新北师大版九年级上册数学导学案

第二章一元二次方程

第一节 认识一元二次方程(1)

学习目标：

1．探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识．

2．在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系．

3．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用． 学习重点：一元二次方程的概念．

学习难点：如何把实际问题转化为数学方程．

预习案

一、预习教材 二、感知填空

先阅读教材“议一议”前面的内容，然后完成下面问题：

1．在第一个问题中，地毯的长可以表示为_____________，宽可以表示为_____________，由矩形的面积公式可以列出方程为_________________________．

2．在第二个问题中，如果设五个连续整数中间的一个数为x ，你又能列出怎样的方程呢？ 答：设五个连续整数中间的一个数为x ，由题意可列方程，得_________________________. 三、自主提问

探究案

一、探究一：一元二次方程的概念

例1：问题1：有一块矩形铁皮，长100cm ，宽50cm .在它的四个角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm 2，那铁皮各角应切去多大的正方形？你能设出未知数，列出相应的方程吗？

归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax 2＋b x ＋c ＝0(a 、b 、c 为常数，a ≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是二次项，a 是二次项的系数；b x 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 跟踪练习：1．下列方程中，是一元二次方程的是( )

A ．x 2＋2y －1＝0

B ．x ＋2y 2＝5

C ．2x 2＝2x －1

D ．x 2＋1

x

－2＝0

2．将方程(x ＋3)2＝8x 化成一般形式为_______，其二次项系数为___，一次项系数是___，常数项是____．

二、探究二：一元二次方程有关概念的应用

例2：关于x 的方程mx 2－3x ＝x 2－mx ＋2是一元二次方程，m 应满足什么条件？

跟踪练习：1．关于x 的方程(a －1)x 2＋3x ＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是______． 2．已知方程(m ＋2)x 2＋(m ＋1)x －m ＝0，当m 满足______时，它是一元一次方程；当m 满足________时，它是一元二次方程．

作业案

一、过关习题

1．在下列方程中，是一元二次方程的有( )

①2x 2－1＝0；②ax 2＋b x ＋c ＝0；③(x ＋2)(x －3)＝x 2－3；④2x 2－1

x ＝0.

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2．把方程(x －5)(x ＋5)＋(2x －1)2＝0化成一元二次方程的一般形式为( )

A ．5x 2－4x －4＝0

B ．x 2－5＝0

C ．5x 2－2x ＋1＝0

D ．5x 2－4x ＋6＝0 3．下列方程是一元二次方程的是（ ）

A. 12

=-y x B. 2560x x ++= C. ()()230x x ++= D. 122,3x x =-=-

4．方程2354x x -=中，关于a 、b 、c 的说法正确的是（ ） A. 3,4,5a b c ===- B. 3,5,4a b c ==-= C. 3,4,5a b c =-=-=- D. 3,4,5a b c ==-=-

二、能力提升

1．阅读材料，解答问题：

有一块长80cm ，宽60cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相同的正方形，然后做成底面积为1500cm 2的无盖盒子，想一想，应该怎样求出截去的小正方形的边长？问题：

(1)如果设小正方形的边长为x cm ，那么盒子底面的长为____________；宽为__________，根据题意，所列方程为____________________．

(2)所列方程的一般形式是什么？是哪一种方程？并指出其各项的系数．

2．已知关于x 的方程(m －2)x |m |＋3x －4＝0是一元二次方程，那么m 的值是( )

A ．2

B ．±2

C ．－2

D ．1

第一节认识一元二次方程(2)

学习目标：

1．会进行简单的一元二次方程的试解．

2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及利用试解方法解决一些具体问题．3．理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力．

学习重点：判定一个数是否是方程的根．

学习难点：会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义．

预习案

一、预习教材

二、感知填空

请同学独立完成下列问题．

问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为xm，那么，根据题意，可得方程为___________

列表：

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 x2－36

问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？

设苗圃的宽为x m，则长为_________.根据题意，得________．整理，得______________．列表：

x 5 6 7 8 9 10 11

x2＋2x－

120

三、自主提问

探究案

一、探究一：探索一元二次方程的近似解

例1：(1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？

(2)如果抛开实际问题，问题1中还有其他解吗？问题2呢？

跟踪练习：

1．已知关于x的方程x2－k x－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为() A．1B．－1C．2D．－2

2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

二、探究二：一元二次方程根的判定及应用

例2：若x＝1是关于x的一元二次方程ax2＋b x＋c＝1(a≠0)的一个根，求代数式2016(a＋b