湖南省长沙一中2016届高三第六次月考(理)数学试题Word版
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(一)数学试题(解析版)
【解析】
【详解】当E,F排在前三位时， =24,当E,F排后三位时， =72，当E,F排3，4位时， =24，N=120种，选D.
6.函数 （ 且 ）在一个周期内的图象如图所示，将函数 图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （）
A. B.1C.－1D.
参考数据：
参考时间轴：
A.宋B.唐C.汉D.战国
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件可得函数关系 ，取 即可计算得解.
【详解】依题意，当 时， ，而 与死亡年数 之间的函数关系式为 ，
则有 ，解得 ，于是得 ，
当 时， ，于是得： ，解得 ，
由 得，对应朝代为战国，
所以可推断该文物属于战国.
故选：D
（1）记 ，写出 ，并求出数列 的通项公式；
（2）求数列 的前2022项和 .
【答案】（1） ， ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 的定义求得 ，求出 ，由等比数列通项公式可得结论；
（2）由 得 ， ，然后用并项求和法结合等比数列前 项和公式计算．
【小问1详解】
，
又
【小问2详解】
，则
18.如图， 为 中点，曲线 上任一点到 点的距离相等， 在曲线 上且关于 对称.
长沙市一中2023届高三月考试卷（一）
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合 ，结合集合的补集及交集的定义即可求解.
炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数 学(理科)
炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数 学(理科)长沙市一中高三理科数学备课组组稿(考试范围：集合与逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、推理与证明、不等式、计数原理、二项式定理、概率与统计、直线、平面、简单几何体、空间向量)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若M ＝{x ||x －1|<2}，N ＝{x |x (x －3)<0}，则M ∩N ＝ A.{x |0<x <3} B.{x |－1<x <2} C.{x |－1<x <3} D.{x |－1<x <0}2.已知函数f (x )＝sin(2x －π4)，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α的值是A.π6B.π3C.π4D.π23.已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，又知α∩β＝m ，且n ⊄α，n ⊄β，则“n ∥m ”是“n ∥α且n ∥β”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.6名同学安排到3个宿舍，每个宿舍两人，其中甲必须在一号宿舍，乙和丙均不能到三号宿舍，则不同的安排方法种数为A.6B.9C.12D.185.若f (x )＝f 1(x )＝x1＋x ，f n(x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝A.nB.9n ＋1C.nn ＋1D.16.已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 被m 除得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod4).若22019≡r (mod7)，则r 可以为A.2019B.2019C.2019D.20197.在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A ＋PB ＋PC ＝AB ，则△PBC 与△ABC 的面积之比是A.13B.12C.23D.348.若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝{ lg|x |(x ≠0)1(x ＝0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]内零点的个数为A.12B.14C.13D.8选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.已知a 是实数，(a －i)(1－i)i是纯虚数，则a 的值是 .10.若x 1，x 2，x 3，…，x 2019，x 2019的方差是2，则3(x 1－1),3(x 2－1)，…，3(x 2019－1),3(x 2019－1)的方差是 .11.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为 (填你认为正确的图序号)12.已知函数f (x )＝－x 2＋ax －2b .若a ，b 都是区间[0,4]内的数，则使f (1)>0成立的概率是 .13.某机构对小学生作业负担的情况进行调查，设每个学生平均每天作业的时间为x (单位：分钟)，且x ～N (60,100)，已知P (x ≤50)＝0.159.现有1000名小学生接受了此项调查，下图是此次调查中某一项的流程图，则输出的结果大约是 .14.已知关于x 的方程9x －(4＋a )·3x ＋4＝0有两个实数解x 1，x 2，则x 21＋x 22x 1x 2的最小值是 .15.对有10个元素的总体{1,2,3，…，10}进行抽样，先将总体分成两个子总体A ＝{1,2,3,4}和B ＝{5,6,7,8,9,10}，再从A 和B 中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用P ij 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则P 15＝ ，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x 4，cos 2x4)，f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足a cos C ＋12c ＝b ，求函数f (B )的取值范围.在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：参与者最多有5次抽题并答题的机会.如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品.已知某参与者答对每道题答对的概率都是23，且每道题答对与否互不影响.(1)求该参与者获得纪念品的概率；(2)记该参与者游戏时答题的个数为ξ，求ξ的分布列及期望.如图，在体积为1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1＝1，P 为线段AB 上的动点.(1)求证：CA 1⊥C 1P ；(2)当AP 为何值时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6已知函数f (x )＝－x 2＋ax －ln x (a ∈R ).(1)求函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件；(2)当函数f (x )在[12，2]上单调时，求a 的取值范围.某旅游景区的观景台P 位于高(山顶到山脚水平面M 的垂直高度PO )为2km 的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB ，山坡面可近似地看作平面P AB ，且△P AB 为等腰三角形.山坡面与山脚所在水平面M 所成的二面角为α(0°＜α＜90°)，且sin α＝25.现从山脚的水平公路AB 某处C 0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n －1段依次为C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n (如图所示)，且C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n 与AB 所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sin β＝14.试问：(1)每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米.若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半)，在半山腰的中心Q 处修建上山缆车索道站，索道PQ 依山而建(与山坡面平行，离坡面高度忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？(2)若修建x km 盘山公路，其造价为x 2＋100 a 万元.修建索道的造价为22a 万元/km.问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少.已知正项数列{a n}的首项a1＝12，函数f(x)＝x1＋x，g(x)＝2x＋1x＋2.(1)若正项数列{a n}满足a n＋1＝f(a n)(n∈N*)，证明：{1a n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若正项数列{a n}满足a n＋1≤f(a n)(n∈N*)，数列{b n}满足b n＝a nn＋1，证明：b1＋b2＋…＋b n<1；(3)若正项数列{a n}满足a n＋1＝g(a n)，求证：|a n＋1－a n|≤3 10·(37)n－1.炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数学(理科)参考答案一、选择题1.A2.D3.C4.B5.A6.C7.C 解：由P A ＋PB ＋PC ＝AB 得P A ＋PB ＋BA ＋PC ＝0，即PC ＝2AP ，所以点P 是CA 边上的三等分点，故S △PBC ∶S △ABC ＝2∶3.8.B 解：如图，当x ∈[0,5]时，结合图象知f (x )与g (x )共有5个交点，故在区间[－5,0]上共有5个交点；当x ∈(0,10]时，结合图象知共有9个交点，故函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]上共有14个零点.二、填空题9.－1 10.18 11.①② 12.96413.15914.2 解：原方程可化为(3x )2－(4＋a )·3x ＋4＝0，∴3x 1·3x 2＝4，∴x 1＋x 2＝2log 32，∴x 1x 2≤(log 32)2.∴x 21＋x 22x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝4(log 32)2x 1x 2－2≥2. 15.1410 解：(1)由题意有：P 15＝C 13·C 25C 24·C 36＝14.(2)当1≤i <j ≤4时，P ij ＝1C 24＝16，这样的P ij 共有C 24个，故所有P ij (1≤i <j ≤4)的和为16·6＝1；当5≤i <j ≤10时，P ij ＝C 14·C 22C 36＝15.这样的P ij 共有C 26＝15个，故所有P ij (5≤i <j ≤10)的和为15·15＝3； 当1≤i ≤4,5≤j ≤10时，P ij ＝14，这样的P ij 共有4·6＝24，所有P ij (1≤i ≤4,5≤j ≤10)的和为24·14＝6，综上所述，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于1＋3＋6＝10. 三、解答题16.解：(1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12，而f (x )＝1，∴sin(x 2＋π6)＝12.(4分)又∵2π3－x ＝π－2(x 2＋π6)，∴cos(2π3－x )＝－cos2(x 2＋π6)＝－1＋2sin 2(x 2＋π6)＝－12.(6分)(2)∵a cos C ＋12c ＝b ，∴a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(10分)又∵0<B <2π3，∴π6<B 2＋π6<π2，∴f (B )∈(1，32).(12分)17.解：(1)设“参与者获得纪念品”为事件A ，则P (A )＝1－P (A )＝1－[(13)5＋C 15(13)4(23)]＝232243.(4分) 故该参与者获得纪念品的概率为232243.(5分)(2)ξ的可能取值为2,3,4,5，P (ξ＝2)＝(23)2＝49；P (ξ＝3)＝C 1223·13·23＝827； P (ξ＝4)＝C 1323(13)223＝427；P (ξ＝5)＝C 14(23)(13)3＋C 04(13)4＝19.(8分) 故ξ(10分)Eξ＝2×49＋3×827＋4×427＋5×19＝7927.(12分)18.解：(1)证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 又∵AB ⊥AC ，∴以A 为原点，AC ，AB ，AA 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系.又∵VABC －A 1B 1C 1＝12AB ×AC ×AA 1＝1，∴AB ＝2.(2分)设AP ＝m ，则P (0，m,0)，而C 1(1,0,1)，C (1,0,0)，A 1(0,0,1)， ∴CA 1＝(－1,0,1)，C 1P ＝(－1，m ，－1)， ∴CA 1·C 1P ＝(－1)×(－1)＋0×m ＋1×(－1)＝0， ∴CA 1⊥C 1P .(6分)(2)设平面C 1PB 1的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则{n ·B 1C1＝0n ·C 1P ＝0，即{ x －2y ＝0－x ＋my －z ＝0.令y ＝1，则n ＝(2,1，m －2)，(9分) 而平面A 1B 1P 的一个法向量AC ＝(1,0,0)， 依题意可知cos π6＝|n ·AC ||n ||AC |＝2(m －2)2＋5＝32，∴m ＝2＋33(舍去)或m ＝2－33. ∴当AP ＝2－33时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6.(12分)19.解：(1)∵f ′(x )＝－2x ＋a －1x ＝－2x 2＋ax －1x(x >0)，∴f (x )既有极大值又有极小值⇔方程2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根x 1，x 2. (3分)∴⎩⎨⎧Δ＝a 2－8>0x 1＋x 2＝a 2>0x 1·x 2＝12>0，∴a >22， ∴函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件是a >2 2.(6分)(2)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，令g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2，g (x )在[12，22)上递减，在(22，2]上递增.(8分)又g (12)＝3，g (2)＝92，g (22)＝22，∴g (x )max ＝92，g (x )min ＝2 2.(10分)若f (x )在[12，2]单调递增，则f ′(x )≥0即a ≥g (x )，∴a ≥92.若f (x )在[12，2]单调递减，则f ′(x )≤0，即a ≤g (x )，∴a ≤2 2.所以f (x )在[12，2]上单调时，则a ≤22或a ≥92.(13分)20.解：(1)在盘山公路C 0C 1上任选一点D ，作DE ⊥平面M 交平面M 于E ，过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连结DF ，易知DF ⊥C 0F .sin∠DFE ＝25，sin ∠DC 0F ＝14.∵DF ＝14C 0D ，DE ＝25DF ，∴DE ＝110C 0D ，所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的52倍，所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米.从山脚至半山腰，盘山公路为10km.从半山腰至山顶，索道长2.5km.(6分)(2)设盘山公路修至山高x (0＜x ＜2)km ，则盘山公路长为10x km ，索道长52(2－x )km.设总造价为y 万元，则y ＝(10x )2＋100a ＋52(2－x )·22a ＝(10x 2＋1－52x )a ＋102a .令y ′＝10axx 2＋1－52a ＝0，则x ＝1.当x ∈(0,1)时，y ′＜0，函数y 单调递减；当x ∈(1,2)时，y ′>0，函数y 单调递增，∴x ＝1，y 有最小值，即修建盘山公路至山高1km 时，总造价最小，最小值为152a 万元.(13分)21.证明：(1)∵a n ＋1＝f (a n )＝a n 1＋a n ，∴1a n ＋1＝1＋a n a n ＝1a n ＋1，即1a n ＋1－1a n＝1，∴{1a n }是以2为首项，1为公差的等差数列. ∴1a n ＝2＋(n －1)，即a n ＝1n ＋1.(3分) (2)证明：∵a n ＋1≤a n 1＋a n ，a n >0，∴1a n ＋1≥1＋a n a n ，即1a n ＋1－1a n≥1.当n ≥2时，1a n －1a 1＝(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)≥n －1，∴1a n ≥n ＋1，∴a n ≤1n ＋1. 当n ＝1时，上式也成立，∴a n ≤1n ＋1(n ∈N *)，∴b n ＝a n n ＋1≤1(n ＋1)2<1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴b 1＋b 2＋…＋b n <(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1<1.(8分)(3)∵a 1＝12，a 2＝g (a 1)＝45，a 2－a 1＝45－12＝310>0.又∵a n ＋1－a n ＝2a n ＋12＋a n －2a n －1＋12＋a n －1＝3(a n －a n －1)(a n ＋2)(a n －1＋2)，由迭代关系可知，a n ＋1－a n >0，∴a n ≥a 1＝12. 又∵(2＋a n )(2＋a n －1)＝(2＋2a n －1＋12＋a n －1)(2＋a n －1)＝5＋4a n －1≥7， ∴3(2＋a n )(2＋a n －1)≤37， ∴|a n ＋1－a n |＝3(2＋a n )(2＋a n －1)|a n －a n －1|≤37|a n －a n －1|， ∴|a n ＋1－a n |≤37|a n －a n －1|≤(37)2|a n －1－a n －2|≤…≤(37)n －1|a 2－a 1|＝310(37)n －1.(13分)。
湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考数学试题(文科)
湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考数学试题（文科）命题：长沙市一中高三数学备课组 时量：120分钟 满分：150分得分：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．︒︒165cos 15sin 的值等于（ ）A ．41B ．41-C ．21D ．21-2．下列函数中既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（ ）A ．xy )21(=B ．x y 21log =C ．y=sinxD ．y=x1 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若173a a +=10，则S 19的值为（ ）A ．95B ．100C ．115D ．1254．若点P 分有向线段AB 所成的比为1：3，则点B 分有向线段AP 所成的比为（ ）A ．43 B ．34C ．43-D ．34-5．已知a ),2,1(=b )2,3(-=，若ka+b 与a －3b 共线，则k 的值为（ ）A ．31B ．31-C ．－3D ．36．函数331)(x x x f -+=有（ ）A ．极小值－2，极大值2B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－1，极大值1D ．极小值－1，极大值37．下列命题中，m,n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面.①若n;m ,//,⊥⊥则ααn m ②若γβγ⊥⊥,a ，则βα//；③若α//,//n a m ，则n m //；④若γαγββα⊥⊥m ,,//,//则m .正确的命题是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④8．从a 、b 、c 、d 、e 五人中选1名组长，1名副组长，但a 不能当组长，b 不能当副组长，不同选法总数为（ ）A ．12B ．13C ．16D ．209．已知n n x b x b b x x x x n +++=++++++++ 1032)1()1()1()1(且+++321b b b …57=+n b ，则自然数n 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．已知A 、B 是两个定点，|AB|=4，点P 到A 、B 两点的距离之比为2，则点P 的轨迹是（ ）A ．半径为23的圆 B ．半径为2的圆 C ．半径为25的圆D ．半径为38的圆 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上学期11月月考英语试题(含答案)
长沙市一中2025届高三月考试卷(三)英语时量：120分钟满分：150分第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题;每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirtA. 19.15.B. 9.18.C. 9.15.答案是C。
1. What is the woman concerned aboutA. Getting punished.B. Causing an accident.C. Walking a long distance.2. What is the boy doingA. Having dinner.B. Playing games.C. Doing his homework.3. What is the probable relationship between the speakersA. Friends.B. Strangers.C. Boss and employee.4. When will the woman visit LeonA. This Tuesday.B. This Thursday.C. This Friday.5. What did the woman speaker plan to doA. Do some fitness training.B. Meet friends.C. Attend a show.第二节(共15小题;每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟;听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上学期月考卷(二)思想政治政治试卷(25一中2)
长沙市一中2025 届高三月考试卷(二)思想政治得分:本试题卷分选择题和非选择题两部分, 共8 页。
时量75 分钟, 满分100 分。
第I 卷选择题(共48 分)一、选择题(本大题共16小题,每小题3分,共48分。
每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 . 江河万里总有源, 树高千尺也有根。
习近平总书记反复告诫全党, 中国特色社会主义是在改革开放新时期开创的, 也是建立在我们党长期奋斗基础上的, 而其思想、理论和实践的源头, 则可追溯到更远。
在新时代继续推进党的理论创新, 要①立足中国具体国情, 把握中国式现代化实践要求②把中国特色社会主义理论体系作为立党立国的根本③挖掘历史文化沃土, 与中华优秀传统文化相结合④以海纳百川的开放胸襟, 学习借鉴人类一切文明成果A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④2. 进入新时代, 以习近平同志为主要代表的中国共产党人, 坚持把马克思主义基本原理同中国具体实际相结合、同中华优秀传统文化相结合。
在文化传承发展座谈会上, 习近平总书记强调"第二个结合"是又一次的思想解放。
这一次思想解放①推动了中华优秀传统文化创造性转化和创新性发展②成功实现了马克思主义中国化时代化的第三次飞跃③拓展和深化了我们党对马克思主义中国化时代化的规律性认识④为推进马克思主义中国化和传统化注入了蓬勃生机和内生动力A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④3 . 传承红色基因, 走好新时代长征路。
近年来, 某地组织广大青少年深入开展阅读红色书信、聆听红色故事、演唱红色歌曲、观看红色影片、开展红色演讲等"五红"系列活动, 不断增强红色文化的吸引力、感染力。
在广大青少年中开展"五红"系列活动有利于①用思想伟力感召广大青少年②使广大青少年坚定理想信念③提高广大青少年的专业技能④激发广大青少年的爱国热情A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④4. 整体上看, 中小企业数字化转型仍面临很多实质性障碍, 在实践中也明显落后于大型企业, 甚至在过去的10 年中, 中小企业与大型企业在数字化方面的差距正在扩大。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上学期月考卷(二)语文(含答案)
长沙市一中2025届高三月考试卷（二）语文得分：_____________ 本试卷共10页，时量150分钟，满分150分。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一中国诗词讲究含蓄，以淡为美。
而英美诗歌则比较奔放，以感情激越为胜。
另外，中国诗词多以歌颂为主，而英美现代诗歌多以揭露为主。
中国诗人或托物言志，或借景抒情，永远把自己的情感埋藏于诗词之中，我们只有通过“感悟”才可能感觉出其美，最突出的例子莫过于马致远的《天净沙·秋思》。
他几乎没有用一个表达感情的词语，只是把“枯藤”“老树”“昏鸦”简单地排列在一起，寥寥几笔便勾勒出一幅凄凉寂寥的景象，后面两句把几种事物列在一处，却恰如其分地渲染了寂寞、惨淡的气氛，“夕阳西下”更是给整幅画面涂上了一层昏黄的颜色，最后一笔带出“断肠人在天涯”，感觉上前后好像并无直接联系，但感情是连贯的，思路也是连贯的。
一口气读下来，仿佛自己就是诗人所描绘的画中的游子，引起强烈的共鸣。
然而几种事物的并列，虽然没有任何的主观感情，却比再多的语言都要强烈地表达了一种孤寂凄清的感情，这正是中国古典诗歌的魅力所在。
相比之下，英美现代诗歌强调写资本主义社会中畸零人的心理，比较直率地把诗人的所要表达的意思表现出来，直抒胸臆而毫无造作，言尽而意亦尽，回味的空间相对缩小了，但这样比较符合西方人的心理特征、思维特征。
（摘编自吕洋《中西方诗歌比较》）材料二①与中国古典诗歌弱化主体的倾向不同，西方诗歌中的主体差不多总是在场的。
以十四行诗为例，主体总是堂而皇之地出现在诗中，站出来讲话。
这样，西方诗歌就形成了与中国诗歌迥然不同的风格。
②诗歌的风格离不开其文化土壤。
在中国，流行的思想是人与自然的和谐，这种观念的形成与中国人的生活方式和生活环境有关。
早在新石器时代，农业经济就已经建立起来。
几千年来，自给自足的经济稳定繁荣，因此，人们非常依赖自然环境，对自然世界的任何微妙变化都很敏感，他们渴望与自然亲密接触。
湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期月考卷(一)语文试题(含答案)
长沙市一中2025届高三月考试卷（一）语文本试卷共10页，时量150分钟，满分150分。
一、现代文阅读（34分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，18分）阅读下面的文字，完成1～5题。
（一）①因为儒家政治构想的最高目标是旨在修身齐家治国平天下的“人”，人与人之间伦理认同即是根本和逻辑起点。
这种伦理的内涵，有着更为普遍和更为基础的对天下之“人”的论述。
先秦时期的中国，以最为根本性的孝、仁来建构人与人的认同，来建构自己与“他者”共在的联系，即天下。
②周朝的天下，以宗法制为联结，宗法制的伦理根基是“孝”。
家庭共同体有了孝的概念，孝的延伸就是天下共同体之“仁”。
仁不是与他者的对立，而是与他者的共生共通。
“仁”即是处理人与人关系的概念，处理人与人之间关系，逻辑上首先要处理与亲人的关系。
只有实现家庭内部的“亲亲”，才能实现向外的“爱人”。
人与家庭共生，通过“仁”的概念转向了人与天下共生。
因此理想的天下就是“不独亲其亲，不独子其子”。
天下大同，是仁孝概念的逻辑必然，也是伦理化天下的根本内涵。
换句话说，天下其实就是人类的伦理共同体，因此在这个共同体之内，就不可能有民族歧视。
③天下为一家，意味着“他者”的取消，即不以政体或民族区分敌我，而是在伦理关系中确证对方的独立性，并与对方共生共在。
天下一家的秩序展现在现实中，就是以伦理关系为核心的礼制。
凡天下之人，皆需仁孝，而仁孝就要服从礼制，服从礼制就要服从天子。
因此，家与天下就在政治秩序层面实现了同构。
随着大一统的实现，天下之内没有了其他的国，国家秩序也就成了天下秩序。
这种伦理化的天下秩序不断将边缘的地域和人民纳入天下中来，荀子说：“四海之内若一家，通达之属莫不从服。
”④后世的中国人，往往不是以民族或者国家来定义中国，而是以文化或文明定义中国。
正是因为中国概念的文明内涵，才导致中国可以消弭地理边界，逐渐与天下趋同。
⑤这种伦理的、文化的天下观念在宋朝受到了某种程度的挑战。
湖南省长沙一中2016届高三第六次月考(文)数学试题含答案
炎德∙英才大联考长沙市一中201届高三月考试卷（六）数学（文科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}022>-=x x x A ，{}0,2>==x y y B x，R 是实数集，则B A C R )(等于（）A.]2,1[B.),1(+∞C.]2,1(D.),0[+∞2.如果复数i a z 2+=满足条件5<z ，那么实数a 的取值范围是（） A.)22,22(- B.)2,2(- C.)1,1(- D.)3,3(-3.下列说法中，正确的是（）A.“10≤≤m ”是“函数1cos )(-+=m x x f 有零点”的充分不必要条件B.命题“若22bm am <，则b a <”的逆命题是真命题C.命题“q p ∨”为真命题，则“命题p ”和“命题q ”均为真命题D.命题“0,2≥+∈∀x x R x “的否定是”0,2000≥+∈∃x x R x 4.若按如图的算法流程图运行，输入的N 的值为5，则输出S 值为（）A.4B.65 C.54D.5 5.焦点为)5,0(F ，渐进线方程为034=±y x 的双曲线的方程是（）A.116922=-y xB. 191622=-x yC.1643622=-x yD.1366422=-y x6.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x ，所表示的平面区域为D ，若直线2-=kx y 与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围是（）A.),21[]21,(+∞--∞B.]2,2[-C.]21,21[-D.),2[]2,(+∞--∞ 7.一个体积为316的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧（左）视图的面积为（） A.36 B.8 C.38 D.128.设向量，均为非零向量，⊥-)2(，⊥-)2(，则与的夹角为（） A.6π B.3π C.32π D.65π9.在ABC ∆中，三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，面积为S ，若22)(c b a S +=+，则Aco s 等于（）A.54 B.54- C.1715 D.1715- 10.已知数列{}n a 的通项公式)(1log 2*∈+=N n n na n ，设其前n 项和为n S ，则使4->n S 成立的自然数n 有（）A.最大值14B.最小值14C.最大值15D.最小值1511.已知关于y x 、的方程组⎩⎨⎧=-=+ky kx k y x 22222仅有一组实验解，则符合条件的实数k 的个数是（）A.1B.2C.3D.412.设{}R y x y x y x S ∈-=，是奇数，22),(，{}R y x y x y x y x T ∈-=-=,),2cos()2cos()2sin()2sin(),(2222ππππ，则T S ,的关系是（）A.T S ≠⊂ B.S T ≠⊂ C.T S = D.φ=T S第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在区间]2,2[-上任取一个实数，则该数是不等式12<x 的解的概率为_______.15.