高中数学选修1-1课件：椭圆的简单性质(一)
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人教A版高中数学选修1-1课件：2.1.2椭圆的简单几何性质.pptx
B1（0,-b）、B2（0，b） （2）长轴：线段A1A2 短轴：线段B1B2
y
4 B2
3 2
长轴长:2a;长半轴长:a
A1
1
A2
短轴长:2b;短半轴长:b
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
（3）六个特殊点：四个顶点， 两个焦点。
-3
-4 B1
Hale Waihona Puke 短轴端点、中心、焦点构成一直角Δ，且三边长为a,b,c
y2 b2
1(a
b
0)
（1）由图知：-a≤x≤a;-b≤y≤b
（2）由方程：x2 a2
1
x2 a2
y2 1
y2 b2
b2
-a≤x≤a -b≤y≤b
by
a
椭圆位于直线x=±a和直线
-a
O
x
y=±b围成的矩形区域内。
-b
椭圆的几 何性 质.swfk
2、对称性
（1）由图知：关于x、y轴成轴对称，关于原 点成中心对称。
y
0
x
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
y
x 0
|x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对
（a,0称）。,(0,b)
（b,0）,(0,a)
(c,0)
(0,c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c a
题型一、椭圆的几何性质的简单应用
A. 2 2
B. 2 1 2
C .2 2 D. 2 1
椭圆的第二定义
新课标人教A版选修1-1第二章第1节《椭圆的简单几何性质(一)》课件(共15张PPT)
（2）长轴长等于20 ,离心率等于
3 5
．
解:（1）由题意， a 3 b 2,又∵长轴在 x
轴上，所以，椭圆的标准方程为 x2 y2 1
．
94
（2）由已知，2a 20 ，e c 3
a5
∴ a 10 ，c 6 ，∴ b2 102 62 64 ，
短轴长是： 2
。
焦距是： 2 5
.离心率等于：
30 6
。
焦点坐标是： (0, 5) 。
顶点坐标是： (0, 6) (1, 0) 。
其标准方程是 x2 y2 1 16
a 6 b 1 则c a2 b2 5
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(3,0) 、Q(0, 2) ；
2.对称性：关于x轴，y轴，原点都对称 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
3.椭圆的顶点
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
y
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ B2 (0,b)
A1
(-a，0) F1
b
oc
a A2(a，0) F2
x2 100
y2 64
1
或
y2 100
x2 64
1
例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐 标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经 过点P（3，0），求椭圆的方程。
答案： x2 y 2 1 9
x2 y2 1 9 81
分类讨论的数学思想
3 5
．
解:（1）由题意， a 3 b 2,又∵长轴在 x
轴上，所以，椭圆的标准方程为 x2 y2 1
．
94
（2）由已知，2a 20 ，e c 3
a5
∴ a 10 ，c 6 ，∴ b2 102 62 64 ，
短轴长是： 2
。
焦距是： 2 5
.离心率等于：
30 6
。
焦点坐标是： (0, 5) 。
顶点坐标是： (0, 6) (1, 0) 。
其标准方程是 x2 y2 1 16
a 6 b 1 则c a2 b2 5
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(3,0) 、Q(0, 2) ；
2.对称性：关于x轴，y轴，原点都对称 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
3.椭圆的顶点
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
y
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ B2 (0,b)
A1
(-a，0) F1
b
oc
a A2(a，0) F2
x2 100
y2 64
1
或
y2 100
x2 64
1
例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐 标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经 过点P（3，0），求椭圆的方程。
答案： x2 y 2 1 9
x2 y2 1 9 81
分类讨论的数学思想
人教A版选修1-1第二章2.1椭圆的基本性质(第一课时)共17张PPT
方 程
x2 a2
y2 b2
1(ab0)
x2பைடு நூலகம்b2
y2 a2
1(ab0)
性
Y
Y
图象
F1
o F1
F2
X
质 范围
顶点坐标
对称性
离心率
-a≤x≤a,-b≤y≤b (-a,0), (a,0), (0,-b), (0,b)
x轴、y轴、原点对称
0<e<1
X
F2
-a≤y≤a,-b≤x≤b (-b,0), (b,0), (0,-a), (0,a)
1－ba22求解.
(2)若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系，然后整理成c 的形式，并将其视为整体，就
a 变成了关于离心率 e 的方程，进而求解．
变式：若椭圆k＋x24＋y42＝1 的离心率为12，则 k＝________．
[解析] 当焦点在 x 轴上时，a2＝k＋4，b2＝4， ∴c2＝k，∵e＝12，∴ca22＝14，即k＋k 4＝14，∴k＝43. 当焦点在 y 轴上时，a2＝4，b2＝k＋4， ∴c2＝－k.由 e＝12，∴ac22＝14，∴－4k＝14. ∴k＝－1. 综上可知，k＝43或 k＝－1.
x轴、y轴、原点对称
0<e<1
1．椭圆上到中心距离最近和最远的点：短轴端点B1 或 B2到 中心O的距离最近；长轴端点A1或A2到中心O的距离最远. 2.椭圆上一点与焦点距离的最值：点A1(-a，0)， A2(a，0)与 焦点F1(－c，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最 大距 离（ a+c ） 和最小距离（ a-c ）．
例 2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍， 且经过点 A(2，0)，求椭圆的标准方程．
课时1 椭圆的简单几何性质+课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质
从椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等从整体
上把握曲线的形状、大小和位置
1.范围
问题3：范围：椭圆图象分布范围是否有限？如果有限，最左、最右、最低、
最高分别到什么位置？找出最左、最右、最低、最高的点．
由椭圆的标准方程
+
= > > 可知，椭圆上任意一点的坐标
学习目标
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(重点)
2.能运用椭圆的简单几何性质求椭圆的标准方程.(难点)
3.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.(重点)
复习导入
问题1 椭圆的定义是什么?
