一维非稳态热传导热源反问题研究
matlab 一维非稳态导热
matlab 一维非稳态导热一维非稳态导热问题是研究物体在时间和空间上温度分布变化的问题。
在导热过程中，物体内部的温度会随着时间的变化和空间位置的不同而发生变化。
为了研究这个问题，我们可以使用MATLAB进行数值模拟和分析。
我们需要定义问题的边界条件和初始条件。
边界条件包括物体的两端温度，初始条件是物体的初始温度分布。
通过设定合适的边界条件和初始条件，我们可以模拟不同情况下的一维非稳态导热问题。
然后，我们可以使用MATLAB的偏微分方程求解工具箱来求解一维非稳态导热方程。
该工具箱提供了一系列函数，可以用于求解偏微分方程问题。
我们可以将一维非稳态导热方程转化为偏微分方程的数值解，并使用MATLAB进行求解。
在MATLAB中，我们可以使用有限差分方法来近似求解偏微分方程。
有限差分方法是将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程，通过迭代求解差分方程来逼近偏微分方程的解。
通过调整空间步长和时间步长，我们可以获得更精确的数值解。
在求解过程中，我们可以使用MATLAB的循环结构来迭代求解差分方程。
通过迭代过程，我们可以得到物体在不同时间点上的温度分布。
可以将每个时间点的温度分布绘制成图形，以直观地展示温度随时间变化的情况。
除了求解一维非稳态导热方程，MATLAB还提供了其他功能来分析和处理导热问题。
例如，可以使用MATLAB的插值函数来对温度分布进行插值，以获得更精确的温度数值。
还可以使用MATLAB的统计分析工具箱来对温度数据进行统计分析和可视化。
MATLAB是一个强大的工具，可以用于求解一维非稳态导热问题。
通过合适的边界条件和初始条件，以及适当的数值方法和工具箱函数，我们可以在MATLAB中模拟和分析物体的温度分布变化。
这对于研究导热问题和设计热传导器件等具有重要的意义。
一种一维非稳态导热反问题算法[发明专利]
![一种一维非稳态导热反问题算法[发明专利]](https://img.taocdn.com/s3/m/eb4d210082c4bb4cf7ec4afe04a1b0717ed5b346.png)
(19)中华人民共和国国家知识产权局(12)发明专利申请(10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 202010697290.5(22)申请日 2020.07.20(71)申请人 上海宇航系统工程研究所地址 201109 上海市闵行区元江路3888号(72)发明人 包轶颖 丁逸夫 孙培杰 来霄毅 许安易 李鹏 盛敏健 严立 马禄创 王平阳 (74)专利代理机构 上海航天局专利中心 31107代理人 孙瑜(51)Int.Cl.G06F 17/14(2006.01)G06F 17/16(2006.01)(54)发明名称一种一维非稳态导热反问题算法(57)摘要本发明公开了一种一维非稳态导热反问题算法，利用内表面温度变化，反演外表面热流变化。
本发明专利通过对时间域从整体到部分进行分割，结合局部目标函数和全局目标函数的迭代求解，确定新的基准热流，最终获得一维非稳态导热反问题的解。
本发明中算法，降低了热流反演算法对温度测点位置的要求，降低了热流反演算法对随机噪声的敏感程度，提高了对导热较差温度响应较慢的反演结果精度。
通过仿真试验研究，本发明对线性和周期性热流条件和温度变化响应较慢情况均有较好的反演结果，对于测量误差有较好的抗干扰能力。
权利要求书2页 说明书5页 附图4页CN 111753250 A 2020.10.09C N 111753250A1.一种一维非稳态导热反问题算法，其特征在于：。
包括步骤：步骤1)读取内表面温度测量数据；步骤2)初始化变量，计算总分割次数；步骤3)计算本轮热流迭代步长、时间段分割状态和全局目标函数；步骤4)对每个时间段，根据热流迭代步长和时间分割状态，在基准热流上进行偏移，获得3个热流；步骤5)对每个时间段，进行导热正问题求解，并计算局部目标函数，根据目标函数确定新的基准热流；步骤6)对每个时间段，在步骤5)新基准热流下重复步骤4)、5)，直至局部目标函数变化小于步骤2)中初始化的变量；步骤7)判断步骤4)、5)、6)循环的执行次数达到分割后的时间段个数，是进行下一步骤，否跳转至步骤4)；步骤8)计算新的全局目标函数与步骤3)计算的全局目标函数之差，判断是否小于步骤2)中初始化的变量，是进行下一步骤，否跳转至步骤4)；步骤9)判断分割次数是否小于总分割次数，是进行下一步骤，否跳转至步骤3)；步骤10)输出热流反演结果。
数值传热学一维非稳态导热
数值传热学一维非稳态导热
数值传热学一维非稳态导热是一个拟表达热量输运多方面考虑下的相关分析技术，例如光斑热传递，带有间断层热传导，恒定物质热传导等等。
本文将重点简要介绍一维非稳态导热模型中的理论方法，为解决该问题提供重要基础。
首先，我们讨论的一维非稳态导热模型是一维的，在这种模型中，温度的变化是由上下相邻的单元格热传导加权平均值决定的，从一个单元格到另一个单元格的变化必须满足偏微分方程的通用表达式。
其次，根据以上的假设，一维非稳态导热的数值解将以定义的步长迭代，用于求解温度在不同单元中的变化。
在数值模拟中，需要对边界条件、热导率和温度输入进行有效描述，以确定最终的解答模式。
同时，本次分析中，利用有限差分和蒙特卡罗方法来求解温度场。
这种有趣且可行的做法，不但实现了所需求解的模式，而且能够精确地给出结果。
此外，在电脑指令中，采取该方法对数值运算很有效，从而提高了计算机解的精度和实现的质量。
最后，一维非稳态导热模型是在一定物理场中进行计算的，通用性很强，其能够很好地模拟简单模型中物理场的变化。
因此，它经常被用于诸如热管道传热、滑动轴热传导、负载温度场仿真等多种领域的研究。
总而言之，一维非稳态导热的数值模拟具有良好的数学基础、使用简单的算法以及电脑指令，从而实现快速求解热传导问题的目的，是今后研究的重要课题。