三棱锥ABC O -中，OC OB OA ,,两两互相垂直，y OB x OA OC ===,,1，若4=+y x ，则三棱锥ABC O -外接球的球面积的最小值是______.16.设实数b a ,满足8,0≤≤b a ，且2216a b +=，则a b -的最大值与最小值之和为_______. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组)80,75[，第2组)85,80[，第3组)90,85[，第4组)95,90[，第5组]100,95[，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图； （2）根据样本频率分布直方图估计样本的众数；（3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？18.（本小题满分12分）在四棱锥ABCD F -中，底面ABCD 是平行四边形，4=AB ，8=AD ， 60=∠BAD ，⊥FA 平面ABCD 且12=FA ，点E 在FA 上，∥FC 平面BED ， （1）求AEFE的值； （2）求A 到平面BED 的距离.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20,10204==a S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1+=n nm a a b ，是否存在),,(*∈>N m k m k k m 、，使得k m b b b 、、1成等差数列. 20.已知函数4)(23-+-=ax x x f . （1）若)(x f 在34=x 处取得极值，求实数a 的值； （2）在（1）的条件下，若关于x 的方程m x f =)(在]1,1[-上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围；（3）若存在),0(0+∞∈x ，使得不等式0)(0>x f 成立，求实数a 的取值范围. 21.（本小题满分12分）已知动圆P 与定圆0352:22=-++x y x B 内切，且动圆经过一定点)0,1(A . （1）求动圆圆心P 的轨迹方程；（2）过点B （圆心）的直线与点P 的轨迹交于N M ,两点，求AMN ∆面积的最大值. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知点C 是以AB 为直径的圆O 上一点，CG 垂直于AB ，垂足为G ，过B 点做圆O 的切线，交直线AC 于点D ，点E 是CG 的中点，连接并延长AE 交BD 于点F ，求证： （1）AF CE DF AE ⋅=⋅； （2）CF 是圆O 的切线.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中，t t y tx C (5:1⎩⎨⎧+==为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线03sin 2:2222=-+θρρC . （1）求1C 的普通方程与2C 的参数方程；（2）根据（1）中你得到的方程，求曲线2C 上任意一点P 到1C 的最短距离，并确定取得最短距离时P 点的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0,0>>b a ，且1822=+b a . （1）若m b a ≤+恒成立，求m 的最小值；（2）若b a x x +≥+-12对任意的b a ,恒成立，求实数x 的取值范围.文科参考答案1-5DCABB 6-10DCBDA 11-12CA 13.2114.8 15.π9 16.3412- 17.【解析】（1）其它组的频率和为8.05)02.006.007.001.0(=⨯+++， 所以第四组的频率为2.0，频率分布直方图如图：..........................4分（2）样本的众数为5.82. . ....................................................7分（3）依题意良好的人数为164.040=⨯人，优秀的人数为246.040=⨯人.优秀与良好的人数比为2:3，所以采用分层抽样抽取的5人中有优秀3人，良好2人， 记从这5人中选2人至少有1人是优秀为事件M ，将考试成绩优秀的三名学生记为C B A ,,，考试成绩良好的两名学生记为b a ,，18.【解析】（1）∵∥FC 平面BED ，平面 FCA 平面AC EO BED (=与BD 交于点O )，EO FC ∥∴，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点，∴E 是FA 的中点，1=AEFE. .............6分 （2）∵4=AB ，8=AD ，60=∠BAD ，由余弦定理有34=BD ， ..................8分且AB BD ⊥，又因为A AB FA FA BD =⊥ ,，所以⊥BD 平面FAB ，所以BE BD ⊥，记A 到平面BED 的距离为h ，132,621,3860sin 842122=+====⨯⨯⨯=∴∆AB AE BE AF AE S ABD ，由ABD E BED A V V --=得AE S h S ABD BED ⋅=⋅∆∆3131，即613831132342131⨯⨯=⨯⨯⨯⨯h ，解得131312=h . .......................12分 19.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则d n n na S n 2)1(1-+=. 由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=⨯+201910234411d a d a ，解得⎩⎨⎧==.1,11d a .........................3分 所以)()1(1*∈=-+=N n n d n a a n . .....................................6分 （2）假设存在),,(*∈>N m k m k k m 、，使得k m b b b 、、1成等差数列， 则k m b b b +=12，因为11+==+n na ab n n m ，所以211=b ，1+=m m b m ，1+=k k b k . 所以12112++=+k km m . ....................8分 整理，得mm k --=313，因为0>k ，所以03>-m .解得31<≤m .因为若1,1==k m 舍去，所以2=m ，此时5=k .故存在5,2==k m ，使得k m b b b 、、1成等差数列. ..........................12分20.【解析】（1）ax x x f 23)(2+-='，由题意得0)34(='f ，解得2=a ，经检验满足条件. ........4分（2）由（1）知42)(23-+-=x x x f ，x x x f 43)(2+-='， ......................5分令0)(='x f ，则34,021==x x （舍去）.)(),(x f x f '的变化情况如下表：∴)(x f 在)0,1(-上单调递减，在)1,0(上单调递增，∴4)0()(-==f x f 极小值，函数)(x f 在]1,1[-上的简图，如图所示.又关于x 的方程m x f =)(在]1,1[-上恰有两个不同的实数根，则34-≤<-m ，即m 的取值范围是]3,4(--. ....................8分 （3）解法一：因存在),0(0+∞∈x ，使得不等式0)(0>x f 成立， 故只需要)(x f 的最大值0)(max >x f 即可， ∵)32(323)(,4)(223a x x ax x x f ax x x f --=+-='∴-+-=. .......................9分①若0≤a ，则当0>x 时，0)(<'x f ，∴)(x f 在),0(+∞单调递减. ∵04)0(<-=f ，∴当0>x 时，04)(<-<x f ，∴当0≤a 时，不存在),0(0+∞∈x ，使得不等式0)(0>x f 成立. ②当0>a 时，)(),(x f x f '随x 的变化情况如下表：∴当),0(+∞∈x 时，4274)32()(2max -==a a f x f ，由042742>-a 得3>a . 综上得3>a ，即a 的取值范围是),3(+∞. ...........................12分 解法二：根据题意，只需要不等式0)(>x f 在),0(+∞上有解即可，即0423>-+-ax x 在),0(+∞上有解，即不等式24x x a +>在),0(+∞上有解即可. ...............9分 令24)(xx x g +=，只需要min )(x g a >， 而342234224)(3222=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x x g ，当且仅当242x x =，即2=x 时“=”成立. 故3>a ，即a 的取值范围是),3(+∞. .................12分21.【解析】（1）定圆B 的圆心为)0,1(-B ，半径6=r ，因为动圆P 与定圆B 内切，且动圆P 过定点)0,1(A ，所以6=+PB PA .所以动圆圆心P 的轨迹是以B 、A 为焦点，长轴长为6的椭圆.∴所求椭圆的方程为18922=+y x . ....................5分 （2）由题设直线l 的方程为1+=x my ，与点P 的轨迹方程为18922=+y x ，联立得06416)98(22=--+my y m ， .............7分设),(),,(2211y x N y x M ，则,9864,9816221221+-=+=+m y y m m y y 222221221221)98()1(484)()(++=-+=-∴m m y y y y y y ， .....................9分 981482212221++=-⋅⋅=∴∆m m y y c S AMN，令112≥=+t m ，则122-=t m ， tt t t S AMN 184818482+=+=∴∆， ∵tt 18+在),1[+∞上是单调递增的，∴918≥+tt （当且仅当1=t 时取“=”）316≤∴∆AMN S （当直线l 与x 轴垂直时取“=”），所以AMN ∆面积的最大值为316. ..........12分 22.【解析】（1）由题知ADF ~ACE DB CG AB CG AB DB ∆∆∴⊥⊥，∥,,，有DFCEAF AE =，即AF CE DF AE ⋅=⋅. ........................5分 （2）连接OC 和CB ，由（1）知FBEGDF CE AF AE ==，又EG CE =，所以FB DF =， ................7分在DCB RT ∆中，F 为BD 中点，FB FC =， 所以FBC FCB ∠=∠，又 90,=∠+∠∠=∠OBC FBC OBC OCB ，所以90=∠+∠OCB FCB ， 即CF 是圆O 的切线. ..................... 10分23.【解析】（1）05:1=+-y x C ， .................2分ααα(sin cos 3:2⎩⎨⎧==y x C 为参数). ......................5分（2）设))2,0[)(sin ,cos 3(πααα∈P ，点P 到直线05=+-y x 的距离2232325)6cos(225sin cos 3=≥++=+-=παααd ， ..................8分当65,1)6cos(παπα=-=+时，即)21,23(-P 时，最短距离为223. ....................10分 24.【解析】（1）)(2)(222b a b a +≤+，即有6≤+b a ， .................3分 当且仅当3==b a 时等号成立，又要求m b a ≤+恒成立，6≥∴m ， 故m 的最小值为6. ....................6分（2）要使b a x x +≥+-12恒成立，只需612≥+-x x . ..................8分⎩⎨⎧≥+->⎩⎨⎧≥++-≤<⎩⎨⎧≥-+-≤∴6221622106220x x x x x x x x x 或或，解得3834≥-≤x x 或. .....................10分。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上学期月考(一)地理试题
大联考长沙市一中2025届高三月考试卷(一)地 理得分 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量75分钟，满分100分。
第Ⅰ卷 选择题(共48分)一 选择题：本大题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
区域人口迁移通常经历单核心向多核心演化的过程。
下图为我国长三角不同时期人口迁移的空间演化过程示意图。
据此完成1~2题。
1.与单核心阶段相比，多核心阶段人口迁移的特点是A.人口迁移的通道较少B.人口迁移的规模更小C.人口仅在小城镇阿流动D.人口迁移的频次更高2.在多核心阶段，若次级城市吸引力增强，可能带来的影响有①疏导核心城市的人口压力 ②加剧核心城市的逆城市化③降低核心城市的行政级别 ④促进区域经济一体化发展A.①②B.②③C.①④D.③④甘肃西接阿尔金山和祁连山，是我国西北地区重要的生态安全屏障。
为规范国土空间开发，实现区域的协调发展，甘肃将全省划分为3个主体功能区：城镇化发展区、农产品主产区、重点生态功能区(图1)。
图2示意2021年县域碳排放网络空间关联关系图(节点的大小表示在网络关系中的重要程度，节点间线的长度和粗细表示联系的频繁程度)。
据此完成3~5题。
3.甲、乙、丙分别表示A.城镇化发展区、农产品主产区、重点生态功能区B.城镇化发展区、重点生态功能区、农产品主产区C.农产品主产区、重点生态功能区、城镇化发展区D 重点生态功能区、城镇化发展区、农产品主产区关于甘肃省碳排放的说法，正确的是①陇中地区的碳排放强度最小②陇东南地区碳中和压力最大③河西地区因受地形的影响县域间碳排放网络空间联系弱④县域碳排放网络空间紧密度由中小县．域向周边县域递减A.①②B.①④C.②③D.③④5.关于城关区的发展方向，下列规划合理的是A.积极推进农创产业及新型农业发展B.积极创新推动低碳试点，发挥低碳引领导向C.积极发展生态经济和文化旅游经济D.积极优化产业结构，停止高耗能产业的发展风和水是干旱地区的两种主要作用力。
长沙市一中2012届高三月考试卷(六)及答案