平面内到两个定点、的距离之和等于常数（大于||）的点的轨
迹叫做椭圆
+ = ( > )
叫作椭圆的离心率．
因为 > > ，所以 < < ．
注：因为
=
+
，所以
=
=
( ) =
−
=
−
越接近，越接近， = − 越小，椭圆越扁平；
越接近，越接近，越接近，这时椭圆就越接近于圆.
.
知识梳理
焦点的位置
(－，)，(，)，(，－)，(，)是椭圆的四个顶点
分别是椭圆最左、最右、最低、最高的点．
椭圆的长轴：线段
长为
叫作长半轴长
椭圆的短轴：线段
长为
叫作短半轴长
3.对称轴与对称中心
问题5：对称性：椭圆图象是否为中心对称图形？如果是，找出对称中心．
最新北师大版选修1-1高中数学2.1.2《椭圆的简单性质》ppt课件
离心率 e=ac(0<e<1)
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
名师点拨
1.判断曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称的依据: (1)若把方程中的 x 换成-x,方程不变,则曲线关于 y 轴对称. (2)若把方程中的 y 换成-y,方程不变,则曲线关于 x 轴对称. (3)若把方程中的 x,y 同时换成-x,-y,方程不变,则曲线关于原点对称. 2.椭圆的顶点是它与对称轴的交点,所以必有两个顶点与焦点在同一 条直线上. 3.a,b,c 在椭圆内可构成 Rt△OFB,Rt△OFB 叫作椭圆的特征三角形,这是 a,b,c 的一个几何意义.
1.2 椭圆的简单性质
-*-
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
学习目标
1.掌握椭圆的中心、顶点、长轴、 短轴、离心率的概念,理解椭圆的范围和 对称性. 2.掌握椭圆中 a,b,c,e 的几何意义及 a,b,c,e 之间的相互关系. 3.用代数法研究曲线的简单性质,熟练 掌握椭圆的简单性质,体会数形结合的 思想.
思维脉络
首页
椭圆的简单性质
标准方 程
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
y2 a2
+
x2 b2
=1(a>b>0)
【高中数学选修1-1课件】2.1.2椭圆的简单的几何性质
2
的动点的轨迹方程.
3、点M(x,y)与定点F(-4,0)的距离和它到直线l: x 25 的距离之比是常数0.8，求点M的轨迹.
4
椭圆的第二定义：到定点F(±c,0)与到定直线l：
x c 的距离之比为e(0<e<1)的点的轨迹是一个 椭圆.a
椭圆的性质： 1、范围 2、对称性 3、顶点坐标（有四个），长轴长、短轴长 4、离心率的定义及其数学表达式 5、椭圆的第二定义
此时 P(4,- 9), 5
40 25 65 41
d最大
42 52
41
所以，椭圆上点P(-4, 9)到直线l的最小距离为15 41 ，
5
41
点P(4,- 9)到直线l的最大距离为65 41 .
5
41
1、已知三角形⊿ABC的一边长为6，周长为16，求 顶点C的轨迹方程. 2、求到定点A(2,0)与到定直线x=8的距离之比为 2
并求出该点坐标.最大呢？
分析：若设P(x,y)是椭圆上到 直线l距离最近的点，利用点到 l 直线的距离公式可以求出最小 值吗？请同学们试一试。
y
m
O
x
很显然这种方法很难求解。请同学 们想想还有其它解法吗？
通过直线的平移，使直线m与椭圆首先相交，此时 的交点就是所求的点，两条平行线间的距离就是最 小距离。
目标
根据椭圆的方程研究曲线的 几何性质，并正确地画出它 的图形；根据几何条件求出 曲线方程，并利用曲线的方 程研究它的性质，画图.
重点 通过几何性质求椭圆方程并画图
难点 通过几何性质求椭圆方程并画图
复习 旧知
1、椭圆是怎样定义的？代数表达式是 什么？ F1、F2叫做椭圆的 ，两焦点 间的距离叫做椭圆的 。 2、焦点在x轴上的椭圆的标准方程怎样 写？ｙ轴上呢？ 3、a、b、c三者是怎样的关系？
的动点的轨迹方程.
3、点M(x,y)与定点F(-4,0)的距离和它到直线l: x 25 的距离之比是常数0.8，求点M的轨迹.
4
椭圆的第二定义：到定点F(±c,0)与到定直线l：
x c 的距离之比为e(0<e<1)的点的轨迹是一个 椭圆.a
椭圆的性质： 1、范围 2、对称性 3、顶点坐标（有四个），长轴长、短轴长 4、离心率的定义及其数学表达式 5、椭圆的第二定义
此时 P(4,- 9), 5
40 25 65 41
d最大
42 52
41
所以，椭圆上点P(-4, 9)到直线l的最小距离为15 41 ，
5
41
点P(4,- 9)到直线l的最大距离为65 41 .
5
41
1、已知三角形⊿ABC的一边长为6，周长为16，求 顶点C的轨迹方程. 2、求到定点A(2,0)与到定直线x=8的距离之比为 2
并求出该点坐标.最大呢？
分析：若设P(x,y)是椭圆上到 直线l距离最近的点，利用点到 l 直线的距离公式可以求出最小 值吗？请同学们试一试。
y
m
O
x
很显然这种方法很难求解。请同学 们想想还有其它解法吗？
通过直线的平移，使直线m与椭圆首先相交，此时 的交点就是所求的点，两条平行线间的距离就是最 小距离。
目标
根据椭圆的方程研究曲线的 几何性质，并正确地画出它 的图形；根据几何条件求出 曲线方程，并利用曲线的方 程研究它的性质，画图.
