数学建模多元回归模型

实习报告书

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实习时间： 2014年 06 月 05 日

第六次实验报告要求

实验目的：

掌握多元线性回归模型的原理，多元线性回归模型的建立、估计、检验及解释变量的增减的方法，以及运用相应的Matlab软件的函数计算。

实验内容：

已知某市粮食年销售量、常住人口、人均收入、肉、蛋、鱼的销售数据，见表1。请选择恰当的解释变量和恰当的模型，建立粮食年销售量的回归模型，并对其进行估计和检验。

表1 某市粮食年销售量、常住人口、人均收入、肉、蛋、鱼的销售数据

年份粮食年销售

量Y/万吨

常住人口

X2/万人

人均收

入X3/

元

肉销售

量X4/万

吨

蛋销售

量X5/

万吨

鱼虾销

售量

X6/万吨

197498.45560.20153.20 6.53 1.23 1.89 1975100.70603.11190.009.12 1.30 2.03 1976102.80668.05240.308.10 1.80 2.71 1977133.95715.47301.1210.10 2.09 3.00 1978140.13724.27361.0010.93 2.39 3.29 1979143.11736.13420.0011.85 3.90 5.24 1980146.15748.91491.7612.28 5.13 6.83 1981144.60760.32501.0013.50 5.418.36 1982148.94774.92529.2015.29 6.0910.07

1983158.55785.30552.7218.107.9712.57 1984169.68795.50771.1619.6110.1815.12 1985162.14804.80811.8017.2211.7918.25 1986170.09814.94988.4318.6011.5420.59

1987178.69828.731094.6

523.5311.6823.37

实验要求：

撰写实验报告，参考第10章中牙膏销售量，软件开发人员的薪金两个案例，写出建模过程，包括以下步骤

1.分析影响因变量Y的主要影响因素及经济意义；

影响因变量Y的主要影响因素有常住人口数量，城市中人口越多，需要的粮食数量就越多，粮食的年销售量就会相应增加。粮食销量还和人均收入有关，人均收入增加了，居民所能购买的粮食数量也会相应增加。另外，肉类销量、蛋销售量、鱼虾销售量也会对粮食的销售量有影响，这些销量增加了，也表示居民的饮食结构也在发生变化，生活水平在提高，所以相应的，生活水平提升了，居民也有能力购买更多的粮食。

2. 建立散点图考察Y 与每一个自变量之间的相关关系

从上述散点图，我们可以看出，当x2增大时，y 有向上增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型 。随着x3，

x4，x5，x6的增加，y 的值都有比较明显的线性增长趋势，直线是用线性模型

3.建立多元线性回归模型，并计算回归系数和统计量； 综合上述分析，可以建立如下回归模型：

εββ++=210x y εββ++=5

1

x y

表1 初始模型的计算结果

我们用逐步回归法，在Matlab 中用stepwise ，运行出下面图

根据上图可以看出，变量x3,x5,x6对Y 值影响不大，可以舍弃，所以该模型建的不合理，应该只和x2,x4有关，改进后的模型为：42210y x x βββ++=，利用Matlab 求解，得到的结果如下：

表2 新模型的计算结果

检验：表2与表1的结果相比，2R有所提高，说明新模型比初始模型有所改进。F 的值从52.6601提高到113.9220 ，超过了临界的检验值，P=0.0000<α。并且改进后，所有的置信区间都不包含零点，所以新模型更好，更符合实际。所以最后的模型为：

4.对多元回归模型进行统计检验；

统计检验：用新模型对粮食的销售量作预测。假设在某年，该市的人口数量是736.13万人，肉销售量是11.85万吨。所以粮食年销量y=-39.7948+0.2115*736.13+1.9092*11.85=138.5171万吨。与实际销量143.11万吨误差不大，模型效果比较好。

5.分析回归模型对应的经济含义。

经济分析：由x2，x4变量的回归系数都大于零，同经济理论分析得到的结论是一致的。说明回归方程的经济含义是：当肉销售量不变时，城市的人口每增加1万人，粮食的销量就增加0.2115万吨。当城市人口数量不变时，肉类销量每增加1万吨，粮食的销量就增加1.9092万吨。

程序附录

// 画散点图

% function untitled1(x2 ,y)

% y=[98.45 100.70 102.80 133.95 140.13 143.11 146.15 144.60 148.94 158.55 169.68 162.14 170.09 178.69]'

% x2=[560.20 603.11 668.05 715.47 724.27 736.13 748.91 760.32 774.92 785.30 795.50 804.80 814.94 828.73]'

% x3=[153.20 190.00 240.30 301.12 361.00 420.00 491.76 501.00 529.20 552.72 771.16 811.80 988.43 1094.65]'

% x4=[6.53 9.12 8.10 10.10 10.93 11.85 12.28 13.50 15.29 18.10 19.61 17.22 18.60 23.53]'

% x5=[1.23 1.30 1.80 2.09 2.39 3.90 5.13 5.41 6.09 7.97 10.18 11.79 11.54 11.68]'

% x6=[1.89 2.03 2.71 3.00 3.29 5.24 6.83 8.36 10.07 12.57 15.12 18.25 20.59 23.37]'

% n=1

% a=polyfit(x2,y,n)

% y2=polyval(a,x2)

% plot(x2,y2)

% hold on

% plot (x2,y ,'.k')

% title ('x2和y的散点图')

% xlabel('x2')

% ylabel('y')

// 计算参数估计值，参数置信区间，进行逐步回归

% clc;

% clear;