镜像法典型例题
1-7镜像法
1)
边值问题： 边值问题：
∇ 2ϕ = 0
ϕ ϕ
r→ ∞ 导球面
=0 =0
（除q点外的导 体球外空间)
2)设镜像电荷-q 位于球内,球 面上任一点电位为:
ϕp =
图1-29 点电荷对接地导体球面的镜像
q 4 πε 0 r1
−
q' 4 πε 0 r2
2.点电荷和接地导体球 q点电荷附近接地导体 球的影响 可用镜像电荷（-q′） 可用镜像电荷（ 代替感应电荷， 代替感应电荷，其中 位置与电荷量为： 位置与电荷量为：
R2 b= d b R q' = q= q d d
3.点电荷和两种不同介质 平面分界面S的上下半空间充满介电常数为ε 平面分界面 的上下半空间充满介电常数为ε1和ε2的均 的上下半空间充满介电常数为 匀介质，在上半空间距S为 处有一点电荷 处有一点电荷q， 匀介质，在上半空间距 为h处有一点电荷 ，求空间 的电场 设上半空间电位为ϕ1，下半空间 根据唯一性定理， 电位为ϕ2，根据唯一性定理， ϕ1 应满足： 和ϕ2应满足： （1）
r2
h
q′
1 q q′ + ϕ1 = 4πε1 r1 r2
镜像系统为： 镜像系统为：下半空间 由原来电荷q处的像电荷 由原来电荷 处的像电荷 q″所产生（介电常数ε2 所产生（ 所产生 介电常数ε 冲满整个空间） 冲满整个空间）
r1
ϕ1 =
1 q q′ + 4πε1 r1 r2
长直平行双传输线
思路：采用等效观点， 思路：采用等效观点， 对于两圆柱导体外部的电场， 对于两圆柱导体外部的电场，可以设想将两圆柱 撤去，而其表面电荷效应代之以两根很长的带电 撤去，而其表面电荷效应代之以两根很长的带电 细线。 细线。 如图相距为2b（ 的数值待定 的数值待定） 如图相距为 （b的数值待定）的两根电荷线密度 的带电细线，它们所在的轴线就是电轴， 为τ、-τ的带电细线，它们所在的轴线就是电轴， 这种方法称为电轴法。 这种方法称为电轴法。
镜像法6题
[
h h
q
2
q ] h2
6．一导体球壳，内半径为 a，外半径为 b， 在距球心为 h（h>b）处有一点电荷 q。 导体球壳不接地，且带有总电荷量为 Q 的电荷。 试求：空间任一点的电位 以及 q 受到的电场力。
解：由于点电荷位于导体球壳外，所以感应电荷分布在球壳的外表面上。 又因导体球壳不接地且带有总电荷 Q，除用位于 h
1．一个半径为 a 的接地导体球，在球外与球心 O 相距 d 1 的 P 点有一个点电荷 q。试用镜像法求球外任一 点的电位函数；如果导体球不接地，球外任一点电位分布有什么变化？ 解： (1) 当点电荷 q 置于导体附近时，导体球表面感应出负电荷，球外一点的电位应由点电荷 q 和感应电荷共 同产生。采用镜像法求解时，为不改变导体球外的电荷分布，镜像必须取在导体球内。又因球对称性， 镜像电荷 q 1 必定和点电荷 q 及球心在同一直线上 P 1 点。 这时镜像电荷 q 1 代替导体表面的感应负电荷。 在球外任一点的电位可等效为 q 与 q1 共同产生，但满足边界条件：在球面上电位为 0。
式中 R
r b r b
p
b
a
r
o
h q
R
R
q h
[r h 2rh cos ]
2 2
1 2
，
1
2 2 R [r 2 (b ) 2 2r (b ) cos ] 2 。 h h
点电荷 q 受到的静电力等于 q 和 q 对 q 的作用力，因此有
式中 R
r b r b
b
a
r
o
h q
R
R
q h
电动力学--镜像法复习过程
0 (R R 0)
1
(Ra/R0)2R022Racos
12
Q [
1
R 0 /a
]
40 R 2 a 2 2 R a c o s R 2 R 0 4 /a 2 2 R R 0 2 c o s/a
（3）讨论：
P
① 球面感应电荷分布
Rr r
0
R
Q
a2R02
RR0 4R0(a2R022R0acos)3/2
15
（5）若导体球不接地，且带上自由电荷 Q 0
若导体球不接地，且带上自由电荷 ，Q 0导体上总电荷为 ，Q此0