一维非稳态热传导热源反问题研究
一维非稳态热传导热源反问题研究摘要本文是关于热传导的正反问题的研究，即利用偏微分方程中典型热传导方程t时刻温度分布与热源位置。
求解含有内热源的金属细杆本文从解偏微分方程出发，由已知条件最终得出温度分布函数及热源位置函数并建立了两个数学模型。
模型一：利用偏微分方程及初始温度分布函数建立了一段时间后的温度分布与热源强度、位置之间的数学模型，最终解出一段时间后长杆上的温度分布。
模型二：通过一类抛物型偏微分方程模型，解决已知初始温度分布函数、一段时候后的温度分布函数及热源强度的确定热源位置和中间任意时刻的温度分布函数。
u x t,即t时刻的温度根据模型一建立偏微分方程组，用分离变量法求解(,)分布函数，并通过Matlab中的PDE(偏微分方程)工具箱求解偏微分方程组，且使解可视化。
u x T,结合抛物型方程，运用根据模型二依然建立偏微分方程组，通过测得(,)离散正则法，确定热源位置，并通过论证说明问题的唯一性和确定性，给出反问题的数值解法。
最后再简单介绍差分法解决热传导在非稳态导热问题中的应用。
最后是结论部分，主要总结本文的结果并提出一些尚待进一步研究的问题，以及研究该反问题的应用前景。
相同t不同x的温度变化曲线相同x不同t的温度变化曲线一维非稳态热传导热源反问题研究一、问题的提出在金属细秆的传热过程中，温度差是导致其发生必要条件，有无热源决定传导效率的高低。
从一维非稳态传导问题的数学模型和初始条件出发，经过对有内热源问题的进一步分析，在初始温度分布已知的情况下，对分布函数的处理显得很关键。
对热源反问题的处理中，我们的问题是如何寻找某种合理的附件条件，通过已知方程来解决方程右端的热源的具体位置并使其具有唯一性。
本文利用微分方程并建立了满足温度分布的数学物理模型，从理论上导出了温度分布函数和热源位置的求解，并借助计算机软件画出了温度分布图。
二、问题的分析对于热传导问题，为了使函数解决起来更容易，对于细秆的初始温度分布()g x我们可以设它在区间[0,L]连续，那么()g x可以展成正弦或余弦级数，对于有内热源的处理，由于细秆边界条件是齐次的，我们采用叠加原理把一根金属细秆的导热问题分解为有热源的具有其次边界条件的稳态导热问题和一个非稳态其次问题，则原问题的解为(,)1(,)2() u x t u x t u x=+。
第三章第三节 一维非稳态导热的分析解
第三节一维非稳态导热的分析解
上式化为：
∂θ = a ∂ 2θ
∂τ
∂x 2
θ =θ0
∂θ = 0 ∂x
0 < x < δ ,τ > 0 τ =0 x=0
− λ ∂θ = hθ x = δ ∂x
第三节一维非稳态导热的分析解
用分离,τ θ0
)
=
∞
∑
n =1
2 sin( β nδ ) cos( β n x) β nδ + sin( β nδ ) cos( β nδ
F0 = az δ 2 F0 = az R 2
2
第三节一维非稳态导热的分析解
3 正规热状况的实用计算方法－拟合公式法
对上述公式中的A，B，μ1，J0 可用下式拟合
μ
2 1
=(a
+
b Bi
)−1
A = a + b ( 1 − e − cBi )
B = a + cB i 1 + bB i
J 0 ( x ) = a` + b` x + c` x 2 + d ` x 3
λ
书上P73表3-1给出了部分Bi数下的μ1值
第三节一维非稳态导热的分析解
θ
( x,τ θ0
)
=
∞
∑
n=1
2 sin( βnδ ) cos( βn x) βnδ + sin( βnδ ) cos( βnδ
)
e− β n2 aτ
θ
( x,τ θ0
)
=
∞
∑
n =1
2 sin( β nδ ) cos( β n x ) β nδ + sin( β nδ ) cos( β nδ
有限差分法求解一维非稳态导热问题研究
TECHNOLOGY AND INFORMATION科技论坛188 科学与信息化2020年2月中有限差分法求解一维非稳态导热问题研究韩家玄华侨大学土木工程学院 福建 厦门 361021摘 要 本文针对导热问题中的一维非稳态导热，引入一维热传导方程。
利用有限差分法中的差商公式对一维热传导方程进行差分化并将差分格式矩阵化。
对有限差分法做了应用举例，利用MATLAB编程求出已知定解条件的一维非稳态导热问题的数值解。
最后对有限差分法的适用范围做了推广。
关键词 有限差分法；一维热传导方程；数值解1 一维非稳态导热问题1.1 一维热传导方程导热、对流和辐射是热量传递的三种基本形式。
其中，导热是指物体的各部分之间不发生相对位移，仅依靠分子、原子和自由电子之类的微观粒子的热运动引起的热量传递过程[1]。
类似于电磁场和重力场，传热的物体中存在着温度场。
物体的温度场是指物体在不同时刻各空间点处的温度分布总称。
根据物体温度场的不同来划分，一维非稳态导热是指温度场空间分布为一维，同时还具有时间分布的导热方式。
工程领域中诸多导热问题可以抽象成一维非稳态导热，其中涉及一个重要的模型，即长宽远大于厚度的平壁导热模型。
考虑上述平壁导热模型，其温度仅在厚度方向上有差异。
设温度函数为关于平壁厚度和时间的二元函数。
根据文献[1]（1-1）被称为热扩散率，和分别为材1.2 一维非稳态导热的定解条件通过求解热传导方程，能够得到非稳态导热物体的温度场在时间和空间上的分布情况。
当然，为求解热传导方程，还需要加入特定导热问题的定解条件。
对于一维非稳态导热问题，定解条件分为初始条件和边界条件，初始条件为零时刻时温度在不同空间位置的分布，边界条件为物体两端边缘处温度在不同时刻的分布。
一维非稳态导热问题涉及偏微分方程的求解，往往不能得到解析解或解析解形式过于复杂，一般考虑采用有限差分法来求其数值解。
有限差分法是解决偏微分问题的常用方法之一，其本质是基于差分的思想，将微分和导数用差分和差商来近似代替。
外文翻译(一维符合材料介质非稳态传热过程的分析方法)
