江苏省南通中学2016-2017学年高二上学期期末数学试卷 Word版含解析
江苏省南通市如东高中2016-2017学年高二上学期期中考试数学试卷(解析版).doc
2016-2017学年江苏省南通市如东高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（2015春•安庆期末）不等式x2+x﹣2≤0的解集是{x|﹣2≤x≤1}．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把不等式x2+x﹣2≤0化为（x﹣1）（x+2）≤0，求出x的取值范围，写出不等式的解集．【解答】解：不等式x2+x﹣2≤0可化为（x﹣1）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤1；∴原不等式的解集是{x|﹣2≤x≤1}．故答案为：{x|﹣2≤x≤1}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应按照解一元二次不等式的基本步骤进行解答，是基础题．2．（2016•松江区二模）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）【点评】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．3．（2016秋•如东县校级期中）椭圆的离心率的值为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆的长轴与焦距，然后求解离心率即可．【解答】解：椭圆，可得a=2，c=1．所以椭圆的离心率为：．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，基本知识的考查．4．（2016秋•如东县校级期中）已知点A（l，2）在直线x+y+a=0的上方的平面区域，则实数a的取值范围是a＞﹣3．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】转化思想；定义法；不等式．【分析】根据二元一次不等式表示平面区域以及点与不等式的关系进行求解即可．【解答】解：∵点A（l，2）在直线x+y+a=0的上方的平面区域，即x+y+a＞0，∴1+2+a＞0，即a＞﹣3，故答案为：a＞﹣3【点评】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，根据点与不等式的关系是解决本题的关键．5．（2016秋•如东县校级期中）函数y=2+4x+（x＞0）的最小值为6．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】由题意x＞0，运用基本不等式，即可得到所求最小值和等号成立的条件．【解答】解：函数y=2+4x+（x＞0）≥2+2=6，当且仅当4x=，即x=时，取得最小值6．故答案为：6．【点评】本题考查函数的最小值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．6．（2012秋•南京期末）双曲线的渐近线方程为y=±3x．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．【解答】解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得的渐近线方程为，化简可得y=±3x，故答案为：y=±3x．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．7．（2016秋•如东县校级期中）己知实数x，y满足条件，则x+y的取值范围是[2，7]．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；函数思想；转化思想；导数的综合应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x+y的最小值．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（1，1）时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小，为z=1+1=2，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（5，2）代入目标函数z=x+y得z=5+2=7．故2≤z≤7．故答案为：[2，7]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8．（2016秋•如东县校级期中）不等式ax2+bx+c＞0的解集是（1，2），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是{x|＜x＜1}．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】通过不等式的解集，推出不等式对应方程的根，然后求出所求不等式的解集．【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是（1，2），所以，即，不等式cx2+bx+a＞0可化为2ax2﹣3ax+a＞0，即2x2﹣3x+1＜0，解得＜x＜1，所以该不等式的解集为{x|＜x＜1}．故答案为：{x|＜x＜1}．【点评】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．9．（2016秋•如东县校级期中）设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上一点，若△F1F2P 为直角三角形，该三角形的面积为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据P点为椭圆的上下顶点时，∠F1F2P取到最大值即可判断出∠F1F2P=90°，求得P点的纵坐标，从而求出△PF1F2的面积．【解答】解：当P点为椭圆的上顶点时，△F1F2P为直角三角形，∠F1F2P最大，根据椭圆的标准方程可求得∠F1F2P=90°；∴∠F1PF2不可能是直角；∴只能是PF2⊥x轴；椭圆的右焦点（3，0），2c=6，|F2P|==．三角形的面积为：=/故答案为：．【点评】考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点及顶点，以及∠F1F2P取到最大值是解题的关键．10．（2016秋•如东县校级期中）已知正数x，y满足，若x+y+a＞0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣3﹣2，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】x+y+a＞0恒成立⇔﹣a＜（x+y）min，利用基本不等式可求得（x+y）min=3+2，从而可得实数a的取值范围．【解答】解：∵x＞0，y＞0，，∴x+y+a＞0恒成立⇔﹣a＜（x+y）min，∵x+y=（x+y）（）=3++≥3+2（当且仅当x=2+，y=+1时取“=”），∴（x+y）min=3+2，∴﹣a＜3+2，∴a＞﹣3﹣2．故答案为：（﹣3﹣2，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与基本不等式的应用，分离参数a后求得（x+y）=3+2是关键，属于中档题．min11．（2016秋•如东县校级期中）过椭圆内一点M（l，l）的直线l交椭圆于两点，且M为线段AB的中点，则直线l的方程为3x+4y﹣7=0．【考点】直线与椭圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过直线l过点M（1，1）可设其方程为x=m（y﹣1）+1，并与椭圆方程联立，利用韦达定理及中点坐标公式计算即得结论．【解答】解：依题意，设直线l方程为：x=m（y﹣1）+1，联立，消去x整理得：（4+3m2）y2﹣6m（m﹣1）y+3m2﹣6m﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，∵且线段AB的中点为M（1，1），∴=2，即m=﹣，∴直线l方程为x=﹣（y﹣1）+1，即3x+4y﹣7=0，故答案为：3x+4y﹣7=0．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．（2016秋•如东县校级期中）已知焦点均在x轴上的双曲线C1，与双曲线C2的渐近线方程分别为y=土k1x 与y=±k2x，记双曲线C1的离心率e1，双曲线C2的离心率e2，若k1k2=1，则e1e2的最小值为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意设出两双曲线方程，求得e1，e2，然后利用基本不等式求得e1e2的最小值．【解答】解：由题意可设C1：（a＞0，b＞0），C2：（a＞0，b＞0），则，，∴．（当且仅当a=b时等号成立）．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．13．（2016秋•如东县校级期中）若圆x2+（y﹣2）2=1与椭圆+=1的三个交点构成等边三角形，则该椭圆的离心率的值为．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可知：圆x2+（y﹣2）2=1圆心为（0，2），半径为1，椭圆+=1的焦点在y轴上，则A（3，0），则=3，则n=9，由等边三角形ABC为圆x2+（y﹣2）2=1的内接正三角形，AC=BC=AB=，求得DC=，AD=，即可求得C点坐标，代入即可求得椭圆方程，即可求得椭圆的离心率的值．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1圆心为（0，2），半径为1，则A（3，0），则椭圆+=1焦点在y轴上，即=3，则n=9，等边三角形ABC为圆x2+（y﹣2）2=1的内接正三角形，则AC=BC=AB=，∴DC=，AD=，∴OD=OA﹣AD=∴C点坐标为：（，），代入椭圆方程：，解得：m=1，∴椭圆方程：，即a=3，b=1，c=2，∴椭圆的离心率e==，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法及简单几何性质，考查圆的内接正三角的性质，考查数形结合思想，属于中档题．14．（2016秋•如东县校级期中）已知f（x）=，若不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，则实数m的取值范围是（﹣2，﹣1]∪[1，2）．【考点】分段函数的应用．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出函数f（x）的图象，根据不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，等价f（x）•（f （x）﹣m））＜0，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：不等式f2（x）﹣mf（x）＜0等价于f（x）（f（x）﹣m）＜0，当m＞0时，0＜f（x）＜m，不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，结合图象，可得1≤m＜2当m＜0时，m＜f（x）＜0，不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，结合图象，可得﹣2＜m≤﹣1综上所述m的取值范围为（﹣2，﹣1]∪[1，2），故答案为：（﹣2，﹣1]∪[1，2）【点评】本题主要考查不等式的解集，作出函数f（x）的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、解答题：本大题共6小题.共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2016秋•如东县校级期中）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）焦点坐标为（，0），准线方程为x=的椭圆；（2）过点（，2），渐近线方程为y=±2x的双曲线．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】转化思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．（1）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由c=，x=±=，【分析】求得a2=4，b2=a2﹣c2=2，即可求得椭圆的标准方程；（2）由双曲线渐近线方程为y=±2x，设双曲线的方程为：（λ≠0），将点（，2）代入双曲线方程，即可求得λ的值，即可求得双曲线方程．【解答】解：（1）由焦点坐标为（，0），可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：（a ＞b＞0），则c=，由椭圆的准线方程为：x=±=，即a2=4，由b2=a2﹣c2=4﹣2=2，故椭圆的标准的标准方程为：；（2）由双曲线渐近线方程为y=±2x，则设双曲线的方程为：（λ≠0），由双曲线经过点（，2），代入可得：2﹣=λ，解得：λ=1，双曲线的方程为：，∴双曲线的标准方程方程为：．【点评】本题考查椭圆及双曲线的标准方程及简单几何性质，考查曲线方程的求法，考查待定系数法的应用，属于基础题．16．（14分）（2016秋•如东县校级期中）已知函数f（x）=x2+（1﹣a）x+（1﹣a）．a∈R．（1）当a=4时，解不等式f（x）≥7；（2）若对P任意的x∈（﹣1，+∞），函数f（x）的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）当a=4时，转化为x2﹣3x﹣10≥0解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在x轴上方转化为f（x）≥0（x＞﹣1）恒成立，x2+x+1≥a（x+1）在（﹣1，+∞）恒成立，再分离参数∴a≤，求解．【解答】解：当a=4是，f（x）=x2﹣3x﹣3≥7⇒x2﹣3x﹣10≥0∴x≥5或x≤﹣2．故不等式解集为{x|x≥5或x≤﹣2}．（2）∵x∈（﹣1，+∞）时，函数f（x）的图象恒在x轴上方，∴f（x）=x2+（1﹣a）x+（1﹣a）≥0⇒x2+x+1≥a（x+1）∵x＞﹣1∴x+1＞0∴a≤∵≥当且仅当x+1=，即x=0时取等号．∴a≤1．【点评】本题考查了解一元二次不等式，恒成立问题的转化思想，属于中档题．17．（14分）（2016秋•如东县校级期中）已知椭圆曲线方程为，两焦点分别为F1，F2．（1）若n=﹣1，过左焦点为F1且斜率为的直线交圆锥曲线于点A，B，求△ABF2的周长．（2）若n=4，P圆锥曲线上一点，求PF1•PF2的最大值和最小值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）求出|AB|，利用双曲线的定义，即可求△ABF2的周长．（2）若n=4，P圆锥曲线上一点，PF1+PF2=4，设PF1=x，x∈[2﹣，2+]，PF1•PF2=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+4求，即可PF1•PF2的最大值和最小值．【解答】解：（1）若n=1，方程为x2﹣y2=1，则直线AB的方程为y=（x+）．联立x2﹣y2=1，可得2x2+6x+7=0，∴|AB|==4，据双曲线定义，2a=|AF2|﹣|AF1|=|BF2|﹣|BF1|，∴4a=|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）=4，∴|AB|+|AF2|+|BF2|=12；（2）若n=4，方程为=1，∴PF1+PF2=4，设PF1=x，x∈[2﹣，2+]，∴PF1•PF2=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+4，∴PF1•PF2的最大值为4，最小值为1．【点评】本小题主要考查椭圆的定义，双曲线的定义、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．18．（16分）（2016秋•如东县校级期中）为迎接“双十一”活动，某网店需要根据实际情况确定经营策略．（1）采购员计划分两次购买一种原料，第一次购买时价格为a元/个，第二次购买时价格为b元/个（其中a≠b）．该采购员有两种方案：方案甲：每次购买m个；方案乙：每次购买n元．请确定按照哪种方案购买原料平均价格较小．（2）“双十一”活动后，网店计划对原价为100元的商品两次提价，现有两种方案：方案丙：第一次提价p，第二次提价q；方案丁：第一次提价，第二次提价，（其中p≠q）请确定哪种方案提价后价格较高．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；方程思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】（1）求出方案甲、乙的平均价格，作差，即可进行比较；（2）求出方案丙、定的价格，作差，即可进行比较．【解答】解：（1）方案甲平均价格为=，方案乙平均价格为=，∵﹣=＞0，∴方案乙平均价格较小；（2）方案丙：第一次提价p，第二次提价q，则价格为100（1+p）（1+q），方案丁：第一次提价，第二次提价，则价格为，∵100（1+p）（1+q）﹣=﹣100＞0，∴按照方案丁提价后的价格较高．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查作差方法的运用，属于中档题．19．（16分）（2016秋•如东县校级期中）已知函数f（x）=tx，（x∈R）．（1）若t=ax+b，a，b∈R，且﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，求点（a，b）的集合表示的平面区域的面积；（2）若t=2+，（x＜1且x≠0），求函数f（x）的最大值；（3）若t=x﹣a﹣3（a∈R），不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，求b，c的值．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意可得﹣1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，运用点（a，b）的集合表示的平面区域为矩形，由平行直线间的距离公式，即可得到所求面积；（2）运用基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，即可得到所求最大值；（3）运用二次不等式的解集，可得对应方程的解，运用韦达定理可得a=1，再由不等式b2+c2﹣bc﹣3b ﹣1≤f（x）的最小值，结合判别式非负，可得b=2，进而得到c的不等式，求得c=1．【解答】解：（1）当t=ax+b时，f（x）=ax2+bx，由﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，可得﹣1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，由两平行直线x﹣y=2和x﹣y=﹣1的距离为，两平行直线x+y=2和x+y=4的距离为，可得点（a，b）的集合表示的平面区域（矩形）的面积为×=3；（2）若t=2+，（x＜1且x≠0），则f（x）=2x+（x＜1且x≠0），由2x+=[2（x﹣1）+]+2=﹣[2（1﹣x）+]+2≤﹣2+2=2﹣2，当且仅当2（1﹣x）=，即x=1﹣时，等号成立，则函数的最大值为2﹣2；（3）若t=x﹣a﹣3（a∈R），则f（x）=x2﹣（a+3）x，f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，即x2﹣（a+3）x﹣（a+4）≤0的解集为[﹣1，5]，即﹣1，5为方程x2﹣（a+3）x﹣（a+4）=0的两根，可得﹣1+5=a+3，﹣1×5=﹣（a+4），解得a=1；再由不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，可得b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）的最小值，而f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4的最小值为﹣4，则b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤﹣4，即b2+c2﹣bc﹣3b+3≤0，记g（c）=c2﹣bc+b2﹣3b+3，则△=b2﹣4（b2﹣3b+3）≥0，即﹣3（b﹣2）2≥0，但﹣3（b﹣2）2≤0，则b=2；即有4+c2﹣2c﹣6+3≤0，即c2﹣2c+1≤0，即（c﹣1）2≤0，但（c﹣1）2≥0，即c=1．【点评】本题考查函数的最值的求法，以及不等式的解法和应用，注意运用二次函数和二次方程及不等式的关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20．（16分）（2016秋•如东县校级期中）己知椭圆（m＞n＞0）的离心率e的值为，右准线方程为x=4．如图所示，椭圆C左右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线交椭圆C于M，N，直线AM，MB交于点P．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P（4，），直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，求．（3）求证点P在一条定直线上．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；压轴题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆C的离心率为，右准线的方程为x=4，建立方程，求出几何量，可得椭圆C的方程；（2）利用A，P点，求出直线AP，与椭圆方程求解M的坐标，直线MF与椭圆联立求出N的坐标，可得AN，BM的斜率分别为k1，k2，可求的值．（3）设出MN的直线方程y=k（x﹣1），利用设而不求的思想，M（x1，y1），N（x2，y2），表示出AN直线，BM直线的方程．AN直线与BM直线联立方程求解p的坐标，可得P在一条定直线上．【解答】解：（1）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率e的值为，即，右准线方程为x=4，即解得：a=2，c=1，∵a2=b2+c2∴b=．故得椭圆的标准方程为：．（2）点P（4，），A（﹣2，0），故得直线AP方程为y=，与椭圆方程联立，求解M的坐标为（0，），那么可得MN直线方程为y=1﹣3x，与椭圆方程联立，求解N的坐标为（，），那么AN的斜率为k1=，BM的斜率k2=，则=．（3）设斜率存在的MN的直线方程为y=k（x﹣1），利用设而不求的思想，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆方程联立，可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，那么：…①，…②由A，M的坐标可得直线AM的方程为，由B，N的坐标可得直线BN的方程为，4直线AM与直线BN联立，可得：，∴…③，将①②代入③解得：x=4．故点P在直线x=4上．当k不存在时，经验证，点P在直线x=4上满足题意．【点评】本题考查了与椭圆的标准方程的求法，椭圆与直线的关系的运用能力和计算能力，考查了数学转化思想方法，综合能力强，计算量大，属于难题，压轴题．三、(加试)解答题（共4小题，满分0分）21．（2016秋•如东县校级期中）已知圆F1：（x+1）2+y2=1，圆F2：（x﹣1）2+y2=25，若动圆C与圆F1外切，且与圆F2内切，求动圆圆心C的轨迹方程．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据两圆的方程，算出它们的圆心与半径，设动圆的半径为R，根据两圆相切的性质证出：|F1C|+|F2C|=r1+r2=1+5=6（定值），从而得到圆心C在以F1、F2为焦点的椭圆上运动，结合题意算出a、b 之值，可得动圆圆心的轨迹方程．【解答】解：∵圆F1的方程为：（x+1）2+y2=1，∴圆F1的圆心为（﹣1，0），半径r1=1；同理圆R2的圆心为（1，0），半径r2=5．设动圆的半径为R，则|F1C|=r1+R，|F2C|=r2﹣R，两式相加得：|F1C|+|F2C|=r1+r2=1+5=6（定值），∴圆心C在以F1、F2为焦点的椭圆上运动，由2a=6，c=2，得a=3，b=2，∴椭圆方程为=1．即动圆圆心C的轨迹方程为：=1．【点评】本题求动点的轨迹方程，着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系、平行线之间的距离公式，属于中档题．22．（2016秋•如东县校级期中）在△ABC中，B（﹣3，0），C（3，0），直线AB，AC的斜率之积，求顶点A的轨迹．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】因为直线AB、AC的斜率存在，所以先求出直线AB，AC的斜率，再根据斜率之积为，即可得到动点A的轨迹方程．【解答】解：设A（x，y），则k AB=，k AC=，（x≠±3）．由k AB•k AC=•=化简可得=1，所以动点A的轨迹方程为=1，（x≠±3）．【点评】本题考查求点的轨迹方程的方法，斜率公式，注意x≠±3，此处是易错点，属于中档题．23．（2016秋•如东县校级期中）己知F为抛物线y2=x的焦点，点P为抛物线上的动点，P到抛物线准线的距离为d．（1）若，求PF+PA域最小值；（2）若，求PB+d的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）在抛物线内部，PF+PA=d+PA≥﹣（﹣）=，可得结论；（2）在抛物线的外部，PB+d=PPF≥BF=2，可得结论．【解答】解：（1）∵在抛物线内部，∴PF+PA=d+PA≥﹣（﹣）=，∴PF+PA的最小值为；（2）∵在抛物线的外部，∴PB+d=PPF≥BF=2，∴PB+d的最小值为2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．24．（2016秋•如东县校级期中）己知抛物线若y2=2px过点P（1，2）．（1）求实数p的值；（2）若直线若l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），两点，且y1y2=﹣4，求证直线l过定点并求出该点的坐标．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用抛物线若y2=2px过点P（1，2），代入计算，可得结论；（2）设AB：x=my+b，代入抛物线方程，运用韦达定理，结合条件，可得b=1，即可得到定点（1，0）．【解答】（1）解：∵抛物线若y2=2px过点P（1，2），∴4=2p，∴p=2；（2）证明设AB：x=my+b，代入抛物线方程y2=4x，可得y2﹣4my﹣4b=0，y1y2=﹣4b，又y1y2=﹣4，即有b=1，即有x=my+1，则直线AB恒过定点（1，0）．【点评】本题考查抛物线的方程的运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及直线恒过定点的求法，属于中档题．。
江苏省南通中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2021年江苏省南通中学高二年级期末考试数学注意事项：1. 本试卷分选择题与非选择题两部分。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列{a n}是等比数列，公比为q，且a1>0.则“q<−1”是“∀n∈N∗，2a2n−1+a2n<a2n+1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2.定义数列{b m}如下：m+1mb m(m∈N∗)是使不等式a n≥m(m∈N∗)成立的所有n中的最小值，则b1+b3+b5+⋯+b19=()A. 25B. 50C. 75D. 1003.电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映．在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起．为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是()A. 8B. 12C. 16D. 204.小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还()万元．()A. M10B. MP(1+P)10(1+P)10−1C. M(1+P)1010D. MP(1+P)9(1+P)9−15.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴交于点H，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，如图所示，则：①以线段AB为直径的圆与准线l相切；②以A1B1为直径的圆经过焦点F；③A，O，B1(其中点O为坐标原点)三点共线；★绝密启用前④若已知点A 的横坐标为x 0，且已知点T(−x 0,0)，则直线TA 与该抛物线相切． 则以上说法中正确的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除(此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体)体积的求法．在如图所示的羡除中，平面ABDA′是铅垂面，下宽AA′=3m ，上宽BD =4m ，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽CE =5m ，无深，长6m(直线CE 到BD 的距离)，则该羡除的体积为( )A. 24m 3B. 30m 3C. 36m 3D. 42m 37. 如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞的伞蓬是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有( ) A. 40320种 B. 5040种C. 20160种D. 2520种8. 已知点P 是椭圆x 216+y 212=1(xy ≠0)上的动点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的角平分线上的一点，且F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( ) A. (0,2)B. (0,√3)C. (0,4)D. (2,2√3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市2017-2018学年高二(上)期中数学试卷(Word版 含答案解析)
