，因为ADAB A =，所以BC ⊥平面ABD ．（2）设(04)AD x x =<<，则4AB BC x ==-，四面体ABCD 的体积232111()(4)(816)(04)326V f x x x x x x x ==⨯-=-+<<， 211()(31616)(4)(34)66f x x x x x '=-+=--，当403x <<时，()0f x '>，()V f x =单调递增；当443x <<时，()0f x '<，()V f x =单调递减，故当43AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值，以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，8(0,,0)3A ，8(,0,0)3C ，84(0,,)33D ，44(,,0)33E ，设平面BCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则00BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即80384033x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令2z =-，得(0,1,2)=-n ，同理，平面BDE 的法向量为(1,1,2)=-m ，cos,6〈〉==-m n，由图可知，二面角C BD E--为锐角，故二面角C BD E--的余弦值为6．21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）2(1)(22)()2(0)a x x af x a x xx x++--'=+-=->，当2a≤-时，()0f x'<，()f x在(0,)+∞上单调递减；当2a>-时，由()0f x'>，得22ax+<<，()f x在(20,)2a+上单调递增；由()0f x'<，得22ax+>，()f x在2,)2(a++∞上单调递减．（2）易知0a>，当02a<≤时，22aa+≥，由（1）知，()f x在(0,)a上单调递增，此时()f x在(0,)a上不存在最大值，当2a>时，()f x在(20,)2a+上单调递增，在(2,)2aa+上单调递减，则22m x22(2)224()()(2)ln()(2)ln222224aa a a a a a af x f a a+++++-==++-=++，故224()(2)ln(2)24a ap a a a+-=++>，设224()(2)ln(2)24x xg x x x+-=++>，2()1ln22x xg x+'=++，∵2x>，∴()0g x'>，∴()g x在(2,)+∞上单调递增，∴()(2)4ln2g x g>=，即()4ln2p a>，∵2314(34)(2)22a a a a+-=-+，且2a>，∴要证：23()42p a a a<+-，只需证2234ln242a a a+--+<，即证256ln024a a+--<，设256()ln(2)24x xh x x+-=->，则15()024h xx'=-<+，则()h x在(2,)+∞上单调递减，从而()(2)ln210h x h<=-<，即256ln024a a+--<，则23()42p a a a<+-，从而234ln2()42p a a a<<+-．22．【答案】（1）22(2)4x y++=；（2）7-【解析】（1）∵4cosρθ=，∴24cosρρθ=，∴224x y x+=，即22(2)4x y-+=，∴曲线D的直角坐标方程为22(2)4x y++=．（2）由（1）可设(22cos,2sin)Pαα-+，[0,2π)α∈，直线sin3ρθ=-与直线cos2ρθ=的直角坐标方程分别为3y=-，2x=，从而12sin3dα=+，22(22cos)42cosdαα=--+=-，122sin342cos7)π(4d dααα+=++-=+-，故12d d+的最小值为7-23．【答案】（1）5k=，2a=；（2）证明见解析．【解析】（1）当2x≤-时，由()21f x x k=--<，得12kx+>-，因为不等式()f x k<的解集为{|3}x x a-<<，所以132k+-=-，解得5k=，当1x≥时，由() 2 15f x x=+<，得2x<，所以2a=，经检验5k=，2a=满足题意．（2）证明：因为|1||2||12||21|m m m m m-++≥-++=+，所以()|21|f m m≥+，同理()|21|f n n≥+，因为5m n k+==，所以()()|21||21||2121||2()2|12f m f n m n m n m n+≥+++≥+++=++=．。

2021年高三上学期调研(一)数学(理)试卷含解析

2021年高三上学期调研（一）数学（理）试卷含解析一、填空题1．已知复数z=，则该复数的虚部为．2．已知集合A={1，3，m+1}，B={1，m}，A∪B=A，则m= ．3．已知=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣），则实数λ= ．4．已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且cosα=﹣，则x= ．5．函数函数y=是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则整数a的取值为．6．若命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”是假命题，则实数m的取值范围是．7．若实数x，y满足，则z=x2+y2的取值范围是．8．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π，则f（x）的单调递增区间是．9．已知奇函数f（x）=，则g（﹣3）的值为．10．曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，其中m，n，c∈R，则m+n+c的值为．11．已知f（x）=log4（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=1，则m+n的最小值是．12．若点P是△ABC的外心，且，∠C=60°，则实数λ= ．13．