实变函数习题答案北大版周民强

合集下载

实变函数课后习题答案_北大版_周民强

1 [a, b]. 若令 En = {x ∈ [a, b] : fn (x) ≥ 2 }, 试求集合 lim En .
证: lim En = [a, b]\E.
n→∞ n→∞
n→∞
∀ x ∈ [a, b] \ E, ∵ lim fn (x) = 1, ∴ ∃N, ∀ n ≥ N, fn (x) ≥
n→∞ 1 , i.e. 2 n→∞ n→∞
∞
{x ∈ [0, 1] : |f (x)| >
n=1
1 } n
=
∞
+ − 1 < |f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xp )| ≤ M, p < nM , 所以 E1 则 p· n /n 只含有限个数, 同理 E1/n 也只含有限个数, 由此可得 E 可数.
n=1
+ (E1 /n
S (C, r3 )), S (P, r) 表示以 P 为圆心 r 为半径的球面 }, E 可数.
10. 设 E 是平面 R2 中的可数集, 试证明存在互不相交的集合 A 与 B , 使得 E = A ∩ B, 且任一平行于 x 轴的直线交 A 至多是有限个点, 任一平行于 y 轴的直线交 B 至多是有限个点. 2
证: ∵ E 可数, ∴ E 中点的横坐标, 纵坐标集合也可数, 分别记为 X = {x1 , x2 , · · · , xn , · · · }, Y = {y1 , y2 , · · · , yn , · · · }, 如此就可记 E = {(xi , yj ) ∈ E : i, j ∈ N}, 作从 E 到 N2 的映射 f : f ((xi , yj )) = (i, j ); 记 A1 = {(i, j ) : i ≤ j }, B1 = {(i, j ) : i > j }, 令 A = f −1 (A1 ), B = f −1 (B1 ) 即可. 11. 设 {fα (x)}α∈I 是定义在 [a, b] 上的实值函数族. 若存在 M > 0, 使得 |fα (x)| ≤ M, x ∈ [a, b], α ∈ I, 试证明对 [a, b] 中任一可数集 E , 总有函数列 {fαn (x)}, 存在极限 lim {fαn (x)}, x ∈ E.

实变函数课后习题答案

第一章习题1.证明：(1) (A -B )-C =A -(B ∪C ); （2）(A ∪B )-C =(A -C )∪(B -C ). 证明：(1) 左=(A ∩B c )∩C c =A ∩(B c ∩C c )= A ∩(B ∪C )c =右；（2）左=(A ∪B )∩C c =(A ∩C c )∪(B ∩C c )=右. 2.证明： (1)();(2)().IIIIA B A B A B A B αααααααα∈∈∈∈-=--=-(1)ccI IA B A B αααα∈∈⎛⎫=== ⎪⎝⎭证明：左（）右；(2)()c cI I A B A B αααα∈∈⎛⎫=== ⎪⎝⎭左右.111111.{},,1.{}1.n n n n n nnA B A B A A n B B A n νννννν-===⎛⎫==- ⎪⎝⎭>=≤≤∞ 3 设是一列集合，作证明：是一列互不相交的集合，而且，证明：用数学归纳法。

当n=2时，B 1=A 1,B 2=A 2-A 1, 显然121212B B B B B B n k =∅== 且，假设当时命题成立，1211,,,kkk B B B B A νννν===两两互不相交，而且，111111111kk k kkkk k n k B A A B A BA B νννννννν++=++====+=-==-⇒下证，当时命题成立，因为而，所以11211+1111111111111,,,;k k k k k k k k k kk k k k k B B B B B B B B B B A A A A A A A νννννννννννννννν++=++===+++====⎛⎫=∅ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，于是，两两互不相交;由数学归纳法命题得证。

{}21214.0,,(0,),1,2,,n n n A A n n A n-⎛⎫=== ⎪⎝⎭设求出集列的上限集和下限集。

《实变函数》习题库参考答案

《实变函数》习题库参考答案《实变函数》习题库参考答案一、判断题 1、( √ )理由:由内点定义知，存在A P U ?),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个点。

