函数模型的应用实例练习题及答案解析

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【金版新学案】高一数学人教A版必修一练习：3.2.2函数模型的应用实例(含答案详析)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常(正常体温约为37 ℃)，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是( )解析：观察选项A 中的图象，体温逐渐降低，不符合题意；选项B 中的图象不能反映“下午他的体温又开始上升”这一过程；选项D 中的图象不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”这一过程．答案： C2．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，则汽车离开A 地的距离x 关于时间t (小时)的函数解析式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，t 150－50t tD ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，t 150，t150－t －t解析：显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数，选D.答案： D3．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．600只D ．700只解析：将x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)得，100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.答案： A4．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S ，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，S 有最大值为18. 答案： A二、填空题(每小题5分，共15分)5．生产某机器的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时生产的机器台数为________台．解析：设该厂获利润为g (x )，则g (x )＝25x －y ＝25x －(x 2－75x )＝－x 2＋100x ＝－(x －50)2＋2 500，当x ＝50时，g (x )有最大值2 500万元．答案： 506．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.下图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min ，那么y ＝f (x )的解析式为________．解析：由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x x ，x，110x －x答案： y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x x 30<x110x －x7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x 、y 应分别为________．解析：由图知x 、y 满足关系式x 20＝24－y 16，即y ＝24－45x ，矩形的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫24－45x ＝－45(x －15)2＋180，故x ＝15，y ＝12时S 取最大值．答案： x ＝15，y ＝12三、解答题(每小题10分，共20分)8．某游乐场每天的盈利额y 元与售出的门票张数x 之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：(1)求y 与x 的函数解析式；(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？解析： (1)由图象知，可设y ＝kx ＋b ，x ∈[0,200]时，过点(0，－1 000)和(200,1 000)，解得k ＝10，b ＝－1 000，从而y ＝10x －1 000；x ∈(200,300]时，过点(200,500)和(300,2 000)，解得k ＝15，b ＝－2 500，从而y ＝15x －2 500，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －1 000，x ∈[0，200]，15x －2 500，x ∈，300].(2)每天的盈利额超过1 000元，则x ∈(200,300]，由15x －2 500>1 000得，x >7003，故每天至少需要卖出234张门票．9．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm ，椅子的高度为x cm ，则y 应是x 的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：(1)请你确定y 与(2)现有一把高42.0 cm 的椅子和一张高78.2 cm 的课桌，它们是否配套？为什么？解析： (1)根据题意，课桌高度y 是椅子高度x 的一次函数，故可设函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式．得⎩⎪⎨⎪⎧ 40k ＋b ＝75，37k ＋b ＝70.2，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.6，b ＝11，所以y 与x 的函数解析式是y ＝1.6x ＋11. (2)把x ＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y ＝1.6×42＋11＝78.2. 所以给出的这套桌椅是配套的．。

人教a版必修1学案：3.2.2函数模型的应用实例(含答案)

3.2.2 函数模型的应用实例自主学习1．掌握几种初等函数的应用．2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法． 3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)________________________________________________； (2)________________________________________________； (3)________________________________________________． 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________；(3)______________； (4)______________； (5)________；(6)______________．对点讲练已知函数模型的应用问题【例1】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400).其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．自建函数模型的应用问题【例2】某公司每年需购买某种元件8 000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？变式迁移2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．函数模型的选择【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c(其中a，b，c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．变式迁移3 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)(1)Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．1．解答应用题的基本步骤： (1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题； (3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的答案． 2．在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：课时作业一、选择题1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．V ＝log 2tB ．V ＝log 12t C ．V ＝t 2－12D ．V ＝2t －22．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元3. 一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡() A．3人B．4人C．5人D．6人二、填空题5．60年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流量急速增加．某家客运公司为招揽游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过100 km，票价是0.4元/km；如果超过100 km，则超过100 km的部分按0.3元/km定价．则客运票价y元与行程公里x km之间的函数关系是______________________________．6. 右图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h．有人根据这个函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上骑自行车者．其中正确的序号是__________________________________________________．三、解答题7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少．8．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？3.2.2函数模型的应用实例答案自学导引1．(1)利用给定的函数模型解决实际问题 (2)建立确定性的函数模型解决问题 (3)建立拟合函数模型解决实际问题2．(1)收集数据 (2)描点 (3)选择函数模型 (4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解决实际问题对点讲练【例1】解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400).(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，f (x )取最大值．∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．变式迁移1 (1) y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110， t >110(2)0.6解析 (1)设y ＝kt (k ≠0)，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10， ∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．∴y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110，t >110.(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6，故至少需经过0.6小时．【例2】解设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入，设为c 元，则y ＝500n ＋2×8 000n ×12＋c＝500n ＋8 000n ＋c ＝500(n ＋16n )＋c＝500(n －4n )2＋4 000＋c ，当且仅当n ＝4n，即n ＝4时，y 取得最小值且y min ＝4 000＋c .所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．变式迁移2 解 (1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200xm ，总造价为y .∴y ＝400(2x ＋2×200x )＋248×200x ×2＋80×200＝800(x ＋324x )＋16 000.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<200x≤16，∴12.5≤x ≤16.故其定义域为[12.5,16]．(2)先讨论y ＝800(x ＋324x)＋16 000在[12.5,16]上的单调性．设x 1，x 2∈[12.5,16]且x 1<x 2，则y 1－y 2＝800[(x 1－x 2)＋324(1x 1－1x 2)]＝800(x 1－x 2)(1－324x 1x 2)．∵x 1，x 2∈[12.5,16]，x 1<x 2， ∴x 1·x 2<162<324.∴1－324x 1x 2<0，x 1－x 2<0.∴y 1－y 2>0.∴此函数在[12.5,16]上单调递减． ∴当x ＝16时，y min ＝45 000(元)，此时，宽为20016m ＝12.5 m.∴当池长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价最低为45 000元．【例3】解设f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3.解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3. 设g (x )＝ab x ＋c (a ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3.解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4，∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.经比较可知，用g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好．变式迁移3 解 (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c 108＝a ×1102＋b ×110＋c 150＝a ×2502＋b ×250＋c，解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg. 课时作业 1．C 2.A3．D [考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较．] 4．B [设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，可供4人洗澡．]5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.4x ，0<x ≤100，40＋0.3(x －100)，x >1006．①②解析 ③错，骑摩托车者出发1.5 h 时走了60 km ，而从图中可看出骑自行车者走的距离大于60 km.7．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x 0<x <240解得150≤x <240，x ∈N *∴生产者不赔本时的最低产量是150台．8．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60；当100<x <550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－0.02x ；当x ≥550时，P ＝51.∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为S 元，则 S ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x <550，11x ， x ≥550(x ∈N ＋)当x ＝500时，S ＝22×500－0.02×5002＝6 000(元)；当x ＝1 000时，S ＝11×1 000＝11 000(元)．∴当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果一次订购1 000个零件时，利润是11 000元．。

16三角函数模型简单应用练习及参考答案

1.6 三角函数模型简单应用练习题：1．你能利用函数sin y x =的奇偶性画出图象吗？它与函数sin y x =的图象有什么联系？2．已知：1sin 2α=-，若(1),22ππα∈-⎛⎫⎪⎝⎭； (2)(0,2)απ∈；(3)α是第三象限角；(4)α∈R ．分别求角α。

3．已知[]0,2θπ∈, sin ,cos θθ分别是方程210x kx k -++=的两个根，求角θ．4．设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角，求证：（1）sin A ＝sin C ；（2）cos （A ＋B ）＝cos （C ＋D ）；（3）tan （A ＋B ＋C ）＝－tan D ．5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大?6．把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着．．将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗？7．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖时，为确保对接成直角，在铁板上的下剪线正好是余弦曲线：cos xy a a=的一个周期的图象，问弯脖的直径为12 cm 时，a 应是多少cm ?8．已知函数f (x )=x 2cos 12-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0，2π]上的单调性。

9、（14分）如图，扇形AOB 的半径为2，扇形的圆心角为4π，PQRS 是扇形的内接矩形，设∠AOP=θ，（1）试用θ表示矩形PQRS 的面积y ；（2）利用正、余弦的和（差）与倍角公式化简矩形面积表达式y.10.某人用绳拉车沿直线方向前进100米,若绳与行进方向的夹角为30°,人的拉力为20牛,则人对车所做的功为多少焦.11．某港口水的深度y （米）是时间t ，单位：时）（24t 0≤≤，记作y=f(x),下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数b t Asin y +=ϖ的图象。

数学建模-指数函数模型的应用(含答案解析)

数学建模-指数函数模型的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．观察实际情景，提出并分析问题（1）实际情景2022年2月，某地发生了新冠肺炎疫情，新冠肺炎是一种传染病，其传染过程的强度和广度分为：（1）散发：是指传染病在人群中散在发生；（2）流行：是指某一地区或某一单位，在某一时期内，某种传染病的发病率，超过了历年同期的发病水平；（3）大流行：指某种传染病在一个短时期内迅速传播、蔓延，超过了一般的流行强度；（4）暴发：指某一局部地区或单位，在短期内突然出现众多的同一种疾病的病人. 如果在新冠肺炎传染的过程中不认为介入，切断其传染链，则对整个社会经济的发展带来严重的后果.（2）提出问题如果没有人工干预，不同时间段内的病例数会按照怎样的规律进行增长呢，对于某个时间内新增的病例数是否可以预测，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失呢？（3）分析问题可以通过收集合适地区的新增病例数并结合建立适当的数学模型，找出病例数增长规律，并对一定时间后新增病例进行估计以支持卫生部门的防疫工作.2.收集数据利用互联网等信息技术，我们可以搜索到一些原始的数据.例如，我们搜集到某地区一周内的累计病例数，请结合上述数据建立合理的数学模型，并估计第9天新增病例数.3．分析数据累计病例数是时间的函数，但没有现成的函数模型．因此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型，散点图如图所示：当然，我们可以利用信息技术，通过函数拟合的方法来帮助选择适当的函数模型. 4．建立模型根据散点图的形状可设函数模型近似为e at y k =，利用表中的数据可求0.221000e t y =. 5．检验模型画出函数的图形，对比散点图，吻合度很好.6．问题解决该地区病例数y 与时间t 基本满足0.221000e t y =的函数关系，第9天时，预计新增病例数为：0.2291000e 7242y ⨯=≈，我们会发现累计病例数急剧增加，需卫生防疫部门及时介入，采取相应阻断措施.7．问题拓展在上述模型的建立的过程中，我们根据散点图选择了函数模型，然后利用其中的两个点求出模型的两个参数，随着点的选择的不同，所得函数的模型也相异，那么请同学利用课余时间思考如何评价不同模型的优劣？2．大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，21Pa 1N/m =），已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化规律是0e kh p p -=，0p 是海平面大气压强，10.000126m k -=．当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的13，求高山上该处的海拔．3．牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h ，而在22℃的厨房中则约是42h.(1)写出保鲜时间y （单位：h ）关于储藏温度x （单位：℃）的函数解析式；(2)利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间；（参考数据15110.125732⎛⎫ ⎪≈⎝⎭，81170.32832⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，精确到1h ）(3)运用上面的数据，作此函数的图象.二、单选题4．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c （t ）（单位：mg/L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0e ktc c t -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg/L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）A ．5.32hB ．6.23hC ．6.93hD ．7.52h 5．2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730012t N N ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（0N 表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的2至34，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（）（参考数据：2log 3 1.6≈） A ．2600年 B ．3100年 C ．3200年D ．3300年参考答案：1．略【详解】略2．约为8719m 【分析】解方程001e 3kh p p -=即可得解. 【详解】解：由001e 3kh p p p -==可得ln3kh -=-，可得()ln 38719m h k =≈. 3．(1)22719232x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()0x(2)储藏温度为30C ︒保鲜时间约24小时；储藏温度为16C ︒保鲜时间约为63小时．(3)图象见解析【分析】（1）设(0x y k a k =≠，0a >且1)a ≠，则利用牛奶放在0C ︒的冰箱中，保鲜时间约为192h ，放在22C ︒的厨房中，保鲜时间约为42h ，即可得出函数解析式；（2）将30x =与16x =代入函数解析式，求值即可；（3）根据函数解析式画出函数草图．（1）解：设(0x y k a k =≠，0a >且1)a ≠，则有2219242?k k a =⎧⎨=⎩，∴1221927()32k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，22719232xy ⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭()0x ．（2）解：30x =时，30227192()3242y =≈，即储藏温度为30C ︒保鲜时间约24小时；16x =时，16227192()6332y =≈，即储藏温度为16C ︒保鲜时间约为63小时．（3）解：因为22719232x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()0x ，函数图象如下所示：．4．C【分析】利用已知条件()0.100e e 200kt t t c c --==，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L 时需要的时间为1t ，转化求解即可.【详解】解：由题意得：()0.100e e 200kt t t c c --==设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L 需要的时间为1t()10.1120001000e t t c -=≥10.12e 1t -≥ 故0.1ln 2t -≥-，ln 2 6.930.1t ≤≈ 故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h故选：C5．A【分析】根据题意列出不等式，求出22922865t <<，从而求出正确答案.57300001324t N N N ⎛⎫<⋅< ⎪⎝⎭，解得：22922865t <<，故选A. 故选：A。

