圆的相关定理及其几何证明(含答案)

圆的相关定理及其几何证明

典题探究

例1：如图，圆是的外接圆，过点C 作圆的切线交的延长线于点.若

O ABC ∆O BA D ，，则线段的长是 ；圆的半径是

.

CD =2AB AC ==AD O 例2：如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A ,O 之间），EF BC ^,垂

足为F ．若6AB =，5CF CB ×

=，则AE =

例3：如图已知与圆相切于，半径，交于，若,

PA O A OC OP ⊥AC PO B 1OC =，则 ， ．

2OP =PA ==PB 例4：如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，

O P O PA PBC 30BPA ∠=︒，, 则 ,圆的半径等于

11BC =1PB =PA =O 演练方阵

A 档（巩固专练）

1．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ，直线PO 交⊙O 于点E,F.若，则⊙O

的21PF PD =+=半径为

；

.

EFD ∠=A

B

C

O

P

D

C

B

P A

O

C

B

A

5．如图所示，以直角三角形的直角边为直径作⊙，交斜边于点，过点

ABC AC O AB D 作⊙的切线，交边于点.则

.

D O BC

E =BC

BE

6．如图，直线AM 与圆相切于点M, ABC 与ADE 是圆的两条割线，且BD ⊥AD ，连接MD 、EC 。则下面结论中，错误的结论是(

)

A ．∠ECA = 90o

B ．∠CEM=∠DMA+∠DBA

C ．AM 2 = AD·AE

D ．AD·D

E = AB·BC

7．如图，切圆O 于点,为圆O 的直径，交圆O 于点，为的中点，AB A AC BC D E CD 且则__________；__________.

5,6,BD AC ==CD =AE =

8．如图，切圆于点，割线经过圆心，，则 PC O C PAB O 4,8PC PB ==tan COP ∠=，△的面积是

OBC 9．如图，为⊙的直径,切⊙于点,且过点的割线,交的延长线AB O AC O A C CMN AB 于点,若,，则 ，

D CM MN ND =

=AC =CM =AD =10．如图，是⊙O 上的四个点，过点B 的切线与的延长线交于点E .若

,,,A B C D DC ，则( )

110BCD ︒∠=DBE ∠=A. B. C. D. 75︒70︒60︒55︒

A

B C

D

M

N

O

B 档（提升精练）

1．如图，已知⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD 的长为______

2．如图,已知圆中两条弦与相交于点是延长线上一点,且

AB CD E F ,AB ,若与圆相切,且,则

BF AF CF DF 22===CE 2

7

=

CE

=BE A

3．如图，是半圆的直径，在的延长线上，与半圆相切于点，

AB O P AB PD O C ．若，，则______.

AD PD ⊥4PC =2PB =CD =4．如图，是⊙的直径，直线切⊙于点，且与延长线交于点，若

AB O DE O

D AB C ，则=

CD =1CB =ADE ∠5．如图，为⊙的AC O 直径，，弦交于

OB

AC ⊥BN AC 点．若，

M OC =

，则_______

1OM =MN

=A

B

C

O

M

N

6．如图，是圆的切线，切点为，交圆于两点，，

PA O A PO O ,B

C 1PA PB ==则=( )ABC ∠A

B

C

D 70︒60︒45︒30︒

7．如图所示，Rt △ABC 内接于圆，，PA 是圆的切线，A 为切点， PB 交AC

60ABC ∠=o

于E ，交圆于D ．若

PA =AE ，PD

BD =

AP = ，AC =

E

D P C

B

A

8. 如图，以的边为直径的半圆交于点，交于点，于点

ABC ∆AB AC D BC E EF AB ^，，，那么= ，=

.

F 3AF BF =22BE EC ==CDE ÐCD 9．如图，已知圆中两条弦与相交于点，与圆相切交延长线上于点，AB CD F CE AB E 若，，则线段的长为

DF CF ==::4:2:1AF FB BE =CE F

E

D

C B

A

10. 如图，直线PC 与e O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ， 弦CD ⊥AB 于点E ，

4PC =，8PB =，则CE =

C 档（跨越导练）

1. 如图，△是⊙的内接三角形，是⊙的切线，交于点，交⊙

ABC O PA O PB AC E 于点．若，，，，则

O D PA PE =60ABC ︒∠=1PD =9PB =_____；_____

PA =EC =2.

如图，的直径与弦交于点，，则O e AB CD P 7

, 5, 15

CP PD AP =

==＝___ DCB Ð

___

B