已知定义在（0，）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x∈（0，），都有f′（x）sinx＜f（x）cosx，则不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为．14．已知函数f（x）的定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=|x﹣a2|+|x﹣3a2|﹣4a2．若对任意x∈R，f（x）≤f（x+2），则实数a的取值范围为．二、解答题15．若△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c（1）若sin（A+）=，求sin（2A﹣）的值；（2）cosA=，b=3c，求sinC的值．16．在△ABC中，已知P为线段AB上的一点，=3．（1）若=x+y，求x，y的值；（2）已知||=4，||=2，且•=﹣9，求与的夹角．17．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．18．设f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=（1）当x＜0时，求f（x）的解析式．（2）设函数在区间[﹣4，4]上的最大值为g（a）的表达式．19．某公司为了公司周年庆典，现将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高为8+8m，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行装饰，有两种方法：（1）如图1，设柱子CD与墙面AB相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，形成一个直线型的灯带（图1中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？（2）如图2，设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，再将灯带拉直依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的灯带（图2中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x+a．（1）当a=0时，求函数y=f（x）•g（x）的单调区间；（2）当a∈R且|a|≥1时，讨论函数F（x）=的极值点个数．xx学年江苏省南通市如皋中学高三（上）调研数学试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、填空题1．已知复数z=，则该复数的虚部为 1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数z====i+1，其虚部为：1．故答案为：1．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．2．已知集合A={1，3，m+1}，B={1，m}，A∪B=A，则m= 3 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由两集合的并集为A，得到B为A的子集，可得出m=3或m=m+1，即可求出m的值．解答：解：∵A∪B=A，∴B⊆A，∴m=3或m=m+1，解得：m=3．故答案为：3．点评：此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型．3．已知=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣），则实数λ= 9 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由于向量的模的公式和数量积的坐标表示，求出向量a，b的模和数量积，再由由（+λ）⊥（﹣），则（+λ）•（﹣）=0，即有2﹣2+（λ﹣1）=0，代入即可得到答案．解答：解：由于=（3，3），=（1，﹣1），则||=3，||=，=3﹣3=0，由（+λ）⊥（﹣），则（+λ）•（﹣）=0，即有2﹣2+（λ﹣1）=0，即有18﹣2λ=0，解得λ=9．故答案为：9．点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查两向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．4．已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且cosα=﹣，则x= ﹣8 ．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义求得x的值．解答：解：由题意可得cosα=﹣=，求得x=﹣8，故答案为：﹣8．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5．函数函数y=是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则整数a的取值为 1 ．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由题设条件知a2﹣2a﹣3＜0，且为偶数，由（a+1）（a﹣3）＜0，得﹣1＜a＜3，所以，a的值为1．解答：解：根据题意，则a2﹣2a﹣3＜0，且为偶数，由（a+1）（a﹣3）＜0，得﹣1＜a＜3，所以，a的值为1．故答案为：1．点评：本题考查函数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意偶函数的灵活运用．6．若命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”是假命题，则实数m的取值范围是[4，+∞）．考点：特称命题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：本题先利用原命题是假命题，则命题的否定是真命题，得到一个恒成立问题，再利用函数图象的特征得到一元二次方程根的判别式小于或等于0，解不等式，得到本题结论．