直线参数方程的应用
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用直线的参数方程及应用直线参数方程的标准式过点P(x,y)，倾斜角为α的直线l的参数方程是x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(x,y)为直线上的任意一点。
直线l上的点与对应的参数t是一一对应关系。
若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2 = t2 - t1，|P1P2| = |t2 - t1|。
若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，则P1P2中点P3的参数为t3 = (t1 + t2)/2，|PP3| = |(t1 + t2)/2|。
若P为P1P2的中点，则t1 + t2 = 0，t1·t2 < 0.直线参数方程的一般式过点P(xb,y)，斜率为k = a的直线的参数方程是x = x + aty = y + bt其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xb,y)为直线上的任意一点。
直线的参数方程给定点P(xl,y)，倾斜角为α，求经过该点的直线l的参数方程。
直线l的参数方程为x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
特别地，若直线l的倾斜角α = 90°，直线l的参数方程为x = x + ty = y其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
2、直线的参数方程与标准形式如果直线的方向已知，那么可以使用参数方程来表示直线。
对于倾斜角为 $\alpha$，过点 $M(x,y)$ 的直线 $l$，其参数方程一般式为：begin{cases}x=x_M+t\cos\alpha \\y=y_M+t\sin\alphaend{cases}其中 $t$ 是参数，表示从点 $M$ 沿着直线 $l$ 方向前进的距离。
如果要将参数方程转化为标准形式，可以通过以下步骤：1.消去参数 $t$，得到 $y-y_M=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(x-x_M)$。
直线的参数方程的应用
直线的参数方程的应用一、几何学应用1.直线的参数方程的可视化表示直线参数方程可以帮助我们直观地理解直线的特点和性质，例如直线在平面上的位置、方向、长度等。
通过改变参数的取值，可以观察到直线的移动、旋转、延长等变化，进而更直观地了解几何图形的特征。
2.直线的交点设有两条直线的参数方程分别为：L1:x=x1+a1t,y=y1+b1t,z=z1+c1tL2:x=x2+a2s,y=y2+b2s,z=z2+c2s我们可以通过求解参数方程的参数，找到这两条直线的交点。
通过求解方程组，可以得到唯一的交点坐标。
3.直线的方位角和倾斜角直线参数方程中的参数可以用来表示直线的方位角和倾斜角。
方位角是指直线与坐标轴的夹角，可以通过直线的参数方程中的系数进行计算。
倾斜角是指直线与xy平面的夹角，可以通过直线的参数方程中的系数进行计算。
二、物理学应用1.运动学中的直线运动在物理学中，直线运动是指质点或物体在直线上的运动轨迹。
直线的参数方程可以用来描述其中一时刻的位置。
例如，设有直线运动的质点在t时刻的位置为(x(t),y(t),z(t))，则可以表示成参数方程形式：x(t) = x0 + vxty(t) = y0 + vytz(t) = z0 + vzt其中，(x0, y0, z0)表示质点的初始位置，(vx, vy, vz)表示质点在x、y、z方向上的速度分量。
2.力学中的直线运动在力学中，直线运动还涉及质点或物体在直线上的加速度、力和运动的规律。
通过直线的参数方程，可以计算质点或物体在不同时刻的速度和加速度，并进一步得出运动的规律。
例如，设有质点在t时刻的位置为(x(t),y(t),z(t))，则可以通过参数方程求导得到速度和加速度：vx(t) = dx/dtvy(t) = dy/dtvz(t) = dz/dt3.光学中的直线传播在光学中，直线传播是指光线沿着直线路径传播的现象。
直线的参数方程可以用于描述光线在空间中的传播路径。
直线参数方程的应用
直线参数方程的应用直线是平面几何中最基本的图形之一，具有广泛的应用。
直线参数方程是表示直线的一种常用方法，它通过参数化的方式，将直线上的每一个点表示为一个参数关于坐标的函数。
直线参数方程的应用范围广泛，涉及到建模、计算、曲线运动等多个领域。
下面将介绍一些直线参数方程的应用。
1.绘制直线图形直线参数方程可以用于绘制各种直线图形，如图形学中的线段、射线等。
通过给定直线的起点和终点，可以根据参数方程计算出每一个点的坐标，然后将这些点连起来，就可以得到一条直线。
绘制直线图形在计算机图形学、几何学等领域有广泛的应用，如绘制曲线、图形变换等。
2.直线的交点计算3.直线的切线计算直线参数方程可以用于计算曲线在其中一点的切线。
给定曲线的参数方程，通过对参数进行微分，求解导数，可以得到曲线在其中一点的切线的斜率，然后根据切线方程的形式，可以计算出切线的方程。
直线的切线计算在微积分、物理学、工程学等领域有广泛的应用，如计算物体运动轨迹、求解函数的导数等。
4.直线的方向向量计算直线参数方程可以表示直线的方向向量。
给定直线的参数方程，可以通过计算参数的变化量，得到直线上两个点的连线向量，从而得到直线的方向向量。
直线的方向向量计算在几何学、物理学、机器学习等领域有广泛的应用，如计算导航路径、计算梯度向量等。
5.表示平面内直线的垂线、平行线直线参数方程可以用于表示平面内直线的垂线、平行线。
给定直线的参数方程，可以通过求解两条直线的参数之间的关系，判断它们是否垂直或平行。