满足聚点定义 2、( √ )理由:[法一]:都具有连续基数,故对等 [法二]:可建立一个映射)2tan()(ππ-?--=a b a x x f ,则f(x)为),(b a 到R 的一一映射.3、( √ )理由:由B A ?知, A A B B )(-=,从而由有限可加性知，mA A B m mB +-=)(，又由+∞<="" 4、(="" b="" m="" ma="" p="" √="" 。

从而移项可得结论。

="" 知，+∞<-+∞理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数，从而再其和集上也是可测函数。

5、( × )理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。

6、( √ )理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。

[法二]:可建立一个映射==+==...2,1,1,11,0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合,1,,31,21,1,0n 到集合 ,1,,31,21,1n 的一一映射。

7、( √ )理由:由B A ?知A A B B )(-=,且φ=-A A B )(，故mA mA A B mmB =+-=)(8、( √ )理由:狄利克莱函数-∈∈=.]1,0[,0]1,0[,1)(Q x Qx x D 是[0,1]上的简单函数，故可测。

9、( √ )理由:由于E E ?Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )理由:如无界。

实变函数测试题与答案

实变函数试题一，填空题1. 设1,2n A n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1,2n =,则lim n n A →∞= . 2. ()(),,a b -∞+∞,因为存在两个集合之间的一一映射为3. 设E 是2R 中函数1co s ,00,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪ =⎩的图形上的点所组成的集合，则E '= ，E ︒= .4. 若集合nE R ⊂满足E E '⊂,则E 为集. 5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间,则(),αβ满足:, .6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集,则mE = .7. 若()n mE f x →()0f x ⎡⎤=⎣⎦,则说{}()n f x 在E 上 . 8. 设nE R ⊂,0nx R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.9. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列,()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数,若0σ∀>,有 ,则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x . 10. 设()()n f x f x ⇒,x E ∈,则∃{}()n f x 的子列{}()jn fx ,使得.二,判断题.正确的证明,错误的举反例. 1. 若,A B 可测,A B ⊂且A B ≠,则mA mB <.2. 设E 为点集,P E ∉,则P 是E 的外点.3. 点集11,2,,E n⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集.5. 若nE R ⊂,满足*m E =+∞,则E 为无限集合. 三,计算证明题1.证明:()()()A B C A B A C --=-2.设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明M 为可数集.3.设nE R ⊂,i E B ⊂且i B 为可测集,1,2i =.根据题意,若有()()*0,i m B E i -→ →∞,证明E 是可测集.4. 设P 是Cantor 集,()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P⎧+ ∈⎪=⎨ ∈-⎪⎩.求10(L)()f x dx ⎰.5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x ,而在0P 的余集中长为13n的构成区间上取值为16n ,()1,2n =,求1()f x dx ⎰.6. 求极限:13230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+⎰.实变函数试题解答一填空题1.[]0,2.2.{}1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ⎧⎫=≠≤⎨⎬⎩⎭;∅.3.闭集.4.b a -.5.几乎处处收敛于()f x 或a.e.收敛于()f x .6.对000,(,)U x δδ∀> 有{}()0E x -=∅.7.()()n f x f x → a.e.于E . 二判断题1. F .例如,(0,1)A =,[]0,1B =,则A B ⊂且A B ≠,但1mA mB ==.2. F .例如,0(0,1)∉,但0不是(0,1)的外点.3. F .由于{}0E E '=⊄.4. F .例如,在1R 中,11,1n F n n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,3,4n =是一系列的闭集,但是3(0,1)n n F ∞==不是闭集.5. T .因为若E 为有界集合,则存在有限区间I ,I <+∞,使得E I ⊂,则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ .三,计算证明题. 1.证明如下:2. M 中任何一个元素可以由球心(,,)x y z ,半径为r 唯一确定,x ,y ,z 跑遍所有的正有理数,r 跑遍所有的有理数.因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集,故M 为可数集.3. 令1i i B B ∞==,则i E B B ⊂⊂且B 为可测集,于是对于i ∀,都有i B E B E -⊂-,故()()**0i m B E m B E ≤-≤-,令i →∞,得到()*0m B E -=,故B E -可测.从而()E B B E =--可测.4. 已知0mP =,令[]0,1G P =-,则()1320221130(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dxx =++ =0+ =+ = ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合:0P ,1G ,2G ,其中0P 为Cantor集,n G 是0P 的余集中一切长为13n 的构成区间(共有12n -个)之并.由L 积分的可数可加性,并且注意到题中的00mP =,可得6. 因为323sin 1nx nx n x+在[]0,1上连续,13230(R)sin 1nx nxdx n x +⎰存在且与13230(L)sin 1nx nxdx n x +⎰的值相等.易知由于12x 在()0,1上非负可测，且广义积分1012dx x ⎰收敛，则 12x在()0,1上(L)可积，由于323lim sin 01n nx nx n x →∞=+，()0,1x ∈，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到1133232300132301lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100n n n nx nx nxdx nxdx n x n x nx nx dxn x dx →∞→∞→∞=++⎛⎫ = ⎪+⎝⎭ ==⎰⎰⎰⎰.一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分） 1. 非可数的无限集为c 势集 2. 开集的余集为闭集。