2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．2．在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=．3．抛物线x2=2y的准线方程是．4．命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是命题．（选填“真”或“假”之一）5．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为．6．已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为．7．设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的条件．（填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、﹣1即不充分也不必要条件”）8．设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M 为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为．10．已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为．12．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n﹣a n}是等比数列，则+1=．i13．已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是．14．设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有．（请将你认为正确命题的序号都写上）二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．16．设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}满足（2n ﹣1）b n﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．20．已知数列{a n}的首项a1=a（a＞0），其前n项和为S n，设b n=a n+a n（n∈N*）．+1（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；1）≥2（1﹣n）恒成立，求a ②若对∀n∈N*，且n≥2，不等式（a n﹣1）（a n+1的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．【考点】2J：命题的否定．【分析】直接把语句进行否定即可，注意否定时∀对应∃，≤对应＞．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．2．在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=3．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：a4=8=﹣1+3d，解得d=3．故答案为：3．3．抛物线x2=2y的准线方程是．【考点】K7：抛物线的标准方程．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上；所以：2p=2，即p=1，所以：=，所以准线方程y=﹣．故答案为：y=﹣．4．命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是真命题．（选填“真”或“假”之一）【考点】21：四种命题．【分析】利用否命题的形式写出否命题，判断出否命题是真命题．【解答】解：命题的否命题为：“若实数a满足a＞2，则a2＞4”∵a＞2∴a2＞4∴否命题为真命题故答案为：真5．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为10．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程求出a的值，结合双曲线的定义分析可得||PF1|﹣|PF2||=2a=6，解可得|PF2|的值，取舍即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1，其中a==3，点P在双曲线上，则有||PF1|﹣|PF2||=2a=6，又由|PF1|=4，解可得|PF2|=10或﹣2（舍），则|PF2|=10；故答案为：10．6．已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为5．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列通项公式和等比中项性质列出方程，由此能求出a3的值．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，∴，∴（a1+2）2=a1（a1+8），解得a1=1，∴a3=1+2×2=5．故答案为：5．7．设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的必要不充分条件．（填“充要条件、充分不必要条件、必要不﹣1充分条件、即不充分也不必要条件”）【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，∴当a1=1，q=﹣时，满足q＜0，但此时a1+a2=1﹣=＞0，则a2n﹣1+a2n＜0不成立，即充分性不成立，+a2n＜0，则a1q2n﹣2+a1q2n﹣1＜0反之若a2n﹣1∵a1＞0，∴q2n﹣2（1+q）＜0，即1+q＜0，则q＜﹣1，即q＜0成立，即必要性成立，+a2n＜0”的必要不充分条件，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1故答案为：必要不充分8．设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由已知中M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，由等腰三角形三线合一可得△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，进而得到答案．【解答】解：∵F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，若M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，则△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，即2c=a，故该椭圆的离心率e==，故答案为：．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为12．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列{a n}的前n项和公式、通项公式求出q4=2，a1=﹣4（1﹣q），由此能求出S8．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，=2，S4=4，∴，解得q4=2，a1=﹣4（1﹣q），∴S8===12．故答案为：12．10．已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为9．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（3，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1.5，则FN|=1.5+3=4.5，|FN|=2|FM|=2×4.5=9．故答案为：9．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为﹣=1．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意列方程组求出a，b的值即可．【解答】解：由题意可知，解得a=3，b=3，∴双曲线方程为=1．故答案为：=1．12．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n﹣a n}是等比数列，则i=+13049．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，得{a n+1﹣a n}是首项为3，公比为2的等比数列，从而依次求出数列的前10项，由此能求出i．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，{a n+1﹣a n}是等比数列，∴a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，﹣a n}是首项为3，公比为2的等比数列，∴{a n+1∴a4﹣a3=12，a4=12+10=22，a5﹣a4=24，a5=24+22=46，a6﹣a5=48，a6=48+46=94，a7﹣a6=96，a7=96+94=190，a8﹣a7=192，a8=192+190=382，a9﹣a8=384，a9=384+382=766，a10﹣a9=768，a10=768+766=1534，∴i=1+4+10+22+46+94+190+382+766+1534=3049．故答案为：3049．13．已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是[3，13] ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】令Q为MN中的中点，可得CQ=，结合C为椭圆+=1的焦点，|PC|∈[2，6]，可得PQ|的范围，结合|+|=|2|，可得答案．【解答】解：令Q为MN中的中点，则圆（x﹣2）2+y2=1的圆心C到MN的距离CQ==，又由C为椭圆+=1的焦点，故|PC|∈[2，6]，则PQ|∈[2﹣，6+]=[，]，|+|=|2|∈[3，13]，故答案为：[3，13]．14．设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有①②③．（请将你认为正确命题的序号都写上）【考点】8H：数列递推式．【分析】根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，因此0∈{a n}，即a4=0，进而推出数列的其它项，可得答案．【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，令i=j，则0为数列的某一项，即a4=0，则a3﹣a4=a3∈{a n}，（a3＞0）．必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，而a1﹣a2=a2或a3，若a1﹣a2=a2，则a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；若a1﹣a2=a3∈{a n}，此时a1=3a3，可得数列{a n}为：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；据此分析选项：易得①②③正确；故答案为：①②③二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据双曲线的性质求出p为真时m的范围，根据二次函数的性质求出￢q为真时的m的范围，取交集即可．【解答】解：若p为真命题，则（m+3）（m﹣4）＜0，解得：﹣3＜m＜4，￢q：∀x∈R，使得x2+mx+m+3≥0，若￢q是真命题，则m2﹣4（m+3）≤0，解得：﹣2≤m≤6，若“p且￢q”为真命题，则p是真命题且￢q也是真命题，故﹣2≤m＜4．16．设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式求出a4=10，利用等差数列前n项和公式求出a3=8．由此能求出{a n}的通项公式．（2）求出等比数列{b n}中b2=8，b3=16，从而q=2，b6=a k=2k+2=128，由此能求出k．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．∴a2+a6=2a4=20，解得a4=10，S5=5a3=40，解得a3=8．∴d=a4﹣a3=10﹣8=2，a1=a3﹣2d=8﹣4=4，∴a n=a1+（n﹣1）d=4+（n﹣1）×2=2n+2．（2）∵等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．∴b2=8，b3=16，∴q=，∴b6=a k=2k+2=8×24=128，解得k=63．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的定义列出方程组求出a，b的值即可；（2）设M（x0，y0），根据抛物线的性质列方程组求出M点坐标，从而得出抛物线方程．【解答】解：（1）由条件得，解得a=，b=，∴椭圆方程为=1．（2）设M（x0，y0），则MF=y0+=，即p=﹣2y0，又M在椭圆上，∴x02+3y02=6，且x02=2py0，∴（7﹣4y0）y0+3y02=6，解得y0=1或y0=6（舍），∴p=，∴抛物线方程为x2=3y．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}满足（2n ﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．﹣1）b n+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）根据已知条件利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．得到：S n+1=2﹣a n+1，则：a n+1=a n﹣a n+1，整理得：所以：数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列．则：．数列{b n}满足（2n﹣1）b n+1﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），则：，所以：数列{}是常数列．则：{b n}的通项公式为：b n=2n﹣1．（2）由（1）得：c n=a n•b n=，则： +…+①所以： +…+②则：①﹣②得：）﹣，整理得：T n=．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）列方程组求出a，b的值即可得出椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程化简，从而得出k1，k关于A，B坐标的表达式，结合e=即可得出kk1的值；（3）设Q（s，t）（s＞0，t＞0），根据倾斜角互补和面积公式计算Q的坐标，从而得出椭圆方程．【解答】解：（1）由条件得：，解得a=2，b=，∴椭圆方程为=1．（2）证明：设AB的中点为（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆上的点，∴，，两式相减得： +=0，即=﹣•=﹣•，∵k1=，k=，∴k1=﹣，即k1k=﹣．∵e==，∴==，∴k 1k=﹣． （3）设Q （s ，t ）（s ＞0，t ＞0），则P （﹣s ，﹣t ），R （﹣s ，0），∴k QR ==，∵直线AB 和直线QR 倾斜角互补，∴=﹣k 1，又k 1k=﹣，且k ＞0，∴k=，又S △PQR =st=2， =k=，∴s=2，t=，即Q （2，），∴=1，又，∴a=2，b=3，∴椭圆方程为．20．已知数列{a n }的首项a 1=a （a ＞0），其前n 项和为S n ，设b n =a n +a n +1（n ∈N*）．（1）若a 2=a +1，a 3=2a 2，且数列{b n }是公差为3的等差数列，求S 2n ； （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ，满足T n =n 2．①求数列{a n }的通项公式；②若对∀n ∈N*，且n ≥2，不等式（a n ﹣1）（a n +11）≥2（1﹣n ）恒成立，求a 的取值范围．【考点】8K ：数列与不等式的综合．【分析】（1）由已知可得：b n +1﹣b n =a n +2﹣a n =3，数列{a n }的奇数项与偶数项分别成等差数列，且公差为3．利用a 3﹣a 1=2a 2﹣a=2（a +1）﹣a=3，解得a ．即可得出S 2n ．（2）①由T n =n 2，n ≥2时，b n =T n ﹣T n ﹣1=n 2﹣（n ﹣1）2=2n ﹣1．n=1时，b 1=T 1=1．b n =a n +a n +1=2n ﹣1．化为：a n +1﹣n=﹣[a n ﹣（n ﹣1）]，利用等比数列的通项公式可得a n=n﹣1+a×（﹣1）n﹣1，②不等式（a n﹣1）（a n+11）≥2（1﹣n）化为：a n a n+1﹣（a n+a n+1）+1≥2（1﹣n），由a n+a n+1=2n﹣1．不等式化为：a n a n+1≥0．对分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由已知可得：b n+1﹣b n=a n+2﹣a n=3，∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，且公差为3．∴a3﹣a1=2a2﹣a=2（a+1）﹣a=a+2=3，解得a=1．∴a1=1，a2=2．∴S2n=+=3n2．（2）①由T n=n2，n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．n=1时，b1=T1=1．∴b n=a n+a n+1=2n﹣1．化为：a n+1﹣n=﹣[a n﹣（n﹣1）]，∴数列{a n﹣（n﹣1）}为等比数列，公比为﹣1．首项为a．∴a n﹣（n﹣1）=a×（﹣1）n﹣1，即a n=n﹣1+a×（﹣1）n﹣1，②不等式（a n﹣1）（a n+11）≥2（1﹣n）化为：a n a n+1﹣（a n+a n+1）+1≥2（1﹣n），由a n+a n+1=2n﹣1．∴不等式化为：a n a n+1≥0．当n为奇数时，a n=a+（n﹣1），a n+1=﹣a+n，∴a n a n+1=[a+（n﹣1）]（﹣a+n）=﹣a2+a+n（n﹣1）≥0，即﹣a2+a≥﹣n（n﹣1）对∀n∈N*，且n≥2恒成立．∴﹣a2+a≥﹣6，解得﹣2≤a≤3．当n为偶数时，a n=﹣a+（n﹣1），a n+1=a+n，∴a n a n+1≥0，即﹣a2+a≥﹣n（n﹣1）对∀n∈N*，且n≥2恒成立．∴﹣a2+a≥﹣2，解得﹣2≤a≤1．又a＞0，可得a的取值范围为：0＜a≤1．。
【江苏省南通中学】2017届高二5月阶段考试数学(理)试卷 -答案
一、填空题： 1．1 2．20 3． 7 4．7
5． 10 ． 3
6． 1 2
7． 3 4
8． 1 2
9．220 10． 1
4 11．30 12．-1 13． 2 14． 31
4 二、解答题： 15．解：
（Ⅰ） A52 A22 A44 960 ；
以曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y 2x ；
（Ⅱ）令 g(x)
f
(x) 2(x
x3 ) ，则 g(x) 3
f
(x) 2(1
x2 )
2x4 1 x2
，因为 0
x 1，所以
g(x) 0 ， g(x) 在区间 (0,1) 上递增，所以 g(x) g(0) 0 ，即当 x (0,1) 时， f (x) 2(x x3 ) ； 3
由题意得： 4n 2n 4032 ，即 (2n 64)(2n 63) 0 ， 2n 64 或 2n 63 ，
又因为 n N ，所以 2n 64 ，故 n 6 ，
- 1 - / 10
二项展开式的第 r 1项为 Tr1 3r
C6r
12r
x3
，令
12 3
42 4
4
2
(2 1)2 1 1 ； 42
方法 2：直接应用二项分布的方差公式V (X ) np(1 p) 1 。 2
9．【解析】 C22 C32 C121 C33 C32 C121 220 。
10．【解析】V1 VDABE
VE ABD
(k
【江苏省南通中学年】2017届高二5月阶段考试数学年(理)试题
江苏省南通市、扬州市、泰州市2017年高考三模数学试卷答 案1．12-2．2|}0{x x ＜＜3．564．3 5．75006．110789．10．111．812．[46]-,13．214．3(,2)2- 15．解：（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即πsin 3f x A x =+()()．因为f x ()的图象经过点π()32，所以2πsin 32A =． ∴1A =， ∴πsin 3f x x =+()()．（2）由12f παα+=()(-)，得πππsin 1323αα++=()(-)，即ππsin 133αα++=()()，可得：ππ2sin 133[]α=(+)-，即1sin 2α=． 因为0πα∈(,)，解得：π6α=或5π6． 16．证明：（1）因为M 、N 分别为PD 、PC 的中点， 所以//MN DC ，又因为底面ABCD 是矩形，所以//AB DC ．所以//MN AB ，又AB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．（2）因为AP AD =，P 为PD 的中点，所以AM PD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD 平面ABCD =AD ，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥．因为CD 、PD ⊂平面PCD ，CDPD D =，∴AM ⊥平面PCD ．17．解：（1）由题意，10F (-,)，由焦点210F (,)，且经过31,2P ()， 由22PF PF a +=，即24a =，则2a =，2223b a c ==-， ∴椭圆的标准方程22143x y +=； （2）设直线AB 的方程为1y k x =+()．①若0k =时，24AB a ==，1FD FO +=， ∴4ABDF =．②若0k ≠时，11Ax y (,)，22B x y (,)，AB 的中点为00M x y (,)， 22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22224384120k x k x k +++=()-， ∴2122834k x x k +=-+，则202434k x k =-+，则0023134k y k x k =+=+()． 则AB 的垂直平分线方程为2223143434k k y x k k k =+++--()， 由DA DB =，则点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点， ∴22034k D k +(-,)，∴22223313434k k DF k k +=-+=++， 由椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+， 同理21(4)2BF x =+， ∴212211212()4234k AB AF BF x x k +=+=++=+， ∴4ABDF = 则综上，得ABDF 的值为4．18．解：（1）设DQ 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF 是等腰梯形知，OQ DE ⊥，以CF 所在直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．设EF 与圆切于G 点，连接OG ，过点E 作EH OF ⊥，垂足为H ．∵EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，∴Rt EHF Rt OGF △≌△，∴12HF FG EF t ==-． ∴222111()2EF HF EF t =+=+-， 解得1024t EF t t=+(＜＜)． （2）设修建该参观线路的费用为y 万元． ①当103t <≤，由1325[2()]5()42t y t t t t =++=+．2325(02)y t '=-＜，可得y 在1(0,]3上单调递减， ∴13t =时，y 取得最小值为32.5． ②当123t <<时，2111632(8)[2()]1242t y t t t t t t=-++=+--． 22331624(1)(331)'12t t t y t t t -+-=-+=． ∵123t <<，∴23310t t +-＞． ∴1(,1)3t ∈时，0y '＜，函数y 此时单调递减；12t ∈(,)时，0y '＞，函数y 此时单调递增． ∴1t =时，函数y 取得最小值24.5．由 ①②知，1t =时，函数y 取得最小值为24.5．答：（1）1024t EF t t =+(＜＜)（百米）．（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元．19．解：（1）∵122331a b a b a b +=+=+，∴21111112a b q a d b q a d b +=++=++，化为：2210q q =--，1q ≠±． 解得12q =-． （2）m p p r r m a b a b a b +=+=+，即p m p r a a b b =--，∴p m r m m p m d b q q =--(-)(-)，同理可得：1r m m r p d b q =-(-)(-)．∵m ，p ，r 成等差数列，∴12p m r p r m ==--(-)，记p m q t =-，则2210t t =--， ∵1q ≠±，1t ≠±，解得12t =．即12p m q =-，∴10q -＜＜， 记p m α=-，α为奇函数，由公差大于1，∴3α≥． ∴11311()()22a q =≥，即131()2q ≤-， 当3α=时，q 取得最大值为131()2-． （3）满足题意的数组为23E m m m =++(,,)，此时通项公式为：1133()(1)288m n n a m -=---，*m N ∈． 例如134E =(,,)，31188n a n =-． 20．（1）证明：12a =时，21cos 2f x x x =+()， 故sin f x x x '=（）-，即sin g x x x =()-，1cos 0g x x '=≥()-， 故g x ()在R 递增；（2）解：∵2sin g x f x ax x ='=()()-，∴2cos g x a x '=()-， ①12a ≥时，1cos 0g x x '≥≥()-，函数f x '()在R 递增， 若0x ＞，则00f x f '=()＞()， 若0x ＜，则00f x f ''=()＜()，故函数f x ()在0+∞(,)递增，在0∞(-,)递减， 故f x ()在0x =处取极小值，符合题意； ②12a ≤-时，1cos 0g x x '≤≤()--，f x '()在R 递减， 若0x ＞，则00f x f ''=()＜()， 若0x ＜，则00f x f '=()＞()， 故f x ()在0+∞(,)递减，在0∞(-,)递增， 故f x ()在0x =处取极大值，不合题意； ③1122a -＜＜时，存在00x π∈(,)，使得0cos 2x a =，即00g x '=()， 但当00x x ∈(,)时，cos 2x a ＞，即0g x '()＜，f x '()在00x (,)递减， 故00f x f ''=()＜()，即f x ()在00x (,)递减，不合题意， 综上，a 的范围是1[2+∞,)； （3）解：记2cos ln 0h x ax x x x x =+-()(＞)，①0a ＞时，ln x x ＜，则1122ln x x <，即ln x <，当2x >时，112sin 1ln 2222022h x ax x x ax a a+'==()---＞--﹣﹣)＞，故存在21(2m a+=，函数h x ()在m +∞(,)递增； ②0a ≤时，1x ＞时，2sin 1ln sin 1ln 0h x ax x x x x '=()---＜---＜， 故存在1m =，函数h x ()在m +∞(,)递减；综上，函数ln y f x x x =()-在0+∞(,)上广义单调．21．解：连结PA 、PB 、CD 、BC ，因为PAB PCB ∠=∠，又点P 为弧AB 的中点，所以PAB PBA ∠=∠，所以PCB PBA ∠=∠，又DCB DPB ∠=∠，所以PFE PBA DPB PCB DCB PCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所E 、F 、D 、C 四点共圆．所以PE PC PF PD =．22．解：由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，解得2a =，4b =，所以矩阵1214M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 所以矩阵M 的特征多项式为2125614f λλλλλ--==+-()-，令0f λ=()，得矩阵M 的特征值为2和3． 23．解：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为：cos a ρθ=，又因为点)4π在圆C 上，所以cos 4a π=，解得6a =， 所以圆C 的极坐标方程为：6cos ρθ=．24．证明：∵a ，b ，c ，d 是正实数，且1abcd =，∴54a b c d a +++≥=，同理可得：54a b c d b +++≥=，54a b c d c +++≥=，54a b c d d +++≥=，将上面四式相加得：555533334444a b c d a b c d a b c d +++++++≥+++，∴5555a b c d a b c d +++≥+++．25．解：（1）以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则000D (,,)，220B (,,)，010C (,,)，002S (,,) ∴(2,2,2)SB =-，(0,1,2)SC =-，(0,0,2)DS =设面SBC 的法向量为(,,)m x y z =由222020m SB x y z m SC y z ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩可取(1,2,1)m =-∵SD ⊥面ABC ，∴取面ABC 的法向量为(0,0,1)n = 6cos ,m n =∵二面角S BC A --为锐角．二面角S BC A --（2）由（1）知101E (,,)，则(2,1,0)CB =，(1,1,1)CE =-， 设CP CB λ=，01λ≤≤()．则(2,,0)CP λλ=，(12,1,1)PE CE CP λλ=-=---易知CD ⊥面SAD ，∴面SAD 的法向量可取(0,1,0)CD =cos ,13PE CD ==， 解得13λ=或119λ=（舍去）． 此时21(,,0)33CP =，∴5CP =∴线段CP26．解：（1）102()bc ad f x f x ax b -='=+()()， 2132[]2()()()bc ad ax b a bc ad f x f x ax b -+--='='=+()()； （2）猜想111(1)()!()n n n n a bc ad n f x ax b --+-++-++()=，*n N ∈， 证明：①当1n =时，由（1）知结论正确；②假设当n k =，*k N ∈时，结论正确， 即有111(1)()!()k k k k a bc ad k f x ax b --+-+-+=+() 11112(1)()1?1])[(k k k k k k a bc ad k a bc ad k ax b ax b -++-++-+=+++'=+---()(-)(-)()() 所以当10n k =+时结论成立，由①②得，对一切*n ∈N 结论正确．江苏省南通市、扬州市、泰州市2017年高考三模数学试卷解析1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵a+bi=（4+3i）i=﹣3+4i．∴a=﹣3，b=4．∴ab=﹣12．故答案为：﹣12．2．【考点】1F：补集及其运算．【分析】根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={x|x＞0}，A={x|x≥2}，则∁U A={x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．3．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n==6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，由此能求出甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率．【解答】解：∵随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，∴基本事件总数n==6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，∴甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率：p=1﹣=．故答案为：．4．【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=1S=2，不满足条件S＞10，k=2，S=6不满足条件S＞10，k=3，S=15满足条件S＞10，退出循环，输出k的值为3．故答案为：3．5．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，即可求出该校学生总人数．【解答】解：由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是=7500．故答案为：7500．6．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式求出首项a1=2，由此利用等差数列前n项和公式能求出S10．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d=2，a5=10，∴a5=a1+4×2=10，解得a1=2，∴S10=10×2+=110．故答案为：110．7．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：因为锐角△ABC的面积为3，且AB=3，AC=4，所以×3×4×sinA=3，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC===．故答案为：．8．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，将其代入双曲线的方程可得a2的值，即可得双曲线的方程，计算可得c的值，由双曲线离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=8x，其焦点为（2，0），若双曲线﹣y2=1（a＞0）经过点（2，0），则有﹣0=1，解可得a2=4，即双曲线的方程为：﹣y2=1，则a=2，c==，则双曲线的离心率e==；故答案为：．9．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理确定圆锥的高即可．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，r=1；圆锥的高为： =2．故答案为：2．10．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设出切点坐标P（x0，e x0+x0），再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后由直线是y=2x+b 是曲线y=e x+x的一条切线，求出实数b的值．【解答】解：∵y=e x+x，∴y′=e x+1，设切点为P（x0，e x0+x0），则过P的切线方程为y﹣e x0﹣x0=（e x0+1）（x﹣x0），整理，得y=（e x0+1）x﹣e x0•x0+e x0，∵直线是y=2x+b是曲线y=e x+x的一条切线，∴e x0+1=2，e x0=1，x0=0，∴b=1．故答案为1．11．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将变形可得则=+=+﹣1=（x+y）（+）﹣1=（1+4++）﹣1=（+）+4，由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，x，y满足x+y=1，则=+=+﹣1=（x+y）（+）﹣1=（1+4++）﹣1=（+）+4≥2+4=8，即的最小值是8；故答案为：8．12．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】依题意，设=λ（0≤λ≤），=μ（﹣1≤μ≤0），由=+， =+，可求得=（+）•（+）=λ+μ=9λ+4μ；再由0≤λ≤，﹣1≤μ≤0，即可求得﹣4≤9λ+4μ≤6，从而可得答案．【解答】解：∵AB∥DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，且E，F分别是线段DC和BC上的动点，∴=λ（0≤λ≤），=μ（﹣1≤μ≤0），又=+， =+，∴=（+）•（+）=（+）•（λ+μ）=λ+μ=9λ+4μ．∵0≤λ≤，∴0≤9λ≤6①，又﹣1≤μ≤0，∴﹣4≤4μ≤0②，①+②得：﹣4≤9λ+4μ≤6．即的取值范围是[﹣4，6]，故答案为：[﹣4，6]．13．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设出=t，化简可得圆的方程，运用两圆相减得交线，考虑圆心到直线的距离不大于半径，即可得出结论．【解答】解：设P（x，y），=t，则（1﹣t2）x2+（1﹣t2）y2﹣2x+（2﹣4t2）y+2﹣4t2=0，圆x2+y2=2两边乘以（1﹣t2），两圆方程相减可得x﹣（1﹣2t2）y+2﹣3t2=0，（0，0）到直线的距离d=，∵t＞0，∴0＜t≤2，∴的最大值是2，故答案为2．14．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出g（x）的解析式，计算g（x）的零点，讨论g（x）在区间[a，+∞）上的零点个数，得出g（x）在（﹣∞，a）上的零点个数，列出不等式解出a的范围．【解答】解：g（x）=，显然，当a=2时，g（x）有无穷多个零点，不符合题意；当x≥a时，令g（x）x=0得x=0，当x＜a时，令g（x）=0得x=0或x2=，（1）若a＞0且a≠2，则g（x）在[a，+∞）上无零点，在（﹣∞，a）上存在零点x=0和x=﹣，∴≥a，解得0＜a＜2，（2）若a=0，则g（x）在[0，+∞）上存在零点x=0，在（﹣∞，0）上存在零点x=﹣，符合题意；（3）若a＜0，则g（x）在[a，+∞）上存在零点x=0，∴g（x）在（﹣∞，a）上只有1个零点，∵0∉（﹣∞，a），∴g（x）在（﹣∞，a）上的零点为x=﹣，∴﹣＜a，解得﹣＜a＜0．综上，a的取值范围是（﹣，2）．故答案为（﹣，2）．15．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）由条件可求周期，利用周期公式可求ω=1，由f（x）的图象经过点（，），可求Asin =．解得A=1，即可得解函数解析式．（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin．结合范围α∈（0，π），即可得解α的值．16．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出MN∥DC，AB∥DC．从而MN∥AB，由此能证明MN∥平面PAB．（2）推导出AM⊥PD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AM，由此能证明AM⊥平面PCD．17．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据椭圆的定义，即可求得2a=4，由c=1，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆的标准方程；（2）分类讨论，当直线的斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得M点坐标，求得直线AB垂直平分线方程，即可求得D点坐标，由椭圆的第二定义，求得丨AF丨=（x1+4），即丨BF丨=（x2+4），利用韦达定理即可求得丨AB丨，即可求得的值．18．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）设DQ与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，OQ⊥DE，以CF所在直线为x 轴，OQ所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xoy．设EF与圆切于G点，连接OG，过点E作EH⊥OF，垂足为H．可得Rt△EHF≌Rt△OGF，HF=FG=EF﹣t．利用EF2=1+HF2=1+，解得EF．（2）设修建该参观线路的费用为y万元．①当，由y=5=5．利用y′，可得y在上单调递减，即可得出y的最小值．②当时，y==12t+﹣﹣．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．19．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】（1）由a1+b2=a2+b3=a3+b1，利用等差数列与等比数列的通项公式可得：a1+b1q==a1+2d+b1，化简解出即可得出．（2）a m+b p=a p+b r=a r+b m，即a p﹣a m=b p﹣b r，可得（p﹣m）d=b m（q p﹣m﹣q r﹣m），同理可得：（r﹣p）d=b m（q r ﹣m﹣1）．由m，p，r成等差数列，可得p﹣m=r﹣p=（r﹣m），记q p﹣m=t，解得t=．即q p﹣m=，由﹣1＜q＜0，记p﹣m=α，α为奇函数，由公差大于1，α≥3．可得|q|=≥，即q，即可得出．（3）满足题意的数组为E=（m，m+2，m+3），此时通项公式为：a n=，m∈N*．20．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，单调函数的极小值，从而确定a的具体范围即可；（3）记h（x）=ax2+cosx﹣xlnx（x＞0），求出函数的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性证明即可．21．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】连结PA、PB、CD、BC，推导出∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD，从而E、F、D、C四点共圆．由此能证明PE•PC=PF•PD．22．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【分析】设出矩阵，利用特征向量的定义，即二阶变换矩阵的概念，建立方程组，即可得到结论．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】因为圆心C在极轴上且过极点，所以设圆C的极坐标方程为：ρ=acosθ，又因为点（3，）在圆C上，代入解得ρ即可得出圆C的极坐标方程．[选修4-5：选修4-5：不等式选讲]24．【考点】R6：不等式的证明．【分析】由不等式的性质可得：a5+b+c+d≥4=4a，同理可得其他三个式子，将各式相加即可得出结论．解答题25．【考点】MI：直线与平面所成的角；MT：二面角的平面角及求法．【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2），利用空间向量求解．26．【考点】RG：数学归纳法；63：导数的运算．【分析】（1）利用条件，分别代入直接求解；（2）先说明当n=1时成立，再假设n=K（K∈N*）时，猜想成立，证明n=K+1时，猜想也成立．从而得证．。