垂线、平行线的计算在几何学、物理学、工程学等领域有广泛的应用，如计算平行导线的电阻、计算直线的交点等。
6.参数方程与一般方程的转化直线的参数方程与一般方程之间可以相互转化。
给定直线的参数方程，可以通过计算参数表达式，得到直线的一般方程。
同样地，给定直线的一般方程，可以通过求解参数方程的参数，得到直线的参数方程。
参数方程与一般方程的转化在几何学、代数学等领域有广泛的应用，如计算函数的参数表示、计算曲线的方程等。
直线的参数方程的几何意义
直线的参数方程的几何意义1.直线的位置和方向：参数方程可以通过调整参数的取值范围，描述直线在坐标系中的位置和方向。
例如，对于二维平面上的直线，参数方程可以表示直线在坐标系中的位置，以及直线与坐标轴的夹角。
对于三维空间中的直线，参数方程则可以表示直线在空间中的位置和方向。
2.直线的长度和斜率：参数方程可以通过参数的取值范围的选择，可以表示直线的长度和斜率。
例如，在二维平面上的直线的参数方程中，当参数的取值范围是0到1时，直线的长度就是参数方程中点的坐标与起点坐标的距离。
斜率则可以通过参数方程中的斜率函数导出来。
3.直线上的点的坐标：直线的参数方程可以通过给定参数值来求得直线上任意一点的坐标。
这使得我们可以通过参数方程计算直线上的点的坐标，进而研究直线上的点的性质和行为。
例如，通过参数方程可以计算直线上的点的坐标，并进一步研究这些点的集合的几何性质。
4.直线的切线和法线：参数方程可以通过求导数来计算直线上每一点的切线和法线。
这使得我们可以通过参数方程推导出直线上每一点的切线和法线的方程式，并进一步研究它们的性质和关系。
例如，通过参数方程可以推导出直线上每一点的切线的斜率和法线的斜率，从而进一步研究直线的曲率和切线与法线的关系。
在实际应用中，直线的参数方程在几何学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，参数方程可以用来表示直线、曲线和曲面，从而用来模拟和绘制各种图形。
在物理学中，参数方程可以用来描述粒子的运动轨迹，从而用来研究粒子的位置、速度和加速度等动力学性质。
在工程学中，参数方程可以用来描述机械系统的运动路径和轨迹，从而用来优化设计和控制系统。
总之，直线的参数方程是一种描述直线位置和形状的方式，它可以通过给定参数的取值范围，将直线上的每一个点都用一个参数表示出来。
直线的参数方程不仅可以描述直线的位置和方向，还可以计算直线上每一点的坐标、切线和法线等几何性质，应用广泛，具有重要的几何意义。
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)是直线上的一个固定点，a和b是表示直线方向的参数。
参数t的取值范围根据实际问题的情况来确定，可以是实数、整数或者其他范围。
1.直线与平面的交点在三维空间中，直线与平面的交点可以通过参数方程求解。
假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线的参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct将直线的参数方程代入平面的方程，可以得到一个关于参数t的二次方程：A(x0+at) + B(y0+bt) + C(z0+ct) + D = 0通过求解这个二次方程，可以得到直线与平面的交点坐标。
2.直线的斜率直线的斜率是表示直线的倾斜程度的一个重要指标，可以通过直线的参数方程求得。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的斜率可以表示为：m=(y2-y1)/(x2-x1)=(y0+b*t2-y0-b*t1)/(x0+a*t2-x0-a*t1)=b/a因此，直线的斜率可以通过参数a和b的比值得到。
当a=0时，直线是垂直于x轴的；当b=0时，直线是垂直于y轴的。
3.直线的长度直线的长度可以通过参数方程和积分来求解。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的长度可以表示为：L = ∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt (t=t1到t2)其中 dx/dt 和 dy/dt 分别是直线参数方程关于 t 的导数。
将直线的参数方程代入到上式中，化简可得：L = ∫√(a²+b²) dt (t=t1到t2)=√(a²+b²)*(t2-t1)因此，直线的长度可以通过直线参数方程中的参数a和b计算得到。
4.直线的切线和法线y = y0 + (dy/dt) * (t-t0)其中 dy/dt 是直线参数方程关于 t 的导数。
直线的参数方程在圆锥曲线中的应用
直线的参数方程在圆锥曲线中的应用直线的参数方程在圆锥曲线中•引言•圆锥曲线的定义•直线的参数方程•例子：直线在圆锥曲线上的应用–切线–弦–切割•结论引言直线的参数方程是描述直线上的点与直线上某一点之间的关系的数学表达式。
在圆锥曲线中，直线的参数方程可以应用于描述直线与曲线的关系以及相关性质。
圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上一条曲线，其定义可以通过一个发光点（焦点）和一个动点（准线）的直线运动来得到。
根据焦点和准线之间的不同位置关系，圆锥曲线可分为三种类型：椭圆、抛物线和双曲线。
直线的参数方程直线的参数方程可以表示为以下形式：x = x₀ + at y = y₀ + bt其中，x₀和y₀是直线过点的坐标，a和b是直线的斜率。
例子：直线在圆锥曲线上的应用切线直线的参数方程可以用来表示圆锥曲线上某一点的切线。
通过选择合适的参数，使得直线与曲线在该点处相切，可以得到该点处的切线方程。
弦直线的参数方程也可以用来表示圆锥曲线上的一条弦。
对于圆锥曲线上的两个点，可以选择合适的参数，使得直线穿过这两个点，从而得到这两个点之间的弦的方程。