重点 通过几何性质求椭圆方程并画图
难点 通过几何性质求椭圆方程并画图
复习 旧知
1、椭圆是怎样定义的？代数表达式是 什么？ F1、F2叫做椭圆的 ，两焦点 间的距离叫做椭圆的 。 2、焦点在x轴上的椭圆的标准方程怎样 写？ｙ轴上呢？ 3、a、b、c三者是怎样的关系？
人教版A版高中数学选修1-1：2.1.2 椭圆的简单几何性质(1)
焦点的位置 范围
顶点 轴长 焦点
焦点在x轴上 __－__a_≤_x_≤__a_ _且__－__b_≤__y≤__b__
_A_1_(_－__a_，__0_)、__A__2(_a_，__0_) _B_1_(_0_，__－__b_)、__B__2(_0_，__b_)
焦点在y轴上 __－__b_≤_x_≤__b_ _且__－__a_≤__y≤__a__
练习：
说出下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、 顶点坐标。
（1）x2+4y2=64；（2）4x2+y2=16
（五）作业：
1、P49习题A组3；
2、求适合下列条件的椭圆的方程：
（1）焦点在x轴上，长半轴长9，短轴长为4 （2）焦点在y轴上，焦距为8，短轴长为6
_A_1_(_0_，__－__a_)、__A__2(_0_，__a_) _B_1_(_－__b_，__0_)、__B__2(_b_，__0_)
短轴长＝_2_b_，长轴长＝_2_a_
_F_1_(_－__c_，_0_)_、__F_2_(_c_，__0_) _F__1(_0_，__－__c_)_、__F_2_(0_，__c_)
因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a 10,2b 8
焦点坐标分别是
四个顶点坐标是
F1(3,0), F2(3,0)
A1(5,0), A2 (5,0), B1(0,4), B2 (0,4)
外切矩形面积为80
变式训练1：若椭圆方程变为25x2+16y2=400呢？
（三）例题精讲：
例2.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，
A1
y
B2
O
x
A2
B1
图2.1 8
高中数学选择性必修一课件：椭圆的简单几何性质(第1课时)
由①得 c2≥b2，即 c2≥a2－c2，
∴a2≤2c2，∴e2＝ac22≥12.
又 0<e<1，∴e∈ 22，1. 由②得 c2－b2<c2，此式恒成立．
综上所述，椭圆的离心率 e 的取值范围是 22，1. 方法三：设椭圆与 y 轴的一个交点为 P，连接 PF1，PF2. ∵椭圆上存在一点 M，使∠F1MF2＝90°， ∴∠F1PF2≥90°，则 c≥b， ∴c2≥b2＝a2－c2，∴ac22≥12，∴e≥ 22或 e≤－ 22， 又 0<e<1，∴椭圆的离心率 e 的取值范围为 22，1.
3.1.2 椭圆的简单几何性质(第1课时)
要点 1 椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在 x 轴上
图形 标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
焦点在 y 轴上 ay22＋bx22＝1(a>b>0)
范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性
离心率
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
(±a，0)，(0，±b)
c趋近于a，b＝ a2－c2越小 ―→ 椭圆越__扁_平__
1．下列说法是否正确？ ①椭圆的中心一定是原点； ②椭圆有一个对称中心及无数条对称轴； ③椭圆的长轴一定比短轴长． 答：①不正确，②不正确，③正确．
2．椭圆性质的补充 (1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心 的距离的最小值为短半轴长 b)，到中心距离最大的点是长轴的两个端点(即椭圆 上的点到椭圆中心的距离的最大值是长半轴长 a)． (2)椭圆上到焦点距离最大的点(称为“远日点”)和最小的点(称为“近日 点”)是长轴的两个端点，最大距离为 a＋c，最小距离为 a－c.
椭圆的简单几何性质(第1课时)(30张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册
椭圆的简单几何性质
例3.已知F₁,F₂ 是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点，若△ABF₂是正三角形，求该椭圆的离心率.解：不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为ABLF₁F₂, 且△ABF₂ 为正三角形，所以在Rt△AF₁F₂中，∠AF₂F₁=30°,令|AF₁ I=x, 则|AF₂ I=2x, 所以|F₁F₂ I= √ |AF₂ I²-|AF₁ I²= √3x=2c,再由椭圆的定义，可知|AF₁ I+|AF₂ I=2a=3x,所)
椭圆的简单几何性质
03性质应用P A R T 0 N
于是a=5,b=4,c= √25-16=3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10, 和2b=8,离心率两个焦点坐标分别是F₁ (-3,0)和F₂ (3,0),四个顶点坐标分别是A₁ (-5,0),A₂ (5,0),B₁ (0,-4),B₁ (0,4).
·
·
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质 方法总结利用性质求椭圆的标准方程的方法：(1)确定标准方程的形式.(2)由a,b,c,e 的关系列出方程.(3)利用待定系数法求出椭圆方程，焦点不明确时要分类讨论.
练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0).(2)离心率 焦距为12.解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为由题意得
椭圆的简单几何性质
一个焦点F(c,O), 则直线l 的方程 ,即bx+cy-bc=0.
解 , 即 故选B.
由题意知
练习：若椭圆 的离心率 则 k 的值等于 解：分两种情况进行讨论：当焦点在x 轴 上 时 ，a²=k+8,b²=9, 得 c²=k—1,又 少 解得k=4.当焦点在y 轴 上 时 ，a²=9,b²=k+8, 得 c²=1—k,
例3.已知F₁,F₂ 是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点，若△ABF₂是正三角形，求该椭圆的离心率.解：不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为ABLF₁F₂, 且△ABF₂ 为正三角形，所以在Rt△AF₁F₂中，∠AF₂F₁=30°,令|AF₁ I=x, 则|AF₂ I=2x, 所以|F₁F₂ I= √ |AF₂ I²-|AF₁ I²= √3x=2c,再由椭圆的定义，可知|AF₁ I+|AF₂ I=2a=3x,所)
椭圆的简单几何性质
03性质应用P A R T 0 N
于是a=5,b=4,c= √25-16=3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10, 和2b=8,离心率两个焦点坐标分别是F₁ (-3,0)和F₂ (3,0),四个顶点坐标分别是A₁ (-5,0),A₂ (5,0),B₁ (0,-4),B₁ (0,4).