范文函数模型的应用实例练习题及答案解析

1．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系，则可选用( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意；二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢．2．某种植物生长发育的数量yA ．y ＝2x －1B ．y ＝x 2－1C ．y ＝2x －1D ．y ＝－＋2解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D.3．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km 的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了小时后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是( ) A ．①②③ B ．①③C ．②③D ．①② 解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确；③骑摩托车者在出发了小时后，追上了骑自行车者，正确．4．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x2时面积最大，此时x ＝________，面积S ＝________. 解析：依题意得：S ＝(4＋x )(3－x 2)＝－12x 2＋x ＋12 ＝－12(x －1)2＋1212，∴当x ＝1时，S max ＝1212. 答案：1 12121)A ．指数函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．二次函数解析：选C.画出散点图，结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示．2．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )A ．14400亩B ．172800亩C ．17280亩D ．20736亩解析：选＝10000×(1＋20%)3＝17280.3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是( )A ．增加%B ．减少%C ．减少%D ．不增不减解析：选B.设该商品原价为a ，四年后价格为a (1＋2·(1－2＝.所以(1－a ＝＝%a ，即比原来减少了%.4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次元，普通车存车费是每辆一次元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )A ．y ＝＋800(0≤x ≤2000)B ．y ＝＋1600(0≤x ≤2000)C ．y ＝－＋800(0≤x ≤2000)D ．y ＝－＋1600(0≤x ≤2000)解析：选D.由题意知，变速车存车数为(2000－x )辆次，则总收入y ＝＋(2000－x )×＝＋1600－＝－＋1600(0≤x ≤2000)．5．如图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为四个选项中的( )解析：选C.设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋12a 2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方．故选C.6．小蜥蜴体长15 cm ，体重15 g ，问：当小蜥蜴长到体长为20 cm 时，它的体重大约是( )A ．20 gB ．25 gC ．35 gD ．40 g解析：选C.假设小蜥蜴从15 cm 长到20 cm ，体形是相似的．这时蜥蜴的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比．记体长为20 cm 的蜥蜴的体重为W 20，因此有W 20＝W 15·203153≈(g)，合理的答案为35 g ．故选C.7．现测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1；乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,，则应选用________作为拟合模型较好．解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．答案：甲8．一根弹簧，挂重100 N 的重物时，伸长20 cm ，当挂重150 N 的重物时，弹簧伸长________．解析：由10020＝150x，得x ＝30. 答案：30 cm9．某工厂8年来某产品年产量y 与时间t 年的函数关系如图，则：①前3年总产量增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变．以上说法中正确的是________．解析：观察图中单位时间内产品产量y 变化量快慢可知①④.答案：①④10.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系可近似看作一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，函数图象如图所示．(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S 元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润最大毛利润是多少此时的销售量是多少解：(1)由图象知，当x ＝600时，y ＝400；当x ＝700时，y ＝300，代入y ＝kx ＋b (k ≠0)中，得⎩⎪⎨⎪⎧ 400＝600k ＋b ，300＝700k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，b ＝1000.所以，y ＝－x ＋1000(500≤x ≤800)．(2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy ，成本总价＝成本单价×销售量＝500y ，代入求毛利润的公式，得S ＝xy －500y ＝x (－x ＋1000)－500(－x ＋1000)＝－x 2＋1500x －500000＝－(x －750)2＋62500(500≤x ≤800)．所以，当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．11．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·(12)t h ，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到35 ℃时，需要多长时间解：由题意知40－24＝(88－24)·(12)20h ，即14＝(12)20h . 解之，得h ＝10.故T －24＝(88－24)·(12)t 10. 当T ＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·(12)t 10，即(12)t 10＝1164. 两边取对数，用计算器求得t ≈25.因此，约需要25 min ，可降温到35 ℃.12．某地区为响应上级号召，在2011年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x 年后，该地区的廉价住房为y 万平方米，求y ＝f (x )的表达式，并求此函数的定义域．(2)作出函数y ＝f (x )的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米解：(1)经过1年后，廉价住房面积为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后为200(1＋5%)2；…经过x 年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x ，∴y ＝200(1＋5%)x (x ∈N *)．(2)作函数y ＝f (x )＝200(1＋5%)x (x ≥0)的图象，如图所示．作直线y ＝300，与函数y ＝200(1＋5%)x 的图象交于A 点，则A (x 0,300)，A 点的横坐标x 0的值就是函数值y ＝300时所经过的时间x 的值．因为8<x 0<9，则取x 0＝9，即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米．。

3.2.2 函数模型的应用实例 word版含答案

3.2.2 函数模型的应用实例【选题明细表】知识点、方法题号利用已知函数模型解决问题3,5,7,10 自建函数模型解决问题1,2,4,9拟合函数模型解决问题6,81.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( D )(A)一次函数 (B)二次函数(C)指数型函数 (D)对数型函数解析:由题意可知,函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来越慢,故应采用对数型函数来建立函数模型,故选D.2.研究表明,当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到碳14了.若某一死亡生物组织内的碳14经过n(n∈N)个“半衰期”后用一般的放射性探测器测不到碳14了,则n 的最小值是( B )(A)9 (B)10 (C)11 (D)12解析:根据题意可知()n<,即2n>1 000,n∈N,所以n的最小值是10.故选B.3.某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们将发展到( A )(A)200只 (B)300只 (C)400只 (D)500只解析:由题意,繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),这种动物第2年有100只,所以100=alog3(2+1),所以a=100,所以y=100log3(x+1),所以当x=8时,y=100log3(8+1)=100×2=200.4.(2018·海淀区高一月考)2011年12月,某人的工资纳税额是245元,若不考虑其他因素,则他该月工资收入为( A )级数全月应纳税所得额税率(%)1 不超过1 500元 32 1 500～4 500元10注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3 500元(起征点)后的余额.(A)7 000元 (B)7 500元 (C)6 600元 (D)5 950元解析:设此人该月工资收入为x元.1 500×3%=45元.(x-3 500-1 500)×10%=245-45,得x=7 000元.5.某商店迎来店庆,为了吸引顾客,采取“满一百送二十,连环送”的酬宾促销方式,即顾客在店内花钱满100元(可以是现金,也可以是奖励券或两者合计),就送20元奖励券;满200元,就送40元奖励券;满300元,就送60元奖励券;…当日花钱最多的一位顾客共花出现金 70 040元,如果按照酬宾促销方式,他最多能得到优惠( C )(A)17 000元 (B)17 540元(C)17 500元 (D)17 580元解析:这位顾客花的70 000元可得奖励券700×20=14 000(元),只有这位顾客继续把奖励券消费掉,也才能得到最多优惠,但当他把 14 000元奖励券消费掉可得140×20=2 800(元)奖励券,再消费又可得到28×20=560(元)奖励券,560元消费再加上先前70 040中的40元共消费600元应得奖励券6×20=120元.120元奖励券消费时又得20元奖励券.所以他总共会得到14 000+2 800+560+120+20=17 500(元)优惠.故选C.6.(2017·泉州高一月考)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( B )x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 (A)y=2x-2 (B)y=(x2-1)(C)y=log2x (D)y=lo x解析:由题意可得表中数据y随x的变化趋势.函数在(0,+∞)上是增函数,且y的变化随x的增大越来越快.因为A中函数是线性增加的函数,C中函数是比线性增加还缓慢的函数,D 中函数是减函数,所以排除A,C,D;所以B中函数y=(x2-1)符合题意.7.(2018·湖北宜昌一中月考)把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1℃,空气的温度是θ0℃,t min后物体的温度θ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t求得.把温度是100 ℃的物体,放在 10 ℃的空气中冷却t min后,物体的温度是40 ℃,那么t的值约等于.(保留三位有效数字,参考数据:ln 3取1.099,ln 2取0.693)解析:依题意将θ1=100,θ0=10,θ=40代入公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t可得,e-0.24t=,即-0.24t=ln ,解得t=≈4.58.-=-=-=答案=-=-=-:4.588.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y= x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用作为拟合模型较好.解析:对于甲:x=3时,y=32+1=10,对于乙:x=3时,y=8,因此用甲作为拟合模型较好.-=-=-=答案=-=-=-:甲9.为了发展电信事业,方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间x之间的函数解析式;(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.解:(1)由题中图象可设y1=k1x+29,y2=k2x,把点B(30,35),C(30,15)分别代入y1,y2的解析式,得k1=,k2=.所以y1=x+29(x≥0),y2=x(x≥0).(2)令y1=y2,即x+29=x,则x=96.当x=96时,y1=y2,两种卡收费一致;当x<96时,y1>y2,使用“便民卡”便宜;当x>96时,y1<y2,使用“如意卡”便宜.10.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?解:(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,未租出的车辆数为=12,所以这时租出了88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x元,则租赁公司的月收益为f(x)=(100-)(x-150)-×50,整理得f(x)=-+162x-21 000=-(x-4 050)2+307 050.所以当x=4 050时,f(x)最大,最大值为f(4 050)=307 050,即当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307 050元.。