江苏省南通中学2016-2017学年高二12月月考数学试题Word版缺答案
2016–2017学年第一学期高二数学试卷 2016年12月一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．双曲线22197y x -=的焦距为 ▲ ．2．若方程22152x y a +=-表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是▲ .3．若直线06:1=++ay x l 与023)2(:2=++-a y x a l 平行，则实数a 的值为 ▲ ． 4．直线50x y --=被圆224460x y x y +-++=所截得的弦的长为 ▲ ．5．若抛物线x y 42=上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为 ▲ ． 6．点(4,5)A 关于直线l 的对称点为(2,7)B -，则直线l 的方程为____▲______．7．已知双曲线22194x y -=上一点P 到右焦点的距离为3，则该点到左准线的距离为▲ ．8．已知圆229x y +=与圆22286250(0)x y x y r r ++-+-=>相交，则r 的取值范围是_____▲9．已知圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥的体积为 ▲ ．10．已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ▲ ．11. 已知点A 是抛物线2:2(0)M y px p =>与圆222:(4)C x y a +-=在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离等于a ，若抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，则a = ▲ ．12. 已知圆F 1：1)1(22=++y x ,圆F 2：25)1(22=+-y x ,若动圆C 与圆F 1外切，且与圆F 2内切,则动圆圆心C 的轨迹方程为 ▲13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1O ，圆2O 均与x 轴相切且圆心1O ，2O 与原点O 共线，1O ，2O 两点的横坐标之积为5，设圆1O 与圆2O 相交于P ，Q 两点，直线l ：280x y --=，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为 ▲ ．14. 已知双曲线C 的方程为22145x y -=，其左、右焦点分别是1F 、2F ．已知点M 坐标为()2,1，双曲线C 上点()00,x y P （00x >，00y >）满足11211121||||PF MF F F MF PF F F =，则12PMF PMF S S ∆∆-= ▲二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另一边CD 在x 轴上方，且AB ＝8，BC ＝6，其中A （－4，0）、B （4，0）（1）若A 、B 为椭圆的焦点，且椭圆经过C 、D 两点，求该椭圆的方程； （2）若A 、B 为双曲线的焦点，且双曲线经过C 、D 两点，求双曲线的方程；16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知点D 为棱BC 中点． （1）如果AB ＝AC ，求证：平面ADC 1⊥平面BB 1C 1C ； （2）求证：A 1B ∥平面AC 1D ．17. （本小题满分14分）已知过点（-1，-6）的直线l 与抛物线24y x =相交于A 、B 两点。
江苏省南通中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．“直线l在平面α内”用数学符号表示为．2．若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则点Q直线PR（用符号表示它们的位置关系）．3．直线y=x+m的倾斜角为．4．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于．5．点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是．6．棱长都是1的三棱锥的表面积为．7．已知{（x，y）|ax+y+b=0}∩{（x，y）|x+y+1=0}=∅，则a，b所满足的条件是．8．两直线l1：ax+2y+b=0；l2：（a﹣1）x+y+b=0．若l1∥l2，且l1与l2的距离为，则a•b=．9．不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点．10．如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．11．光线从点M（﹣2，3）射到x轴上一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程．12．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是．①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n；④若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β．13．已知两点A（﹣1，0）、B（0，2），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则•的最大值是．14．已知圆O：x2+y2=4与曲线C：y=3|x﹣t|，曲线C上两点A（m，n），B（s，p）（m、n、s、p均为正整数），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k ＞1），则m s﹣n p=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）过原点作直线l的垂线，若垂足为A（﹣2，3），求直线l的方程；（2）三角形三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），求AB边上的高所在的直线方程．16．求经过P（﹣2，4）、Q（3，﹣1）两点，并且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．17．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF ⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．18．如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）当点M与A重合时，求圆形保护区的面积；（2）若古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．当OM多长时，点M到直线BC的距离最小？19．如图，在棱长均为4的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．（1）求证：A1D1∥平面AB1D；（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥B1﹣ABC的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=上一点．（1）若点P在第一象限，且OP=，求过点P圆O的切线方程；（2）若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（3）设直线l动点Q，⊙Q与⊙O相外切，⊙Q交L于M、N两点，对于任意直径MN，平面上是否存在不在直线L上的定点A，使得∠MAN为定值？若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．“直线l在平面α内”用数学符号表示为l⊂．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由题意，由于直线与面之间的关系两个点集之间的关系，故易得“直线l在平面α内”用数学符号表示【解答】解：“直线l在平面α内”用数学符号表示为“l⊂α”故答案为l⊂α2．若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则点Q∈直线PR（用符号表示它们的位置关系）．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】通过证明这三点是两个相交平面的公共点，证明三点共线，从而得解．【解答】解：由已知条件易知，平面α与平面ABC相交．设交线为l，即l=α∩面ABC．如图：设P∈AB，则P∈面ABC．又P∈AB∩α，则P∈α，即P为平面α与面ABC的公共点，∴P∈l．同理可证点R和Q也在交线l上．故P、Q、R三点共线于l，即Q∈直线PR．故答案为：∈．3．直线y=x+m的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线的倾斜角为α，α∈[0，π），则tanα=1，即可得出．【解答】解：设直线的倾斜角为α，α∈[0，π）．∴tanα=1，∴α=．故答案为：．4．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于90°．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】欲求异面直线所成角，只需平移异面直线中的一条，是它们成为相交直线，则相交直线所成角即为异面直线所成角，再求出该角即可．【解答】解：∵在长方体A1B1C1D1﹣ABCD中，A1D1∥AD，∴AB与AD所成角∠DAB 即为异面直线AB与A1D1所成的角．∵∠DAB=90°，∴异面直线AB与A1D1所成的角等于90°．故答案为：90°．5．点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是在圆外．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点P到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可判断点P与圆的位置关系．【解答】解：由圆的方程x2+y2=24，得圆心坐标为原点O（0，0），半径r=．点P与圆心O的距离．∵m4≥0，∴．∴点P在圆外．故答案为：在圆外6．棱长都是1的三棱锥的表面积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】棱长都是1的三棱锥的各个面都为等边三角形，利用棱长是1，求出一个面的面积乘以4可得答案．【解答】解：棱长都是1的三棱锥的各个面都为等边三角形，且等边三角形的边长为1，∴每个面的面积都是×1×1×=，∴表面积S=．故答案是．7．已知{（x，y）|ax+y+b=0}∩{（x，y）|x+y+1=0}=∅，则a，b所满足的条件是a=1且b ≠1．【考点】交集及其运算．【分析】由已知得直线ax+y+b=0与x+y+1=0平行，由此能求出结果．【解答】解：∵{（x，y）|ax+y+b=0}∩{（x，y）|x+y+1=0}=∅，∴直线ax+y+b=0与x+y+1=0平行，∴=，∴a=1且b≠1．故答案为：a=1且b≠1．8．两直线l1：ax+2y+b=0；l2：（a﹣1）x+y+b=0．若l1∥l2，且l1与l2的距离为，则a•b=±4．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用两条直线平行的条件求出a，利用且l1与l2的距离为，求出b，即可求出a•b．【解答】解：由题意，a=2（a﹣1），∴a=2，∴直线l1：2x+2y+b=0；l2：2x+2y+2b=0，∵l1与l2的距离为，∴=，∴b=±2，∴ab=±4．故答案为±4．9．不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）．【考点】恒过定点的直线．【分析】将直线的方程（m﹣2）x﹣y+3m+2=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．【解答】解：直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0可为变为m（2x﹣y﹣1）+（﹣x ﹣3y+11）=0令解得：，故不论m为何值，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）故答案为：（2，3）．10．如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：24．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案为1：24．11．光线从点M（﹣2，3）射到x轴上一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】利用点P（﹣2，3）关于x轴的对称点N（﹣2，﹣3）在反射光线上再由两点式写出反射光线所在的直线方程即可．【解答】解：∵点P（﹣2，3）关于x轴的对称点N（﹣2，﹣3）∴根据反射定律可得p，N两点都在反射光线上∴反射光线所在直线的方程为=即x﹣y﹣1=0．12．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是③．①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n；④若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面平行、垂直的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α，β相交，不正确；②若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n或m，n相交、异面，不正确；③若m⊥α，α∥β，则m⊥β，∵n∥β∴m⊥n，正确；④若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β或α，β相交，不正确．故答案为③．13．已知两点A（﹣1，0）、B（0，2），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则•的最大值是3+．【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】设P（x，y），根据向量数量积的定义求出表达式，然后利用两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：设P（x，y），则•=（﹣1﹣x，﹣y）•（﹣x，2﹣y）=（1+x）x﹣y（2﹣y）=x2+x+y2﹣2y=（x+）2+（y﹣1）2﹣，设z=（x+）2+（y﹣1）2，则z的几何意义是P到定点D（﹣，1）的距离的平方，圆心C（1，0），半径R=1，则CD==，则PD的最大值为CD+r=+1，则PD的平方得（+1）2=++1，则•的最大值为++1﹣=3+，故答案为：3+14．已知圆O：x2+y2=4与曲线C：y=3|x﹣t|，曲线C上两点A（m，n），B（s，p）（m、n、s、p均为正整数），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k ＞1），则m s﹣n p=0．【考点】函数恒成立问题．【分析】设p（x0，y0），则x02+y02=4，结合且P点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k＞1），m、n、s、p均为正整数，求出m、n、s、p的值，可得答案．【解答】解：设p（x0，y0），则x02+y02=4，且P点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k＞1），=k（k＞1），⇒4+m2+n2﹣2mx0﹣2ny0=k2（4+s2+p2﹣2sx0﹣2py0）⇔消去m，n得s2+p2=＜4所以s=p=1，k=，此时m=n=2，此时m s﹣n p=0，故答案为：0二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）过原点作直线l的垂线，若垂足为A（﹣2，3），求直线l的方程；（2）三角形三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），求AB边上的高所在的直线方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）求出l的斜率，即可求直线l的方程；（2）k AB=，设所求直线方程2x+7y+m=0，代入点C坐标得AB边上的高所在的直线方程．【解答】解：（1）∵A（﹣2，3），且OA⊥l，∴l的斜率为k=．于是l的方程为y﹣3=（x+2）．整理得2x﹣3y+13=0．（2）∵k AB=，∴设所求直线方程2x+7y+m=0，代入点C坐标得m=﹣21．∴AB边上的高所在的直线方程为2x+7y﹣21=0．16．求经过P（﹣2，4）、Q（3，﹣1）两点，并且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．【考点】圆的标准方程．【分析】求出线段PQ的垂直平分线为y=x+1，设圆心C的坐标为（a，a+1），求出半径r的表达式，利用圆心C到x轴的距离为d=|a+1|，由题意得32+d2=r2，解得a，求出圆的方程即可．【解答】解：因为线段PQ的垂直平分线为y=x+1，…所以设圆心C的坐标为（a，a+1），半径r=|PC|==，圆心C到x轴的距离为d=|a+1|，…由题意得32+d2=r2，即32+（a+1）2=2a2﹣2a+13，整理得a2﹣4a+3=0，解得a=1或a=3．…当a=1时，圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=13；…当a=3时，圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．…综上得，所求的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=13或（x﹣3）2+（y﹣4）2=25…17．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF ⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC 中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA．【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG∥平面ABC；（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．18．如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）当点M与A重合时，求圆形保护区的面积；（2）若古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．当OM多长时，点M到直线BC的距离最小？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，当点M 与A重合时，求出圆形保护区半径，即可求圆形保护区的面积；（2）求出保护区的边界圆M的半径，利用，可得结论．【解答】解：（1）以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．由条件知A（0，60），C，直线BC的斜率﹣又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率设点B的坐标为（a，b），则k BC==﹣，k AB==，解得a=80，b=120所以圆形保护区半径r=AB==100则圆形保护区面积为10000πm2．（2）设保护区的边界圆M的半径为r m，OM=d m（0≤d≤60）由条件知，直线BC的方程为y=﹣（x﹣170），即4x+3y﹣680=0由于圆M与直线BC相切，故点M（0，d）到直线BC的距离是r即r=因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以，解得10≤d≤35则当d=10，即OM=10m时，M到直线BC的距离最小．19．如图，在棱长均为4的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．（1）求证：A1D1∥平面AB1D；（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥B1﹣ABC的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）欲证A1D1∥平面AB1D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面AB1D内一直线平行，连接DD1，根据中位线定理可知B1D1∥BD，且B1D1=BD，则四边形B1BDD1为平行四边形，同理可证四边形AA1D1D为平行四边形，则A1D1∥AD 又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A﹣B1BC的高，求出三棱锥A﹣B1BC的体积，从而求出三棱锥B1﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：连接DD1，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵D、D1分别是BC和B1C1的中点．∴B1D1∥BD，且B1D1=BD∴四边形B1BDD1为平行四边形∴BB1∥DD1，且BB1=DD1又因AA1∥BB1，AA1=BB1所以AA1∥DD1，AA1=DD1所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以A1D1∥AD又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D故A1D1∥平面AB1D；（2）在△ABC中，棱长均为4，则AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD⊂平面ABC所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A﹣B1BC的高在△ABC中，AB=AC=BC=4得AD=2在△B1BC中，B1B=BC=4，∠B1BC=60°所以△B1BC的面积为4∴三棱锥B1﹣ABC的体积即为三棱锥A﹣B1BC的体积V=××=820．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=上一点．（1）若点P在第一象限，且OP=，求过点P圆O的切线方程；（2）若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（3）设直线l动点Q，⊙Q与⊙O相外切，⊙Q交L于M、N两点，对于任意直径MN，平面上是否存在不在直线L上的定点A，使得∠MAN为定值？若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】圆的切线方程；直线与圆相交的性质．【分析】（1）求出设点P的坐标．易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，切线为y﹣1=k（x﹣），即kx﹣y+1﹣k=0，利用点到直线间的距离公式可解得k，从而可得过点P的圆O的切线方程．（2）设A（x，y），则B（，），因为点A、B均在圆O上，所以有圆x2+y2=1与圆（x+）2+（y+y0）2=4有公共点，继而可得点P纵坐标的取值范围；（3）存在，点A的坐标为（，0）．【解答】解：（1）设点P的坐标为（，y0）．因OP=，所以（）+y02=（）2，解得y0=±1．又点P在第一象限，所以y0=1，即P的坐标为（，1）．易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，则切线为y﹣1=k（x﹣），即kx﹣y+1﹣k=0，于是有=1，解得k=0或k=．因此过点P的圆O的切线方程为：y=1或24x﹣7y﹣25=0．（2）设A（x，y），则B（，），因为点A、B均在圆O上，所以有圆x2+y2=1与圆（x+）2+（y+y0）2=4有公共点．于是1≤≤3，解得﹣≤y0≤，即点P纵坐标的取值范围是[﹣，]．（3）存在，点A的坐标为（，0）．（写出存在两字给2分）2016年12月16日。
2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷 Word版含答案
2016-2017高二年级第一学期期末考试数 学 （理科）本试卷共100分．考试时间90分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线01=+-y x 的斜率是 （ ）A ．1B ．1-C ．4π D ．43π 2．方程2240x y x +-=表示的圆的圆心和半径分别为（ ）A ．(2,0)-，2B ．(2,0)-，4C ．(2,0)，2D ．(2,0)，43．若两条直线210ax y +-=与3610x y --=垂直，则a 的值为 （ ）A ．4B ．4-C ．1D ．1-4．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P -关于坐标平面xOy 的对称点为 （ ）A ．(1,2,3)--B ．(1,2,3)---C ．(1,2,3)--D ．(1,2,3)5．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下面说法正确的是（ ）A ．//αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．//m l m n n l ⊥⎫⇒⎬⊥⎭C ．////m l l m ββ⎫⇒⎬⊥⎭D ．//m n m n γγ⎫⇒⊥⎬⊥⎭6．“直线l 的方程为)2(-=x k y ”是“直线l 经过点)0,2(”的 （ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（ ）A ．53B ．103C ．203D ．2538．实数x ，y 满足10,1,x y x y a -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，若2u x y =-的最小值为4-，则实数a 等于（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．6二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．双曲线2214y x -=的渐近线方程为_________．10．点P 是椭圆22143x y +=上的一点，1F 、2F 分别是椭圆的左右焦点，则∆21F PF 的周长是_________． 11．已知命题p ：1x ∀>，2210x x -+>，则p ⌝是_________．12．在空间直角坐标系中，已知点)1,,0(),0,1,2(),2,0,1(a C B A ，若AC AB ⊥，则实数a 的值为_________． 13．已知点P 是圆221x y +=上的动点，Q 是直线:34100l x y +-=上的动点，则||PQ 的最小值为_________．14．如图，在棱长均为2的正三棱柱111C B A ABC -中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B 、底面ABC 内的动点，且//1P A 平面BCM ，⊥PQ 平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为_________．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）已知圆M 过点A ，(1,0)B ，(3,0)C -． （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)的直线l 与圆M 相交于D 、E 两点，且32=DE ，求直线l 的方程．16. （本小题满分10分）已知抛物线2:4C y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，定点(5,0)M . （Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求△ABM 的面积；（Ⅱ）若AMB ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，求直线l 的方程．17. （本小题满分12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥P ABC -中，D 为PC 的中点，1PA AB ==，PB PC ==．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求BD 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角D AB C --的余弦值．18．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，△12BF F 是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）是否存在过点2F 的直线l ，交椭圆于两点P 、Q ，使得1//PA QF ，如果存在，试求直线l 的方程，如果不存在，请说明理由．高二年级第一学期期末练习参考答案数 学 (理科)阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 2y x =±10. 6 11. 1x ∃>，2210x x -+≤ 12. 1- 13. 114.43三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解：（Ⅰ）设圆M ：220x y Dx Ey F ++++=，则3021009303F D D F E D F F ⎧+==⎧⎪⎪++=⇒=⎨⎨⎪⎪-+==-⎩⎩………………………………………………………………（3分）故圆M ：22230x y x ++-=，即22(1)4x y ++= …………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，(1,0)M -.设N 为DE 中点，则MN l ⊥，1||||2DN EN ==⋅=5分） 此时||1MN ==. …………………………………（6分）当l 的斜率不存在时，:0l x =，此时||1MN =，符合题意 …………（7分）当l 的斜率存在时，设:2l y kx =+，由题意1= ……………………………（8分）解得：34k =， ……………………………（9分） 故直线l 的方程为324y x =+，即3480x y -+=………………………………（10分）综上直线l 的方程为0x =或3480x y -+=16. 解：（Ⅰ）解法1：由题意(1,0)F ，当AB 的斜率为1时，:1l y x =- ……………（1分）2244401y xy y y x ⎧=⇒--=⎨=-⎩………………………………………………（2分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由244(4)0∆=-⨯->故121244y y y y +=⎧⎨⋅=-⎩ ……………………………………………………………（3分）有12||y y -==………………………………………（4分）有121211||4||42||22AMB AMF BMF S S S y y y y ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅-=…………………………（5分）解法2：由题意(1,0)F ，当AB 的斜率为1时，:1l y x =- ……………（1分）2246101y xx x y x ⎧=⇒-+=⎨=-⎩……………………………………………（2分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由244(4)0∆=-⨯->126x x +=，1228AB x x =++= ……………………………………（3分） 点M 到直线AB的距离d ==4分）182ABM S ∆=⨯⨯…………………………………（5分）（Ⅱ）解法1：易得，直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+2244401y xy my x my ⎧=⇒--=⎨=+⎩ ………………………………………………………（6分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由216160m ∆=+>，得121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩………………………………………………………………（7分） 由0MA MB ⋅=，得1212(5)(5)0x x y y --+=， ………………（8分）即1212(4)(4)0my my y y --+=整理得：21212(1)4()160m y y m y y +-++=此时有：2(1)(4)4(4)160m m m +⋅--⋅+=，解得m =9分） 故l 的方程为15x y =+或15x y =-+即550x -=或550x -=………………………………………（10分）解法2：易知直线l x ⊥时不符合题意.