切割直线的参数方程还可以用来判断直线与圆锥曲线的交点个数。
通过求解直线方程和圆锥曲线方程的交点，可以确定交点的个数以及具体的坐标。
结论直线的参数方程在圆锥曲线中有着广泛的应用。
通过选择合适的参数，可以描述曲线上的切线、弦以及切割点的情况。
这些应用使得直线的参数方程成为研究圆锥曲线中与直线相关性质的重要工具。
直线参数方程x的几何意义应用
直线参数方程x的几何意义应用直线是几何学中非常重要的概念，而直线的参数方程是一种用参数表示直线上的点的方法。
x的几何意义是指在直线上取不同的x值时对应的点在几何空间中的位置和性质。
下面介绍一些直线参数方程x的几何意义的应用。
1. 直线的位置：通过改变参数的取值范围，可以获得直线上的不同部分。
例如，在参数方程x=a*t中，通过改变参数a的值，可以获得直线上以不同点为起点的不同直线段。
当a为0时，直线上的点为起点；当a为正数时，直线上的点在起点之后，当a为负数时，直线上的点在起点之前。
2. 直线的方向：通过改变参数的变化规律，可以得到直线的不同方向。
例如，在参数方程x=cos(t)中，t表示一个角度，当t逐渐增大时，x的值在[-1,1]之间变化，对应的点在平面上画出一条正弦曲线，其中x值的变化取决于t的增大方向和速度。
这样的参数方程描述了一条直线的周期性运动。
3. 直线的长度：通过参数方程可以计算直线的长度。
例如，在参数方程x=2t中，t的取值范围为[0,1]，则对应的直线的长度为2。
这种方法可以应用于坐标轴上的线段，以及任意维度空间中的线段。
4. 直线的交点：通过求解直线的参数方程，可以确定直线的交点。
例如，给定两个直线的参数方程为x=a*t和y=b*t，通过解方程组可以得到直线的交点的值。
此外，通过参数方程可以判断两条直线是否平行或重合。
5. 直线的区域：直线的参数方程可以用来描述直线所围成的区域。
例如，给定一个参数方程为x=2t，y=3t，z=t的直线，通过改变参数的取值范围，可以在三维空间中画出一段直线，并得到这段直线所围成的区域。
直线参数方程x的几何意义应用非常广泛，以上只是其中的一些例子。
在实际问题中，我们可以利用直线参数方程来描述和分析直线的性质，从而解决具体的几何问题。
直线参数方程c的几何意义应用
直线参数方程c的几何意义应用直线的参数方程c是描述直线上各点坐标的一种方式。
在几何学中，直线参数方程c的几何意义可以从多个角度来解释和应用。
1. 直线的方向和斜率直线参数方程c通常包含参数t，表示直线上的点在参数t变化时的位置。
通过观察参数t的系数，可以得出直线的方向和斜率。
例如，如果参数方程为 c: (x, y) = (a + bt, c + dt)，其中a、b、c 和d为常数，那么直线的斜率就是 b/d。
这个斜率可以告诉我们直线的倾斜方向和陡峭程度。
2. 直线的截距直线参数方程c还可以帮助我们计算直线和坐标轴的交点，从而得到直线的截距。
例如，如果参数方程为 c: (x, y) = (a + bt, c + dt)，那么当t为0时，直线与y轴交点的坐标为 (a, c)，而当t为0时，直线与x轴交点的坐标为 (a, c)。
3. 直线的长度和方向向量直线参数方程c可以帮助我们计算直线的长度和方向向量。
根据参数方程中的点坐标，我们可以使用距离公式来计算直线的长度。
例如，如果参数方程为 c: (x, y) = (a + bt, c + dt)，我们可以计算点A(a, c)和点B(a + b, c + d)之间的距离。
这个距离可以作为直线的长度。
同时，直线的方向向量可以通过参数方程的系数得到。
对于上述参数方程，直线的方向向量为 (b, d)。
4. 直线的平行和垂直关系直线参数方程c可以帮助我们判断两条直线之间的平行和垂直关系。
如果两条直线的参数方程分别为 c1: (x, y) = (a1 + b1t, c1 + d1t) 和 c2: (x, y) = (a2 + b2t, c2 + d2t)，那么这两条直线平行的条件是b1/b2 = d1/d2。
而这两条直线垂直的条件是 b1d2 - b2d1 = 0。
5. 直线与其他几何图形的关系直线参数方程c在几何学中还有许多其他的应用。
例如，我们可以使用参数方程来描述直线与平面的交点、直线与曲线的切点、直线与圆的交点等等。
直线的向量参数方程式的应用
直线的向量参数方程式的应用直线的向量参数方程式的应用一、什么是向量参数方程式向量参数方程式是一种利用向量描述直线的形式，它用参数t来关联向量参数中的两个实数变量。
向量参数方程式可以用以下形式表示：$$\vec{r}=\vec{p}+t\vec{v}$$其中，av：表示向量参数方程式的始点，它以该点为起点；v：表示一个方向向量，且t 的取值区间为[a, b]；参数t体现了一条直线上点r的位置变化：它描述了直线上一点离p 点的多远。
二、直线的向量参数方程式的应用1.求解储存的勾股定理以勾股定理为例，假设a,b,c是一个三角形的三边长度，其中有两条边尚未知，那么边长c可以用向量参数方程式表示为：$$\vec{r} = \vec{a} + t\vec{b}$$$$\vec{r} = {x \choose y} + t{x_2 \choose y_2}$$则上式可以继续求解：$$\begin{cases}x = ax_2 + tbx_2,\\y = ay_2 + tby_2,\\c^2=x^2+y^2 \end{cases}$$于是，$$\begin{align*}c^2 &=(ax_2 + tbx_2)^2 + (ay_2 + tby_2)^2 \\&=a^2x_2^2 + 2tabx_2^2 + t^2b^2x_2^2 +a^2y_2^2 + 2taby_2^2 +t^2b^2y_2^2\\&=c^2+t^2ab\end{align*}$$解出t的值：$$t = {c^2 - a^2b^2 \over 2a^2b}$$这就表明了，c的边长就为{c^2 - a^2b^2 \over 2a^2b}乘以边b的模的值，再加上边a的模的值。