函数模型的应用实例 word版含答案

课时作业（二十四）函数模型的应用实例一、选择题1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是()A.m11 B.m12C.12m－1 D.11m－1解析：选D设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x ＝11m，即x＝11m－1.2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为()A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)解析：选C由题意得y＝0.3(4 000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1 200.3．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是()(1)这几年生活水平逐年得到提高；(2)生活费收入指数增长最快的一年是2013年；(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2014年；(4)虽然2015年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C 由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活费收入指数”在2013～2014年最陡；故(2)正确；“生活价格指数”在2014～2015年比较平缓，故(3)不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故(4)正确．4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ，1≤x ＜10，x ∈N ， 2x ＋10，10≤x ＜100，x ∈N ，1.5x ，x ≥100，x ∈N ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．130解析：选C 若4x ＝60，则x ＝15＞10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40＜100，不合题意．故拟录用25人．5．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是( )A ．[5,6)B ．(5,6]C ．[6,7)D ．(6,7]解析：选B 若按x (x ∈Z)千米计价，则6＋(x －2)×3＋2×3＝24，得x ＝6.故实际行程应属于区间(5,6]．二、填空题6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (米/秒)和燃料的质量M (千克)、火箭(除燃料外)的质量m (千克)的函数关系式是v ＝2 000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：当v ＝12 000时，2 000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝12 000， ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，∴M m＝e 6－1. -=-=-=答案=-=-=-：e 6－17．一水池有2个进水口、1个出水口，2个进水口的进水速度如图甲、乙所示，出水口的排水速度如图丙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丁所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．其中一定正确的论断序号是________．解析：从0点到3点，两个进水口的进水量为9，故①正确；由排水速度知②正确；4点到6点可以是不进水，不出水，也可以是开一个进水口(速度快的)、一个排水口，故③不正确．-=-=-=答案=-=-=-：①②8．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．解析：由题意知，第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n －1) ＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1) ＝3n 2(n ∈N *)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52⇒1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．-=-=-=答案=-=-=-：7三、解答题9．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费40元．(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：(1)租金增加了900元，900÷60＝15，所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．(2)设租金提高后有x 辆未租出，则已租出(100－x )辆．租赁公司的月收益为y 元，y ＝(3 000＋60x )(100－x )－160(100－x )－40x ，其中x ∈[0,100]，x ∈N ，整理，得y ＝－60x 2＋3 120x ＋284 000＝－60(x －26)2＋324 560，当x ＝26时，y ＝324 560，即最大月收益为324 560元．此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元)．10．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产1百件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为5百件，产品销售数量为t (百件)时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎫5t －12t 2万元． (1)该公司这种产品的年生产量为x 百件，生产并销售这种产品得到的利润为当年产量x 的函数f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多大时当年所获得的利润最大．解：(1)当x ≤5时，f (x )＝5x －12x 2－(0.25x ＋0.5)＝－x 22＋194x －12；当x >5时，f (x )＝5×5－12×52－(0.25x ＋0.5)＝12－14x ；所以f (x )＝⎩⎨⎧ －x 22＋194x －12，0<x ≤5，12－14x ，x >5.(2)当0<x ≤5时，f (x )＝－x 22＋194x －12＝－12⎝⎛⎭⎫x －1942＋34532，故当x ＝194百件＝475件时，f (x )max ＝34532(万元)；当x >5时，f (x )＝12－14x <12－54<34532. 故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．11．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解：(1)设旅行团人数为x ，飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 900，0＜x ≤30，900－10(x －30)，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75. (2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 900x －15 000，0＜x ≤30，x (1 200－10x )－15 000，30＜x ≤75. 即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－10(x －60)2＋21 000，30＜x ≤75. 因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上单调递增，当x ＝30时，S 取最大值12 000，又因为S＝－10(x－60)2＋21 000在区间(30,75]上，当x＝60时，S取最大值21 000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．。

【优化指导】高一数学人教A版必修1活页课时作业：3.2.2-函数模型的应用实例-Word版含解析[-高考]

活页作业(二十六) 函数模型的应用实例1) A ．14 400亩 B ．172 800亩 C ．20 736亩D ．17 280亩解析：设年份为x ，造林亩数为y ，则 y ＝10 000×(1＋20%)x －1， ∴x ＝4时，y ＝17 280(亩)．故选D. 答案：D2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x <10，x ∈N *2x ＋10，10≤x <100，x ∈N *，1.5x ，x ≥100，x ∈N *其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( ) A ．15 B ．40 C ．25 D ．130解析：令y ＝60，若4x ＝60，则x ＝15>10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40<100，不合题意；故拟录用人数为25，故选C. 答案：C3．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( ) A ．3 m B ．4 m C ．5 mD ．6 m 解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S ，则 S ＝x ·24－4x2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，(0<x <6)所以当x ＝3时，S 有最大值为18. 答案：A4．今有一组实验数据如下表所示：A ．u ＝log 2tB ．u ＝2t －2C ．u ＝t 2－12D ．u ＝2t －2解析：由散点图可知，图象不是直线，排除D ；图象不符合对数函数的图象特征，排除A ；当t ＝3时，2t －2＝23－2＝6， t 2－12＝32－12＝4，而由表格知当t ＝3时，u ＝4.04，故模型u ＝t 2－12能较好地体现这些数据关系．故选C.答案：C5．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满，这样继续下去，则所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系为________．解析：第一次倒完后，y ＝19；第二次倒完后，y ＝19×1920＝192201；第三次倒完后，y ＝19×1920×1920＝193202；…第x 次倒完后，y ＝19x20x －1＝20×⎝⎛⎭⎫1920x . 答案：y ＝20×⎝⎛⎭⎫1920x6．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为________元．解析：设销售单价应涨x 元，则实际销售单价为(10＋x )元，此时日销售量为(100－10x )个，每个商品的利润为(10＋x )－8＝2＋x (元)， ∴总利润y ＝(2＋x )(100－10x ) ＝－10x 2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360(0＜x ＜10，且x ∈N *)． ∴当x ＝4时y 有最大值，此时单价为14元．答案：147．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v ＝12·log 3Q 100，单位是m/s ，其中Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数． (1)当一条鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是多少？ (2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数．解：(1)由题意得v ＝12log 32 700100＝32(m/s)．当一条鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是32 m/s.(2)当一条鲑鱼静止时，即v ＝0(m/s)．则0＝12log 3Q 100，解得Q ＝100.所以当一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数是100.8.如图，点P 在边长为1的正方形边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿A －B －C －M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 之间的函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：依题意，当0<x ≤1时，S △APM ＝12×1×x ＝12x ；当1<x ≤2时，S △APM ＝S 梯形ABCM －S △ABP －S △PCM＝12×⎝⎛⎭⎫1＋12×1－12×1×(x －1)－12×12×(2－x )＝－14x ＋34；当2<x ≤2.5时，S △APM ＝S 梯形ABCM －S 梯形ABCP ＝12×⎝⎛⎭⎫1＋12×1－12×(1＋x －2)×1 ＝34－12x ＋12＝－12x ＋54.∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x (0<x ≤1)，－14x ＋34(1<x ≤2)，－12x ＋54(2<x ≤2.5).再结合图象知应选A. 答案：A9．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．解析：当t ＝0.5时，y ＝2， ∴2＝e 12k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024. 答案：2ln 2 1 02410．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面的统计规律：每生产产品x 百台，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R (x )满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8，0≤x ≤510.2，x ＞5.假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律，解决下列问题：(1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？并求此时每台产品的售价为多少？解：依题意，G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8(0≤x ≤5)8.2－x (x ＞5).(1)要使工厂有盈利，则有f (x )＞0. 当0≤x ≤5时，有－0.4x 2＋3.2x －2.8＞0. 解得1＜x ＜7， ∴1＜x ≤5.当x ＞5时，有8.2－x ＞0，解得x ＜8.2，∴5＜x ＜8.2.综上，要使工厂盈利，应满足1＜x ＜8.2，即产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内． (2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6，故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6，当x ＞5时，f (x )＜8.2－5＝3.2. 故当工厂生产400台产品时，盈利最大，此时，每台产品的售价为R (4)×104400＝240(元)．11．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm 与60 cm ，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积．解：设直角三角形为△ABC ，AC ＝40，BC ＝60，矩形为CDEF ，如图所示，设CD ＝x ，CF ＝y ，则由Rt △AFE ～Rt △EDB 得AF ED ＝FE BD ，即40－y y ＝x 60－x，解得y ＝40－23x ，记剩下的残料面积为S ，则S ＝12×60×40－xy ＝23x 2－40x ＋1 200＝23(x －30)2＋600(0<x <60)，故当x ＝30时，S min ＝600，此时y ＝20，所以当x ＝30，y ＝20时，剩下的残料面积最小为600 cm 2.12．下表是某款车的车速与刹车后的停车距离，试分别就y ＝a ·e kx ，y ＝ax n ，y ＝ax 2＋bx ＋c 三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为120 km/h 时的刹车距离.解：若以y ＝a ·e kx 得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝a ·e 10k ，18＝a ·e 40k，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.050 136，a ＝2.422 8.∴y ＝2.422 8e 0.050 136x .以此函数式计算车速度为90 km/h,100 km/h 时，停车距离分别为220.8 m,364.5 m ，与实际数据相比，误差较大．若以y ＝a ·x n 为模拟函数，将(10,4)、(40,18)代入函数关系式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝a ·10n ，18＝a ·40n，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1.085，a ＝0.328 9.∴y ＝0.328 9x 1.085.以此函数关系计算车速度为90 km/h,100 km/h 时，停车距离分别为43.39 m,48.65 m ，与实际情况误差也较大．若以y ＝ax 2＋bx ＋c 为模拟函数，将(10,4)、(40,18)、(60,34)代入函数式，得解得⎩⎨⎧a ＝1150b ＝215，c ＝2∴y ＝1150x 2＋215x ＋2.以此函数解析式计算车速为90 km/h,100 km/h 时，停车距离分别为68 m 、82 m ，与前两个相比，它较符合实际情况．当x ＝120时，y ＝114(m)．即当车速为120 km/h 时，停车距离为114 m. 用函数模型解应用题的四个步骤．(四步八字)。