An analytic approach to the unsteady heat conduction processes in one-dimensional composite media一维符合材料介质非稳态传热过程的分析方法摘要：一维层叠体瞬态传热问题常采用基于Vodicka的传统方法解决，然而，如果把每一层的热扩散系数放在传热方程的一侧，在时间变量函数采集点处，采用分离变量法对传热方程进行修正，则修正传热方程自动成立，表示处于一种透明的物理状态。
这种自动的选择简化了对复合材料介质的非稳态传热分析，与传统方法比较，热效应计算简化成了一种相对简单的数学问题。
1、绪论：一种实际应用于层叠系列复合材料的瞬态温度效应的闭式方法最初是由Vodicka提出的，他采用分离变量法解热传问题的偏微分方程，在变量分离时，Vodicka将热扩散系数保留在传热方程的一侧，在传热方程中建立空间变量函数。
这种选择使得时间变量函数独立于热扩散，因此，尽管这种方法可以给出正确的定量的结果，但并不能表示真实的物理问题，而且特征值和相应的本征函数的计算非常耗时且复杂。
在Vodicka之后，复合材料的非稳态传热问题的分析经过50多年的发展，其中包括一些个人的贡献，2、M层非稳态传热数学建模假定一复合材料有M层平板处于理想化热接触条件，如图1所示，k i和a i分别是第i层的热传到效率和热扩散效率（i=1,2……M），初始体（t=0），限制其变化范围x1≤x≤x M+1,具有特定的温度f（x）。
t=0时刻，固体复合材料两界面受到对流热通量的作用，温度为T，传热系数为ℎ1的流体流经x=x1的外表∞，传热系数为ℎM+1的流体流经另外一边的外表面面，另有一具有相同的温度T∞x=x M+1。
非稳态热传导过程的数学建模假设：（a ） 自身不产热。
（b ） 热性能，如传导率、扩散率等，与温度无关，且M 层板材中层内均匀。
（c ） 介质周围，流体温度为T ∞，空间均匀，且时间t>0时保持恒定。
柱坐标系含内热源一维非稳态热传导问题
2.11解：对于该一维有热源的非定常热传导问题,设导热系数k 为常数有211t t r c k r u r r r R ρτ⎡⎤∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''=+-⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦初始条件(),t r o T ∞=边界条件为()00r r R r Rtr t h t T r λ=∞==⎧∂=⎪∂⎪⎨∂⎪-=-⎪∂⎩即20111r a r u r r rc R θθτρ⎡⎤∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''=+-⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦(),0r o θ=000r r R r k h r θθθ==⎧∂=⎪∂⎪⎨∂⎛⎫⎪+= ⎪⎪∂⎝⎭⎩其中ka cρ=为热扩散率或热扩散系数（thermal diffusivity ），过余温度t T θ∞=-，则 令()u f r θ=+，并使其中()f r 满足原方程及边界条件不妨设()420122416u r f r r C r C k R '''⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，显然其满足原方程，现用边界条件待定其中系数301112034200112222002084001684416163416r x r R r Ru f r r C C C rk R u u f r r k hf k r C h r C r C r k R k R u R u R k h C k k u ====⎛⎫'''⎛⎫∂=--+==⇒= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫''''''⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫+=--++--++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦''''''⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'''=-202310441344R hR C h k u R R C h k ⎛⎫++= ⎪⎝⎭'''⎛⎫⇒=+ ⎪⎝⎭故()420021341644u u R r R f r r k R h k ''''''⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭420021341644u u R r R u r k R h k θ''''''⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 代入原方程及边界条件中有1u u a r r r r τ∂∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂⎝⎭000r r R ur u k hu r==⎧∂=⎪∂⎪⎨∂⎛⎫⎪+= ⎪⎪∂⎝⎭⎩ 代入初始条件中有420020013401644u u R r R u r k R h k ττθ==''''''⎛⎫⎛⎫=--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()0u r τϕ==其中()420021341644u u R r R r r k R h k ϕ''''''⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 现用分离变量法进行求解令()()(),u r R r T ττ=带入(1.4)中泛定方程中有()()()()()()1R