·
·
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质 方法总结利用性质求椭圆的标准方程的方法：(1)确定标准方程的形式.(2)由a,b,c,e 的关系列出方程.(3)利用待定系数法求出椭圆方程，焦点不明确时要分类讨论.
练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0).(2)离心率 焦距为12.解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为由题意得
椭圆的简单几何性质
一个焦点F(c,O), 则直线l 的方程 ,即bx+cy-bc=0.
解 , 即 故选B.
由题意知
练习：若椭圆 的离心率 则 k 的值等于 解：分两种情况进行讨论：当焦点在x 轴 上 时 ，a²=k+8,b²=9, 得 c²=k—1,又 少 解得k=4.当焦点在y 轴 上 时 ，a²=9,b²=k+8, 得 c²=1—k,
人教课标版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质(第1课时)》名师课件
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二:椭圆中 a,b, c, e 的几何意义及相互关系 ★▲ 重难点
例1.求椭圆 25x2 y2 25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.
详解:把原方程化成标准方程:
y2 25
x2
1
即 a 5,b 1 ,所以c 25 1 2 6
因此,椭圆的长轴和短轴长分别是2a 10, 2b 2
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程. （2）在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直且焦距为8. 详解:设椭圆的方程为 x2 y2 1(a b 0)
a2 b2
如图所示, A1FA2 为等腰三角形,OF是斜边A1A2 的中线(高), 且 OF c, A1A2 2b c b 4,a2 b2 c2 32 故所求椭圆的方程为 x2 y2 1
心率确定a,b,c时,常用到e c =
a
1
b2 a2
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二:椭圆中 a,b, c, e 的几何意义及相互关系 ★▲ 重难点
例3.已知椭圆的对称轴是坐标轴,O是坐标原点,F是一个焦点,A是一个 顶点.若椭圆的长轴长是6,且 cosOFA 2 .求椭圆的方程.
（4）如图所示,在Rt
BF2O
中,
cos
BF2O
c a
,记 e c 则0<e<1,e越
a
大, BF2O 越小,椭圆越扁;e越小, BF2O 越大,椭圆越圆.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
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配套课后作业: 《椭圆的简单几何性质（第1课时） 》基础型 《椭圆的简单几何性质（第1课时） 》能力型 《椭圆的简单几何性质（第1课时） 》探究型 《椭圆的简单几何性质（第1课时） 》自助餐
高中数学人教A版 选择性必修第一册 椭圆的简单几何性质 课件
是椭圆与 x 轴的两个交点.因为 x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴
有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点. 线段 A1A2 ，B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ，a 和
b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
把椭圆的焦距与长轴长的比 c 称为椭圆的离心率，用 e 表示，即e c .
B1(0, b) ， B2 (0,b)
B1(b, 0) ， B2 (b, 0)
长轴长| A1A2 | 2a ，短轴长| B1B2 | 2b e c (0 e 1) a
例 1 求椭圆16x2 25y2 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和
顶点的坐标.
解：把原方程化成标准方程，得
x2 52
C 且 PF1 PF2 10 ，那么椭圆 C 的短轴长是( )
A.6
B.7
C.8
D.9
解析：设椭圆
C
的标准方程为 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) .依题意得，2a
10 ，a 5 ，
又 c 3，b2 a2 c2 16 ，即b 4 ，因此椭圆的短轴长是2b 8 ，故选 C.
3.已知
同理，以 x 代 x ，方程也不变，这说明如果点 P(x, y) 在椭圆上，那么它关于 y 轴的对称点 P2 (x, y) 也在椭圆上，所以椭圆关于 y 轴对称.
以 x 代 x ，以 y 代 y ，方程也不变，这说明当点 P(x, y) 在椭圆上时，它关于
原点的对称点 P3(x, y) 也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称.
A.椭圆 C 的离心率为 3 2
B.存在 m，使得 FAB 为直角三角形 C.存在 m，使得 FAB 的周长最大 D.当 m 0 时，四边形 FBEA 的面积最大
椭圆的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3、顶点
问题3:已知椭圆方程为
，F1，F2是两个焦点，下列各点的坐标
(1)F1
; F2
.
(2)A1
; A2
.
(3)B1
; B2
.
3、顶点
长轴
线段A1A2，长轴长: |A1A2|=2a
短轴
线段B1B2，短轴长: |B1B2|=2b
追问：现在你能说说a,b,c的几何意义吗？
a
椭圆的长半轴长
b
椭圆的短半轴长
研究他们的几何性质.
1、范围
问题1：观察可得，椭圆上的点都在一个特定的矩形内．为确定其具
体的边界，我们利用方程（代数方法）进行研究：
x2 y2
由方程 2 2 1(a b 0)可知，
a
b
x2 y2
x2
1 2 2 0， ∴ 2 1，
a
b
a
-a ≤ x ≤ a； -b ≤ y ≤ b
c
椭圆的半焦距长
①焦点必在长轴上.
②椭圆上点到焦点的最短距离是 a-c ,最长距离是 a+c .
4、离心率
问题4.根据前面所学有关知识画出下列图形
2
x2 y2
1
（2）
25 4 y
2
x
y
1
（1）
25 16
y
A1
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
B2
A1
A2
1 2 3 4 5
a
a
说明： (1) 离心率的取值范围：因为a > c > 0，所以0 < e < 1.
2.1.2椭圆的简单几何性质_课件-湘教版数学选修1-1
于是a＝5，b＝4，c＝ 25－16＝3.