(完整版)实变函数论课后答案第一章3

实变函数论课后答案第一章3（p20-21）第一章第三节1. 证明[]0,1上的全体无理数构成一不可数无穷集合.证明：记[]0,1上的全体有理数的集合为°()12,,,,nQ r r r =L L . []0,1全体无理数的集合为°R，则[]°°0,1Q R =U . 由于°Q 是一可数集合，°R 显然是无穷集合（否则[]0,1为可数集，°°Q R U 是可数集，得矛盾）.故从P21定理7得 []°°°0,1QR R =U :. 所以°R=ℵ，°R 为不可数无穷集合. 2. 证明全体代数数（即整系数多项式的零点）构成一可数集合，进而证明必存在超越数（即非代数数）. 证明：记全体整系数多项式的全体的集合为z P ，全体有理多项式的集合为Q P .则上节习题3，已知Q P 是可数集，而z Q P P ⊂，故z P 至多是可数集，()z Q P P ≤，而z P 显然为无穷集合，故z P 必为可数集.,0z z m m P P ∞==U .任取一,0,z f P m ∈∃≥有,z m f P ∈.f 的不同零点至多有m 个，故全体,z m f P ∈的零点的并至多为无数.（(){},;0z mf P z f z ∈=U至多为可数集，所以全体代数数之集(){},0;0z mm f P z f z ∞=∈=UU也是至多可数集.又{},1;1,2,n N nx n ∀∈+=L 是可数集，110nx x n+=⇔=. 带市数显然有无穷个，故全体代数数之集为一可数集.3. 证明如果a 是可数基数，则2ac =.证明：一方面对于正整数N 的任意子集A ，考虑A 的示性函数()()()10A A An n An n n A ϕϕϕ=∈⎧⎪=⎨=∉⎪⎩当当{}2N A N ∀∈@的子集所构成的集令()()()0.1,2A A J A x ϕϕ==L则()()0,1J A x =∈若()()J A J B =，则()(),1,2,A B n n n ϕϕ=∀=L故A B =（否则()()0000,10A B n A n B n n ϕϕ∃∈∉⇒=≠=）故2N与()0,1的一个子集对等（()20,1N≤）另一方面，()0,1x ∀∈.令±{};,x A r r x r R =≤∈ （这里±0R 为()0,1中的全体有理数组成的集合）若(),,0,1x y x y ≠∈，则由有理数的稠密性，x y A A ≠x A 是±0R 这一与N 对等的集合的子集. 故()0,1与±0R 的全体子集组成的集合的一个子集对等（()±00,1R ≤的全体子集组成集的势，即()()0,120,1N≤≤）也就与2N的一个子集对等. 由Berrstein 定理()0,12N:所以2ac =.4. 证明如果A B c =U ，则,A B 中至少一个为c . 证明：E A B c ==U ，故不妨认为(){},;01,01E x y x y =<<<<，,A B 为E 的子集.若存在x ，01x <<使得(){},;01x A E x y y ⊃=<<.则由于x E c =（显然()0,1x E :）故A c ≥，而,A E A E c ⊂≤=. 由Berrsrein 定理A c =.若,01,x x x E A ∀<<⊄，则从x E E A B ⊂=U 知(){},;01x B E B x y y =<<≠∅I I所以(),x x y B ∃∈，则显然(){},;01xx y x <<具有势c故易知c B E c ≤≤= 由Berrsrein 定理B c = 证毕5. 设F 是[]0,1上全体实函数所构成的集合，证明2cF =证明：[]0,1∀的子集A ，作A 的示性函数()10A x Ax x A ϕ∈⎧=⎨∉⎩则映射()A A x ϕa规定了[]0,1的所有子集的集合到[]0,1上全体实函数所构成的集合的一个对应，且若A ，B ⊂[]0,1使得()()[],0,1A B x x x ϕϕ=∀∈成立则必有A B = 所以[]0,12与F 的一个子集对等.反过来，任取()f x F ∈，()()[]{},;0,1f A t f t t =∈，fA 是f 在2R中的图象，是2R 中的一个子集.且若,f g F ∈，使f g A A =则[]0,1t ∀∈，()(),f g t f t A A ∈= 表明[]10,1t ∃∈使()()()()11,,t f t t g t =()()1,,t t f t g t t ⇒==∀故f g =.所以F 与2R 的全体子集所组成的集合的一个子集对等，故从[]20,1R :知[]20,122R F ≤=即F 与[]0,12的一个子集对等.所以由Berstein 定理[]0,122c F ==.。

