曾五一 应用统计学 第4章

二、随机向量的数字特征 均值向量存在以下性质： E（AX）=AEX； E（AXB）=AE（X）B； E（AX+BY）=AEX+BEY 其中X、Y为随机向量，A、B为阶适合运算的 常数矩阵。 对于相互独立的随机变量X和Y，成立： E（XY）=E（X）E（Y）
随机变量X、Y之间的协方差是：
XY Cov( X , Y ) E[( X EX )(Y EY )]
68.27% -3σ -2σ -σ 0 95.45% 99.73%

2σ
3σ



正态分布常见对称区间概率
2 -分布。设X 1 , X 2 , , X n 是相互独立，且 （1）
服从标准正态分布的随机变量，则称随 机变量： X 2 -分布。 所服从的分布为自由度为n的
2 n i 1 2 i
2 2 2 i
二项分布表 k p(Bk) 0
0 Cn p 0 q n
1
1 C n p 1 q n 1
2
2 C n p 2 q n2
„ „
n
n Cn p n q 0
三、连续型随机变量的概率分布 连续型随机变量的密度函数有以下的性 质： (1) p(x)≥0； (2) px d x 1 ；
F Y m
所服从的分布为F-分布，（m，n）称为 它的自由度。
第三节 随机向量及其分布简介
一、随机向量及其分布 设 X 1 , X 2 ,, X p 为某一随机试验涉及的p个随机变量，称
( X 1 , X 2 ,, X p )T
为p维随机列向量，（X1 , X 2 ,, X p ）为p维 随机行向量；无论列向量还是横向量， 都简称为p维随机向（变）量。
概率分布有以下性质： (1)0≤p(xi)≤1 (i=1,2, …)； (2) px i 1 。
i
离散型随机变量X的期望值为：
E X xi p xi
i
方差为：
Var( X ) E X xi pxi
条件概率的计算公式是：
p( AB) p( A B) p( B)
从条件概率公式我们可得到以下的“乘 法定理”：
p( AB) p( B) p( A B),(Biblioteka Baidup( B) 0) p( AB) p( A) p( B A),( p( A) 0)
【例4-4】甲、乙两企业存在既竞争又合 作的关系，知道甲企业一年中能推出新 产品的概率是20%，乙企业一年中能推 出新产品的概率是18%，两企业一年中 都能推出新产品的概率是12%。若以A记 “甲企业一年中推出新产品”，B记“乙 p( A) p( B 企业一年中推出新产品”，则 =0.20) p( A B) p( AB ， =0.18，) =0.12。试求：
对于事件A与B，若p(AB)=p(B)p(A)，则 称它们是统计独立的，简称相互独立。
四、全概率公式与贝叶斯公式 （一）全概率公式 设事件A1，A2，…，An是样本空间的一个分割，即所 有Ai两两互不相容， p( Ai ) >0，i=1，2，…，n 。而且： A1 A2 An Ω，则有：
p( Ai ) p( B Ai ) p( Ai B) p( Ai B) n p ( B) p( Ai ) p( B Ai )
i 1
【例4-6】 为了提高某产品的质量，公司经理 考虑增加投资改进生产设备。但从投资效果看 ，有二种状况可能发生： A1：改进生产设备后，高质量产品可占90%； A2：改进生产设备后，高质量产品可占70%。 按经理过去的经验，p(A1)=0.4，p(A2)=0.6； 这是事前概率。经理为了慎重起见，做了一项 小规模试验，试验结果是：改进设备生产五个 产品，全是高质量的产品。试问该经理根据试 验的结果，会不会改变原来的信念？
二、随机事件的概率 1.概率的定义 概率又称机率，是对随机事件发生可能 性的度量。如何理解概率？最直观的办 法就是进行重复试验，通过试验的频率 来体现概率。
频率试验结果
实验者 Demorgan Buffon Pearson(1) Pearson(2) 投掷硬币的 次数(n) 2 048 4 040 12 000 24 000 正面朝上的 次数(m) 1 061 2 048 6 019 12 012 频率=m/n 0.518 0.506 9 0.501 6 0.500 5
3．关于主观概率 一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生 可能性所给出的个人信念，这样给出的概率称 为主观概率。自主观概率提出以来，使用者越 来越多，特别是在经济领域和决策分析中，应 用非常广泛，因为在那里遇到的随机现象大多 是不能重复试验的，无法通过频率来确定概率 。
三、条件概率与事件独立 （一）条件概率 已知某一事件B已经发生，我们如何利用这项 信息，求与事件B有联系的事件A发生的概率， 这时所求的概率称为条件概率。 设A，B为任意两个事件，其中p( B) 0，在事件B 已经发生的条件下，事件A发生的概率称为条 件概率，记为 p( A B)。
（2）t-分布
设X服从标准正态分布，Y服从自由度为n 的卡方分布，且它们相互独立，则随机 X 变量：T Y /n 所服从的分布是自由度为n的t-分布。一 般当n大于或等于30时，t-分布与标准正 态分布的差别已非常小，可用标准正态 分布代替它。
（3）F-分布。设X和Y是相互独立的卡方 分布，自由度分别是m和n，则称随机变 X n 量：
第二节 随机变量及其概率分布
一、随机变量的含义 随机变量就是其取值带有随机性的变量 ，在给定的条件下，这种变量取何值事 先不能确定，只能由随机试验的结果来 定，并且随试验的结果而变。 随机变量：离散型随机变量； 连续型随机变量。
二、离散型随机变量的概率分布
X P x1 x2 „ xn „
p(x1) p(x2) „ p(xn) „
正态分布的密度函数：
px
1 2
x 2
e
2 2
x
= 0.5
=1 =2