高一数学函数模型的应用实例专项练习（带答案）

⼀、选择题1.随着海拔⾼度的升⾼，⼤⽓压强下降，空⽓中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与⼤⽓压强x(kPa)成正⽐例函数关系.当x=36 kPa时，y=108 g/m3，则y与x的函数解析式为( )A.y=3x(x≥0)B.y=3xC.y=13x(x≥0)D.y=13x[答案]　A2.某⼚⽇产⼿套总成本y(元)与⼿套⽇产量x(副)的关系式为y=5x+4000，⽽⼿套出⼚价格为每副10元，则该⼚为了不亏本⽇产⼿套量⾄少为( )A.200副B.400副C.600副D.800副[答案]　D[解析]　由10x-y=10x-(5x+4000)≥0，得x≥800.3.甲、⼄两⼈在⼀次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所⽰，则下列说法正确的是( )A.甲⽐⼄先出发B.⼄⽐甲跑的路程多C.甲、⼄两⼈的速度相同D.甲先到达终点[答案]　D[解析]　由图象知甲所⽤时间短，所以甲先到达终点.4.某个体企业的⼀个车间有8名⼯⼈，以往每⼈年薪为1万元，从今年起，计划每⼈的年薪⽐上⼀年增加20%;另外，每年新招3名⼯⼈，每名新⼯⼈的第⼀年年薪为8千元，第⼆年起与⽼⼯⼈的年薪相同.若以今年为第⼀年，那么，将第n年企业付给⼯⼈的⼯资总额y(万元)表⽰成n的函数，其解析式为( )A.y=(3n+5)×1.2n+2.4B.y=8×1.2n+2.4nC.y=(3n+8)×1.2n+2.4D.y=(3n+5)×1.2n-1+2.4[答案]　A5.(2013～2014•潍坊⾼⼀检测)下表显⽰出函数值y随⾃变量x变化的⼀组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A.⼀次函数模型B.⼆次函数模型C.指数函数模型D.双数函数模型[答案]　A[解析]　由表知⾃变量x变化1个单位时，函数值y变化2个单位，所以为⼀次函数模型.6.⼀天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温⼜开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉⾝上不那么发烫了.则下列各图能基本上反映出亮亮⼀天(0～24时)体温的变化情况的是( )[答案]　C[解析]　从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A;从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B;从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D.⼆、填空题7.现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y=x2+1，⼄：y=3x-1，若⼜测得(x，y)的⼀组对应值为(3,10.2)，则应选⽤________作为拟合模型较好.[答案]　甲[解析]　代⼊x=3，可得甲y=10，⼄，y=8.显然选⽤甲作为拟合模型较好.8.(2013～2014徐州⾼⼀检测)⽤清⽔洗⾐服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则⾄少要清洗的次数是________(lg2≈0.3010).[答案]　4[解析]　设⾄少要洗x次，则(1-34)x≤1100，∴x≥1lg2≈3.322，所以需4次.9.为了预防流感，某学校对教室⽤药熏消毒法进⾏消毒，已知药物释放过程中，室内每⽴⽅⽶空⽓中的含药量y(mg)与时间t(h)成正⽐;药物释放完毕后，y与t的函数关系为y=(116)t-a(a为常数)其图象如图.根据图中提供的信息，回答问题：(1)从药物释放开始，每⽴⽅⽶空⽓中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的关系式为________.(2)据测定，当空⽓中每⽴⽅⽶的含药量降到0.25mg以下时，学⽣才可进⼊教室，那么从药物释放开始⾄少经过______⼩时，学⽣才能回到教室.[答案]　(1)y=10t 0≤t≤110 116 t-110 t>110 (2)0.6[解析]　(1)设0≤t≤110时，y=kt，将(0.1,1)代⼊得k=10，⼜将(0.1,1)代⼊y=(116)t-a中，得a=110，∴y=10t 0≤t≤110 116 t-110 t>110 .(2)令(116)t-110≤0.25得t≥0.6，∴t的最⼩值为0.6.三、解答题10.为了保护学⽣的视⼒，课桌椅⼦的⾼度都是按⼀定的关系配套设计的.研究表明：假设课桌的⾼度为ycm，椅⼦的⾼度为xcm，则y应是x的⼀次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的⾼度：第⼀套第⼆套椅⼦⾼度x(cm) 40.0 37.0桌⼦⾼度y(cm) 75.0 70.2(1)请你确定y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围).(2)现有⼀把⾼42.0cm的椅⼦和⼀张⾼78.2cm的课桌，它们是否配套?为什么?[解析]　(1)根据题意，课桌⾼度y是椅⼦⾼度x的⼀次函数，故可设函数关系式为y=kx+b.将符合条件的两套课桌椅的⾼度代⼊上述函数关系式，得40k+b=75，37k+b=70.2，∴k=1.6，b=11.∴y与x的函数关系式是y=1.6x+11.(2)把x=42代⼊上述函数关系式中，有y=1.6×42+11=78.2.∴给出的这套桌椅是配套的.[点评]　本题是应⽤⼀次函数模型的问题，利⽤待定系数法正确求出k，b是解题的关键.11.某地西红柿从2⽉1⽇起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t 50 110 250种植成本Q 150 108 150(1)根据上表数据，从下列函数中选取⼀个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系.Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a•bt，Q=a•logbt.(2)利⽤你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.[解析]　(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从⽽⽤函数Q=at+b，Q=a•bt，Q=a•logbt中的任意⼀个进⾏描述时都应有a≠0，⽽此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合.所以，选取⼆次函数Q=at2+bt+c进⾏描述.以表格所提供的三组数据分别代⼊Q=at2+bt+c得到，150=2 500a+50b+c，108=12 100a+110b+c，150=62 500a+250b+c.解得a=1200，b=-32，c=4252.所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=1200t2-32t+4252.(2)当t=--322× 1200 =150天时，西红柿种植成本最低为Q=1200•1502-32•150+4252=100 (元/102kg).12.某企业⽣产A，B两种产品，根据市场调查与与预测，A产品的利润与投资成正⽐，其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平⽅根成正⽐，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元).(1)分别将A，B两种产品的利润表⽰为投资的函数关系式;(2)已知该企业已筹集到18万元资⾦，并将全部投⼊A，B两种产品的⽣产.①若平均投⼊⽣产两种产品，可获得多少利润?②问：如果你是⼚长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得利润?其利润约为多少万元?[解析]　(1)设A，B两种产品分别投资x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元.由题意可设f(x)=k1x，g(x)=k2x.根据图象可解得f(x)=0.25x(x≥0).g(x)=2x(x≥0).(2)①由(1)得f(9)=2.25，g(9)=29=6.∴总利润y=8.25万元.②设B产品投⼊x万元，A产品投⼊(18-x)万元，该企业可获总利润为y万元.则y=14(18-x)+2x，0≤x≤18.令x=t，t∈[0,32]，则y=14(-t2+8t+18)=-14(t-4)2+172.∴当t=4时，ymax=172=8.5，此时x=16,18-x=2.∴当A，B两种产品分别投⼊2万元、16万元时，可使该企业获得利润，约为8.5万元.。

高三复习：三角函数模型及解三角形应用举例(含解析答案)

§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一测量距离、高度问题例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？题型二测量角度问题例2如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．题型三利用三角函数模型求最值例3如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？变式如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？课堂练习：1．已知△ABC ，C 为坐标原点O ，A (1，sin α)，B (cos α，1)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则当△OAB 的面积达到最大值时，α＝______.2．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值为________． 3．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于________．4.8三角函数模型及解三角形应用举例作业1．如图为一半径是3m的水轮，水轮的圆心O距离水面2m．已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝A sin(ωx＋φ)＋2(ω>0，A>0)，则ω＝________，A＝________.2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．3.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，求塔高AB.4．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10nmile/h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以103nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．5.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB ＝BD ＝l ，∠B ＝π3的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于地面(C 不与A ，B 重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D →C →A 运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v .为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB ＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子表示)； (2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？6某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一测量距离、高度问题例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ (1)答案 30＋30 3解析在△P AB 中，∠P AB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PB sin30°＝ABsin15°，∴PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，∴树的高度为PB ·sin45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)m.(2)解 ①在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1040m.②假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．③由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝12606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤125043，62514(单位：m/min)范围内．题型二测量角度问题例2 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．思维点拨设缉私船t 小时后在D 处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC ，再利用正弦定理求出时间．解设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里)，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos120°＝6. ∴BC ＝6(海里)．又∵BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin120°103t ＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15(分钟)． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．思维升华测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离； (2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)将解得的结果转化为实际问题的解．题型三利用三角函数模型求最值例3 如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y >x >0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？思维点拨由题图可得：x ＝cos θ，y ＝sin θ.列出面积函数后，利用三角函数性质求解，注意θ的范围．解 (1)设S 为十字形的面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ (π4<θ<π2)；(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin2θ－12cos2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12，其中tan φ＝12，当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大．所以，当θ＝π4＋φ2(tan φ＝12)时，S 最大，最大值为5－12.思维升华三角函数作为一类特殊的函数，可利用其本身的值域来求函数的最值．变式如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h . (1)求h 与θ间关系的函数解析式； (2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为(4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30弧度/秒，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4米．由sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30秒， ∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．课堂练习：1．已知△ABC ，C 为坐标原点O ，A (1，sin α)，B (cos α，1)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则当△OAB 的面积达到最大值时，α＝______.答案 π2解析 ∵S ＝1－12×1×sin α－12×1×cos α－12(1－cos α)(1－sin α)＝12－12sin αcos α ＝12－14sin2α. ∴当α＝π2时，S 取到最大值．3．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值为________．答案 3或2 3解析如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos30°，整理，得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.4．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于________．答案 2114解析在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝2800，所以BC ＝207. 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos30°－sin ∠ACB sin30°＝2114.4.8 三角函数模型及解三角形应用举例作业1．如图为一半径是3m 的水轮，水轮的圆心O 距离水面2m ．已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(ω>0，A >0)，则ω＝________，A ＝________.答案 2π153 解析每分钟转4圈，每圈所需时间T ＝604＝15. 又T ＝2πω＝15，∴ω＝2π15，A ＝3. 2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．答案 203米、4033米解析如图，依题意有甲楼的高度为AB ＝20·tan60°＝203(米)，又CM＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan60°＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)． 3.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .解在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD，所以BC ＝30sin30°sin135°＝15 2 (m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152tan60°＝15 6 (m)．所以塔高AB 为156m.4．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10nmile 的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10nmile/h 的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103nmile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．解如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t .在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°，可得：(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos120°.整理得：2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10. 在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin ∠CAB ＝AB sin120°，所以sin ∠CAB ＝BC ·sin120°AB ＝10×32103＝12. 所以∠CAB ＝30°.所以舰艇航行的方位角为75°.5.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB ＝BD ＝l ，∠B ＝π3的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于地面(C 不与A ，B 重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D →C →A 运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v .为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB ＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子表示)；(2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？解 (1)在△BCD 中，∵∠BCD ＝θ，∠B ＝π3，BD ＝l ， ∴BC ＝l sin (2π3－θ)sin θ，CD ＝3l 2sin θ， ∴AC ＝AB －BC ＝l －l sin (2π3－θ)sin θ，则t ＝AC 3v ＋CD v ＝l 3v －l sin (2π3－θ)3v sin θ＋3l 2v sin θ(π3<θ<2π3)． (2)t ＝l 6v (1－3cos θsin θ)＋3l 2v sin θ＝l 6v ＋3l 6v ·3－cos θsin θ. 令m (θ)＝3－cos θsin θ，θ∈(π3，2π3)，则m ′(θ)＝1－3cos θsin 2θ. 令m ′(θ)＝0，得cos θ＝13，设cos θ0＝13，θ0∈(π3，2π3)，则θ∈(π3，θ0)时，m ′(θ)<0；当θ∈(θ0，2π3)时，m ′(θ)>0，∴当cos θ＝13时，m (θ)取得最小值22，此时BC ＝6＋48l . 故当BC ＝6＋48l 时货物运行时间最短. 6某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．规范解答解 (1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900(t －13)2＋300.[4分] 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.[6分] 即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小．[7分](2)设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t2.[9分] ∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.[10分] 又t ＝23时，v ＝30，故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.[12分] 此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[14分]。

高考数学(文)(苏教版)练习：)函数模型及其应用 Word版含解析

一、填空题1．一批设备价值1万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低50%，则3年后这批设备的价值为________万元(用数字作答)．解析：1×(1－50%)3＝0.125.答案：0.1252．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．解析：依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0)．∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．答案：45.63．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为________．解析：设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×(1－13)3＝8 100×827＝2400(元)．答案：2 400元4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数，k (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．解析：总利润L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500.故当Q ＝300时，总利润最大，为2 500万元．答案：2 5005．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：由y ＝⎩⎨⎧ 8＋1， 0<x ≤3，8＋2.15×(x －3)＋1， 3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1， x >8，可得x ＝9.答案：9 6．中国政府正式加入世贸组织后，从2000年开始，汽车进口关税将大幅度下降．若进口一辆汽车2001年售价为30万元，五年后(2006年)售价为y 万元，每年下调率平均为x %，那么y 和x 的函数关系式为________．解析：每年价格为上一年的(1－x %)倍，所以五年后的价格为y ＝30(1－x %)5. 答案：y ＝30(1－x %)57．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．解析：由题意付款432元，实际标价为432×109＝480(元)，如果一次购买标价176＋480＝656(元)的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6(元)．答案：582.68．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1 000吨，每吨为800元，如果购买2 000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是________元．解析：设y ＝ax ＋b ，则⎩⎨⎧800a ＋b ＝1 000700a ＋b ＝2 000，解得⎩⎨⎧a ＝－10b ＝9 000， ∴y ＝－10x ＋9 000，由400＝－10x ＋9 000，得x ＝860(元)．答案：8609．一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A ，B ，C ，D 为圆心，以b (0<b ≤32)为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．解析：由题意知实线部分的总长度为l ＝4(3－2b )＋2πb ＝(2π－8)b ＋12，l 关于b 的一次函数的一次项系数2π－8<0，故l 关于b 为单调减函数，因此，当b 取最大值时，l 取得最小值，结合图形知，b 的最大值为32，代入上式得l min ＝(2π－8)×32＋12＝3π.答案：3π二、解答题10．某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的解析式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？解析：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，所以写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以y ＝f (x )＝800x ＋x (x －1)2×20＋9 000＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N *)．(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为g (x )＝f (x )2 000x ×10 000＝5(10x 2＋790x ＋9 000)x＝50(x ＋900x ＋79)≥50×(2900＋79)＝6 950，当且仅当x ＝900x ，即x ＝30时，等号成立．所以要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为30层．11．某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P 与每日生产的产品件数x (x ∈N *)之间的关系为P ＝4 200－x 24 500，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元．(1)将日利润y (元)表示成产量x (件)的函数；(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．解析：(1)∵y ＝4 000×4 200－x 24 500·x －2 000(1－4 200－x 24 500)·x ＝3 600x －43x 3，∴所求的函数关系式是y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N *，1≤x ≤40)． (2)易得y ′＝3 600－4x 2，令y ′＝0，解得x ＝30.∴当1≤x <30时，y ′>0；当30<x ≤40时，y ′<0.∴ 函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N *,1≤x ≤40)在[1,30)上是单调递增函数，在(30,40]上是单调递减函数．当x ＝30时，函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N *,1≤x ≤40)取得最大值，最大值为－43×303＋3 600×30＝72 000(元)．∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72 000元．12．将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗，假定A ，B 两组同时开始种植．(1)根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25 h ，种植一捆沙棘树苗用时12 h ．应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？(2)在按(1)分配的人数种植1 h 后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25h ，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23 h ，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间．解析：(1)设A 组人数为x ，且0<x <52，x ∈N *，则A 组植树活动所需时间为f (x )＝150×25x ＝60x ，B 组植树活动所需时间为g (x )＝200×1252－x ＝10052－x. 令f (x )＝g (x )，即60x ＝10052－x，解得x ＝392.所以A ，B 两组同时开始的植树活动所需时间为F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ， x ≤19，x ∈N *，10052－x， x ≥20，x ∈N *.而F (19)＝6019，F (20)＝258，故F (19)>F (20)．所以当A ，B 两组人数分别为20,32时，植树活动持续时间最短．(2)A 组所需时间为1＋150×25－20×120－6＝367， B 组所需时间为1＋200×23－32×132＋6＝323，所以植树活动所持续的时间为367 h.。

