高三数学摸底考试题(文理)

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高三文科数学摸底考试试题及答案

珠海市高三年级摸底考试数学试题（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项． 1．全集U={-3-2-10123456}，，，，，，，，，, 集合{10123}A =-，，，，，{-23456}B =，，，，,则()U C A B =（）A ．{3}-B ．{32}--，C ．{-3-2-1012456}，，，，，，，，D ．{3}2．函数1()log (2)(0,1)2x a f x a a =->≠的定义域是（）A A ．(1)+∞，B ．(1)-∞-，C ．(1)-∞，D ．(1)-+∞，3．函数()1xxf x a a -=++，()x xg x a a -=-，其中01a a >≠，，则（）A ．()()f x g x 、均为偶函数B ．()()f x g x 、均为奇函数C ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数D ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数4．如右图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．3 B ．12π C．3D．65．“2=a ”是“函数1)(2++=ax x x f 在区间)1[∞+-，上为增函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知等差数列{}的前n 项和为，若6318a a -=，则=（）n a n S 8S 正视图俯视图侧视图Q B A OP A ．68B ．72C ．54D ．907．已知点(1,2),(5,6)A B -到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数的值等于（） A ．-2或1B ．1或2C ．-2或-1D ．-1或28．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m // 9．抛物线24x y =的焦点到准线的距离为（）A ．161 B ．81 C ．41D ．4 10．已知4||,2||==b a ，且)(b a+与a 垂直，则a b 与的夹角是（）A ．︒60B ．︒90C ．︒120D ．︒150二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置． 11．下图是一个算法的流程图，则输出S 的值是．12．在区间[]3,0上任取一个数x ，使得不等式0232>+-x x 成立的概率为．13．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为、、c 且a =1，B ∠=045，ABC S ∆=2，则．14．（坐标系与参数方程选做题）圆的半径为1，圆心的极坐标为(10)，，则圆的极坐标方程是． 15．（几何证明选讲选做题）如图P 是O 的直径AB 延长线上一点，PC 与O 相切于点C ，APC ∠的角分线交AC 于点Q ，则AQP ∠的大小为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）2111()3cos sin cos 222f x x x x =+， a a b b =（Ⅰ）将)(x f 化为k x A ++)sin(ϕω(00)2πωϕ><<，的形式；（Ⅱ）写出()f x 的最值及相应的x 值；（Ⅲ）若36ππα-<<，且3()5f α=+，求cos2α． 17．（本小题满分12分）某学校共有高一、高二、高三学生2000名，各年级男、女生人数如下图：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0．19．（Ⅰ）求x 的值；（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？（Ⅲ）已知245,245≥≥z y ，求高三年级中女生比男生多的概率．．ED 1CB 1DA18．（本小题满分14分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,2==AD AB E AA ,11=为1BB 的中点．（Ⅰ）//1D B 平面AEC ；（Ⅱ）求证：⊥AC D B 1；（Ⅲ）求三棱锥ACD E -的体积． 19．（本小题满分14分）已知椭圆C 以12(10)(10)FF -，，，为焦点，且离心率2e = （Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过(0M 点斜率为k 的直线1l 与椭圆C 有两个不同交点P Q 、，求k 的范围；（Ⅲ）设椭圆C 与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B 、，是否存在直线1l ，满足（Ⅱ）中的条件且使得向量OP OQ +与AB 垂直？如果存在，写出1l 的方程；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数321()22f x x x x =--．（Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）当[12]x ∈-，时，()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知函数)),1[(1ln )(+∞∈+-=x x x x f ，数列{}n a 满足)(,*11N n e a a e a nn ∈==+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）求)()()(21n a f a f a f +++ ；（Ⅲ）求证：).(321*2)1(N n e n n n ∈≤⋅⋅⋅⋅-参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项． 1—5ADCDA 6—10BCBBC二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置． 11． 63 12． 3213．514．2cos ρθ= 15． 0135三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）解: （Ⅰ）．2111()sin cos 222f x x x x =+ 1cos 1sin 22x x +=+2分sin()32x π=++4分（Ⅱ）．当232x k k Z πππ+-∈=，即526x k k Z ππ-∈=，时5分()f x 得到最小值12-+6分当232x k k Z πππ++∈=，即26x k k Z ππ++∈=，时7分()f x 得到最大值12+8分（Ⅲ）．由3()sin()35f παα=+=+3sin()35πα+= ∵36ππα-<<，∴032ππα<+<，∴4cos()35πα+=9分∴224sin(2)2sin()cos()33325πππααα+=+⋅+=227cos(2)2cos ()13325ππαα+=+-=10分 ∴22cos 2cos[(2)]33ππαα=+-2222cos(2)cos sin(2)sin3333ππππαα=+++750=12分17．（本小题满分12分）解：（1）由已知有380,19.02000=∴=x x；（4分）（2）由（1）知高二男女生一起750人，又高一学生750人，所以高三男女生一起500人，按分层抽样，高三年级应抽取12500200048=⨯人；（8分）（3）因为245,245,500≥≥=+z y z y ，所以基本事件有： ;255,245==z y251,249;252,248;253,247;254,246========z y z y z y z y246,254;247,253;248,252,249,251;250,250==========z y z y z y z y z y245,255==z y一共11个基本事件．其中女生比男生多，即z y >的基本事件有：245,255;246,254;247,253;248,252,249,251==========z y z y z y z y z y共5个基本事件，故女生必男生多的事件的概率为（12分）18．（本小题满分14分）解：（1）设AC 与BD 交于点O ，E 为中点，D B OE 1//∴，（2分）.115又⊄D B 1平面AEC ，⊂OE 平面AEC ，∴//1D B 平面AEC ．（5分）（2）在长方体1111D C B A ABCD -中，⊥B B 1平面B B AC ABCD 1,⊥∴，又∴=,AD AB 矩形ABCD 为正方形，BD AC ⊥∴，（6分）⊥∴AC 平面D B AC BD B 11,⊥∴．（9分）（3）因为⊥EB 平面,ACD 且.3131,2=⋅=∴=∆-∆EB S V S ACD ACD E ACD （14分） 19．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）设椭圆C 的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为a b c 、、由题设知：1c =1分，由1c e a a ===a =2分则1b =3分∴椭圆C 的方程为2212x y +=4分（Ⅱ）过(0M 点斜率为k 的直线1:l y kx =即1:l y kx =5分与椭圆C 方程联立消y 得22(21)20k x +++=*“”6分由1l 与椭圆C 有两个不同交点知其22328(21)0k k ∆=-+>得2k <-或2k >7分∴k 的范围是2(()22-∞-+∞，，。

2024届湖南省祁东县第一中学高三下学期开学摸底(文理合卷)数学试题

2024届湖南省祁东县第一中学高三下学期开学摸底（文理合卷）数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知集合{}2(,)|A x y y x ==，{}22(,)|1B x y xy =+=，则A B 的真子集个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（） A ．3-B ．3C ．1D ．1-4．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）（附：2 1.414,3 1.732,5 2.236≈≈≈） A ．22个B ．24个C ．26个D ．28个5．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为（）A ．26B ．33C 3D ．236．已知01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（） A ．p q ∨是假命题B ．p q ∧是真命题C ．()p q ∨⌝是真命题D ．()p q ∧⌝是假命题7．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 8．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．19．若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）10．设全集U =R ，集合2{|340}A x x x =-->，则UA =（）A ．{x |-1 <x <4}B ．{x |-4<x <1}C ．{x |-1≤x ≤4}D ．{x |-4≤x ≤1}11．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i12．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

成都七中2025届高中毕业生高三年级七月摸底考试数学试卷

2025届高中毕业生七月摸底考试数学试卷高三数学组命题2024.7.本试题卷共4页，19题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

本卷命题范围：必修一、二。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若lg a （a >0）与lg b （b >0）互为相反数，则A.a+b=0B.a —b=0C.ab=1D.1=ba 2.使式子)2(log )12(x x --有意义的x 的取值范围为A.x>2B.x<2C.21<x<2 D.21<x<2，x ≠13.如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（）A.众数=平均数=中位数B.众数<中位数<平均数C.众数<平均数<中位数D.中位数<平均数<众数4.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.若直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则A.α∥β，l ∥αB.α与β相交，且交线平行于lC.α⊥β，l ⊥βD.α与β相交，且交线垂直于l 5.已知复数z 满足313i z =，则z =A ．313i +B ππ2(cosisin 1212+C ．613iD 3ππ2(cos isin 99+6.设θ是锐角，满足sin(30)tan sin(30)θθθ+︒=-︒，则sin 2θ=A．16B．14-C．4D．36-7.在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C ∠=A.π6B.π3C.2π3D.5π68.若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