考试次数排 名 长沙市一中2012届高三月考试卷(六)数学(文科)分值:150分 时量:120分钟 考试日期:2012-4-21一、选择题:本大题共9个小题,每小题5分,共45分. 1.已知集合{|(2)0,}A x x x x R =->∈,集合{|B x y ==,则A B = ( )A ．{|2}x x >B ．{|02}x x <<C ．{|0}x x >D ．{|12}x x ≤< 2.已知b 是实数,i 是虚数单位.若复数(1)(2)bi i ++是实数,则b 等于( ) A ．12-B ．12C ．2-D ．23.已知数列{}n a 的通项7(1)212(2)n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩,则5S =( )A ．27-B ．15-C ．20-D ．904.在ABC ∆中,已知,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,且4,30a b A ==∠=,则B 等于( )A ．30B ．30 或150C ．60D ．60 或1205.如图,12,e e 为互相垂直的单位向量,向量a b -可表示为( )A ．213e e -B ． 1224e e --C ．123e e -D ．123e e -6.如图,是甲乙两同学高中以来十次考试成绩在班上排名情况,则甲乙两同学这十次的平均排名和排名的标准差,s s 乙甲的大小关系应为( )A ．,x x s s =<甲乙乙甲B ．,x x s s =>甲乙乙甲C ．,x x s s ><甲乙乙甲D ．,x x s s >>甲乙乙甲7.函数()f x 的部分图象如图右,则()f x 的解析式可能是( )A ．()sin f x x x =+B ．cos ()xf x x=C ．()cos f x x x =D ．3()()()22f x x x x ππ=--8.如图,四棱锥P ABC D -的体积为2的正方形,P O ⊥底面ABC D ,E 为侧棱P C 中点,则PA 与BE 所成的角为( )A ．π B ．π C ．π D ．π(二)必做题(12〜16题)12.若向量,a b 满足||1,||2==a b ,且a 与b 的夹角为3π,则||+=b a .13.已知点(,)x y 满足00,1x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则u y x =-的取值范围是 .14.如图,正方体1111ABCD A B C D -,点P 是上底面1111A B C D 内一动点,则 三棱锥P ABC -的主视图与左视图的面积的比值为 .15.函数()cos ((,3))2f x x x π=∈π,若()f x m =有三个不同的实数根,且从小到大依次成等比数列,则m 的值为 .16.已知定义在*N 上的函数()()()()2n n f n n f n ⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶为数为数,(1)(2)(3)(2)n n a f f f f =++++ ,则(1)4a 的值是 ; (2)n a = .PDEOBABCA 1B 1C 1D 1PD 主视左视三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数2()22sinf x x x=-.(Ⅰ)若点(1,P在角α的终边上(始边为x轴的正半轴),求()fα的值;(Ⅱ)若A是ABC∆的最小内角,求()f A的取值范围.18.(本小题满分12分)袋中有若干个大小与形状完全相同的小球,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.已知从中任意抽取1个小球,取到2号小球的概率为1 2 .(Ⅰ)求n的值;(Ⅱ)从袋中有放回．．．地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.记“2a b+=”为事件A,求事件A的概率.19.(本小题满分12分)在如图所示的多面体中,下部ABC D A B C D''''-为正方体,点P在D D'的延长线上,且PD D D''=,,M N分别为P A B''∆和P B C''∆的重心.(Ⅰ)已知R为棱PD上任意一点,求证:M N 平面R A C; (Ⅱ)当R为棱D D'的中点时,求二面角R A C D--的平面角的正切值.'20.(本小题满分13分)2012年,国家为应对当前的经济危机,通过拉动内需,刺激经济增长.某品牌汽车集团公司计划投资20亿美元发展该品牌,据专家预测,2012年销售量为2万辆,并从2013年起,该公司汽车的销售量每年比上一年增加1万辆(假设2012年为第一年),销售利润按照每辆每年比上一年减少10%(2012年销售利润为2万美元/辆). (Ⅰ)第n 年的销售利润为多少?(Ⅱ)求到2016年年底,该公司能否实现盈利(即销售利润超过总投资,509059⋅≈⋅).21.(本小题满分13分)已知椭圆C 的焦点在x 轴上,短轴长离心率为2e =.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若M 点坐标为,过M 点作直线,M A M B 交椭圆C 于,A B 两点,且直线,M A M B 斜率分别为12,k k ,123k k +=.求证:直线AB 过定点.22.(本小题满分13分) 已知函数1()ln sin g x x x θ=+在[1,)+∞上为增函数,且1(0,),()ln ,m f x m x x m R xθ-∈π=--∈.(Ⅰ)求θ的值;(Ⅱ)若函数()()y f x g x =-在[1,)+∞上为单调函数,求m 的取值范围. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设2()e h x x=,若在[1,]e 上至少存在一个0x ,使得000()()()f x g x h x ->成立,求m 的取值范围.长沙市一中2012届高三月考(六)参考答案一.选择题6.【解】由图知,243028242226272629242610x +++++++++==甲,242625262427282628262610x +++++++++==甲,故x x =甲乙,排除,C D,又由散点图可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩更分散,故s s >乙甲,即选B. 7.【解】由于函数图象关于原点对称,可知()f x 为奇函数,排除D;又图象过原点,排除B;又()02f π=排除A.故选C.8.【解】如图右,连接O E ,则O E P A,所以BEO ∠为所求的角(或其补角), 在正方形ABC D 中,AB =易知2O B =,3ABC DS=正方形, 又2P A B C D V -=所以2PO =,PA ==所以2O E =,易证O B ⊥平面P A C ,所以R t B O E ∆中,tan 3O B BEO BEO O Eπ∠==∠=,故选C.9.【解】由题知2a ab S a b ba b≥⎧=⊕=⎨<⎩,所以当[2,2]x ∈-时,有3221212x x y x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩,不难求出最大值为6,故选C.二.填空题10. 6 11. 15+ 12. 13. [-1,1] 14. 1 15.1-16.(1) 86 ,(2)42n+10.至多做6次试验.〖二法〗或者按照教材的经验来看,7612021111F F +=-=-=-,所以用分数法安排试验时,最多只需做6次试验就能找到其中的最佳点.15.【解】如图右,作出函数()y f x =与直线y m =的图象,可知0m <,设三个交点,,A B C 的横坐标依次为123x x x <<,由图象对称可知,12232,4x x x x +=π⎧⎨+=π⎩ PDEOCB所以12322,4x x x x =π-=π-,又由于221322(2)(4)x x x x x ==π-π-,得243x π=,也所以有41cos32y m π===-,即求.16.【解】(1)由4(1)(2)(3)(16)a f f f f =++++所以4(13515)(2)(4)(6)(16)a f f f f =+++++++++ 又(16)(8)(4)(2)(1)1f f f f f =====;(14)(7)7,(12)(3)3,(10)(5)5,(6)(3)3f f f f f f f f ========所以4644735386a =+++++=. (2)特殊到一般法,由1(1)(2)1(1)2a f f f =+=+=,2(1)(2)(3)(4)11316a f f f f =+++=+++=,32(5)(6)(7)(8)6(5371)22a a f f f f =++++=++++=,又486a =,所以2132434,16,64a a a a a a -=-=-=,于是猜想114(2)n n n a a n ---=≥; 那么由累加法得11122114(14)42()()()2(2)143n nn n n n n a a a a a a a a n -----+=-+-++-+=+=≥-显然1n =时,12a =也适合,故423nn a +=.三.解答题17.【解】(Ⅰ)因为点(1,P 在角α的终边上,所以1sin cos 22αα==…………………2分所以221()cos 2sin (2(3222f αααα=-=⨯-⨯=-………………6分(Ⅱ)由于()2(1cos 2)2cos 212sin(2)16f x x x x x x π=--=+-=+-………………9分因为A 是ABC ∆的最小内角,所以(0,]3A π∈,…………………………………………………10分 所以52(,]666A πππ+∈,即1sin(2)[,1]62A π+∈……………………………………………………11分 所以2sin(2)1[0,1]6x π+-∈,故所求的()f A 的取值范围是[0,1]………………………………12分18. 【解】(Ⅰ)由题知,从袋子中任取一个小球的所有基本事件数为2n +个,其中取到2号小球的基本事件数为n 个,所以由古典概型知:122n n =+,得2n =……………………………………………………………………………4分(Ⅱ)有放回的抽取2个小球的基本事件如右表所示,共计有16种,…………………………………………8分其中事件A 发生包含了其中4种,如加方框的.…10分 所以5()16P A =……………………………………12分19.【解】(Ⅰ) 连接PM 并延长交A B ''于点E ,连接P N 并延长交B C ''于点F .则易知,,E F 分别为,A B B C ''''的中点, 连接EF .则由23PM PN PEPF==,知M N E F ,………2分而EF A C '' ,所以MN A C '' ………………………3分 且在正方体ABC D A B C D ''''-中,AA CC '' ,所以A C AC '' …4分 即有M N A C ,且M N ⊄平面,R A C A C ⊂平面R A C ,所以M N 平面R A C ;……………6分(Ⅱ)设正方体的棱长为2(0)a a >,所以R D a =,连接,BD BD AC O = ,正方体ABC D A B C D ''''-中,易知RD ⊥平面ABC D ,………7分 所以RD AC ⊥;又D O AC ⊥,且RD DO D = ,所以A C ⊥平面R D O ,………………………………………………………………………9分 故AC RO ⊥,RO D ∠为二面角R A C D --的平面角.…………………………………10分又12D O BD ==,所以tan 2RD RO D D O∠==,即二面角R A C D --2…………………………………………12分20.【解】(Ⅰ)依题意,汽车的销售量构成了首项为2万,公差为1的等差数列{}n a ,且1n a n =+………………………………………………………………………………………2分 又每辆汽车的销售利润构成了首项为2,公比为110%09-=⋅的等比数列{}n b ,1209n n b -=⨯⋅……………………………………………………………………………………4分若第n 年的销售利润记为n c ,则12(1)09n n n n c a b n -=⨯=+⋅(亿元)…………………………6分 (Ⅱ)设到2016年底该公司的总销售利润为S ,则12342(2309409509609)S =+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅……①…………………………………8分23450.92(20.9309409509609)S =⨯+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅……②①-②式得23450.12(20.90.90.90.960.9)S =++++-⨯A'即4550.9(10.9)0.142120.922320.910.9S -=+-⨯=-⨯-………………………………………11分所以10(22320.59)31.220S ≈-⨯=>所以到2016年该公司能实现盈利.……………………………………………………………13分 21.【解】(Ⅰ)由题设椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>………………………………………………1分则2b =,b =3分又2e =,得222112b e a==-,所以24a =…………………………………………………5分即椭圆22:142xyC +=为所求.………………………………………………………………6分(Ⅱ)证明:如图,设1122(,),(,)A x y B x y ,则123k k +=得,12123y y x x --+=……………………7分①直线:AB y kx t =+(k 存在时),则上可化为,12122(3x x k t x x ++-=………(※)……8分又联立2224y kx t x y =+⎧⎨+=⎩,得222(21)42(2)0k x ktx t +++-=所以2222148(21)(2)0k t k t ∆=-+->,得2224t k <+212122242(2),0(2121kt t x x x x t k k --+==≠≠++,……………………………………………9分代入(※)式得,242(32kt k t t -+-=-,解得3t =-所以直线:(3A B y kx t k x =+=+-过定点(3N -.…………………10分②当A B x ⊥轴时,由12123y y x x --+=结合1212,0x x y y =+=得,123x x ==-,即直线:3A B x =也过定点(3N -.……………………………………………12分综上①②可知,直线AB过定点(3N .………………………………………………13分22.【解】(Ⅰ)2211sin 1()0sin sin x g x x x x θθθ-'=-+=≥对[1,)x ∈+∞恒成立,…………………………2分又因为(0,)θ∈π时,0sin θ<≤1,所以化简得1sin xθ≥,又101x<≤,所以sin 1θ≥比较得sin 1θ=,即2θπ=……………………………………………………………………4分(Ⅱ)由2ln (1)m y m x x x x =--≥ 所以22222(1)mm x x my x x xxx-+'=+-=≥,依题意0y '≥或0y '≤恒成立;…………………5分也即221xm x ≥+或221x m x ≤+对1x ≥恒成立又因为函数2221(111x y x x x x==≤==++时取等号),且0y >………………………7分所以(0,1]y ∈, 也所以m ax 22)11x m x ≥(=+或m in 22)1x m x ≤(+,得0m ≤所以m 的取值范围为1m ≥或0m ≤.…………………………………………………………8分 (Ⅲ)①当0m ≤时,由(Ⅱ)知函数()()y f x g x =-在[1,]x e ∈上单调递减,所以max (1)(1)0y f g =-= 而函数2()e h x x=在[1,]x e ∈上是减函数,所以min ()()2h x h e ==,所以不存在0[1,]x e ∈上满足题意;……………………………………………………………10分 ②当1m ≥时,由(Ⅱ)知函数()()y f x g x =-在[1,]x e ∈上单调递增, 所以()()()y f x g x h x =--也是[1,]x e ∈上增函数,依题意只须()()()0y f x g x h x =-->在[1,]x e ∈上有解,即max 0y >, 所以x e =时,220m m e e --->,解得241e m e >-综上①②可知24(,)1e m e ∈+∞-为所求取值范围.…………………………………………………13分。
湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期月考卷(一)政治
长沙市一中2025届高三月考试卷（一）思想政治本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量75分钟，满分100分。
第Ⅰ卷选择题（共48分）一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分。
每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．继2024年1月德国火车司机罢工后，当地时间3月12日，德国汉莎航空约1.9万工会成员举行罢工，造成1000余个航班被取消，12万名旅客的出行受到影响。
汉莎航空工会组织此次罢工主要是为了向航空公司施压，要求为空乘人员增加工资并提供通胀补贴。
此外，工会诉求还包括增加带薪休假时间、提高养老金和退休保障等。
下列对德国工人罢工分析正确的是（）A．工人阶级和资产阶级的矛盾可以通过谈判来解决B．资本家可以通过提高工人工资来解决资本主义基本矛盾C．资本主义基本矛盾是工人进行罢工的总根源D．工会工人罢工是资本主义经济危机的基本特征2．2024年3月28日，西藏各族各界群众身着节日盛装，纪念西藏百万农奴解放65周年。
1959年3月28日，百万农奴得到彻底解放，成为自己命运的主人，实现了做人的权利，享有法律规定的公民权利。
由此可见（）①社会主义制度让百万农奴获得了新生②农奴制阻碍了人的发展，是历史的倒退③农奴的全部产品都归农奴主占有和支配④劳动人民被压迫、剥削的历史在西藏终结A．①②B．①④C．②③D．③④3．习近平总书记指出，历史是最好的教科书，也是最好的清醒剂。
我们党一经成立就鲜明提出“党的根本政治目的是实行社会革命”。
只有把党建设得更加坚强有力，才能确保中国式现代化劈波斩浪、行稳致远。
这要求中国共产党（）A．坚定道路自信，用马克思主义理论体系武装全党B．坚持和加强从严治党，以自我革命引领社会革命C．坚定理想信念，融个人理想于国家民族梦想之中D．推动社会主义事业建设的伟大工程，并一以贯之4．2024年4月26日，由广州地铁集团与腾讯公司共同成立的广州穗腾数字科技有限公司揭牌。
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(二)数学试题(解析版)
故答案为：
15.用符号 表示不超过 的最大整数（称为 的整数部分），如 ，已知函数 有两个不同的零点 ，若 ，则实数 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】函数 有两个不同的零点即函数 与函数 的图象有两个不同交点，分类讨论数形结合可得结果.