2.最近点对问题假设有两条直线P：$$\vec{r_1}=\vec{p_1}+t\vec{v_1}$$$$\vec{r_2}=\vec{p_2}+t\vec{v_2}$$求两条直线上最近点对。
直线的参数方程及其应用举例
直线的参数方程及其应用举例一条直线的参数方程由以下形式给出：x = x₀ + aty = y₀ + bt其中，(x₀,y₀)是直线上的一点，a和b是常数，t是参数。
在这个参数方程中，通过改变参数t的值，我们可以得到直线上的每一个点的坐标。
例如，考虑一个小车在直线上做匀速运动的例子。
假设小车的初始位置为(x₀,y₀)，它向右移动，速度为v。
那么小车的位置可以用参数方程来描述：x = x₀ + vty=y₀对于给定的t值，我们可以根据这个参数方程计算小车在其中一时刻的位置。
通过改变参数t的值，我们可以得到小车在线上的每一个点的坐标。
这个参数方程可以帮助我们分析小车的运动过程，比如计算其中一点的速度、加速度等。
x = r*cos(θ)y = r*sin(θ)其中，r是点到原点的距离。
这个参数方程描述了点在以原点为中心的圆上运动的轨迹。
通过改变参数θ的值，我们可以得到圆上的每一个点的坐标。
这个参数方程可以帮助我们分析旋转体的运动规律，比如计算旋转角速度、加速度等。
此外，直线的参数方程还可以用于表示平面内的曲线。
例如，椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中，a和b分别是椭圆主轴和副轴的长度，t是参数。
通过改变参数t的值，我们可以得到椭圆上的每一个点的坐标。
这个参数方程描述了椭圆的形状和位置。
总结起来，直线的参数方程在几何学和物理学中有广泛的应用。
它可以用于描述物体的运动轨迹、旋转体的轨迹以及平面内的曲线等。
直线的参数方程可以帮助我们分析和理解各种物理现象和几何问题，从而推导出更多的结论和结果。
直线的参数方程及其应用
直线的参数方程及其应用x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(x0,y0,z0)是直线上的一点，a、b、c是直线的方向向量的分量，t是参数。
这样，通过调整参数t的值，就可以得到直线上的所有点。
一、几何中直线的参数方程的应用：1.直线的方向向量：2.直线的长度：直线的长度可以通过参数方程中的两点之间的距离公式来计算。
假设起始点为(x0,y0,z0)，终止点为(x1,y1,z1)，直线的长度为L，则公式为L=√((x1-x0)^2+(y1-y0)^2+(z1-z0)^2)3.直线与平面的交点：如果有一个平面的参数方程a1x + b1y + c1z + d1 = 0，直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct。
将直线的参数方程代入平面方程，解方程组可以求得直线与平面的交点坐标。
二、物理中直线的参数方程的应用：1.运动学中的直线运动：物体在直线上进行匀速直线运动时，可以通过参数方程来描述物体的位置。
其中(t)表示时间，直线的方向向量(a,b,c)表示物体的运动方向和速度。
2.振动运动的直线模型：在物理的振动运动中，例如简谐振动，可以使用直线的参数方程来表示振动的轨迹。
参数t可以表示时间，(x0,y0,z0)表示振动的平衡位置，(a,b,c)表示振动的幅度和方向。
三、计算机图形学中直线的参数方程的应用：1.直线的绘制：在计算机图形学中，直线常常使用参数方程来绘制。
通过给定起点和终点的坐标，使用参数方程可以描绘出直线的轨迹。
2.直线的旋转：在计算机图形学的3D建模中，直线可以经过旋转来创建复杂的几何体。
旋转直线可以使用参数方程中的旋转矩阵来实现。
3.直线的相交：在计算机图形学中，判断两条直线是否相交是一个常见的需求。
可以通过比较两条直线的参数方程来判断它们是否相交。
4.直线的裁剪：在计算机图形学中，通过直线的参数方程可以实现直线的裁剪。
应用直线的参数方程解题
应用直线的参数方程解题
已知两条直线的参数方程：
第一条直线：x-3y+1=0
第二条直线：2x-5y-2=0
直线的参数方程是用来描述直线的一种方法，它用一个数学公式来表示一条直线，可以用来解决一些问题。
比如，我们可以用参数方程来求解两条直线是否相交，如果相交，它们的交点是什么。
首先，我们将两条直线的参数方程整合为一个方程：x-
3y+1=2x-5y-2
将两边同时乘以2，得到：2x-6y+2=4x-10y-4，减去2x-
6y+2，得到：2x-4y-2=0
将两边同时乘以-1，得到：-2x+4y+2=0
再将两边同时乘以-1/2，得到：x-2y-1=0
因此，两条直线的参数方程经过整合可以得到新的参数方程：x-2y-1=0
从上面的计算可以看出，两条直线的参数方程整合后可以得到一条新的直线。
因此，我们可以得出结论，两条直线整合后，它们的参数方程会形成一条新的直线。
此外，由于两条直线整合后形成一条新的直线，因此它们一定是相交的，且它们的交点就是新直线的端点。
因此，我们可以求出两条直线的交点，将新参数方程x-2y-1=0带入y=1，得到x=3，将其带入x=3，得到y=-1/2，因此两条直线的交点坐标为(3,-1/2)。
综上所述，可以得出，通过参数方程可以求出两条直线的交点，两条直线整合后可以得到一条新的直线，改参数方程可以用来描述这条新的直线。
怎样用直线的参数方程求直线上两点间的距离
，中点
M
到定点
P
,的
距离
|MP|
=
|t|
=
| | |
t1
+ 2
t
2
| | |
.
例
1.已知直线
l1
的倾斜角为
π 4
，过点
P0(3, 4),
且
与直线 l2 ：3x + 2y = 6 相交于点 M ，求点 M 与点 P0 之
间的距离.
解：设直线
l1
的参数方程为
ìïïx í îïïy
= =
3 4
+ +
2 2
知的点代入直线 l2 的方程中，即可求得交点 M 对应
的参数 t 的值，根据 t 的几何意义即可求得点 M 与点
P0 的距离.
