直线参数方程的应用

由题意得,离心率为 e 2 2 , 焦点到准线距离 p
3
建立如图所示的极坐标系
M
2 4
则椭圆的极坐标方程为
1
3 2 2 cos
α
F1
N
F2 X
故 | MN || F1M | | F2N | 1 2
1
1
3 2 2 cos 3 2 2 cos
6
9 8cos2
2
得 cos
3 又因 2
0
y x
求极坐标方程常用的方法
公式法 方程法
直接法 间接法
1.公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数 2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程 ①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程
特殊直线的极坐标方程
图
l
θ0
O
x
像
l
(a,0)
Ox
l
(a, )
Ox
l
(a, )
由题意得,离心率为 e 2 , 焦参数为 p 2
1050
Fx Q
建立如图所示的极坐标系，则双曲线的极坐标方程为
2
1 2 cos
故 | FP | | FQ |
2
2
1 2 cos1050 1 2 cos1050
4
1 2 cos2 1050
4 cos 2100
8 3 3
(7)(2007年重庆)过双曲线 x2 y 2 4的右焦点F作倾斜角
.故
6
或
5
6
(6)(2010年全国Ⅱ)已知椭圆C：ax
2 2
y2 b2
1
的离心率为
3 2
过右焦点F且斜率为 k 的直线与C相交于A，B两点
若
uuur uuur AF 3FB
，则k=
A
A.1 B. 2
C. 3
D.2
θ
法1：普通方程+设而不求…… 法2：极坐标方程
F1
F2
B
析：由对称性，不妨：将右焦点看成是左焦点
uuur uuur 因 AF 3FB
故
AF 3 FB
3p 3 3p
2 3 cos 2 3 cos
cos 3
3
tan 2
(6)(2010年全国Ⅱ)已知椭圆C：ax
2 2
y2 b2
1
的离心率为
3 2
过右焦点F且斜率为 k 的直线与C相交于A，B两点
若
uuur uuur AF 3FB
，则k=
t2 2
4
故所 y求中3点3的 坐23标 为4
y 3
(3, 3)
练习2.求直线上两点间的距离： (3)(2014年新课标Ⅱ)设F为抛物线 C : y2 =3x 的焦点，
过F且倾斜角为300的直线交于C于A，B两点，则|AB|=
A.
30 3
B.6
C.12
D.7 3
法1：普通方程+设而不求……
②
线段M1M2的中点所对应的参数为
t1
2
t2
练习1.求直线上点的坐标：
(1)直线
x
2
2t (t为参数) 上与点A(-2,3)的距离为
2的
y 3 2t
点的坐标是_______
析①：参数t的几何意义是：
始点 A(-2,3)到终点的有向线段的数量
析②：由题意得 t =± 2 将其代入参数方程即可
M始(x0 , y0 )
M 0 (x0 , y0 )
M终 (x, y) M (x, y)
x
二、直线参数方程的应用：
(t为参数)
1.求直线上某一个点的坐标：
2.求直线上某线段中点的坐标：
3.求直线上两点间的距离：
4.求直线的方程：
注：若l 上两点M1,M2对应的参数分别为t1,t2.则
① | M1 M2 || t1 t2 |
圆锥曲线的极坐标方程
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
M(ρ,θ)
ep
F
x
1 e cos
注1：椭圆(双曲线)的焦参数 p b2
c
注2：若AB为焦点弦，则
|
AB
|
2ep
1 e2 cos2
;
1 1 2 | AF | | BF | ep
A
A.1 B. 2 C. 3 D.2
法3：参数方程+设而不求
θ
F1
F2
B
析：由题意得AB：xy
ct t sin
cos
(t为参数)
将其代入 3x2 3y2 c2 得 3(4 3cos2 )t2 6c cos t c2 0
因
uuur AF
uu4ur 3FB
故
AF 3 FB
即 t1 3 t2
运动(一般)式
x y
x0 y0
at bt
数量(标准)式 a2 b2 1
b0
x x0 t
y
y0
t
2 2 1
0
x x0 t
y
y0
t
vy
t
M(x,y)
M0(x0,y0) vx
注：运动式中t为时间 数量式中t为数量
注1.区分： 运动特例数量式 非负为1平方和
注2.互化： 数形结合巧转化 类比三角辅助角 除以振幅正余弦 同＋异－纵为正
