力学重难点习题解答

2.1.3质点运动学方程为j t i t r ˆ)32(ˆ42++=. 则质点轨迹方程————质点自t=0至t=1的位移————2)3(-=y xj i j j i r r r ˆ2ˆ4ˆ3ˆ5ˆ4)0()1(+=-+=-=∆2.4.1质点从坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度a x = 2t (cms -2)，求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后6s 时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。

⑴初速度v 0=0；⑵初速度v 0的大小为9cm/s ，方向与加速度方向相反。

解：200,2,20t v v tdt dv tdt dt a dv x tv v x x x x+====⎰⎰33100200020,,)(t t v x dt t dt v dx dt t v dt v dx tt xx +=+=+==⎰⎰⎰ ⑴cm x t x t v v x 726)6(;,0213120=⨯====时， cm x S m x x x 7272)0()6(===-=∆∆路程⑵tt x t v v x 9,9933120-=-=-=时， cm x x x 18)0()6(=-=∆令v x =0，由速度表达式可求出对应时刻t=3，由于3秒前质点沿x 轴反向运动，3秒后质点沿x 轴正向运动，所以路程：cm x x x x x x S 543618)393(218)3(2)6(|)3()6(||)0()3(|331=+=⨯-⨯-=-=-+-= 2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0时速度为v 0，且坐标x=0，假设其加速度为 a x = - bv x 2，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。

解：bt v dt b dv v dt bv dt a dv xxv v xtv v x x x x x -=--=-==--⎰⎰|,,1022bt v v v v bt v bt v bt v v x x x v 0000001,1,11,11+=++=-=- )1ln(1,1)1(11,10000000000bt v bx bt v bt v d b bt v dt v dx bt v dt v dt v dx t tx x +=++=+=+==⎰⎰⎰2.5.1质点在o-xy 平面内运动,其加速度为j t i t a ˆsin ˆcos --= ，位置和速度的初始条件为：t=0时，ir j v ˆ,ˆ== ，则质点的位失—————jt i t r ˆsin ˆcos +=3.5.11棒球质量为0.14kg ，用棒击棒球的力随时间的变化如图所示，设棒球被击前后速度增量大小为70m/s ，求力的最大值，打击时，不计重力。

解：由F —t 图可知：max 03.008.0max05.008.005.005.00F F t F F t t t -=≤≤=≤≤时，当时，当[斜截式方程y=kx+b ，两点式方程 (y-y 1)/(x-x 1)=(y 2-y 1)/(x 2-x 1)]由动量定理：⎰⎰⎰-+==∆08.005.003.005.0005.008.00)08.0(max max dtt tdt Fdt v m F F可求得F max = 245N3.8.3气球下悬软梯，总质量为M ，软梯上站一质量为m 的人，共同在气球所受浮力F 作用下加速上升，当人以相对于软梯的加速度a m 上升时，气球的加速度如何？解：由质心定理：F- (m+M)g = (m+M)a C ①设人相对地的加速度为a 1，气球相对地的加速度为a 2，由相对运动公式：a 1=a m +a 2，由质心定义式可知：（m+M ）a C = m a 1+M a 2=m(a m +a 2)+M a 2 ②①②联立，可求得：g Mm ma F a m-+-=24.3.1质量为m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N ，木块在A 点时具有向右的速率v 0=6m/s ，求力T 将木块从A 拉至B 点时的速度。

解：以A 为原点建立图示坐标o-x ，木块由A 到B ，只有拉力T 做功： ⎰⎰⎰+--===43)4()4(4422cos x dx x x T dx T dx F A θJx x x d x T100)35(50|9)4(50|]9)4[(2]9)4[(]9)4[(402402/122504022/122=-⨯=+-=+-⨯-=+-+--=⎰- 设木块到达B 时的速度为v ，由动能定理：20121mvmv A -= s m v m A v /88.2065.0/1002/2220≈+⨯=+=，方向向右xABxF4.3.2 质量为1.2kg 的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。

绳端作用以恒力F ,F=60N,木块在A 处有向上的速度v 0=2m/s,求木块被拉至B 时的速度。

解：以地为参考系，建立图示坐标A-xy ，木块在由A 到B 的运动过程中受三个力的作用,各力做功分别是：A N = 0；A W = -mg(yB -y A )=-1.2×9.8×0.5= -5.88J ；F 大小虽然不变，但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。