解答：解：∵命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”，∴命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”的否定是“∀x∈R，使得x2+4x+m≥0”．∵命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使得x2+4x+m≥0”是真命题．∴方程x2+4x+m=0根的判别式：△=42﹣4m≤0．∴m≥4．故答案为：[4，+∞）．点评：本题考查了命题的否定、二次函数的图象，本题难度不大，属于基础题．7．若实数x，y满足，则z=x2+y2的取值范围是．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用x2+y2的几何意义求最值．解答：解：设z=x2+y2，则z的几何意义为动点P（x，y）到原点距离的平方．作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知点A（3，4）到原点的距离最大，最大值为：5．原点到直线X+y=1的距离最小，最小值所以z=x2+y2的最大值为z=25．最小值为．x2+y2的取值范围是．故答案为：点评：本题主要考查点到直线的距离公式，以及简单线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决线性规划内容的基本方法，利用数形结合是解决本题的关键．8．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π，则f（x）的单调递增区间是[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z ．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π等于半个周期，从而可求ω，确定函数的解析式，根据三角函数的图象和性质即可求出f（x）的单调递增区间解答：解：函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π=故函数的最小正周期T=2π，又∵ω＞0∴ω=1故f（x）=2sin（x+），由2k⇒﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z故答案为：[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z点评：本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象和性质，属于中档题．9．已知奇函数f（x）=，则g（﹣3）的值为﹣7 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知条件利用奇函数的性质得f（0）=1+a=0，解得a=﹣1，从而g（﹣3）=﹣f （3）=﹣23+1=﹣7．解答：解：∵奇函数f（x）=，∴f（0）=1+a=0，解得a=﹣1，∴g（﹣3）=﹣f（3）=﹣23+1=﹣7．故答案为：7．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10．曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，其中m，n，c∈R，则m+n+c 的值为 5 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可得到结论．解答：解：∵曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，∴n=2+1=3，函数的f（x）的导数f′（x）=3x2+m，且f′（1）=3+m=2，解得m=﹣1，切点P（1，3）在曲线上，则1﹣1+c=3，解得c=3，故m+n+c=﹣1+3+3=5，故答案为：5点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键．11．已知f（x）=log4（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=1，则m+n的最小值是3+2 ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质可得：＞2，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵f（m）+f（2n）=1，∴log4（m﹣2）+log4（2n﹣2）=1，且m＞2，n＞1．化为（m﹣2）（2n﹣2）=4，即mn=2n+m．∴＞2，∴m+n=n+=n﹣1++3≥+3=2+3，当且仅当n=1+，m=2+时取等号．∴m+n的最小值是3+2．故答案为：3+2．点评：本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．12．若点P是△ABC的外心，且，∠C=60°，则实数λ= 1 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，利用点P是△ABC的外心，∠C=60°得出|+||+2||•||COS∠APB=λ2||，从而求出λ的值．解答：解：如图示：，∵，∴+=﹣λ，∴=λ2，∴||+||+2||•||COS∠APB=λ2||，又∵点P是△ABC的外心，∠C=60°，∴||=||=||=R，∠APB=120°，∴R2+R2+2•R•R•（﹣）=λ2R2，∴λ2=1，∵，∴λ=1，故答案为：1．点评：本题考查了向量的运算和三角形外心的性质等基础知识与基本方法，属于基础题．13．（3分）（xx秋•如皋市校级月考）已知定义在（0，）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x∈（0，），都有f′（x）sinx＜f（x）cosx，则不等式f（x）＜2f（）sinx 的解集为（，）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：根据条件，构造函数g（x）=，求函数的导数，利用导数即可求出不等式的解集．