【详解】函数 有两个不同的零点 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同交点，
故选：ABD
10.已知函数 ，则（）
A.函数 的最小正周期为 B. 为函数 的一条对称轴
C.函数 的最小值为1，最大值为2D.函数 在 上单调递减
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件利用周期定义、对称性性质判断选项A，B；换元借助二次函数最值判断选项C；利用复合函数单调性判断选项D作答.
【详解】因为 ，所以 ，A错误；
且 ，
由 知 且 ，故 的充要条件是 为纯虚数，
故选：D．
4.如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为 ，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点 到容器底部的距离分别是10和16，则容器内液体的体积是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用补体法可求液体的体积.
同理可得其余各点坐标， ， ， ， ， ，
对于A中， ，故A正确；
对于B中， ，故B正确；
对于C中， ， ， ，
所以 ，故C错误；
对于D中， ， ，所以 在 方向上的投影为 ，
又因为 ，所以 在 方向上的投影，向量为 ，故D正确.
故选：C.
6.已知函数 的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为 ，将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象.若函 的图象在区间 上是增函数，则 的取值范围为（）
湖南省长沙市一中2023-2024学年高三上学期月考卷(二)语文试题(原卷版)
⑩ 在这幻想中的一天里，人类又有了最后的和最初的读者，与最后的和最初的作者。人的自然语言、人的文学，从根本上是为了保持和延伸人与人的关系、人与世界的关系。当我们读杜甫的诗，我们知道他是杜甫，是另一个人，带着他的悲辛、苍劲和宽阔站在我们面前，我们在这个人身上感受、勘探我们自身的可能和不可能。我们注视着梵高，我们确信如此眩目的色彩并非数字选择的结果，而是一个人生命的风暴，这风暴将裹抉我们。正是在这个意义上，我们和传统的关系、和已有的全部文本的关系不是一个知识问题，不是数据的检索和生成问题，而是我们作为有限的个体，以有限的生命去阅读、学习、体认、选择。我们每个人都是传统的“道成肉身”，把自己从传统中转化出来、发明出来、创造出来，成为那个坚实的、超级AI所消化不了的、最个别和最普遍的“物”。
D.作者认为，想要成为一个真正意义上的“作者”，就必须坚定捍卫人类的语言主权。
2.根据原文内容，下列说法不正确 一项是（ ）
A.我们如果不能守护人的根基，去实践、去创造，就不可能对抗和超越超级AI所生成的作品。
B.超级AI在写作上并非无用，对于那些按成规惯例、现成类型和模式进行的写作，它效率极高。
C.辩证地看，超级AI可能比我们更懂我们自己，其作品能让我们区别于其他人而具有独特个性。
②坟场也成了我开始认识生活的课堂。
⑨坟场，在我幼小的心灵中，曾是最恐怖的地方。小朋友在村头上玩，碰上阴天，晚上会突然看到野外有一闪一闪既不绿又不蓝的微弱的光。老人们说那是“鬼火”,是“活无常”挑着灯笼办案或者在打火抽烟。小朋友们听了头发竖，心发怵，跑回家蒙上被子闭上眼，被子里头好像还一闪一闪地亮。
湖南省长沙市一中2024届高三月考卷(一)语文试题
炎德·英才大联考长沙市一中2024届高三月考试卷(一)语文得分:本试卷共10页，时量150分钟，满分150分。
一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一：人类创造的文化，包括科技文化和人文文化两大部类，它们分别发展看工具理性和价值理性。
科学技术作为最富革命性格的生产力，改造着世界，创造着巨大的物质财富，为人类提供日益增多的方便与享受，使人类自觉不自觉地产生了一种对科学技术的盲目崇拜。
19世纪以降，尤其是20世纪，相当多的人把科学技术视作全知、全能、全在的救世主，以为所有难题，包括精神、价值、自由都可以经由科学技术获得完满解决。
但由于科学技术是从研究自然界(尤其是物理世界)中抽象出来的一种“物质化”方法，或“非人格化”方法，其应用显然不足以解决人的精神领域的各种问题。
用池田大作的语言来说，“科学之眼”自有其限定性，因为“科学的思维法产生了轻视生命的领向，容易忽视活生生的人的真实风貌”，因而有赖人文的思想及方法的补充与矫正。
这首先表现在，对人类的生命意义而言，科学技术的健康走向，有赖人文精指引。
诚然，科技是“价值中立”的，但是作为社会人的科学家却不应是价值中立的，二战期间，爱因斯坦与“原子弹之父”奥本海默联袂反对使用原子弹，便是从人类良知和社会责任感出发的。
科技需要人文文化弥补的又一理由是：科学技术可以提供日益强大、有效的工具理性，却不能满足人类对于政治理念、伦理规范和终极关怀等层面的需求，总之，无法提供人类区别于禽兽的“价值理性”。
而现代人类所面临的诸多困扰，往往发生在值理性”管辖的领地，发生在“意义危机”频频袭来之际。
中国古代优秀的人文传统也其是在道德层面，有若干超越性的意义，可以成为文明人类公认的生活准则。
诸不忍之心、羞恶之心、恻隐之心、仁爱之心，都是贯通古今、中外认可的。
“人无信不少”，何尝不是成熟的现代市场交易所应遵循的经济伦理?“己所不欲，勿施于人”，也规代社会人际关系须臾不可脱离的黄金法则。
2022-2023学年湖南省长沙市第一中学高三下学期2月月考(六)数学试卷含逐题详解
长沙市一中2023届高三月考试卷（六）数学时量：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}32,Z M x x n n ==-∈，{}2,1,0,1,2N =--，则M N ⋂=（）A.{}2,1- B.{}1,2- C.{}1,1- D.{}2,0,2-2.已知复数z 满足()1i 1i z -=+，i 为虚数单位，则z =（）A.iB.2222+ C.11i 22+ D.1i+3.已知()30A -,，()3,0B ，()0,3C ，一束光线从点()1,0F -出发经AC 反射后，再经BC 上点D 反射，落到点()1,0E 上．则点D 的坐标为（）A.15,22⎛⎫⎪⎝⎭B.33,22⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,2 D.()2,14.若ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.B.2- C.3- D.-5.据一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，求得经验回归方程为 1.20.4y x =+，且3x =．现发现这组样本数据中有两个样本点()1.2,0.5和()4.8,7.5误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l 的斜率为1.1，则（）A.去除两个误差较大的样本点后，y 的估计值增加速度变快B.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为 1.10.7y x =+D.去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点()2,2.7的残差为0.16.在四面体PABC 中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，120BAC ∠=︒，2AB AC AP ===，则该四面体的外接球的表面积为（）A.12πB.16πC.18πD.20π7.已知圆O 的半径为1，A 为圆内一点，12OA =，B ，C 为圆O 上任意两点，则AC BC ⋅ 的最小值是（）A.18-B.116-C.116D.188.设()f x 是定义在R 上的函数，若()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，函数()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，若对任意的[]0,x m ∈，()3g x ≤恒成立，则实数m 的最大值为（）A.133B.174C.92D.143二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）A.ω的取值范围是913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点C.()f x 的最小正周期可能是4π5D.()f x 在区间π0,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增10.已知抛物线C ：22x y =的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是C 上异于点O 的两点，O 为坐标原点，则（）A.l 的方程为12x =-B.若32AF =，则AOF 的面积为4C.若0OA OB ⋅=，则9OA OB ⋅≥D.若120AFB ∠=︒，过AB 的中点D 作DE l ⊥于点E ，则ABDE11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，顶点1,,B C A 到α的距离分别为1,2,3，则（）A.BD 平面αB.平面1A AC ⊥平面αC.直线1AB 与α所成角比直线1AA 与α所成角大D.12.已知a ，b 为正实数，且26ab a b ++=，则（）A.ab 的最大值为2B.2a b +的最小值为5C.1211a b +++的最小值为98D.()0,3a b -∈三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.设直线10x y ++=是曲线ln y a x =-的一条切线，则=a _________．14.楼道里有8盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，则关灯方案有_________种．15.过双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ．且点A ，B 位于x 轴的异侧，O 为坐标原点，若OAB 的内切圆的半径为23b，则双曲线C 的离心率为__________．16.小说《三体》中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形．这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着．有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合()()(){}22,cos sin 4,0P x y x y θθθπ=-++=≤≤．由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”．则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，已知1n a +是4与n S 的等比中项．（1）求{}n a 的通项分式；（2）证明：2222123111154n a a a a +++⋅⋅⋅+<．18.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C的对边，且cos sin a C C b c +=+．（1）求A ；（2）已知ABC 的面积为334，设M 为BC的中点，且AM =，BAC ∠的平分线交BC 于N ，求线段AN 的长度．19.近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI，可以实现4nm 手机SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为()01p p <<，且相互独立，若甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用的概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为ξ，请判断是否存在唯一的p 值0p ，使得() 1.5E ξ=？并说明理由．20.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PB ==．（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P AB C --的大小．21.已知()1,0F -，D 是圆C ：()22116x y -+=上的任意一点，线段DF 的垂直平分线交DC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹Γ的方程：（2）过点(),0M t 的直线l 与曲线Γ相交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为B '，直线AB '交x 轴于点N ，证明：OM ON ⋅为定值．22.已知函数()1e ln axf x x x-=+，a ∈R ．（1）当1a =时，求函数()f x x -的最小值；（2）若函数()f x x 的最小值为a ，求a 的最大值．长沙市一中2023届高三月考试卷（六）数学时量：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}32,Z M x x n n ==-∈，{}2,1,0,1,2N =--，则M N ⋂=（）A.{}2,1- B.{}1,2- C.{}1,1- D.{}2,0,2-【答案】A【分析】利用列举法及交集的定义即可求解.【详解】{}}{32,Z ...,5,2,1,4,7,M x x n n ==-∈=-- ,所以{}2,1M N =- .故选：A.2.已知复数z 满足()1i 1i z -=+，i 为虚数单位，则z =（）A.iB.2222+ C.11i 22+ D.1i+【答案】B【分析】根据向量的除法和向量模的求法，变形的1i 22(1i)=1i1i (1i)(1i)z ++==---+，即可求解.【详解】1i 1122(1i)2(1i)22===i 1i 1i 1i (1i)(1i)222z +++===+----+，故选：B3.已知()30A -,，()3,0B ，()0,3C ，一束光线从点()1,0F -出发经AC 反射后，再经BC 上点D 反射，落到点()1,0E 上．则点D 的坐标为（）A.15,22⎛⎫⎪⎝⎭B.33,22⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,2 D.()2,1【答案】C【分析】根据入射光线与反射光线的性质可知GH 方程，由GH 与BC 的交点可得D ，求坐标即可.【详解】根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出,F E 关于,AC BC 的对称点,G H ,连接GH ，交BC 于D ，则D 点即为所求，如图，因为AC 所在直线方程为3y x =+，(1,0)F -，设()G x y ,，则132211y x y x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩，解得3,2x y =-=，即(3,2)G -，由BC 所在直线方程为3y x =-+，(1,0)E ，同理可得(3,2)H ，所以直线GH 方程为2y =，由32y x y =-+⎧⎨=⎩解得(1,2)D ，故选：C 4.若ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.3B.2- C.3- D.3-【答案】C【分析】利用三角函数的诱导公式及二倍角的正弦公式，结合三角函数的齐次式法即可求解.【详解】因为ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以tan 1α<-，由23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，得21cos sin 22αα+=-，即222cos 2sin cos 1cos sin 2ααααα+=-+，所以212tan 11tan 2αα+=-+，即2tan 4tan 30αα++=，解得tan 3α=-或tan 1α=-(舍).