实变函数习题答案 北大版 周民强

证: (i) 成立. (ii)f (A)
f (Ac ) = ∅ 时等式不成立.
5. 试作开圆 {(x, y ) : x2 + y 2 < 1} 与闭圆盘 {(x, y ) : x2 + y 2 ≤ 1} 之间的一一对应. 证一: 任取闭圆盘边界上一点 R, 记圆心为 O, (O, R] 为连接 O 与 R 的线段去掉 O, (O, R) 为连接 O 与 R 的线段去掉 O 与 R, 由旋转变换易知 (O, R) ∼ (0, 1), (O, R] ∼ (0, 1], ∵ (0, 1) ∼ (0, 1], ∴ (O, R) ∼ (O, R]; 再将 O 对应到 O, 就可得到开圆与闭圆盘之间的 一一对应. 证二: 记 An = {(x, y ) : x2 + y 2 =
n→∞ n→∞ n→∞
3. 设有集合列 {An }, {Bn }, 试证明: (i) lim (An Bn ) = lim An lim Bn ;
n→∞ n→∞ n→∞
(ii) lim (An
n→∞
Bn ) =
n→∞
lim An
n→∞
lim Bn .
证: 略. 4. 设 f : X → Y, A ⊂ X, B ⊂ Y, 试问下列等式成立吗? (i)f −1 (Y \ B ) = f −1 (Y ) \ f −1 (B ); (ii)f (X \ A) = f (X ) \ f (A). 1
− + E1 /n ); ∀ n, 取 E1/n 中的 p 个数 x1 , x2 , · · · , xp ,
∞ ∞ ∞ k=1 N =1 j =N ∞ ∞ 1 {x : fj (x) ≥ k }; ∞ 1 , k0
因此 x0 ∈
相反, 若 x0 ∈
1 }, k0
k=1 N =1 j =N
1 {x : fj (x) ≥ k }, 则存在 k0 ∈ N, 使 x0 ∈
∞
∞
{x : fj (x) ≥
1 , k0
x ∈ (a, b) \ Q.
7. 设 f (x) 是定义在 [0, 1] 上的实值函数, 且存在常数 M , 使得对于 [0, 1] 中任意有 限个数 : x1 , x2 , · · · , xn , 均有 |f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn )| ≤ M , 试证明下述集合是可数 集 : E = {x ∈ [0, 1] : f (x) = 0}. + − 证: 令 a > 0, 记 Ea = {x ∈ [0, 1] : f (x) > a}, Ea = {x ∈ [0, 1] : f (x) < −a}; 则 E =
n→∞ n→∞ n→∞
∀ x ∈ [a, b] \ E, ∵ lim fn (x) = 1, ∴ ∃N, ∀ n ≥ N, fn (x) ≥
n→∞ 1 , i.e. 2 n→∞ n→∞
1 , i.e. 2
x ∈ En , ∴ x ∈
lim En , ∴ [a, b]\E ⊂ lim En ; 反之, 若 x∈[a, b]\E, ∵ lim fn (x) = 0, ∴ ∃N, ∀ n ≥ N, fn (x) < x∈En , ∴ x∈ lim En , ∴ lim En ⊂ [a, b] \ E. ∴ lim En = [a, b] \ E.
j →∞ j →∞
∞
∞
∞
k=1 N =1 j =N
wenku.baidu.com
1 {x : fj (x) ≥ k } j →∞ 1 , 再由数列上极限的定 k0 ∞ ∞ {x : fj (x) ≥ k10 }, N =1 j =N
事实上, 设 x0 ∈ {x : lim fj (x) > 0}, 则存在 k0 , 使 lim fj (x0 ) ≥ 义, 对于任何正整数 N , 存在 nN ≥ N , 使 fnN (x0 ) ≥ 从而 x0 ∈
∞
{x ∈ [0, 1] : |f (x)| >
n=1
1 } n
=
∞
+ − 1 < |f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xp )| ≤ M, p < nM , 所以 E1 则 p· n /n 只含有限个数, 同理 E1/n 也只含有限个数, 由此可得 E 可数.
n=1
+ (E1 /n
N =1 j =N
因此对任何正整数 N , 都存在 j ≥ N , 使 x0 ∈ {x : fj (x) ≥ 以 lim fj (x0 ) ≥ k10 > 0, 即 x0 ∈ {x : lim fj (x) > 0}.
j →∞ j →∞ n→∞
1 }, k0
即 fj (x0 ) ≥
所
2. 设 {fn (x)}是定义在 [a, b] 上的函数列,E ⊂ [a, b] 且有 lim fn (x) = χ[a,b]\E (x), x ∈ [a, b]. 若令 En = {x ∈ [a, b] : fn (x) ≥ 1 }, 试求集合 lim En . 2 证: lim En = [a, b]\E.
实变函数习题答案
06 级数科院本科 2007-2008 第二学期 习题 1 第一组
1 1. 设 {fj (x)} 是定义在 Rn 上的函数列, 试用点集 {x : fj (x) ≥ k } (j, k = 1, 2, · · · ) 表示 点集 {x : lim fj (x) > 0}. j →∞
证: {x : lim fj (x) > 0} =
1 }, E 1 n2
=
∞
An , E 2 =
∞
An , 开圆为 M , 闭圆盘
∞ 为 N ; ∵ { An } ∞ n=1 ∼ {An }n=2 , 且任意两个同心圆对等, ∴ E1 ∼ E2 ; 又 ∵ M \ E2 = N \ E1 , ∴ 开圆与闭圆盘之间一一对应.
n=1
n=2
6. 设 f (x) 在 (a, b) 上有界. 若 f (x) 是保号的 (即当 f (x0 ) > (<)0 时, 必有 δ0 > 0, 使 得 f (x) > (<)0(x0 − δ0 < x < x0 + δ0 )), 试证明 f (x) 的不连续点集是可数的. 说明: 题目有问题, 反例: f (x) = 1, 2, x ∈ (a, b) Q,