时要保持导体为等势体， 也Q 应0 均匀分布在球面上。
2
Q Q0 40R 40R
（6）导体球不接地而带自由电荷Q 0时 Q所受到的作用力
可以看作 Q 与Q 及位于球心处的等效电荷Q0 Q 的作用力之和
设电量为 Q ，位置为（0，0，a ）
1[
Q
Q ]
40 x 2 y 2 (z a )2 x 2 y 2 (z a )2
3
1[
Q
Q ]
40 x 2 y 2 (z a )2 x 2 y 2 (z a )2
由边界条件确定 Q 、a 和
0 z0
Q Q ]
x2y2a2
x2y2a2
Q/
P
r
r
（4）若导体不接地
若导体不接地，可视为Q 分布在导体面上。不接地导体已为
等势体，加上Q 还要使导体为等势体，Q 必须均匀分布在球面上。
这时导体球上总电量 QQ0 （因为均匀分布球面上可使导体
产生的电势等效于在球心的点电荷产生的电势）
1
Q
40R
等效电荷一般是点电荷组或一个带电体系， 而不一定就是一个点电荷。
第十三讲：镜像法
3.5镜像法1、了解镜像法的基本思想及理论依据；2、了解镜像法的替代要求；3、能运用镜像法求解某些形状简单的界面情况下的电场分布。
重点：1）镜像法的基本原理，2）像电荷的位置和大小的确定； 难点：根据界面情况设定像电荷位置。
讲授法 2学时3.5镜像法一、镜像法的基本思想和理论依据如果在所考虑的区域边界是导体或介质界面，则界面会产生感应电荷或极化电 荷，它们将对区域的场分布产生影响，但这些电荷分布事先并不知道，如何求解场分 布？能否将 感Q 、极Q 用场空间以外的区域的假想电荷来代替呢？若能，则就可以把 原来的边值问题的求解转化为均匀无界空间中的问题来求解。
1、镜像法的基本思想将边界对场的影响用边界外部虚设的像电荷代替。
2、镜像法的理论基础 唯一性定理、迭加原理 3、镜像法的替代要求1）像电荷必须放在研究的场域外，否则将改变研究区域的电荷分布。
2）像电荷和原来电荷共同产生的定解问题的边界条件和原来的一致。
3) 有限个像电荷。
像电荷无限多时，一般无意义。
但有时也可以求近似解。
二、镜像法的具体应用 1、接地导体平面的镜像例题1、接地无限大平面导体板附近有一点电荷，其电量为q ，距板为h 处，求空间 中的势分布。
解：1) 0z 的空间所以，0ϕ=。
✓ 方程与边界条件()2,,q x y z h ϕδε∇=-- （1）0R ϕ→∞= （2） 00z ϕ== （3） ✓ 求镜像为了满足方程（1），假想的电荷'q 必须在下半空间内，这样才能使原方程不变。
由于导体是等势体，'q 必须在q 的正下方（距导体面高度设为'h ），否则电场线不会 垂直于导体表面。
引入'q 后，边界条件（2）自然成立，由边界条件（3）有：'00z ϕ===上式对任意的(),x y 均成立，因而有：'h h =，'q q =-。
这样得到下半空间的势为：(),,x y z ϕ=讨论：1）感应电荷分布：()()3/23/222222022S z q h q hzx y h h ϕρεππρ=∂=-=-=-∂+++感应电荷： ()3/2022222in S S Sq hq dS d d q h ρρπρρπρρπρ∞∞===-=-+⎰⎰⎰ 2）导体板不接地，需要给出什么条件才能确定空间的电势？此时，下半空间的 势还为零吗？3）介质中极化电荷的分布？ 4）如何计算q 受到的电场力？ 推广：1）、线电荷对无限大接地导体平面的镜像；（注意电位零点的选择）x2) 0z >的空间2）、点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像；（垂直、夹角为n απ=） 2、导体球面的镜像例题2、点电荷q 位于一个半径为a 的接地导体球外，与球心距离为()d d a >， 求空 间各点的电位。
第9讲 镜像法
P
r
a
d'
R' q' d
R
q
——导体球镜像电荷
第9讲 镜像法
三、导体球面的镜像
1、点电荷位于接地导体球面外
接地导体球边界静电问题 球外的电位函数为
P
r
a
d'
R' q' d
R
