知识讲解 离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)

离散型随机变量的均值与方差

【学习目标】

1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；

2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】

要点一、离散型随机变量的期望 1.定义：

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释：

（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …

n p n 1=

=，=ξE +1(x +2x …n

x n 1

)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 （3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质：

①()E E E ξηξη+=+；

②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有b aE b a E +=+ξξ)(；

b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：：

η的分布列为

于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++…

＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ ∴b aE b a E +=+ξξ)(。

要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念：

已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数

[1

2n

S =

21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差：

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋22

2)(p E x ⋅-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-⋅＋…称为随机变量ξ的方差，式中

的ξE 是随机变量ξ的期望．

ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．

要点诠释：

⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系：

22()()D E E ξξξ=-

4.方差的性质：

若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，2

()D D a b a D ηξξ=+=；

要点三：常见分布的期望与方差 1、二点分布：

若离散型随机变量ξ服从参数为p 的二点分布，则 期望E p

ξ=

方差(1).D p p ξ=-

证明：∵(0)P q ξ==,(1)P p ξ==,01p <<,1p q += ∴01E q p p ξ=⨯+⨯=

22(0)(1)(1).D p q p p p p ξ=-⋅+-⋅=-

2、二项分布：

若离散型随机变量ξ服从参数为,n p 的二项分布，即~(),B n P ξ，则 期望E nP ξ= 方差(1-)D np p ξ= 期望公式证明：

∵k

n k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)

1()(ξ， ∴001112220

012......n n n k k n k n n n n n n n E C p q C p q C p q k C p q n C p q ξ---=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯，

又∵1

1)]!

1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅

=k n k

n nC k n k n n k n k n k kC ，

∴=ξE (np 0011n n C p q --＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0

111q p C n n n ---

np q p np n =+=-1)(．

3、几何分布：

独立重复试验中，若事件A 在每一次试验中发生的概率都为p ，事件A 第一次发生时所做的试验次数

ξ是随机变量，且1()(1)k P k p p -ξ==-，0,1,2,3,

,,k n =，称离散型随机变量ξ服从几何分布，记

作：~()()P k k P ξξ==g ，。

若离散型随机变量ξ服从几何分布，且~()()P k k P ξξ==g ，，则 期望1

.E p ξ=

方差2

1-p

D p ξ=

要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。 4、超几何分布：

若离散型随机变量ξ服从参数为,,N M n 的超几何分布，则 期望()nM

E N

ξ=

要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用 1、求离散型随机变量ξ的期望、方差、标准差的基本步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由期望、方差的定义求出E ξ、D ξ、σξ：

1122n n E x p x p x p ξ=++

++

()()()2

2

2

1122n n D x E p x E p x E p ξ=-ξ+-ξ++-ξ+

σξ=.

注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可． 2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用

① 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

② 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。

③对于两个随机变量1ξ和2ξ，当需要了解他们的平均水平时，可比较1ξE 和2ξE 的大小。

④1ξE 和2ξE 相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较1ξD 和2ξD ，方差值大时，则表明ξ比较离散，反之，则表明ξ比较集中．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关． 【典型例题】

类型一、离散型随机变量的期望

例1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：