r T a R r T rR r T r τττ''''=+⎡⎤⎣⎦ ()()()'()()R r rR r T rR r aT τλτ'''+==-即()()()'()()0,0.T aT rR r R r rR r τλτλ⎧+=⎪⎨'''++=⎪⎩由边界条件知'(0)0,'()()0.hR R R R R k=+=由初始条件有()()()0R r T r ϕ=现对k 的值进行讨论① 当0λ=时，将其带入式(1.6)中有()()'()0,0.T rR r R r τ⎧=⎪⎨'''+=⎪⎩ ()()()0ln T C R r A r BK x τ=⎧⎪⇒⎨=+⎪⎩(1.9)代入边界条件中有0A B ==显然不符合题意舍去② 当0λ<时，对于式(1.6)令x =有'2222()()0,0.T aT R R x x x R x x τλτ⎧+=⎪⎨∂∂+-=⎪∂∂⎩()()()()1200a T Ce R x AI x BK x λττ-⎧⎪=⇒⎨⎪=+⎩()()))1200a T Ce R r AI BK λττ-⎧=⎪⇒⎨⎪=+⎩注意到当τ→∞时()τ→∞T 即最终的温度→∞t ，这在实际情况下是不可能的，故该种情况应当舍去。
一维非稳态导热的数值计算
一维非稳态导热的数值计算一维非稳态导热问题是指材料的温度在时间上发生变化，且只沿一个方向进行传热的问题。
这种问题在实际工程、材料科学和热传导研究中都十分常见。
数值计算是求解这类问题的重要方法之一，接下来我们将介绍一维非稳态导热的数值计算方法。
首先，我们来定义一维非稳态导热的数学模型。
假设我们考虑的材料是一维的杆状物体，其长度为L，温度分布随时间t和空间x而变化，记作T(x,t)。
根据热传导方程，我们可以得到如下的一维非稳态导热方程：∂T/∂t=α*∂^2T/∂x^2其中，α是热扩散系数，反应了材料导热性能的指标。
我们的目标是求解在给定边界条件下的温度分布T(x,t)。
为了使用数值方法求解该方程，我们需要将其离散化。
首先，我们将时间t离散化为一系列的时间步长Δt，将空间x离散化为一系列的空间步长Δx。
然后，我们使用中心差分法来近似替代方程的二阶空间导数项和一阶时间导数项：∂T/∂t≈(T(i,j+1)-T(i,j))/Δt∂^2T/∂x^2≈(T(i+1,j)-2T(i,j)+T(i-1,j))/Δx^2其中，i和j分别表示空间和时间的离散节点索引。
将上述近似代入导热方程中，得到离散的差分方程：(T(i,j+1)-T(i,j))/Δt=α*(T(i+1,j)-2T(i,j)+T(i-1,j))/Δx^2根据上述差分方程，我们可以通过迭代计算来逐步更新温度分布。
首先，我们需要给定初始条件T(x,0)和边界条件T(0,t)和T(L,t)。
然后，我们通过迭代计算来更新温度值，直到达到所需的时间步长和空间步长。
具体来说，我们可以根据以下的更新公式进行迭代计算：T(i,j+1)=T(i,j)+α*Δt*(T(i+1,j)-2T(i,j)+T(i-1,j))/Δx^2其中，T(i,j+1)表示在第j+1个时间步长和第i个空间步长的温度值，T(i,j)表示在第j个时间步长和第i个空间步长的温度值。
总之，一维非稳态导热的数值计算方法可以使用离散化和迭代计算来求解热传导方程。
一维非稳态热传导
一维非稳态热传导简介热传导是一种物质内部热量传递的过程，其中涉及到热传导方程的求解。
在一维非稳态热传导中，我们研究的是沿一个维度上的非稳态热传导问题。
本文档将介绍一维非稳态热传导的基本概念、热传导方程的推导过程以及求解方法。
基本概念在研究非稳态热传导之前，我们先了解一些基本概念。
•温度梯度（Temperature Gradient）：指单位长度内温度的变化率。
在一维情况下，温度梯度表示为dd/dd，其中dd是单位长度内的温度变化，dd是长度单位。
•热流密度（Heat Flux Density）：指单位面积内传导的热量。
在一维情况下，热流密度表示为d=−d(dd/dd)，其中d是物质的热导率。
热传导方程的推导为了描述一维非稳态热传导问题，我们可以利用热传导方程。
推导过程如下：考虑一个以d为坐标的一维物体，在某个时刻d，温度分布为d(d,d)。
我们假设物体是均匀的，且具有恒定的热导率d。
根据温度梯度和热流密度的定义，我们可以得到如下关系：d=−d(dd/dd)根据能量守恒定律，我们可以得到以下方程：$$\\frac{{dq}}{{dt}} = -\\frac{{dE}}{{dt}}$$其中dd是单位时间内通过体积元dd的热量。
根据热流密度和体积元之间的关系，我们可以将上述方程改写为：$$\\frac{{dq}}{{dt}} = -\\frac{{d}}{{dt}}(qA)$$其中d是横截面积。
我们可以使用链式法则推导出：$$\\frac{{dq}}{{dt}} = \\frac{{dq}}{{dx}} \\cdot\\frac{{dx}}{{dt}} = \\frac{{dq}}{{dx}}V$$其中d是体积。
将上述方程带入前面的方程中，我们可以得到热传导方程：$$\\frac{{dq}}{{dx}}V = -\\frac{{d}}{{dt}}(qA)$$进一步简化，我们可以得到：$$\\frac{{dq}}{{dx}} = -\\frac{{d}}{{dt}}(\\frac{{qA}}{{V}})$$由于我们假设物体是均匀的，可以将d/d视为常数，记为d。
一维非稳态导热问题的数值计算
一维非稳态导热问题的数值计算一、本文概述导热是热量在物质内部由高温部分传向低温部分的过程，它在自然界和工程应用中无处不在，如建筑物的保温隔热、热机的热传递等。
一维非稳态导热问题作为导热理论中的一个重要分支，研究的是热量在一维空间内随时间变化的传递过程。
由于其实用性和理论深度，一维非稳态导热问题一直是热传导研究领域的热点之一。
然而，一维非稳态导热问题的解析解往往难以求得，因此数值计算成为了解决这类问题的主要手段。