q
a q 1 2 2 4π r d 2rd cos d r 2 (a 2 d )2 2r (a 2 d ) cos
镜像法五无限大介质分界平面的镜像1点电荷与无限大电介质分界平面的镜像介质1的镜像电荷镜像法五无限大介质分界平面的镜像1点电荷与无限大电介质分界平面的镜像点电荷对电介质平面分界面的镜像电荷对位于无限大平表面介质分界面附近且平行于分界面的无限长线电荷单位长度带其镜像电荷为镜像法五无限大介质分界平面的镜像2线电流与无限大磁介质分界平面的镜像线电流与磁介质分界平面磁介质1的镜像线电流空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生
点电荷在导体面上的感应电荷电量与镜像电荷电量相等。
第9讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像
思考
• 无限大导体平板不接地，有何影响？ • 有限大接地导体平板问题，可否用镜像法求解？
q q
h
h
第9讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
2、无限长线电荷对无限大接地导体平面的镜像
q′
非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以
用等效电荷产生的电位替代。
第9讲 镜像法 问题的提出 几个实例：
接地导体球附近点电荷产生的电位
等效电荷
q′
q
用等效电荷代替非 均匀感应电荷
镜像法
九镜像法用镜像法某些看来棘手的问题很容易地得到解决。
它们是唯一性定理的典型应用之例。
镜像法法的实质是把实际上分片均匀媒质看成是均匀的，并在所研究的场域边界外的适当地点用虚设的较简单的电荷分布来代替实际边界上复杂的电荷分布(即导体表面的感应电荷或介质分界面的极化电荷)。
根据唯一性定理，只要虚设的电荷分布与边界内的实际电荷一起所产生的电场能满足给定的边界条件，这个结果就是正确的。
镜像法最简单的例子是：接地无限大导体平面上方一个点电荷的电场，见图1—28(a)。
显然，只要在导体平面的下方与点电荷q对称的点(—d，0，0)处放置一点电荷(－q)，并把无限大导体平板撤去，整个空间充满介电常数为ε的电介质，在平板上半空间内。
故任意点（x，y，z）的电位为（1－77）这里的(—q)相当于(十q)对导体板的“镜像”，故称为镜像法，它代替了分布在导体平板表面上的感应电荷的作用。
用镜像法解题时要注意适用区域。
这里，解(1—77)式适用区域为导体平面上半空间内。
下半空间内实际上不存在电场。
还有几种其它类型的镜像问题。
这里先来研究一个导体球面的镜像问题。
如图1—29所示，在半径为R的接地导体球外，距球心为d处有一点电荷q。
根据问题的对称性，可设镜像电荷(—q`)放在球心O与点电荷q的联线上，且距球心为b。
虽然有（1－78）于是，球外任意点P的电位为（1－79）由此可知，点电荷附近接地导体球的影响，可用位于距球心b处的镜像电荷(—q`)来表示。
也即(—q`)代替金属球面上感应电荷的作用。
镜像法对点电荷在双层介质引起的电场的应用。
如图1—30所示，平面分界面S的左、右半空间分别充满介电常数为与的均匀介质，在左半空间距S为d处有一点电荷q，求空间的电场。
设左半空间电位为，右半空间电位为这里使用这样的镜像系统：即认为左半空间的场由原来电荷q和在像点的像电荷q`所产生(这时介电常数的介质布满整个空间)；又认为右半空间的场由位于原来点电荷q处的像电荷q``单独产生(这时介电常数为的介质布满整个空间)。
5.5 镜像法
20
两根线电荷 <-----------> 两个导体柱
* l
l
* l
l
o
P'
P
o'
a 2 O' P O ' P'
a 2 OP OP '
电磁场与电磁波
b d a
2
2
21
b d a
2
2
o
o'
已知：两根无限长平行圆柱,半径为a, 轴心距离为2d 求：两柱间单位长度上的电容 两根线电荷 <-----------> 两个导体柱 引入两 “线电荷”