实变函数论课后答案解析第四章4

可测为可测集（江则坚P109习题10）
现设连续，则开集，是开集，
记，可证是一个代数，且包含全部开集，从而包含全部集
证1）可测
2）若，则显然也可测，
3）若，则，可测，可测是代数
连续，则，包含全部开集，从而包含全部集
为非奇异线性，显然连续
方体半开半闭（显然为集），可测
（i）坐标之间的交换
（ii）
(iii)
在（i）的情形显然（2.9）成立
在（ii）的情形下，矩阵可由恒等矩阵在第一行乘以而得到
从而可知（2.9）式成立
在（iii）的情形，此时（）
而且
（
则
反过来，，则
令则，
则，）
记
，则
（，则，，则
，且，则反过来，，则存在， Fra bibliotek使，，且
实变函数论课后答案第四章4
第四章第四节习题
1．设于，于，证明：于
证明：，
（否则，若，而，
矛盾），则
（）
从而
2．设于，，且于，证明于
证明：由本节定理2（定理）从知的子列使
于
设，，于，从条件于，设
， , 于上
令，则，且
故
，则
令，
故有，从而命题得证
显然
周民强书P35思考题：
6．设是定义在上的实值函数族，是可数集，则存在（）使得在上收敛.
我怀疑本题有错：若不假设是上一致有界的，会有反例：
令 = ，设这里，则显然任取无穷个于，故不会收敛！
时，

《实变函数》作业参考答案

《实变函数》作业参考答案《实变函数》作业参考答案一．判断题1．对；2．错；3．对；4．对；5．错；6．对；7．错；8．对； 9．对； 10.对； 11.对； 12.错。

二．1．证明：).()(B A B A II-=-∈∈αααα证明：直接的用定义，证明左边包含右边，右边包含左边。

2．试找出使)1,0(和]1,0[之间一一对应的一种方法。

证明：令)1,0(,...},,{321?x x x ，做)(x f ，使得>====+2,01)(212n x x x x x x x x f n n ，其它处，.)(x x f = 三．证明题1. 设)(x f n 是E 上几乎处处有限的可测函数列，∞ε，存在常数c 与可测集E E ?0，ε<)\(0E E m ，使在0E 上，对一切n ，有c x f <|)(|。

证明：直接利用鲁津定理。

2. 证明：证明})(|{a x f x CG >=是开集，事实上，对任意CG x ∈，则a x f >)(，由连续函数的局部保号性，存在0>δ，使得对一切的),(δx B t ∈，有a t f >)(，即CG x B ?),(δ，所以x 是内点，从而})(|{a x f x CG >=是开集。

3. 设)(x f 在],[b a E =可积，则对任何0>ε，必存在E 上的连续函数)(x g ，使得ε<-?dx x g x f b a|)()(|证明：教材第121页例1。