{ 例 2.已知直线的参数方程为
x y
= =
1 2
+ +
2t，t,(t为参数)
该直线被圆 x2 + y2 = 9 所截得的弦为 PQ ，求弦 PQ 的
长. 解析：由题意知，点 P,Q 分别是直线与圆的交点，
（1）直线上的任意一点 M(x,y) 与点 P(x0,y0) 的距 离等于 M 所对应的参数 t 的绝对值，即 |PM| = |t|；
（2）若 Q、N 是直线上的两点，其对应的参数分别
为 t1、t2 ，如图 2 所示，则 |QN| = |t1 - t2| ，且线段 QN 的中
点
M
所对应的参数为
t=
t1 + t2 2
且两点均在直线上，所以只需根据直线的参数方程求
出点 P 和点 Q 对应的参数 t 的值，运用上述第二结
直线的参数方程在解题中的应用
直线的参数方程在解题中的应用作者：吴燕来源：《考试周刊》2014年第11期在新课程标准下，苏教版《数学选修4-4》中安排了直线的参数方程，它是对《数学必修2》第二章平面解析几何初步中直线方程知识的进一步延伸，同时也为研究直线与圆、直线与圆锥曲线的问题提供了另一条途径.数学实践和学生体会表明：用直线的参数方程解决一些问题，有时更方便和简捷，本文通过具体的例子加以说明.一、计算问题利用直线参数方程x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t为参数）中参数t的几何意义解决与距离、弦长、线段长、点的坐标有关的问题.例1：已知直线l过点P（2，0），斜率为■，直线l和抛物线y■=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）|PM|；（2）M点的坐标.解：（1）设直线的倾斜角为α，依题意可得tanα=■，∴sinα=■，cosα=■，∴直线l的参数方程为x=2+■ty=■t（t为参数）（*）.∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y■=2x中，整理得8t■-15-50=0且Δ>0.设方程的两个根为t■，t■，∴t■+t■=■，t■t■=-■.由于M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|=|■| =■.（2）∵中点M所对应的参数为t■=■=■，将此值代入直线的参数方程（*），点M的坐标为x=2+■×■=■y=■×■=■，M（■，■）即为所求.一般地，直线x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t为参数）与曲线y=f（x）交于A，B两点，对应的参数分别为t■、t■，则线段|AB|的中点M对应的参数t=■.由t的几何意义得|PA|+|PB|=|t■|+|t■|=t■+t■=3■.一般地，直线与二次曲线相交，用直线参数方程解题时，则有弦长为|t■-t■|；直线上的点P到两交点的距离和为|t■|+|t■|，距离涉及t的正负时要加以区分.因为，直线参数方程的标准方程中含有三角函数cosα，sinα（α是直线的倾斜角），所以，在解决直线与圆锥曲线有关问题时，可以将其转化为三角函数问题解决，体现了转化、化归的数学思想，达到数学知识的综合运用，在解高考数学试题时也有用武之地.下面我们以高考题为例加以说明.二、范围问题求参数的取值范围，是高考的热点和难点问题，由于求参数范围的方法众多，如何选择往往成为考生思考的难点.如果选择直线的参数方程，利用三角函数的值域求解，则比较简单.例2（2008年高考福建卷理科第21题）：如图，椭圆■+■=1（a>b>0）的一个焦点是F （1，0），O为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，恒有|OA|■+|OB|■解：（Ⅰ）略，椭圆方程为■+■=1.（Ⅱ）设直线AB的参数方程为x=1+tcosθy=tsinθ（t为参数），代入■+■=1得（b■cos■θ+a■sin■θ）t■+2b■cosθt+b■-a■b■=0.设上述方程的两根为t■，t■，由韦达定理知：t■+t■=-■t■t■=■①根据t的几何意义，不妨设|FA|=t■，则|FB|=-t■，|AB|=t■-t■，又设A（1+t■cosθ，t■sinθ），B（1+t■cosθ，t■sinθ），∵|OA|■+|OB|■∴（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■+（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■化简得：1+（t■+t■）cosθ+t■t■1-■+■∴■显然有a■sin■θ-b■cos■θ+b■-a■b■即（a■+b■）sin■θ-a■b■∴■>sin■θ恒成立，∵sinθ∈[0，1]，∴■>1，②∵椭圆的一个焦点F（1，0），∴C=1，b■=a■-c■=a■-1③由②，③得a■因为a>0，b>0，所以a0，解得a>■或a■.本例在解题中，充分发挥了直线参数方程在解题中的优势（参数的几何意义、三角函数变换），由恒成立问题、三角函数的值域，巧妙地利用椭圆中a、b、c的关系实施转化，得到了关于a的二次不等式使问题获解，解题目标明确，思路清晰，方法可行.三、证明问题例3（2013年全国理科高考卷第21题）：已知双曲线C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F■，F■，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为■.（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）设过F■的直线l与C的左、右两支分别相交于A，B两点，且|AF■|=|BF■|，证明：|AF■|，|AB|，|BF■|成等比数列.解：（Ⅰ）易得a=1，b=2■，c=3，双曲线方程为x■-■=1.（Ⅱ）如图，∵F■（3，0）∴设过F■的直线为x=3+tcosκy=tsinα（t为参数）其中|AF■|=-t■，|BF■|=-t■，|AB|=|AF■|-|BF■|=|AF■|+2a-|BF■|+2a=4a=4，即-t■+t■=4①将直线参数方程代入双曲线方程，得8（3+tcosθ）■-t■sin■θ=8，化简得（9cos■θ-1）t■+48cosθ·t+64=0.由韦达定理知，t■+t■=■，t■t■=■.由①式知|AB|=|t■-t■|=4，∴|AB|■=16②另一方面，（t■-t■）■=（t■+t■）■-4t■t■=（■）■-4×■=16，解得cos■θ=■.∴|AF■|·|BF■|=t■t■=■=16③由②③知，|AF■|·|BF■|=|AB|■，即|AF■|，|AB|，|BF■|成等比数列.该题的常规解题思路有两种：（1）涉及直线与圆锥曲线综合问题时，就是联立方程组用韦达定理求解，该思路清晰，但因其运算量较大，学生常常望而生畏.特别用该方法求|AF■|、|AF■|、|BF■|、|BF■|时还需用到两点间距离公式，无疑运算量又会增大.（2）涉及在求|AF■|、|AF■|、|BF■|、|BF■|时可以用双曲线的焦半径公式，但这又超出考试大纲的要求.而利用直线参数方程求解，简洁明快，是一种较好的选择.。
直线的参数方程的应用
直线的参数方程的应用直线的参数方程是解析几何中一个重要的概念，在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
本文将以直线的参数方程的应用为主题，探讨其在几何学、物理学和工程学中的应用。
一、直线的参数方程在几何学中的应用直线的参数方程是指通过给定点和方向向量来表示直线的方程。
在几何学中，直线的参数方程可以被用来描述直线的位置、方向和形状。
例如，在平面几何中，我们可以通过直线的参数方程来确定直线的斜率、截距和方向角等属性。
通过这些属性，我们可以更加准确地描述和分析直线在平面上的位置和性质。
二、直线的参数方程在物理学中的应用直线的参数方程在物理学中也有广泛的应用，特别是在描述物体的运动轨迹和路径时。
例如，在力学中，我们可以通过直线的参数方程来描述物体在空间中的运动轨迹。
通过给定物体的初始位置和速度，我们可以使用参数方程来计算物体在不同时间点的位置和速度。
这种方法在研究天体运动、机械运动等领域都有重要的应用。
三、直线的参数方程在工程学中的应用直线的参数方程在工程学中也有广泛的应用。
例如，在机械工程中，我们可以使用直线的参数方程来描述物体在机械装置中的运动轨迹。