高三数学上学期第一次摸底测试试题理含解析试题

创作人：历恰面日期：2020年1月1日HY中学2021届高三数学上学期第一次摸底测试试题理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.集合0，，，那么A. 0，B.C.D.2.假设，那么A. B. C. D.3.“二万五千里HY〞是1934年10月到1936年10月中国工农红HY进展的一次HY转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红HY的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事．在中国一共产HY建HY98周年之际某中学组织了“HY英雄事迹我来讲〞活动，该中学一共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽了12人，高二年级抽了16人，那么该校高一年级学生人数为A. 720B. 960C. 1020D. 16804.的展开式中含项的系数为A. B. C. 6 D. 75.函数的图象大致为创作人：历恰面日期：2020年1月1日A.B.C.D.6.等差数列的前n项和为，假设，那么A. B. 3 C. D. 67.在正方体中，E为的中点，F为BD的中点，那么A. B.C. 平面D. 平面8.函数，假设是的一个极小值点，且，那么A. B. 0 C. 1 D.9.执行如下图的程序框图输出的S的值是A. 25B. 24C. 21创作人：历恰面日期：2020年1月1日D. 910.偶函数在上为减函数，假设不等式对任意的恒成立，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.11.设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，假设，的面积为，那么A. 1B.C.D. 212.假设存在，满足，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题〕13.，为单位向量，且，的夹角为，那么______．14.公比为3的等比数列的各项都是正数，且，那么______．15.，分别为双曲线C：的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆交双曲线C的右支于A，B两点，假设，那么双曲线C的离心率为______．16.在三棱锥中，平面平面ABC，和均为边长为的等边三角形，假设三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，那么该球的外表积为______．三、解答题〔本大题一一共7小题〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日17.某为理解本校文理科学生的学业程度模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：乙样本中数据在的有10个．求n和乙样本直方图中a的值；试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数同组中的数据用该组区间中点值为代表．18.在中，，．求tan A的值；假设，的平分线CD交AB于点D，求CD的长．创作人：历恰面日期：2020年1月1日19.图1是由正方形ABCG，直角梯形ABED，三角形BCF组成的一个平面图形，其中，，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．证明：图2中的D，E，C，G四点一共面，且平面平面DEC；求图2中的二面角的大小．创作人：历恰面日期：2020年1月1日20.过的直线l与抛物线C：交于A，B两点，以A，B两点为切点分别作抛物线C的切线，设与交于点求；过Q，F的直线交抛物线C于M，N两点，求四边形AMBN面积的最小值．21.函数，．讨论的单调性；是否存在a，b，使得函数在区间的最小值为且最大值为1？假设存在，求出a，b的所有值；假设不存在，请说明理由．参考数据：．创作人：历恰面日期：2020年1月1日22.如在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；假设点Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l的间隔的最小值．23.正数a，b，c满足等式证明：；．创作人：历恰面日期：2020年1月1日答案和解析1.【答案】B【解析】解：0，，，．应选：B．可以求出集合B，然后进展交集的运算即可．考察列举法、描绘法的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：由，得．应选：B．把等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．此题考察复数代数形式的乘除运算，是根底题．3.【答案】C【解析】解：设该校高一年级学生人数为x人，由题意得：，解得．应选：C．设该校高一年级学生人数为x人，由此利用列举法得，由此能求出该校高一年级学生人数．创作人：历恰面日期：2020年1月1日此题考察高一年级学生人数的求法，考察分层抽样的性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．4.【答案】A【解析】解：的展开式中含项的系数为，应选：A．把按照二项式定理展开，可得结论．此题主要考察二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于根底题．5.【答案】B【解析】解：函数定义域为；且，函数为偶函数，排除选项D；将表达式的分子分母均乘以，可得且当时，，应选项A，C不成立．应选：B．首先利用函数的奇偶性排除选项D，再将原函数的分子分母同乘进展化简，最后利用特殊值法即可判断．此题考察函数的奇偶性及图象对称性的综合应用，属于中档题6.【答案】A创作人：历恰面日期：2020年1月1日【解析】解：等差数列的前n项和为，，，解得，．应选：A．利用等差数列的前n项和公式推导出，再由，能求出结果．此题考察等差数列的前n项和公式、通项公式的应用，考察等差数列的性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．7.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，那么0，，1，，2，，0，，0，，在A中，1，，，与不平行，故A错误；在B中，0，，，与不垂直，故B错误；在C中，平面的法向量1，，，与平面不平行，故C错误；在D中，0，，2，，创作人：历恰面日期：2020年1月1日，，，，，平面D.应选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．此题考察线面垂直的证明，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．8.【答案】C【解析】解：，，又，或者，当，时，，在区间上，在区间上，是极大值点，不符合题意．当，时，，在区间上，在区间上，是极小值点，符合题意．，应选：C．先写出导函数，得，又因为，所以或者，分别代入解析式，检验哪个符合题意．创作人：历恰面日期：2020年1月1日此题考察导数的应用，极值，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：初始值，；第一步，，，此时，故；第二步：，，此时，故；第三步：，，此时，故；第四步：，，此时，故；第五步：，，此时，故输出；应选：A．根据程序框图依次写出每次循环的结果，再根据判断框内的条件，确定输出的S的值即可．此题考察程序框图，难度较小，属于根底题．10.【答案】D【解析】解：是偶函数，图象关于y轴对称．在的单调性与的单调性相反，可得在上是增函数．不等式恒成立，等价于恒成立．即不等式恒成立，的解集为R，结合一元二次方程根的判别式，得：且解之得．应选：D．根据偶函数图象关于y轴对称，得在上是单调减函数，且在上单调增，由此结合是正数，将原不等式转化为恒成立，去绝对值再用一元二次不等式恒成立的方法进展处理，即得实数a创作人：历恰面日期：2020年1月1日的取值范围．此题给出偶函数的单调性，叫我们讨论关于x的不等式恒成立的问题，着重考察了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式解法等知识，属于根底题．11.【答案】D【解析】解：如下图，设l与x轴交于H，且，l：，因为，在直角三角形FBH中，可得，所以圆的半径为，，由抛物线的定义知，点A到准线l的间隔为，所以的面积为，解得．应选：D．根据题意画出图形，结合图形求出，，由抛物线的定义可得点A到准线l的间隔，运用三角形的面积公式可得的面积，从而求出p的值．此题考察了抛物线的定义与性质的应用问题，也考察了数形结合思想应用，是中档题．12.【答案】A【解析】解：设，，那么是单调增函数，且的值域为；设，那么恒过定点，又，创作人：历恰面日期：2020年1月1日，且，存在，不等式时，即，不等式不成立，由此得，解得，所以a的取值范围是．应选：A．设，，，对求导数，利用导数的几何意义列不等式求出a的取值范围．此题主要考察对数函数与不等式的应用问题，也考察了利用导数研究函数的单调性问题，是中档题．13.【答案】【解析】解：，为单位向量，且，的夹角为，，那么，故答案为：．由题意利用两个向量的数量积的定义求出，再根据求向量的模的方法，求出此题主要考察两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于根底题．创作人：历恰面日期：2020年1月1日14.【答案】3【解析】解：公比为3的等比数列的各项都是正数，且，，且，解得，，．故答案为：3．由公比为3的等比数列的各项都是正数，且，求出，从而，由此能求出的值．此题考察等比数列的第9项的对数值的求法，考察等比数列的性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．15.【答案】【解析】解：设，由，且圆和双曲线关于x轴对称，可得A的纵坐标为，在等腰三角形中，，，可得，那么A的横坐标为，即，代入双曲线的方程可得，由，，可得，化为，由，可得，创作人：历恰面日期：2020年1月1日解得．故答案为：．设，圆和双曲线关于x轴对称，可得A的纵坐标为，再由等腰三角形的性质和勾股定理，求得A的横坐标，将A的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，解方程即可得到所求值．此题考察双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考察圆和双曲线的对称性，等腰三角形的性质，考察方程思想和运算才能，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由题意，如下图，取AB中点E，连结PE，DE，延长CE，交外接圆于点D，连结PD，是边长为的等边三角形，外接圆半径为，且，，平面平面ABC，和均为边长为的等边三角形，在直角中，平面ABC，且，在直角中，，且，在直角中，，在直角中，由正弦定理得，该球的半径，该球的外表积．故答案为：．取AB中点E，连结PE，DE，延长CE，交外接圆于点D，连结PD，外接圆半径为2，且，，创作人：历恰面日期：2020年1月1日求出，，，在直角中，由正弦定理得，该球的半径，由此能求出该球的外表积．此题考察球的外表积的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．17.【答案】解：由频率分布直方图得：乙样本中数据在的频率为，这个组学生有10人，那么，解得，由乙样本数据直方图得：，解得．甲样本数据的平均值估计值为：，乙样本数据直方图中前三组的频率之和为：，前四组的频率之和为：，乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，由，解得，中位数为．根据样本估计总体思想，可以估计该校理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为82．创作人：历恰面日期：2020年1月1日【解析】由频率分布直方图得乙样本中数据在的频率为，这个组学生有10人，由此能求出n，由乙样本数据直方图能求出a．利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数．此题考察实数值、平均数、中位数的求法，考察频率分布直方图的性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．18.【答案】解：，由正弦定理，可得，，可得，是角平分线，，由，可得，，，由，可得．【解析】由利用正弦定理，三角形内角和定理可得，利用两角差的正弦函数公式，同角三角函数根本关系式可求tan A的值．由可求，利用同角三角函数根本关系式可求sin A，cos A的值，利用两角和的正弦函数公式可求的值，根据正弦定理即可解得CD的值．此题主要考察了正弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数根本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考察了计算才能和转化思想，属于中档题．创作人：历恰面日期：2020年1月1日19.【答案】解：证明：由正方形ABCG中，直角梯形ABED中，．，E，C，G四点一共面．，，，，平面ADG．平面ADG，．在直角梯形ABED中，，可得，同理直角梯形GCED中，可得，．，．，，平面DEG，平面ADB，平面平面DEG．平面平面DEC；解：过点D作的垂线，垂足为O，过点O作BC的垂线，垂足为H，那么，，故以O为原点，如图建立空间直角坐标系，那么0，，0，，2，，2，，0，，1，．创作人：历恰面日期：2020年1月1日所以，．设平面ACE的法向量为y，，由．设平面BCE的法向量为b，，由．，二面角的大小为．【解析】根据面面垂直的断定定理即可证明平面平面DEC；建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角的大小．此题主要考察空间平面和平面垂直的断定，以及二面角的求解，综合考察学生的计算才能．20.【答案】解：设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，可得，即有，，由的导数为，可得的方程为，化为，同理可得的方程为，联立两直线方程解得，，故；由，，，可得，即，，，那么四边形AMBN的面积，创作人：历恰面日期：2020年1月1日当且仅当时，四边形AMBN的面积获得最小值32．【解析】设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及导数的几何意义，求得两条切线的方程，联立求得交点，可得所求值；求得，的坐标和数量积，可得，即，运用抛物线的弦长公式可得，，由四边形的面积公式，结合根本不等式可得所求最小值．此题考察抛物线的定义、方程和性质，考察直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的几何意义，考察切线方程的求法，以及向量垂直的性质，考察根本不等式的运用：求最值，属于中档题．21.【答案】解：，令，，，在上单调递增，，，假设时，恒成立，即在区间上单调递增，假设时，那么，那么，那么在区间上单调递减，假设，那么，，又在上单调递增，结合零点存在性定理知，存在唯一的实数，使得，当时，，那么，那么在上单调递减，当时，，那么，那么在上单调递增，综上所述：假设时，在区间上单调递增，创作人：历恰面日期：2020年1月1日假设时，在区间上单调递减，假设时，存在唯一的实数，，在上单调递减，在上单调递增．由可得：假设，那么，那么，而，解得满足题意，假设时，那么，那么时，而，解得满足题意，假设时，令，，那么，在上单调递减，，令，，由可知，令，，由可知，，，，，综上：当且，或者当且时，使得在区间的最小值为且最大值为1．【解析】先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，对a分类讨论，利用的结论即可得出．此题考察了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考察了推理才能与计算才能，属于难题．22.【答案】解：由为参数，消去参数t，创作人：历恰面日期：2020年1月1日可得直线l的普通方程为，由，且，，，得曲线C的直角坐标方程为；点P的极坐标为，那么点P的直角坐标为，点Q为曲线C上的动点，设，那么PQ中点M为，那么点M到直线l的间隔：，点M到直线l的最小间隔为．【解析】直接把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程，由结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程；化P为直角坐标，设出Q的坐标，由中点坐标公式求得M的坐标，再由点到直线的间隔公式写出间隔，利用三角函数求最值．此题考察点的直角坐标、曲线的直角坐标方程的求法，考察点到直线的间隔的中小值的求法，考察直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．23.【答案】解：要证不等式等价于，因为，，当且仅当时取等号．，，又，创作人：历恰面日期：2020年1月1日，当且仅当时取等号．【解析】利用根本不等式即可证明结论；利用根本不等式即可证明结论．此题考察用分析法证明不等式，关键是寻找不等式成立的充分条件，属于中档题．。

高三暑假补课摸底考试数学试卷文理各份

12-13年高三暑假补课摸底考试数学试卷（文理各2份）贵州省衡民中学2012-2013年高三上学期暑假补课第一次月考理科数学(总分:150分时量:120分钟)一、单选题(共12小题每小题5分共60分)1.满足的集合A的个数是（A）2(B)3(C)4(D)82.(2012年贵州高考)已知集合，,,则（A）0或(B)0或3(C)1或(D)1或33.的定义域为A．B．C．D．4.若规定则不等式的解集是A．（1，2）B．（-∞，3）C．（-∞，2）D．（2，+∞）5.函数的值域是A.B.(0,1)C.D.6.已知函数，若，则等于A．bB．C．D．-b7．已知，是R上的偶函数，当时，，则的大致图象为ABCD8．设，则A.B.C.D.9．若函数，则A．B．C．3D．410.(2012年贵州高考)已知等差数列的前项和为，，，则数列的前100项和为(A)(B)(C)(D)11.已知函数，则当方程有3个根时，实数的范围是A．B．C．D．12.函数是定义在R上的奇函数，且，，则A．2012B．C．1D．二、填空题(共4小题每小题5分共20分)13.关于x的不等式的解集为R，则实数取值范围为14.设，函数有最大值，则不等式的解集为15.等比数列中，，，则16.若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是三、解答题(共6小题第17题10分其余每小题12分共70分)17.若,,．（1）若不等式的解集为，求、的值；（2）设全集R，若，求实数的取值范围．18.奇函数的定义域是R，且，当0≤x≤时，.(1)求证:是周期为2的函数；(2)求函数在区间上的解析式；(3)求函数的值域.19.若函数在上为增函数，且满足：.(1)求的值；(2)解不等式.20.数列的前n项和为Sn，且Sn=（n∈N*）.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足Cn=且的前n项和为Tn，求T2n. 21．等差数列前项和，正项等比数列中，.(1)求与的通项公式；(2)设，求的前项和.22．二次函数满足：①；②的最小值为．(1)求函数的解析式；(2)设数列前项积为，且，求数列的通项公式；(3)在(2)的条件下，若是与的等差中项,，试问数列中第几项的值最小?求出这个最小值．贵州省衡民中学2012-2013年高三上学期暑假补课第一次月考理科科数学答案1——12CBCAADABCDAD13.(-4,0]14.(2,3)15.2或816.－1≤m017.(1)，；(2),①时，；②时，综上，.18.(1)，所以是周期为2的函数.(2)∵当x∈时,,∴x∈[0,1]时,当x∈时,.(3)由函数是以2为周期的函数，故只需求出一个周期内值域即可，由(2)知，故在上函数的值域是，故值域为.20.(1)∴an=n+1(2)∵Cn=∴Cn=∴T2n==（2+4+6++2n）+（22+24+26++22n）==.21.(1)，；(2).22.(1)由题知:,解得,故.(2),,∴,又满足上式.所以.(3)若是与的等差中项,则,从而,得因为是的减函数,所以当,即时,随的增大而减小,有最小值为;当,即时,随的增大而增大,有最小值为又,所以,即数列中最小,且.[NextPage]贵州省衡民中学2012-2013年高三上学期暑假补课第一次月考文科数学(总分:150分时量:120分钟)一、单选题(共12小题每小题5分共60分)1.满足的集合A的个数是（A）2(B)3(C)4(D)82.(2012年贵州高考)已知集合{是平行四边形}，{是矩形}，{是正方形}，{是菱形}，则（A）(B)(C)(D)3.函数3.的定义域为A．B．C．D．4.(2012年贵州高考)函数的反函数为（A）(B)(C)(D)5.函数的值域是（A）(B)(0,1)(C)(D)6.函数的图像A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于轴对称D．关于原点对称7．已知，是R上的偶函数，当时，，则的大致图象为ABCD8．(2012年贵州高考)已知，，，则(A)（B）(C)(D)9．若函数，则A．B．C．3D．410.(2012年贵州高考)已知数列的前项和为，，，则（A）(B)(C)(D)11.已知函数，则当方程有3个根时，实数的范围是A．B．C．D．12.函数是定义在R上的奇函数，且，，则A．2012B．C．1D．二、填空题(共4小题每小题5分共20分)13.关于x的不等式的解集为R，则实数取值范围为14.设，函数有最大值，则不等式的解集为15.等比数列中，且，则16.若，则的值为三、解答题(共6小题第17题10分其余每小题12分共70分)17.设集合，．（1）求集合；（2）若不等式的解集为，求，的值．18.函数.（1）证明：是奇函数；（2）用定义证明在上是单调增函数.19.若函数在上为增函数，且满足：.(1)求的值；(2)解不等式.20.数列的前项和为，且，．求数列的通项公式.21．(2012年贵州高考)已知数列}中，，前n项和．（Ⅰ）求，；(Ⅱ)求的通项公式．22．正项数列首项为，且前项和满足－．(1)求数列的通项公式；(2)若数列前项和为，求使不等式成立的最小正整数．贵州省衡民中学2012-2013年高三上学期暑假补课第一次月考文科数学答案1——12CCCABDADCBAD13.(-4,0]14.(2,3)15.216.227717.(1)(－2，1)(2)a=4，b=－618.（1）（2）略20.略21.略22.(1)，；(2)，，所以.[NextPage]贵州省衡民中学2012-2013年高三上学期暑假补课摸底考试文科数学(时量：120分钟总分：150分)一、选择题(本题共l2小题，每小题5分，共60分)1、设，为虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为（）(A)(B)(C)(D)2、若集合,则“”是“”的（）(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3、若等比数列的前项和为（为常数），则（）(A)(B)(C)(D)4、设，，，则（）(A)(B)(C)(D)5、由、、、、这个字母排成一排，、都不与相邻的排法数为（）(A)(B)(C)(D)6、正三棱锥中，,，则与平面所成角的余弦值为（）(A)(B)(C)(D)7、若曲线在点处的切线与坐标围成的面积为，则常数的值是（）(A)(B)(C)(D)8、在△ABC中，点在线段的延长线上，且，点在线段上(不与点、重合)，若，则实数的范围是（）(A)(B)(C)(D)9、已知点是正四面体内的一动点，若点到平面的距离与到点的距离相等，则点的轨迹为（）(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线10、函数的图象经过、两点，则有（）(A)最大值(B)最小值(C)最大值(D)最小值11、设变量、满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为（）(A)(B)(C)(D)12、若定义在上的偶函数满足且当时，，则方程的根的个数是()(A)(B)(C)(D)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、，，则_____的展开式中的系数为，则_______. 15、在平行四边形中，且，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为________.16、设点、分别是双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，且，则此双曲线的离心率的取值范围是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、(10分)已知向量．记(I)若，求的值；(Ⅱ)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a—c)B=b，若，试判断ABC的形状．18、(12分)为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖.(Ⅰ)小丽购买了该食品3袋，求她获奖的概率；(Ⅱ)小明购买了该食品5袋，求他获奖的概率；(Ⅲ)某幼儿园有名小朋友，每名小朋友都买了该食品袋.记获奖的人数为，求的数学期望.(19)(本小题满分l2分)如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=，AB=，PA=PD=1(I)求证：PACD；(Ⅱ)求二面角C—PA—D的大小．(20)(本小题满分12分)在数列{}中，，且当n≥2时，数列{}的前n项和满足。