可设直线l 的方程为)1(-=x k y .⎩⎨⎧=-=x y x k y 4),1(2，消去y ，可得0)42(2222=++-k x k x k . …………………………（6分） 则0)1(162>+=∆k .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22142k x x +=+，121=x x . …………………………………………（7分）由0MA MB ⋅=，得1212(5)(5)0x x y y --+=，………………………（8分）即：0425)(5212121=-++-x x x x x x ， 即：0425)42(512=-++-k ，解得315±=k . …………（9分） 故l 的方程为0535=--y x 或0535=-+y x .………………………………………（10分）17.解：（Ⅰ）∵ 1PA AB ==，PB =∴ PA AB ⊥ ……………………………………………（1分） ∵ 底面是正三角形 ∴ 1AC AB ==∵ PC =∴ PA AC ⊥ ……………………………………（2分） ∵ AB AC A = ,AB AC ⊂平面ABC ∴ PA ⊥平面ABC ．………………………………………（3分）（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AP 为z 轴，平面ABC 中垂直于AB 的直线为y 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，1(,22C ，(0,0,1)P …………………………………………………………………………………………（4分）所以11()42D ，31()42BD =- ． ………………………………（5分）平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，…………………………………（6分）记BD 与平面ABC 所成的角为θ，则1sin cos ,BD θ=<> n =12……………………………（7分） ∴ 6πθ=．…………………………（8分）（Ⅲ）设平面ABD 的法向量为2(,,)n x y z =，由2n AD ⊥ 得：11042x y z ++=， ……………………………（9分） 由2n AB ⊥得：0x =代入上式得，z y =． ………………………（10分）令2y =，则z =2(0,2,n =． …………………………………（11分）记二面角D AB C --的大小为α，则12cos |cos ,|n n α=<>= ．………（12分）18. 解：（Ⅰ）由题意可得2,1a b c === ……………………………………（2分）所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=，……………………………………（3分）椭圆的离心率12c e a ==.……………………………………………（4分）（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，1(1,0)F -，2(1,0)F ，(2,0)A ，设11(,)P x y ，22(,)Q x y显然直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+，则 ……………………………（5分）222213(1)412431x y my y x my ⎧+=⎪⇒++=⎨⎪=+⎩………………（6分）整理得：22(34)690m y my ++-=，此时21441440m ∆=+>，故122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩……………………………………（7分） 注意到1111(2,)(1,)AP x y my y =-=- ，12222(1,)(2,)FQ x y my y =+=+…………………………（8分）若1//PA QF ，则1221(1)(2)my y my y -⋅=+⋅，即212y y =- ……………（9分）此时由21212122212222627234612(34)3434m y y y m m y y m m m y y y m m ⎧=-=⎧⎪⎪⎪+⇒⇒=-⎨⎨++=-⎪⎪=-+⎩⎪+⎩， ………………………（10分）故2222729(34)34m m m -=-++，解得254m =，即m =……………（11分）故l的方程为1x y =+或1x y =+，20y -=20y += …………………………………（12分）解法2： 由（Ⅰ）得1(1,0)F -，2(1,0)F ，(2,0)A . 直线l x ⊥时，212221F F AF QF PF ≠=，则1//PA QF 不成立，不符合题意..………………………………（5分）可设直线l 的方程为)1(-=x k y . .……………………………（6分）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134),1(22y x x k y ，消去y ，可得()01248342222=-+-+k x k x k ………………（7分） 则0)1(1442>+=∆k .设11(,)P x y ，22(,)Q x y则3482221+=+k k x x ①，341242221+-=k k x x ② .…………………（8分）),2(11y x -=，),1(221y x F +=. 若1//PA QF ，则F 1//，则0)1)(1()1)(2(1221=-+---x x k x x k .化简得03221=-+x x ③. ………………………（9分）联立①③可得3494221++=k k x ，3494222+-=k k x ， ………………………（10分） 代入②可以解得25±=k . …………………………（11分） 故l20y -=20y +=. ……………（12分）。
江苏省南通中学2016-2017学年高二上学期10月月考数学试卷 Word版含解析
2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷相应位置上．1．用符号表示“点A在平面α内，直线l在平面α内”为．2．四棱锥共有个面．3．梯形ABCD中AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系．4．一个正方体的棱长为2，则该正方体的内切球的体积为．5．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=4cm，则三棱锥A1ABD 的体积为cm3．6．在直观图（如图所示）中，四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2cm，则在xOy 坐标系中，四边形OABC的面积为cm2．7．已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，n⊥α，则m⊥n；④若m∥α，m⊂β，则α∥β．其中所有真命题的序号是．8．若tanα=2，则的值为．9．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是．10．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=．11．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：①MO∥平面PAC；②PA∥平面MOB；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC．其中正确的命题的序号是．12．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对．13．如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D 是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为．14．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n•n，若对任意正整数n，（a n﹣p）（a n+1﹣p）＜0恒成立，则实数P的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．16．（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，AS=AB，CS=CB，点E，F，G分别是棱SA，SB，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）SB⊥AC．17．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC1上，且AC1=4AF．（1）求证：平面ADF⊥平面BCC1B1；（2）求证：EF∥平面ABB1A1．18．（16分）过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元．售价为8元，月销售5万只．（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入﹣月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x（x≥9）元，并投入（x﹣9）万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只．则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．19．（16分）如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点，（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求证：PA∥平面MBD；（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．20．（16分）在正数数列{a n}（n∈N*）中，S n为{a n}的前n项和，若点（a n，S n）在函数y=的图象上，其中c为正常数，且c≠1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1•a3•a5…a2n﹣1＞a101恒成立？若存在，求出使结论成立的c的取值范围和相应的M的最小值．（Ⅲ）若存在一个等差数列{b n}，对任意n∈N*，都有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n﹣a2+b n a1=成立，求{b n}的通项公式及c的值．12016-2017学年江苏省南通中学高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷相应位置上．1．用符号表示“点A在平面α内，直线l在平面α内”为A∈α，l⊂α．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】直接利用空间点、线、面的关系写出结果即可．【解答】解：“点A在平面α内，直线l在平面α内”符号表示为：A∈α，l⊂α；故答案为：A∈α，l⊂α．【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系，是基础题．2．四棱锥共有5个面．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】四棱锥的四个侧面和一个底面．【解答】解：四棱锥的四个侧面和一个底面，故四棱锥共有5个面．故答案为：5．【点评】本题考查四棱锥的面的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意四棱锥的性质的合理运用．3．梯形ABCD中AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系平行或异面．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由线面平行的性质定理，得CD∥α，由此得到直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面．【解答】解：∵AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，∴由线面平行的性质定理，得CD∥α，∴直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面．故答案为：平行或异面．【点评】本题考查直线的位置关系的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．4．一个正方体的棱长为2，则该正方体的内切球的体积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】球的直径就是正方体的棱长，求出球的半径，然后直接求出球的体积．【解答】解：由题设知球O的直径为2，故其体积为：．故答案为．【点评】本题考查球的体积，球的内接体的知识，是基础题．5．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=4cm，则三棱锥A1ABD 的体积为6cm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，∴三棱锥A1ABD的体积V=•AA1==6cm3．故答案为：6．【点评】本题考查了长方体的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．在直观图（如图所示）中，四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2cm，则在xOy 坐标系中，四边形OABC的面积为8cm2．【考点】平面图形的直观图．【分析】由题意，四边形OABC是长为4，宽为2的矩形，即可求得四边形OABC 的面积．【解答】解：由题意，四边形OABC是长为4，宽为2的矩形，其面积为4×2=8cm2，故答案为8【点评】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本概念、基本运算的考查．7．已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，n⊥α，则m⊥n；④若m∥α，m⊂β，则α∥β．其中所有真命题的序号是②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的分类及几何特征，逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故错误；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故正确；③若m∥α，n⊥α，则m⊥n，故正确；④若m∥α，m⊂β，则α与β的位置不确定，故错误．故答案为：②③【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．8．若tanα=2，则的值为．【考点】弦切互化．【分析】把所求的式子分子、分母都除以cosα，根据同角三角函数的基本关系把弦化切后，得到关于tanα的关系式，把tanα的值代入即可求出值．【解答】解：因为tanα=2，则原式===．故答案为：．【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系进行弦化切，是一道基础题．9．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是48．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由已知正四棱锥的底面边长是6，高为，可以求出棱锥的侧高，代入棱锥侧面积公式，可得答案．【解答】解：∵正四棱锥的底面边长是6，高为，正四棱锥的侧高为=4∴正四棱锥的侧面积是4××6×4=48故答案为：48【点评】本题考查的知识点是棱锥的侧面积，其中根据已知结合勾股定理求出棱锥的侧高是解答的关键．10．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=a．【考点】平面与平面平行的性质；棱柱的结构特征．【分析】由题设PQ在直角三角形PDQ中，故需要求出PD，QD的长度，用勾股定理在直角三角形PDQ中求PQ的长度．【解答】解：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN⊂平面A1B1C1D1∴MN∥平面ABCD，又PQ=面PMN∩平面ABCD，∴MN∥PQ．∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点∴MN∥A1C1∥AC，∴PQ∥AC，又AP=，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，∴CQ=，从而DP=DQ=，∴PQ===a．故答案为：a【点评】本题考查平面与平面平行的性质，是立体几何中面面平行的基本题型，本题要求灵活运用定理进行证明．11．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：①MO∥平面PAC；②PA∥平面MOB；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC．其中正确的命题的序号是①④．【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】①先证明MO∥PA，即可判定MO∥平面PAC；②PA在平面MOB内，可得①错误；③可证PA⊥BC，BC⊥平面PAC．即可证明OC⊥平面PAC不成立；④由③知BC⊥平面PAC，即可证明平面PAC⊥平面PBC．【解答】解：①因为MO∥PA，MO⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以MO∥平面PAC；②因为PA在平面MOB内，所以①错误；③因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC．又BC⊥AC，AC∩PA=A，所以BC⊥平面PAC．因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以OC⊥平面PAC不成立，③错误；④由③知BC⊥平面PAC，且BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．正确命题的序号是①④．故答案为：①④．【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．12．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有3对．【考点】异面直线的判定．【分析】展开图复原几何体，标出字母即可找出异面直线的对数．【解答】解：画出展开图复原的几何体，所以C与G重合，F，B重合，所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：AB与GH，AB与CD，GH与EF，共有3对．故答案为：3．【点评】本题考查几何体与展开图的关系，考查异面直线的对数的判断，考查空间想象能力．13．如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D 是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B1F的长．【解答】解：以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，由题意A1（1，0，0），B1（0，1，0），D（，0），C1（0，0，0），A （1，0，2），设F（0，1，t），0≤t≤2，=（，0），=（﹣1，1，﹣2），=（0，1，t），∵AB1⊥平面C1DF，∴，∴1﹣2t=0，解得t=．∴线段B1F的长为．故答案为：．【点评】本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．14．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n•n，若对任意正整数n，（a n﹣p）（a n+1﹣p）＜0恒成立，则实数P的取值范围是（﹣1，3）．【考点】数列的函数特性．【分析】当n=1时，a1=S1=﹣1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．即可得出a n．由于对﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，分类讨论：n是奇数时，求得任意正整数n，（a n+1p的取值范围；当n是正偶数时，求得p的取值范围，再求其交集即可．【解答】解：当n=1时，a1=S1=﹣1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n n﹣（﹣1）n﹣1（n﹣1）=（﹣1）n（2n﹣1）．﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，∵对任意正整数n，（a n+1∴[（﹣1）n+1（2n+1）﹣p][（﹣1）n（2n﹣1）﹣p]＜0，①当n是奇数时，化为[p﹣（2n+1）][p+（2n﹣1）]＜0，解得1﹣2n＜p＜2n+1，∵对任意正奇数n都成立，取n=1时，可得﹣1＜p＜3．②当n是正偶数时，化为[p﹣（2n﹣1）][p+（1+2n）]＜0，解得﹣1﹣2n＜p＜2n﹣1，∵对任意正偶数n都成立，取n=2时，可得﹣5＜p＜3．联立，解得﹣1＜p＜3．∴实数P的取值范围是（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．【点评】本题考查了“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求数列的通项公式a n的方法、交集的运算法则、分类讨论思想方法，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2015秋•宝安区校级期中）在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由正弦定理得，结合二倍角公式及sinA≠0即可得解．（II）由（I）可求sinA，又根据∠B=2∠A，可求cosB，可求sinB，利用三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可得sinC，利用正弦定理即可得解．【解答】解：（I）因为a=3，b=2，∠B=2∠A．所以在△ABC中，由正弦定理得．所以．故．（II）由（I）知，所以．又因为∠B=2∠A，所以．所以．在△ABC中，．所以．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数关系式，两角和的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．16．（14分）（2016秋•崇川区校级月考）如图，在三棱锥S﹣ABC中，AS=AB，CS=CB，点E，F，G分别是棱SA，SB，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）SB⊥AC．【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明EF∥平面ABC，EG∥平面ABC，即可证明平面EFG∥平面ABC；（2）连接AF，CF，转化证明SB⊥平面AFC，即可得证SB⊥AC．【解答】证明：（1）∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG∥平面ABC；（2）连接AF，CF，∵AS=AB，CS=CB，∴SB⊥AF，SB⊥FC，∵AF∩CF=F，∴SB⊥平面AFC，∵AC⊂平面AFC，∴SB⊥AC．【点评】本题考查了线面、面面平行的判定，考查空间直线的垂直的判断，运用直线与平面的垂直转化证明，属于中档题，掌握好基本定理即可．17．（14分）（2013•连云港一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC1上，且AC1=4AF．（1）求证：平面ADF⊥平面BCC1B1；（2）求证：EF∥平面ABB1A1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）欲证平面ADF⊥平面BCC1B1，可先证AD⊥平面BCC1B1，CD⊥AB，因AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC，故只须证CC1⊥AD，这个可以根据直三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1⊥平面ABC得到；（2）欲证EF∥平面ABB1A1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABB1A1内一直线平行，连结CF延长交AA1于点G，连结GB．根据中点条件及AC1=4AF可知EF∥GB，又EF⊄平面ABBA1，GB⊂平面ABBA1，满足定理所需条件，从而得出答案．【解答】证明：（1）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以CC1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD．…（2分）又AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC，因为BC∩CC1=C，BC⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1，…因为AD⊂平面ADF，所以平面ADF⊥平面BCC1B1．…（7分）（2）连结CF延长交AA1于点G，连结GB．因为AC1=4AF，AA1∥CC1，所以CF=3FG，又因为D为BC中点，点E为BD中点，所以CE=3EB，所以EF∥GB，…（11分）而EF⊄平面AB1A1B，GB⊂平面AB1A1B，所以EF∥平面ABB1A1．…（14分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．18．（16分）（2013秋•镇江期末）过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元．售价为8元，月销售5万只．（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入﹣月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x（x≥9）元，并投入（x﹣9）万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只．则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）设口罩每只售价最多为x元，根据条件建立不等式，解不等式即可得到结论．（2）求出利润函数，利用基本不等式即可求出最值．【解答】解：设口罩每只售价最多为x元，则月销售量为（5﹣）万只，则由已知（5﹣）（x﹣6）≥（8﹣6）×5，即，即2x2﹣53x+296≤0，解得8≤x≤，即每只售价最多为18.5元．（2）下月的月总利润y=[5﹣]（x﹣6）﹣===﹣[]+，∵x≥9，∴，即y=﹣[]+=14，当且仅当，即x=10时取等号．答：当x=10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．【点评】本题主要考查与函数有关的应用问题，根据条件建立方程或不等式是解决本题关键，考查学生的阅读和应用能力，综合性较强．19．（16分）（2013•沈河区校级模拟）如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点，（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求证：PA∥平面MBD；（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）先证明PQ⊥底面ABCD，即为底面ABCD上的高，进而即可求出其体积；（2）连接底面的对角线交于点O，再连接OM，利用三角形的中位线即可证明；（3）由（1）可知：PQ⊥底面ABCD，因此只要在底面上找到一条直线与BQ垂直即可，由平面几何的知识可知，只要取AB的中点N即可．【解答】解：（1）连接PQ，∵PA=PD=AD=4，AQ=QD，∴PQ⊥AD，PQ=．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥底面ABCD．∴=．（2）证明：连接AC、BD交于点O，连接OM．则AO=OC，又PM=MC，∴PA∥OM．∵PA⊄平面BMD，OM⊂平面BMD，∴PA∥平面BMD．3）存在，N为AB中点．证明：取AB的中点N，连接CN交BQ于点E．由正方形ABCD可知：△ABQ≌△BCN，∴∠ABQ=∠BCN，∵∠CNB+∠BCN=90°，∴∠ABQ+∠CNB=90°，∴BQ⊥CN．由（1）可知：PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥CN．又PQ∩QB=Q，∴CN⊥平面PQB，∵CN⊂平面PCN，∴平面PCN⊥平面PQB．【点评】熟练掌握线面、线面的平行与垂直的判定定理与性质定理即锥体的体积是解题的关键．20．（16分）（2013秋•无锡期末）在正数数列{a n}（n∈N*）中，S n为{a n}的前n项和，若点（a n，S n）在函数y=的图象上，其中c为正常数，且c≠1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1•a3•a5…a2n﹣1＞a101恒成立？若存在，求出使结论成立的c的取值范围和相应的M的最小值．（Ⅲ）若存在一个等差数列{b n}，对任意n∈N*，都有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n﹣a2+b n a1=成立，求{b n}的通项公式及c的值．1【考点】数列与不等式的综合；数列的函数特性．【分析】（Ⅰ）由点（a n，S n）在函数图象上，代入函数表达式可得到a n与S n 的关系式，消s n可求a n．（Ⅱ）考查了恒成立条件的转化及指数运算法则；同时也考查了分类讨论的思想．（Ⅲ）考查了错位相减法的变形应用及恒成立问题的常规解决方法．【解答】解：（Ⅰ）∴{a n}是等比数列．将（a1，S1）代入得a1=c，故．（Ⅱ）由a1•a3•a5…a2n﹣1＞a101得，，∴．若，解得：n＞11或n＜﹣9（舍去）．若，解得：﹣9＜n＜11，不符合n ＞M 时，a 1•a 3•a 5…a 2n ﹣1＞a 101恒成立，故舍去．c 的取值范围是（0，1），相应的M 的最小值为11．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，由{b n }为等差数列，设b n =b 1+（n ﹣1）d ．b 1a n +b 2a n ﹣1+…+b n ﹣1a 2+b n a 1=（n ∈N *），（1）当n=1时，．（2）当n ≥2时，b 1a n ﹣1+b 2a n ﹣2+…+b n ﹣2a 2+b n ﹣1a 1=，（3）（1）﹣（3）得b 1a n +d （a n ﹣1+a n ﹣2+…+a 1）=3n ﹣3n ﹣1﹣，即（）c 1﹣n ，（4）∵（4）式对一切n （n ≥2）恒成立，则必有解（2）（5）得故b ．【点评】本题以数列为载体，不仅考查了数列的求和方法与求通项公式的方法，而且考查了恒成立问题的处理方法；综合性比较强．化简很繁琐，学生可通过多练习掌握．。