故选：C.5.据一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，求得经验回归方程为 1.20.4y x =+，且3x =．现发现这组样本数据中有两个样本点()1.2,0.5和()4.8,7.5误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l 的斜率为1.1，则（）A.去除两个误差较大的样本点后，y 的估计值增加速度变快B.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为 1.10.7y x =+D.去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点()2,2.7的残差为0.1【答案】C【分析】根据直线l 的斜率大小判断A ；求出y 判断B ；再求出经验回归方程判断C ；计算残差判断D 作答.【详解】对于A ，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线l 的斜率变小，则y 的估计值增加速度变慢，A 错误；对于B ，由 1.20.4y x =+及3x =得：4y =，因为去除的两个样本点()1.2,0.5和()4.8,7.5，并且1.2 4.80.57.53,422++==，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为(3,4)，因此重新求得的回归方程对应直线一定过点(3,4)，B 错误；对于C ，设去除后重新求得的经验回归直线l 的方程为 ˆ1.1y x a=+，由选项B 知，ˆ4 1.13a =⨯+，解得ˆ0.7a =，所以重新求得的回归方程为 1.10.7y x =+，C 正确；对于D ，由选项C 知， 1.10.7y x =+，当2x =时， 1.120.7 2.9y =⨯+=，则2.7 2.90.2-=-，因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点()2,2.7的残差为0.2-，D 错误.故选：C6.在四面体PABC 中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，120BAC ∠=︒，2AB AC AP ===，则该四面体的外接球的表面积为（）A.12πB.16πC.18πD.20π【答案】D【分析】由线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABC ，设底面ABC 的外心为G ，外接球的球心为O ，D 为PA 的中点，可得四边形ODAG 为平行四边形，所以1OG =，在ABC 中，由余弦定理及正弦定理可求AG ，故可求外接球的半径，根据球的表面积公式即可求解.【详解】因为PA AB ⊥，PA AC ⊥，,,AB AC A AB AC =⊂ 平面ABC ,所以PA ⊥平面ABC .设底面ABC 的外心为G ，外接球的球心为O ，则OG ⊥平面ABC ，所以//PA OG .设D 为PA 的中点，因为OP OA =，所以DO PA ⊥.因为PA ⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ,所以PA ⊥AG ，所以//OD AG .因此四边形ODAG 为平行四边形，所以112OG AD PA ===.因为120BAC ∠=︒，2AB AC ==，所以BC=,由正弦定理，得24232AG AG==⇒=.所以该外接球的半径R满足()()2225R OG AG=+=,故该外接球的表面积为24π20πS R==.故选:D.7.已知圆O的半径为1，A为圆内一点，12OA=，B，C为圆O上任意两点，则AC BC⋅的最小值是（）A.18- B.116- C.116 D.18【答案】A【详解】首先设OA与BC所成角为θ，根据题意得到()1cos cos2AC BC OC OA BC OC BC OA BC BC BCO BCθ⋅=-⋅=⋅-⋅=∠-，再根据221111cos2222BC BC BC BCθ-≥-求解即可.【点睛】如图所示：设OA与BC所成角为θ，因为()1cos cos2AC BC OC OA BC OC BC OA BC BC BCO BCθ⋅=-⋅=⋅-⋅=∠-，因为112cos2BCBCO BCOC∠==，所以211cos22AC BC BC BCθ⋅=-因为221111cos2222BC BC BC BCθ-≥-，当0θ= 时，等号成立.因为02BC≤≤，所以当12BC=时，21122BC BC-取得最小值为18-，所以当12BC = 时，AC BC ⋅ 取得最小值为18-.故选：A8.设()f x 是定义在R 上的函数，若()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，函数()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，若对任意的[]0,x m ∈，()3g x ≤恒成立，则实数m 的最大值为（）A.133B.174C.92D.143【答案】B【分析】由()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，求出()2f x x x =-，再根据()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，作出函数()g x 的图象即可求解.【详解】因为()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，所以()()()()()22f x x f x x f x x f x x⎧-+-=--⎪⎨-+=-⎪⎩，解得()2f x x x =-，由()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，当()1,2x ∈时，则()10,1x -∈，所以()()()2121g x g x f x =-=-，同理：当()2,3x ∈时，()()()()214242gx g x g x f x =-=-=-，以此类推，可以得到()g x 的图象如下：由此可得，当()4,5x ∈时，()()164g x f x =-，由()3g x ≤，得()()16453x x --≤，解得174x ≤或194x ≥，又因为对任意的[]0,x m ∈，()3g x ≤恒成立，所以1704m <≤，所以实数m 的最大值为174.故选：B.【点睛】本题考查了奇函数与偶函数的性质，抽象函数的周期性，通过递推关系分析出每一个区间的解析式是本题的关键，数形结合是解题中必须熟练掌握一种数学思想，将抽象转化为形象，有助于分析解决抽象函数的相关问题.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）A.ω的取值范围是913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点C.()f x 的最小正周期可能是4π5D.()f x 在区间π0,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD【分析】由[]0,πx ∈，得πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，再根据函数()f x 在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴，可得5ππ7ππ242ω≤+<，可求出ω的取值范围判断A ，再利用三角函数的性质可依次判断BCD ．【详解】由[]0,πx ∈，得πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为函数()f x 在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴，所以5ππ7ππ242ω≤+<，解得91344ω≤<，故A 正确；对于B ，(0,π)x ∈ ，∴πππ,π444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，∴π5π7ππ,422ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当π5π,3π42x ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在区间(0,π)上有且仅有2个不同的零点；当π7π3π,42x ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭时，()f x 在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点，故B 错误；对于C ，周期2πT ω=，由91344ω≤<，则414139ω<≤，∴8π8π139T <≤，又84ππ58π,139⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()f x 的最小正周期可能是4π5，故C 正确；对于D ， π0,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππππ,44154x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，又91344ω≤<，∴ππ2π7ππ,0,1545152ω⎡⎫⎛⎫+∈⊆⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，所以()f x 在区间π0,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上一定单调递增，故D 正确．故选：ACD.10.已知抛物线C ：22x y =的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是C 上异于点O 的两点，O 为坐标原点，则（）A.l 的方程为12x =-B.若32AF =，则AOF 的面积为24C.若0OA OB ⋅= ，则9OA OB ⋅≥D.若120AFB ∠=︒，过AB 的中点D 作DE l ⊥于点E ，则ABDE 【答案】BD【分析】A 选项，由抛物线方程得到准线方程，A 错误；由焦半径公式得到1A y =，进而求出A x =到AOF 的面积，B 正确；由0OA OB ⋅= 得到4A B x x =-，4A B y y =，表达出()2222232A B A B OA OB x y y x ⋅=++，结合基本不等式求出最值，C 错误；作出辅助线，设,AF a BF b ==，由焦半径公式得到2a b DE +=，结合余弦定理，基本不等式得到AB DE 的最小值.【详解】22x y =的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12y =-，故A 错误；由焦半径公式可知：1322A AF y =+=，解得1A y =，故222A A x y ==，故A x =所以AOF 的面积为11122224A OF x ⋅=⨯=，B 正确；若0OA OB ⋅= ，则0A B A B x x y y +=，即22104A B A B x x x x +=，解得：4A B x x =-，则4A B y y =，故()()()2222222223232A A B B AB A B OA OB x y x y x y y x ⋅=++=++≥+32264A B A B x x y y =+⋅=，故8OA OB ⋅≥，当且仅当A B A B x y y x =时，等号成立，C 错误；过点A 作1AA ⊥l 于点1A ，过点B 作1BB ⊥l 于点1B ，设,AF a BF b ==，所以2a b DE +=，因为()2222222cos AB a b ab AFB a b ab a b ab=+-∠=++=+-()()22223342a b a b a b DE ++⎛⎫≥+-== ⎪⎝⎭，所以AB ≥，AB DE .故选：BD【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，顶点1,,B C A 到α的距离分别为1,2,3，则（）A.BD 平面αB.平面1A AC ⊥平面αC.直线1AB 与α所成角比直线1AA 与α所成角大D.【答案】ABD【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求解判断即可.【详解】解：设,AC BD 的交点为O ，显然O 是AC 、BD 的中点，因为平面ABCD A α= ，C 到平面α的距离为2，所以O 到平面α的距离为1，又B 到平面α的距离为1，所以//BO 平面α，即//BD 平面α，即A 正确；设平面ABCD l α= ，所以//BD l ，因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，因为11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面1A AC ，所以BD ⊥平面1A AC ，因此有l ⊥平面1A AC ，而l ⊂α，所以平面1A AC ⊥平面α，因此选项B 正确；设1B 到平面α的距离为d ，因为平面11AA B B A α= ，11AA B B 是正方形，点1A ，B 到α的距离分别为3，1，所以有31422d d +=⇒=，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a，设直线1AB 与α所成角为β，所以1422sin AB a β===，设直线1AA 与α所成角为γ，所以133sin AA aγ==，因为3>sin sin βγβγ<⇒<，因此选项C 不正确；因为平面1A AC ⊥平面α，平面1A AC ⋂平面A α=，所以1,C A 在平面α的射影,E F 与A 共线，显然1112,3,,,CE A F AC AA a AA AC ====⊥，如图所示：由11ECA CAE CAE A AF ECA A AF ∠+∠=∠+∠⇒∠=∠，111cos ,sin A F CE ECA A AF AC AA ∠=∠=，由2212249cos sin 112ECA A AF a a a∠+∠=⇒+=⇒=，因此选项D 正确，故选：ABD 12.已知a ，b 为正实数，且26ab a b ++=，则（）A.ab 的最大值为2B.2a b +的最小值为5C.1211a b +++的最小值为98D.()0,3a b -∈【答案】AC【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可求解.【详解】依题意，对于A ：因为26ab a b ++=，所以62ab a b ab =++≥+，当且仅当2a b =时取等号，令0t =>，则有260t +-≤，解得t -≤≤，又因为0t =>，所以0t <≤，即0<≤ab 的最大值为2，故A 选项正确；对于B ：因为26ab a b ++=，所以()221162222224a b ab a b ab a b a b +=++=⨯++≤+，当且仅当2a b =时取等号，令20t a b =+>，则有28480t t +-≥，解得4t ≥或t 12≤-（舍去），即24a b +≥，所以2a b +的最小值为4，故B 选项错误；对于C ：因为26ab a b ++=，所以12111888b b a ++==++，所以81221119888111a b b b +++≥=+++=++，当且仅当2118b b +=+，即3b =时等式成立，所以1211a b +++的最小值为98，故C 选项正确；对于D ：当14a =，225b =时，()4.150,3a b -=∉，所以D 选项错误；故选：AC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.设直线10x y ++=是曲线ln y a x =-的一条切线，则=a _________．【答案】2-【分析】设切点为()00,x y ，根据导数的几何意义求出切点的横坐标，再根据切点即在曲线上又在切线上即可得解.【详解】设切点为()00,x y ，1y x '=-，则0011x x y x ==-=-'，所以01x =，所以切点为()1,a ，又切线为10x y ++=，所以110a ++=，解得2a =-.