大学物理第二章习题答案

普通物理
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第二章 机械能及其守恒定律
——思考题与习题 （2课时）
思考题

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在驱动轮不发生滑动的条件下，一辆汽车从静止加速到速率V。 汽车的动能是否由路面施于汽车的静摩擦力所作之功而获得的？

路面对汽车的静摩擦力并没有作功，汽车作用。
1 R 3
1 1 2 1 2 mgx k ( x x ) kx mv 2 2 2 2 (1)
O
A
x
F
x
B
mg
x
18
小球在 A 点时处于平衡状态，故
mg kx (2)
A
由以上二式可解出由静止释放小球后小 球第一次经过点 A 时的速率为
v k x m
O
x
F
x
B
mg
x
注意，在此问题中，弹性势能 0 点不能选在 A 点，而必须选 择弹簧自然伸长时的位置 O 点，因为弹性势能的定义 1 2 E p kx 2 只有选择弹簧自然伸长时的位置为势能 0 点时才成立。
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一人逆水划船，使船相对于河岸静止。试问: 1）人是否要作功？ 2）停止划船，让船顺流而下，则流水对船是否作功？ 1）要作功，使被划的水获得动能增量。 2）略去空气阻力，略去船的海拔下降，人刚停下时流水做功， 使船与水达到同速，此后流水对船不作功。

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质点系的内力之和是否一定为零？内力作功之和是否一定为零？ 内力矩之和是否一定为零？为什么？ 质点系的内力之和一定为零，因为内力是成对出现的，每一 对内力大小相等，方向相反。 内力作功之和不一定等于零，因为一对内力的功与内力大小 及发生作用的两部分之间的相对位移有关，例如爆炸的情况， 内力做功大于零。 内力矩之和一定为零，因为内力矩也是成对出现的，大小相 等，方向相反。
dv P F v Fv m v dt mvdv Pdt (1)
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由于列车满功率运行，所以 P 为常数，两边同时积分得
1 2 mvdv Pdt mv Pt 0 0 2
v t
(2)
根据质点的动能定理可以直接得到此结果，将数据代入得
2 Pt 2 2 106 100 6 m 2 10 (kg) 2 v 20
1 1 1 1 2 2 2 A kx B kx A k ( x A x ) kx A 2 2 2 2 2 1 k x 2 kx A x 2
F
x
B
mg
x
与前面的分析对比，大家会认识的更清楚。
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2-18：一质点自球面的顶端由静止开始下滑，设球面半径为 R， 球面与质点之间的摩擦可以忽略，问质点垂直下落的距离为多 大时质点开始脱离球面？ 解：将地球、球面与质点视为质点系，下滑过程中支持力不做 功，故系统机械能守恒。以 O 点为重力势能零点，则：
B
v
mg
可以根据小球势能的变化计算重力的功，重力是保守力，保 守力所做的功等于势能增量的负值。
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2-15：一劲度系数为 1200 Nm-1 的弹簧被外力压缩了5.6 cm， 当外力撤除时将一个质量为 0.42 kg 的物体弹出，使物体沿光 滑的曲面上滑，求物体所能到达的最大高度 h。 解：将弹簧、物体、地球视为质点系，上升过程中只有重力及 弹簧弹性力做功 ，系统机械能守恒，以弹簧自然伸长时为弹 性势能 0 点，物体未弹出时的位置为重力势能 0 点，开始时弹 簧被压缩 x ，根据机械能守恒：
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错误分析 1. 由 B→A 的过程中弹簧弹性力做的功为
A
x 0
1 2 1 kxdx kx k x 2 2 2 0
A
0
x
O
或者： 1 1 A kxdx kx 2 k x x 2 2 x
0
x
F
x
B
或者 A
xA xB
mg
x
1 1 2 kxdx kx A kx B 2 2 2
t t
注意：求解此类问题要注意区分过程与状态 ，例如质量、路 程的求解是依据动能定理 ，它对应一段运动过程，而速度与 时间的关系、拉力与时间的关系都是求解状态。
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2-11：质量 m = 100 g 的小球系于长 l = 50 cm 的绳子一端，绳 另一端固定在点 o，将小球拉到 A 处使绳子正好呈水平状然后 释放。求小球运动到绳与水平方向夹角 θ = 60°的 B 点时， 1）小球的速率 v 及绳子的张力 T A O 2）小球从 A 到 B 的过程中重力所作的功 W。

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动能是与参照系选择无关的不变量。对吗？
不对！ 根据伽利略变换，速度与参照系的选择有关。因此动能与参 照系的选择有关。类似的，机械能、动量、角动量都与参照 系的选择有关。 另外，由于物体的位矢、位移与参照系的选择有关，因此， 与位矢、位移有关的物理量都与参照系的选择有关，例如力 矩和功。
请同学们指出以上方法中的错误并改正。
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2. 利用势能的概念计算由 B→A 的过程 中弹簧弹性力做的功：取 A 点为弹簧 弹性势能零点，则：
1 1 1 A E P ( kx A 2 kxB 2 ) kxB 2 2 2 2
O
A
x
这同样是错误的，必须取弹簧自然伸长 的位置为弹性势能 0 点，此时
v2 T mg sin m l
O