解答：解：由f′（x）sinx＜f（x）cosx，则f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，构造函数g（x）=，则g′（x）=，当x∈（0，）时，g′（x）=＜0，即函数g（x）在（0，）上单调递减，则不等式式f（x）＜2f（）sinx等价为式＜=，即g（x）＜g（），则＜x＜，故不等式的解集为（，），故答案为：（，）点评：本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．14．已知函数f（x）的定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=|x﹣a2|+|x﹣3a2|﹣4a2．若对任意x∈R，f（x）≤f（x+2），则实数a的取值范围为．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：通过对x与a的关系分类讨论，画出图象，路其周期性即可得出．解答：解：∵当x＞0时，f（x）=|x﹣a2|+|x﹣3a2|﹣4a2．∴当0＜x≤a2时，f（x）=a2﹣x+3a2﹣x﹣4a2=﹣2x；当a2＜x≤3a2时，f（x）=x﹣a2+3a2﹣x﹣4a2=﹣2a2；当x＞3a2时，f（x）=x﹣a2+x﹣3a2﹣4a2=2x﹣8a2．画出其图象如下：由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象，与x＞0时的图象关于原点对称．∵∀x∈R，f（x+2）≥f（x），∴8a2≤2，解得a∈[﹣12，12]．点评：本题考查了函数的奇偶性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题15．若△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c（1）若sin（A+）=，求sin（2A﹣）的值；（2）cosA=，b=3c，求sinC的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（1）由sin（A+）的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos（2A+）的值，再利用诱导公式即可求出所求式子的值；（2）利用余弦定理列出关系式，把cosA，b=3c代入表示出a，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出sinC的值即可．解答：解：（1）∵sin（A+）=，∴cos（2A+）=1﹣2sin2（A+）=，则sin（2A﹣）=sin（2A+﹣）=﹣cos（2A+）=﹣；（2）∵cosA=，b=3c，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9c2+c2﹣2c2=8c2，∴a2+c2=b2，即B为直角，则sinC==．点评：此题考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．在△ABC中，已知P为线段AB上的一点，=3．（1）若=x+y，求x，y的值；（2）已知||=4，||=2，且•=﹣9，求与的夹角．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：（1）据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，结合已知条件以及平面向量基本定理求出x，y的值．（2）由条件利用向量数量积的定义求得cosθ的值，可得与的夹角θ的值．解答：解：（1）∵=3，由题意可得 =+=+=+（﹣）=+，再根据=x+y，∴x=，y=．（2）∵已知||=4，||=2，且•=﹣9=4×2×cosθ（θ为与的夹角），∴cosθ=，可得θ=60°，即求与的夹角为60°．点评：本题考查向量的加法、减法的运算法则，两个向量的数量积的定义及其运算律，根据三角函数的值求角，属于基础题．17．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．考点：一元二次不等式的解法．专题：分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（1）根据不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集与对应方程之间的关系，求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集来．解答：解：（1）∵不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集为，∴方程（ax﹣1）（x+1）=0的两根是﹣1，﹣；∴﹣a﹣1=0，∴a=﹣2；（2）∵（ax﹣1）（x+1）＞0，∴a＜0时，不等式可化为（x﹣）（x+1）＜0；若a＜﹣1，则＞﹣1，解得﹣1＜x＜；若a=﹣1，则=﹣1，解得不等式为∅；若﹣1＜a＜0，则＜﹣1，解得＜x＜﹣1；a=0时，不等式为﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1；当a＞0时，不等式为（x﹣）（x+1）＞0，∵＞﹣1，∴解不等式得x＜﹣1或x＞；综上，a＜﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜}；a=﹣1时，不等式的解集为∅；﹣1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜﹣1}；a=0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞}．点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论思想，是中档题．18．设f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=（1）当x＜0时，求f（x）的解析式．（2）设函数在区间[﹣4，4]上的最大值为g（a）的表达式．