故答案为：2-.14.楼道里有8盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，则关灯方案有_________种．【答案】20【分析】根据题意，原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯，由组合公式计算即可求解.【详解】依题意，原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯，则有36C 20=种方案.故答案为：20.15.过双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ．且点A ，B 位于x 轴的异侧，O 为坐标原点，若OAB 的内切圆的半径为23b ，则双曲线C 的离心率为__________．【答案】【分析】作出图象，设OAB 的内切圆的圆心为M ，易知M 在AOB ∠的平分线Ox 上，过M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，则有四边形MTAN 为正方形，则2||||3b NA MN ==，2||3b ON a =-，由tan MNb AOF ON a ∠==，可得2a b =，由斜率公式即可得答案.【详解】解：如图所示：设A 在第一象限，由题意可知22bc AF d b a b ===+，其中d 为点(c,0)F 到渐近线b y x a =的距离，||OF c =，所以2222||||||OA OF AF c b a =-=-，设OAB 的内切圆的圆心为M ，则M 在AOB ∠的平分线Ox 上，过M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，又因为FA OA ⊥于A ，所以四边形MTAN 为正方形，所以2||||3b NA MN ==，所以2||||||3b ON OA NA a =-=-，又因为2||3tan 2||3b MN b AOF b ON a a ∠===-，所以2233a b a =-，2a b =，所以22225c a b b =+=，所以5c b =，所以5522c b e a b ===.故答案为：52.16.小说《三体》中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形．这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着．有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合()()(){}22,cos sin 4,0P x y x y θθθπ=-++=≤≤．由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”．则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_________．【答案】16π33+【分析】根据图形与()()(){}22,cos sin 4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤，建立直角坐标系，画出图形，求出相应的坐标，先求第一、二象限的阴影面积，再求第三象限的阴影面积，再求和即可求解.【详解】根据题意，建立直角坐标系，如图所示：在方程()()22cos sin 4x y θθ-+-=，0πθ≤≤中，令0x =，则有222cos 2sin sin 4y y θθθ+-+=，所以12sin y yθ=-，其中0πθ≤≤，所以[]sin 0,1θ∈，所以[]12sin 0,2y y θ=-∈，解得3,13,3y ⎡⎤⎤∈-⎣⎦⎦ ，所以(3A ，()0,3E ，()0,1G -，(0,3D ，令0θ=，则有()2214x y -+=，所以()1,0C ，()3,0N ，令πθ=，则有()2214x y ++=，所以()1,0B -，()3,0M -.由()3,0M -，()3,0N ，()0,3E 易得 MEN与线段MN 组成的图形为229x y +=的上半圆，由此可知，在第一、第二象限中的阴影面积是由229x y +=的上半圆减去()2214x y -+=上半圆与()2214x y ++=上半圆相交的部分形成，即 BAC与线段BC 组成的面积，设为S 水滴上部.由(A ，()1,0B -，()1,0C 三点易得ABC 为边长为2的等边三角形，所以212ππ263ABC AnC S S =⨯⨯-=- 弓形所以4π23ABC AnC S S S =+=弓形水滴上部，设第一、二象限的阴影面积为1S ，则19π9π4π19π2236S S =-=-++水滴上部.由()1,0B -，()1,0C ，()0,1G -易得 BGC与线段BC 组成的图形为221x y +=的下半圆，设在第三象限中的阴影面积为2S ，则有2π4MOD MpD S S S =+-弓形，由图知11333222MOD S MO OD =⨯⨯=⨯=11222MBD S MB OD =⨯⨯=⨯⨯ ，2π3MBD ∠=，所以214ππ233MBD MpD S S =⨯⨯-=- 弓形，所以2π4ππ13π4234122MOD MpD S S S =+-=-=+ 弓形，所以图中“水滴”外部阴影部分的面积为：1219π13π316π2261223S S S ⎛=+=+⨯+=+ ⎝⎭故答案为：16π3+.【点睛】本题考查了圆与三角函数综合的知识点，可以根据图形的对称性建立直角坐标系，将图形转化为实际的数据，割补法是求阴影面积常用的方法，需要考生有一定的分析转化能力.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，已知1n a +是4与n S 的等比中项．（1）求{}n a 的通项分式；（2）证明：2222123111154n a a a a +++⋅⋅⋅+<．【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【分析】(1)由等比中项得()214n n a S +=，进而由递推式计算出11a =，并得到12n n a a --=，得数列{}n a 是等差数列，进而可求解；(2)由()22111114121n a n n n ⎛⎫=<- ⎪-⎝⎭-，从第二项开始放缩即可证明.【小问1详解】∵1n a +是4与n S 的等比中项，∴()214n n a S +=①．当1n =时，()2111144a S a +==，∴11a =．当2n ≥时，()21114n n a S --+=②，由①-②得，()()()22111144n n n n n a a S S a --+-+=-=，∴()()1120n n n n a a a a ----+=，∵0n a >，∴12n n a a --=，∴数列{}n a 是首项为l ，公差为2的等差数列，∴{}n a 的通项公式21n a n =-．【小问2详解】由（1）得2111a =，当2n ≥时，()22221111111441444121n a n n n n n n n ⎛⎫==<=- ⎪-+--⎝⎭-，∴22222221232311111111n na a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+1111111115151114122314444n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C的对边，且cos sin a C C b c +=+．（1）求A ；（2）已知ABC 的面积为334，设M 为BC的中点，且AM =，BAC ∠的平分线交BC 于N ，求线段AN 的长度．【答案】（1）π3A =（2）5AN =【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化将原式化简，再结合三角恒等变换即可求得结果；（2）根据题意，可得()22222242AM AB AC AB AB AC AC c b bc =+=+⋅+=++ ，再结合三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由题意知ABC 中，cos sin a C C b c +=+，由正弦定理边角关系得：则sin cos sin A C A C ()sin sin sin sin sin cos cos sin sin B C A C C A C A C C =+=++=++，sin cos sin sin A C A C C =+，∵()0,πC ∈，∴sin 0C ≠cos 1A A -=，∴π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,πA ∈，ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ=66A -，即π3A =．【小问2详解】如下图所示，在ABC 中，AM 为中线，∴2AM AB AC =+，∴()22222242AM AB AC AB AB AC AC c b bc =+=+⋅+=++ ，∴2212b c bc ++=．∵334ABC S =△，∴1sin 244bc A ==，3bc =，∴b c +==，∵ABC ABN ACN S S S =+△△△，∴()331π15sin 4264b c AN AN =+=，∴355AN =．19.近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI，可以实现4nm 手机SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为()01p p <<，且相互独立，若甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用的概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为ξ，请判断是否存在唯一的p 值0p ，使得() 1.5E ξ=？并说明理由．【答案】（1）甲被录用的概率为2332p p -，乙被录用的概率为2333p p -（2）不存在；理由见解析【分析】(1)分析已知，甲被录用符合二项分布，乙被录用符合组合排列，分别利用对应求概率公式计算即可.(2)先分析ξ的可能取值，然后分别求解对应概率，再利用离散型数学期望的公式表示出数学期望，然后构造函数，利用求导分析函数单调性，进而判断即可.【小问1详解】由题意，设甲答对题目的个数为X ，得()~3,X B p ，则甲被录用的概率为()2232313C 132P p p p p p =-+=-，乙被录用的概率为()222332C 133P p p p p =-=-．【小问2详解】ξ的可能取值为0，1，2，则()()()12011P P P ξ==--，()()()1212111P P P P P ξ==-+-，()122P PP ξ==，∴()()()()()121212*********E P P P P P P PPξ=⨯--+⨯-+-+⨯⎡⎤⎣⎦23232312323365 1.5P P p p p p p p =+=-+-=-=，32101230p p ∴-+=，设()()321101230f p p p p +=<<-，则()23024f p p p '=-．∴当405p <<时，()f p 单调递减，当415p <<时，()f p 单调递增，又()03f =，()11f =，4110525f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以不存在p 的值0p ，使得()00f p =.20.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PB ==．（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P AB C --的大小．【答案】（1）证明见解析（2）6π【分析】(1)分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接PE ，EF ，PF ，证明出PC PD =，可得PAD PBC ≌△△，由此可证得结论成立；(2)先根据条件推出PEF ∠为二面角P AB C --的平面角，设PEF α∠=，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合基本不等式求出直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值的最大值，求出对应的角的值，即可求解.【小问1详解】分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接PE ，EF ，PF ，∵PA PB =，E 为AB 的中点，∴PE AB ⊥．∵四边形ABCD 为正方形，则AB CD ∥且AB CD =，∴CD PE ⊥．∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴EF AD ∥，∴EFCD ⊥，∵EF PE E ⋂=，∴CD ⊥平面PEF ．∵PF ⊂平面PEF ，∴CD PF ⊥．在PCD 中，∵F 为CD 的中点，CD PF ⊥，∴PC PD =．又∵PA PB =，AD BC =，∴PAD PBC ≌△△，从而可得PAD PBC ∠=∠．【小问2详解】由（1）可知PE AB ⊥，EF AB ⊥，∴PEF ∠为二面角P AB C --的平面角，且223PE PA AE =-=，以点E 为坐标原点，EB ，EF 所在直线分别为x ，y 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设PEF α∠=，其中0απ<<，则()1,0,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()1,2,0D -，()0,2,0F，(),P αα，()AP αα= ，()2,0,0DC =uuu r，()FP αα=- ．设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，由00n DC n FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即202)0x y z αα=⎧⎪⎨-⋅=⎪⎩，取y α=，则2z α=-，0x =，∴(),2n αα=- ，cos ,n AP n AP n AP ⋅<>==⋅=令(77t α-=∈-+，则cos α=，则cos ,2n AP <>= ，当且仅当1t =时，即当3cos 2α=时，即当6πα=时，等号成立．所以当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，二面角P AB C --为6π．21.已知()1,0F -，D 是圆C ：()22116x y -+=上的任意一点，线段DF 的垂直平分线交DC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹Γ的方程：（2）过点(),0M t 的直线l 与曲线Γ相交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为B '，直线AB '交x 轴于点N ，证明：OM ON ⋅为定值．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【分析】（1）由中垂线性质，可知42PC PF PC PD DC FC +=+==>=，得动点P 的轨迹以C ，F 为焦点的椭圆；（2）将直线l 与曲线Γ方程联立，利用韦达定理及题目条件表示出点N 坐标，后可得答案.【小问1详解】圆C ：()22116x y -+=，圆心为()1,0，半径为4，因为线段DF 的垂直平分线交DC 于P 点，所以PD PF =，所以42PC PF PC PD DC FC +=+==>=，所以由椭圆定义知，P 的轨迹是以C ，F 为焦点的椭圆，则242a a =⇒=，221c c =⇒=，2223b a c =-=.故轨迹方程为：22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于坐标轴，设直线l 的方程为()0x my t m =+≠，将其与Γ方程联立：22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2223463120m y mty t +++-=.