5-3 变系数方程

２.有限体积法（积分差分方法）
Dij [ x
1 i 2
,x
1 i 2
] [ y
1 j 2
,y
1 j 2
]
u (a( x, y ) )dxdy x x Dij
y
u u [a( x 1 , y ) ( x 1 , y ) a( x 1 , y ) ( x 1 , y )]dy i i x i 2 x i 2 2 2 y 1
第五节 双调和方程
2 4u 4u 4u u x 4 2 x 2 y 2 y 4 0, u = f ( x, y ), u g ( x, y ), n ( x, y ) ( x, y ) ( x, y )
2 2 2 ( p q ) ( p, q 1,2,...) 是与特征值 pq
相对应的特征函数. 采用五点差分格式离散:
ui 1, j ui 1，j ui , j 1 ui , j 1 ( h2 4)ui , j 0, ( xi , y j ) Dh, ( xi , y j ) Dh, ui , j 0,
假定D为单位正方形 D {( x, y) | 0 x 1,0 y 1}.
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1 网格为正方形网格, h k . N
u u, u = 0,
( x, y) D ( x, y) D
容易验证,函数 u pq sin p x sin q y,( p, q 1, 2,...)
3 3
实验作业:
解析解: u( x, y) x y
要求：采用五点格式计算，并验证五点格式的收敛速度
具体形式为
20uij 8( ui 1, j ui 1，j ui , j 1 ui , j 1 ) +2(ui 1, j 1 ui 1, j 1 ui 1, j 1 ui 1, j 1 ) ui 2, j ui 2，j ui , j 2 ui , j 2 0
j 2
j
1 2
对上面定积分利用中点矩形公式有 u u (a ( x, y ) )dxdy [a( x 1 , y j ) ( x 1 , y j ) i x x x i 2 2 Dij
u a( x 1 , y j ) ( x 1 , y j )]k i i x 2 2
其中D {( x, y ) | 0 x 1, 0 y 1}.
1 4 2 2 2 1 4 差分格式为 4 x uij 4 x y uij 4 y uij 0, h h h
4 2 2 4 2 2 其中 x x ( x ), y y ( y )。
ui 1, j ui 1，j ui , j 1 ui , j 1 ( h2 4)ui , j 0, ( xi , y j ) Dh, ( xi , y j ) Dh, ui , j 0,
差分格式可以分离变量且有解， p i q j u sin sin ， N N 4 2 p 2 q = 2 (sin sin ), p, q 1, 2, ..., N 1. h 2N 2N
第四节 变系数方程
考虑变系数椭圆方程：
u u (a( x, y) ) (b( x, y) ) c( x, y)u f ( x, y) x x y y 其中（ a x，y）>0，（ b x，y）>0，（ c x，y）>0，
１：直接差分方法
1 1 x (aij x uij ) 2 y (bij y uij ) cij uij f ij 2 h k
ij ij ij Dij Dij
于是有 1 [a 1 （ui 1，j ui 1，j） a 1 （ui，j ui 1，j） ] 2 i ，j h i 2 ，j 2 1 2 [b （ b （ ] cij uij f ij 1 ui，j 1 ui，j） 1 ui，j ui，j 1） i，j k i，j 2 2
u u (b( x , y ) )dxdy [b( xi , y 1 ) ( xi , y 1 ) j j y y y Dij 2 2 u b( xi , y 1 ) ( xi , y 1 )]h j j y 2 2
c( x, y )udxdy c u hk , f ( x, y )dxdy f hk
13点差分格式.
在某些内点处要用到网格节点之外的点,此时要与边 条件的处理相结合,消去网格外的节点.
第六节 特征值问题
Laplace 算子的特征值问题为求 u u , u = 0, ( x, y ) D ( x, y ) D
的非零解（特征函数）及参数 u (特征值)。
(p,q) i, j
计算结果见P141 表5.1
书面作业:
P142. 2, 3(二元函数的泰勒展开).
2u 2u 2 2 6( x y ),0 x 1,0 y 1 y x 3 3 u ( x , 0 ) x , u ( x , 1 ) 1 x ,0 x 1 u (0, y ) y 3 , u (1, y ) 1 y 3 ,0 y 1