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）设﹣3≤x＜0、x＜﹣3，利用已知函数的解析式，即可求得结论；（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[﹣4，4]上的最大值即为它在区间[0，4]上的最大值，分类讨论，即可求得结论；解答：解：（1）令x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）=，（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[﹣4，4]上的最大值即为它在区间[0，4]上的最大值，而函数f（x）恒过点（2，0），当a≤2时，f（x）在[0，1]和[2，4]上单调递增，在[1，2]上单调递减，如图所示故x∈[0，2]上的最大值为f（1）=1，在（2，4]上的最大值为f（4）=8﹣2a，当f（4）≥f（1）时，即8﹣2a≥1时，解得a≤，函数的最大值为f（4），当a＞2时，f（x）在[0，1]和[，4]上单调递增，在[1，]上单调递减，如图所示故x∈[0，2]上的最大值为f（1）=1，在（2，4]上的最大值为f（4）=8﹣2a，当f（4）≥f（1）时，即8﹣2a≥1时，解得2＜a≤，函数的最大值为f（4），当f（4）＜f（1）时，即8﹣2a＜1时，解得a＞，函数的最大值为f（1），综上所述g（a）=点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19．某公司为了公司周年庆典，现将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高为8+8m，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行装饰，有两种方法：（1）如图1，设柱子CD与墙面AB相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，形成一个直线型的灯带（图1中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？（2）如图2，设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，再将灯带拉直依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的灯带（图2中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？考点：解三角形的实际应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）过C作CM⊥AB于点M，在△CFD中和△CME中，分别用θ表示出CF和CE，即可列出l与θ的关系式，利用导数求出函数的最值，即可求得答案；（2）求出灯带长L，求导数，即可求得答案．解答：解：（1））设∠EFD=θ，EF=l，过C作CM⊥AB于点M，在△CFD中，CF=，在△CME中，CE=，∴l=+，θ∈（0，α]，其中α是锐角且tanα=8．∴l′=﹣+=0，可得tanθ=2此时BE=10米时，钢丝绳最短；（2）在△CFD中，CF=，FD=，在△CME中，CE=，EM=8tanθ∴灯带长L=+++8tanθ+16，θ∈（0，α]，其中α是锐角且tanα=8．∴L′=0，可得tanθ=1此时BE=16米时，钢丝绳最短．点评：本题考查了函数在生产生活中应用，关键是寻找到合适的变量建立数学模型，利用数学的相关知识求解函数的最值．本题主要是应用函数的导数求解函数的最值，导数是求函数最值的通法．属于中档题．20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x+a．（1）当a=0时，求函数y=f（x）•g（x）的单调区间；（2）当a∈R且|a|≥1时，讨论函数F（x）=的极值点个数．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）当a=0时，y=f（x）•g（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），求导y'=lnx+x=lnx+1，由导数的正负确定函数的单调区间；（2）化简F（x）==（x＞0且x≠1），求导并令导数为0，化为函数y=xlnx有相同的函数值时，自变量分别为x+a，x；由（1）可得|a|＜1，故不成立，故当|a|≥1时，函数F（x）无极值点．解答：解：（1）当a=0时，y=f（x）•g（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），y'=lnx+x=lnx+1，又∵当x=时，y'=0，则函数y=f（x）•g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；（2）F（x）==（x＞0且x≠1），则令F'（x）==0，即，即（x+a）ln（x+a）﹣xlnx=0，若方程有解，可化为函数y=xlnx有相同的函数值时，自变量分别为x+a，x；由（1）知，y=xlnx在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；故在（0，）上，y＜0，在（，1）上，y＜0，在（1，+∞）上，y＞0，故|x+a﹣x|=|a|＜1，则方程也解，即不存在x，使F'（x）=0成立；即，当|a|≥1时，函数F（x）无极值点．点评：本题考查了导数的综合应用，导数的正负可判断函数的单调性，可导时，存在零点的必要条件是导数为0；从而判断零点的个数，属于难题．37605 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2021届高三第一学期入学调研试卷理科数学（1）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 的实部与虚部分别为1-，2，则2z =（） A ．34i --B ．34i -+C ．34i +D ．34i -2．设集合2{|4}A x x =<，{|2,}xB y y x ==∈R ，则A B =（）A ．(2,2)-B ．(0,2)C ．(2,)+∞D ．(,2)(2,)-∞-+∞3．若函数()lg()f x x a =+的图象经过抛物线28y x =的焦点，则a =（）A ．1B ．0C ．1-D ．2-4．