通过给定装置的初始状态和运动速度，我们可以使用参数方程来计算物体在不同时间点的位置和速度，从而优化机械装置的设计和性能。
以下是一些直线的参数方程的应用案例，以进一步说明其在实际问题中的应用价值。
1. 车辆运动轨迹的计算：通过给定车辆的初始位置和速度，可以使用直线的参数方程来计算车辆在不同时间点的位置和速度，从而更好地分析和优化车辆的行驶路径和效率。
2. 轨道设计与建设：在轨道交通和航天工程中，直线的参数方程可以用来描述车辆或火箭的运动轨迹，从而指导轨道的设计和建设。
3. 机器人运动规划：在机器人控制和路径规划中，直线的参数方程可以用来描述机器人的运动轨迹，从而实现自动化和智能化的机器人操作。
4. 管道布置和优化：在管道工程中，直线的参数方程可以用来描述管道的布置和路径，从而优化管道的设计和布置，提高工程效率和安全性。
参数方程的概念及直线的标准参数方程及应用
参数方程的概念及直线的标准参数方程及应用一、教学内容:1．参数方程的概念及参数方程与普通方程的互化 2．直线的标准参数方程及其应用 二、重点难点:1．参数方程的概念:在xoy 平面上，若曲线C 的任意点的坐标(x, y)都能通过第三变量t 表示出来，即⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ，t ∈M,①,这里M 是某个指定的区间，反之，对于每一个t ∈M, 由①确定的点(x,y)都在曲线C 上，那么方程组①才能叫做曲线C 的参数方程. 2．曲线参数方程与普通方程的互化:曲线C 的普通方程和参数方程是曲线C 的两种不同代数形式，以本质上讲它们是互相联系的，一般可以进行互化.曲线的参数方程曲线的普通方程.通常使用代入消参，加减消参，使用三角公式消参。
还常利用万能公式消解决形如2221()(,,,1()1()At x at a A B B at y at ⎧=⎪+⎪⎨⎡⎤-⎪⎣⎦=⎪+⎩其中为非零参数） 的消参问题 · 但特别要注意，（1）互化时，必须使坐标x, y 的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的.如曲线y=x 2的一种参数方程是（ ）.A 、⎪⎩⎪⎨⎧==42ty t x B 、⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x 2sin sin C 、⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x D 、⎪⎩⎪⎨⎧==2t y tx分析:在y=x 2中，x ∈R, y ≥0，在A 、B 、C 中，x,y 的范围都发生了变化，因而与y=x 2不等价，而在D 中，x,y 范围与y=x 2中x,y 的范围相同，且以⎪⎩⎪⎨⎧==2ty tx 代入y=x 2后满足该方程，从而D 是曲线y=x 2的一种参数方程.（2）在求x,y 的取值范围时，常常需用求函数值域的各种方法。
如利用单调性求函数值域，二次函数在有限区间上求值域，三角函数求值域，判别式法求值域等。
3．直线的参数方程过点M 0(x 0,y 0)，且倾斜角为α的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎨⎧α+=α+=.sin ,cos 00t y y t x x其中参数t 的几何意义是:规定l 向上方向为正方向，t 是有向直线l 上，从已知点M 0(x 0, y 0)到点M(x,y)的有向线段M 0M 的数量，且|M 0M|=|t|. 当t>0时，点M 在点M 0的上方 当t=0时，点M 与点M 0重合 当t<0时，点M 在点M 0的下方特别地，若直线l 的倾角α=0时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=00y y tx x .当t>0时，点M 在点M 0的右侧当t=0时，点M 与点M 2重合当t<0时，点M 在点M 0的左侧 4. 直线的参数方程的应用：由参数t 的几何意义可知，若M 1，M 2为直线l 上两点， t 1, t 2分别为M 1，M 2所对应的参数, 则(1)|M 1M 2|=|t 1-t 2|(2)010212M M M M t t ⋅=(3)若M 3为M 1，M 2的中点，则中点M 3对应的参数为2213t t t +=所以，处理过定点的直线截得的线段长问题，采用直线的参数方程有时比较方便。
直线的参数方程及应用
教学内容 直线的参数方程及应用教学目标要求1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3． 利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；教学重点 理解参数的几何意义 教学难点 理解参数的几何意义教学方法和教具教师主导活动学生主体活动 1、直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ 2、直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数）点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程.设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，（规定向上的 方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过 P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点.1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时，P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P 同时改变符号 P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos αQ P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α即⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程xy0P 0P (y x ,)Qlαxy0P (y x ,)P 0Ql α∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t|① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方；问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？我们把直线l 看作是实数轴，以直线l 向上的方向为正方向，以定点P 0 为原点，以原坐标系的单位长为单位长， 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 建立了 一一对应关系.问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ， 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣问题4：若P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，P 1、P 2所对应的 参数分别为t 1、t 2 ，则t 1、t 2之间有何关系？根据直线l 参数方程t 的几何意义，P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，∴|P 1P |＝|P 2P | P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2, t 1t 2<一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2的中点 则t 3＝221t t + （∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t 的几何意义， ∴P 1P 3= t 3－t 1, P 2P 3= t 3－t 2, ∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) ）基础知识点拨：1、参数方程与普通方程的互化例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t ∣的几何意义.