数值计算不仅能提供问题的近似解，还能通过改变计算条件和参数，模拟各种实际场景，为工程实践提供有力支持。
本文旨在探讨一维非稳态导热问题的数值计算方法。
我们将首先介绍一维非稳态导热问题的基本理论和数学模型，然后详细阐述几种常用的数值计算方法，如有限差分法、有限元法和谱方法等。
在此基础上，我们将通过具体的算例，分析这些数值方法的计算精度和效率，并讨论其在实际应用中的优缺点。
本文的目标读者主要是对导热理论和数值计算方法感兴趣的学者和工程师。
希望通过本文的介绍，读者能对一维非稳态导热问题的数值计算有更深入的理解，并能将其应用于实际问题的求解中。
二、一维非稳态导热问题的数学模型一维非稳态导热问题是在某一方向上热量随时间变化的热传导过程。
在实际应用中，这类问题常见于金属棒、电缆、管道等物体的热量传递过程。
为了对这一问题进行深入研究，需要建立相应的数学模型。
一维非稳态导热的基本方程是热传导方程，它描述了热量在物体内部随时间和空间的变化。
在一维情况下，该方程可以表示为：\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2T}{\partial x^2} ]其中，(T(x, t)) 表示物体在位置 (x) 和时间 (t) 的温度，(\alpha) 是热扩散系数，它决定了热量在物体内部传递的速度。
为了求解这一方程，需要定义初始条件和边界条件。
初始条件指的是物体在初始时刻的温度分布，通常表示为：T(0, t) = T_1(t), \quad T(L, t) = T_2(t) ]其中，(T_1(t)) 和 (T_2(t)) 是边界上的温度分布函数，(L) 是物体的长度。
一维圆柱非稳态导热方程求解
一维圆柱非稳态导热方程求解摘要：一、引言二、一维圆柱非稳态导热方程的建立三、求解方法四、数值计算及结果分析五、结论正文：一、引言在工程热物理领域，非稳态导热问题是一个重要且复杂的研究课题。
近年来，随着我国经济的快速发展，工业生产过程中涉及的温度场问题日益增多。
一维圆柱非稳态导热方程求解是温度场问题中的一个典型例子，对于解决实际工程问题具有重要的理论和实际意义。
本文将针对一维圆柱非稳态导热方程进行求解，并对结果进行分析。
二、一维圆柱非稳态导热方程的建立在一维圆柱坐标系下，我们考虑一个半径为r、高为h 的圆柱体。
假设该圆柱体的热导率是恒定的，为k。
为了简化问题，我们只考虑圆柱体在竖直方向上的非稳态导热过程。
在此基础上，我们可以建立如下非稳态导热方程：T(r,z,t)/t = α(T(r,z,t)/z)其中，T(r,z,t) 表示圆柱体中温度在时间t、半径r 和高度z 处的分布，α表示热扩散系数。
三、求解方法为了求解上述非稳态导热方程，我们可以采用有限差分法进行数值计算。
具体来说，首先将圆柱体离散化为一个网格系统，然后对每个网格点上的温度变化率进行求解。
通过迭代计算，可以得到圆柱体中温度在时间t、半径r 和高度z 处的分布。
四、数值计算及结果分析为了验证所采用方法的有效性，我们选取一个具体的非稳态导热问题进行求解。
假设圆柱体的半径r=0.1m，高度h=0.2m，热导率k=100W/(m·K)，热扩散系数α=10 m/s。
此外，我们设置圆柱体的初始温度为T0(r,z)=300 K，并在t=0 时对圆柱体施加热流密度q=1000 W/m。
通过有限差分法求解得到圆柱体中温度在时间t 处的分布。
将计算结果绘制成等温线图，可以发现温度场呈现出明显的径向对称性，且随着时间推移，温度场逐渐趋于稳定。
此外，我们还可以通过计算得到温度场的最大温差和加热时间等参数，为实际工程应用提供参考。
五、结论本文针对一维圆柱非稳态导热方程进行了求解，采用有限差分法进行了数值计算。
浅析非稳态热传导
浅析非稳态热传导浅析非稳态热传导摘要：在导热过程中单位时间内通过给定截面的导热量正比于垂直该方向上的温度变化率和截面面积，使得热量传递方向与温度升高方向相反。
材料可以进入气体，但在多空材料中，填充空的气体都具有低的导热系数，使得热损失减少从而提高保温能力。
各点温度不随时间而变，只沿径向变化。
关键词：热力传导非稳态一、二维传导在电脑解决方案备注应当明确，现在的数值方法和计算机形成功能强大的工具，可以来解决非常复杂的传热问题。
许多大型商业软件包可供选择而新出现越来越成的样式。
一个特征常见的热传输软件是一种要求用户理解的软件，传达一些关于热传递的主题。
如果没有这样的理解就可以变得很容易，并且可能做出重大过失。
我们已经表明，能量平衡是一种方式来检查的计算机解决方案的有效性。
有时常识也是行之有效的方法。
我们知道例如一个板块冷却的速度会更快吹入空气穿过板相要快得多。
后来我们将看到如何量化这些影响并能够预测什么样的影响，他们可能对一个数值解为导通的问题。
类似的语句可以是作出关于辐射边界条件。
这些发展将给读者一个“感觉”，不同边界的影响条件应与有关的数值解相同。
到现在为止边界条件超过规定数量时，经验丰富的传热从业者知道，他们是容易确定什么是真实的世界。
稳态导电在不断的电阻率的均匀材料中，呈现相似的几何形状开始热传导。
对于二维导电拉普拉斯方程适用于：其中E是电势，求解二维的一个非常简单的问题是构造一个电的模拟和实验确定的几何形状因子。
做到这一点的，一种方法是使用该涂有薄的导电膜市售纸。
可以被切割的二维热传导系统成为精确几何模型。
在纸张的适当边缘，良好的电导体被连接到模拟温度边界条件上的问题。
电势差是然后留下深刻印象的型号。
它可以指出，该纸具有非常高的电阻与连接到边缘的导体相比，这样的恒定电位条件可以保持在接触的区域。
二、非稳态传导如果一个坚实的身体突然经受变化的环境中必须花费一些时间前平衡温度条件将在为准参考平衡条件作为稳定状态并计算温度分布和传热通过方法在第二章和第三章描述。
matlab一维非稳态导热 -回复
matlab一维非稳态导热-回复Matlab是一款功能强大的数值计算软件，广泛应用于各个领域的工程问题求解。
其中，一维非稳态导热问题是其中的一个经典实例。