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，
离心率e＝
c a
＝
3 5
，两个焦点坐标分别是F1(－3，0)和F2(3，
0)，四个顶点坐标分别是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和 B2(0，4)．
点评 解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准情势，然后根据方程 判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何 性质．
①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆有两个公共 点；
当m＝－ 5 或m＝ 5 时，Δ＝0，方程③有两个相等的实数
根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆有一个公共 点；
当m<－ 5或m> 5时，Δ<0，方程③没有实数根，直线与椭
圆没有公共点．
点评 (1)直线与椭圆公共点个数的判断方法为：联立直线与 椭圆方程，消去方程组中的y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方
2b2 r1r2
－1≥
（r12＋2b2r2）2－1＝2ab22－1(当且仅当r1＝r2时取“＝”号)．
由此可知当P点为短轴的端点时θ角最大，设∠F1PF2的最大
角为θ0，当θ0<90°时，椭圆上不存在点P使得∠F1PF2＝90°；当
θ0＝90°，椭圆上存在两个点使得∠F1PF2＝90°；当θ0>90°
2c
对称轴 x轴y轴 ，对称中心原点 e＝ac(0＜e＜1)
自主探究 1．能否用a和b表示椭圆的离心率e?
提示
可以，由于e＝ac，又c＝ a2－b2，
故e＝ac＝ a2a－b2＝
1－ba22.
2.
如图所示，椭圆中的△OF2B2，能否找出a，b，c，e对应的线 段或量？ 提示 a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝ac＝||FO2FB22||＝cos∠OF2B2.
高中数学北师大选修1-1课件：第2章§11.2第1课时椭圆的简单性质
教师用节配套课性1.2椭圆的简单性质第1课时椭圆的简单性质t1M•家基础盪聲提示 如果您加见石木"件旳辻 鸡中出"••字叭泉・溝吳 用幷宥幻灯片・ 可・椭圆的标准方程、图像及性质焦点的位■ ■ 4标准方程焦点在X 轴上黒—— -------------------= + y = l(a>b>0)L b焦点在y 轴上2 x 2,图形B ；y BiJ>42-+- = l(a>b>0)y _________X对称性 对称轴x 轴和y 轴一,对称中心®0)范围xG [-a, a],vG「一b.b"!xW E-b, b], vG r-a. al思考：要确定椭圆的标准方程，需要确定什么？提示：首先要确定焦点的位置，其次需要确定a,b两个量.【知识点拨】L 对椭圆是轴对称与中心对称图形的解读心代”方程不改变伽关于翩丽 以-xf 疑方程不改变（ -------------------------- 同时以-兀代匸以-丁代；（椭圆关于咂可—二［椭圆关于原点对称）?+p =1（a〉3•椭圆的离心率对椭圆〃扁的程度"的影响越摆型乖越接近°,从而、越小K _______________ _________________ J 輕¥越接近0 J C越接近0,从而朋-8越接近a_________ __ ________ J q椭圆越扁］咻圆越接近于圆］当且仪当a=b时）c=0 j这时两个焦点重合，［图形变为圆______________4•对椭圆几何性质的挖掘(1)通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，长为⑵椭圆上到中心距离最远和最近的点分别在长轴端点和短抽端点上.2b2妙孩愛处逆圭g类型一利用标准方程研究简单性质【典型例题】1 •椭圆的伟占坐标为•顶占坐标为・2求椭圆9x516y2=144的丽長二短#由樂、离丿常■蕉点坐标和顶点坐标.r y2=1【解题探究】1•如何判断焦点的位置？2•已知椭圆方程,如何确定椭圆的几何性质？探究提示-L通最褊圆几何性质的研究，椭圆的焦点在椭圆的长轴上•即焦点在标准方程较夫分母对应的霸上.2•首先看方程是否为标准方程，若不是标准方程，先化为标准方程•其次由标准方程先确定焦点位置撚后写出a,b的值这样就可确定椭圆的性质.【解析】L由方程的形式知，椭圆的焦点在x轴上，且a2二4炉二—a二a?- b2=3 z故a二2,b二l,c二八焦点坐标为(土,0),顶点坐标为(±2 , 0) , (0 , ±1).答案：(士,0) (±2,0) #(0,±1)2 •已知方程化成标准方程为 2 2于是a=4 , b二3 , ••椭圆罅地长那豆轴长分别是2a二8和2b=6 , 离心率，又知焦点在x轴上,16两旗点坐标分别是四个顶点坐标分别是（40；1（血（0厂誑和（0,3）.C 二J16-9 二仇e 二一二——a 4【互动探究】若把题2中方程改为9护+16X—144,写出椭圆的相应性质. 【解题指南】转化为标准方程后，写出a , b ,啲值其性质.【解析】化为标准方程为所以焦点在y轴上.a=4 b—3二长轴长2a=8 ,短轴长2b二6 z离心率焦点坐标为和顶点坐标为(0,4) , (0 z -4) , (3,0)和(・3 , 0).(0,77) (0,-77),，再求【拓展提升］确定椭圆的几何性质的四个步骤提醒：曲25 3【变式训练】已知：椭圆 k 的值为 ______ .【解析】当k>5时， 当0<k<5时， 综上,或3. 答案：或3的离心率 则实数— 5 kk 用325Vioe = ------5k = 3.类型二利用几何性质求标准方程【典型例题】1 •椭圆的长轴长为一个焦点坐标为(2, 0),则它的标准方程为_______ -2经过点P(4,0)和Q(0,・3)的椭圆标准方程为 ______ •3•已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为且G 上一点到G的两七佛的距离之和为12,则椭圆G的方程为_______ ・2V10,22【解题探究】L焦点坐标在求椭圆标准方程时的作用是什么?2.题2中椭圆的焦点在哪个轴上?3.离心率在求椭圆标准方程时的作用是什么?探究提示：L给出焦点坐标，就能确定c的值z其次也可以确定标准方程的形式.2.椭圆的焦点在长轴上，由题意知，P , Q是椭圆的顶点,且|4|＞卜3|,故焦点在x轴上3 •因为所以给定离心率即确定了参数a,b的关系.【解析】L因为椭圆的一个焦点坐标为(2 z 0),故不妨设其标准方程为由题意・••所求标准方霁v2答案：—+ ^- = l(a>b>0).c = 2,2a = 2V10,a = V10,/.b2 =a2—c2 =6.10 62 •由椭圆的几何性质可知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以P , Q分别是椭圆的长轴和短轴的一个端点，于是有a二4,b二3•且长轴、短轴分别在x轴和y 轴上，所以椭圆的标准方程为答案：2 2=116 9 =13•依题意设椭圆G的方程为 2 2••椭圆上一点到其两个焦点的距犁垃N F（a>b >0）. 「诂圆的鲁2'率为 a b解得b?二9,・・.椭圆G的方程为答案：73 . 7a2-b2 _ A/3 . ^36-b2 _ *9 ■ ■= 9 ■ ■=2 a 2 6 22 2—36 92 2—136 9【互动探究】将1题中条件“一个焦点坐标为(2, 0)”改为“焦距为4”，试求椭圆的标准方程.