解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－31=－33设倾斜角为α，tg α=－33,α= π65, cos α =－23,sin α=211l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231 （t 为参数）t 是直线1l 上定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线l xyP 1P 0lP 2段MM 0的数量.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-(2) 21(1) 231t y t x (1)、(2)两式平方相加,得222)1(t y x =+-∣t ∣＝22)1(y x +-∣t ∣是定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2：化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t313y tx （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，说明∣t ∣的几何意义. 解：原方程组变形为⎩⎨⎧=-=+ (2) t31 (1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ，得)3(31+=-x y (点斜式) 可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3π普通方程为 01333=++-y x(1)、(2)两式平方相加,得2224)1()3(t y x =-++∴∣t ∣=2)1()3(22-++y x∣t ∣是定点M 0（3，1）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长的一半.点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231即⎪⎩⎪⎨⎧=+=ππ65sin 65cos 1t y t x 是直线方程的标准形式，(-23)2+(21)2=1, t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.直线2l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-= t313y tx 是非标准的形式，12＋(3)2=4≠1，此时t 的几何意义是有向线段M M 0的数量的一半.你会区分直线参数方程的标准形式？例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y tx 233211（t 为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t331y tx （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l 的的普通方程0333=+--y x ，所以，以上两个方程都是直线l 的参数方程，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211 cos α =21, sin α=23，是标准形式，参数t 是有向线段M M 0的数量.，而方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x 是非标准形式，参数t不具有上述的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.问题5：直线的参数方程⎩⎨⎧+=+= t331y tx 能否化为标准形式？是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)⎩⎨⎧+=+= t331y t x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=))3(1()3(13 3))3(1()3(11122222222t y t x 令t '=t 22)3(1+得到直线l 参数方程的标准形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t 233211y t x t '的几何意义是有向线段M M 0的数量.2、直线非标准参数方程的标准化 一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，. ⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α(1) 当22b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量. (2)当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+则可得到标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a by y t b a a x x 220220 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量.例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.解：直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=ππ43sin 343cos 2t y t x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 223222（t 为参数）（1）设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，且M 点对应的参数为t,则| M 0M |＝|t| =2, ∴t=±2 将t 的值代入(1)式当t=2时，M 点在 M 0点的上方，其坐标为（－2－2，3＋2）；当t=-2时，M 点在 M 0点的下方，其坐标为（－2＋2，3－2）. 点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较 容易.例5：直线⎩⎨⎧-=+=20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 . 解法1：消参数t,的34--x y ＝－ctg20°=tg110°解法2：化为标准形式： ⎩⎨⎧-+=-+=110sin )(4110cos )(3t y t t x （－t 为参数）∴此直线的倾斜角为110°板书设计教后札记。
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由题意得,离心率为 e 2 , 焦参数为 p 2
1050
Fx Q
建立如图所示的极坐标系，则双曲线的极坐标方程为
2
1 2 cos
故 | FP | | FQ |
2
2
1 2 cos1050 1 2 cos1050
4
1 2 cos2 1050
4 cos 2100
8 3 3
(7)(2007年重庆)过双曲线 x2 y 2 4的右焦点F作倾斜角
M始(x0 , y0 )
M 0 (x0 , y0 )
M终 (x, y) M (x, y)
x
二、直线参数方程的应用：
(t为参数)
1.求直线上某一个点的坐标：
2.求直线上某线段中点的坐标：
3.求直线上两点间的距离：
4.求直线的方程：
注：若l 上两点M1,M2对应的参数分别为t1,t2.则
① | M1 M2 || t1 t2 |
y x
求极坐标方程常用的方法
公式法 方程法
直接法 间接法
1.公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数 2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程 ①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程
特殊直线的极坐标方程
图
l
θ0
O
x
像
l
(a,0)
Ox
l
(a, )
Ox
l
(a, )
A.