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60︒，则下列向量是单位向量的是（） A ．+a bB ．12-a b C ．12+a b D ．-a b5．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2B C =，则b =（） A ．cos c CB ．cos c AC ．2cos c CD ．2cos c A6．设x ，y 满足约束条件2602x y x y x+-≤⎧⎨≤≤⎩，则z x y =+的取值范围为（）A ．[90,]2B ．[94,]2C ．[0,4]D ．[4,)+∞a 0a 2的两位数记为()I a ，按从大到小排成的两位数记为()D a (例如75a =，则()57I a =，()75D a =)，执行如图所示的程序框图，若输入的51a =，则输出的b =（）A ．30B ．35C ．40D ．458．已知2211()11x x f x x--=++，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为（） A ．y x =-B ．y x =C ．2y x =D ．2y x =-9．sin cos()6πx x -+=（）A ．11sin(224π)6x +- B ．11sin(224π)6x -+ C ．11sin(222π)3x -+ D ．13sin(224π)3x +- 10．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（） A ．160359B ．289359C ．1191077D ．958107711．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为侧棱1DD 上一点，1AB =，12AA =，且异面直线DB 与1C E 26，则DE =（） A ．12B ．23C ．1D ．3212．设F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若FOH △的内切圆与x 轴切于点B ，且2BF OB =，则C 的离心率为（）A ．3174+ B ．4174+ C ．33178+ D ．33174+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．6()3y x -的展开式中5x y 的系数为．14．已知函数()sin f x x =，若()()f a x f a x +=-，0πa <<，则a = ．15．如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，且圆锥的体积与半球的体积相等，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为．16．已知函数22(()log )f x x a x =+是R 上的奇函数，函数()|2 |g x m x a =--，若()()f x g x ≤对3[,2]4x ∈-恒成立，则m 的取值范围为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，1(2)n n a a d n -=+≥，其中d 是不为0的常数，且1a ，2a ，6a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若55m S m ，求m ．18．（12分）下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位：罐)的雷达图．（1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销量更好；（2）从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的活动，中奖率为0.1，中奖可获得1元的红包，以雷达图中一周的销量代替每周的销量． ①活动期间，一位顾客买了3罐百事可乐，他恰好获得2元红包的概率； ②在这连续三周的活动中，求该超市需要投入红包总金额的数学期望．19．（12分）在直角坐标系xOy 中，已知(1,2)P x y -，(1,2)Q x y +，且3OP OQ ⋅=，记动点(,)M x y 的轨迹为Ω．（1）求Ω的方程；（2）若过点(1,0)N 的直线l 与Ω交于A ，B 两点，且2BN NA =，求直线l 的斜率．20．（12分）如图，在四面体ABCD 中，AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，22AB BC AC ==，且4AD BC +=．（1）证明：BC ⊥平面ABD ；（2）设E 为棱AC 的中点，当四面体ABCD 的体积取得最大值时，求二面角C BD E --的余弦值．21．（12分）已知函数2()(2)ln f x a x ax x =++-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在(0,)a 上存在最大值()P a ，证明：234ln 2()42p a a a <<+-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线C 与曲线D 关于极点对称．（1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线D 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线D 上一动点，记P 到直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|1||2|f x x x =-++，且不等式()f x k <的解集为{|3}x x a -<<．（1）求k ，a ；（2）若m n k +=，证明：()()12f m f n +≥．2021届高三入学调研试卷理科数学（一）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】∵12i z =-+，∴2144i 34i z =--=--． 2．【答案】B【解析】∵(2,2)A =-，(0,)B =+∞，∴(0,2)A B =．3．