【解析】由题意所以当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程密励a 二V10,c = 2, b2 = a2 -c2二6.【拓展提升】L求椭圆标准方程的基本思路2 2—1,10 62 2 2 2—1 —1. 10 6 10 6(1)定位置:根据题意确定焦点的位置.(2)定形式：根据焦点的位置,用待定系数法确定方程的形式.(3)定系数：根据题意列出等量关系，求参数a,b的值.2 •待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项(1)基本步骤：⑵注意事项量中，能确;轴长、离心;【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程：椭圆的短轴长等于2,长轴端点与短轴端点间的距离等于【解析】设椭圆的长半轴长为a ,短半轴长为b ,焦距为2c , 则b = 1 , 即a2 = 4.所以椭圆的标准方程是或类型三与离心率有关的问题【典型例题】1.（2012-新课标全国卷）设片,尸2是椭圆E：（a>b>0）的左、右焦点，P为直线上一点，A/zPh是底角为30。
高中数学选修1-1北师大版 2.1.2椭圆的简单性质课件 (38张)
轴 离心率 准线
x2 y2 1．已知点 P(x，y)在椭圆 9 ＋16＝1 上，且点 P 在第三 象限，则有( A．－4<y<0 C．－4≤y<4 ) B．0<y<4 D．－4≤y≤4
答案： A
2．椭圆的两个焦点和它在短轴上的两个顶点连成一个 正方形，则此椭圆的离心率为( 1 A. 2 3 C. 2 2 B. 2 3 D. 3 )
x2 y2 (2)设椭圆方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a b 如图所示，△A1FA2 为一等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18， x2 y2 故所求椭圆的方程为18＋ 9 ＝1.
2.已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且
[解题过程]
(1)设椭圆的方程为
x2 y2 y2 x2 ＋ ＝1(a＞b＞0)或 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a2 b2 a b c 2 由已知得 2a＝6，a＝3.e＝a＝3，∴c＝2. ∴b2＝a2－c2＝9－4＝5. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆方程为 9 ＋ 5 ＝1 或 5 ＋ 9 ＝1.
答案：
B
1 3 ．一个顶点是 (3,0) ，且离心率为 的椭圆标准方程为 3 ________．
x2 y2 x2 y2 答案： ＋ ＝1 或 ＋ ＝1 9 8 9 81 8
y2 x2 4．椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的两焦点为 F1(0，－c)，F2(0， 3 c)(c>0)，离心率 e＝ 2 ，焦点到椭圆上点的最短距离为 2－ 3，求椭圆的标准方程．
1.求椭圆6x2＋y2＝6的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标
椭圆的简单几何性质：课件一(15张PPT).ppt
是长轴顶点， 是短轴顶点 解:(1)P是长轴顶点，Q是短轴顶点 是长轴顶点 轴上． 故a=3，b=2，焦点在 轴上． ， ，焦点在x轴上 x2 y2 即椭圆的方程为 + =1 9 4 (2)a=10，离心率 ／a=0.6 离心率c／
x2 y2 + =1 故c=6，b=8．若焦点在x轴上，则 64 ， ．若焦点在 轴上， 100 轴上 x2 y2 =1 若焦点在y轴上 轴上， 若焦点在 轴上，则 + 64 100
对称轴：x轴、y轴 对称轴： 轴 轴 对称中心： 对称中心：原点
(±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0) ± ± ± ±
c e = ,0 < e < 1 a
求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的 求椭圆 的长轴和短轴的 离心率、焦点和顶点的坐标． 长、离心率、焦点和顶点的坐标．
2
2
比较下列每组中椭圆的形状， 比较下列每组中椭圆的形状， 哪一个更圆，为什么？ 哪一个更圆，为什么？
x2 y2 2 2 (1)9x + y = 36， + = 1； 16 12 1 第一个椭圆的离心率 = 2 2 第二个椭圆的离心率 = e2 e1
e1＞e2，所以第二个椭圆比较圆． 所以第二个椭圆比较圆．
求下列椭圆的焦点坐标： 求下列椭圆的焦点坐标：
x y 2 2 (1) + = 1； (2)2 x + y = 8． 100 36
(1)a=10，b=6，c=8， 焦点在 轴， ， ， ， 焦点在x轴 (1) 焦点(-8 焦点 ，0)，(8，0)； ， ；
x2 y2 (2)先化为标准方程 (2)先化为标准方程 + =1 ４ ８ a= ２２ ，b=4，c=2， 焦点在y轴 ， ， 焦点在 轴， 焦点(0 焦点 ，-2)，(0，2)． ， ．
x2 y2 + =1 故c=6，b=8．若焦点在x轴上，则 64 ， ．若焦点在 轴上， 100 轴上 x2 y2 =1 若焦点在y轴上 轴上， 若焦点在 轴上，则 + 64 100
对称轴：x轴、y轴 对称轴： 轴 轴 对称中心： 对称中心：原点
(±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0) ± ± ± ±
c e = ,0 < e < 1 a
求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的 求椭圆 的长轴和短轴的 离心率、焦点和顶点的坐标． 长、离心率、焦点和顶点的坐标．
2
2
比较下列每组中椭圆的形状， 比较下列每组中椭圆的形状， 哪一个更圆，为什么？ 哪一个更圆，为什么？
x2 y2 2 2 (1)9x + y = 36， + = 1； 16 12 1 第一个椭圆的离心率 = 2 2 第二个椭圆的离心率 = e2 e1
e1＞e2，所以第二个椭圆比较圆． 所以第二个椭圆比较圆．
求下列椭圆的焦点坐标： 求下列椭圆的焦点坐标：
x y 2 2 (1) + = 1； (2)2 x + y = 8． 100 36
(1)a=10，b=6，c=8， 焦点在 轴， ， ， ， 焦点在x轴 (1) 焦点(-8 焦点 ，0)，(8，0)； ， ；
x2 y2 (2)先化为标准方程 (2)先化为标准方程 + =1 ４ ８ a= ２２ ，b=4，c=2， 焦点在y轴 ， ， 焦点在 轴， 焦点(0 焦点 ，-2)，(0，2)． ， ．
椭圆的简单几何性质第一课时课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标
准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程
c
a
(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ 等．
作者编号：32101
例3
2
设椭圆C： 2
2
+ 2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上
变形可得 3(a2－c2)＝2ac，
等式两边同除以 a2，得 3(1－e2)＝2e，
3
解得 e＝ 或 e＝－ 3(舍去).