4. 设在E 上)()(x f x f n ?，且)()(x g x f n ≤几乎处处于E 上成立，,...,2,1=n 试证)()(x g x f ≤在E 上几乎处处成立。

证明：利用黎次定理，由在E 上)()(x f x f n ?，得到存在子列)(x f i n 使得)()(lim x f x f i n i=几乎处处成立，在利用控制性)()(x g x f n ≤，所以)()(x g x f ≤在E 上几乎处处成立。

实变函数参考答案(习题一)

旧版书习题一2.证明：（i ）右边=⊂--))(())((D B C D B A 左边（ii ）右边=⊃--))(())((D B C D B A 左边3.解：等式右边=)()()(C C C A B A C B A --=- ，我们猜想C C A C =-，即A C ⊂为等式成立的充要条件。

由上充分性是显然的，再注意到由原等式，我们有A CB AC B A C ⊂--=-⊂)()( ，故而必要性也成立。

4.证明：（i ）因为1inf lim ,..,inf lim 100inflim =⇔∈≥∀∈∃⇔∈⇔=n nnA nn n nA A x n n t s N n A x χχ，所以等式成立。

（ii ）因为1sup lim ..,,sup lim 1sup lim =⇔∈≥∃∈∀⇔∈⇔=nknnA nn k n nA A x t s k n N k A x χχ，所以等式成立。

5.证明：先证明}{n B 互不相交。

事实上，Φ=-⊂>∀⊂≥∀n m n m m n n B B A A B n m A B n 故而,,,,1。

再证明集合等式。

等式左边。

等式右边时，时显然成立，当==-=-=≥===-===-=nj j ni i j j ij j ni i j j i A A A A A n n 11111111)()(216.证明：（i ）左边⊃右边是显然的，下证另一边也成立。

右边。

故于是左边，则∈-≤∃>-∈∀x a x f nt s n a x f x ,)(1..,,0)(（ii ）以E 为全集，左边=ca x f E x a x f E x a x f x E })(|{})(|{})(|{->-∈=-≤-∈=≥∞=∞=+-<-=+-≥-=11)(}1)(|{)}1)(|{(n cn i na x f x E na x f x E右边=->=∞= 1}1)(|{n na x f x E7.证明：将需证的等式记为M=F=P 。

《实变函数》习题库参考答案

《实变函数》习题库参考答案一、判断题 1、( √ )理由:由内点定义知，存在A P U ⊂),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个点。

满足聚点定义 2、( √ )理由:[法一]:都具有连续基数,故对等 [法二]:可建立一个映射)2tan()(ππ-⋅--=a b a x x f ,则f(x)为),(b a 到R 的一一映射.3、( √ )理由:由B A ⊂知, A A B B )(-=,从而由有限可加性知，mA A B m mB +-=)(，又由 +∞<mB 知，+∞<-+∞<)(,A B m mA 。

从而移项可得结论。

4、( √ )理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数，从而再其和集上也是可测函数。

5、( × )理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。

6、( √ )理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。

[法二]:可建立一个映射⎪⎩⎪⎨⎧==+==...2,1,1,11,0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1,0n 到集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1n 的一一映射。

7、( √ )理由:由B A ⊂知A A B B )(-=,且φ=-A A B )(，故mA mA A B m mB =+-=)(8、( √ )理由:狄利克莱函数⎩⎨⎧-∈∈=.]1,0[,0]1,0[,1)(Q x Qx x D 是[0,1]上的简单函数，故可测。

9、( √ )理由:由于E E ⊆Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )理由:如无界。

，但，则N mN N E +∞<==0 11、( √ )理由:由于可测。

在连续，从而在]2,1[2)(]2,1[2)(-=-=x f x f 12、( √ ) 理由:事实上：)()(***CE T m E T m T m T E +=∀⇔：可测]([)(**CE C T m CE T m +=可测。