【答案】C【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为(2,0)，则(2)lg(2)0f a =+=，即21a +=，解得1a =-． 4．【答案】D【解析】由平面向量的减法可得-a b 的模为1，则-a b 是单位向量． 5．【答案】C【解析】∵2B C =，∴sin sin22sin cos B C C C ==，∴2cos b c C =． 6．【答案】A【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线z x y =+过点(0,0)时，z 取得最小值0；直线z x y =+过点3(,3)2时，z 取得最大值92，故9[0,]2z ∈．7．【答案】D【解析】51a =，511536b =-=；36a =，633627b =-=；27a =，722745b =-=， ∵45为5的倍数，∴输出的45b =． 8．【答案】C【解析】令11x t x -=+，则11t x t -=+，22211()21()111()1t t t f t t t t--+==-+++， ∵2222)))(11((t f t t -'=+，∴(0)2f '=，∵(0)0f =，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =． 9．【答案】B【解析】31sin cos()sin cos()sin (sin )62π6π2x x x x x x x -+=-=+ 31112(1cos 2)sin(2)2π464x x x =+-=-+． 10．【答案】D【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为x ，y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095817C C 107-=．11．【答案】A【解析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，1(0,1,2)C ，则(1,1,0)DB =，设(02)DE t t =<≤，则1(0,1,2)C E t =--，从而1226,|21(|s 2)co DB C E t 〉==+-〈 ∵02t <≤，∴12t =． 12．【答案】C【解析】∵F 到渐近线的距离为||FH b =，∴22||OH c b a =-=，则FOH △的内切圆的半径2a b cr +-=，设FOH △的内切圆与FH 切于点M ，则||2a b cMH r +-==， ∵2BF OB =，∴2||||3FM BF c ==，∴2||||||32a b c BF MH c FH b +-+=+==，即33b a c =+，则22222)99(69b c a c ac a =-=++，∴24390e e --=，∵1e >，∴3317e +=第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】2-【解析】6()3yx -的展开式中5x y 的系数为161C()23-=-．14．【答案】π2【解析】∵()()f a x f a x +=-，∴()f x 的图象关于直线x a =对称，又()sin f x x =，且0πa <<，∴π2a =． 15．【答案】2【解析】设该圆锥的半径与高分别为r ，h ，则32141ππ233r r h ⨯=，即2h r =，该圆锥的母线与底面所成角的正切值为2hr=． 16．【答案】[7,)2+∞【解析】由22(()log )f x x a x =+-是R 上的奇函数，得2(0)log ()0f a ==，则1a =，因为2222()log 1)log 1(f x x x x x=+-=++在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 是R 上的减函数，作出()f x 与()g x 的图象，如图所示，由图可知33()()44(2)(2)f g f g ⎧-≤-⎪⎨⎪≤⎩，即2512log (52)3m m ⎧≤-⎪⎨⎪-≤-⎩，则72m ≥．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）32n a n =-；（2）37m =．【解析】（1）∵1(2)n n a a d n -=+≥，∴数列{}n a 是公差为d 的等差数列， ∵37a =，∴172a d =-，27a d =-，673a d =+， ∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴2(72)(73)(7)d d d -+=-， ∴23d d =，∴3d =或0d =，∵0d ≠，∴3d =，7(3)332n a n n =+-⨯=-．（2）∵1(552)m m m a a S m +==，∴1110m a a +=，即32109m -=，∴37m =． 18．【答案】（1）百事可乐销量的平均数为9607，可口可乐销量的平均数为9407，百事可乐的销量更好；（2）①0.027；②570元．【解析】（1）百事可乐销量的平均数为110012012014016014018096077x ++++++==，可口可乐销量的平均数为28012010014018014018094077x ++++++==，∵12x x >，∴百事可乐的销量更好．（2）①他恰好获得2元红包说明他有两次中奖一次未中奖，故所求的概率为2230.1(10.1C )0.027⨯-=．②连续三周该超市罐装可乐（仅限百事可乐或可口可乐）的销量为(960940)3190035700+⨯=⨯=罐，记连续三周顾客中奖总次数为X ，则(5700,0.1)XB ，则57000.1570EX =⨯=，故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为5701570⨯=元．19．【答案】（1）2214x y +=；（2）156k =±．【解析】（1）∵3OP OQ ⋅=，∴2(1)(1)43x x y -++=，∴2244x y +=，即214y +=，此即为Ω的方程．