江苏省南通市启东2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=．7．（5分）等轴双曲线的离心率为．8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为．10．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是4y+1=0．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣=﹣，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．【解答】解：命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．故答案为：“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=1．【解答】解：由（3+4i）z=5i2016，得==，则|z|=．故答案为：1．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为14．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，∵随机抽得的第一个号码为003，∴被抽到号码l=10k+3，k∈N．∴在第三营区中被抽到的号码为363，373…493，∴第三个营区被抽中的人数为14．故答案为：14．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是9．【解答】解：执行程序框图，有A=1，S=1当满足条件A≤M，S=1+2+22+…+2M=1023由等比数列的求和公式，可知2M+1﹣1=1023，即可解得M=9．故答案为：9．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）的距离，代入数据可知点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．故答案为：27．（5分）等轴双曲线的离心率为．【解答】解：∵等轴双曲线中a=b∴c==a∴e==故答案为：8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的充分不必要条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．【解答】解：若a＞1，则x＞，而＜1，∴∈（1，+∞），是充分条件；若（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立，则x＞，只需≤1即可，∴a≥1，是不必要条件，故答案为：充分不必要．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．【解答】解：当直线l斜率为0时，A与M重合，B与N重合，此时OQ=4，由垂径定理定理得到Q为MN中点，连接OM，根据勾股定理得：QM==3，∴MN=2QM=6，此时直线l方程为y=4，符合题意；当直线l斜率不为0时，设为k，直线l方程为y﹣4=k（x﹣5），即kx﹣y+4﹣5k=0，由割线定理得到AB=MN=6，再由垂径定理得到C为AB的中点，即AC=AB=3，过O作OC⊥AB，连接OA，根据勾股定理得：OC==4，∴圆心O到直线l的距离d==4，解得：k=0（舍去）或k=，则此时直线l的方程为x﹣y+4﹣5×=0，即40x﹣9y﹣164=0，综上，直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．故答案为：y=4或40x﹣9y﹣164=010．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为，在y轴上，可以设其标准方程为：﹣=1，且有a2+b2=c2=8，①其渐近线方程为：y=±x，又由该双曲线的渐近线方程为，则有=，②联立①、②可得：a2=6，b2=2，则要求双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），则，∴=∵椭圆的离心率，∴∴a2=4b2∴∴∴=﹣∴∴====故答案为：12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点（1，0）．【解答】解：设动圆的圆心到直线x=﹣1的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．【解答】解：设圆O1：（x﹣x1）2+（y﹣kx1）2=k2x12，圆O2：（x﹣x2）2+（y﹣kx2）2=k2x22，两方程相减可得：2ky=x1+x2﹣2x，与圆O1联立可得x2+y2=6，令y﹣2x=t，则y=2x+t，代入可得5x2﹣4tx+t2﹣6=0，△=30﹣t2≥0，可得﹣≤t≤，∵P到直线l的距离为，∴y﹣2x=t=﹣时，点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是（，1）．【解答】解：如图所示：过圆心M作横轴垂线，垂足为T，圆与横轴交点为N，H则MT=b，MH=r=，要使以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，只需TH＜a﹣即可，即MH2﹣MT2＜（a﹣）2，（）2﹣b2＜（a﹣）2，化简得c3﹣2a2c+a3＜0⇒e3﹣2e+1＜0⇒（e﹣1）（e2+e﹣1）＜0∵e＜1，∴e2+e﹣1＞0⇒e＞．椭圆的离心率e的取值范围是（，1）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．【解答】解：（1）如图，AB中垂线方程为x=2，AC中垂线方程为y=x，联立，解得M（2，2），又|MA|=，∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5；（2）∵•=0，∴∠PMQ=90°，则|PQ|=，∴M到直线mx﹣2y﹣（2m+1）=0的距离为．由，解得：m=．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），∴，，又a2=b2+c2，联立解得a2=4，b2=c2=2．∴椭圆的方程为：=1．（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），C（﹣x1，0）．k AD==k AC==，k BD==﹣．又，，两式相减可得：=0，∴×=0，化为a2=2b2．∴椭圆的离心率e==．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=，解得所以…4分（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0由，…7分解得或，所以圆过定点…9分（Ⅲ）因为圆N方程为（x﹣b）2+（y﹣）2=即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0 …①圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0…11分点M到直线AB的距离…13分相交弦长即：当时，AB有最小值…16分．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．【解答】解：（1）依题意，得c=1．于是，a=，b=1．…（2分）所以所求椭圆的方程为．…（4分）（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②．又设M（x，y），因，故…（7分）因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得．所以，为定值．…（10分）（ii），故y12+y22=1．又，故x12+x22=2．所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3．…（16分）试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．【解答】解：由题意得：==，∴，解得a=3，b=2．∴M=，设矩阵M的特征值为λ，则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣6=0，化为λ2﹣3λ﹣4=0，解得λ1=﹣1，λ2=4．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．【解答】解：（1）因为圆心为直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点，所以令θ=0，得ρ=1，即圆心是（1，0），又圆C经过点P（，），P（，）的直角坐标为（，），所以圆的半径r==1．（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，0，2），A1（0，0，6），F（0，2，4），从而=（2，0，2），=（0，2，﹣2）．…2分记与的夹角为θ，则有：cosθ=cos＜＞=﹣．由异面直线AE与A1F所成角的范围为（0，π），得异面直线AE与A1F所成角为60°．…4分（2）记平面AEF和平面ABC的法向量分别为和，则由题设可令=（x，y，z），且有平面ABC的法向量为，．由，取x=1，得=（1，2，﹣1）．…8分记平面AEF与平面ABC所成的角为β，则cosβ=|cos＜＞|=||=．∴平面AEF与平面ABC所成角的余弦值为．…10分．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=﹣1，．∴==3×．=1，∴数列是等比数列，首项为1，公比为3．（2）由（1）可得：=3n﹣1，可得a n+2=n•3n﹣1．b n==．∴当n≥2，n∈N*时，b n+1+b n+2+…+b2n=+…+下面利用数学归纳法证明：．①当n=2时，b3+b4==＜=．②假设n=k∈N*，k≥2．b k+1+b k+2+…+b2k＜﹣．则n=k+1时，b k+2+b k+3+…+b2k+b2k+1+b2k+2＜﹣++﹣=﹣＜﹣．∴n=k+1时，假设成立．综上可得：当n≥2，n∈N*时，．。
2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜02．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln26．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）7．如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（）A．B．C．D．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1 D ．a ≥110．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或1611．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．[0，） B ．[0，）∪[，π） C ．[，π） D ．[0，）∪（，]12．设函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．D ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于 ．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= ．15．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S=r （a+b+c ），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则此四面体的体积V= ．16．定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足9f （x ）＜xf'（x ）＜10f （x ）且f （x ）＞0，则的取值范围是 ．三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a ＜1，求证： +≥9．18．已知函数f （x ）=x 3﹣3ax 2+2bx 在x=1处的极小值为﹣1． （ I ）试求a ，b 的值，并求出f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值； （2）若OA ⊥OB ，求m 的值．21．是否存在常数a ，b ，c 使等式1•（n 2﹣1）+2•（n 2﹣22）+…+n•（n 2﹣n 2）=n 2（an 2﹣b ）+c 对一切n ∈N *都成立？ 并证明的结论．22．已知常数a ＞0，函数f （x ）=ln （1+ax ）﹣．（Ⅰ）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＞0，求a 的取值范围．2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0【考点】命题的否定．【分析】利用含量词的命题的否定形式是：将“∀“改为“∃”结论否定，写出命题的否定．【解答】解：利用含量词的命题的否定形式得到：命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x+2＜0”故选C2．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选 D．3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将所给的双曲线方程化成标准方程，根据双曲线中的a，b，c的关系求解c，焦距2c即可．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=1，化成标准方程为：∵a2+b2=c2∴c2==解得：c=所以得焦距2c=故选：C．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2【考点】定积分．【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．【解答】解：∵（lnx ）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故选D6．若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f （x ）的单调递增区间为（ ） A ．（﹣1，0） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞） C ．（2，+∞） D ．（0，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f （x ）的单调递增区间．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得：f′（x ）=2x ﹣2﹣，令f′（x ）＞0，可得2x ﹣2﹣＞0，∴x 2﹣x ﹣2＞0，∴x ＜﹣1或x ＞2 ∵x ＞0，∴x ＞2∴f （x ）的单调递增区间为（2，+∞） 故选C ．7．如图是函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象，则x 1+x 2=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】导数的运算．【分析】解：由图象知f （﹣1）=f （0）=f （2）=0，解出 b 、c 、d 的值，由x 1和x 2是f′（x ）=0的根，使用根与系数的关系得到x 1+x 2=．【解答】解：∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ，由图象知，﹣1+b ﹣c+d=0，0+0+0+d=0， 8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x ）=3x 2+2bx+c=3x 2﹣2x ﹣2． 由题意有x 1和x 2是函数f （x ）的极值，故有x 1和x 2是f′（x ）=0的根，∴x 1+x 2=， 故选：A ．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线C 的方程是：，渐近线方程是：y=±，双曲线C 的方程是：=﹣1，渐近线方程是：y=±，根据充分必要条件的定义可判断．【解答】解：∵双曲线C 的方程是：，∴渐近线方程是：y=±，∵双曲线C 的方程是： =﹣1，∴渐近线方程是：y=±，∴根据充分必要条件的定义可判断：甲是乙的必要，不充分条件， 故选：B9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1D ．a ≥1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数f'（x ）=3x 2﹣4x+a ，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知，导函数在区间内递增，故只需f'（1）≥0即可．【解答】解：f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3， ∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a ， ∵在[1，2]上单调递增，∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a 在区间内大于或等于零，∵二次函数的对称轴x=， ∴函数在区间内递增， ∴f'（1）≥0， ∴﹣1+a ≥0， ∴a ≥1， 故选D ．10．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或16【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ，由椭圆的定义可得 m+n=2a ①，Rt △F 1MF 2中，由勾股定理可得n 2﹣m 2=36②，由①②可得m 、n 的值，利用△F 1PF 2的面积求得结果． 【解答】解：由椭圆的方程可得 a=5，b=4，c=3，令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ， 由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①，Rt △MF 1F 2 中， 由勾股定理可得n 2﹣m 2=36 ②，由①②可得m=，n=，∴△MF 1F 2 的面积是•6•=故选A ．11．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．【解答】解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又 0≤α＜π，∴0≤α＜或≤α＜π，故选 B．12．设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则≤，可求k的范围．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e，∵g（x）=，∴g′（x）=，当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1）min =2e ＞g （x 2）max =e ，∵恒成立且k ＞0，∴≤，∴k ≥1， 故选：A ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：，则=．故答案为：．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= 12 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨，即可求得|AB|． 【解答】解：抛物线y 2=8x 的焦点为F （2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （4，y 0），过A ，B ，M 做准线的垂直，垂足分别为A 1，B 1及M 1， 由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4=8，∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12 ∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=12由抛物线的性质可知：丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨， ∴丨AB 丨=12， 故答案为：12．15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= R（S1+S2+S3+S4）．【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．16．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是（29，210）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件分别构造函数g（x）=和h（x）=，分别求函数的导数，研究函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）==，∵9f（x）＜xf'（x），∴g′（x）=＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，则g（2）＞g（1），即＞，则＞29，同理设h（x）=，∴h′（x）==，∵xf'（x）＜10f（x），∴h′（x）=＜0，即h（x）在（0，+∞）上是减函数，则h（2）＜h（1），即＜，则＜210，综上29＜＜210，故答案为：（29，210）三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a＜1，求证： +≥9．【考点】不等式的证明．【分析】0＜a＜1⇒1﹣a＞0，利用分析法，要证明≥9，只需证明（3a﹣1）2≥0，该式成立，从而使结论得证．【解答】证明：由于0＜a＜1，∴1﹣a＞0．要证明≥9，只需证明1﹣a+4a≥9a﹣9a2，即9a2﹣6a+1≥0．只需证明（3a﹣1）2≥0，∵（3a﹣1）2≥0，显然成立，∴原不等式成立．18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6ax+2b∵在x=1处的极值为﹣1，∴，∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1当f′（x）≥0时，或x≥1，∴增区间为当f′（x）≤0时，，∴减区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，f（x）取极大值为，当x=1时，f（x）取极大值为﹣1∴当时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由于椭圆焦点为F （0，±4），离心率为e=，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，求出a ，b ，c ．最后写出双曲线的标准方程；（2）求出|PF 1|=7，|PF 2|=3，|F 1F 2|=8，利用余弦定理，即可求cos ∠F 1PF 2．【解答】解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．∵双曲线与椭圆的离心率之和为2， ∴双曲线的离心率为2，∴=2∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，∴c=4，∴a=2，b=，∴双曲线的方程是；（2）由题意，|PF 1|+|PF 2|=10，|PF 1|﹣|PF 2|=4 ∴|PF 1|=7，|PF 2|=3， ∵|F 1F 2|=8，∴cos ∠F 1PF 2==﹣．20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣﹣∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x 1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．是否存在常数a，b，c使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c 对一切n∈N*都成立？并证明的结论．【考点】数学归纳法．【分析】可假设存在常数a，b使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对于任意的n∈N+总成立，令n=1与n=2，n=3列方程解得a，b，c再用数学归纳法证明．【解答】解：n=1时，a﹣b+c=0，n=2时，16a﹣4b+c=3，n=3时，81a﹣9b+c=18解得c=0，证明（1）当n=1是左边=0，右边=0 左边=右边，等式成立．（2）假设n=k时（k≥1，k∈N*）等式成立，即，则当n=k+1时1•[（k+1）2﹣1]+2•[（k+1）2﹣22]+…+k•[（k+1）2﹣k2]+（k+1）[（k+1）2﹣（k+1）2]，=1•（k2﹣1）+2•（k2﹣22）+…+k•（k2﹣k2）+（1+2+…+k）（2k+1），=，===所以当n=k+1时等式也成立．综上（1）（2）对于k≥1，k∈N*所有正整数都成立．22．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x ）==，∵（1+ax ）（x+2）2＞0，∴当1﹣a ≤0时，即a ≥1时，f′（x ）≥0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）单调递增，当0＜a ≤1时，由f′（x ）=0得x=±，则函数f （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f′（x ）≥0，此时f （x ）不存在极值点．因此要使f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，则必有0＜a ＜1，又f （x ）的极值点值可能是x 1=，x 2=﹣，且由f （x ）的定义域可知x ＞﹣且x ≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a ≠，则x 1，x 2分别为函数f （x ）的极小值点和极大值点，∴f （x 1）+f （x 2）=ln[1+ax 1]﹣+ln （1+ax 2）﹣=ln[1+a （x 1+x 2）+a 2x 1x 2]﹣=ln （2a ﹣1）2﹣=ln （2a ﹣1）2+﹣2．令2a ﹣1=x ，由0＜a ＜1且a ≠得，当0＜a ＜时，﹣1＜x ＜0；当＜a ＜1时，0＜x ＜1．令g （x ）=lnx 2+﹣2．（i ）当﹣1＜x ＜0时，g （x ）=2ln （﹣x ）+﹣2，∴g′（x ）=﹣=＜0，故g （x ）在（﹣1，0）上单调递减，g （x ）＜g （﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a ＜时，f （x 1）+f （x 2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．。
2017年江苏省南通中学高二上学期期末数学试卷与解析答案
2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）若直线经过A（1，0）、B（0，﹣1）两点，则直线AB的倾斜角为．2．（5分）如果平面α∥平面β 且直线l⊥α，那么直线l与平面β 的位置关系是．3．（5分）函数f（x）=x•e x，则f′（1）=．4．（5分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为．5．（5分）已知抛物线的准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程为．6．（5分）棱长为1的正方体的外接球的表面积为．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则双曲线C的离心率为．8．（5分）已知函数f（x）=lnx+x，若函数f（x）在点P（x0，f（x0））处切线与直线3x﹣y+1=0平行，则x0=．9．（5分）如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L 对称，那么直线L的方程为．10．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间[0，2]内单调递减，则实数a的取值范围是．12．（5分）若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是．13．（5分）定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意x∈（0，+∞），f[f （x）﹣log2x]=3成立，若方程f（x）﹣f'（x）=2的解在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=．14．（5分）过点P（1，3）的动直线与抛物线y=x2交于A，B两点，在A，B两点处的切线分别为l1、l2，若l1和l2交于点Q，则圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+3x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在区间[﹣4，4]上的最大值为26，求a的值．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．17．（14分）已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P 在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（1）若点P的坐标为（0，0），求∠APB；（2）若点P的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C、D两点，当时，求直线CD的方程；（3）经过A、P、M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．18．（16分）请你设计一个仓库．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m2，1百元/m2，设圆锥母线与底面所成角为θ，且．（1）设该仓库的侧面总造价为y，写出y关于θ的函数关系式；（2）问θ为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度．19．（16分）已知椭圆的离心率为，一条准线方程为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆交于P，Q两点．①若m=﹣2，当△OPQ面积最大时，求直线l的方程；②当k≠0时，若以PQ为直径的圆经过椭圆的右顶点，求证：直线l过定点．20．（16分）已知函数，曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线y=e2x+e垂直．（1）求a的值及f（x）的极值；（2）是否存在区间，使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若不等式x2f（x）＞k（x﹣1）对任意x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）若直线经过A（1，0）、B（0，﹣1）两点，则直线AB的倾斜角为．【解答】解：∵直线经过A（1，0）、B（0，﹣1）两点，故直线AB的斜率k=1，设倾斜角为α，则0≤α＜π，且tanα=1，∴α=，故答案为：．2．（5分）如果平面α∥平面β 且直线l⊥α，那么直线l与平面β 的位置关系是l⊥β．【解答】解：∵平面α∥平面β又∵直线l⊥平面α故直线l⊥平面β故答案为：l⊥β3．（5分）函数f（x）=x•e x，则f′（1）=2e．【解答】解：f′（x）=（x•e x）′=e x+xe x，∴f′（1）=e+e=2e．故答案为：2e．4．（5分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．【解答】解：由圆心在y轴上，设出圆心坐标为（0，b），又半径为1，∴所求圆的方程为x2+（y﹣b）2=1，由所求圆过（1，2），代入圆的方程得：1+（2﹣b）2=1，解得：b=2，则所求圆的方程为：x2+（y﹣2）2=1．故答案为：x2+（y﹣2）2=15．（5分）已知抛物线的准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程为y2=8x．【解答】解：由题意，设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），准线方程是x=﹣，∵抛物线的准线方程为x=﹣2，∴=2，解得p=4，故所求抛物线的标准方程为y2=8x．故答案为：y2=8x．6．（5分）棱长为1的正方体的外接球的表面积为3π．【解答】解：设正方体的棱长为a，正方体外接球的半径为R，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：2R=，即R===；=4πR2=3π．所以外接球的表面积为：S球故答案为：3π7．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则双曲线C的离心率为．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±，一条渐近线的方程为y=2x，∴=2，设a=t，b=2t则c==t∴离心率e==故答案为：8．（5分）已知函数f（x）=lnx+x，若函数f（x）在点P（x0，f（x0））处切线与直线3x﹣y+1=0平行，则x0=．【解答】解：函数f（x）=lnx+x，可得函数f′（x）=+1，函数f（x）在点P（x0，f（x0））处切线与直线3x﹣y+1=0平行，可得：，解得x0=．故答案为：．9．（5分）如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L 对称，那么直线L的方程为x﹣y+1=0．【解答】解：∵k AB==﹣1，线段AB的中点为，两点A（a ﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，∴k L=1，其准线方程为：y﹣=x﹣，化为：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．10．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是．【解答】解：由圆x2+y2=（+c）2是以原点为圆心，以为半径的圆，∴要使椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2有四个不同交点，则，由，得b＜2c，即a2﹣c2＜4c2，即；联立，解得或e＞1（舍）．∴椭圆离心率的取值范围是．故答案为：．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间[0，2]内单调递减，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax2+1在[0，2]内单调递减，∴f'（x）=3x2﹣2ax≤0在[0，2]内恒成立．即a≥x在[0，2]内恒成立．∵t=x在[0，2]上的最大值为×2=3，∴故答案为：a≥3．12．（5分）若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是．【解答】解：∵直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，∴直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），∴有a+2b=1，∴ab=（1﹣2b）b=﹣2（b﹣）2+≤，∴ab的取值范围是．故答案为：．13．（5分）定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意x∈（0，+∞），f[f （x）﹣log2x]=3成立，若方程f（x）﹣f'（x）=2的解在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=1．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，可得log2x+2﹣=2，即log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，分析易得h（1）=＜0，h（2）=1﹣＞0，则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，故答案为：1．14．（5分）过点P（1，3）的动直线与抛物线y=x2交于A，B两点，在A，B两点处的切线分别为l1、l2，若l1和l2交于点Q，则圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为﹣2．【解答】解：设动直线的方程为：y﹣3=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）．联立，化为：x2﹣kx+k﹣3=0，∴x1+x2=k，x1x2=k﹣3．对y=x2求导，y′=2x，切线l1、l2的方程分别为：y﹣y1=2x1（x﹣x1），y﹣y2=2x2（x﹣x2）．化为：y=2x1x﹣，y=2x2x﹣，相减可得：x==，相加可得：y=（x1+x2）x﹣[﹣2x1x2]=﹣=k﹣3．解得Q，其轨迹方程为：y=2x﹣3．圆x2+（y﹣2）2=4的圆心C（0，2）．圆心C到直线的距离d==＞2=r．∴圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为﹣2．故答案为：﹣2．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+3x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在区间[﹣4，4]上的最大值为26，求a的值．【解答】解：（1），则f′（x）=﹣x2+2x+3，令f′（x）＞0，即﹣x2+2x+3＞0，解得﹣1＜x＜3，所以函数f（x）的单调减区间为（﹣1，3）．（2）由函数在区间[﹣4，4]内的列表可知：函数f（x）在（﹣4，﹣1）和（3，4）上分别是减函数，在（﹣1，3）上是增函数．又因为，所以f（﹣4）＞f（3），所以f（﹣4）是f（x）在[﹣4，4]上的最大值，所以，即．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）∵E，F分别为PB，PC的中点．∴EF∥BC，又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC；（2）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，又∵PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，由（1）中EF∥BC，∴EF⊥平面PAB，又∵EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAB．17．（14分）已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P 在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（1）若点P的坐标为（0，0），求∠APB；（2）若点P的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C、D两点，当时，求直线CD的方程；（3）经过A、P、M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．【解答】解：（1）因为点P坐标为（0，0），所以MP=2，又因为MA=MB=1，所以∠MPA=∠MPA=30°，故∠APB=60°．（2）当直线斜率不存在时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线CD方程为y﹣1=k（x﹣2）因为，所以圆心M到直线CD的距离为，由，解得k=﹣1或，故直线CD的方程为：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA为圆M的切线，所以经过A、P、M三点的圆是以Q为圆心，MQ为半径的圆，故其方程为化简得x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，由，解得或，所以经过A、P、M三点的圆经过异于点M的定点．18．（16分）请你设计一个仓库．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m2，1百元/m2，设圆锥母线与底面所成角为θ，且．（1）设该仓库的侧面总造价为y，写出y关于θ的函数关系式；（2）问θ为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度．【解答】解：（1）由题意=，；（2）由（1）可得y=，；那么：令解得：，∵，∴，列表：所以当时，侧面总造价y最小，此时圆锥的高度为m．19．（16分）已知椭圆的离心率为，一条准线方程为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆交于P，Q两点．①若m=﹣2，当△OPQ面积最大时，求直线l的方程；②当k≠0时，若以PQ为直径的圆经过椭圆的右顶点，求证：直线l过定点．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e==，准线方程x==，解得：a=2，c=，b2=a2﹣c2=1，椭圆C的标准方程；（2）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0（*）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，（**）①当m=﹣2时，代入（*）和（**）式得：，，．∴，又O到直线l的距离，∴．令，则t＞0，则当且仅当t=2，即时等号成立，且因此△OPQ面积最大时，直线l的方程为：y=±x﹣2，②证明：由已知，AP⊥AQ，且椭圆右顶点为A（2，0），∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m）（kx2+m）=0，即（1+k2）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4=（1+k2）+（km﹣2）•+m2+4=0，整理得：5m2+16km+12k2=0，解得：m=﹣2k或m=﹣，均满足（*）式，∴当m=﹣2k时，直线l的方程为：y=kx﹣2k=k（x﹣2），过定点（2，0）与题意矛盾；当m=﹣时，直线l的方程为y=k﹣=k（x﹣），过定点，得证．20．（16分）已知函数，曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线y=e2x+e垂直．（1）求a的值及f（x）的极值；（2）是否存在区间，使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若不等式x2f（x）＞k（x﹣1）对任意x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．【解答】解：（1）由，得．因为f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线y=e2x+e垂直，所以，解得a=1，所以，令，得x=1．因为当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值；（2）因为f（x）在（1，+∞）上单调递减，且f（x）＞0又由（1）知f（x）在（0，1）上单调递增，且，f（1）=1＞0所以由零点存在原理得f（x）在区间（0，1）存在唯一零点，函数f（x）的图象如图所示：因为函数f（x）在区间上存在极值和零点，所以由，解得．所以存在符合条件的区间，实数t的取值范围为；（3）当x∈（1，+∞）时，不等式x2f（x）＞k（x﹣1）可变形为设，（x＞1），则设φ（x）=x﹣lnx﹣2，（x＞1），则因为x＞1时，，所以φ（x）=x﹣lnx﹣2在（1，+∞）上单调递增，又因为φ（3）=1﹣ln3＜0，φ（4）=2﹣ln4＞0所以存在唯一的x0∈（3，4），使得φ（x0）=0，即lnx0=x0﹣2，当x∈（1，x0）时，φ（x）＜0，即h'（x0）＜0，当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＞0，即h'（x0）＞0，所以h（x）在（1，x0）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故，因为，且x0∈（3，4），所以整数k的最大值为3．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