1.求直线上某一个点的坐标：
2.求直线上某线段中点的坐标：
3.求直线上两点间的距离：
4.求直线的方程：
注：若l 上两点M1,M2对应的参数分别为t1,t2.则
① | M1 M2 || t1 t2 |
②
线段M1M2的中点所对应的参数为
t1
2
t2
一、三大语言理解直线l 的标准式参数方程：
若直线l 标准式参数方程为
故 t1 t2 (t1 t2 )2 2 3 1 cos 3 tan 2
t2 t1
t1 t2
3
3
(7)(2007年重庆)过双曲线 x2 y 2 4的右焦点F作倾斜角
为1050的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP|·|FQ|=_____
法1：普通方程+设而不求……
P
法2：极坐标方程
将其代入参数方程得,所求点的坐标是(-3,4)或(-1,2)
(2)直线
x
1
1 2
t
(t为参数) 和圆 x2 y2 16 交于
y
3
3
3t 2
A，B两点，则线段AB的中点坐标为_________
解：将
x
1
1t 2
(t代为入参数x)2 y2 16 得
y
3
3
3t 2
将t 2t=x4代81t入12参8数4方0程得.故中x 点3对t应1 的t2t =8, t1
法2：极坐标方程
若AB为焦点弦，则
|
AB
|
1
2ep e2 cos2
;
A F
B
x
由题意得离心率 e=1 , 焦参数 p 3 , 300
2
|
AB
|
1
3 cos
2
300
=12
(3)(2014年新课标Ⅱ)设F为抛物线 C : y2 =3x 的焦点，
过F且倾斜角为300的直线交于C于A，B两点，则|AB|=
8 3 3
(8)课本P：38 例4 如图所示,AB,CD是中心为O
y
的椭圆的两条相交弦，交点为P，两弦AB,CD与 C
B
椭圆长轴的夹角分别∠1,∠2为且∠1=∠2 求证：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|
(t为参数),则
①M0(x0,y0)是直线l 上的(始点)定点 M(x,y)是直线l 上的(终点)动点
② 是直线l 的倾斜角
正负距离称数量 终点右上 t 为正
③参数t是有向线段 M0 M 的数量,其中
⑴终点M在始点M0的上方(或右方) t＞0 ⑵终点M与始点M0重合 t＝0 ⑶终点M在始点M0的下方(或左方) t＜0
另法：所求点的坐标是 (2 2t, 3 2t) 而其到点A(-2,3)的距离为 2
直接代入点点距离公式即可
解：由题意得,所求点的坐标是 (2 2t, 3 2t)
又因其到点A(-2,3)的距离为 2
故
((2t
)22t
)2
(
(2t
)22t
)2
(
(2
)22 ,)t22,
t解2 12得,12t
,t
2 2 22
2
O
x
O
x
l
(a, 3 )
2
方 ①直线 0 程 ② 0( R)
③ 0 和
0
cos a
cos a
sin a
sin a
特殊圆的极坐标方程
图
(r, )
2
O
x
(r,0)
(r, ) O
像
O
xO
x
x
O
x
(r, 3 )
2
方
r
程
2r cos 2r cos 2r sin 2r sin
析③：此题的“坑”是：所给的参数方程非标准式
解：由题意得,直线的标准式参数方程为
x 2
2t 2
(t为参数)
将t =±
2 代入得
y
3
2t 2
所求点的坐标是(-3,4)或(-1,2)
(1)直线
x
2
2t (t为参数) 上与点A(-2,3)的距离为
2的
y 3 2t
点的坐标是_______
极坐标与直角坐标的互化
①互化的三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合 （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 （3）两种坐标系的单位长度相同 ②互化方法：
（1）形法： 类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角
（2）数法：
x2 y2 2
x cos
y
sin
sin
y
cos
x
tan
x y
x0 y0
t t
2 2 1
0
x
x0
y
y0
||t 2 2 ||t 2 2
vy
t
M(x,y)
M0(x0,y0) vx
注：运动式中t为时间 数量式中t为数量
§275 直线参数方程的应用
一、三大语言理解直线l 的标准式参数方程：
正负距离称数量 终点右上 t 为正
二、直线参数方程的应用：