高考数学高三模拟试卷第一学期高三摸底考试文科数学试题和参考答案及评分标准

高考数学高三模拟试卷第一学期高三摸底考试文科数学试题和参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．设集合2{|1}P x x ==，那么集合P 的真子集个数是（） A ．3 B ．4 C ．7D ．8 【答案】A【解析】211x x =⇒=±，所以{}1,1P =-．集合{}1,1P =-的真子集有{}{},1,1∅-共3个．故A 正确．2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)AB =，(1,3)AC =，则DA ＝（） A ．（2,4） B ．（3,5）C ．（1，1） D ．（－1，－1）【答案】C ．【解析】()(1,1)DA AD AC AB =-=--=． 3．设()2112i iz +++=，则z =（） A ．3 B ．1 C ．2 D ．2 【答案】D【解析】根据题意得121z i i i =-+=+，所以2z =．4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）【答案】D【解析】所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的对角线，在侧视图中的矩形的自左下而右上的一条对角线，因在左侧不可见，故而用虚线，所由上分析知，应选D.5．如图，大正方形的面积是 34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为 3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为（） A ．117 B ．217 C ．317 D ．417【答案】B【解析】直角三角形的较短边长为 3，则较长边为5，所以小正方形边长为2，面积为4，所以向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为423417=，故选B ．6．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4由表中数据算出线性回归方程y bx a =+中的2b =-，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件． A.46 B.40 C.38 D.58 【答案】A为：(10,38)，又在回归方程y bx a =+上，且2b =-， ∴3810(2)a =⨯-+，解得：58a =,∴258y x =-+，当x=6时，265846y =-⨯+=．故选：A ．7．设m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面,下列命题中正确的是（） A ．若αβ⊥,,m n αβ⊂⊂,则m n ⊥B ．若α∥β,,m n αβ⊂⊂,则n ∥m C ．若m n ⊥,,m n αβ⊂⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,n ∥m ,n ∥β,则αβ⊥【答案】D【解析】位于两个互相垂直的平面内的两条直线位置关系不确定，故A 错；分别在两个平行平面内的两条直线可平行也可以异面，故B 错；由m α⊥,n ∥m 得n α⊥，因为n ∥β,设,n l γλβ⊂=，则//n l ，从而l α⊥，又l β⊂，故αβ⊥，D 正确．考点：空间直线和直线、直线和平面，平面和平面的位置关系． 8．已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是（） A ．图象关于点(,0)3π-中心对称B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5[,]126ππ--单调递增D ．在[,]63ππ-单调递减【答案】C【解析】∵函数f （x ）=sin2x 向左平移6π个单位，得到函数y=g （x ）=sin2（x+6π）=sin（2x+3π）；∴对于A ：当x=3π时，y=g （x ）=sin （32π+3π）=23≠0∴命题A 错误；对于B ：当x=6π时，y=g （x ）=sin （3π+3π）=0≠±1，∴命题B 错误；对于C ：当x ∈5[,]126ππ--时，2x+3π∈[2π，0]，∴函数y=g （x ）= sin （2x+3π）是增函数，∴命题C 正确；对于D ：当x ∈[,]63ππ-时，2x+3π∈[0，π]，∴函数y=g （x ）= sin （2x+3π）是先增后减的函数，∴命题D 错误．9．阅读上图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）.A ．123 B.38 C ．11D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：依此程序框图，变量a 初始值为1，满足条件a ＜10，执行循环，a=12+2=3，满足条件a ＜10，执行循环，a=32+2=11，不满足循环条件a ＜10，退出循环，故输出11．故选C ．10．己知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2015S 的值为（） A ．20142015B ．20122013 C ．20132014 D ．20152016【答案】D【解析】由已知得，'()2f x x b =+，函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线斜率为'(1)23k f b ==+=，故1b =，所以2()f x x x=+，则1111()(1)1f n n n n n ==-++，所以111111(1)())122311n S n n n =-+-+-=-++…+(，故2015S =20152016． 11．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 30x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为（） A ．12B ．312C ．32D 31【答案】D ．【解析】设(,0)Fc -0y +=的对称点A 的坐标为(m,n)，则(1022n m cmc n ⎧⋅=-⎪⎪+-+=，所以2c m =，2n =，将其代入椭圆方程可得22223441c c a b +=，化简可得42840e e -+=，解得1e =-，故应选D ．12．若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+xx ，函数⎩⎨⎧>≤+++=0202)()(2x x x b a x x f ，，，则关于x 的方程x x f =)(解的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】由已知得，lg 4x x =-，104x x =-，在同一坐标系中作出10xy =，lg y x =以及4y x =-的图象，其中10xy =，lg y x =的图象关于y x =对称，直线y x =与4y x =-的交点为（2，2），所以4a b +=，2420()2,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，，当0x ≤时，242x x x ++=，1x =-或2-；当0x >，2x =，所以方程x x f =)(解的个数是3个．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若224432,32S a S a =+=+，则q =．【答案】23【解析】由已知可得2322+=a S ，23224+=q a S ，两式相减得)1(3)1(222-=+q a q a 即0322=--q q ，解得23=q 或1-=q （舍），答案为23. 14．已知函数()()1623++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是【答案】63>-<a a 或【解析】因为()()1623++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则说明导函数()()2'3260f x x ax a =+++=有两个不同的实数根，即为2(2)43(6)0a a ∆=-⨯⨯+≥解得为63>-<a a 或.15．已知实数,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥++0005y y x y x ，则241z x y =++的最小值是____________【答案】14【解析】作出不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥++0005y y x y x 组表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z=2x+4y+1可得421z x y +-=， 4z 表示直线421zx y +-=在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，当y=2x+z 经过点A 时，z 最小由⎩⎨⎧=-=++005y x y x 可得A （25-，25-），此时141254252-=+⨯-⨯-=z ．故答案为：14． 16．若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为．【答案】1【解析】试题分析：已知抛物线28y x =，则其焦点F 坐标为(2,0)双曲线2213x y n-=的右焦点为(3,0)n +所以32n +=，解得1n =，故答案为1．三、解答题:本大题共8小题，考生作答6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

2021-2022年高三下学期摸底考试数学(文理)试题含答案

2021年高三下学期摸底考试数学（文理）试题含答案一、填空题（本大题满分56分，每题4分，填错或不填在正确的位置一律得零分）1、已知复数：，则z的值为________________________2、若=0,则的值为___________33、直线和直线平行，则________ -74、“”是“函数在区间上单调递增”的____________条件充分不必要条件5、将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是__________6、10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人一张，至少有1人中奖的概率是_______________7、若正数，满足，则的最小值是___________________8、设点是线段的中点，点在直线外，，，则29、已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为 1510、已知等差数列，的前n项和分别为，，若对于任意的自然数，都有则=11、（文）已知是上的增函数，那么实数的取值范围是______（理）设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，.若“存在，”是假命题，则的取值范围为12、已知正三棱锥—,点都在半径为的球面上,若两两互相垂直,则球心到截面的距离为___________13、（文）已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________3（理）设是椭圆的左焦点，O为坐标原点，点在椭圆上，则的最大值为14、集合，若，，为中最大数与最小数的和（若集合中只有一个元素，则此元素既为最大数，又为最小数），那么，对的所有非空子集，全部的平均值为_____xx二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分。

2021年高三数学摸底考试试卷理

图12021年高三数学摸底考试试卷理说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择、填空题满分70分）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． ⒈已知集合，，则A ．B ．C ．D ． ⒉若复数是纯虚数（是虚数单位），则实数A ．B ．C ．D ．或 ⒊已知平面向量，，若，则实数A ．B ．C ．D ． ⒋已知点，，则线段的垂直平分线的方程是A ．B ．C ．D ． ⒌设、，若，则下列不等式中正确的是A ．B ．C ．D ．⒍如图1，、分别是正方体中、上的动点（不含端点），则四边形的俯视图可能是A ．B ．C ．D ．⒎已知函数，则该函数是A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减⒏如右图，矩形内的阴影部分由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值为（） A ． B ． C ． D ．二．填空题（本大题高三数学（理科）摸底考试试卷第1页（共4页）共7小题，考生作答6小题，满分30分）． (一)必做题（9～13题） ⒐ （填“”或“” ）． ⒑在中，，，，则．⒒设是R 上的奇函数，。

当时，有，则． ⒓若，满足约束条件，则的最大值是．⒔已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线：和距离之和的最小值为．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题．）⒕（坐标系与参数方程选做题）直线与曲线相交，截得的弦长为_ ．⒖（几何证明选讲选做题）如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= ．第Ⅱ卷（解答题满分80分）三．解答题（本大题共6题，满分80分。