30 3
B.6
C.12
法3：参数方程+设而不求
D.7 3
由题意得AB：x
3 4
y
t 2
3t 2 (t为参数)
F B
A
x
将其代C入: y2 =3x得 t2 6 3t 9 0
故 | AB || t1 t2 | (t1 t2 )2 4t1 t2 =12
(4)课本P：36 例1 已知直线l: x+y-1=0与抛物线 y=x2
uuur uuur 因 AF 3FB
故
AF 3 FB
3p 3 3p
2 3 cos 2 3 cos
cos 3
3
tan 2
(6)(2010年全国Ⅱ)已知椭圆C：ax
2 2
y2 b2
1
的离心率为
3 2
过右焦点F且斜率为 k 的直线与C相交于A，B两点
若
uuur uuur AF 3FB
，则k=
运动(一般)式
x y
x0 y0
at bt
数量(标准)式 a2 b2 1
b0
x x0 t
y
y0
t
2 2 1
0
x x0 t
y
y0
t
vy
t
M(x,y)
M0(x0,y0) vx
注：运动式中t为时间 数量式中t为数量
注1.区分： 运动特例数量式 非负为1平方和
注2.互化： 数形结合巧转化 类比三角辅助角 除以振幅正余弦 同＋异－纵为正
为1050的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP|·|FQ|=_____
法3：参数方程+设而不求
由题意得PQ：
x y
2 2 t cos t sin 1050
1050
(t为参数)
P 1050
F Q
将其代入 x2 y 2 4 得
3t2 4( 3 1)t 8 0
故 | FP | | FQ | t1 t2
由题意得,离心率为 e 2 2 , 焦点到准线距离 p
3
建立如图所示的极坐标系
M
2 4
则椭圆的极坐标方程为
1
3 2 2 cos
α
F1
N
F2 X
故 | MN || F1M | | F2N | 1 2
1
1
3 2 2 cos 3 2 2 cos
6
9 8cos2
2
得 cos
3 又因 2
0
圆锥曲线的极坐标方程
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
M(ρ,θ)
ep
F
x
1 e cos
注1：椭圆(双曲线)的焦参数 p b2
c
注2：若AB为焦点弦，则
|
AB
|
2ep
1 e2 cos2
;
1 1 2 | AF | | BF | ep
②
线段M1M2的中点所对应的参数为
t1
2
t2
常见的坐标系
直角坐标 (x,y) 平面坐标 极坐标 (ρ,θ)
空间坐标
直角坐标 (x,y,z)
极坐标 球坐标 (r,φ,θ) 柱坐标(ρ,θ, z)
极坐标系的分类
常用极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈R 狭义极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈[0，2π) 广义极坐标系：ρ ,θ∈R
2
O
x
O
x
l
(a, 3 )
2
方 ①直线 0 程 ② 0( R)
③ 0 和
0
cos a
cos a
sin a
sin a
特殊圆的极坐标方程
图
(r, )
2
O
x
(r,0)
(r, ) O
像
O
xO
x
x
O
x
(r, 3 )
2
方
r
程
2r cos 2r cos 2r sin 2r sin
(t为参数),则
①M0(x0,y0)是直线l 上的(始点)定点 M(x,y)是直线l 上的(终点)动点
② 是直线l 的倾斜角
正负距离称数量 终点右上 t 为正
③参数t是有向线段 M0 M 的数量,其中
⑴终点M在始点M0的上方(或右方) t＞0 ⑵终点M与始点M0重合 t＝0 ⑶终点M在始点M0的下方(或左方) t＜0
法2：极坐标方程
若AB为焦点弦，则
|
AB
|
1
2ep e2 cos2
;
A F
B
x
由题意得离心率 e=1 , 焦参数 p 3 , 300
2
|
AB
|
1
3 cos
2
300
=12
(3)(2014年新课标Ⅱ)设F为抛物线 C : y2 =3x 的焦点，
过F且倾斜角为300的直线交于C于A，B两点，则|AB|=
A
A.1 B. 2 C. 3 D.2
法3：参数方程+设而不求
θ
F1
F2
B
析：由题意得AB：xy
ct t sin
cos
(t为参数)
将其代入 3x2 3y2 c2 得 3(4 3cos2 )t2 6c cos t c2 0
因
uuur AF
uu4ur 3FB
故
AF 3 FB
即 t1 3 t2
1.求直线上某一个点的坐标：
2.求直线上某线段中点的坐标：
3.求直线上两点间的距离：
4.求直线的方程：
注：若l 上两点M1,M2对应的参数分别为t1,t2.则
① | M1 M2 || t1 t2 |
②
线段M1M2的中点所对应的参数为
t1
2
t2
一、三大语言理解直线l 的标准式参数方程：
若直线l 标准式参数方程为
极坐标与直角坐标的互化
①互化的三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合 （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 （3）两种坐标系的单位长度相同 ②互化方法：
（1）形法： 类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角
（2）数法：
x2 y2 2
x cos
y
sin
sin
y
cos
x
tan
②
线段M1M2的中点所对应的参数为
t1
2
t2
练习1.求直线上点的坐标：
(1)直线
x
2
2t (t为参数) 上与点A(-2,3)的距离为
2的
y 3 2t
点的坐标是_______
析①：参数t的几何意义是：
始点 A(-2,3)到终点的有向线段的数量
析②：由题意得 t =± 2 将其代入参数方程即可
x y
x0 y0
t t
2 2 1
0
x
x0
y
y0
||t 2 2 ||t 2 2
vy
t
M(x,y)
M0(x0,y0) vx
注：运动式中t为时间 数量式中t为数量
§275 直线参数方程的应用
一、三大语言理解直线l 的标准式参数方程：
正负距离称数量 终点右上 t 为正
二、直线参数方程的应用：
注① 负极径的定义：先正后对称
注② 极坐标的多值性与单值性：
ⅰ:在常用极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (, 2k ) (k Z)
ⅱ:在广义极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (, 2k )和(－, 2k ) (k Z)
ⅲ :在狭义极坐标系中，除极点(0,θ)外， 其他点的极坐标是唯一的
§275 直线参数方程的应用
一、三大语言理解直线l 的标准式参数方程：
正负距离称数量 终点右上 t 为正
二、直线参数方程的应用：
1.求直线上某一个点的坐标：
2.求直线上某线段中点的坐标：
3.求直线上两点间的距离：
4.求直线的方程：
注：若l 上两点M1,M2对应的参数分别为t1,t2.则
① | M1 M2 || t1 t2 |