T
A
故在 B 点时绳内的张力为： mv 2 T mg sin 3mg sin 2.55 (N) l 根据质点的动能定理，小球从 A 到 B 的 过程中重力所作的功：
1 W mv 2 mgl sin 0.42 (J) 2
1 2 kx mgh 2 kx 2 1200 5.6 5.6 104 h 0.46 (m) 2mg 2 0.42 9.8
h
答：物体所能到达的最大高度为 0.46 米。
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2-17：一劲度系数为 k 的轻弹簧一端固定，另一端悬挂一质量 为 m 的小球，在点 A 时达到平衡，现用手把小球沿竖直方向 拉伸 △x 到点 B 的位置，试求由静止释放小球后小球第一次经 过点 A 时的速率。 解：如图建立坐标系，将小球、地球、弹簧 视为质点系，此系统仅受重力及弹性力作用， 二者均是保守力，所以机械能守恒。以弹簧 自然伸长位置 O 点为弹性势能 0 点，A 点为 重力势能 0 点，则自 B 点到 A 点的过程中：
将机车质量带入 (2) 式得列车速率与时间关系为：
v2 2 Pt v2 t m (3)
将 (3) 式带入 (1) 式得列车拉力与时间关系为：
P 106 F v t
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根据速度的定义
dx v dx vdt dt 将 (3) 式代入可得列车经过的路程为：
4t t 4 x vdt 2 tdt 100 100 1333 (m) 0 0 3 3

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在拔河游戏中，一队渐渐输给了另一队。问这个游戏中，作了 什么功？是哪个队作的？ 胜利的队伍做了正功。 P62页习题2-2：将物体挂到弹簧秤的挂钩上，弹簧被拉伸，在 弹簧被拉伸的过程中，什么力作正功？什么力作负功？ 重力做了正功，弹簧的弹性力做了负功。

课后习题

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2-7：机车的功率为 2.0×106 w，满功率运行的情况下，在 100 秒内将列车由静止加速到 20 m / s 。若忽略摩擦力，试求： 1）列车的质量； v 2）列车的速率与时间的关系； m F 3）机车的拉力与时间的关系； o x 4）列车所经过的路程 解：以机车开始运动的位置为坐标原点并开始计时，沿运动方 向建立坐标系 o-x，根据功率的定义及牛顿第二定律，在任意 时刻机车功率 P 与运动的关系为
1 mgR mg ( R h) mv 2 .......... (1) 2
h
在离开球面处，球面支持力为零，仅重 力沿半径的分量提供向心力，故：
v Rh m mg cos mg ......... (2) R R
2
R
v
mg
o

由以上两式解得质点脱离球面时垂直下落的距离：h

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内力所作的总功与参照系无关，但外力的功一般与参照系有关， 对吗？ 对！ 内力总是成对出现，每一对内力所做的功只与内力的大小以 及以内力相互作用的两体之间的相对位移有关，而这两者都 与参照系的选择无关，所以内力所作的总功与参照系的选择 无关。 外力的功与参照系的选择有关，根据伽利略变换，外力作用 下物体发生的位移与参照系的选择有关。
解：将小球和地球视为质点系，小球从 A 到 B 的运动过程中仅重力做功，机械能守恒。 取开始运动的水平位置为重力势能 0 点，则
1 0 mv 2 mgl sin 2 v 2 gl sin 2 9.8 0.5 0.866 2.9 (m/s)
B
v
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在 B 点做受力分析，根据牛顿第二定律
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一对摩擦力对两个发生摩擦作用的物体所作的总功只能为负， 那么，骑自行车时，是什么原因使自行车向前运动？ 人做功驱动车轮转动，从而使自行车前进。 骑自行车时，车轮与地面间发生的是静摩擦力，由于车轮的 转动，受力点不断改变，地面的静摩擦力并不做功，但它是 将人的内能转化为机械能的必不可少的中间因素。

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物体系的势能总是与物体系的相对位置相联系，因而物体系的 势能与参照系无关。对吗？ 对！ 因为物体系的势能是物体系自身所固有的，它是物体系内部 各组成部分相对位置的函数，而物体系内各部分之间的相对 位置与参照系的选择没有关系。

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一个物体系在一个参考系内机械能守恒，在另一个参考系内机 械能也必定守恒，对吗？ 不对！ 机械能守恒的条件是外力不做功，内非保守力不做功。物体 系在一个参考系内机械能守恒，说明外力与内非保守力都不 做功，内非保守力做功只与相对位移有关，与参照系的变化 无关，但是外力的功与参照系的选择有关，在一个参照系内 外力不做功，在另一个参照系内外力未必不做功； 不同参考系中物体的速度不同，故动能与参考系的选择有关； 机械能守恒只适用于惯性系。所以上述结论不正确。