江苏省南通中学2016-2017学年高二5月阶段考试数学理试
江苏省南通中学高二数学练习（理科）一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卷相应位置上．）1．已知复数Z 满足(1)1i Z i -=+，则复数Z 的模为 ▲ ．12．从1到9的正整数中任意抽取两个数相加，所得的和为奇数的不同情形种数是 ▲ ．（用数字作答）114520C C ⋅=3．已知1010984mA =⨯⨯⨯⨯，那么m = ▲ ．74．在极坐标系中，点5(3,)12A π与点(8,)12B π之间的距离等于 ▲ ．【解析】直接应用余弦定理得7d ==． 5．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x =±，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 【解析】因为13b a =，所以3e ===6．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为 ▲ ．（用数字作答） 【解析】方法1：设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次抽到理科题”为事件AB ，则1134253()5A A P A A ⋅==，23253()10A P AB A ==，所以()(|)()P AB P B A P A =3110325==． 方法2：亦可以在压缩了的样本空间中直接计算概率为121412C P C ==． 7．甲、乙、丙三人射击同一目标，命中目标的概率分别为12，13，14，且彼此射击互不影响，现在三人射击该目标各一次，则目标被击中的概率为 ▲ ．（用数字作答） 【解析】11131(1)(1)(1)2344P =----=．8．已知随机变量X 1(2,)2B ，那么随机变量X 的方差为()V X = ▲ ．（用数字作答）【解析】方法1：显然2211()()(1)22k k kP X k C -==⋅⋅-（0k =，1，2），易得随机变量X 的概率分布为数学期望为()0121424E X =⨯+⨯+⨯=，随机变量X 的方差为22()(01)(11)42V X =-⋅+-⋅ 211(21)42+-⋅=； 方法2：直接应用二项分布的方差公式1()(1)2V X np p =-=． 9．计算：2222311C C C +++= ▲ ．（用数字作答） 【解析】22232223113311220C C C C C C +++=+++=．10．三棱锥P ABC -中，D 、E 分别为PB 、PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = ▲ ． 【解析】121111122224D ABEE ABDE ABP A BEP A BCP V V V V V V V -----=====?，所以12V V =14．11．25()x x y ++的展开式中，含52x y 项的系数为 ▲ ．（用数字作答）【解析】方法1：利用二项展开式的通项公式求解，2525()[()]x x y x x y ++=++，含2y 的项为3T =22325()C x x y ⋅+⋅，其中23()x x +中含5x 的项为141533C x x C x ⋅⋅=⋅，所以52x y 的系数为215330C C ⋅=．方法2：利用组合知识求解，25()x x y ++为5个2x x y ++的积，其中有两个取y ，两个取2x ，一个取x 即可，所以52x y 的系数为22153130C C C =．12．若平面向量a 、b 满足|2|22a b -≤，则a b ⋅的最小值是 ▲ ．【解析】∵平面向量a ，b 满足|2|22a b -≤，∴22484a b a b +≤+⋅，又2222424a b a b +≥⋅=4||||a b ⋅≥4a b -⋅，所以484a b a b -⋅≤+⋅即1a b ⋅≥-，故a b ⋅的最小值是1-．13．已知各项都为整数的数列{}n a 中，12a =，且对任意的n N *∈，满足1122nn n a a +-<+， 2321n n n a a +->⨯-，则2019a 被3除所得余数为 ▲ ．【解析】因为1122nn n a a +-<+，所以121122n n n a a +++-<+，两式左右两边分别相加得 2321n n n a a +-<⨯+，又2321n n n a a +->⨯-，且n a Z ∈，所以232n n n a a +-=⨯，从而 2019201920172017201520152013311()()()()a a a a a a a a a a =-+-+-++-+2017201520133(2222)=+++++201922=，而201920192(31)=-，所以被3除所得余数为2.14．已知正实数x ，y ，则216(,)||f x y x y y x =-++的最小值为 ▲ ． 【解析】1︒ 当0x y ->时，22216161611(,)||()()()()24f x y x y y x y y x y x x x =-++=++-=++--13144≥=，当且仅当4x =，12y =时取得“=”； 2︒当0x y -≤时，221616(,)||()()f x y x y y x y y x x=-++=-+++，显然该函数在(0,]x y ∈上单调递减，所以221616(,)()()f x y y y y y y y ≥-+++=+，再设216()h y y y=+（(0,)y ∈+∞），则由 /()h y =322160y y-=得2y =，易得min 31()(2)124h y h ==>，由1︒、2︒知216(,)||f x y x y y x =-++ 的最小值为314. 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．7人站成一排，求满足下列条件的不同站法（（用数字作答））：（Ⅰ）甲、乙之间隔着2个人；（Ⅱ）甲、乙、丙3人中从左往右看由高到底（3人身高彼此不同）；（Ⅲ）若甲、乙两人坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子中的两把，要求每人的两边 都有空位.【解析】（Ⅰ）224524960A A A =（捆绑法）；（Ⅱ）7733840A A =（等可能）；（Ⅲ）（固定模型），甲、乙两人坐法有(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,6)6种，所以每人的两边都有空位的坐法为22612A =. 答：（略）．16．已知3)n x 展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大4032.（Ⅰ）求展开式中含4x 的项；（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项.【解析】（Ⅰ）令1x =得展开式各项系数和为4n ，而二项式系数和为012n n n n n C C C +++=，由题意得424032n n -=，即(264)(263)0n n-+=，264n =或263n =-，又因为n N *∈，所以264n =，故6n =，二项展开式的第1r +项为123163r rrr T C x++=⋅⋅，令1243r+=得0r =，所以展开式中含4x 的项为044163T C x x =⋅⋅=；（Ⅱ）因为6n =，所以展开式中第4项的二项式系数最大，即12333533163540TC xx ++=⋅⋅=.17．某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A 、B 、C 三个测试项目．假定张某通过项目A 的概率为12，通过项目B 、C 概率均为a （01a <<），且这三个测试项目能否通过相互独立． （Ⅰ）用随机变量X 表示张某在测试中通过的项目个数，当13a =时，求X 的概率分布和数学期望； （Ⅱ）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）随机变量X 的可能取值为0、1、2、3．当13a =时， 022112(0)(1)(1)239P X C ==-⋅-=；021********(1)(1)(1)(1)232339P X C C ==⋅-+-⋅⋅-=；12222111115(2)(1)(1)()2332318P X C C ==⋅⋅-+-⋅=；2222111(3)2218P X C a a ==⋅==．从而X 的分布列为X 的数学期望为()01239918186E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；（Ⅱ）因为022211(0)(1)(1)(1)22P X C a a ==-⋅-=-，0221(1)(1)2P X C a ==⋅-+12211(1)(1)(1)22C a a a -⋅⋅-=-，122222111(2)(1)(1)(2)222P X C a a C a a a ==⋅⋅-+-⋅=-，222211(3)22P X C a a ==⋅=，所以(1)(0)(1)P X P X a a =-==-，12(1)(2)2a P X P X -=-==，212(1)(3)2aP X P X -=-==，由题意得2(1)012021202a a aa -≥⎧⎪-⎪≥⎨⎪-⎪≥⎩和01a <<，所以102a <≤，即a 的取值范围是1(0,]2． 答：（略）．18．已知椭圆C ：2233x y +=，过点(1,0)D 且不过点(2,1)E 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）若直线AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅱ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．【解析】（Ⅰ）因为直线AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -，直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--，令3x =，得1(3,2)M y -，所以直线BM 斜率为112131BM y y k -+==-；（Ⅱ）直线BM 与直线DE 平行． 理由如下：1︒ 当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅰ）可知，1BM k =．又因为直线DE 的斜率10121DE k -==-， 所以BM ∥DE ；2︒ 当直线AB 的斜率存在时，可设其方程为(1)y k x =-（1k ≠）．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 方程为1111(2)2y y x x --=--，令3x =得1113(3,)2y x M x +--． 由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得2222(13)6330k x k x k +-+-=，由1,2x =得2122613k x x k +=+， 21223313k x x k-=+，直线BM 的斜率为11212323BM y x y x k x +---=-．因为11212121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BM k x x k x x x x k x x -+--------=--121221(1)[2()3](3)(2)k x x x x x x --++-=--2222213312(1)(3)1313(3)(2)k k k k k x x ---+-++=--0=，所以1BM DE k k ==，所以BM ∥DE . 综上，直线BM 与直线DE 平行. 19．已知函数1()ln1xf x x+=-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+；（Ⅲ）设实数k 使得3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值.【解析】（Ⅰ）因为()ln(1)ln(1)f x x x =+--，所以/11()11f x x x=++-，/(0)2f =，(0)0f =，所 以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =；（Ⅱ）令3()()2()3x g x f x x =-+，则4//222()()2(1)1x g x f x x x=-+=-，因为01x <<，所以 /()0g x >，()g x 在区间(0,1)上递增，所以()(0)0g x g >=，即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当2k ≤时，3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立.当2k >时，令3()()()3x h x f x k x =-+，则4//222()()(1)1kx k h x f x k x x -+=-+==-，当0x <</()0h x <，因此，()h x 在区间上单调递减，所以，当0x <<()(0)0h x h <=，即3()()3x f x k x <+，所以，当2k >时，3()()3x f x k x >+并非对(0,1)x ∈恒成立.综上，k 的最大值为2. 20． （Ⅰ）求证：11kk n n kC nC --=；（Ⅱ）在数学上，常用符号来表示算式，如记0120nin i aa a a a ==++++∑，其中i N ∈，n N *∈．①若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，求证：10()2ni n inni a C a-=⋅=⋅∑； ②若22201221(1)nknn k x a a x a x a x =+=++++∑，20nn i i b a ==∑，记11[(1)]ni in i n i d b C ==+-⋅⋅∑，且不等式(1)n n t d b ⋅-≤恒成立，求实数t 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）证（略）；（Ⅱ）①设等差数列的通项公式为0n a a nd =+，其中d 为公差，则()niini a C a=⋅=+∑123123n n n n n n a C a C a C a C ⋅+⋅+⋅++⋅012120()(2)n nn n n n n n n a C C C C d C C nC =++++++++，因为11kk n n kC nC --=，所以120111112()n n n n n n n n C C nC n C C C ----+++=+++，因此()niini a C =⋅∑01212()(2)n nn n n n n n n a CC C C d C C nC =++++++++1022n n a nd -=⋅+⋅12n n a -=⋅；注：该问也可以用倒序相加法证明（酌情给分）； ②令1x =，则223202(14)222224212n nnn ii a=-=++++==⋅--∑，令1x =-，则20[(1)]0nii i a =-⋅=∑，所以201(242)412nn n n ii b a ===⋅-=-∑， 根据已知条件可知012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn n n n n n d C C C C C =--+---++-⋅-012233[(4)(4)(4)(4)]n n n n n n n C C C C C =+⋅-+⋅-+⋅-++⋅--01234[n n n n n C C C C C -+-++(1)]1n nn C +-+(14)(11)1n n =---+(3)1n =-+，所以(3)1n n d =-+，将41n n b =-，(3)1n n d =-+代入不等式(1)n n t d b ⋅-≤得(3)41n n t ⋅-≤-．当n 为偶数时，41()()33nnt ≤-恒成立，所以22415()()333t ≤-=；当n为奇数，41[()()]33n nt≥--恒成立，所以1141[()()]133t≥--=-．综上所述，所以实数t的取值范围是5 [1,]3 -．。
【江苏省南通中学】2017届高二5月阶段考试数学(理)试卷 -答案
所以 dn (3)n 1 ，将 bn 4n 1 ，
dn (3)n 1 代入不等式 t (dn 1) bn 得 t (3)n 4n 1．
当 n 为偶数时， t ( 4)n (1)n 恒成立，所以 t ( 4)2 (1)2 5 ；
33
3 33
当 n 为奇数， t [( 4)n (1)n ] 恒成立，所以 t [( 4)1 (1)1] 1．
nCnn
n(Cn01
C1 n1
C n1 n1
)
，因此
n
(ai Cni ) a0 (Cn0 Cn1 Cn2 Cnn ) d (Cn1 2Cn2 nCnn )
i0
a0 2n nd 2n1
an 2n1 ；
2n
②令 x 1 ，则 ai 2 22 23
a2
1 a2 2
1． 18
从而 X 的分布列为
X
0
1
2
3
2
4
5
1
P
9
9
18
18
X 的数学期望为 E(X ) 0 2 1 4 2 5 3 1 7 ； 9 9 18 18 6
（Ⅱ）因为 P(X
0) (1
1 2
)C20
(1 a)2
1 (1 a)2 ， 2
P( X
- 3 - / 10
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 k 2 时， f (x) k(x x3 ) 对 x (0,1) 恒成立． 3
当 k 2 时，令 h(x) f (x) k(x x3 ) ， 3
则 2 h(x) f (x) k(1 x2 ) kx4 k 2 k(x2 1 x2
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末考试题及答案
2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案2017-01-04本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共计60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1. 已知命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假2．椭圆1422=+y m x 的焦距为2,则m 的值等于（ ） A ．5或3- B ．2或6 C ．5或3 D ．5或33.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是腰长 为3,底边长为2的等腰三角形，则该几何体的体积是（ ）A. π322B. π22C. π28D. π3284. 以双曲线191622=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）A ．x y 162= B ．x y 122= C ．x y 202-= D ．x y 202=5. 已知直线α⊂a ，则βα⊥是β⊥a 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知l 是正方体1111D CB A ABCD -中平面11D B A 与下底面ABCD 所在平面的交线，正视图 俯视图侧视图.下列结论错误的是（ ）.A. 11D B //lB. ⊥l 平面C A 1C. l //平面111D B AD. 11C B l ⊥ 7. 设原命题：若向量c b a ,,构成空间向量的一组基底，则向量,a b 不共线. 则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 已知双曲线1244922=-y x 上一点P 与双曲线的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则三角形21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．24 9. 两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C的公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10. 已知F 是抛物线y x=2的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．43B ．1C ．45 D ．47 11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为3，底面边长为3， 则该球的表面积为( )A ．π4B ．π8C ．π16D ．332π12. 如图，H 为四棱锥ABCD P -的棱PC 的三等分点，且HC PH 21=，点G 在AH 上，mAH AG =.四边形ABCD 为 平行四边形，若D P B G ,,,四点共面，则实数m 等于（ ） A ．43 B ．34 C ．41D ．21第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题“2,12≥≥∀xx ”的否定是 .14. 平面α的法向量)2,1,(1-=x n ，平面β的法向量)21,,1(2y n -=， 若α∥β，则=+y x __________________.15. 已知点A 的坐标为)2,4(，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 是抛物线上的动点，当MA MF +取得最小值时，点M 的坐标为 ．16. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在一点P 使2112sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分） 已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱长为3 ， 求它的表面积和体积.18.（本小题满分12分）已知直线方程为033)12()1(=-+--+m y m x m . （1）求证:不论m 取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点作一条直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.19.（本小题满分12分）在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱111,B D BB 的中点.(1) 求证：⊥EF 平面1ACB ； (2)求二面角C EF A--的余弦值.D ABC OP20.（本小题满分12分）已知圆M 满足：①过原点；②圆心在直线x y =上；③被y 轴截得的弦长为2. (1) 求圆M 的方程；(2) 若N 是圆M 上的动点，求点N 到直线8-=x y 距离的最小值.21．（本小题满分12分）．在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，AO ⊥平面111C B A .︒=∠90BCA ，21===BC AC AA .(1)证明：OE ∥平面11C AB ； (2)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (3)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 和直线L :1=-b ya x , 椭圆的离心率23=e ， 坐标原点到直线L 的距离为552. （1）求椭圆的方程；（2）已知定点)0,1(E ，若直线)0(2≠-=k kx y 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试判断是否存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案一. 选择题:1.B2.C3.A4.A5.B6.D7.B8.D9.B 10.C 11.C 12.A二. 填空题: 13. 2,1200<≥∃x x 14. 41515. )2,2( 16. ]21,1(+三. 解答题:17.解：过点P 作BC PE ⊥，垂足为E ，由勾股定理得：221922=-=-=BE PB PE所以，棱锥的表面积 28422221422+=⨯⨯⨯+⨯=S -----5分过点P 作ABCD PO 平面⊥，垂足为O ，连接OE . 由勾股定理得：71822=-=-=OE PE PO所以，棱锥的体积 37472231=⨯⨯⨯=V ------10分18.（1）证明：将方程033)12()1(=-+--+m y m x m 变形为 03)32(=-+++-y x m y x解方程组⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得：⎩⎨⎧==21y x 所以，不论m 取何实数值，此直线必过定点)2,1(.-----6分(2)解：设所求直线交x 轴y 轴分别为点),0(),0,(b B a A由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+220120ba4,2==∴b a所以直线的方程为：142=+yx即042=-+y x ------12分19． 解: （1）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系xyz D -，可得：)1,0,0(),1,1,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(11D B C B A ，则中点 )1,21,21(),21,1,1(F E因)1,1,0(),0,1,1(),21,21,21(1=-=--=→→→AB AC EF 所以0,01=∙=∙→→→→AB EF AC EF1,AB EF AC EF ⊥⊥ 而A AB AC =⋂1 所以 ⊥EF 平面C AB 1 -------- 6分（2）设平面AEF 的一个法向量为),,(1z y x n =→，因)21,21,21(),21,1,0(--==→→EF AE由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+0212121021z y x z y 令2=z 得 )2,1,3(1-=→n 同理平面CEF 的法向量为)2,3,1(2--=→n 由71,cos 21->=<→→n n所以二面角C EF A --的余弦值是71 -------12分20.解：(1)设圆M 的方程为)0()()(222>=-+-r rb y a xD C B A由已知可得: ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+222221r a b a r b a ,解方程组得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===211或211r b a r b a 所以, 圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x -----6分 (2)当圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离为: 242811=--=d同理, 当圆M 的方程为2)1()1(22=+++y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离也为: 24=d所以, 点N 到直线8-=x y 距离的最小值为23224=- -------12分21.解 解法1：(1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1， ∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1.又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. ------8分 (3)∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC 1＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2，∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ，∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·(12·A 1C 1·B 1C 1)·AO＝13·S△AA 1B·d.又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7，∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分 解法2：∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC ＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2， ∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则A(0,0，3)，A 1(0，－1，0)，E(0，－12，32)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，C(0,2，3)．(1)∵OE →＝(0，－12，32)，AC 1→＝(0,1，－3)，∴OE →＝－12AC 1→，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AB 1→＝(2,1，－3)，A 1C →＝(0,3，3)， ∴AB 1→·A 1C →＝0， 即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. -------8分 (3)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，A 1C 1→＝(0,2,0)， A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)，设平面AA 1B 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0.不妨令x ＝1，可得n ＝(1，－1，33)， ∴sin θ＝cos 〈A 1C 1→，n 〉＝22·73＝217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分22. 解：（1）直线L ：0=--ab ay bx ，由题意得：552,2322=+==b a ab ac e 又有222c b a +=， 解得：1,422==b a椭圆的方程为1422=+y x . ——5分（2）若存在，则EN EM ⊥，设),(),,(2211y x N y x M ，则：21212211)1)(1(),1(),1(y y x x y x y x EN EM +--=-⋅-=⋅)(05))(12()1()2)(2()1)(1(212122121*=+++-+=--+--=x x k x x k kx kx x x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y x kx y ，得：01216)41(22=+-+kx x k ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+>+⨯⨯--=∆∴221221224112,41160)41(124)16(k x x k k x x k k 代入（*）式，解得：1617=k ，满足0>∆ —— 12分11。