3
作者编号：32101
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
(1)椭圆的简单几何性质有哪些？
(2)如何根据椭圆的几何性质求标准方程？
作者编号：32101
当堂检测
x2
1.若焦点在y轴上的椭圆
b
如图所示，△A1FA2 为一等腰直角三角形，OF为斜边
A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，
故a2＝b2＋c2＝18，
x2
故所求椭圆的标准方程为
18
作者编号：32101
+
y2
＝1.
9
(3)椭圆过点 3，0 ，离心率e =
6
．
3
(3)若焦点在 x<
m
><
>轴上，则 <
的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，求椭圆C的离心率.
解：(方法一)由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ 3m，
|F1F2|
3m
c 2c
准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程
c
a
(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ 等．
作者编号：32101
例3
2
设椭圆C： 2
2
+ 2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上
变形可得 3(a2－c2)＝2ac，
等式两边同除以 a2，得 3(1－e2)＝2e，
3
解得 e＝ 或 e＝－ 3(舍去).
3
作者编号：32101
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
(1)椭圆的简单几何性质有哪些？
(2)如何根据椭圆的几何性质求标准方程？
作者编号：32101
当堂检测
x2
1.若焦点在y轴上的椭圆
b
如图所示，△A1FA2 为一等腰直角三角形，OF为斜边
A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，
故a2＝b2＋c2＝18，
x2
故所求椭圆的标准方程为
18
作者编号：32101
+
y2
＝1.
9
(3)椭圆过点 3，0 ，离心率e =
6
．
3
(3)若焦点在 x<
m
><
>轴上，则 <
的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，求椭圆C的离心率.
解：(方法一)由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ 3m，
|F1F2|
3m
c 2c
高中数学选修1-1课件：椭圆的简单性质(一)
第二章 §1 椭
圆
1.2 椭圆的简单性质(一)
知识点一 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图像
标准方程
范围 顶点 轴长
－a≤x≤a
， －b≤y≤b
－b≤x≤b ，－a≤y≤a A1(0，－a)，A2(0，a) ， B1(－b,0)，B2(b,0)
A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b)
从而b2＝a2－c2＝48，
y2 x2 ∴椭圆的标准方程是64＋48＝1.
解析答案
解
2 c 2 由 e＝a＝3，得 c＝3a，
又 2b＝8 5，a2＝b2＋c2，所以 a2＝144，b2＝80，
x2 y2 x2 y2 所以椭圆的标准方程为144＋80＝1 或80＋144＝1.
反思与感 悟
解析答案
解析答案
y2 解 把已知方程化成标准方程为25＋x2＝1， 则a＝5，b＝1.
所以 c＝ 25－1＝2 6，
因此，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2，
反思与感 悟
解析答案
跟踪训练1 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、
顶点坐标和离心率.
解析答案
c 4 1 解 由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝a＝a＝2，∴a＝8，
解析答案
方法归纳
椭圆离心率的求法
(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达 到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a，b，c的不等 式，消去b后，转化为关于e的不等式，从而求出e的取值范围. Nhomakorabea例4
x2 y2 若椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，线段 F1F2 被 5 3 的两段，则此椭圆的离心率为( 4 C.5 2 5 D. 5 )
圆
1.2 椭圆的简单性质(一)
知识点一 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图像
标准方程
范围 顶点 轴长
－a≤x≤a
， －b≤y≤b
－b≤x≤b ，－a≤y≤a A1(0，－a)，A2(0，a) ， B1(－b,0)，B2(b,0)
A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b)
从而b2＝a2－c2＝48，
y2 x2 ∴椭圆的标准方程是64＋48＝1.
解析答案
解
2 c 2 由 e＝a＝3，得 c＝3a，
又 2b＝8 5，a2＝b2＋c2，所以 a2＝144，b2＝80，
x2 y2 x2 y2 所以椭圆的标准方程为144＋80＝1 或80＋144＝1.
反思与感 悟
解析答案
解析答案
y2 解 把已知方程化成标准方程为25＋x2＝1， 则a＝5，b＝1.
所以 c＝ 25－1＝2 6，
因此，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2，
反思与感 悟
解析答案
跟踪训练1 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、
顶点坐标和离心率.