方程判别式()2248430m t +->，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,B x y '-，由韦达定理有122634mt y y m -+=+，212231234t y y m -=+，则直线AB '的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，令()1212211212N 121212202my y t y y x y x y y y y x m t y y y y y y +++=⇒===⋅++++2312426t m t mt t -=⋅+=-，则40,N t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得()400,，,OM t ON t ⎛⎫== ⎪⎝⎭.∴44OM ON t t⋅=⋅= ．即OM ON ⋅ 为定值4．22.已知函数()1e ln ax f x x x-=+，a ∈R ．（1）当1a =时，求函数()f x x -的最小值；（2）若函数()f x x的最小值为a ，求a 的最大值．【答案】（1）0（2）1【分析】（1）当1a =时，令()()F x f x x =-，求得()()()121e x x x x F x --=-'，根据()F x '在不同区间的符号判断()F x 的单调性，由单调性即可求出()()F x f x x =-的最小值；（2）将()≥f x a x 等价变换为()0f x ax -≥，借助第（1）问中判断()()()121e x x x x F x --=-'的符号时构造的()1e x g x x -=-在1x =时取最小值，取()ln g ax x -，将问题转化为ln 1ax x -=有解问题即可.【小问1详解】当1a =时，令()()1e ln x x x F xf x x x-+=--=，()0,x ∈∞，则()()()()()11112221e e 11e e 11x x x x x x x x x x x xF x x x ------+-'==-⋅-+-=，令()1e x g x x -=-，x ∈R ，则()1e 1x g x -'=-，易知()g x '在R 上单调递增，且()10g '=，∴当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在区间()0,1上单调递减，且()()110e x g x x g -=->=，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在区间()1,+∞上单调递增，且()()110ex g x x g -=->=，∴当()0,1x ∈时，()()()121e 0x x x F x x --'=-<，()F x 在区间()0,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()()()121e 0x x x F x x --'=->，()F x 在区间()1,+∞上单调递增，当1x =时，()F x 取得极小值，也是最小值，()()11min e 1ln1101F x F -==+-=，∴当1a =时，函数()f x x -的最小值为0.【小问2详解】由已知，()f x 的定义域为()0,∞+，若函数()f x x 的最小值为a ，则有()≥f x a x，∴()f x ax ≥，()0f x ax -≥，令()()h x f x ax =-，即()()1e ln ax x ax h x x ax xf -+=--=的最小值为0，由第（1）问知，当且仅当1x =时，()1e xg x x -=-取最小值()10g =，∴当且仅当ln 1ax x -=时，()ln g ax x -取得最小值0，又∵()()()l 1l 1n 1n n e e ln l ln ln e e ax ax ax x x g ax x ax x x ax x ax h x x-----=--=+-=-=，∴只需令ln 1ax x -=有解，即ln 1x a x +=有解，令()ln 1x H x x +=，()0,x ∈+∞，则()()221ln 1ln x x x x H x x x ⋅-+'==-，当()0,1x ∈时，()2ln 0x H x x'=->，()H x 在区间()0,1上单调递增，当()1,x ∈+∞时，()2ln 0x H x x '=-<，()H x 在区间()1,+∞上单调递减，∴()()ln 111x a H x H x+==≤=，综上所述，若函数()f xx的最小值为a，则a的最大值为1.【点睛】在导数压轴题中，常常会使用前问的结论或某一步构造的函数，解决后面的问题.本题第（2）问中直接求导分析()()1e lnaxx axh x x axxf-+=--=的单调性较为困难，这里使用了换元思想，借助第（1）问构造的()1e xg x x-=-，使()()lng ax x h x-=，以达到简化运算的目的.。
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三下学期月考卷(六)语文含答案
长沙市一中2023届高三月考试卷（六）语文时量：150分钟满分:150分得分: _______一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一：在《红楼梦》，那可说而未经人说的就是那悲剧之演成。
悲剧为什么演成？辛酸泪的解说在哪里？曰：一在人生见地之冲突，一在兴亡盛衰之无常。
我们先说第一个。
“天地生人，除大仁大恶，余者皆无大异。
”仁者秉天地之正气，恶者秉天地之邪气，至于那第三种却是正邪夹攻中的结晶品。
《红楼梦》中的贾宝玉、林黛玉便是这第三种人的基型。
普通分三种人为善恶与灰色。
悲剧之演成常以这三种人的互相攻伐而致成，惟《红楼梦》之悲剧，不是如此。
《红楼梦》里边，没有大凶大恶的角色，也没有投机骑墙的灰色人。
悲剧之演成，既然不是善恶之攻伐，然则是由于什么？曰：这是性格之不同，思想之不同，人生见地之不同。
在为人上说，都是好人，都是可爱，都有可原谅可同情之处，惟所爱各有不同，而各人性格与思想又各互不了解，各人站在个人的立场上说话，不能反躬，不能设身处地，遂至情有未通，而欲亦未遂。
悲剧就在这未通未遂上各人饮泣以终。
这是最悲惨的结局。
在当事人，固然不能无所恨，然在旁观者看来，他们又何所恨？希腊悲剧正与此同。
国王因国法而处之于死地，公主因其为情人而犯罪而自杀，其妹因其为兄长而犯罪而自杀。
发于情，尽于义，求仁而得仁，将何所怨？是谓真正之悲剧。
善恶对抗的悲剧是直线的，显然的；这种冲突矛盾所造成的悲剧是曲线的，令人失望的。
《红楼梦》写悲剧已奇了，复写成思想冲突的真正悲剧更奇，《红楼梦》感人之深即在这一点。
（摘编自牟宗三《（红楼梦）悲剧之演成》）材料二：鲁迅先生曾经说，“悲剧就是将人生有价值的东西毁灭给人看”。
有意义的人生一定建立在对某些价值的相信之上，正因为如此，价值的毁灭才构成真正的悲剧。
以曹雪芹笔下的金陵十二钗为例，她们认同不同的价值，选择不同的生活，但所有的这些价值最后都无一例外地落空。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上学期月考卷(二)生物试题
长沙市一中2025届高三月考试卷(二)生物学得分本试题卷包括选择题、非选择题两部分, 共8 页。
时量75 分钟。
满分100 分。
第I 卷选择题(共40 分)一、单项选择题(每小题只有一个选项符合题意。
本题共12 小题,每小题2 分, 共24 分。
)1 . 研究组成细胞的分子, 实际上就是在探寻生命的物质基础, 帮助我们建立科学的生命观。
下列关于细胞中元素和化合物的叙述, 正确的是A. 微量元素在生物体内含量虽然很少, 却是维持正常生命活动不可缺少的, 这可通过缺镁时叶片变黄这一实例得到证实B. 大部分松花蛋是以鸭蛋为原料制作的, 加入的材料有盐、茶及碱性物质(如:生石灰、碳酸钠、氢氧化钠等) , 其内容物变为固态或半固态, 主要是因为含水量减少造成的C. 磷脂由甘油、脂肪酸、磷酸构成, 是构成细胞膜和多种细胞器膜的重要成分D.花生种子在萌发出土前干重增加, 主要是由于。
元素增加所致, 种子燃烧后留下灰分, 这些灰分是无机盐2 . 洋葱是生物学实验常用的材料之一, 根呈细丝状, 叶片中空呈圆筒形, 叶鞘肥厚呈鳞片状, 密集于短缩茎的周围, 形成鳞茎, 鳞片叶的外表皮液泡中含有水溶性的花青素呈紫色。
下列叙述正确的是A. 提取洋葱鳞片叶外表皮细胞液泡中的色素, 可以使用清水作溶剂B. 用显微镜观察洋葱根尖细胞有丝分裂时, 需使细胞保持活性以便观察C.可以将鳞片叶的外表皮放入0.3g/mL 蔗糖溶液中,观察质壁分离和复原现象D.利用无水乙醇提取洋葱叶片中的色素的原理是色素在层析液中的溶解度不同3 . C LAC通道是细胞应对内质网中ca2+ 超载的一种保护机制, 可避免因ca2+ 浓度过高引起的内质网功能紊乱。
该通道功能的实现依赖一种位于内质网上的跨膜蛋白TMCO1,这种膜蛋白可以感知内质网中过高的ca2+浓度并形成具有钙离子通道活性的四聚体,主动将内质网中过多的ca2+释放到细胞质基质中,当内质网中的ca2+ 浓度下降到与细胞质基质ca2+ 浓度接近时四聚体解聚, 钙通道活性消失。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上学期月考卷(二)历史(含答案)
炎德 ·英才大联考长沙市一中2025届高三月考试卷(二)历 史审题人：刘洋满分：100分得分第I 卷 选 择 题(共48分)一、选择题(本题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的)1.2023年，湖南省文物考古研究院再次对华容七星墩遗址进行考古发掘。
先后共清理了瓮棺葬26 座，其中有8座出土玉器，包括玉人、玉凤、玉蝉、玉钺、玉壁、玉锥形器、玉珠管等(见下图)。
这些分层埋置的玉器材质多样、造型精巧、种类丰富，几乎没有完整的器件。
七星墩遗址A.属于旧石器时代遗址C.说明南北方葬制相同D.是中原文化重要类型2.周公主张“敬德保民”,孔子说：“天何言哉?四时行焉，百物生焉”,董仲舒主张“天人感应”。
他们 思想的一致性在于A. 以民为本B. 敬畏天命C. 替天行道D. 理生万物 3.据史料记载：约公元前1048年，“武王观兵孟津，诸侯不期而会者八百”。
八百诸侯会孟津 的故事说明A.商朝面临统治危机B.周朝分封了大量诸侯C. 春秋战国战乱频仍D.封建经济具有分散性4.某思想家说：“当察乱何自起，起不相爱”“若使天下兼相爱……君臣父子皆能孝慈，若此则天下 治。
”他的思想体系属于A. 儒家B. 道家C. 墨 家D.法家5.战国后期，荀子到秦国访问。
他对人讲述访问观感时说：“(秦)其固塞险，形势便，山林川谷美，天 材之利多，是形胜也。
入境，观其风俗，其百姓朴……观其朝廷，其间听决百事不留，恬然如无治 者，古之朝也。
故四世有胜，非幸也，数也。
”荀子认为秦国崛起主要得益于 学 校 班 级 姓 名 学 号命题人：杨文 时量：75分钟 B. 已呈现贫富分化趋势密 封不 要答6.下图里耶秦简的释文为：“东成户人士五夫，妻大女子沙，子小女子泽若，子小女子伤。
”由此判断， 它是A. 最早的户籍登记B.赋役繁重的证据C.秦律中一个案例D. 基层治理的基础7.西汉刘向说：“田氏取齐，六卿分晋，道德大废，上下失序……并大兼小，暴师经岁，流血满野。
湖南省长沙一中2016届高三第六次月考(理)数学试题 Word版
炎德•英才大联考长沙市一中2016届高三月考试卷（六）数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集R U =,集合{}21≤-=x x M ,则=M C U (）A.{}31<<-x xB.{}31≤≤-x x C 。
{}31>-<x x x 或 D 。
{}31≥-≤x x x 或2。
已知随机变量),2(:2σN X ,若32.0)(=<a x P ，则=->)4(a x P （) A.32.0 B.36.0 C 。
64.0 D 。
68.03。
在等比数列{}n a 中，531=+a a ，前4项和为15,则数列{}n a 的公比是() A.21 B 。
31C 。
2 D.3 4.在空间中，下列命题正确的是（） A 。
垂直于同一平面的两个平面平行 B 。
平行于同一直线的两个平面平行 C 。
垂直于同一平面的两条直线平行D 。
平行直线的在同一平面上的投影相互平行5.执行下图所示的程序框图，如果输入正整数m ,n ，满足m n ≥，那么输出的p 等于(）A.1-m n CB.1-m n AC.m n C D 。
m n A6.5)12)((xx x a x -+的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（) A.40- B.20- C 。
20 D 。
40 7.已知函数]67,0[),62sin(2ππ∈+=x x y 的图象与直线m y =有三个交点的横坐标分别为)(,,321321x x x x x x <<，那么3212x x x ++的值是（）A.43π B.34π C.35π D.23π9.六名大四学生（其中4名男生、2名女生）被安排到A ，B ,C 三所学校实习,每所学校2人，且2名女生不能到同一学校,也不能到C 学校，男生甲不能到A 学校,则不同的安排方法为（） A.24 B.36 C.16 D.1810.已知球的直径4=SC ，A ，B 是该球球面上的两点，3=AB , 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥ABC S -的体积为（）A.33 B 。
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炎德英才大联考长沙市一中2016 届高三月考试卷（六）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60 分）
一、选择题：本大题共12 个小题, 每小题 5 分, 共60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1. 已知全集U R，集合M x x 1 2 ，则C M
U （）
A. x 1 x 3
B. x 1 x 3
C. x x 1或x 3
D. x x 1或x 3
2
2. 已知随机变量X : N (2, ) ，若P( x a) 0.32，则P(x 4 a) （）
A. 0.32
B. 0 .36
C. 0.64
D. 0 .68
3. 在等比数列a中，a1 a3 5，前 4 项和为15，则数列a n 的公比是（）
n
A. 1
2
B.
1
3
C. 2
D. 3
4. 在空间中，下列命题正确的是（）
A. 垂直于同一平面的两个平面平行
B. 平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两条直线平行
D.平行直线的在同一平面上的投影相互平行
5. 执行下图所示的程序框图，如果输入正整数m ，n ，满足n m ，那么输出的p 等于（）
A. m 1
C B.
n
m 1
A C.
n
m
C D.
n
m
A
n
- 1 -
6. (
a 1
5
x )( 2x ) 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）x x
A. 40
B. 20
C. 20
D. 40
7
7. 已知函数y ] 的图象与直线y m 有三个交点的横坐标分别为
2 s in( 2x ), x [0,
6 6
x1, x2 ,x3( x1 x2 x3 )，那么x1 2x2 x3 的值是（）
A. 3
4
B.
4
3
C.
5
3
D.
3
2
9. 六名大四学生（其中 4 名男生、2 名女生）被安排到A，B ，C 三所学校实习，每所学校 2 人，且
2名女生不能到同一学校，也不能到 C 学校，男生甲不能到 A 学校，则不同的安排方
法为（）
A. 24
B. 36
C. 16
D. 18
10. 已知球的直径SC 4，A ，B 是该球球面上的两点，AB 3 ，ASC BSC 30 ，
则棱锥S ABC 的体积为（）
A. 3 3
B. 2 3
C. 3
D. 1
1
11. 设向量a，b ，c满足a b 1，a ，若向量a c与b c的夹角等于60 ，则c
b
2
的最大值为（）
A. 3
B. 2
C. 2
D. 1
- 2 -。