高三数学摸底考试试题理含解析试题

第二中学2021届高三数学摸底考试试题理〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

第I 卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.函数()lg(1)f x x =-的定义域为M ，函数1()g x x=的定义域为N ，那么M N =〔〕A. {}1x x ≤ B. {1x x ≤且0}x ≠ C. {1}x x > D. {1x x <且0}x ≠【答案】D 【解析】【分析】根据对数型和分式型函数定义域的要求求出集合M 和集合N ，根据交集定义求得结果. 【详解】由题意得：{}{}101M x x x x =->=<；{}0N x x =≠{1M N x x ∴⋂=<且}0x ≠此题正确选项：D【点睛】此题考察集合运算中的交集运算，涉及到函数定义域的求解，关键是可以明确对数型和分式型函数定义域的要求，属于根底题. 2.假设复数2(1iz i i=-是虚数单位〕，那么z 的一共轭复数z =〔〕 A. 1i + B. 1i -C. 1i -+D. 1i --【答案】D 【解析】【分析】根据复数除法运算法那么可化简复数得1z i =-+，由一共轭复数定义可得结果.【详解】()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+ 1z i ∴=-- 此题正确选项：D【点睛】此题考察一共轭复数的求解，关键是可以利用复数的除法运算法那么化简复数，属于根底题.3.二项式61)x的展开式中的常数项为〔〕 A. －15 B. 20C. 15D. －20【答案】C 【解析】【分析】根据二项式定理写出二项展开式通项，令x 幂指数为零，可求得2r，代入展开式通项可求得常数项.【详解】二项式61x ⎫⎪⎭展开式通项为：()636216611rrrr rrr T C C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭令6302r-=得：2r ∴常数项为：()226115C -=此题正确选项：C【点睛】此题考察利用二项式定理求解指定项的系数的问题，关键是可以纯熟掌握二项展开式的通项公式.4.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率的近似值，首创“割圆术〞.利用“割圆术〞，刘徽得到了圆周率准确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率〞.如图是利用刘徽的“割圆术〞思想设计的程序框图，那么输出的值是n 〔〕〔参考数据：7.50.1305,150.2588sin sin ≈≈〕A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】C 【解析】【分析】根据程序框图运行程序，直到满足 3.10s ≥时输出结果即可. 【详解】按照程序框图运行程序，输入6n =那么333sin 602s ==，不满足 3.10s ≥，循环； 12n =，6sin 303s ==，不满足 3.10s ≥，循环；24n =，12sin15 3.1056s =≈，满足 3.10s ≥，输出结果：24n =此题正确选项：C【点睛】此题考察根据程序框图循环构造计算输出结果，关键是可以准确判断是否满足输出条件，属于根底题.5.实数,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，那么3z x y =+的最小值为〔〕A. 11B. 9C. 8D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，将问题转化为求解3y x z =-+在y 轴截距的最小值；通过平移直线3y x =-可知当直线过A 时，截距取最小值；求出A 点坐标后代入即可得到所求结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下列图阴影局部所示：当3z x y =+取最小值时，3y x z =-+在y 轴截距最小由3y x =-平移可知，当3y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最小由24y x y =⎧⎨+=⎩得：()2,2A min 3228z ∴=⨯+=此题正确选项：C【点睛】此题考察线性规划中的最值问题的求解，关键是可以将问题转化为求解直线在y 轴截距的最值，属于常考题型. 6.“43m =〞是“直线420x my m -+-=与圆224x y +=相切〞的〔〕 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当43m =时，可得直线方程，通过点到直线间隔公式可求出圆心到直线间隔等于半径，可知直线与圆相切，充分条件成立；当直线与圆相切时，利用圆心到直线间隔等于半径构造方程可求得0m =或者43，必要条件不成立，从而得到结果.【详解】由圆的方程知，圆心坐标为()0,0，半径2r当43m =时，直线为：410033x y -+=，即34100x y -+= ∴圆心到直线间隔2d r ===∴当43m =时，直线与圆相切，那么充分条件成立当直线与圆相切时，圆心到直线间隔2d ==，解得：0m =或者43那么必要条件不成立综上，“43m =〞是“直线420x my m -+-=与圆224x y +=相切〞的充分不必要条件此题正确选项：A【点睛】此题考察充分条件与必要条件的断定，关键是可以掌握直线与圆位置关系的断定方法，明确当直线与圆相切时，圆心到直线的间隔等于半径.7.某星期一至星期五每天上午一共安排五节课，每节课的时间是为40分钟，第一节课上课的时间是为7：50～8：30，课间休息10分钟.某同学请假后返校，假设他在8：50～9：30之间随机到达教室，那么他听第二节课的时间是不少于20分钟的概率为〔〕 A.15B.14C.13D.12【答案】B 【解析】【分析】确定第二节课的上课时间是和时长，从而得到听课时间是不少于20分钟所需的到达教室的时间是，根据几何概型概率公式求得结果.【详解】由题意可知，第二节课的上课时间是为：8:409:20，时长40分钟假设听第二节课的时间是不少于20分钟，那么需在8:509:00之间到达教室，时长10分钟∴听第二节课的时间是不少于20分钟的概率为：101404p == 此题正确选项：B【点睛】此题考察几何概型概率问题的求解，属于根底题. 8.在ABC ∆中，5sin 13A =，3cos 5B =，那么cosC 〔〕 A.5665B. 3365- C. 5665或者1665-D. 1665-【答案】D 【解析】【分析】根据B 的范围和同角三角函数关系求得sin B ，由大边对大角关系可知A 为锐角，从而得到cos A ；利用诱导公式和两角和差余弦公式可求得结果. 【详解】()0,B π∈，3cos 5B =4sin 5B ∴= sin sin A B < A ∴为锐角，又5sin 13A = 12cos 13A ∴=A B C π++=()1235416cos cos cos cos sin sin 13513565C A B A B A B ∴=-+=-+=-⨯+⨯=- 此题正确选项：D【点睛】此题考察三角形中三角函数值的求解，涉及到同角三角函数关系、三角形中大边对大角的关系、诱导公式和两角和差余弦公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成求解三角函数值时符号发生错误.9.某几何体的三视图如下图，那么它的体积为〔〕A.23B.43C.13D.16【答案】A 【解析】【分析】由三视图复原几何体，可确定几何体的底面和高，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】由三视图可得几何体如下列图所示的三棱锥：可知AB BC ⊥，22AB BC ==，三棱锥的高2h =11123323P ABC ABC V S h AB BC h -∆∴=⋅=⨯⨯⨯=此题正确选项：A【点睛】此题考察三棱锥体积的求解，关键是可以根据三视图准确复原几何体，属于常考题型. 10.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，那么3132310log log log a a a +++=〔〕A. 12B. 10C. 8D. 32log 5+【答案】B 【解析】由等比数列的性质可得：564756218a a a a a a +==，所以569a a =.1102938479a a a a a a a a ====⋯=.那么5313231031103log log log log ()5log 910a a a a a +++===，应选B.11.定义1nii nu =∑为n 个正数123,,,n u u u u ⋅⋅⋅的“快乐数〞.假设正项数列{}n a 的前n 项的“快乐数〞为131n +，那么数列136(2)(2)n n a a +⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前2019项和为〔〕 A.20182019B.20192020C.20192018D.20191010【答案】B 【解析】【分析】根据“快乐数〞定义可得数列{}n a 的前n 项和23n S n n =+；利用n a 与n S 关系可求得数列{}n a 的通项公式，从而得到()()()1361221n n a a n n +=+++，采用裂项相消法可求得结果.【详解】设n S 为数列{}n a 的前n 项和由“快乐数〞定义可知：131n n S n =+，即23n S n n =+ 当1n =时，114a S ==当2n ≥且n *∈N 时，162n n n a S S n -=-=-经历证可知14a =满足62n a n =- ()62n a n n N *∴=-∈()()()()136361112266611n n a a n n n n n n +∴===-++⋅+++∴数列()()13622n n a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前2019项和为：1111120191223201920202020-+-+⋅⋅⋅+-=此题正确选项：B【点睛】此题考察根据n S 求解数列的通项公式、裂项相消法求解数列的前n 项和；关键是可以准确理解“快乐数〞的定义，得到n S ；从而利用n a 与n S 的关系求解出数列的通项公式.12.点1F 是抛物线2:2C x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，设其中一个切点为A ，假设点A 恰好在以12,F F 为焦点的双曲线上，那么双曲线的离心率为〔〕1B. 11【答案】C 【解析】【分析】由抛物线方程得到12,F F 坐标；设切点2001,2A x x p ⎛⎫⎪⎝⎭，利用导数和两点连线斜率公式构造方程可解出0x ，利用抛物线焦半径公式求得1AF ，勾股定理求出2AF ；由双曲线定义可知)2112AF AF p a -==，又焦距122F F c p ==，可求得离心率.【详解】由题意得：10,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭由22x py =得：212y x p =，那么1y x p'= 设2001,2A x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么切线斜率200011220px p k x p x +==-，解得：0x p =± 由抛物线对称性可知，0x p =±所得结果一致当0x p =时，,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭由抛物线定义可知：122p pAF p =+=2AF ∴== A 在双曲线上)2112AF AF p a ∴-==又122F F c p == ∴双曲线离心率：212c e a===此题正确选项：C【点睛】此题考察双曲线离心率的求解，涉及到抛物线焦半径公式的应用、过某一点曲线切线的求解、双曲线定义的应用等知识；关键是可以利用导数和两点连线斜率公式求解出切点坐标，从而得到所需的焦半径的长度.第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分.13.,a b 均为单位向量，假设23a b -=，那么a 与b 的夹角为________. 【答案】3π【解析】【分析】由模平方后可求得两向量的数量积，然后根据数量积的定义可求得夹角．【详解】由题意22222(2)441443a ba b a a b b a b -=-=-⋅+=-⋅+=，12a b ⋅=，∴1cos ,2a b a b a b ⋅=<>=，1cos ,2a b <>=，,3a b π<>=．故答案为：3π．【点睛】此题考察平面向量的数量积与模的关系，考察求向量夹角，掌握数量积的定义是解题根底． 14.假设2()21xf x a =-+是奇函数，那么a =_______. 【答案】1 【解析】【分析】根据奇函数在0x =处有意义时()00f =可构造方程，解方程求得结果. 【详解】()f x 为奇函数且在0x =处有意义 ()010f a ∴=-=，解得：1a =此题正确结果：1【点睛】此题考察根据函数的奇偶性求解参数值的问题，常采用特殊值的方式来进展求解，属于根底题.15.数式11111+++⋅⋅⋅中略号“···〞代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，那么11tt+=，那么210t t--=，取正值得t=.用类似方法可得=__________.【答案】4【解析】【分析】根据题意，令式等于定值，再解方程求解即可.()0t t=>，两边平方得，212t=，即212t t+=，那么2120t t--=，解得4t=，或者3t=-〔舍去〕.故答案为：4【点睛】此题主要考察类比推理，根据题意类比写出方程求解即可，属于根底题.16.在四面体ABCD中，假设AB CD==AC BD==3AD BC==，那么四面体ABCD 的外接球的外表积为_______.【答案】10π【解析】【分析】根据四面体对棱长度相等可知其为长方体切割所得，各棱为长方体各个面的对角线，可知四面体外接球即为长方体外接球；根据长方体外接球半径为体对角线长度一半，求得体对角线长度即可得到外接球半径，代入球的外表积公式即可求得结果.【详解】由题意可知，四面体ABCD 是由下方图形中的长方体切割得到，,,,A B C D 为长方体的四个顶点，那么四面体ABCD 的外接球即为长方体的外接球设长方体长、宽、高分别为,,a b c那么222222659a c b c a b ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩22210a b c ∴++=即长方体体对角线长度为10长方体外接球半径为体对角线长度一半，即10R =∴四面体ABCD 外接球外表积：2410S R ππ==此题正确结果：10π【点睛】此题考察多面体外接球外表积的求解问题，关键是可以根据四面体对棱相等的特征，将其变为长方体的一个局部，从而将问题转化为长方体外接球外表积的求解问题. 三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或者验算步骤.17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos cos cos b B a C c A =+. 〔1〕求B 的大小；〔2〕假设2b =，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】〔1〕3π；〔23. 【解析】【分析】〔1〕利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得1cos 2B =，根据()0,B π∈可求得结果；〔2〕利用余弦定理可得224a c ac +-=，利用根本不等式可求得()max 4ac =，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】〔1〕由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin cos sin B B A C C A A C =+=+A B C π++= ()sin sin A C B ∴+=，又()0,B π∈ sin 0B ∴≠2cos 1B ∴=，即1cos 2B =由()0,B π∈得：3B π=〔2〕由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：224a c ac +-=又222a c ac +≥〔当且仅当a c =时取等号〕 2242a c ac ac ac ac ∴=+-≥-= 即()max 4ac =∴三角形面积S 的最大值为：14sin 2B ⨯=【点睛】此题考察解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、根本不等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型.18.2013年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由2012年底的10.2%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的的中国奇迹.“贫困发生率〞是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，2012年至2018年我国贫困发生率的数据如下表：〔1〕从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率；〔2〕设年份代码2015x t =-，利用线性回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率y 与年份代码x的相关情况，并预测2019年贫困发生率.附：回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ()()()1122211,ˆˆˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nx y bay bx x x xnx ==-==---==---∑∑∑∑(ˆb 的值保存到小数点后三位〕【答案】〔1〕17；〔2〕回归直线为：ˆ 1.425 5.8yx =-+；2012年至2018年贫困发生率逐年下降，平均每年下降1.425%；2019年的贫困发生率预计为0.1% 【解析】【分析】〔1〕分别计算出总体事件个数和符合题意的根本领件个数，根据古典概型概率公式求得结果；〔2〕根据表中数据计算出最小二乘法所需数据，根据最小二乘法求得回归直线；根据回归直线斜率可得贫困发生率与年份的关系；代入4x =求得2019年的预估值. 【详解】〔1〕由数据表可知，贫困发生率低于5%的年份有3个从7个贫困发生率中任选两个一共有：2721C =种情况选中的两个贫困发生率低于5%的情况一共有：233C =种情况∴所求概率为：31217p == 〔2〕由题意得：321012307x ---++++==； 10.28.57.2 5.7 4.5 3.1 1.4 5.85y ++++++==；71310.228.57.20 4.52 3.13 1.439.9i ii x y==-⨯-⨯-+++⨯+⨯=-∑；721941014928ii x==++++++=∑39.9ˆ 1.42528b-∴==-，ˆ 5.8a = ∴线性回归直线为：ˆ 1.425 5.8yx =-+ 1.4250-< 2012∴年至2018年贫困发生率逐年下降，平均每年下降1.425%当201920154x =-=时， 1.4254 5.80.1y =-⨯+=2019∴年的贫困发生率预计为0.1%【点睛】此题考察古典概型概率问题的求解、最小二乘法求解回归直线、利用回归直线求解预估值的问题，对于学生的计算和求解才能有一定要求，属于常考题型.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，,60PA PD DAB =∠=.〔1〕证明：AD PB ⊥；〔2〕假设6,2PB AB PA ===，求直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕105. 【解析】【分析】〔1〕取AD 中点E ，连接PE ，BE ，易知ABD ∆为等边三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可证得AD BE ⊥，AD PE ⊥；由线面垂直断定定理可知AD ⊥平面PBE ；根据线面垂直的性质可证得结论；〔2〕以E 为原点建立空间直角坐标系，首先求得平面PDC 的法向量，根据直线与平面所成角的向量求法求得结果.【详解】〔1〕证明：取AD 中点E ，连接PE ，BE ，BD四边形ABCD 为菱形 AD AB ∴=又60DAB ∠= ABD ∴∆为等边三角形，又E 为AD 中点 AD BE ∴⊥PA AD =，E 为AD 中点 AD PE ∴⊥,BE PE ⊂平面PBE ，BE PE E ⋂= AD ∴⊥平面PBE又PB ⊂平面PBE AD PB ∴⊥〔2〕以E 为原点，可建立如下列图所示空间直角坐标系：由题意知：2AD AB ==，1AE =，223PE PA AE =-，223BE PB PE =-那么(3P ，()3,0B，()1,0,0D -，()3,0C -(0,3,3PB ∴=-，(3DP =，()3,0DC =-设平面PDC 的法向量(),,n x y z =3030DP n x z DC n x ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩，令3x =1y =，1z =- ()3,1,1n ∴=-设直线PB 与平面PDC 所成角为θ2310sin 65PB n PB nθ⋅∴===⨯即直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值为：105【点睛】此题考察立体几何中的线线垂直关系的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到线面垂直断定与性质定理的应用、空间向量法求解立体几何中的线面夹角问题等知识；证明线线垂直关系的常用方法是通过线面垂直关系，根据线面垂直性质证得结论.20.己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F分别是椭圈C 的左、右焦点，椭圆C 的焦点1F 到双曲线2212x y -=渐近线的间隔为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线():0l y kx m k =+<与椭圆C 交于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆经过点2F ，且原点O 到直线l 的间隔，求直线l 的方程. 【答案】(1)2212x y +=；(2)112y x =-+.【解析】【分析】〔1〕利用焦点1F 到双曲线渐近线间隔为3可求得c ；根据离心率可求得a ；由222b a c =-求得2b 后即可得到所求方程；〔2〕由原点到直线l 间隔可得()22415m k =+；将直线方程与椭圆方程联立，整理得到韦达定理的形式；根据圆的性质可知220AF BF ⋅=，由向量坐标运算可整理得23410m km +-=，从而构造出方程组，结合k 0<求得结果. 【详解】〔1〕由题意知，()1,0F c -，()2,0F c双曲线方程知，其渐近线方程为：2y x =±∴焦点1F 到双曲线渐近线间隔：d ==1c =由椭圆离心率c e a ==得：a =2221b a c ∴=-= ∴椭圆C 的方程为：2212x y +=〔2〕原点O 到直线间隔5=，整理得：()22415m k =+设()11,A x y ，()22,B x y由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222124220k x kmx m +++-= 那么()()222216412220k m km∆=-+->，即：22210k m -+>122412km x x k ∴+=-+，21222212m x x k -=+以AB 为直径的圆过点2F 220AF BF ∴⋅=又()21,0F ()2111,AF x y ∴=--，()2221,BF x y =--()()()()()221212*********AF BF x x y y x x x x kx m kx m ∴⋅=--+=-+++++ ()()()()()()222221212222214111111212m k km km k x x km x x m m k k-+-=++-+++=-++++ 22341012m km k+-=+ 即：23410m km +-=由()2224153410m k m km ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩且k 0<得：121k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，满足22210k m ∆=-+>∴直线l 方程为：112y x =-+ 【点睛】此题考察直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆HY 方程的求解、点到直线间隔公式的应用、垂直关系的向量表示等知识；解决此类问题的常用方法是将直线与圆锥曲线方程联立，整理得到一元二次方程，进而利用韦达定理表示出中的等量关系，得到所需的方程. 21.(),()1(xf x eg x x e ==+为自然对数的底数). (1)求证()()f x g x ≥恒成立；(2)设m 是正整数，对任意正整数n ，2111(1)(1)(1)333n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 2. 【解析】【分析】〔1〕令()()()F x f x g x =-，通过导数可得()F x 单调性，从而得到()()min 00F x F ==，进而证得结论；〔2〕根据〔1〕的结论可得13113n n e +≤，通过放缩可得21113332111111333n n e ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≤ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；利用等比数列求和公式可证得211113332n ++⋅⋅⋅+<，可知假设不等式恒成立，只需12m e ≥，从而得到结果.【详解】〔1〕令()()()1xF x f x g x e x =-=--，那么()1xF x e '=-∴当(),0x ∈-∞时，()0F x '<；当()0,x ∈+∞时，()0F x '>()F x ∴在(),0-∞上单调递减；在()0,∞+上单调递增()()0min 0010F x F e ∴==--=，即()()()0F x f x g x =-≥恒成立 ()()f x g x ∴≥恒成立〔2〕由〔1〕知：13113nn e +≤221111113333332111111333n n n e e e e ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+≤⋅⋅⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又211111111133********13nn n⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭++⋅⋅⋅+==⨯-<⎪⎝⎭- 11112322111111333n n e e ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+≤< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又2111111333n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立 12m e ∴≥ m 为正整数 m ∴的最小值为：2【点睛】此题考察导数在研究函数中的应用，涉及到不等关系的证明、恒成立问题的求解等知识；解决问题的关键是可以对不等号左侧的式子根据所证函数不等关系的结论进展合理的放缩，结合等比数列求和公式求得结果.请考生在第22、23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.答题时需要用2B 铅笔在答题卡上把题目对应题号的方框涂黑. 选修4－4：极坐标与参数方程22.直线l 的参数方程为122(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.〔1〕求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；〔2〕设点1(,0)2P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB +的值.【答案】〔1〕直线l普通方程：210x --=，曲线C 直角坐标方程：()2211x y -+=；〔2. 【解析】【分析】〔1〕消去直线l 参数方程中的参数t 即可得到其普通方程；将曲线C 极坐标方程化为22cos ρρθ=，根据极坐标和直角坐标互化原那么可得其直角坐标方程；〔2〕将直线l 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数t 的几何意义可知12PA PB t t +=-，利用韦达定理求得结果. 【详解】〔1〕由直线l 参数方程消去t可得普通方程为：210x --= 曲线C 极坐标方程可化为：22cos ρρθ=那么曲线C 的直角坐标方程为：222x y x +=，即()2211x y -+=〔2〕将直线l 参数方程代入曲线C的直角坐标方程，整理可得：2304t --= 设,A B 两点对应的参数分别为：12,t t，那么12t t +=，1234t t =-122PA PB t t ∴+=-===【点睛】此题考察极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义的应用；求解间隔之和的关键是可以明确直线参数方程中参数t 的几何意义，利用韦达定理来进展求解.选修4－5：不等式选讲23.设函数()15,f x x x x R =++-∈.〔1〕求不等式()10f x ≤的解集；〔2〕假如关于x 的不等式2()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕{}|37x x -≤≤；〔2〕(],9-∞. 【解析】【分析】〔1〕分别在1x ≤-、15x -<<、5x ≥三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；〔2〕将不等式变为()()27a f x x ≤+-，令()()()27g x f x x =+-，可得到分段函数()g x 的解析式，分别在每一段上求解出()g x 的最小值，从而得到()g x 在R 上的最小值，进而利用()min a g x ≤得到结果.【详解】〔1〕当1x ≤-时，()154210f x x x x =--+-=-≤，解得：31x -≤≤-当15x -<<时，()15610f x x x =++-=≤，恒成立当5x ≥时，()152410f x x x x =++-=-≤，解得：57x ≤≤综上所述，不等式()10f x ≤的解集为：{}37x x -≤≤〔2〕由()()27f x a x ≥--得：()()27a f x x ≤+- 由〔1〕知：()42,16,1524,5x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩令()()()22221653,171455,151245,5x x x g x f x x x x x x x x ⎧-+≤-⎪=+-=-+-<<⎨⎪-+≥⎩当1x ≤-时，()()min 170g x g =-=当15x -<<时，()()510g x g >=当5x ≥时，()()min 69g x g ==综上所述，当x ∈R 时，()min 9g x =()a g x ≤恒成立 ()min a g x ∴≤ (],9a ∴∈-∞【点睛】此题考察分类讨论求解绝对值不等式、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；求解此题恒成立问题的关键是可以通过别离变量构造出新的函数，将问题转化为变量与函数最值之间的比拟，进而通过分类讨论得到函数的解析式，分段求解出函数的最值.本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