江苏省南通市启东高二上期末数学试卷有答案-精品
2017-2018学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F是椭圆3x2+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移1|的最小值．动，则|PA|+2|PF113．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数z和|z|；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．16．（14分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t 的取值范围．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求k的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求k的值．18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O 上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）（1）找出一个等比数列{an }，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{an}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是﹣．【解答】解：复数=﹣=﹣=﹣﹣i，则z的虚部=﹣．故答案为：．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2＞0 ．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2＞0．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为﹣1 ．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（x）=的值，当x≥0时，y=2x+1=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；当x＜0时，y=2﹣x2=1，解得x=±1，应取x=﹣1；综上，x的值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是0.1 ．【解答】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为 2 ．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为18 ．【解答】解：设从高二年级学生中抽出x人，由题意得=，解得x=18，故答案为：187．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）．【解答】解：观察下列各式9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1 ．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在x轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个，∴出现向上的点数之和不小于9的概率：p=．故答案为：．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1 ．【解答】解：若命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”为真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a=1，故答案为：a≤﹣2，或a=111．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．【解答】解：直线mx﹣y﹣3m﹣2=0过定点I（3，﹣2），圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r=2．如图，∵|CI|=，∴直线mx﹣y﹣3m﹣2=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．故答案为：．是椭圆3x2+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1动，则|PA|+2|PF|的最小值 5 ．1【解答】解：由椭圆3x2+4y2﹣12=0作出椭圆如图，由a2=4，b2=3，得c2=1，c=1，∴=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF|与到左准线的距离的比值为e=，1|为椭圆上的点到左准线的距离，∴2|PF1过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+=1+4=5．则P点为使|PA|+2|PF1故答案为：5．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是{m|} ．【解答】解：如图，当D（0，3m）时，∠ADB=60°，故满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，∴该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，即|rM ﹣rC|≤|MC|≤|rM+rC|，如图，∴|rM ﹣rC|2≤|MC|2≤|rM+rC|2，∴（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由m＞0，解得2．故答案为：{m|}．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围（，1）．【解答】解：设P （x 0，y 0），M （x M ，y M ）， ∵，∴=（x 0+c ，y 0）=（x M +c ，y M ）∴M （x 0﹣c ，y 0），=（x 0﹣c ，y 0），∵PO ⊥F 2M ，=（x 0，y 0）∴（x 0﹣c ）x 0+y 02=0 即x 02+y 02=2cx 0， 联立方程得：，消去y 0得：c 2x 02﹣2a 2cx 0+a 2（a 2﹣c 2）=0，解得：x 0=或 x 0=， ∵﹣a ＜x 0＜a ，∴x 0=∈（0，a ），∴0＜a 2﹣ac ＜ac 解得：e ＞，综上，椭圆离心率e 的取值范围为（，1）． 故答案为：（，1）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数z和|z|；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，由z+2i为实数，得b+2=0，则b=﹣2．由=为实数，得，则a=4，∴z=4﹣2i，则；（2）由=4+3m+（m2﹣4）i在第四象限，得，解得．16．（14分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，tlogx+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t2的取值范围．【解答】解：（1）∵∀x∈R，tx2+x+t≤0，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p为真命题时，．…（6分）（2）∃x∈[2，16]，tlogx+1≥0⇒∃x∈[2，16]，有解．2又x∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得；当p真q假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．…（14分）17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求k的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求k的值．【解答】解：（1）∵方程为+=1表示椭圆，则，解得 k∈（1，5）∪（5，9）…（6分）（未去5扣2分）（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=，∴c=，∵=，∴，∴k=2；②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=，∴c=，∵=，∴，∴k=8；∴k的值为2或8．（一种情况（4分）共8分）18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O 上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）设点P（x，y），x2+y2=4，，，因为，所以（x﹣a）2+（y﹣2）2=λ2[（x﹣m）2+（y﹣1）2]，化简得2ax+4y﹣a2﹣8=λ2（2mx+2y﹣m2﹣5），因为P为圆O上任意一点，所以，又m＞0，λ＞0，解得，所以常数．…（8分）（2）设M（x0，y），M是线段NE的中点，N（2x﹣2，2y﹣t），又M，N在圆C上，即关于x，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8x+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：x2+y2=1有交点，则，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得．…（16分）19．（16分）（1）找出一个等比数列{an }，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{an}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【解答】解：（1）取一个等比数列{an}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分则h2=2k2，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥x轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（x+4），又左准线l：x=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（x1，y1），D（x2，y2），Q（x，y），由=λ1，得（x1+2，y1+3）=λ1（x﹣x1，y﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：x0+y+2=0，即点Q在定直线x﹣y+2=0上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【解答】解：（1）由=，∴2﹣2a=﹣4⇒a=3．（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为﹣1与4．当λ=﹣1时，∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为；当λ=4时，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1分）∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分）∴该直线的直角坐标方程为：x+y﹣1=0．（3分）（Ⅱ）圆M的普通方程为：x2+（y+2）2=4（4分）圆心M（0，﹣2）到直线x+y﹣1=0的距离．（5分）所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．【解答】解：（1）设P（x0，y），则S（﹣1，y），∴=（x0，y）•（4，﹣y）=4=0，∴．∴曲线C：y2=4x．证明：（2）设Q（x1，y1），则，y2=4x，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），∵PQ过F，∴x0x1=﹣=1，，∴，，∴=，=，∴=（）=（），=（x1+1，y1）=（），假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．。
江苏省南通中学高二数学上学期期末考试试题
江苏省南通中学2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1． 若直线经过(1,0)A 、(0,1)B -两点, 则直线AB 的倾斜角为 ▲ ．答案：45︒2． 已知平面//α平面β，若直线l ⊥平面α，则直线l 与平面β的位置关系为 ▲ ．答案：垂直3． 函数()e x f x x =⋅，则(1)f '= ▲ ．答案：2e4． 圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为 ▲ ．答案：x 2＋(y －2)2＝15． 准线方程为2x =-的抛物线的标准方程是 ▲ ．答案：28y x =6． 棱长为1cm 的正方体的外接球表面积为 ▲ 2cm ．答案:3π7． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为▲ ．答案8． 已知函数()ln f x x x =+，若函数()f x 在点00(,())P x f x 处切线与直线310x y -+=平行，则0x = ▲ ． 答案：129． 如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为 ▲ ． 答案：10x y -+=10．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和圆2222b x y c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（其中c 为椭圆的半焦距）， 有四个不同的交点，则该椭圆离心率的取值范围为 ▲ ．答案：35⎫⎪⎪⎝⎭11．若函数32()1f x x ax =-+在[0,2]上单调递减，则实数a 的取值范围为 ▲ ．答案：[3,)+∞12．若直线10ax by -+=平分圆C ：222410x y x y ++-+=的周长,则ab 的取值范围是 ▲ ．答案：1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦13．定义在(0+)∞，上的单调函数()f x ，对任意(0+)x ∈∞，，2[()log ]3f f x x -=成立，若方程()()2f x f x '-=的解在区间(,1)()k k k +∈Z 内，则k = ▲ ．答案：114．过点(1,3)P 的动直线与抛物线2y x =交于A ，B 两点，在A ，B 两点处的切线分别为1l 、2l ，若1l 和2l 交于点Q ，则圆22(2)4x y +-=上的点与动点Q 距离的最小值为 ▲ ．答案：min 2d =二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()321()33f x x x x a a =-+++∈R ．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若函数()f x 在区间[]4,4-上的最大值为26，求a 的值．解：（1）因为321()33f x x x x a =-+++，所以2()23f x x x '=-++，令()0f x '>，即2230x x -++>，解得13x -<<， 所以函数()f x 的单调减区间为(1,3)-. （2）由函数在区间[]4,4-内的列表可知：函数()f x 在(4,1)--和(3,4)上分别是减函数，在(1,3)-上是增函数. 又因为76(4),(3)93f a f a -=+=+，所以(4)(3)f f ->，所以(4)f -是()f x 在[4,4]-上的最大值， 所以76263a +=，即23a =．16．如图，在三棱锥P ABC -中，90ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABC ，E ，F 分别为PB ，PC 的中点．（1）求证：//EF 平面ABC ； （2）求证：平面AEF ⊥平面PAB ．FE CBAP17．已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ． （1）若点P 的坐标为(0,0)，求APB ∠；（2）若点P 的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C 、D两点，当CD 时，求直线CD 的方程；（3）经过A 、P 、M 三点的圆是否经过异于点M 的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．解：（1）因为点P 坐标为(0,0) ，所以2M P =，又因为1MA MB ==，所以30MPA MPA ∠=∠=︒，故60APB ∠=︒． （2）当直线斜率不存在时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线CD 方程为1(2)y k x -=-因为CD ，所以圆心M 到直线CD，=，解得1k =-或17k =-， 故直线CD 的方程为30x y +-=或790x y +-=． （3）设(2,)P m m ，MP 的中点(,1)2mQ m +， 因为PA 为圆M 的切线，所以经过A 、P 、M 三点的圆是以Q 为圆心，MQ 为半径的圆，故其方程为2222()(1)(1)22m mx m y m -+--=+- 化简得222(22)0x y y m x y +--+-= 由2220220x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以经过A 、P 、M 三点的圆经过异于点M 的定点42,55⎛⎫⎪⎝⎭．18．请你设计一个仓库．它的上部是底面圆半径为5m 的圆锥，下部是底面圆半径为5m 的圆柱，且该仓库的总高度为5m ．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价 分别为4百元/2m ，1百元/2m ，设圆锥母线与底面所成角为θ，且0π 4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，． （1）设该仓库的侧面总造价为y ，写出y 关于θ的函数关系式；（2）问θ为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度． 解：（1）[]15255(1tan )12542cos y θθ⎡⎤=π⨯⨯-⨯+⨯π⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦2sin 501cos +θθ-⎛⎫=π ⎪⎝⎭，0π 4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，； （2）由22sin 1cos 500y θθ-⎛⎫'=π= ⎪⎝⎭得1sin 2θ=，04 θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 所以6θπ=，列表：所以当6θπ=时，侧面总造价ym ． 19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，一条准线方程为x （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆交于P ,Q 两点.①若2m =-，当OPQ ∆面积最大时，求直线l 的方程；②当0k ≠时，若以PQ 为直径的圆经过椭圆的右顶点，求证：直线l 过定点.解：（1）2214x y +=.（第18题）（2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 得222(14)8440k x kmx m +++-=222(8)4(14)(44)0km k m ∆=-+->，整理得22410k m -+>（*）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则122814km x x k +=-+，21224414m x x k -⋅=+（**）①当2m =-时，代入（*）和（**）式得：234k >，1221614k x x k +=+，1221214x x k ⋅=+.所以12PQ x =-=， 又O 到直线l的距离d =，所以12OPQS PQ d ∆=⋅=.令t =，则0t >，则244144OPQ t S t t t∆==≤++ 当且仅当2t =，即k =时等号成立，且227344k ⎛==> ⎝⎭因此OPQ ∆面积最大时，直线l的方程为：2y =-. ②由已知，AP AQ ⊥，且椭圆右顶点为(2,0)A所以12121212(2)(2)(2)(2)()()0x x y y x x kx m kx m --+=--+++=即22222121222448(1)(2)()4(1)(2)401414m kmk x x km x x m k km m k k--++-+++=+⋅+-⋅++=++ 整理得：22516120m km k ++= 解得2m k =-或65km =-，均满足（*）式， 所以当2m k =-时，直线l 的方程为:2l y kx k =-，过定点(2,0)与题意矛盾；当65k m =-时，直线l 的方程为6:5k l y kx =-，过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭，得证. 20. 已知函数ln ()a xf x x+=，曲线()f x 在点(e,(e))f 处的切线与直线2e e y x =+垂直. （1）求a 的值及()f x 的极值；（2）是否存在区间2,(0)3t t t ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，使函数()f x 在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若不等式2()(1)x f x k x >-对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求整数．．k 的最大值. 解：（1）由ln ()a x f x x +=，得21ln ()a xf x x --'=． 因为()f x 在点(e,(e))f 处的切线与直线2e e y x =+垂直， 所以2221lne 1(e)e e e a a f ---'===-，解得1a =， 所以1ln ()(0)x f x x x +=>，令2ln ()0xf x x'=-=，得1x =． 因为当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '< 所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 故()f x 在1x =处取得极大值1，无极小值； （2）因为()f x 在()1,+∞上单调递减，且()0f x >又由（1）知()f x 在(0,1)上单调递增，且22221ln e (e )e 0ef ---+==-<，(1)10f => 所以由零点存在原理得()f x 在区间(0,1)存在唯一零点，函数()f x 的图象如图所示： 因为函数()f x 在区间2,(0)3t t t ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值和零点，所以由20131ln ()0t t t f t t ⎧<<<+⎪⎪⎨+⎪=<⎪⎩，解得113e t <<．所以存在符合条件的区间，实数t 的取值范围为11,3e ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）当(1,)x ∈+∞时，不等式2()(1)x f x k x >-可变形为(1ln )1x x k x +<-设(1ln )()1x x h x x +=-，(1)x >，则2ln 2()(1)x x h x x --'=-设()ln 2x x x ϕ=--，(1)x >，则1()1x xϕ'=- 因为1x >时，1()0x x xϕ-'=>，所以()ln 2x x x ϕ=--在(1,)+∞上单调递增， 又因为(3)1ln30ϕ=-<，(4)2ln 40ϕ=->所以存在唯一的0(3,4)x ∈，使得0()0x ϕ=，即00ln 2x x =-，当()01,x x ∈时，()0x ϕ<，即0()0h x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ>，即0()0h x '>， 所以()h x 在()01,x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故000000min 00000(1ln )(12)(1)()()111x x x x x x h x h x x x x x ++--=====---，因为0min(1ln )1x x k x x +⎡⎤<=⎢⎥-⎣⎦，且0(3,4)x ∈，所以整数k 的最大值为3.。
2015-2016年江苏省南通市启东中学高二上学期期末数学试卷与解析
2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14大题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为．2．（5分）复数=．3．（5分）女子国际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛，若侯逸凡获胜的概率为0.65，人机和棋的概率为0.25，那么侯逸凡不输的概率为．4．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．5．（5分）若双曲线的一条准线方程是y=1，则实数m的值是．6．（5分）现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．7．（5分）双曲线=1上的点P到点（5，0）的距离为8.5，则点P到左准线的距离为．8．（5分）抛物线x2=4y的弦AB过焦点F，且AB的长为6，则AB的中点M的纵坐标为．9．（5分）复数z满足|z﹣2+i|=1，则|z+1﹣2i|的最小值为．10．（5分）当a为任意实数时，直线（2a+3）x+y﹣4a+2=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是．11．（5分）甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．12．（5分）已知椭圆E的左右焦点分别为F1，F2，过F1作斜率为2的直线交椭圆E于P点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为．13．（5分）若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17，（n）=f（f k（n）），则f（14）=17；记f1（n）=f（n），f2（n）=f（f1（n）），…，f k+1k∈N*，则f2016（8）=．14．（5分）设点A1，A2分别为椭圆C：的左右顶点，若在椭圆C上存在异于点A1，A2的点P，使得PO⊥PA2，其中O为坐标原点，则椭圆C的离心率的取值范围是．二、简答题：（本大题共6小题，共90分）15．（14分）一个袋中有红、白两种球各若干个，现从中一次性摸出两个球，假设摸出的两个球至少有一个红球的概率为，至少一个白球的概率为，求摸出的两个球恰好红球白球各一个的概率．16．（14分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的必要不充分要条件，求实数a的取值范围．17．（15分）从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？18．（15分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．19．（16分）已知关于x的绝对值方程|x2+ax+b|=2，其中a，b∈R．（1）当a，b满足什么条件时，方程的解集M中恰有3个元素？（2）在条件（1）下，试求以方程解集M中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件．20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）上的一动点P到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．附加题21．已知P是椭圆上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，，求动点Q的轨迹方程．22．已知（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含的项．23．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D，E分别在棱PB，PC的中点，求AD与平面PAC所成的角的正弦值的大小．24．是否存在常数a，b，c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14大题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为∃x∈R，sinx＞1．【分析】根据命题p：∀x∈R，sinx≤1是全称命题，其否定为特称命题，将“任意的”改为“存在”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题p：∀x∈R，sinx≤1是全称命题∴¬p：∃x∈R，sinx＞1故答案为：∃x∈R，sinx＞1．2．（5分）复数=﹣i．【分析】根据复数的运算性质计算即可．【解答】解：===﹣i，故答案为：﹣i．3．（5分）女子国际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛，若侯逸凡获胜的概率为0.65，人机和棋的概率为0.25，那么侯逸凡不输的概率为0.9．【分析】侯逸凡不输包含侯逸凡获胜与人机和棋两种情况，由此利用互斥事件加法定理能求出结果．【解答】解：∵侯逸凡获胜的概率为0.65，人机和棋的概率为0.25，∴侯逸凡不输的概率p=0.65+0.25=0.9．故答案为：0.9．4．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为﹣1≤a≤3．【分析】先求出命题的否定，再用恒成立来求解【解答】解：命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”即：△=（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3故答案是﹣1≤a≤35．（5分）若双曲线的一条准线方程是y=1，则实数m的值是﹣3．【分析】由题意可得双曲线﹣=1，求得a，b，c，可得准线方程，解m 的方程即可得到m=﹣3．【解答】解：由题意可得双曲线（m＜0），即为﹣=1，可得a=，b=，c=，即有双曲线的准线方程为y=±，由题意可得=1，解得m=﹣3．故答案为：﹣3．6．（5分）现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．【分析】首先平面正方形的知识可知一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，结合空间正方体的结构特征，即可类比推理出两个两个正方体重叠部分的体积．【解答】解：∵同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为，故答案为．7．（5分）双曲线=1上的点P到点（5，0）的距离为8.5，则点P到左准线的距离为．【分析】求得双曲线的a，b，c，以及离心率e，由双曲线的性质可得P为右支上一点，运用双曲线的第二定义，可得P到右准线的距离，由准线方程即可得到所求距离．【解答】解：双曲线=1的a=4，b=3，可得c==5，离心率e==，点P到点（5，0）的距离为8.5，即为P到右焦点F的距离为8.5，若P在左支上，即有|PF|≥c+a=9，可得P为右支上一点，即有e=（d为P到由准线的距离），可得d===，由两准线的距离为=，可得点P到左准线的距离为+=．8．（5分）抛物线x2=4y的弦AB过焦点F，且AB的长为6，则AB的中点M的纵坐标为2．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的长为6，|AB|=y1+y2+p，知y1+y2=4，可得A、B中点的纵坐标．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵AB的长为6，∴|AB|=y1+y2+2=6∴y1+y2=4，∴A、B中点的纵坐标为2．故答案为：2．9．（5分）复数z满足|z﹣2+i|=1，则|z+1﹣2i|的最小值为3﹣1．【分析】由题意知复数z对应的点到（2，﹣1）点的距离为2，然后求解与到（﹣1，2）的距离的最小值．【解答】解：∵复数z满足|z﹣2+i|=1，∴复数z到（2，﹣1）点的距离为1，∴|z+1﹣2i|的几何意义是复数对应点，与（﹣1，2）的距离，所求的最小值为：﹣1=3﹣1，故答案为：．10．（5分）当a为任意实数时，直线（2a+3）x+y﹣4a+2=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是y2=32x或x2=﹣y．【分析】将直线方程转化为（2x﹣4）a+3x+y+2=0求出定点坐标，然后分别设焦点在x轴和在y轴两种情况的抛物线的方程，将定点代入即可得到答案．【解答】解：将直线方程化为（2x﹣4）a+3x+y+2=0，可得定点P（2，﹣8），①设抛物线y2=ax代入点P可求得a=32，故y2=32x；②设抛物线x2=by代入点P可求得b=﹣，故x2=﹣y．综上所述，过点P的抛物线的标准方程是y2=32x或x2=﹣y．故答案为：y2=32x或x2=﹣y．11．（5分）甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．【分析】建立甲先到，乙先到满足的条件，画出0≤x≤24且0≤y≤24可行域面积，求出满足条件的可行域面积，由概率公式求解即可．【解答】解：甲船停泊的时间是1h，乙船停泊的时间是2h，设甲到达的时刻为x，乙到达的时刻为y，则（x，y）全部情况所对应的平面区域为；若不需等待则x，y满足的关系为，如图所示；它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为P==．故答案为：．12．（5分）已知椭圆E的左右焦点分别为F1，F2，过F1作斜率为2的直线交椭圆E于P点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为或．．【分析】①当PF2⊥x轴时，可得P，由于直线的斜率为2，可得=2，即可得出．②当PF1⊥PF2时，设|PF1|=m，|PF2|=n，则即可得出．【解答】解：分类讨论：①当PF2⊥x轴时，可得P，∵直线的斜率为2，∴=2，化为b2=4ac=a2﹣c2，∴e2+4e﹣1=0，1＞e＞0，解得．②当PF1⊥PF2时，设|PF1|=m，|PF2|=n，则化为9c2=5a2，解得．综上可知：椭圆的离心率为或．故答案为：或．13．（5分）若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17，（n）=f（f k（n）），则f（14）=17；记f1（n）=f（n），f2（n）=f（f1（n）），…，f k+1k∈N*，则f2016（8）=8．【分析】通过计算f1（8）、f2（8）和f3（8），得到f n（8）=f n（8）对任意n∈+3N*成立，由此可得f2016（8）=f3（8）=8，得到本题答案．