实变函数参考答案

习题1解答（A 组题）一、选择题1、C ；2、A ；3、D ；4、C ；5、C ；6、A ；7、A ；8、B ；9、D ；10、C 二、判断题1、×；2、×；3、×；4、×；5、√；6、×；7、×；8、×；9、×； 10、× 三、填空题1、＝；2、∅；3、()0,1；4、[]1,1-；5、,EF EF ；6、()2,3-；7、≥；8、c9、设有两个集合A 和B ，若≤A B ，≥A B ，则=A B 。

四、证明题1、（1）()()()()()\\====C C CC A A B A A B AAB A A AB A B ；（2）()()()()()()\\==C C CC A B CD A B CD A C B D()()()()\==CA C BD A C BD 。

2、111\lim \∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C Cn n n n n N n N N n N N n N A B A B A B AB ()111lim(\)∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C C C n n n n n N n N N n N N n N A B A B A B A B 。

同理可证第2个集合等式。

3、当A =∅时，{}∅张成的环和σ-环均为它自身；张成的代数和σ-代数均为{},X ∅。

当A X =时，{}X张成的环、σ-环、代数和σ-代数均为{},X ∅。

当A 为X 的非空真子集时，{}A 张成的环和σ-环均为{},A ∅；张成的代数和σ-代数均为{},,,cA A X∅。

4、首先，令()()tan 12π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦f x x ，由于()f x 是()0,1上的严格单调递减的连续函数，且()()()0,10,=+∞f，所以()f x 是()0,1到()0,+∞的一一映射。