（2）设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-，当0k =时，3BN NA =或13BN NA =，不合题意；当0k ≠时，由22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得222(1420)3k y ky k ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122214k y y k+=-+，2122314k y y k =-+， ∵2BN NA =，22(1,)BN x y =--，11()1,NA x y =-，∴212y y =-，∴1212214k y y y k +=-=-+，22123214k y k -=-+，∵10y ≠，∴2512k =，∴15k =．20．【答案】（1）证明见解析；（230．【解析】（1）证明：因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD平面ABC AB =，AD ⊂平面ABD ，∴AD ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥，因为22AB BC AC ==，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，因为ADAB A =，所以BC ⊥平面ABD ．（2）设(04)AD x x =<<，则4AB BC x ==-，四面体ABCD 的体积232111()(4)(816)(04)326V f x x x x x x x ==⨯-=-+<<， 211()(31616)(4)(34)66f x x x x x '=-+=--，当403x <<时，()0f x '>，()V f x =单调递增；当43x <<时，()0f x '<，()V f x =单调递减，故当43AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值，以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，8(0,,0)3A ，8(,0,0)3C ，84(0,,)33D ，44(,,0)33E ，设平面BCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即80384033x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令2z =-，得(0,1,2)=-n ，同理，平面BDE 的法向量为(1,1,2)=-m ，30cos ,656〈〉==-⨯m n ，由图可知，二面角C BD E --为锐角，故二面角C BD E --的余弦值为306． 21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）2(1)(22)()2(0)a x x a f x a x x x x++--'=+-=->，当2a ≤-时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当2a >-时，由()0f x '>，得202a x +<<，()f x 在(20,)2a +上单调递增；由()0f x '<，得22a x +>，()f x 在2,)2(a ++∞上单调递减．（2）易知0a >，当02a <≤时，22a a +≥，由（1）知，()f x 在(0,)a 上单调递增，此时()f x 在(0,)a 上不存在最大值，当2a >时，()f x 在(20,)2a +上单调递增，在(2,)2a a +上单调递减，则22m x22(2)224()()(2)ln ()(2)ln 222224a a a a a a a a f x f a a +++++-==++-=++，故224()(2)ln (2)24a a p a a a +-=++>，设224()(2)ln(2)24x x g x x x +-=++>，2()1ln 22x x g x +'=++， ∵2x >，∴()0g x '>，∴()g x 在(2,)+∞上单调递增， ∴()(2)4ln 2g x g >=，即()4ln 2p a >，∵2314(34)(2)22a a a a +-=-+，且2a >， ∴要证：23()42p a a a <+-，只需证2234ln 242a a a +--+<，即证256ln024a a +--<，设256()ln(2)24x x h x x +-=->，则15()024h x x '=-<+，则()h x 在(2,)+∞上单调递减，从而()(2)ln 210h x h <=-<，即256ln024a a +--<，则23()42p a a a <+-，从而234ln 2()42p a a a <<+-． 22．【答案】（1）22(2)4x y ++=；（2）722-【解析】（1）∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，即22(2)4x y -+=，∴曲线D 的直角坐标方程为22(2)4x y ++=．（2）由（1）可设(22cos ,2sin )P αα-+，[0,2π)α∈，直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的直角坐标方程分别为3y =-，2x =，从而12sin 3d α=+，22(22cos )42cos d αα=--+=-，122sin 342cos 722)π(4d d ααα+=++-=+-，故12d d +的最小值为722-23．【答案】（1）5k =，2a =；（2）证明见解析．【解析】（1）当2x ≤-时，由()21f x x k =--<，得12k x +>-，因为不等式()f x k <的解集为{|3}x x a -<<，所以132k +-=-，解得5k =，当1x ≥时，由() 2 15f x x =+<，得2x <，所以2a =，经检验5k =，2a =满足题意．（2）证明：因为|1||2||12||21|m m m m m -++≥-++=+，所以()|21|f m m ≥+，同理()|21|f n n ≥+，因为5m n k +==，所以()()|21||21||2121||2()2|12f m f n m n m n m n +≥+++≥+++=++=．。

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