在本文中，我们将分步骤回答关于matlab中一维非稳态导热问题的相关问题，并给出相应的代码示例。
一维非稳态导热问题是指在一维空间中，研究物体温度随时间的变化规律。
该问题是一个典型的偏微分方程问题，可以用来模拟物体在热传导过程中的温度分布情况。
首先，我们需要确定问题的边界条件。
在一维导热问题中，通常我们会给定物体的初始温度分布和边界上的温度条件。
假设我们有一个长度为L的物体，在初始时刻t=0，物体的温度分布为T(x,0)，其中x表示空间坐标。
边界条件可以分为两种：第一种是给定物体两端的温度，即T(0,t)和T(L,t)；第二种是给定一段时间内物体的表面温度变化规律，即T(x,0<=t<=T)。
在matlab中求解一维非稳态导热问题，我们可以采用离散化的方法。
具体来说，我们可以将问题的空间和时间坐标都分成若干个离散点，然后用差分来逼近偏微分方程的导数。
这样，我们就得到了一个由代数方程构成的方程组，可以通过求解该方程组得到问题的数值解。
首先，我们需要确定问题的离散化步长。
在matlab中，我们可以用meshgrid函数来生成网格点坐标。
假设我们将空间坐标x划分为N个小段，时间坐标t划分为M个小段，那么我们就可以得到一个(N+1)×(M+1)的网格。
其中，每个网格点的坐标为(xi,tm)，其中i表示空间坐标第i个点，m表示时间坐标第m个点。
我们可以用[X,T]=meshgrid(x,t)来生成网格点坐标。
接下来，我们需要给定初始温度分布。
假设我们的物体的初始温度分布为T(x,0)=sin(2πx/L)，我们可以通过在网格点上计算初始温度值来得到初始温度矩阵T0。
具体来说，我们可以用T0=sin(2πX/L)来计算初始温度矩阵。
然后，我们需要给定边界条件。
传热学课件-第3章-非稳态导热分析解法精选全文
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
对厚为2δ的 无限大平板
M 1
对半径为R的无 限长圆柱
M
1 2
对半径为R的 球
M 1 3
V A
AA
V R2 R
A 2R 2
V A
4 R3
3
4R 2
R 3
Biv Bi
Biv
Bi 2
Biv
Bi 3
对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将
修正系数M取为1/3，即 BiV 0.0333
由此可见，上述两个热阻的 相对大小对于物体中非稳态导热 的温度场的变化具有重要影响。 为此，我们引入表征这两个热阻 比值的无量纲数毕渥数。
Bi h 1h
1）毕渥数的定义：
Bi h 1h
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小
0
1
τ/τs
工程上认为= 4τc时导热体已达到热平衡状态
3 Bi F物o 理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到l2面积上所需的时间
无量纲 热阻
无量纲 时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体， 各点地温度就越接近周围介质的温度。
t(x, ) t — 过余温度
2
a
x2
0, t -t
0
0
x 0, 0
x , - x h x
采用分离变量法求解：
(, 0
)
n 1
Cn
exp(n2Fo) cos(n)
柱坐标系含内热源一维非稳态热传导问题(2-11,e2.2)
2.11解：对于该一维有热源的非定常热传导问题,设导热系数k 为常数有211t t r c k r u r r r R ρτ⎡⎤∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''=+-⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦初始条件(),t r o T ∞=边界条件为()00r r R r R tr t h t T r λ=∞==⎧∂=⎪∂⎪⎨∂⎪-=-⎪∂⎩即20111r a r u r r rc R θθτρ⎡⎤∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''=+-⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦(),0r o θ=000r r R r k h r θθθ==⎧∂=⎪∂⎪⎨∂⎛⎫⎪+= ⎪⎪∂⎝⎭⎩其中ka cρ=为热扩散率或热扩散系数（thermal diffusivity ），过余温度t T θ∞=-，则 令()u f r θ=+，并使其中()f r 满足原方程及边界条件不妨设()420122416u r f r r C r C k R '''⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，显然其满足原方程，现用边界条件待定其中系数301112034200112222002084001684416163416r x r R r Ru f r r C C C rk R u u f r r k hf k r C h r C r C r k R k R u R u R k h C k k u ====⎛⎫'''⎛⎫∂=--+==⇒= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫''''''⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫+=--++--++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦''''''⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'''=-202310441344R