实变函数周民强思考题

实变函数周民强思考题概述实变函数是数学中的一个重要概念，它在分析学、微积分和差分方程等领域中起着重要的作用。

本文将通过对实变函数的周民强思考题的讨论，深入探讨实变函数的相关性质和应用。

实变函数的定义实变函数是定义在实数集上的函数，其定义域为实数集，值域为实数集。

对于实变函数f(x)，变量x是实数，函数值f(x)也是实数。

实变函数的性质实变函数有许多重要的性质，下面列举了一些常见的性质：1.连续性：实变函数在其定义域上可以是连续的，也可以是间断的。

连续性是实变函数的一个重要性质，连续函数在定义域上的取值变化连续，没有跳跃或间断。

2.可导性：实变函数在某个点处可导，意味着它在这个点附近存在切线，并且切线的斜率可以用导数表示。

可导性是实变函数的另一个重要性质，导数描述了函数的变化速率。

3.单调性：实变函数可以是单调递增的或单调递减的。

单调性描述了函数的增减趋势，单调递增意味着随着变量增大，函数值也增大；单调递减则相反。

4.极值点：实变函数在某些点上取得极大值或极小值。

极值点是函数取值的局部最大或最小点，它们在函数图像上对应于波峰或波谷。

实变函数的周民强思考题周民强思考题是对实变函数性质的一系列问题和思考，下面将分别对几个具体问题进行讨论。

问题1：连续函数与可导函数的关系连续函数是指在定义域上连续的函数，可导函数是指在某个点处存在导数的函数。

那么连续函数和可导函数之间有什么关系呢？连续函数一定是可导的吗？可导函数一定是连续的吗？答：连续函数不一定是可导的，但可导函数一定是连续的。

证明连续函数不一定是可导的考虑函数f(x)=|x|，它在x=0处不可导，因为在该点左右两侧的斜率不相等。

证明可导函数一定是连续的可导函数在某个点处存在导数，即该点的左右导数存在且相等。

根据导数定义和极限的性质，可以证明可导函数一定是连续的。

问题2：实变函数与单调性的关系实变函数的单调性是指随着变量的增大（或减小），函数值的增减趋势。

实变的一些习题解答

存在y0 ∈ E , 使得
| x0 − y0 | = d( x0 , E ).
证. =⇒ 设E 为闭集. 根据点到集合的距离的定义, 对任何正整数k, 存在yk ∈ E , 使得
d( x0 , E ) 1 | x0 − yk | < d( x0 , E ) + . k 4
显然{yk } ⊂ E 有界, 且 lim | x0 − yk | = d( x0 , E ). 于是{yk }有收敛子列, 不妨
证令G1 = { x : d( x, A) < d( x, B)}, G2 = { x : d( x, B) < d( x, A)}, 则G1 , G2 均为开集, 且A ⊂ G1 , B ⊂ G2 , G1 ∩ G2 = ∅.
12. 若A, B ⊂ Rn , A ∩ B = ∅, B ∩ A = ∅, 试证明存在开集G1 , G2 使
得G1 ⊃ A, G2 ⊃ B, 且G1 ∩ G2 = ∅. 证注意到
d( x, A) = 0, d( x, B) > 0, ∀ x ∈ A, d( x, B) = 0, d( x, A) > 0, ∀ x ∈ B.
从而取上题解答中的开集G1 , G2 即满足要求. 上题是本题的特例.
13. 证明: Rn 中的子集E 为闭集的充分必要条件是, 对任意 x0 ∈ Rn ,
k→∞
设{yk }本身收敛, 从而| x0 − y0 | = d( x0 , E ). 根据E 为闭集知, y0 ∈ E .
⇐= 若 x ∈ E , 则根据所给条件, 存在y0 ∈ E , 使得| x0 − y0 | = d( x0 , E ). 注
意到d( x0 , E ) = 0. 从而 x0 = y0 ∈ E . 即E ⊂ E . 从而E 为闭集.

周民强《实变函数》解答第四章 lebesgue积分

fE
m(E0) = 0,
E = E0 ∪ E1 ∪ E2,
1 ´ µ ~ [f(x)]1/kdx = [f(x)]1/kdx + [f(x)]1/kdx,
E
E1
E2
E1
[f (x)]1/k ≤ f (x), Lebesgue
1 1 G H | } ¾ ¸ ~ | } ~ lim [f(x)]1/kdx =
678
E
E
lim fk(x)dx = lim fk(x)dx.
k→∞ E
E k→∞
j k B l m n 1 o p w q r 1 G H s t p w q Ek = {x : fk(x) > fk+1(x)}
r u v w r 1 o t u x y x y z 1E{ r s | } ~ W )
m(E2) = 0,
E f (x)dx = E1 f (x)dx +
m(E) = m(E1) + m(E2) = 0.
Ek ⊂ E, m(E\Ek) < 1/k(k = 1, 2, · · ·),,
` a 1 6 7 8 a ' f W f(x) E
lim f (x)dx
k→∞ Ek
9A@CBEg FIh E˜1
678
lim fk(x) = f (x), lim gk(x) = g(x),
k→∞
k→∞
lim
k→∞
gk(x)dx =
E
g(x)dx < ∞,
E
lim
k→∞
fk(x)dx =
E
f (x)dx.

(完整word版)实变函数习题解答(2)

第二章习题解答P ∈E '的充要条件是对任意含有0P 的邻域U(P ，δ)（不一定以0P 0P 的点1P 属于E （事实上，这样的1P 还有无穷多个）。

而0P ∈0E 的充要条件则是有含0P 的邻域U(P ，δ)（同样，不一定以0P 为中心）存在，使U(P ，δ)⊂E 。

证明：（1）充分性，用反证法，若0P ∈E '，则0P 的某一邻域U(0P ，0δ)中至多有有限个异于0P 的点1X ，2X ，…，n X 属于E ，令ni ≤≤1min d(0P ，i x )=δ'，在U(0P ，δ')中不含异于0P 的点属于E ，这与条件矛盾。

必要性，设U(P ，δ)是任意一个含有0P 的邻域，则d(0P ，E )<δ，令1δ=δ- d(0P ，P )>0，则U(0P ，1δ)⊂U(P ，δ)。

因为0P ∈E '，所以，在U(0P ，1δ)中含于无穷多个属于E 的点，其中必有异于0P 的点1P ，即U(P ，δ)中有异于0P 的点1P 。

（20P 的邻域U(P ，δ)⊂E ，则d(0P ，P )<δ，令1δ=δ- d(0P ，P )，01)⊂U(P ，δ)，从而U(0P ，1δ)⊂E ，故0P ∈0E 。

