高中数学选修1-1课件：椭圆的简单性质(一)

1.椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 图形
x 2 y2 2＋ 2＝ 1(a>b>0) a b
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方 程
y2 x2 2＋ 2＝ 1(a>b>0) a b
焦点的 位置 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率
焦点在x轴上
|x|≤a，|y|≤b
焦点在y轴上
|y|≤a，|x|≤b
解析：|OA2|＝|OA1|＝长半轴，
又∵a2＝b2＋c2，
∴|F1B1|＝|F1B2|＝|F2B1|＝|F2B2|＝长半轴．
利用椭圆的标准方程研究几何性质 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m>0)的长轴长、短轴长、 焦点坐标、顶点坐标和离心率．
(链接教材第二章1.2例3)
[解 ] 椭圆的方程 m2x2＋4m2y2＝1(m>0)可转化为
(3)在椭圆上任取一点M，当M为短轴端点时，两焦点的张角
最大，即∠F1MF2取到最大值．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点( √ )
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c ( √ )
(3)椭圆的焦点一定在长轴上( √ )
(4)椭圆的离心率决定椭圆的形状(即扁平程度)( √ ) (5)a，b，c，e中任两个量一定，椭圆的大小和形状一定 ( √ )
第二章
圆锥曲线与方程
第二章
圆锥曲线与方程
学习导航 1.了解用代数法研究椭圆的几何性质． 学习 2．理解椭圆的简单几何性质．(重点) 目标 3．掌握利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问 题．(难点) 1.通过几何图形观察、代数方程验证的学习过程， 学法 体会数形结合的数学思想． 指导 2．通过几何性质的代数研究，养成辩证统一的世 界观.
(2)当 m>4 时， a＝ m， b＝ 2，∴ c＝ m－ 4， m－ 4 1 c 16 ∴ e＝ ＝ ＝ ，解得 m＝ ， 2 3 a m 4 3 2 3 ∴ a＝ ， c＝ ， 3 3 8 3 ∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 ， 4，焦点坐标为 3 2 3 2 3 4 3 F1 0，－ ， F2 0， ，顶点坐标为 A1 0，－ ， 3 3 3 4 3 A20， ， B1(－2， 0)， B2(2，0)． 3
由椭圆的几何性质求方程
求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)经过(3， 0)、(0，－5)两点； 1 (2)a＝6， e＝ ； 3 (3)一个焦点到长轴两端点的距离分别是 10 和 4. (链接教材第二章 1.2 例 4、例 5)
x 2 y2 解：椭圆方程可化为 ＋ ＝ 1. 4 m (1)当 0<m<4 时，a＝ 2， b＝ m， c＝ 4－ m， 4－ m 1 c ∴ e＝ ＝ ＝ ， 2 2 a ∴ m＝ 3，∴ b＝ 3， c＝1， ∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是 4， 2 3， 焦点坐标为 F1(－ 1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为 A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－ 3)， B2(0， 3)．
2 2
3 c 2m 3 离心率 e＝ ＝ ＝ . 2 a 1 m
方法归纳 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式,不 确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、 顶点坐标等．
1 1.设椭圆方程为 mx ＋ 4y ＝4m(m>0)的离心率为 ，试求椭圆 2
2 2
的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．
x2 y2 ＋ ＝1， 1 1 m2 4 m2
1 1 ∵ m <4m ，∴ 2> 2，∴椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴 m 4m 1 1 3 长 a＝ ，短半轴长 b＝ ，半焦距长 c＝ . m 2m 2m 2 1 ∴ 椭 圆 的 长 轴 长 2a ＝ ， 短 轴 长 2b ＝ ， 焦 点 坐 标 为 m m 3 ， 3 ， －2m， 0 2m， 0 1 1 1 1 顶点坐标为m， 0 ， －m， 0 ，0，－2m，0，2m.
解析： 2a＝4 2， a＝2 2， 2c＝ 4， c＝2， ∴b2＝a2－c2＝(2 2)2
2 2 x y －22＝4，又焦点在 x 轴上，故椭圆方程为 ＋ ＝1. 8 4
4. 在如图所示的图形中,等于椭圆长半轴的线段有
OA1，OA2，F1B1，F1B2，F2B1，F2B2 ____________________________________.
c a e＝___________ ∈(0，1)
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(0，±c) ___________
大 2.当椭圆的离心率越___________ ，则椭圆越扁；
小 当椭圆的离心率越___________ ，则椭圆越接近于圆．
3．(1)椭圆上到中心距离最近和最远的点：短轴端点B1 或 B2
到中心O的距离最近；长轴端点A1或A2到中心O的距离最远. (2)椭圆上一点与焦点距离的最值：点(a，0)，(－a，0)与焦 点F1(－c，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最 大距 离 和最小距离．
(±a，0)、(0，±b) (0，±a)、(±b，0) ____________________ _________________ 2a 2b 长轴长＝___________ ，短轴长＝___________ (±c，0) ___________ 2c 坐标轴 对称轴：___________ ，对称中心：原点
x 2 y2 2 ． (2014· 雅 安 市高 二 期末 ) 椭圆 ＋ ＝ 1 的离 心率 是 4 2 ( C ) 2 A. 4 2 C. 2 1 B． 2 3 D. 2
2 2 2 a － b 4－2 1 c 2 2 解析：e ＝ 2＝ 2 ＝ ＝ .∴e＝ . 4 2 2 a a
3．(2014· 衡阳八中高二期末 )椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上， 长轴长为 4 2， 焦距为 4，则该椭圆的方程为( C ) x 2 y2 A. ＋ ＝1 32 16 x 2 y2 C. ＋ ＝1 8 4 x 2 y2 B. ＋ ＝ 1 12 8 x 2 y2 D. ＋ ＝1 12 4