电磁场与电磁波
2
若定解问题存在唯一的稳定解, 则称定解问题是
适定的。 换言之, 适定指的是解是存在的, 唯一的, 并且稳 定的。 解方程时可自由选择任何合理方法，甚至可以凭 经验去猜测出一个形式解。
而实际中解决工程问题时不能模棱两可，我们 需要得到适定的解。 静电场问题解法的多样性与适定性要求有矛盾 吗？？？
2
边界条件
切向：
E1t E 2t
2 1 1 fc n n
1 2
E1t E 2t J 1t / 1 J 2t / 2 1 2
恒定电场媒质边界 J 1n J 2 n 1 E1n 2 E 2 n
1 2 2 1 n n
M pl p* l d
a * OP d
2
电磁场与电磁波
19
问题扩展：电位
“长导体柱”+ “线电荷”
OP OP a
'
2
l
相应的问题等效为求解两个 “线电荷”周围的电场、电位？
镜像法-高中物理竞赛讲义
与
是相似三角形，即
，于是球外任意一点的电位为
(4.4.3.6)
采用球坐标，取原点为球心 O 点，z 轴与 轴重合，则球外任一点
处
有
(4.4.3.7)
这样可求得电场 的分量为
(4.4.3.8)
r=a 时球面上的感应电荷密度1)
（1）点电荷对不接地、净电荷为零的导体球的镜像。 （2）点电荷对不接地、净电荷不为零的导体球的镜像。 （3）接地球形空腔内电荷的镜像
《镜像法》4，15
平行导线间单位长度电容： (4.4.2.10)
其中
小天线的镜像
与地面的小天线，长度为 l ，离地高度为 h 。 用位于地面下方 h 处的镜像小天线代替地面上的感应电荷，边界条件 维持不变。 与自由空间的天线比较，当天线离平面很近时，若天线与平面平行， 辐射功率为零，若天线与平面垂直，辐射功率增强。若天线与平面倾斜放置，则 辐射功率的变化与倾斜角度有关。具体辐射功率的计算请参看天线辐射（超链）， 此处仅给出思路和结论。
点电荷对相交接地平面的镜像
条件：两相交接地平面夹角为 镜像电荷：2n-1 个。
，n=1,2,3…
若两相交接地平面夹角不满足上述条件，则镜像电荷为无
穷多个。
点电荷对介质平面的镜像
图 4.4.5 点电荷对相交接地地面 的镜像
1 区和 2 区为不同介质，求解时要分区域考虑。
求解区 1 的场：在区 2 置镜像电荷 。求解区 2 的场：在区 1 置镜
像
与地面平行的均匀双线传输线， 半径为 a，离地高度为 h，导线间距离为 d，导线一带正电荷+ ，导线二带负电荷-
。
用位于地面下方 h 处的镜像双 导线代替地面上的感应电荷，边界条件维
3.5镜像法PPT
3.5.1 镜像法的基本原理 3.5.2 接地导体平面的镜像 3.5.3 导体球面的镜像 3.5.4 导体圆柱面的镜像 3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像 3.5.6 线电流与无限大磁介质平面的镜像
3.5.1 镜像法的基本原理
1. 问题的提出 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会
aa r b
R
Oo q
d
R' q'
分析，可得到
d'
q a q, d
d a2 d
| q'|>|q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量
像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（为什么？）
球壳内的电位
q
1
a
(r a)
4π0 r2 d 2 2rd cos d r2 (a2 d )2 2r(a2 d ) cos
ex
q
4π0 (2x)2
Wo
We
q2
16π 0 d
We
qE(x) dx
d
q2 1 dx q2
4π0 d (2x)2
16π 0 d
3.5.3 导体球面的镜像
1. 点电荷对接地导体球面的镜像
如图所示，点电荷q 位于半径
a
为a 的接地导体球外，距球心为d 。
球面上的感应电荷可用镜像电荷
q'来等效。 q' 应位于导体球内（显然