2021年高三上学期开学摸底考试数学(文理通用)试题含答案

2021年高三上学期开学摸底考试数学（文理通用）试题含答案第I卷选择题60分一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1.已知集合H={}，集合K={1,1.5,2,0,-1,-2}，则H∩K为（）A. {1,2}B.{1,2,0,-1}C.(-1,2]D.{1.5,0}2. 观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，推测数2019应标在（）A.第504个正方形的左下角B.第504个正方形的右下角C.第505个正方形的左上角D.第505个正方形的右下角3. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动．连结BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连结EF，交BD于点G，交BC于点M，连结CF．给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③=；④GH的值为定值；⑤若GM=3EG，则tan∠FGB=.上述结论中正确的个数为（）A．2 B.3 C.4D.54. 设分别是方程和的根(其中), 则的取值范围是( )A. B. C. D.5. 已知函数.若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．6. 若关于的方程恒有实数解，则实数m的取值范围是（）A. B. C.D.7. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A． B． C．D．8. 函数f(x)＝2x＋sin x的部分图像可能是( )9. 已知O为坐标原点，双曲线的左焦点为，以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A,B，O 三点，且.关于的方程的两个实数根分别为和，则以为边长的三角形的形状是（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形10. 已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是（）A.①②B.②④C.③④D.①③11. 已知F1、F2分别是双曲线（，）的左、右焦点，且F2是抛物线（p＞0）的焦点，双曲线C1与抛物线C2的一个公共点是P．若线段的中垂线恰好经过焦点F1，则双曲线C1的离心率是（）A． B． C． D．12. 若复数满足，其中为虚数为单位，则=（）A.1-iB.1+iC. -1-iD. i-1第II卷非选择题90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为﹣18，则输入的S值为___________.14.已知等差数列{a n}中，a1=1，S11=33，则公差d等于______________.15. 函数y=f（x）为R上可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的_____________条件.16. 已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈，则该椭圆离心率的取值范围为_______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）函数()的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数的解析式;(2)设,则,求的值18．（12分）如图1，在正方形中，，是边的中点，是边上的一点，对角线分别交、于、两点．将折起，使重合于点，构成如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）试探究：在图1中，在什么位置时，能使折起后的几何体中／／平面，并给出证明．19．（12分）在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．20．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足•=，若存在求m值，若不存在说明理由．21.（12分）已知函数。

高三摸底考试文科数学答案(1)

sin B ，
所以 a 的取值范围是 ( 3 , 3) ．……………………….12 分 2
18.（1）证明：取 DA1 中点 N ，连接 MN , EN ， M 为 A1C 的中点， N 为 DA1 中点，MN // CD ，
MN
1 2
CD ，又
E
为
AB
中点， EB
//
CD,
EB
1 2
CD
，
MN // EB且MN EB ，所以四边形 MNEB 为平行四边
形. ………………2 分
MB // NE ，又 MB 平面A1DE, NE ………………4 分
因为四边形 MNEB 为平行四边形，所以 MB NE ，又 A1DE 为等边三角形， N 为 DA1 中点，
（2）
OM
OP=
OM
OP
cos MOP
5
，…………………………….6
分
SPOM
1 2
OM
OP
sin MOP
5
，…………………………………….8 分
2
tan MOP 1. …………………………………………….10 分
又 MOP (0, ),MOP .…………………………………………….12 分 4
21.
解：(1)f′(x)＝(2x＋1)ex－a(2x＋1)＝(2x＋1)(ex－a)，……………………….1 分
若 a≤0 时，ex－a>0.
当 x∈ (, 1 ) 时，f′(x)<0；当 x∈ ( 1 ,) 时，f′(x)>0.
NE 3， MB 3. ……………………………6 分
（2）因为 M