高三数学函数模型及其应用试题答案及解析

高三数学函数模型及其应用试题答案及解析1.某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新墙所用材料最省时，堆料场的长和宽的比为()A．1B．2C．D．【答案】B【解析】设宽为x，长为kx，则kx2＝512，用料为y＝(k＋2)x＝(＋2)x＝2(＋x)≥4＝64(当且仅当x＝16时取“＝”)，所以k＝＝2.2.某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30－R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是() A．[4,8]B．[6,10]C．[4%,8%]D．[6%,100%]【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需(30－R)×160×R%≥128，整理得R2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8]．3.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()A．上午10：00B．中午12：00C．下午4：00D．下午6：00【答案】C【解析】当x∈[0,4]时，设y＝kx，1＝80，∴y＝80x.把(4,320)代入，得k1x＋b.当x∈[4,20]时，设y＝k2把(4,320)，(20,0)代入得解得∴y＝400－20x.∴y＝f(x)＝由y≥240，得或解得3≤x≤4或4<x≤8，∴3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.4.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15—0.1x万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？【答案】（1）340(万元)（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元【解析】解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x元时，由解得0<x<150.依题意，单套丛书利润P＝x－(30＋)＝x－－30，∴P＝－[(150－x)＋]＋120.∵0<x<150，∴150－x>0，由(150－x)＋≥2＝2×10＝20，＝－20＋120＝100.当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，此时，Pmax∴当每套丛书售价定为100元时，书商获得总利润为340万元，每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．5.[2014·武汉模拟]国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为()A．3000元B．3800元C．3818元D．5600元【答案】B【解析】由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y＝，显然由0.14(x－800)＝420，可得x＝3800.6.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【答案】（1）当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元（2）当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．【解析】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960＝1 296(x＋)＋12 960≥1 296×2 ＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．(2)由限制条件知，∴10≤x≤16，设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，g(x)在上是增函数，∴当x＝10时（此时），g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为1 296×＋12 960＝38 882元．∴当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．7.为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品，同时获得国家补贴万元．（1）当时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？【答案】(1) 国家最少需要补贴万元，该工厂才能不会亏损；（2）30.【解析】（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润，化简后它是关于的二次函数，利用二次函数的知识求出的取值范围，如果有非负的取值，就能说明可能获利，如果没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是中最大值的绝对值. （2）每吨平均成本等于，由题意，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的值.试题解析：（1）根据题意得，利润和处理量之间的关系：2分，.∵，在上为增函数，可求得. 5分∴国家只需要补贴万元，该工厂就不会亏损． 7分（2）设平均处理成本为 9分11分当且仅当时等号成立，由得．因此，当处理量为吨时，每吨的处理成本最少为万元． 14分【考点】函数应用题，二次函数的值域，基本不等式的应用.8.设函数f（x）的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D）有x+l∈D，且f（x ＋l）≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数，如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f （x）＝｜x－a2｜－a2，且f(x)为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，则，即为上的8高调函数；当时，函数的图象如图所示，若为上的8高调函数，则，解得且.综上.【考点】1.新定义题；2.函数图像.9.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)．【答案】当r＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．【解析】由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1.2－2r，∴塑料片面积S＝πr2＋2πr(1.2－2r)＝πr2＋2.4πr－4πr2＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)＝－3π(r－0.4)2＋0.48π.∴当r ＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．10.要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？【答案】半圆直径与矩形的高的比为2∶1【解析】设半圆直径为2R,矩形的高为a，则2a＋2R＋πR＝L(定值)，S＝2Ra＋πR2＝－R2＋LR，当R＝时S最大，此时＝1，即半圆直径与矩形的高的比为2∶1时，窗户能够透过最多的光线．11.已知某种产品今年产量为1000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件．【答案】1331【解析】1000×(1＋10%)3＝1331.12.某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y＝x－2lnx＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)【答案】（1）不符合（2）a的值为1.【解析】审题引导：正确理解三个条件：①要求模型函数在[2，10]上是增函数；②要满足y≥恒成立；③要满足y的最大值小于8.规范解答：解：(1)函数y＝0.05(x2＋4x＋8)在[2，10]上是增函数，满足条件①，(2分)当x＝10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③.(4分)但当x＝3时，y＝，即y≥不恒成立，不满足条件②，故该函数模型不符合该单位报销方案．(6分)(2)对于函数模型y＝x－2lnx＋a，设f(x)＝x－2lnx＋a，则f′(x)＝1－＝≥0.∴f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①.由条件②，得x－2lnx＋a≥，即a≥2lnx－在x∈[2，10]上恒成立，令g(x)＝2lnx－，则g′(x)＝－＝，由g′(x)>0得0＜x<4，∴g(x)在(0，4)上是增函数，在(4，10)上是减函数．∴a≥g(4)＝2ln4－2＝4ln2－2.(10分)由条件③，得f(10)＝10－2ln10＋a≤8，解得a≤2ln10－2.另一方面，由x－2lnx＋a≤x，得a≤2lnx在x∈[2，10]上恒成立，∴a≤2ln2.(12分)综上所述，a的取值范围为[4ln2－2，2ln2]，∴满足条件的整数a的值为1.(14分)13.用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm时，容器的容积最大．【答案】10【解析】设容器的高为xcm，即小正方形的边长为xcm，该容器的容积为V，则V＝(90－2x)(48－2x)x＝4(x3－69x2＋1080x)，0<x<12，V′＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)，当0<x<10时，V′>0；当10<x<12时，V′<0.所以V在(0，10]上是增函数，在[10，12)上是减函数，故当x ＝10时，V最大．14.某同学从A地跑步到B地，随路程的增加速度减小．若以y表示该同学离B地的距离，x表示出发后的时间，则下列图象中较符合该同学走法的是____________．(填序号)【答案】③【解析】由于y表示该同学离B地的距离，所以答案在①③中选，又随路程的增加速度减小，一半的时间内所走的路程要大于总路程的一半，故选③.15.里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为__________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.【答案】6 10000【解析】由题意,在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则M=lgA-lgA=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6.设9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y,9=lgx+3,5=lgy+3,解得x=106,y=102.所以==10000.16.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过小时,才能开车(精确到1小时).【答案】5【解析】设x小时后,该驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,则有0.3·()x≤0.09,即()x≤0.3,估算或取对数计算得至少5小时后,可以开车.17.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?【答案】(1) 国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损(2) 当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.【解析】(1)该项目不会获利.当x∈[200,300]时,设该项目获利为S,则S=200x-(x2-200x+80000)=-x2+400x-80000=-(x-400)2,所以当x∈[200,300]时,S<0,因此该项目不会获利.当x=300时,S取得最大值-5000,所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损.(2)由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为:=①当x∈[120,144)时,=x2-80x+5040=(x-120)2+240,所以当x=120时,取得最小值240.②当x∈[144,500]时,=x+-200≥2-200=200,当且仅当x=,即x=400时,取得最小值200.因为200<240,所以当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.18.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q(a)．【答案】（1）L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．（2）当每件售价为6＋a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝43(万元)．【解析】(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)·(18＋2a－3x)．令L′＝0，得x＝6＋a或x＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a≤5，∴8≤6＋a≤.在x＝6＋a两侧，L′的值由正变负．所以①当8≤6＋a<9，即3≤a<时，＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)；Lmax②当9≤6＋a≤，即≤a≤5时，＝L 2＝43，Lmax所以Q(a)＝故若3≤a<，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；若≤a≤5，则当每件售价为6＋a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝43(万元)．19.设y＝f(x)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝h＋A sin (ω＋φ)的图象，写出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是______．【答案】y＝5.0＋2.5sin t.【解析】由数据可知函数的周期T＝12，又T＝12＝，所以ω＝，函数的最大值为7.5，最小值为2.5，即h＋A＝7.5，h－A＝2.5，解得h＝5.0，A＝2.5.所以函数为y＝f(x)＝5.0＋2.5sin又y＝f(3)＝5.0＋2.5sin＝7.5，所以sin ＝cos φ＝1，即φ＝2kπ，k∈Z，故y＝5.0＋2.5sin t20.某镇政府为了更好地服务于农民，派调查组到某村考察．据了解，该村有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员x(x＞0)户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高2x%，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入将为3 (a＞0)万元．(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的总年收入，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a的最大值．【答案】（1）0＜x≤50（2）5【解析】(1)由题意，得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，即x2－50x≤0，又x＞0，解得0＜x≤50.(2)从事蔬菜加工的农民总年收入为3x万元，从事蔬菜种植的农民的总年收入为3(100－x)(1＋2x%)万元．根据题意，得3x≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，即ax≤100＋x＋恒成立．因为0＜x≤50，所以a≤＋＋1恒成立，而＋＋1≥5，当且仅当x＝50时取等号，所以a的最大值为5.21.某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．【答案】30【解析】本题要列出总费用与的函数关系式，然后利用不等式知识或函数的性质解决.根据题意总费用，当且仅当，即时等号成立.【考点】函数的应用与基本不等式.22.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:)满足关系：若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。