hR C h k u R R C h k ⎛⎫++= ⎪⎝⎭'''⎛⎫⇒=+ ⎪⎝⎭故()420021341644u u R r R f r r k R h k ''''''⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 420021341644u u R r R u r k R h k θ''''''⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入原方程及边界条件中有1u u a r r r r τ∂∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂⎝⎭000r r R ur u k hu r==⎧∂=⎪∂⎪⎨∂⎛⎫⎪+= ⎪⎪∂⎝⎭⎩ 代入初始条件中有420020013401644u u R r R u r k R h k ττθ==''''''⎛⎫⎛⎫=--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()0u r τϕ==其中()420021341644u u R r R r r k R h k ϕ''''''⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭现用分离变量法进行求解令()()(),u r R r T ττ=带入错误！未找到引用源。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一维非稳态热传导热源反问题研究摘要本文是关于热传导的正反问题的研究，即利用偏微分方程中典型热传导方程t时刻温度分布与热源位置。
求解含有内热源的金属细杆本文从解偏微分方程出发，由已知条件最终得出温度分布函数及热源位置函数并建立了两个数学模型。
模型一：利用偏微分方程及初始温度分布函数建立了一段时间后的温度分布与热源强度、位置之间的数学模型，最终解出一段时间后长杆上的温度分布。
模型二：通过一类抛物型偏微分方程模型，解决已知初始温度分布函数、一段时候后的温度分布函数及热源强度的确定热源位置和中间任意时刻的温度分布函数。
u x t,即t时刻的温度根据模型一建立偏微分方程组，用分离变量法求解(,)分布函数，并通过Matlab中的PDE(偏微分方程)工具箱求解偏微分方程组，且使解可视化。
u x T,结合抛物型方程，运用根据模型二依然建立偏微分方程组，通过测得(,)离散正则法，确定热源位置，并通过论证说明问题的唯一性和确定性，给出反问题的数值解法。
最后再简单介绍差分法解决热传导在非稳态导热问题中的应用。
最后是结论部分，主要总结本文的结果并提出一些尚待进一步研究的问题，以及研究该反问题的应用前景。
相同t不同x的温度变化曲线相同x不同t的温度变化曲线一维非稳态热传导热源反问题研究一、问题的提出在金属细秆的传热过程中，温度差是导致其发生必要条件，有无热源决定传导效率的高低。
从一维非稳态传导问题的数学模型和初始条件出发，经过对有内热源问题的进一步分析，在初始温度分布已知的情况下，对分布函数的处理显得很关键。
对热源反问题的处理中，我们的问题是如何寻找某种合理的附件条件，通过已知方程来解决方程右端的热源的具体位置并使其具有唯一性。
本文利用微分方程并建立了满足温度分布的数学物理模型，从理论上导出了温度分布函数和热源位置的求解，并借助计算机软件画出了温度分布图。
二、问题的分析对于热传导问题，为了使函数解决起来更容易，对于细秆的初始温度分布()g x我们可以设它在区间[0,L]连续，那么()g x可以展成正弦或余弦级数，对于有内热源的处理，由于细秆边界条件是齐次的，我们采用叠加原理把一根金属细秆的导热问题分解为有热源的具有其次边界条件的稳态导热问题和一个非稳态其次问题，则原问题的解为(,)1(,)2() u x t u x t u x=+。
对于源反问题的解决有如下3个问题:1、反问题的唯一性:附加条件给得是否合理，也就是说，这个附加条件是否可以唯一确定热源的具体位置。
2、反问题的稳定性:反演所得到的热源的具体位置，该热源是否是连续地依赖于测量数据()h t?3、反问题的数值解法:如何用可行的数值方法反演该热源的具体位置。
用离散正则法将温度分布离散化，由已知初始温度分布再利用计算机软件得出热源位置三、模型假设1、金属细杆边界与外界无热量交换，即与外界绝缘2、热源强度在整个时间段里始终保持常量。
3、在求解源反问题时，热源分布相对细杆长度来说，可假设为点热源。
四、符号说明(,)u x t :温度分布函数，即x 处在t 时刻的温度(,)f x t ：热源强度a 2：热扩散系数，单位为m 2/sL ：细杆长度()g x :初始温度分布函数，即t=0时的杆在x 处温度其他运算过程中使用符号在步骤中说明，再不赘述。
五、模型的建立与求解5.1 建立热传导微分方程，并求出温度分布函数(,)u x t由题意可的模型如下：222()u u a f x t x∂∂=+∂∂ 0<x<L t>0 （1） (0,)(,)0u t u L t == 0x ≥ （2） (,0)()u x g x = 0x L ≤≤ （3） 根据可以把有内热源的非稳态导热问题分解为有热源的具有齐次边界条件的稳态导热问题和一个非稳态齐次问题，即原方程的解为：(,)1(,)2()u x t u x t u x =+ （4）式中，1(,)u x t 是如下非稳态的解：(方程组A)22211u u a t x ∂∂=∂∂ （A-1）1(0,)1(,)0u t u l t == （A-2）1(,0)()2()()u x g x u x p x =-= （A-3） 2()u x 是如下稳态问题的解：（方程组B ）2222()0u a f x x∂+=∂ 0<x<L 2(0)2()0u u l ==对方程组A:利用分离变量法，假定偏微分方程的解是两个独立变数的乘积，即设1(,)()()u x t X x Y t =∙代入微分方程（A-1）中，可得'2''XY a YX = 或'''2X Y X a Y==-λ(λ)为常数 （A-4）（若为+λ，则推导后所得出的解，其结果将对λ取任何值都不能满足边界条件），再由边值条件，有u1(0,t)=X(0)Y(t)=0 u1(L,t)=X(L)Y(t)=0必有(0)()0x x L ==。