河南省濮阳市2022-2023学年高三下学期第一次摸底考试文科数学试题含答案

故当该款新产品的生产线为 12 条时，预计月产量为 85 件.
故选：C
x 3 0,
4.
若实数
x，y
满足约束条件
x
2
y
1
0,
则z
y x 的最大值为（
2x y 2 0,
A. 1
B. 2
C. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式组作出可行域，结合直线纵截距的几何意义求解.
【详解】作出可行域如下，
所以函数 y x2 2x 1在 ,1 上单调递增，
依题意可知， f x 在 R 上单调递增，
a 1 所以 a1 1 12 211 ，解得 a 3 ，
所以 a 的取值范围是 3, .
故选：D
10. 以抛物线 C : y2 4x 的焦点 F 为端点的射线与 C 及 C 的准线 l 分别交于 A，B 两点，过 B 且平行于 x
D. 252π
【答案】B
【解析】
【分析】求出底面内接正三角形 ABC 外接圆的半径及 ABC 的面积，设圆柱的母线长为 l ，根据圆锥的
体积公式求出 l ，则圆柱外接球的半径 R
r2
l 2 2
பைடு நூலகம்
，即可求出外接球的表面积.
【详解】解：如图，因为
ABC
是边长为
6 的正三角形，则其外接圆的半径
2r
6 sin 60
轴的直线交 C 于点 P，过 A 且平行于 x 轴的直线交 l 于点 Q，且 AQ 4 ，则△PBF 的周长为（） 3
A. 16
B. 12
C. 10
D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】因 C : y2 4x ，则 F 1, 0 ，准线为 x= 1 .由 AQ 4 ，可得 A 坐标，直线 AF 方程，进而可得

高三摸底数学考试卷文科

考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在定义域内是增函数的是（）A. \( f(x) = -x^2 + 2x - 1 \)B. \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)C. \( f(x) = \frac{1}{x} \)D. \( f(x) = \log_2(x) \)2. 已知向量 \( \vec{a} = (1, 2) \)，\( \vec{b} = (3, 4) \)，则 \( \vec{a} \) 与 \( \vec{b} \) 的夹角余弦值为（）A. \( \frac{1}{5} \)B. \( \frac{2}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( \frac{4}{5} \)3. 若等差数列的前三项分别为3，5，7，则该数列的通项公式为（）A. \( a_n = 2n + 1 \)B. \( a_n = 2n + 2 \)C. \( a_n = 2n - 1 \)D. \( a_n = 2n - 2 \)4. 已知圆的方程为 \( x^2 + y^2 = 4 \)，则该圆的半径为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 函数 \( y = x^2 - 4x + 4 \) 的图像是（）A. 顶点在原点的抛物线B. 顶点在x轴上的抛物线C. 顶点在y轴上的抛物线D. 顶点在第二象限的抛物线6. 若等比数列的首项为2，公比为\( \frac{1}{2} \)，则该数列的前5项和为（）A. 15B. 16C. 32D. 647. 已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则 \( f(2) \) 的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 若复数 \( z = a + bi \)（\( a, b \in \mathbb{R} \)）满足 \( |z| = 1 \)，则 \( z \) 的取值范围是（）A. \( a^2 + b^2 = 1 \)B. \( a^2 - b^2 = 1 \)C. \( a^2 + b^2 = 0 \)D. \( a^2 - b^2 = 0 \)9. 下列不等式中，正确的是（）A. \( 2x > x + 1 \) 对所有 \( x \in \mathbb{R} \) 成立B. \( x^2 - 1 > 0 \) 对所有 \( x \in \mathbb{R} \) 成立C. \( \frac{1}{x} > x \) 对所有 \( x \in \mathbb{R} \) 成立D. \( \log_2(x) > x \) 对所有 \( x \in \mathbb{R} \) 成立10. 已知三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积是（）A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的反函数是 ________。

高三摸底测试卷文科数学

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且f(1) = 2，f(2) = 5，f(3) = 10。

则f(4)的值为：A. 15B. 18C. 20D. 222. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinA = 3/5，sinB = 4/5，则cosC的值为：A. -3/5B. 3/5C. -4/5D. 4/53. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n + 1，则数列{an^2}的通项公式为：A. (2n + 1)^2B. 4n^2 + 4n + 1C. 4n^2 + 8n + 1D. 4n^2 + 4n + 44. 下列函数中，在其定义域内单调递减的是：A. y = x^2B. y = 2^xC. y = log2xD. y = √x5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，S5 = 45，则公差d的值为：A. 6B. 5C. 4D. 36. 若复数z = a + bi（a、b为实数）满足|z - 1| = |z + 1|，则实数a的值为：A. 0B. 1C. -1D. 不存在7. 下列不等式中，恒成立的是：A. x^2 + 1 ≥ 0B. x^2 - 1 ≥ 0C. x^2 + 1 ≤ 0D. x^2 - 1 ≤ 08. 若向量a = (2, -1)，向量b = (-1, 2)，则向量a·b的值为：A. 1B. -1C. 0D. 39. 已知等比数列{an}的公比q ≠ 1，若a1 = 2，a3 = 8，则a5的值为：A. 16B. 32C. 64D. 12810. 若直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k^2 + b^2的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = _______。

2024届新高三文科数学开学摸底考试卷及答案解析(全国通用)