3.2.2 函数模型的应用实例 word版含解析

[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9.5%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()解析：设某林区的森林蓄积量原来为a，依题意知，ax＝a(1＋9.5%)y，所以y＝log1.095x.-=-=-=-=答案=-=-=-=-：D2．据调查，某存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)解析：因为自行车x辆，所以电动车(4 000－x)辆，y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200，故选D.-=-=-=-=答案=-=-=-=-：D3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(x≥0)，所以当x＝10时，S max＝45.6(万元)．-=-=-=-=答案=-=-=-=-：B4．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.-=-=-=-=答案=-=-=-=-：C5．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：由函数解析式可以看出，组装第A 件产品所需时间为c A＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入c A＝15得A ＝16. -=-=-=-=答案=-=-=-=-：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．某电脑公司2015年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2017年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2015年到2017年，每年经营总收入的年增长率相同，2016年预计经营总收入为________万元．解析：设年增长率为x ，则有40040%×(1＋x )2＝1 690，1＋x ＝1310，因此2016年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元)．-=-=-=-=答案=-=-=-=-：1 3007．生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A 对应________；B 对应________；C 对应________；D 对应________．解析：A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应； B 容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C ，D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与(3)对应，D 容器慢，与(2)对应．-=-=-=-=答案=-=-=-=-：(4) (1) (3) (2)8．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．解析：设计算机价格平均每年下降p %，由题意可得13＝(1－p %)3，所以p %＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313，所以9年后的价格大约为y ＝8 100×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1313－19＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝300(元)． -=-=-=-=答案=-=-=-=-：300三、解答题(每小题10分，共20分)9．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，由图可知，上述点大体在函数y＝log2x上(对于y＝0.58x－0.16，可代入已知点验证不符合)，故选择y＝log2x可以比较近似地反映这些数据的规律．-=-=-=-=答案=-=-=-=-：④13．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．解析：(1)①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5<t≤3.5)．③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5<x≤6.5)．综上，s＝⎩⎪⎨⎪⎧60t(0≤t≤2.5)，150(2.5<t≤3.5)，325－50t(3.5<t≤6.5)，它的图象如图所示．(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v＝⎩⎪⎨⎪⎧60(0≤t≤2.5)，0(2.5<t≤3.5)，－50(3.5<t≤6.5)，图象如图所示．14．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解析：(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1210m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，m 10＝12，解得m ＝5，故到今年为止，该森林已砍伐了5年．。

高二数学函数模型及其应用试题答案及解析

高二数学函数模型及其应用试题答案及解析1.已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且（1）写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）【答案】（1）（2）9【解析】利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.试题解析：（1）当时，当时，（2）①当时，由，得，当时，；当时，；当时，取最大值，且②当时，当且仅当，即时，综合①、②知时，取最大值.所以当年产量为9千件时，该企业生产此产品获利最大.【考点】函数及其性质的应用.2.某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为米，钢筋网的总长度为米．（1）列出与的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？（3）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？【答案】（1）（2）长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小.（3）长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小【解析】（1）根据矩形的面积求出解析式，注意函数的定义域（2）利用基本不等式求解，注意等号成立的条件（3）利用函数的单调性求解（导数或单调性定义）试题解析：（1）矩形的宽为：米定义域为注：定义域为不扣分（2）当且仅当即时取等号，此时宽为：米所以，长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小．（3）法一：，当时，在上是单调递减函数当时，，此时，长为25米，宽为米所以，长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小．法二：设，，则，，在上是单调递减函数当时，此时，长为25米，宽为米所以，长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小．【考点】基本不等式的应用，函数的单调性,最值3.某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1＝18－，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2＝(注：利润与投资金额单位：万元).(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域；(2)在（1）的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【答案】(1) ；(2) 分别用20万元和80万元资金投资A、B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．【解析】(1)根据题意，万元资金投入产品，利润万元；万元资金投入产品，利润，由可得所求函数关系；(2)由(1)所得函数的解析式可考虑用基本不等式法求其最大值，并注意等号成立的条件。

高考数学复习专题四考点12《函数模型及其应用》练习题(含答案)

高考数学复习专题四考点12《函数模型及其应用》练习题（含答案）1.某种动物繁殖的数量y (只)与时间x (年)的关系为log2(1)y a x =+.设这种动物第1年有100只，到第7年它们发展到( ) A.300只B.400只C.500只D.600只2.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(1)x x >的函数关系是21()f x x =，2()2f x x =，32()log f x x =，4()2x f x =，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( ) A.21()f x x =B.2()2f x x =C.32()log f x x =D.4()2x f x =3.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r 可定义为0.6lg r I =.若6.5级地震释放的相对能量为1I ，7.4级地震释放的相对能量为2I ，记21I n I =，则n 约等于( ) A.16B.20C.32D.904.溶液的酸碱度是通过pH 来刻画的，已知某溶液的pH 等于lg H +⎡⎤-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示该溶液中氢离子的浓度，且该溶液中氢离子的浓度为610mol /L -，则该溶液的pH 为( ) A.4B.5C.6D.75.某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为如何定价而发愁.通过进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/元 6789101112日均销售量/桶480440400360320280240A.每桶8.5元B.每桶9.5元C.每桶10.5元D.每桶11.5元6.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ℃，经过一段时间t min 后的温度是T ℃，则()012t ha a T T T T ⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，其中a T （单位：℃）表示环境温度，h （单位：min ）称为半衰期.现有一份88℃的热饮，放在24℃的房间中，如果热饮降温到40℃需要20 min ，那么降温到32℃时，需要的时间为( ) A.24 minB.25 minC.30 minD.40 min7.某家庭利用十一长假外出自驾游，为保证行车顺利，每次加油都把油箱加满，下表记录了该家庭用车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2020年10月1日 12 32000 2020年10月6日4832600在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A.6升B.8升C.10升D.12升8.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若开始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少14，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg20.3010≈，lg30.4771≈）( ) A.8B.9C.10D.119.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：万元）对年销售量y （单位：t ）的影响，对近6年的年宣传费i x 和年销售量(1,2,,6)i y i =进行整理，所得数据如下表所示：x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 y1.652.202.602.762.903.10A.0.5(1)y x =+B.3log 1.5y x =+C.21x y =-D.y x =10.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(t 53)()1eI K t --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()*0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为( )（ln19 2.9≈） A.60B.63C.66D.6911.某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：x 1.99 3 4 5.1 8 y0.991.582.012.353.00①0.580.16y x =-； ②2 3.02x y =-； ③2 5.58y x x =-+；④2log y x =.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选_________. 12.某商品一直打7折出售，利润率为47%，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为___________.(注：利润率=(销售价格-成本）)÷成本)13.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金5300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份是_______年.(参考数据：lg1.080.033≈，lg5.30.724≈，lg70.845≈)14.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，t min 后物体的温度()θ℃可由公式()0.24010e t θθθθ-=+-求得.把温度是100℃的物体，放在10℃的空气中冷却t min 后，物体的温度是40℃，那么t 的值约等于_______________.(保留三位有效数字，参考数据：ln3 1.099≈，ln20.693≈)15.某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的关系为0()e kt p t p -=（式中的e 为自然对数的底数，0p 为污染物的初始含量）.过滤1小时后检测，发现污染物的含量减少了15.（1）求函数关系式()p t ；（2）要使污染物的含量不超过初始值的11000，至少需过滤几个小时？（参考数据：lg20.3≈）参考答案1.答案：A解析：由已知第1年有100只，得100a =.将100a =，7x =代入log2(1)y a x =+，得300y =.2.答案：D解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D. 3.答案：C解析：0.6lg r I =，5310r I ∴=.当 6.5r =时，656110I =，当7.4r =时，373210I =，3765323621101010101032I n I ∴==÷==.4.答案：C解析：由题意可得，该溶液的pH 为6lg106--=.故选C. 5.答案：D解析：通过题中表格可知销售单价每增加1元，日均销售量减少40桶，设每桶水的价格为(6)x +元(0)x ≥，日利润为y 元，则2(65)(48040)20040440480(0)y x x x x x =+---=-++≥， 400-<，∴当4405.5240x ==⨯时y 有最大值， ∴每桶水的价格为11.5元时，日利润最大，故选D.6.答案：C解析：由题意，得2014024(8824)2h⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，即201142h⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得10h =，所以10124(8824)2tT ⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，即10124642t T ⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，将32T =代入上式，得1013224642t ⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，即101182t⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得30t =，所以需要30 min ，可降温到32℃，故选C.7.答案：B解析：由题表中的信息可知，2020年10月1日油箱加满了油，此时的累计里程为32000千米，到2020年10月6日，油箱加满油需要48升，说明这段时间的耗油量为48升，累计里程为32600千米，说明这段时间内汽车行驶了600千米，则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为4886=升.故选B. 8.答案：D解析：设至少应过滤n 次，则23110041000n ⎛⎫≤⨯ ⎪⎝⎭，因此，31420n⎛⎫ ⎪⎝⎭≤，则1lglg 201lg 22010.4163lg3lg 42lg 2lg3lg 4n -+≥==≈--，又*n ∈N ，所以11n ≥，即至少要过滤11次才能达到市场要求.故选D. 9.答案：B解析：由题表知，当自变量每增加1个单位时，函数值依次增加055，0.40，0.16，0.14，0.20，因此A ，C 不符合题意；当x 取1，4时，2y x =的值分别为2，4，与题表中的数据相差较大，故选B. 10.答案：C 解析：()()**0.23530.951et K I t K --==+，整理可得()*0.2353e19t -=，两边取自然对数得*0.23()ln192593.t =≈-，解得*66t ≈，故选C. 11.答案：④解析：根据表格画出图象，由图分析增长速度的变化，可知试验数据符合对数函数模型，故选④.12.答案：5%解析：设商品的原价为x 元，成本为y 元，则0.7(10.47)x y =+， 2.1x y ∴=.若该商品参加“买一件送同样一件”的活动，则每件售价为0.50.5 2.1 1.05x y y =⨯=，利润率为1.0510.055%yy-==. 13.答案：2022解析：设n 年开始超过7000万元，则20185300(18%)7000n -⨯+>，化为(2018)lg1.08lg7lg5.3n ->-，即lg7lg5.30.8450.7242018 3.7lg1.080.033n --->≈≈.则2022n =，因此开始超过7000万元的年份是2022年. 14.答案： 4.58解析：由题意可得0.244010(10010)e t -=+-⋅，化简可得0.241e 3t -=，10.24ln ln33t ∴-==-，0.24ln3 1.099t ∴=≈， 4.58t ∴≈.15.解析：（1）根据题意，得004e 5k p p -=， 4e5k-∴=，04()5tp t p ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭. （2）由0041()51000tp t p p ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，得34105t-⎛⎫⎪≤⎝⎭，两边取对数并整理得(13lg2)3t -≥，30t ∴≥.因此，至少需过滤30个小时.。

《函数模型的应用实例》测试题

《3.2.2 函数模型的应用实例》测试题一、选择题1.某种细胞在正常培养过程中，时刻(单位：分)与细胞数(单位：个)的部分数据如下：1 2 8 128根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻最接近于( )A.200B.220C.240D.260考查目的：考查观察分析能力、函数建模能力和运用指数函数的性质解决实际问题的能力.答案：A.解析：由表中数据可以看出，与的函数关系式为.令，则，而，∴繁殖到1000个细胞时，时刻最接近200分，故答案应选A.2.(2011北京)据统计，一名工人组装第件某产品所用的时间(单位：分钟)为(为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么的值分别是( ).A.75，25B.75，16C.60，25 D.60，16考查目的：考查读题审题能力和分段函数模型的应用能力.答案：D.解析：由条件可知，时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即，∴，，∴，故答案应选D.3.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长8%的水平，那么要达到国民经济生产总值比2009年翻两番的年份大约是( ).(，，，)A.2018年B.2025年C.2027年D.2028年考查目的：考查增长率问题和指数、对数的相互转化及其运算.答案：C.解析：设2009年总值为，经过年翻两番，则，∴，∴，故答案应选C.二、填空题4.某商品零售价2012年比2011年上涨了25%，欲控制该商品零售价2013年比2011年只上涨10%，则2013年应比2012年降价________%.考查目的：考查读题审题能力、增长率问题解决能力和函数思想.答案：12.解析：设该商品零售价2011年为元，2013年应比2012年降价，则2012年零售价为元，而2013年零售价为元，∴，解得.5.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元.当用水超过4吨时，超过的部分按每吨3.00元计算.若甲、乙两户某月共交水费元，且甲乙两户某月用水量分别为吨、吨，则关于的函数关系式为.考查目的：考查分段函数模型应用能力和分类讨论思想.答案：.解析：由题意知，当甲乙两户用水量都不超过4吨时，即当时，；当甲户用水量超过4吨，乙户用水量不超过4吨时，即当时，；当甲乙两户用水量都超过4吨时，即当时，.6.A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台.已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元；从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元.设B市运往C村机器台，若要求运费W不超过9000元，则共有种调运方案.考查目的：考查函数建模与实际应用能力.答案：3.解析：由于B市运往C村机器台，则B市运往D村机器台，A市运往C村机器台，则A市运往D村机器台，∴，由得.∵是自然数，∴可取0，1，2，∴共有3种调运方案.三、解答题7.(2012上海春)某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).⑴当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；⑵新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，问:内、外环线应各投入几列列车运行?考查目的：考查读题审题能力、函数建模能力，以及函数与不等式的综合应用能力.答案：⑴20；⑵10.解析: ⑴设内环线列车运行的平均速度为千米/小时，由题意得，解得，∴要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，列车的最小平均速度是20千米/小时.⑵设内环线投入列列车运行，则外环线投入列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为分钟，则，故，可化为，解得，∴.又∵，∴，∴当内环线投入列，外环线投入8列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟.8.(2011湖南)如图，长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为.E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离，面积时.⑴写出的表达式；⑵设，，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少.考查目的：考查读题审题能力、函数建模能力和函数性质的综合应用，以及分类讨论思想.答案：⑴；⑵当时，是关于的减函数，故当时，.当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，.解析：⑴由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，故.⑵由⑴知，当时，当时，，故.当时，是关于的减函数，故当时，.当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，.。