由（A-4），有''0X X +λ=；X(0)=X(L)=0 （A-5）；'20Y a Y +λ= （A-6）；至此，通过分离变量，我们把微分方程的边值问题转化成为常微分方程的边值问题。
要是(A-5)有非零解，只要取λ=λn =222n L π（n=1，2，3···）对应的非零解为sin n x Lπ，类似方程(A-6)的解 2()()exp(())n n a Y t Y t t Lπ==- 于是得到方程组A 的一组线性无关的解： 2(,)sin exp(())n n x n a u x t t L L ππ=⋅- （n=1,2,3···）通过适当取值，设p(x)是函数sin n x L π的有限线性组合 即1()sin Nn n x p x c L π=∑最终得到21(,)sin exp(())N n n x n a u x t c t L L ππ=-∑ 其中，02()sin L n n x c p x dx L L π=⎰2121(,)()sin sin exp(())N n x n x n a u x t p x dx t L L L L πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑ 显然，(,)u x t 满足边值条件(,0)()u x p x =对方程组B ：即考虑有内热源的情况下，利用傅里叶变换求解2222()0u a f x x∂+=∂ 0<x<L 2(0)2()0u u l ==的解，得出()2()()F L u x F x x L -=+ 式中，()F x 是21()f x a-的二次积分。
最后，利用叠加定理将方程组A 与B 合并，即为所建模型温度分布函数的解： 21(,)1(,)2()2()()sin sin exp(())()N u x t u x t u x n x n x n a F L p x dx t F x x L L L L L πππ=+-⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦∑5.2 已知T 时刻的温度分布和初始温度分布，求解热源位置。
对于求源问题，由已知初始温度分布和一段时间后细秆的温度分布，那即为(,)()u x T f x =来求热源位置。
a 、离散正则化一维问题的一般提法为：(,)(,)(,)0,(0,)(,0)()0(0,)()(0,)(0,)(,)0(0,)t xx x u x t u x t f x x t T u x g x x u t t t T u t u l t t T =+→>∈⎧⎪=→>⎪⎨=ψ→∈⎪⎪==→∈⎩ （A ） 式中，边界条件(0,)()(0,)x u t t t T =ψ→∈当(,)f x t ，()g x ，()t ψ已知的情况下，原方程变为一维热传导方程的正问题，问题5.1就是属于一类一维热传导问题，对此借助参考文献[1]得出另一解为： ()000(,)2(,)()()(()())t t u x t f d k x t g k x t k x t d ∞=ττ--τψτ+ξ-ξ, ++ξ,ξ⎰⎰⎰ （B ）其中，21(,)exp()4x k x t t =- 对于已知(0,)(u t u l t ==，将其换为附加条件(0,)()u t t t T =φ→<< （C ） 此时根据已知条件，原问题就构成一维热传导方程的寻源反问题，把C 式代入B式中可得到： ()000()2(0,)()()(()())t t f d t k t d g k t k t d ∞ττ=φ+-τψττ-ξ-ξ, +ξ,ξ⎰⎰⎰(D) 以下为使用离散正则法解决源反问题：式（D ）可写成第一类积分算子方程的形式：,,Af F f Z F U =∈∈ （E ）其中，A 为第一类积分算子，Z 为解空间，U 为数据空间。
由于原问题是不适定的，故将积分算子离散化后得到的线性方程组常常是病态的，而且随着维数的增加其病态状况更加严重。
这时，直接求解离散方程显然是不行的，必须将其正则化后求解才能得到稳定的近似解。
离散正则化的过程可归结如下：1)将积分方程离散化得,,h h h h h h h A f F f W F L =∈∈其中， h A 为积分算子的离散矩阵；h f 为方程的离散解； h F 为近似数据；h为离散步长；2)形成相应的法方程T h T h h h h A A f A F = 3)法方程的正则化'()()T h h h h a a A A C f CF +α=-其中，C 为单位矩阵；4)利用偏差原理决定正则参数()a α=δ，使得((h a φδ))=0，其中δ为实际数据与测量数据之间的误差，((h h h ha A f F 2φδ))=||-||-δ； 5)求得离散正则解1()()h T T h a h h h f A A C A F -δ=+αb 、对离散正则模型进行数值实验（注：本文实验模拟特殊函数借助文献<2>） 设T 时刻细秆的温度分布：T=1，2()0.00001(1),01T g x x x x =-<<3414(exp(1))),01324t t t t t t φ()=-++-<<4.5(),01t t T ψ=<< 则根据拟最优准则<4> 得 345()325T t t t F t =-+由式E 得22(1)T f t t =-。
在实际应用中，得到的只是一些离散的数据，并且存在着一定的误差故给()T F t 一个扰动δ作为式E 的右端项()f F t ，应用离散正则化方法来求解()f F t 作为右端项的第一类积分算子方程，求解结果为 ()f f t 。