2024届新高三文科数学开学摸底考试卷及答案解析（全国通用）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1．已知集合{20}A xx =-≤<∣,{}2,1,0,1B =--,则A B = （）A ．{2,1,0,1}--B ．{1,0,1}-C ．{2,1}--D ．{2,1,0}--【答案】C【解析】由题意得{}2,2,1,1,2,1A B A B A B -∈-∈-∈-∈=-- .故选C.2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】B【解析】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-,因为复数z 对应点在虚轴上,所以202a -=,解得2a =.故选B.3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778÷≈,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%÷≈,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为10.440.320.213%---≈,故A 错、B 错；经营净收入与转移净收入差为()57780.320.21636⨯-≈元,故C 错误；财产净收入为57780.03173⨯≈元,故D 正确.故选D.4．平行四边形ABCD 中,点M 在边AB 上,3AM MB =,记,CA a CM b == ,则AD =（）A ．4733a b -B ．2433b a -C ．7433b a- D ．1433a b- 【答案】D【解析】在ABCD Y 中,3AM MB = ,,CA a CM b ==,所以1114()3333AD BC BM MC MA CM CA CM CM a b ==+=-=--=-.故选D5．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知19a =-,2410a a +=-,则n S 的最小值为（）A ．25-B ．35-C ．45-D ．55-【答案】A【解析】设公差为d ,则24(9)(9)310a a d d +=-++-+=-,2d =,22(1)(9)210(5)252n n n S n n n n -=⨯-+⨯=-=--,所以5n =时,n S 取得最小值25-．故选A ．6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1x y x =+C ．22(e e )1x x y x -+=+D ．32sin 1x xy x -+=+【答案】B【解析】4个选项函数定义域均为R,设该函数为()f x ,对于A,()()()()2211cos cos 44,,11x x x xf x f x f x f x x x -=-==--++,故21cos 41x x y x =+为奇函数,且()40f >,对于B,()()()222sin 2sin ,,11x x f x f x f x x x -=-==-++故()f x 为奇函数,()2sin 44017f =<,对于C,()()()()222(e e )2(e e ),,11x x x x f x f x f x f x x x --++=-==-++,故()f x 为偶函数,对于D,()()()3322sin sin ,11x x x xf x f x f x x x -+-=-==-++，故()f x 为奇函数,()64sin44117f -+=<-,由图知函数为奇函数,故排除C ；由()40f <,排除A,由()41f >-,排除D,故选B ．7.已知函数()2e 21xf x x x =++,则()f x 的图象在0x =处的切线方程为（）A ．410x y -+=B ．210x y -+=C ．4e 20x y -+=D ．2e 10x y -+=【答案】B【解析】因为()2e 21x f x x x =++,所以()()22e 2xf x x x =++',则()()02,01f f '==,所以()f x 的图象在0x =处的切线方程为()120y x -=-,即210x y -+=.故选B.8．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（）A ．54B ．542-C ．108722-D ．81722-【答案】C【解析】如图,转动了45︒后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x ,2,则有223x x =,得到3232x =-,由几何关系得：阴影部分的面积为211322792(32242S =-=-,所以增加的面积为127921616()10872242S S ==-=-.故选C.9．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（）A ．22⎫⎪⎪⎣⎭B ．20,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】设()00,P x y ,()0,M b ,因为2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PMx y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0b y b -≤≤,由题意知当0y b =-时,2PM 取得最大值,所以32b b c -≤-,可得222a c ≥,即212e <,则202e <≤故选B ．10．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】A【解析】点D 为BC 中点,在ABC 中,4AB AC ==,所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC 的“欧拉线”为AD ,因为点()1,3B -,点()4,2C -,所以31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭,因为直线BC 的斜率为32114+=---,所以AD 斜率为1,方程为1322y x -=-,即10x y --=,因为“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切所以圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+==所以圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为=故选A.11.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（）A B C ．2πD【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的半径122R ==,如图,取1DD 的中点E ,连接,,AE PE BP ,易知四边形ABPE 为矩形,且平面α即为平面ABPE ,分别取11,AA BB 的中点,M N ,连接,,MN NP ME ,则易得四边形MNPE 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O 即为正方形MNPE 的中心,取ME 的中点1O ,连接1O O ,则11//,O O EP O O ⊄平面ABPE ,EP ⊂平面ABPE ,所以1//O O 平面ABPE ,故球心O 到平面APE的距离与1O 到平面APE 的距离相等,过点1O 作1O H AE ⊥,垂足为H ,易知AB ⊥面11AA D D ,1O H ⊂面11AA D D ,故1AB O H ⊥,又AB ⋂,,AE A AB AE =⊂平面ABPE ,所以1O H ⊥平面ABPE ,又1O H =1sin 454O E ︒=,所以球心O 到平面APE 的距离为4,由球的性质知,截面圆的半径r =4==,所以截面圆的周长为2πr =.故选D.12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是()A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑【答案】C【解析】因为()1f x +为偶函数,所以()()11f x f x +=-+①,所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称,因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②,又()()31f x g x -+=③,②+③得()()132f x f x -+-=④,即()()132f x f x +++=,即()()22f x f x +=-,所以()()()422f x f x f x +=-+=,故()f x 的周期为4,又()()13g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得()()132f x f x ++-=,故()f x 的图象关于点()2,1中心对称,且()21f =,故选项A 正确,由()()22f x f x +=-,()21f =可得()()01,41f f ==,且()()132f f +=,故()()()()12344f f f f +++=,故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑,因为()1f 与()3f 值不确定,故选项C 错误,因为()()31f x g x -+=,所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-,所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦,故()()()()01230g g g g +++=,故20230()50600i g i ==⨯=∑,所以选项D 正确,故选C .二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．若x ,y 满足约束条件321x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为________．【答案】112【解析】如图,画出可行域,2y x z =-+表示斜率为2-的一组平行线,当0z =时,首先画出初始目标函数2y x =-,当2y x =-平移至点C 时,z 取得最大值,联立32x y x y +=⎧⎨-=⎩,得52x =,12y =,即51,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,即max 51112222z =⨯+=.14．已知{}n a 是公比为(0)q q >)的等比数列,且246,,a a a 成等差数列,则q =__________．【答案】1【解析】在等比数列{}n a 中,246,,a a a 成等差数列,则4262a a a =+,即242222a q a a q =+,而20a ≠,整理得42210q q -+=,因为0q >,故解得1q =.15．已知()()sin 0f x x ωω=>,若在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实数a 、b 满足()()2f a f b +=,则实数ω的取值范围是__________．【答案】[)5,9【解析】因为π02x ≤≤,所以π02x ωω≤≤,因为在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实数a 、b 满足()()2f a f b +=,且()()sin 0f x x ωω=>,所以,函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个最大值点,所以,5ππ9π222ω≤<,解得59ω≤<,因此,实数ω的取值范围是[)5,9.16．已知抛物线24y x =的焦点为F ,点,P Q 在抛物线上,且满足π3PFQ ∠=,设弦PQ 的中点M 到y 轴的距离为d ,则1PQd +的最小值为__________．【答案】1【解析】由抛物线24y x =可得准线方程为=1x -,设|||,0,,|(0)PF a QF b a b ==>>,由余弦定理可得22222||||||2||||cos PQ PF QF PF QF PFQ a b ab =+-⋅∠=+-,由抛物线定义可得P 到准线的距离等于PF ,Q 到准线的距离等于||QF ,M 为PQ 的中点,由梯形的中位线定理可得M 到准线=1x -的距离为11(||||)()22PF QF a b +=+,则弦PQ 的中点M 到y 轴的距离1()12d a b =+-,故2222222||()344(1)()()PQ a b ab a b abd a b a b +-+-=⨯=⨯+++,又2()0,20,4,a b a b a b ab ab ++>>∴≤∴≤,则222223()()||441(1)()a b a b PQ d a b ++-≥⨯=++,当且仅当a b =时,等号成立,所以1PQd +的最小值为1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,60BAD ∠= ,AC 与BD 交于点O ,OP ⊥底面ABCD ,3OP =点E ,F 分别是棱PA ,PB 的中点,连接OE ,OF ,EF．(1)求证：平面//OEF 平面PCD ；(2)求三棱锥O PEF -的体积．【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形,AC 与BD 交于点O所以O 为AC 中点,点E 是棱PA 的中点,F 是棱PB 的中点,所以OE 为三角形ACP 的中位线,OF 为三角形BDP 的中位线,所以//OE PC ,//OF DP ,OE ⊄ 平面DCP ,PC ⊂平面DCP ,//OE ∴平面DCP ,OF ⊄Q 平面DCP ,DP ⊂平面DCP ,//OF ∴平面DCP ,而OE OF O ⋂=,OE ⊂平面OEF ,OF ⊂平面OEF ,∴平面//OEF 平面PCD.（2）因为底面ABCD 是边长为2的菱形,60BAD ∠= ,所以BAD 为等边三角形,所以1,OB OA ==因为OP ⊥底面ABCD,OA ⊂底面ABCD,OB ⊂底面ABCD,所以OP OA ⊥,OP OB ⊥,所以POA 和POB 均为直角三角形,所以PA =,2PB ==,所以22222cosPAB +-∠==所以sin PAB ∠所以122PAB S PAB =⨯∠=设点O 到平面PEF 的距离为h ,根据体积相等法可知O PAB P OAB V V --=,所以1111332h =⨯所以5h =.111111334348O PEF PEF PAB V S h S -⎛⎫=⋅⋅=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭ ,故三棱锥O PEF -的体积为18.18.（12分）为了检查工厂生产的某产品的质量指标,随机抽取了部分产品进行检测,所得数据统计如下图所示．(1)求a 的值以及这批产品质量指标的平均值；(2)若按照分层的方法从质量指标值在[)110,130的产品中随机抽取7件,再从这7件中随机抽取2件,求至少有一件的指标值在[)120130,的概率；(3)为了调查A B 、两个机器与其生产的产品质量是否具有相关性,以便提高产品的生产效率,质检人员选取了部分被抽查的产品进行了统计,所得数据如下表所示,判断是否有99.9%的把握认为机器类型与生产的产品质量具有相关性．A 机器生产B 机器生产优质品20080合格品12080附：()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.811 6.63510.828()()()()2()n ad bc k a b c d a c b d -=++++．【解析】（1）由题图可知,0.005210100.03100.04101a ⨯⨯+⨯+⨯+⨯=,解得0.02a =,质量指标的平均值1050.051150.41250.31350.21450.05123x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）依题意,质量指标值在[)110,120的有4件,记为1、2、3、4,质量指标值在[)120130,的有3件,记为、、A B C ,则随机抽取2件,所有的情况为()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,,1,,1,,2,3,2,4,2,,2,A B C A B ,()()()()()()()()()()()2,,3,4,3,,3,,3,,4,,4,,4,,,,,,,C A B C A B C A B A C B C ,共21件,其中满足条件的为()()()()()()()()()()()1,,1,,1,,2,,2,,2,,3,,3,,3,,4,,4,A B C A B C A B C A B ,()()()()4,,,,,,,C A B A C B C ,共15件,故所求概率155217P ==．（3）完善表格如下：A 机器生产B 机器生产总计优质品20080280合格品12080200总计320160480在本次试验中,2K 的观测值2480(160009600) 6.85710.828280*********k ⨯-=≈<⨯⨯⨯,故没有99.9%的把握认为机器类型与生产的产品质量具有相关性．19.（12分）在ABC 中,π2ABC ∠=,点,D E 在边BC 上,BAD DAE EAC ∠=∠=∠且3BD =,5DE =.(1)求AB ；(2)求AEC △的面积.【解析】（1）由题意知,11sin 322115sin 22ABD AED AB AD DAB AB BD S AB BD AE S DE AE AD DAE AB DE ⨯∠⨯⨯=====⨯∠⨯⨯ .设3AB x =,所以5AE x =.在Rt ABE △中,48BE x ==,所以2x =,从而36AB x ==.（2）设BAD DAE EAC ∠∠∠α===,在Rt △ABD 中,31tan 62BD AB α===,在Rt ABE △中,84tan263BE AB α===,所以14tan tan21123tan3141tan tan22123ααααα++===--⨯.在Rt ABC △中,由11tan362BC BC AB α===,得33BC =,所以25EC =,从而AEC △的面积为112567522EC AB ⋅=⨯⨯=.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b -=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅ 为定值；(3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由．【解析】（1）由题可得1,2c a a==,故可得2c =,则222413b c a =-=-=,故C 的标准方程为2213y x -=.（2）由（1）中所求可得点A ,2F 的坐标分别为()()1,0,2,0-,又双曲线渐近线为3y x =,显然直线PQ 的斜率不为零,故设其方程为2x my =+,33m ⎛⎫≠± ⎪ ⎪⎝⎭,联立双曲线方程2213y x -=可得：()22311290m y my -++=,设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则121222129,3131m y y y y m m +=-=--,()121224431x x m y y m +=++=--,()221212122342431m x x m y y m y y m --=+++=-；又直线AP 方程为：()1111y y x x =++,令12x =,则11321y y x =⋅+,故点M 的坐标为1113,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；直线AQ 方程为：()2211y y x x =++,令12x =,则22321y y x =⋅+,故点N 的坐标为2213,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；则22MF NF ⋅ 12123333,,221221y y x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭212212122299999313444414413131y y m m x x x x m m -=+⋅=+⋅--+++-+--9990449=+⋅=-故22MF NF ⋅ 为定值0.（3）当直线PQ 斜率不存在时,对曲线22:13y C x -=,令2x =,解得3y =±,故点P 的坐标为()2,3,此时290PF A ∠=︒,在三角形2PF A 中,223,3AF PF ==,故可得245PAF ∠=︒,则存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；当直线PQ 斜率存在时,不妨设点P 的坐标为(),x y ,2x ≠,直线2PF 的倾斜角为α,直线PA 的倾斜角为β,则2PF A πα∠=-,2PAF β∠=,假设存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立,即2παβ-=,则一定有()22tan tan tan tan 21tan βπααββ-=-==-,也即2221PA PF PA k k k -=-；又22PF y k x -=--；()()()22222221211111PA PA y y x k x y k x y x ++==-+--+；又点P 的坐标满足2213y x -=,则2233y x =-,故()()()()222222*********PA PA y x y x k k x y x x ++==-+-+-+()()()()221212242212y x y x yx x x x x ++===--++--+-2PF k =-；故假设成立,存在实数常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；综上所述,存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠恒成立.21.（12分）设函数()()21e 02x f x ax f x =--.(1)从下面两个条件中选择一个,求实数a 的取值范围；①当0x ≥时,()1f x ≥；②()f x 在R 上单调递增.(2)当1a >时,证明：函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <,且21x x -随着a 的增大而增大.【解析】（1）令0x =,则()01f =,所以()21e 2x f x ax x =--,则()e 1x f x ax '=--,令()()k x f x '=,则()e x k x a '=-,选①：当1a ≤时,因为0x ≥时,e 1,()0x k x '≥≥,所以()f x '在[)0,∞+上单调递增,又()00f '=,所以当0x ≥时,()0f x '≥,说明()f x 在[)0,∞+上单调递增,所以()()01f x f =≥,符合题意；当1a >时,ln 0a >,当0ln x a <<时,()0k x '<,所以()f x '在()0,ln a 上单调递减,又()00f '=,所以当0ln x a <<时,()0f x '<,说明()f x 在()0,ln a 上单调递减,所以当0ln x a <<时,()()01f x f <=,此时不符合题意；综上,实数a 的取值范围(],1-∞.选②：()f x 在R 上单调递增,所以()0f x '≥在R 上恒成立,当0a ≤时,()0k x '>,所以()f x '在R 上递增,又()00f '=,所以当0x <时,()0f x '<,所以()f x 在0x <上单调递减,不符合题意；当0a >时,当ln x a <时,()0k x '<,所以()f x '在(),ln a ∞-上单调递减,当ln x a >时,()0k x '>,所以()f x '在()ln ,a ∞+上单调递增,从而()()ln ln 1f x f a a a a ≥=--,由()0f x '≥在R 上恒成立,得ln 10a a a --≥,令()()ln 1,ln g a a a a g a a '=--=-,说明()g a 在()0,1单调递增,在()1,+∞单调递减,所以()()10g a g ≤=,当且仅当1a =时取得等号,故1a =.综上,实数a 的取值范围{}1.（2）当1a >时ln 0a >,当ln x a <时()0k x '<,()f x '在(),ln a ∞-上单调递减,又()00f '=,当0x <时,()0f x ¢>,说明()f x 在(),0∞-上单调递增,当0ln x a <<时,()0f x '<,说明()f x 在()0,ln a 上单调递减,所以10x =为极大值点.由（1）有e 1x x x ≥+>,则222e e e 4xx x x =>,所以当1x >时,有()()2e 114xx f x ax a x =-->-+',所以当()41x a >+时,()0f x ¢>,所以()()2ln ,41x a a ∃∈+使得()20f x '=.当()2ln ,x a x ∈时,()0f x '<,当()()2,41x x a ∈+时,()0f x ¢>,所以2x x =为极小值点,综上,函数()f x 有两个极值点12,x x ；其中2x x =满足()20f x '=,所以22e 1x a x -=,设()e 1(0)x h x x x -=>,则()()2e e 1x x x h x x-+-=',由（1）知e 1x x -≥-+,所以()()0,h x h x '≥单调递增,所以2x 随着a 的增大而增大,又10x =,所以212x x x -=,故21x x -随着a 的增大而增大.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；(2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2240x y x +-=,得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=,即4cos ρθ=．将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去,得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入,得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=,即2sin ρθ=．（2）由题得4cos OP α=,3π4cos 4sin 2OM αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,π2sin 2cos 2ON αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,4sin 2cos NM OM ON αα=+=+,因为OP MN ⊥,所以()()2114sin 2cos 4cos 24sin cos 2cos 22MPN S MN OP αααααα=⨯=+⋅=+△()()22sin 2cos 21222αααϕ=++=++≤,其中1tan 2ϕ=,π02ϕ<<,当π22αϕ+=,即π42ϕα=-时,MPN △的面积取得最大值2+．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,a b ¹,0c >．(1)求m 和n ；(2)证明：a b +<【解析】（1）函数()1g x x =-的最小值为0m =,此时1x =,当1x >时,()121f x x x x =-+=-,当01x ≤≤时,()11f x x x =-+=,当0x <时,()121f x x x x =--=-+,函数()21,111,0112,0x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-<⎩,函数在(,0]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,当01x ≤≤时,()1f x =,所以函数()f x 的最小值为1n =,故0,1m n ==.（2）由（1）知0a b c ++=,1abc =,因为0a b c +=-<,10ab c=>,所以a<0,0b <,0a ->,0b ->,1()()a b c ab-+-==,又因为2()()()2a b ab a b a b --⎛⎫=--<≠ ⎪⎝⎭,所以212ab a b ⎛⎫> ⎪--⎝⎭,又1()()a b ab -+-=,所以3[()()]4a b -+->,所以()()a b -+->a b +<。

2021年高三数学摸底考试试题理

2021年高三数学摸底考试试题理【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。

试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。

突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

全面考查了考试说明中要求的内容。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1．已知集合，,则A．B． C．D．【知识点】集合的并集的求法.A1【答案解析】B 解析：因为集合，即，又因为，所以，故选B.【思路点拨】先化简集合，再求结果即可.【题文】2．设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则A. B. C. D.【知识点】复数的运算.L4【答案解析】A 解析：因为复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则，所以，故选A.【思路点拨】先利用已知条件求出再计算结果即可.【题文】3．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A．若则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【知识点】空间中的平行关系、垂直关系.G4、G5【答案解析】B 解析：对于选项A：m、n平行、相交、异面都有可能；选项B显然成立【思路点拨】利用空间中线面平行、垂直的判定与性质确定结论。

【题文】4．设等比数列的前n项和为，若则A．31 B．32 C．63 D．64【知识点】等比数列的性质；等比数列的前n项和． D3【答案解析】C 解析：由等比数列的性质可得成等比数列，即成等比数列，∴，解得63，故选A.【思路点拨】由等比数列的性质可得成等比数列，代入数据计算可得．【题文】5. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A．B． C．D．【知识点】函数的奇偶性与单调性.B3、B4【答案解析】D 解析：根据四个函数的图像获得正确选项。