高一数学人教A版必修1课后训练：3-2-2 函数模型的应用

课后训练1．电讯费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟，收费0.2元；超过3分钟以后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计算，则通话费S(元)与通话时间t(分钟)的函数图象可表示为()2．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2 km者均按此价收费，行程超过2 km，超过部分按3元/km收费(不足1 km按1 km计价)，另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1 km计算(不足1 km按1 km计价)．陈先生坐了一趟出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是()A．[5,6) B．(5,6]C．[6,7) D．(6,7]3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元4A．y＝log a x(a＞1)B．y＝ax＋b(a＞1)C．y＝ax2＋b(a＞0)D．y＝log a x＋b(a＞1)5．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6则7A．69元B．70元C．71元D．72元6．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以每小时60 km的速度从A地到达B地，在B地停留1 h后再以每小时50 km的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示成时间t的函数，表达式是________．7．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的110，要使通过玻璃的光线强度为原来的13以下，至少需要重叠这样的玻璃块数是______(lg 3≈0.477 1)．8．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每涨价1元，则日销售量依次减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．9．渔场中鱼群的最大养殖量为m (m ＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x 应小于m ，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值．10．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力(f (x )值越大，表示接受的能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下公式：20.1 2.643,010,()59,1016,3107,1630.x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？11．在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台(x ∈N *)的收入函数为R (x )＝3 000x －20x 2(单位：元)，其成本函数为C (x )＝500x ＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．(1)求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；(2)利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )是否具有相同的最大值？参考答案1答案：B2答案：B3答案：B4答案：C5答案：C6答案：[](](]60,0,2.5150, 2.5,3.532550, 3.5,6.5x t t t t t ⎧=∈⎪∈⎨⎪-∈⎩7答案：118答案：149答案：解：(1)根据题意知，空闲率是m x m -，故y 关于x 的函数关系式是m x y kx m-=⋅，0＜x ＜m . (2)由(1)知，22+()24m x k k m mk y kx x kx x m m m -=⋅=-=--+，0＜x ＜m . 则当2m x =时，max 4mk y =.所以，鱼群年增长量的最大值为4mk . 10答案：解：(1)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9，故f (x )递增，最大值为f (10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当16＜x ≤30时，f (x )递减，f (x )＜－3×16＋107＝59.因此，开讲后10 min ，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min.(2) f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，f (20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f (5)，因此开讲后5 min 学生的接受能力比开讲后20 min 强一些．11答案：解：由题意知，x ∈[1,100]，且x ∈N *.(1)P (x )＝R (x )－C (x )＝3 000x －20x 2－(500x ＋4 000)＝－20x 2＋2 500x －4 000， MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－20(x ＋1)2＋2 500(x ＋1)－4 000－[－20x 2＋2 500x －4 000]＝2 480－40x .(2) 2125()20+74 1252P x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当x ＝62或x ＝63时，P (x )的最大值为74 120(元)．因为MP (x )＝2 480－40x 是减函数，所以当x ＝1时，MP (x )的最大值为2 440(元)．因此，利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )不具有相同的最大值．。

[精品]新人教A版必修一高中数学3.2.2函数模型的应用实例习题和答案

3.2.2函数模型的应用实例班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:米/秒)和燃料的质量M(单位:千克)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:千克)的函数关系式是v=2 000·ln(1+).当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.2．某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得该地区沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠面积增加值y(单位:万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是A.y=0.2xB.y=(x2+2x)C.y=D.y=0.2+log16x3．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y=5x+4 000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为( )A.200副B.400副C.600副D.800副4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：,其中,代表拟录用人数，代表面试人数，若应聘的面试人数为60人，则该公司拟录用人数为A.15B.40C.25D.1305．有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成面积相等的矩形,如图所示,则围成的矩形场地的最大面积为m2(围墙厚度不计).6．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt(其中k为常数;t表示时间,单位:小时;y表示病毒个数),则k= ,经过5小时,1个病毒能繁殖为个. 7．一工厂对某种原料的全年需求量是Q吨，为保证生产又节省开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后立即购进.已知每次订购费用是元，工厂每天使用的原料数量相同，仓库贮存原料的年保管费用是元／吨，问全年订购多少次，才能使订购费用与保管费用之和最少?8．我们知道:人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声2强度水平表示，它们满足以下公式：(单位为分贝，，其中，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答以下问题：(1)树叶沙沙声的强度是，耳语的强度是，恬静的无线电广播的强度是，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度的范围为多少？【能力提升】通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大,表示接受能力越强),x表示提出和讲授概念的时间(单位:分钟),可以有以下公式:f(x)=.(1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多少分钟?(2)开讲5分钟时与开讲20分钟时比较,学生的接受能力何时强一些?(3)一道数学难题,需要55的接受能力以及13分钟的时间,老师能答案【基础过关】1．e6-1【解析】当v=12 000米/秒时,2 000·ln(1+)=12 000,∴ln(1+)=6,∴=e6-1.2．C【解析】由题意得,当x=1时,y=0.2,排除B;当x=2时,y=0.4,排除D;当x=3时,y=0.76,排除A.故选C.3．D【解析】由5x+4 000≤10x,解得x≥800,即日产手套至少800副时才不亏本.4．C【解析】若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x ＝25满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100不合题意.故拟录用人数为25人.5．2 500【解析】设矩形场地的宽为x m,则矩形场地的长为(200-4x)m,则矩形场地的面积S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2500(0<x<50),∴x=25时,S max=2 500.6．2ln2 1 024【解析】当t=0.5时,y=2,∴2=,∴k=2ln 2,∴y=e2t ln 2,当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.7．解：由题意得：订购费与全年保管费用之和为而，当时等号成立；即当时，【解析】本题考查函数模型及其实际应用.8．(1)由题意可知：树叶沙沙声的强度是，则，所以，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是，则，所以，即耳语的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是，则，所以，，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝.(2)由题意知：即，所以，，即.所以新建的安静小区的声音强度I大于或等于，同时应小于.【解析】(1)代入公式即可.(2)列出满足的条件，解不等式.【能力提升】(1)当0<x≤10时,f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9.故f(x)在0<x≤10时,函数值越来越大,最大值为f(10)=-0.1×(10-13)2+59.9=59.当10<x≤16时,f(x)=59.当x>16时,f(x)的值越来越小,且f(x)<59,因此,开讲10分钟后,学生达到最强接受能力(为59),能维持6分钟.(2)f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=53.5,f(20)=-3×20+107=47<53.5,故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些.(3)当0<x≤10时,令f(x)=55,解得x=6(x=20舍去).当x>16时,令f(x)=55,解得x=17.因此学生达到(含超过)55的接受能力时间为17-6=11(分钟)<13(分钟).故老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.。