JF y y d y y d y dyF dy F dy F A FF F y y y F 43.12)12(605.0)12(5.0|])5.0(5.0[2])5.0(5.0[])5.0(5.0[)5.0(])5.0(5.0[cos 5.002/12225.00222/12225.0022/12225.00)5.0(5.05.05.005.0022=-⨯=-=-+⨯-=-+-+-=--+-====⎰⎰⎰⎰⎰---+-θ 由动能定理：221221A B F W N mv mvA A A -=++ 代入数据，求得 vB =3.86 m/s.4.3.4圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑，质量为m 的活塞将气体密封，气体膨胀前后的体积各为V 1,V 2，膨胀前的压强为p 1，活塞初速率为v 0. ⑴求气体膨胀后活塞的末速率,已知气体膨胀时气体压强与体积满足pv=恒量. ⑵若气体压强与体积的关系为pv γ=恒量，γ为常量，活塞末速率又如何？解：以活塞为研究对象，设膨胀后的速率为v ，在膨胀过程中，作用在活塞上的力有重力mg ，气体对活塞的压力N=pS （S 为气缸横截面），忽略重力所做的功（很小），对活塞应用动能定律： m A v v mvmv A N N /2,202021221+=∴-= ⑴若pV=p 1V 1，1222121ln 11111V V VV V V V N V p dV V p pdV pSdx A ====⎰⎰⎰ ⑵若pV γ=p 1V 1)(1111211112121γγγγγγ-----===⎰⎰V V V p dV V V p pdV A V V V V N5.1.2 一个质量为m 的质点沿着j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+=的空间曲线运动，其中a 、bm S及ω皆为常数。

则该质点对原点的角动量。

解：v r m p r L ⨯=⨯=km ab k t ab k t ab m j t b i t a j t b i t a m ˆ)ˆsin ˆcos ()ˆcos ˆsin ()ˆsin ˆcos (22ωωωωωωωωωωω=+=+-⨯+=5.1.8 一个质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，其位置矢量为j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+= ，其中a 、b 和ω是正常数，试以运动学和动力学观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。

证明：rj t b i t a dt v d a jt b i t a dt r d v 222ˆsin ˆcos /ˆcos ˆsin /ωωωωωωωωω-=--==+-== ⑴运动学观点：kmab k t mab k t mab L k ij j i j j i i j t b i t a m j t b i t a v m r L ˆˆsin ˆcos ˆ)ˆ(ˆˆˆ,0ˆˆˆˆ)ˆcos ˆsin ()ˆsin ˆcos (22ωωωωωωωωωωω=+=∴=-⨯=⨯=⨯=⨯+-⨯+=⨯=显然与时间t 无关，是个守恒量。

⑵动力学观点：∵0)(22=⨯-=-⨯=⨯=⨯=r r m r m r a m r F rωωτ,∴该质点角动量守恒。

5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g 小球，沿半径为40cm 的圆周作匀速圆周运动，这 时从孔下拉绳的力为10-3N 。

如果继续 向下拉绳，而使小球沿半径为10cm的圆周作匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？解：设小球的质量为m=10×10-3kg,原来的运动半径为R 1=40cm,运动速率为v 1;后来的运动半径为R 2=10cm,运动速率为v 2.先求小球原来的速率v 1：据牛顿第二定律，F=mv 12/R 1，所以，s m m F R v /2.010/104.0/2311=⨯==--由于各力对过小孔的竖直轴的力矩为零，所以小球对该轴的角动量守恒，m v 1R 1=m v 2R 2，v 2=v 1R 1/R 2=0.2×0.4/0.1=0.8m/s在由R 1→R 2的过程中，只有拉力F 做功，据动能定理，有Jv v v v m v v m m vm v A F 322112122121222121212221103)2.08.0)(2.08.0(10))(()(--⨯=-+⨯=-+=-=-=7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为):,:(43s t rad ct bt at θθ-+=则t 时刻的角速度和角加速度。

解：23212643ct bt ct bt a dt d dtd -==-+==ωθβω7.3.8斜面倾角为θ，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为R ，转动惯量为I ，受到驱动力矩τ，通过绳所牵动斜面上质量为m 的物体，物体与斜面间的摩擦系数为μ，求重物上滑的加速度，绳与斜面平行，不计绳质量。

解：隔离鼓轮与重物，受力分析如图，其中T 为绳中张力，f=μN 为摩擦力，重物上滑加速度与鼓轮角加速度的关系为a =βR对重物应用牛二定律：T- μN- mgsin θ=ma, N=mgcos θ，代入前式，得 T- μmgcos θ- mgsin θ=ma ①对鼓轮应用转动定理：τ- TR=I β=I a /R ② 由①②联立，可求得重物上滑的加速度： 22)sin cos (mRI mg R R a ++-=θθμτ 7.3.7 现在用阿特伍德机测滑轮转动惯量。