2、设nR =R '是全体实数，1E 是[0，1]上的全部有理点，求1E '，01E ，1E 。

解：1E '=[0，1]，01E =φ，1E =[0，1] 。

3、设nR =2R 是普通的x o y 平面，2E ={(x ，y )|2x +2y <1}，求2E '，02E ，2E 。

解：2E '={(x ，y )|2x +2y ≤1}， 02E ={(x ，y )|2x +2y <1}， 2E ={(x ，y )|2x +2y ≤1}。

4、设n R =2R 是普通的x o y 平面，3E 是函数y =⎪⎩⎪⎨⎧=≠001sinx x x当当的图形上的点作成的集合，求3E '，03E 。

《实变函数》习题库参考答案

《实变函数》习题库参考答案一、判断题 1、( √ )理由:由内点定义知，存在A P U ⊂),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个点。

从而移项可得结论。

4、( √ )理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数，从而再其和集上也是可测函数。

5、( × )理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。

6、( √ )理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。

[法二]:可建立一个映射⎪⎩⎪⎨⎧==+==...2,1,1,11,0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1,0n 到集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1n 的一一映射。

9、( √ )理由:由于E E ⊆Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )理由:如无界。

，但，则N mN N E +∞<==0 11、( √ )理由:由于可测。

在连续，从而在]2,1[2)(]2,1[2)(-=-=x f x f 12、( √ ) 理由:事实上：)()(***CE T m E T m T m T E +=∀⇔：可测]([)(**CE C T m CE T m +=可测。

周民强实变函数论思考题

周民强实变函数论思考题实变函数是在实数集上定义的函数，这些函数在其定义域上都有确定的值。

实变函数论是数学分析中的一个重要分支，研究实变函数的性质、极限、连续性、可积性等各方面的问题。

下面将针对周民强《实变函数论》一书中的思考题进行回答，来探讨这些问题。

1.请举例说明一列函数收敛于一个函数，但积分却不能交换极限。

在实变函数论中，一般情况下，对于一列函数逐点收敛于一个函数，在一定的条件下，可以交换函数与极限的顺序。

然而，如果在没有足够限制条件的情况下，函数积分不能交换极限的情况是存在的。

例如，考虑定义在区间[0,1]上的一列函数序列fn(x)=n*sin(n^2*x)，他们在[0,1]上逐点收敛于函数f(x)=0。

但是对于积分∫[0,1]fn(x)dx来说，由于其在每个小区间上都有振荡，所以不能交换积分与极限的顺序。

这是因为这个积分无界，不能使用升降法，从而无法交换极限和积分。

2. 研究函数序列{sin(nx)}，判断其是否在R上一致收敛。

对于函数序列{sin(nx)}，可以通过观察函数在不同点上的取值来判断其是否在R上一致收敛。

由于sin函数的周期为2π，所以对于任意的x∈R，存在自然数N，使得在nx大于等于N时，sin(nx)在[-1,1]之间变化。

因此，对于任意给定的ε>0，只需要选择合适的N，使得Nπ > ε，则对于所有的n>N和所有的x∈R，sin(nx)，<ε都成立。

因此，函数序列{sin(nx)}在R上是一致收敛的。

3. 设f(x)是连续函数，证明函数序列{sin(nf(x))}在R上一致收敛。

由于f(x)是连续函数，所以f(x)在R上一致连续。

我们知道sin函数是一个连续函数，那么考虑函数序列{sin(nx)}，由题目2已经证明了它在R上一致收敛。

现在我们需要证明序列{sin(nf(x))}在R上也是一致收敛的。

我们定义函数g(x)=sin(f(x))，由于f(x)和sin函数都是连续函数，所以g(x)也是连续函数。

实变函数习题答案 北大版 周民强

实变函数课后习题答案_北大版_周民强

实变函数课后习题答案

《实变函数》习题库参考答案

实变函数测试题与答案

(完整版)实变函数论课后答案第一章3

实变函数论课后答案解析第四章4

《实变函数》作业参考答案

实变函数参考答案(习题一)

《实变函数》习题库参考答案

实变函数参考答案

实变函数周民强思考题

实变的一些习题解答

周民强《实变函数》解答 第四章 lebesgue积分

(完整word版)实变函数习题解答(2)

《实变函数》习题库参考答案

周民强实变函数论思考题

实变函数习题答案北大版周民强

周民强《实变函数》解答第四章 lebesgue积分