高三数学函数模型及其应用试题答案及解析

高三数学函数模型及其应用试题答案及解析1.如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．【答案】当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．【解析】先确定点P的位置，再利用BC的斜率表示工业园区的面积，利用导数求其最值.以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．设点P(x0，y)．因为点P到AM的距离为3，故y＝3．由P到直线AN的距离为，得，解得x0＝1或x＝－4(舍去)，所以点P(1，3)．显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．令y＝0得xB ＝1－．由解得yC＝．设△ABC的面积为S，则S＝xB ×yC＝．由S¢＝＝0得k＝－或k＝3．所以当k＝－时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．试题解析：解：如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．设点P(x0，y)．因为点P到AM的距离为3，故y＝3．由P到直线AN的距离为，得，解得x0＝1或x＝－4(舍去)，所以点P(1，3)． 4分显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．令y＝0得xB＝1－． 6分由解得yC＝． 8分设△ABC的面积为S，则S＝×xB ×yC＝ 10分由S¢＝＝0得k＝－或k＝3．当－2＜k＜－时，S¢＜0，S单调递减；当－＜k＜0时，S¢＞0，S单调递增． 13分所以当k＝－时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2． 16分【考点】利用导数求函数最值2.某化工厂引进一条先进的生产线生产某种化工产品，其生产的总成本(万元)与年产量(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为210吨，(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本;(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润?最大利润是多少?【答案】(1)x＝200时生产每吨产品的平均成本最低为32万元；(2)x＝210最大利润为1660万元．【解析】(1)利用表示出成本函数，并利用基本不等式求出最小值；(2)利用售价减去成本，得到总利润函数，再利用二次函数求出利润最大值．试题解析：(1)每吨平均成本为(万元)则当且仅当，即时取等号．(2)设年获得总利润为R(x)万元，则∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x＝210时R(x)最大为1660，【考点】均值不等式与二次函数在实际生活中的应用3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为和，其全程的平均时速为，则（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】设甲乙两地相距，则平均速度，又∵，∴，∵，∴，∴．【考点】基本不等式．4.（2011•湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【答案】（1）（2）3333辆/小时【解析】（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为（2）依题并由（1）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（1）函数v（x）的表达式（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．5.某种动物繁殖量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog3（x+1），设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到（）A．200只B．300只C．400只D．500只【答案】A【解析】由题意，繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog3（x+1），这种动物第2年有100只∴100=alog3（2+1），∴a=100，∴y=100log3（x+1），∴当x=8时，y="100" log3（8+1）=100×2=200．故选A．6.如图，在△ABC中，∠C=90°,CA=CB=1,为△ABC内一点，过点P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形（图中阴影部分），则这三个三角形的面积和的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，设直线的方程为，P，则三个三角形的面积和，因为，故.【考点】1、函数的性质；2、不等式的性质.7.已知函数对任意的恒有成立.(1)当b=0时，记若在）上为增函数，求c的取值范围；(2)证明：当时，成立；(3)若对满足条件的任意实数b，c，不等式恒成立，求M的最小值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）首先要讨论题设的先决条件对恒成立，，即恒成立，这是二次不等式，由二次函数知识，有，化简之后有，从而．时，在上是增函数，我们用增函数的定义，即设，恒成立，分析后得出的范围；（2），问题变成证明在时恒成立，在的情况下，，而，可见，那当时，一定恒有，问题证毕；（3）由（2），在时，，这时柺验证不等式成立，当时，不等式可化为，因此要求的最大值或者它的值域，，而，因此，由此的取值范围易得，的最小值也易得．试题解析：（1）因为任意的恒有成立，所以对任意的，即恒成立.所以，从而.，即：.当时，记（）因为在上为增函数，所以任取，，恒成立.即任取，，成立，也就是成立.所以，即的取值范围是.（2）由（1）得，且，所以，因此.故当时，有.即当时，.（3）由（2）知，，当时，有设，则，所以，由于的值域为，因此当时，的取值范围是；当时，由（1）知，.此时或0，，从而恒成立.综上所述，的最小值为.【考点】（1）函数的单调性；（2）不等式恒成立；（3）函数的值域，函数的综合问题8.定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·＋.(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）不是有界函数（2）[－5，1]【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝1＋因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)，故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M成立，所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．(2)由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．－3≤f(x)≤3，－4－≤a·≤2－，所以－4·2x－≤a≤2·2x－在[0，＋∞)上恒成立．所以≤a≤，设2x＝t，h(t)＝－4t－，p(t)＝2t－，由x∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t1<t2，h(t1)－h(t2)＝>0，p(t1)－p(t2)＝<0，所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a的取值范围为[－5，1]．9.如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.【答案】(1)10千米 (2)当a不超过6千米时,可击中目标【解析】解:(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,故x==≤=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标⇔存在k>0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根⇔判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时,可击中目标.10.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸（单位：毫克／升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：P=P0e－kt，（k，P均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（）时间过滤才可以排放．A．小时B．小时C．5小时D．10小时【答案】C【解析】设原污染物数量为，则．由题意有，所以．设小时后污染物的含量不得超过1%，则有，所以，．因此至少还需小时过滤才可以排放．【考点】函数应用11.某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台），其总成本为g(x)万元（总成本＝固定成本＋生产成本），并且销售收人r(x)满足假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？【答案】(1)大于300台小于1050台； (2) 600台【解析】(1) 由于销售收入是一个关于产品数量x的一个分段函数，另外计算工厂的盈利需要将销售收入r(x)减去总的成本g(x)万元，所以在两段函数中分别求出盈利大于零的时候产品数量的范围，及可求得结论.(2)通过二次函数的最值的求法即可得到盈利最大值时对应的产品数x的值，本小题单位的转化也是易错点.试题解析：依题意得，设利润函数为，则，所以（1）要使工厂有盈利，则有f(x)＞0，因为f(x)＞0⇔，⇒⇒⇒或，即.所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内（2）当时，故当x＝6时，f(x)有最大值4.5.而当x＞7时，.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大．【考点】1.分段函数的应用.2.函数的最值.3.实际问题的构建数学模型解决.12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为()A．x=15,y=12B．x=12,y=15C．x=14,y=10D．x=10,y=14【答案】A【解析】【思路点拨】利用三角形相似列出x与y的关系式,用y表示x.从而矩形面积可表示为关于y的函数.解:由三角形相似得=,得x=(24-y),由0<x≤20得,8≤y<24,∴S=xy=-(y-12)2+180,∴当y=12时,S有最大值,此时x=15.13.已知函数f(x)=a-是偶函数,a为实常数.(1)求b的值.(2)当a=1时,是否存在n>m>0,使得函数y=f(x)在区间[m,n]上的函数值组成的集合也是[m,n],若存在,求出m,n的值,否则,说明理由.【答案】(1) b=0 (2) 不存在，理由见解析【解析】(1)由已知,可得f(x)=a-的定义域为D=(-∞,)∪(,+∞).又y=f(x)是偶函数,故定义域D关于原点对称.于是,b=0(否则,当b≠0时,有-∈D且D,即D必不关于原点对称).又对任意x∈D,有f(x)=f(-x),可得b=0因此所求实数b=0.(2)由(1),可知f(x)=a-(D=(-∞,0)∪(0,+∞)).考察函数f(x)=a-的图象,可知:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,又n>m>0,∴y=f(x)在区间[m,n]上是增函数.因y=f(x)在区间[m,n]上的函数值组成的集合也是[m,n].∴有即方程1-=x,也就是2x2-2x+1=0有两个不相等的正根.∵Δ=4-8<0,∴此方程无解.故不存在正实数m,n满足题意.14.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？【答案】(1) p＝ (2) 当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元【解析】解：(1)当0＜x≤100时，p＝60；当100＜x≤600时，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.所以p＝(2)设利润为y元，则当0＜x≤100时，y＝60x－40x＝20x；当100＜x≤600时，y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.所以y＝当0＜x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2 000；当100＜x≤600时，y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，所以当x＝550时，y最大，此时y＝6 050.显然6 050＞2 000.所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．15.将一个长宽分别是a，b(0＜b＜a)的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是________．【答案】【解析】设切去正方形的边长为x，x∈，则该长方体外接球的半径为r2＝ [(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2]＝ [9x2－4(a＋b)x＋a2＋b2]，在x∈存在最小值时，必有＜，解得＜，又0＜b＜a⇒＞1，故的取值范围是.16.现有一张长为80 cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x(cm)，高为y(cm)，体积为V(cm3)(1)求出x与y的关系式；(2)求该铁皮盒体积V的最大值．【答案】（1）y＝，0＜x＜60.（2）32000 cm3【解析】(1)由题意得x2＋4xy＝4 800，即y＝，0＜x＜60.(2)铁皮盒体积V(x)＝x2y＝x2×＝－x3＋1 200x，V′(x)＝－x2＋1200，令V′(x)＝0，得x＝40，因为x∈(0,40)，V′(x)＞0，V(x)是增函数；x∈(40,60)，V′(x)＜0，V(x)是减函数，所以V(x)＝－x3＋1 200x，在x＝40时取得极大值，也是最大值，其值为32 000 cm3.所以该铁皮盒体积V的最大值是32000 cm3.17.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q(a)．【答案】（1）L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．（2）当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝4 3(万元)．【解析】(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)·(18＋2a－3x)．令L′＝0，得x＝6＋a或x＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a≤5，∴8≤6＋a≤.在x＝6＋a两侧，L′的值由正变负．所以①当8≤6＋a<9，即3≤a<时，＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)；Lmax②当9≤6＋a≤，即≤a≤5时，＝L 2Lmax＝43，所以Q(a)＝故若3≤a<，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；若≤a≤5，则当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝4 3(万元)18.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】（1）f(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)（2）5 cm厚，70万元【解析】(1)设隔热层厚度x cm，由题意，建筑物每年的能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，∴C(x)＝(0≤x≤10)，又∵隔热层建造费用为6x(万元)，∴f(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．(2)f(x)＝＋6x＝＋(6x＋10)－10，∵0≤x≤10，∴6x＋10＞0，∴f(x)≥2－10＝70.当且仅当＝6x＋10.即x＝5时，取“＝”号．故隔热层修建5 cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．19.设y＝f(x)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：表示表中数据间对应关系的函数是______．【答案】y＝5.0＋2.5sin t.【解析】由数据可知函数的周期T＝12，又T＝12＝，所以ω＝，函数的最大值为7.5，最小值为2.5，即h＋A＝7.5，h－A＝2.5，解得h＝5.0，A ＝2.5.所以函数为y＝f(x)＝5.0＋2.5sin又y＝f(3)＝5.0＋2.5sin＝7.5，所以sin ＝cos φ＝1，即φ＝2kπ，k∈Z，故y＝5.0＋2.5sin t20.某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠(即原价的85%)．问：该厂是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由．【答案】（1）10天（2）利用【解析】(1)设该厂x(x∈N*)天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y1.∵饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．从而有y1＝ (3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417，当且仅当＝3x，即x＝10时，y1有最小值．故该厂10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．(2)设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝＋3x＋303(x≥25)．令f(x)＝＋3x(x≥25)，∵f′(x)＝－＋3，∴当x≥25时，f′(x)＞0；当x≥25时，函数f(x)与y2是增函数．∴当x＝25时，y2取得最小值，最小值为390.∵390＜417，∴该厂应考虑利用此优惠条件．21.某镇政府为了更好地服务于农民，派调查组到某村考察．据了解，该村有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员x(x＞0)户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高2x%，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入将为3 (a＞0)万元．(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的总年收入，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a的最大值．【答案】（1）0＜x≤50（2）5【解析】(1)由题意，得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，即x2－50x≤0，又x＞0，解得0＜x≤50.(2)从事蔬菜加工的农民总年收入为3x万元，从事蔬菜种植的农民的总年收入为3(100－x)(1＋2x%)万元．根据题意，得3x≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，即ax≤100＋x＋恒成立．因为0＜x≤50，所以a≤＋＋1恒成立，而＋＋1≥5，当且仅当x＝50时取等号，所以a的最大值为5.22.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式(为非零常数)给出，其中为声音能量.（1）当声音强度满足时，求对应的声音能量满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.【答案】(1)；(2) ．【解析】这是应用题，高考常考题型，解决这类问题关键是读懂题意，即根据题目提供的信息，找到需要的等量关系，列出相应的函数式(方程，不等式等等)，然后借助函数的知识(或方程，不等式知识(解决问题．本题中(1)就是根据已知，把用代入进去，化简就可得所求结论；(2)在公式中有两个参数，这是我们首先要求出的，还好题中有两个已知，我们只要列出相应的方程组，就能解出，而最终要求的范围就是解不等式．试题解析：（1）2分4分6分（2）由题意得 8分10分13分答：当声音能量时，人会暂时性失聪. 14分【考点】应用题．23.如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米,滴管内液体忽略不计.（1）如果瓶内的药液恰好分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件(1)下,设输液开始后（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为（单位：厘米），已知当时，.试将表示为的函数.（注:）【答案】（1）；（2）；【解析】（1）本小题主要通过题中给出图形与数据求得瓶内液体的体积（两个圆柱体的体积和），再计算滴球状液体的体积，然后利用二者相等，求得；（2）本小题任然根据滴管内匀速滴下球状液体体积等于瓶内液体下降的体积，只是需要注意瓶内液体应区分两个圆柱体体积的不同，所以所得为分段函数。

高一数学函数模型及其应用试题答案及解析

高一数学函数模型及其应用试题答案及解析1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西处,受影响的范围是半径长为km的圆形区域.轮船的航行方向为西偏北且不改变航线，假设台风中心不移动．如图所示，试问：（1）在什么范围内，轮船在航行途中不会受到台风的影响？（2）当时，轮船在航行途中受到影响的航程是多少？【答案】（1）（2）40km【解析】首先建立以台风中心为原点建立直角坐标系，（1）由轮船在直线l：x+y-80=0上移动，则得到原点到l的距离．根据条件来判断是否受台风影响．（2）根据，得到会受到台风影响的结论，其航程由弦长一半的平方等于半径的平方减去圆心到直线的距离的平方求解．试题解析：如图,以台风中心为原点建立直角坐标系.（1）轮船在直线上移动, 3分原点到的距离．5分时,轮船在途中不会受到台风影响． 7分（2）会受到台风影响． 9分航程为 11分【考点】直线和圆的方程的应用．2.如图，公园要把一块边长为的等边三角形的边角地修成草坪，把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上．（1）设，，试用表示函数；（2）如果是灌溉水管，希望它最短，的位置应该在哪里？【答案】（1）;（2） A为基点，分别在AB、AC上截取AD＝AE＝a时，线段DE最短.【解析】利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.试题解析：（1）∵△ABC的边长为2，D在AB上，且，.∵∴.在△ADE中，由余弦定理得（2）令，则当且仅当，即时，取“＝”号，故＝a，此时x＝a，所以以A为基点，分别在AB、AC上截取AD＝AE＝a时，线段DE最短．【考点】基本不等式在实际中的应用.3.如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地（图中）的围墙，且要求中间用围墙隔开，使得为矩形，为正方形，设米，已知围墙（包括）的修建费用均为800元每米，设围墙（包括）的修建总费用为元。