【解答】解：根据题意，可得f1（8）=f（8）=64+1=656+5=11，f2（8）=f[f1（8）]=f（11）=121+1=122=1+2+2=5，f3（8）=f[f2（8）]=f（5）=25+1=26=8，f4（8）=f[f3（8）]=f（8）=11，…（8）=f n（8）对任意n∈N*成立，因此，可得f n+3∴f2016（8）=f3（8）=8．故答案为：8．14．（5分）设点A1，A2分别为椭圆C：的左右顶点，若在椭圆C上存在异于点A1，A2的点P，使得PO⊥PA2，其中O为坐标原点，则椭圆C的离心率的取值范围是（，1）．【分析】由PO⊥PA2，可得y2=ax﹣x2＞0，故0＜x＜a，代入椭圆C：，整理得（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，结合图形，求出椭圆的离心率e的范围．【解答】解：∵A1（﹣a，0），A2（a，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（a﹣x，﹣y），∵PO⊥PA2，∴=（a﹣x）（﹣x）+（﹣y）（﹣y）=0，y2=ax﹣x2＞0，∴0＜x＜a．代入+=1，整理得（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，∵f（0）=﹣a2b2＜0，f（a）=0，如图：△=（a3）2﹣4×（b2﹣a2）×（﹣a2b2）=a2（a4﹣4a2b2+4b4）=a2（a2﹣2c2）2≥0，∴对称轴满足0＜﹣＜a，即0＜＜a，∴＜1，＞，又0＜＜1，∴＜＜1．故答案为：．二、简答题：（本大题共6小题，共90分）15．（14分）一个袋中有红、白两种球各若干个，现从中一次性摸出两个球，假设摸出的两个球至少有一个红球的概率为，至少一个白球的概率为，求摸出的两个球恰好红球白球各一个的概率．【分析】设摸到的两个球均为红色的事件为A，一红一白的事件为B，均为白球的事件为C．A、B、C为互斥事件，由此列出方程组能求出两个球恰好红球白球各一个的概率．【解答】15．解：设摸到的两个球均为红色的事件为A，一红一白的事件为B，均为白球的事件为C．A、B、C为互斥事件，依题意：，，P（B）=．∴两个球恰好红球白球各一个的概率为．16．（14分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的必要不充分要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）分别求出关于p，q的x的范围，根据且p∨q为真，即可求出x 的范围，（2）根据¬p是¬q的必要不充分要条件，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）化简p：x∈（a，3a），（1分）化简q：x∈[﹣2，9]∩（（﹣∞﹣4）∪（2，+∞））=（2，9]…（3分），∵a=1，∴p：x∈（1，3）依题意有p∨q为真，∴x∈（1，3）∪（2，9]…（5分）（2）若¬p是¬q的必要不充分要条件，则¬q⇒¬p且逆命题不成立，即p⊂q．（7分）∴（a，3a）⊂（2，9]，即2≤a＜3a≤9…（9分）∴a∈[2，3]…（10分）17．（15分）从含有两件正品a 1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？【分析】（1）列出基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．（2）列出基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．【解答】解：（1）每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为：Ω={（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．Ω由6个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A={（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}．事件A由4个基本事件组成，所以P（A）==．（2）有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间为：Ω={（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1）}，由9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B={（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}．事件B由4个基本事件组成，所以P（A）=．18．（15分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先设椭圆的标准方程，将点M代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由a2=b2+c2可得到a，b，c的值，进而得到椭圆的方程．（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k1（x﹣2）+1，然后与椭圆方程联立消去y得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应△大于0得到k的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再由，可确定k1的值，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），∵e==，且经过点M，∴，解得c2=1，a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意直线l存在斜率，设直线l的方程为y=k1（x﹣2）+1，由，得（3+4k12）x2﹣8k1（2k1﹣1）x+16k12﹣16k1﹣8=0．因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），所以△=[﹣8k1（2k1﹣1）]2﹣4•（3+4k12）•（16k12﹣16k1﹣8）＞0．整理得32（6k1+3）＞0．解得k1＞﹣，又，因为，即，所以=．即．所以，解得．因为A，B为不同的两点，所以．于是存在直线l1满足条件，其方程为．…（12分）19．（16分）已知关于x的绝对值方程|x2+ax+b|=2，其中a，b∈R．（1）当a，b满足什么条件时，方程的解集M中恰有3个元素？（2）在条件（1）下，试求以方程解集M中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件．【分析】（1）根据绝对值的性质结合一元二次函数的性质进行求解即可．（2）根据直角三角形的性质结合充分条件和必要条件的定义进行求解判断即可．【解答】解（1）原方程等价于x2+ax+b=2，①或x2+ax+b=﹣2，②由于△1=a2﹣4b+8＞a2﹣4b﹣8=△2，∴△2=0时，原方程的解集M中恰有3个元素，即a2﹣4b=8；（2）必要性：由（1）知方程②的根x=﹣，方程①的根x1=﹣﹣2，x2=﹣+2，如果它们恰为直角三角形的三边，即（﹣）2+（﹣﹣2）2=（﹣+2）2，解得a=﹣16，b=62．充分性：如果a=﹣16，b=62，可得解集M为{6，8，10}，以6，8，10为边长的三角形恰为直角三角形．∴a=﹣16，b=62为所求的充要条件．20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）上的一动点P到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．【分析】（1）利用椭圆的定义和性质即可解出a、b、c；（2）利用点斜式方程得出直线PB的方程，与椭圆的方程联立，利用根与系数之间的关系得出点P、B的坐标之间的关系，再利用点斜式表示直线AE的方程，进而即可证明过定点；（3）分类讨论直线MN是否与x轴垂直，与椭圆方程联立得出点MN的坐标之间的关系，再表示出，进而即可求出其取值范围．【解答】解：（1）由题意可得解得，∴椭圆C的方程为；（2）如图所示：设直线PB的方程为y=k（x﹣4），B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1）．联立，消去y化为方程（1+2k2）x2﹣16k2x+32k2﹣4=0，∵直线PB与椭圆有两个不同的交点，∴△=（16k2）2﹣4（1+2k2）（32k2﹣4）＞0．（*）x1+x2=，．直线AE的方程为，令y=0，则====．故直线AE过定点Q（1，0）．（3）①当直线MN与x轴重合时，=（2，0）•（﹣2，0）=﹣4；②当直线MN与x轴不重合时，设直线MN的方程为my=x﹣1，联立消去x化为方程（2+m2）y2+2my﹣3=0，可知△＞0．可得y M+y N=，y M y N=．∴=x M x N+y M y N=（my M+1）（my N+1）+y M y N=（1+m2）y M y N+m（y M+y N）+1==﹣4+，∵m2≥0，∴，∴，∴的取值范围是．综上可知：的取值范围是．附加题21．已知P是椭圆上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，，求动点Q的轨迹方程．【分析】设Q（x，y），推导出=﹣=﹣（x，y）=（﹣，﹣），由此能求出动点Q的轨迹方程．【解答】解：由，又==2=﹣2，设Q（x，y），则=﹣=﹣（x，y）=（﹣，﹣），即P点坐标为（﹣，﹣），又P在椭圆上，则．即．∴动点Q的轨迹方程为．22．已知（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含的项．【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出第五项的系数与第三项的系数，根据已知条件列出方程，求出n的值，将n的值代入二项式，给二项式中的x赋值1，求出展开式中各项系数的和．（2）令二项展开式的通项中的x的指数为，求出r的值，将r的值代入通项求出展开式中含的项．【解答】解：由题意知，展开式的通项为则第五项系数为C n4•（﹣2）4，第三项的系数为C n2•（﹣2）2则有，化简，得n2﹣5n﹣24=0解得n=8或n=﹣3（舍去）（1）令x=1，得各项系数的和为（1﹣2）8=1（2）令，则r=1故展开式中含的项为23．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D，E分别在棱PB，PC的中点，求AD与平面PAC所成的角的正弦值的大小．【分析】以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出AD与平面PAC所成的角的正弦值．【解答】解：如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设PA=a，由已知可得，，，=（，0，0），∵，∴，∴BC⊥AP．又∵∠BCA=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC．∴平面PAC的一个法向量，设AD与平面PAC所成的角为α，∴∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是．24．是否存在常数a，b，c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．【分析】先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），再递推到n=k+1时，成立即可．【解答】证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）中，令n=1，得4=（a+b+c）①令n=2，得22=（4a+2b+c）②令n=3，得70=9a+3b+c③由①②③解得a=3，b=11，c=10，于是，对于n=1，2，3都有1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），那么当n=k+1时，1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2=（3k2+5k+12k+24）=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
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2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．若直线经过A（1，0）、B（0，﹣1）两点，则直线AB的倾斜角为．2．如果平面α∥平面β 且直线l⊥α，那么直线l与平面β 的位置关系是．3．函数f（x）=x•e x，则f′（1）=．4．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为．5．已知抛物线的准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程为．6．棱长为1的正方体的外接球的表面积为．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则双曲线C的离心率为．8．已知函数f（x）=lnx+x，若函数f（x）在点P（x0，f（x0））处切线与直线3x ﹣y+1=0平行，则x0=．9．如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为．10．椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是．11．已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间[0，2]内单调递减，则实数a的取值范围是．12．若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是．13．定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意x∈（0，+∞），f[f（x）﹣log2x]=3成立，若方程f（x）﹣f'（x）=2的解在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=．14．过点P（1，3）的动直线与抛物线y=x2交于A，B两点，在A，B两点处的切线分别为l1、l2，若l1和l2交于点Q，则圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=﹣x3+x2+3x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在区间[﹣4，4]上的最大值为26，求a的值．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．17．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（1）若点P的坐标为（0，0），求∠APB；（2）若点P的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C、D两点，当时，求直线CD的方程；（3）经过A、P、M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．18．请你设计一个仓库．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m2，1百元/m2，设圆锥母线与底面所成角为θ，且．（1）设该仓库的侧面总造价为y，写出y关于θ的函数关系式；（2）问θ为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度．19．已知椭圆的离心率为，一条准线方程为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆交于P，Q两点．①若m=﹣2，当△OPQ面积最大时，求直线l的方程；②当k≠0时，若以PQ为直径的圆经过椭圆的右顶点，求证：直线l过定点．20．已知函数，曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线y=e2x+e 垂直．（1）求a的值及f（x）的极值；（2）是否存在区间，使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若不等式x2f（x）＞k（x﹣1）对任意x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．若直线经过A（1，0）、B（0，﹣1）两点，则直线AB的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】根据斜率公式直线AB的斜率k，再由倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围求出倾斜角的大小．【解答】解：∵直线经过A（1，0）、B（0，﹣1）两点，故直线AB的斜率k=1，设倾斜角为α，则0≤α＜π，且tanα=1，∴α=，故答案为：．2．如果平面α∥平面β 且直线l⊥α，那么直线l与平面β 的位置关系是l⊥β．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由已知中平面α∥平面β 且直线l⊥α，根据面面平行的几何特征及线面垂直的判定方法，易得到直线l⊥平面β，得到答案．【解答】解：∵平面α∥平面β又∵直线l⊥平面α故直线l⊥平面β故答案为：l⊥β3．函数f（x）=x•e x，则f′（1）=2e．【考点】导数的运算．【分析】根据（uv）′=u′v+uv′和（e x）′=e x，求出函数的导函数，把x等于1代入到导函数中即可求出f′（1）的值．【解答】解：f′（x）=（x•e x）′=e x+xe x，∴f′（1）=e+e=2e．故答案为：2e．4．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．【考点】圆的标准方程．【分析】由圆心在y轴上，设出圆心的坐标（0，b），又圆的半径为1，写出圆的标准方程，由所求圆过（1，2），把（1，2）代入圆的方程即可确定出b的值，从而得到圆的方程．【解答】解：由圆心在y轴上，设出圆心坐标为（0，b），又半径为1，∴所求圆的方程为x2+（y﹣b）2=1，由所求圆过（1，2），代入圆的方程得：1+（2﹣b）2=1，解得：b=2，则所求圆的方程为：x2+（y﹣2）2=1．故答案为：x2+（y﹣2）2=15．已知抛物线的准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程为y2=8x．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），根据题意建立关于p的方程，解之可得p=4，得到抛物线方程．【解答】解：由题意，设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），准线方程是x=﹣，∵抛物线的准线方程为x=﹣2，∴=2，解得p=4，故所求抛物线的标准方程为y2=8x．故答案为：y2=8x．6．棱长为1的正方体的外接球的表面积为3π．【考点】球内接多面体．【分析】本题考查一个常识，即：由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小，因此可得到外接球的直径，进而求得R，再代入球的表面积公式可得球的表面积．【解答】解：设正方体的棱长为a，正方体外接球的半径为R，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：2R=，即R===；2=3π．所以外接球的表面积为：S球=4πR故答案为：3π7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则双曲线C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线的标准方程求得渐近线方程，根据其中一条的方程求得a 和b的关系，进而求得a和c的关系，则离心率可得．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±，一条渐近线的方程为y=2x，∴=2，设a=t，b=2t则c==t∴离心率e==故答案为：8．已知函数f（x）=lnx+x，若函数f（x）在点P（x0，f（x0））处切线与直线3x﹣y+1=0平行，则x0=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出导函数，利用切线斜率，然后即可．【解答】解：函数f（x）=lnx+x，可得函数f′（x）=+1，函数f（x）在点P（x0，f（x0））处切线与直线3x﹣y+1=0平行，可得：，解得x0=．故答案为：．9．如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为x﹣y+1=0．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】利用垂直平分线的性质即可得出．【解答】解：∵k AB==﹣1，线段AB的中点为，两点A （a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，∴k L=1，其准线方程为：y﹣=x﹣，化为：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．10．椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是．【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．【分析】由圆的方程求得圆的半径，要使椭圆与圆有四个不同交点，则圆的半径大于椭圆短半轴小于椭圆长半轴长，由此得到不等式求得椭圆离心率的范围．【解答】解：由圆x2+y2=（+c）2是以原点为圆心，以为半径的圆，∴要使椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2有四个不同交点，则，由，得b＜2c，即a2﹣c2＜4c2，即；联立，解得或e＞1（舍）．∴椭圆离心率的取值范围是．故答案为：．11．已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间[0，2]内单调递减，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由函数f（x）=x3﹣ax2+1在[0，2]内单调递减转化成f'（x）≤0在[0，2]内恒成立，利用参数分离法即可求出a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax2+1在[0，2]内单调递减，∴f'（x）=3x2﹣2ax≤0在[0，2]内恒成立．即a≥x在[0，2]内恒成立．∵t=x在[0，2]上的最大值为×2=3，∴故答案为：a≥3．12．若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是．【考点】基本不等式；直线和圆的方程的应用．【分析】依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有a+2b=1，再利用ab=（1﹣2b）b=﹣2（b﹣）2+，求得ab的取值范围．【解答】解：∵直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，∴直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），∴有a+2b=1，∴ab=（1﹣2b）b=﹣2（b﹣）2+≤，∴ab的取值范围是．故答案为：．13．定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意x∈（0，+∞），f[f（x）﹣log2x]=3成立，若方程f（x）﹣f'（x）=2的解在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=1．【考点】函数零点的判定定理；函数与方程的综合运用．【分析】设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，可得log2x+2﹣=2，即log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，分析易得h（1）=＜0，h（2）=1﹣＞0，则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，故答案为：1．14．过点P（1，3）的动直线与抛物线y=x2交于A，B两点，在A，B两点处的切线分别为l1、l2，若l1和l2交于点Q，则圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为﹣2．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设动直线的方程为：y﹣3=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）．直线方程与抛物线方程联立化为：x2﹣kx+k﹣3=0．对y=x2求导，y′=2x，可得切线l1、l2的方程分别为：y﹣y1=2x1（x﹣x1），y﹣y2=2x2（x﹣x2）．化为：y=2x1x﹣，y=2x2x﹣，再利用根与系数的关系可得：Q，其轨迹方程为：y=2x ﹣3．圆x2+（y﹣2）2=4的圆心C（0，2）．求出圆心C到直线的距离d．即可得出圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为d﹣r．【解答】解：设动直线的方程为：y﹣3=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）．联立，化为：x2﹣kx+k﹣3=0，∴x1+x2=k，x1x2=k﹣3．对y=x2求导，y′=2x，切线l1、l2的方程分别为：y﹣y1=2x1（x﹣x1），y﹣y2=2x2（x﹣x2）．化为：y=2x1x﹣，y=2x2x﹣，相减可得：x==，相加可得：y=（x1+x2）x﹣ [﹣2x1x2]=﹣=k﹣3．解得Q，其轨迹方程为：y=2x﹣3．圆x2+（y﹣2）2=4的圆心C（0，2）．圆心C到直线的距离d==＞2=r．∴圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为﹣2．故答案为：﹣2．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f （x ）=﹣x 3+x 2+3x +a （a ∈R ）． （1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）若函数f （x ）在区间[﹣4，4]上的最大值为26，求a 的值． 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出导数，令导数大于0，解不等式即可得到所求增区间； （2）求得f （x ）在区间[﹣4，4]内的单调区间，求得极值，以及端点处的函数值，可得最大值，解方程可得a 的值． 【解答】解：（1），则f′（x ）=﹣x 2+2x +3，令f′（x ）＞0，即﹣x 2+2x +3＞0，解得﹣1＜x ＜3， 所以函数f （x ）的单调减区间为（﹣1，3）． （2）由函数在区间[﹣4，4]内的列表可知：函数f （x ）在（﹣4，﹣1）和（3，4）上分别是减函数，在（﹣1，3）上是增函数． 又因为，所以f （﹣4）＞f （3），所以f （﹣4）是f （x ）在[﹣4，4]上的最大值， 所以，即．16．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，∠ABC=90°，PA ⊥平面ABC ，E ，F 分别为PB ，PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ； （2）求证：平面AEF ⊥平面PAB ．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据三角形中位线定理可得EF∥BC，进而根据线面平行的判定定理可得EF∥平面ABC；（2）根据PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，结合∠ABC=90°，及线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB，进而由线面垂直的第二判定定理可得EF平面PAB，最后由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）∵E，F分别为PB，PC的中点．∴EF∥BC，又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC；（2）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，又∵PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，由（1）中EF∥BC，∴EF⊥平面PAB，又∵EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAB．17．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（1）若点P的坐标为（0，0），求∠APB；（2）若点P的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C、D两点，当时，求直线CD的方程；（3）经过A、P、M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）求出MP=2，推出∠MPA=∠MPA=30°，即可求出∠APB．（2）当直线斜率不存在时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线CD方程为y﹣1=k（x﹣2），利用圆心M到直线CD的距离为，求出k没然后求解直线方程．（3）设P（2m，m），MP的中点，求出经过A、P、M三点的圆是以Q为圆心，MQ为半径的圆，的方程，然后求解，交点坐标，推出经过A、P、M三点的圆经过异于点M的定点．【解答】解：（1）因为点P坐标为（0，0），所以MP=2，又因为MA=MB=1，所以∠MPA=∠MPA=30°，故∠APB=60°．（2）当直线斜率不存在时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线CD方程为y﹣1=k（x﹣2）因为，所以圆心M到直线CD的距离为，由，解得k=﹣1或，故直线CD的方程为：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA为圆M的切线，所以经过A、P、M三点的圆是以Q为圆心，MQ为半径的圆，故其方程为化简得x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，由，解得或，所以经过A、P、M三点的圆经过异于点M的定点．18．请你设计一个仓库．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m2，1百元/m2，设圆锥母线与底面所成角为θ，且．（1）设该仓库的侧面总造价为y，写出y关于θ的函数关系式；（2）问θ为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据题意圆锥侧面S1=rl=×，圆柱侧面S2=2π×5×（5﹣5tanθ），侧面总造价为y=4S1+S2．（2）利用导函数求解y的单调性，利用单调性求最小值．即可求出此时圆锥的高度．【解答】解：（1）由题意=，；（2）由（1）可得y=，；那么：令解得：，∵，∴，列表：所以当时，侧面总造价y最小，此时圆锥的高度为m．19．已知椭圆的离心率为，一条准线方程为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆交于P，Q两点．①若m=﹣2，当△OPQ面积最大时，求直线l的方程；②当k≠0时，若以PQ为直径的圆经过椭圆的右顶点，求证：直线l过定点．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由e==，准线方程x==，求得a和c，b2=a2﹣c2，求得椭圆方程；（2）①将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式，采用换元法，利用基本不等式式的性质，求得△OPQ面积最大的最大值时，求得对应的k值，求得直线l的方程；②AP⊥AQ，利用向量数量积的坐标运算求得5m2+16km+12k2=0，求得m和k的关系，代入即可求证直线l过定点．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e==，准线方程x==，解得：a=2，c=，b2=a2﹣c2=1，椭圆C的标准方程；（2）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0（*）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，（**）①当m=﹣2时，代入（*）和（**）式得：，，．∴，又O到直线l的距离，∴．令，则t＞0，则当且仅当t=2，即时等号成立，且因此△OPQ面积最大时，直线l的方程为：y=±x﹣2，②证明：由已知，AP⊥AQ，且椭圆右顶点为A（2，0），∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m）（kx2+m）=0，即（1+k2）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4=（1+k2）+（km﹣2）•+m2+4=0，整理得：5m2+16km+12k2=0，解得：m=﹣2k或m=﹣，均满足（*）式，∴当m=﹣2k时，直线l的方程为：y=kx﹣2k=k（x﹣2），过定点（2，0）与题意矛盾；当m=﹣时，直线l的方程为y=k﹣=k（x﹣），过定点，得证．20．已知函数，曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线y=e2x+e 垂直．（1）求a的值及f（x）的极值；（2）是否存在区间，使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若不等式x2f（x）＞k（x﹣1）对任意x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（e），f′（e）的值，求出a的值，从而求出f（x）的解析式，求出函数的单调区间，得到函数的极值即可；（2）画出函数f（x）的图象，结合图象求出t的范围即可；（3）问题可化为，令，（x＞1），根据函数的单调性求出k的最大值即可．【解答】解：（1）由，得．因为f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线y=e2x+e垂直，所以，解得a=1，所以，令，得x=1．因为当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值；（2）因为f（x）在（1，+∞）上单调递减，且f（x）＞0又由（1）知f（x）在（0，1）上单调递增，且，f （1）=1＞0所以由零点存在原理得f（x）在区间（0，1）存在唯一零点，函数f（x）的图象如图所示：因为函数f（x）在区间上存在极值和零点，所以由，解得．所以存在符合条件的区间，实数t的取值范围为；（3）当x∈（1，+∞）时，不等式x2f（x）＞k（x﹣1）可变形为设，（x＞1），则设φ（x）=x﹣lnx﹣2，（x＞1），则因为x＞1时，，所以φ（x）=x﹣lnx﹣2在（1，+∞）上单调递增，又因为φ（3）=1﹣ln3＜0，φ（4）=2﹣ln4＞0所以存在唯一的x0∈（3，4），使得φ（x0）=0，即lnx0=x0﹣2，当x∈（1，x0）时，φ（x）＜0，即h'（x0）＜0，当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＞0，即h'（x0）＞0，所以h（x）在（1，x0）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故，因为，且x0∈（3，4），所以整数k的最大值为3．2017年2月24日。