正态分布图形
标准正态分布的密度函数
pz 1 2
z2 2
e
z
【例4-8】某企业年销售额服从均值为75 万元、标准差为12万元的正态分布。那 么某年该企业销售额在75万元到90万元 之间的概率应为多少？
在随机试验中，可能出现也可能不出现的结果 ，称之为随机事件，简称事件。试验的结果可 能是一个简单事件，也可能是一个复杂事件。 简单事件就是不可以再分解的事件，又称为基 本事件。复杂事件是由简单事件组合而成的事 件。基本事件也称样本点，设试验有n个基本 事件，分别记为(i=1,2,…，n)。集合 Ω={ω1,ω2,…，ωn}，称为样本空间，Ω中的元 素就是样本点。
第四章 概率与概率分布
1
本章主要内容：
第一节 随机事件与概率 第二节 随机变量及其概率分布 第三节 随机向量及其分布简介
2
第一节 随机事件与概率
一、随机试验与随机事件 随机试验必须满足以下的性质： （1）每次试验的可能结果不是唯一的； （2）每次试验之前不能确定何种结果会 出现； （3）试验可在相同条件下重复进行。
p( B) p( Ai ) p( B Ai )
i 1 n
这个公式称为全概率公式
【例4-5】某工厂有甲、乙、丙三个车间 生产同一种产品，其产量分别占全厂产 量的25%、35%、40%，其次品率分别 是5%、4%、2%。从全厂产品中任取一 件产品，该产品是次品的概率是多少？
（二）贝叶斯公式 0 在全概率公式的条件下，进一步设 p(B)， 则对任意的i=1，2，…，n，有：

(3) p(a X b) a p( x) d x
b
P(a≤x<b) a b
概率的几何意义
正态分布是最重要的一种连续型随机变量分布 ，原因有三： 第一，它是最常见的一种分布，许多随机变量 服从或近似服从正态分布； 第二，许多有用的分布可以由正态分布推导出 来，如卡方分布、t分布和F分布都可由正态分 布导出； 第三，正态分布在一定条件下，还是一些其他 分布的近似分布，如大样本下的t分布与正态分 布近似。
三、多元正态分布 ( X 1 , X 2 ,, X p )T 若p维随机向量X= 的密度函数 为：
f ( x1 ,, x p ) 1 ( 2 )
p 1/ 2
1 exp{ ( x ) 1 ( x )} 2
f
X2 ( 1 , 2 ) X1
二元正态分布密度函数
解： 设X表示该企业的销售额，要计算的概率 是P(75<X<90)。首先对X进行标准化： X 75 Z= 12 将计算X的概率转化为计算Z的概率： 75 75 X 75 90 75 P P(75<X<90)= 12 12 12 P 0 Z 1.25 =0.394 4
如果随机试验的样本空间是有限集合， 所有样本点出现的可能性相同，则事件A 的概率可根据以下公式计算：
m A包含的样本点个数 P A n 样本点总数
这样的概率计算模型，称为古典概型。
2.概率的基本性质 性质1：P(A)≥0； 性质2：P(Ω)=1。 性质1称为概率的非负性，性质2称为概 率的规范性。 性质3：若事件A与事件B互不相容，则： P(A∪B)=P(A)+P(B)
确定性现象，是指在一定的条件下，其结果能 够明确预见的现象。我们把确定性现象的结果 也看作一种特殊的随机事件：必然事件，用样 本空间Ω表示。还有一种特殊的随机事件：不 可能事件；不可能事件就是不可能出现的试验 结果，用空集Ф表示。 “A发生或B发生”事件记为A∪B；把“A与B 同时发生”事件记为A∩B，或AB。如果AB=Ф ，称A与B不相容。