法1：直角坐标系普通方程+设而不求
法2：直角坐标系参数方程+设而不求 法3：极坐标方程
(5)(1983年全国)如图,若椭圆的|A1A2|=6,焦距|F1F2|= 4 2
过椭圆焦点F1作一直线
M
交椭圆于两点M，N
设∠F2F1M=α（0≤α＜π）
当α取什么值时，
A1Hale Waihona Puke Baidu
|MN|等于椭圆短轴的长？
α
F1
N
F2 A2
二、以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：
即普通方程与极坐标方程的互化
直线的参数方程
1.运动(一般)式：
x y
x0 y0
vx vy
t t
(t为参数) (t为时间)
vy
M(x,y)
vx
M0(x0,y0)
2.数量(标准)式：
(t为参数) M0(x0,y0)
(t为数量)
M(x,y)
x
注1.区分： 运动特例数量式 非负为1平方和
法2：参数方程 建立如图所示的直角坐标系，则椭圆: x2 y2 1 …… *
9
由题意得MN：x 2 2 t cos (t为参数)
y t sin
将其代入*式得 (9 8cos2 )t2 4 2 cos t 1 0
故 | MN || t1 t2 |
6
9 8cos2
2
……
法3：极坐标方程
注① 负极径的定义：先正后对称
注② 极坐标的多值性与单值性：
ⅰ:在常用极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (, 2k ) (k Z)
ⅱ:在广义极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (, 2k )和(－, 2k ) (k Z)
ⅲ :在狭义极坐标系中，除极点(0,θ)外， 其他点的极坐标是唯一的
交于A,B两点;求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的
距离之和
y
解：易得点M在直线l上.
由题意得l的参数方程为：
A
即
x
1
2 2
t
(t为参数)
M(-1，2)
y
2
2 2
t
把它代入抛物线方程y x2， B
将其代入 y=x2 得得t2 2t 2 0.
O
x
故 | AB | || At1B |t2 ||t1 …1t…02 ，| 10，
为1050的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP|·|FQ|=_____
法3：参数方程+设而不求
由题意得PQ：
x y
2 2 t cos t sin 1050
1050
(t为参数)
P 1050
F Q
将其代入 x2 y 2 4 得
3t2 4( 3 1)t 8 0
故 | FP | | FQ | t1 t2
| MA | | MB | | t1 | | t2 | | t1t2 | 2.
(5)(1983年全国)如图,若椭圆的|A1A2|=6,焦距|F1F2|= 4 2
过椭圆焦点F1作一直线
M
交椭圆于两点M，N
设∠F2F1M=α（0≤α＜π）
当α取什么值时，
A1
|MN|等于椭圆短轴的长？
α
F1
N
F2 A2
A.
30 3
B.6
C.12
法3：参数方程+设而不求
D.7 3
由题意得AB：x
3 4
y
t 2
3t 2 (t为参数)
F B
A
x
将其代C入: y2 =3x得 t2 6 3t 9 0
故 | AB || t1 t2 | (t1 t2 )2 4t1 t2 =12
(4)课本P：36 例1 已知直线l: x+y-1=0与抛物线 y=x2
§275 直线参数方程的应用
一、三大语言理解直线l 的标准式参数方程：
正负距离称数量 终点右上 t 为正
二、直线参数方程的应用：
1.求直线上某一个点的坐标：
2.求直线上某线段中点的坐标：
3.求直线上两点间的距离：
4.求直线的方程：
注：若l 上两点M1,M2对应的参数分别为t1,t2.则
① | M1 M2 || t1 t2 |
②
线段M1M2的中点所对应的参数为
t1
2
t2
常见的坐标系
直角坐标 (x,y) 平面坐标 极坐标 (ρ,θ)
空间坐标
直角坐标 (x,y,z)
极坐标 球坐标 (r,φ,θ) 柱坐标(ρ,θ, z)
极坐标系的分类
常用极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈R 狭义极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈[0，2π) 广义极坐标系：ρ ,θ∈R