解析答案
c 4 1 解 由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝a＝a＝2，∴a＝8，
解析答案
方法归纳
椭圆离心率的求法
(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达 到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a，b，c的不等 式，消去b后，转化为关于e的不等式，从而求出e的取值范围. Nhomakorabea例4
x2 y2 若椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，线段 F1F2 被 5 3 的两段，则此椭圆的离心率为( 4 C.5 2 5 D. 5 )
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1.椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 图形
x 2 y2 2＋ 2＝ 1(a>b>0) a方 程
y2 x2 2＋ 2＝ 1(a>b>0) a b
焦点的 位置 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率
焦点在x轴上
|x|≤a，|y|≤b
焦点在y轴上
|y|≤a，|x|≤b
(3)在椭圆上任取一点M，当M为短轴端点时，两焦点的张角
最大，即∠F1MF2取到最大值．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点( √ )
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c ( √ )
(3)椭圆的焦点一定在长轴上( √ )
(4)椭圆的离心率决定椭圆的形状(即扁平程度)( √ ) (5)a，b，c，e中任两个量一定，椭圆的大小和形状一定 ( √ )
(±a，0)、(0，±b) (0，±a)、(±b，0) ____________________ _________________ 2a 2b 长轴长＝___________ ，短轴长＝___________ (±c，0) ___________ 2c 坐标轴 对称轴：___________ ，对称中心：原点
解析：|OA2|＝|OA1|＝长半轴，
又∵a2＝b2＋c2，
∴|F1B1|＝|F1B2|＝|F2B1|＝|F2B2|＝长半轴．
利用椭圆的标准方程研究几何性质 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m>0)的长轴长、短轴长、 焦点坐标、顶点坐标和离心率．
(链接教材第二章1.2例3)
[解 ] 椭圆的方程 m2x2＋4m2y2＝1(m>0)可转化为
x2 y2 ＋ ＝1， 1 1 m2 4 m2
1 1 ∵ m <4m ，∴ 2> 2，∴椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴 m 4m 1 1 3 长 a＝ ，短半轴长 b＝ ，半焦距长 c＝ . m 2m 2m 2 1 ∴ 椭 圆 的 长 轴 长 2a ＝ ， 短 轴 长 2b ＝ ， 焦 点 坐 标 为 m m 3 ， 3 ， －2m， 0 2m， 0 1 1 1 1 顶点坐标为m， 0 ， －m， 0 ，0，－2m，0，2m.
2 2
3 c 2m 3 离心率 e＝ ＝ ＝ . 2 a 1 m
方法归纳 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式,不 确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、 顶点坐标等．
1 1.设椭圆方程为 mx ＋ 4y ＝4m(m>0)的离心率为 ，试求椭圆 2
2 2
的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．
c a e＝___________ ∈(0，1)
(0，±c) ___________
大 2.当椭圆的离心率越___________ ，则椭圆越扁；
小 当椭圆的离心率越___________ ，则椭圆越接近于圆．
3．(1)椭圆上到中心距离最近和最远的点：短轴端点B1 或 B2
到中心O的距离最近；长轴端点A1或A2到中心O的距离最远. (2)椭圆上一点与焦点距离的最值：点(a，0)，(－a，0)与焦 点F1(－c，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最 大距 离 和最小距离．
(2)当 m>4 时， a＝ m， b＝ 2，∴ c＝ m－ 4， m－ 4 1 c 16 ∴ e＝ ＝ ＝ ，解得 m＝ ， 2 3 a m 4 3 2 3 ∴ a＝ ， c＝ ， 3 3 8 3 ∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 ， 4，焦点坐标为 3 2 3 2 3 4 3 F1 0，－ ， F2 0， ，顶点坐标为 A1 0，－ ， 3 3 3 4 3 A20， ， B1(－2， 0)， B2(2，0)． 3
x 2 y2 解：椭圆方程可化为 ＋ ＝ 1. 4 m (1)当 0<m<4 时，a＝ 2， b＝ m， c＝ 4－ m， 4－ m 1 c ∴ e＝ ＝ ＝ ， 2 2 a ∴ m＝ 3，∴ b＝ 3， c＝1， ∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是 4， 2 3， 焦点坐标为 F1(－ 1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为 A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－ 3)， B2(0， 3)．
第二章
圆锥曲线与方程
第二章
圆锥曲线与方程
学习导航 1.了解用代数法研究椭圆的几何性质． 学习 2．理解椭圆的简单几何性质．(重点) 目标 3．掌握利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问 题．(难点) 1.通过几何图形观察、代数方程验证的学习过程， 学法 体会数形结合的数学思想． 指导 2．通过几何性质的代数研究，养成辩证统一的世 界观.
由椭圆的几何性质求方程
求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)经过(3， 0)、(0，－5)两点； 1 (2)a＝6， e＝ ； 3 (3)一个焦点到长轴两端点的距离分别是 10 和 4. (链接教材第二章 1.2 例 4、例 5)
解析： 2a＝4 2， a＝2 2， 2c＝ 4， c＝2， ∴b2＝a2－c2＝(2 2)2
2 2 x y －22＝4，又焦点在 x 轴上，故椭圆方程为 ＋ ＝1. 8 4
4. 在如图所示的图形中,等于椭圆长半轴的线段有
OA1，OA2，F1B1，F1B2，F2B1，F2B2 ____________________________________.
x 2 y2 2 ． (2014· 雅 安 市高 二 期末 ) 椭圆 ＋ ＝ 1 的离 心率 是 4 2 ( C ) 2 A. 4 2 C. 2 1 B． 2 3 D. 2
2 2 2 a － b 4－2 1 c 2 2 解析：e ＝ 2＝ 2 ＝ ＝ .∴e＝ . 4 2 2 a a
3．(2014· 衡阳八中高二期末 )椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上， 长轴长为 4 2， 焦距为 4，则该椭圆的方程为( C ) x 2 y2 A. ＋ ＝1 32 16 x 2 y2 C. ＋ ＝1 8 4 x 2 y2 B. ＋ ＝ 1 12 8 x 2 y2 D. ＋ ＝1 12 4