高三数学文科摸底考试卷试题

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日2021-2021学年度高三数学文科摸底考试卷本套试卷分第I 卷〔选择题〕第二卷〔非选择题〕两局部，一共150分。

考试时间是是120分钟.第一卷〔选择题 60分〕参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么球的外表积公式 24R S π=P(A+B)=P(A)+P(B) 其中R 表示球的半径假如事件A 、B 互相HY ，那么球的体积公式334R V π=P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径假如事件A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么n 次HY 重复试验中恰好发生k次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，有且只有一项符合题目要求.1．集合N M x N x x M x则},212|{},3|{>=<=等于〔〕A ．φB ．{x |－1<x <3}C．{x |0<x <3}D ．{x |1<x <3}2．函数)43tan()(π+=x x f 的最小正周期是〔〕A ．πB ．32π C ．6π D ．3π 3．a >1，log a x 1<log a x 2<0，那么〔〕A ．0<x 1<x 2<1B ．x 1>x 2>1C ．0<x 2<x 1<1D ．x 2>x 1>14．设P 是双曲线19422=-y x 上一点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，假设|PF 1|=3，那么|PF 2| 等于〔〕A ．1或者5B ．6C ．7D ．9 5．函数)0(132≤+=x x y 的反函数是〔〕A ．)0()1(3≥-=x x yB ．)0()1(3≥--=x x yC ．)1()1(3≥-=x x yD ．)1()1(3≥--=x x y6．P A 、PB 、PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均60°，那么直线PC 与平面P AB 所成的角的余弦值为〔〕A ．21B ．22 C ．23 D ．33 7．在以下函数中，既是奇函数又在区间〔0，+∞〕上单调递增的是〔〕A ．y =－x 2B ．y =x 3－xC．||1x x y +=D ．y =x 2sin x8．设)]21([,1||11,1||,2|1|)(2f f x x x x x f 则⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--=等于〔〕A ．21 B ．134C ．59-D ．4125 9．设S n 、T n 分别为等差数列{a n }与{b n }的前n 项和，假设77,2312b a n n T S n n 则+-=等于〔〕A ．2313B ．4427 C ．4125 D ．3823 10．关于直线m 、n 与平面α、β，有以下四个命题：①假设m //α,n //β且α//β，那么m //n ；②假设m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，那么m ⊥n ；③假设m ⊥α，n //β且α//β，那么m ⊥n ；④假设m //α，n ⊥β且α⊥β，那么m //n . 其中真命题是〔〕A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③11．球面上有A 、B 、C 三点，BC =23，AB =AC =2，假设球的外表积为20π，那么球心到平面ABC 的间隔为〔A ．1B ．2C ．3D ．212．抛物线y 2=4x 的顶点O ，A 、B 在抛物线上，且直线AB 过抛物线的焦点，那么△OAB 一定是〔A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分，把答案填写上在题中横线上。

高三数学摸底考试试题理含解析试题

2021届高三数学摸底考试试题理〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． z 满足()1i z i +=〔i 是虚数单位〕，那么z 的虚部为〔〕 A.12 B. 12-C.12i D. 12i -【答案】A 【解析】【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的一共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部. 【详解】因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为12. 应选A.【点睛】此题考察了复数的除法运算和复数的概念,属于根底题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的一共轭复数,转化为乘法运算.{1234}A =，，，，{}260B x x x =--≤，那么A B =〔〕A. {1}B. {12}，C. {2,3}D. {12,3}，【答案】D 【解析】{}60,23,1,2,3x x x A B--≤∴-≤≤⋂=,选D.3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运发动9场比赛所得分数的茎叶图，那么以下说法错误的选项是〔〕A. 甲所得分数的极差为22B. 乙所得分数的中位数为18C. 两人所得分数的众数相等D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为11151720222224323319699x++++++++==甲，乙的平均分为8111216182022223116099 x++++++++ ==乙，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，应选D.【点睛】此题考察了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考察根本概念，根本计算的，属于根底题型.,x y满足约束条件220,10,0.x yxy+-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，那么2z x y=-的最小值为〔〕A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】A 【解析】【分析】画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩表示的平面区域，如下图．由2z x y =-可得1122y x z =-，那么12z -表示直线1122y x z =-在y 轴上的截距，纵截距越大，z 越小．作直线20x y -=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点B 时，12z -最大，z 最小．由2201x y x +-=⎧⎨=⎩可得1(1,)2B ，此时0z =，应选：A ．【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决此题的关键．{}n a 的各项均为正数，假设3132312log log log 12a a a ++⋯+=，那么67a a ＝〔〕A. 1B. 3C. 6D. 9【答案】D 【解析】【分析】首先根据对数运算法那么，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++= ，可得31212log 12a a a =，进而可得()6121212673a a a a a == ，679a a ∴= .【点睛】此题考察了对数运算法那么和等比数列性质，属于中档题型，意在考察转化与化归和计算才能.()sin ,0,621,0.x x x f x x ππ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩那么()()21f f -+=( )A.62+B.62- C.72D.52【答案】C 【解析】【分析】结合分段函数的表达式，利用代入法进展求解即可．【详解】解：1(2)sin(2)sin 662f πππ-=-+==，f 〔1〕1213=+=，∴17(2)(1)322f f -+=+=，应选：C ．【点睛】此题主要考察函数值的计算，利用代入法是解决此题的关键．属于根底题．7.ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．假设向量(),cos m a A =-，()cos n C c =-，且0m n ⋅=，那么角A 的大小为〔〕A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】【分析】利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角A 的方程，得解．【详解】由0m n =得，0(,cos )(cos ,2)cos )cos a A C b c a C c A =--=--，由正弦定理得，sin cos cos sin cos 0A C B A C A +=，化为sin()cos 0A C B A +-=，即sin cos 0B B A =，由于sin 0B ≠，∴cos 2A =()0,A π∈∴4A π=，应选：B ．【点睛】此题主要考察平面向量的数量积和正弦定理，考察和角的正弦公式的应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.8.执行如下图的程序框图，那么输出的m 的值是〔〕A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算S 的值并输出变量m 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得开场 0S =1m =① 1122100⨯=< 2m =② 12122210100⨯+⨯=< 3m = ③ 12312223234100⨯+⨯+⨯=< 4m = ④ 12341222324298100⨯+⨯+⨯+⨯=< 5m =⑤ 123451222324252258100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>6m =应选：B ．【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．ABCD 的对角线交点为O '，周长为410，四个顶点都在球O 的外表上，且3OO '=，那么球O 的外表积的最小值为〔〕A.3223πB.6423πC. 32πD. 48π【答案】C 【解析】【分析】首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用根本不等式求出球的半径，进一步求出球的外表积的最小值．【详解】如图，设矩形ABCD 的两邻边分别为a ，b ，那么210a b +=，且外接圆O '的半径222a b r +=．由球的性质得，OO '⊥平面ABCD ，所以球O 的半径2222(3)34a b R r +=+=+由均值不等式得，2222a ba b ++222()202a b a b++=，所以222220(3)33844a b R r +=+=++=，当且仅当10a b == 所以球O 的外表积的最小值为2432R ππ=，【点睛】此题考察的知识要点：球的外表积公式的应用，根本不等式的应用，主要考察学生的运算才能和转换才能及思维才能，属于根底题型．()()221x f x x a x e =++，那么“a =()f x 在-1x =处获得极小值〞的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出原函数的导函数，分析函数()f x 在1x =-处获得极小值时的a 的范围，再由充分必要条件的断定得答案．【详解】解：假设()f x 在1x =-获得极小值，2222()[(2)1](1)(1)x x f x x a x a e x x a e '=++++=+++．令()0f x '=，得1x =-或者21x a =--． ①当0a =时，2()(1)0xf x x e'=+．故()f x 在R 上单调递增，()f x 无最小值；②当0a ≠时，211a --<-，故当21x a <--时，()0f x '>，()f x 单调递增；当211a x --<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增．故()f x 在1x =-处获得极小值．综上，函数()f x 在1x =-处获得极小值0a ⇔≠．∴“a =()f x 在1x =-处获得极小值〞的充分不必要条件．【点睛】此题考察利用导数研究函数的极值，考察充分必要条件的断定，属于中档题．2222C :1(0,b 0)x y a a b -=>>的左、右焦点分别为()10F c －，，()20F c ，，点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．假设双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+，那么双曲线C 的离心率的取值范围为( )A. ⎝B.C. 1,(5,)3⎛+∞ ⎝⎭D. (13,)+∞【答案】C 【解析】【分析】首先根据双曲线的定义，212MF MF a =+，转化为124MF MN a b ++>，即()1min24MFMNa b ++>，根据数形结合可知，当点1,,M F N 三点一共线时，1MF MN +最小，转化为不等式23242b a b a+>，最后求离心率的范围.【详解】由可得212MF MF a -=，假设2||4MF MN b +>，即1|||24MF MN a b ++>‖，左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>，如下图，当点M 位于H 点时，1||MF MN +最小，故23242b a b a +>，即22348b a ab +>, 223840,(2)(23)0b ab a a b a b ∴-+>∴-->,23a b ∴>或者222,49a b a b <∴>或者22224,913a b c a <∴<或者225,1c c a a >∴<<5,ca >∴双曲线C 的离心率的取值范围为131,(5,)3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】此题考察离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考察化归和计算才能，关键是根据几何关系分析1|||MF MN +‖的最小值，转化为,a b 的代数关系，最后求ca的范围.x 的不等式ln 210x x kx k -++>在()2,+∞内恒成立，那么满足条件的整数k 的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】由题意知别离参数得到ln 12x x k x +<-，通过研究()ln 12x x g x x +=-的()g x '虚设零点0x ，利用零点存在性定理得()06,7x ∈并回带零点得到()min g x 的范围，进而得到对应整数k 的最大值．【详解】解：根据题意，()2ln 1k x x x -<+对于2x >恒成立ln 12x x k x +∴<-令()ln 12x x g x x +=-，只需()min k g x <即可()()22ln 32x x g x x -+-=-'令()2ln 3h x x x =-+-()20x h x x-'=> ()h x ∴在()2,+∞递增，()()33632ln 62ln 62ln 602h e ⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭，()()2742ln 72ln ln 70h e =-=-> ，故存在()06,7x ∈，使得()00h x =， 002ln 3=0x x ∴-+-即003ln =2x x - ，而()g x 在()02x ，递减，()0x +∞，递增，由()06,7x ∈，()()()000000min 00-3·+1ln -12==== 2.5,3-2-22x x x x x g x g x x x ∴∈ ()min K g x <故整数k 的最大值为2，应选：A ．【点睛】此题考察了利用导数研究函数的单调性，考察了零点存在性定理，属于中档题．第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在答题卡上．y 与宣传费用x 之间的关系如表：销售额y 与宣传费用x 具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为9y bx =+，那么b 的值是__________．【答案】6.5 【解析】【分析】由表中数据计算平均数，代入回归直线方程中求得回归系数．【详解】由表中数据，计算0123425x ++++==，10152030351102255y ++++===，又归直线方程为ˆˆ9y bx =+过样本中心点(2,22)得， ˆ2229b=+，解得13ˆ 6.52b==．故答案为：．【点睛】此题考察了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是根底题．C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕．假设点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线l ：20x y +-=上的动点，那么PQ 的最小值为__________．【答案】5【解析】【分析】先表示出曲线C 上的点到直线间隔，再利用三角函数的图像和性质求|PQ|的最小值.【详解】表示曲线2cos ,:(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数〕上任意点(2cos ,sin )P θθ到直线:20l x y +-=的间隔d当sin()1θα+=时，||min min PQ d ===．故答案为：5【点睛】此题考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的间隔公式的应用，主要考察学生的运算才能和转换才能，属于根底题型．15.()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，其导函数为()f x '，8f π⎛⎫=⎪⎝⎭x 0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 22()cos 20f x x f x x '+>，那么不等式()21f x sin x ＜的解集为______．【答案】,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】首先根据构造函数，()()sin 2g x f x x =⋅ ，根据导数可知函数()g x 单调递增，即()()sin 218f x x g x g π⎛⎫⋅<⇔< ⎪⎝⎭，再结合奇偶性得到不等式的解集.【详解】令()() 2g x f x sin x =，那么()()()' 22 2g x f x sin x f x cos x =+当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0g x g x >，单调递增，且sin 18842g f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为()sin 21f x x <等价于()sin 2sin 288f x x f ππ⎛⎫⎛⎫<⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即g(x)<g(8π)，又()()sin 2g x f x x =为偶函数，所以8x π<，故88x ππ-<<，故不等式()21f x sin x <的解集为,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】此题考察了函数的奇偶性，函数与方程，函数与不等式，导数的应用，涉及函数与方程思想，数形结合思想和转化化归思想，考察逻辑思维才能，等价转化才能，运算求解才能，综合性较强，此题的关键是构造函数()() 2g x f x sin x =，根据导数分析函数的单调性，并且判断()g x 是偶函数.()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l 。

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