x2 y2 (z h)2
q
]
x2 y2 (z h)2
(z 0)
计算电介质 2 中的电位时，用位 于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面 上的极化电荷，并把整个空间看作充
满介电常数为 2的均匀介质，如图 3
镜像法典型例题
例：不接地空心导体球的内、外半径分别为a 和b ，在空腔内距球心为11()d d a <处放置点电荷1q ，在球外距球心为22()d d b >处放置点电荷2q ，且12,q q 与球心共线，如图所示，求点电荷1q 和2q 分别受到的电场力。
分析：点电荷1q 在球壳的内表面上感应电荷为1q -，在球壳的外表面上感应电荷为1q ；2q 则在球壳的外表面上感应等量异号的电荷。
球壳内表面上的感应电荷1q -可用一个镜像电荷1q '等效代替；球壳外表面上的感应电荷可用三个镜像电荷221,q q q '''''和等效代替。
1q 受到的电场力等于1q '对1q 的作用力，2q 受到的电场力则等于221,q q q '''''和对2q 的作用力之和。
解：根据镜像法，内表面上的感应电荷的镜像电荷为'111a q q d =-，位于2'11a d d =外表面上的感应电荷的镜像电荷为'222b q q d =-，位于2'22b d d ="222bq q d =，位于球心 不接地的空心导体球空心导体球内表面的镜像空心导体球外表面的镜像"11q q =，位于球心。
则点电荷1q 受到的静电力为112111'222014()q q ad q F F a d πε→==-- 点电荷2q 受到的静电力为1222222"'""""122"2'2"2010202222212222220224()4()4()())1[]4()q q q q q q F F F F qq qq qq d d d d d d q bq d q bd q d d b πεπεπεπε→→→=++=++---+=--5.20 已知自由空间的均匀平面波电场强度表达式()m V e j e e e r E cz by x j z y x /52)()2(++-++=试由此表达式确定波的传播方向、波长、极化状态，并求与之相伴的磁场)(r H。
第二章 静电场 镜像法
解：先考虑介质1 中的电势，设想将下半空间换成 与上半空间一样，并在z=-a处有Q的像电荷Q' 来代替分界面上极化电荷对上半空间场的影响。 则在Z>0的区域，空间一点的电势为
`1
1
4 1
(Q r
Q) r
(1)
1
4 1
x2
y2
Q (z
a)2
1 2
ez
3. 真空中有一半径R0的接地导体球，距球心 a > R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。
解：（1）分析： 因导体球接地故球的电 势为零。根据镜象法原 则假想电荷应在球内。 因空间只有两个点电荷， 场应具有轴对称，故假 想电荷应在线上，即极 轴上。
1 [Q Q] 40 r r
这里要注意几点：
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson’s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
a=b
பைடு நூலகம்
由以上三式解得
所以
Q 1 2 Q 1 2
Q 2 2 Q 1 2
1
Q
4 1
1
1 2
x2 y2 (z a)2 1 2
2 2 (1 2 )
Q x2 y2 (z a)2
(8)
1
设电量为 Q，位置为（0，0，a ）
第三章 恒定磁场(4)-new
若已知磁场分布， 若已知磁场分布，求电流分布 由
r r B = ∇× A
r v ∇× H = J
求解
1.两种导磁媒质中的镜像 两种导磁媒质中的镜像
I
r 2 ∇ A1 = 0 ( I处除外）
µ1
h
µ2
求解域
I
µ1 µ1
h h
µ2 µ2
I''
h
r 2 求解域 0 ∇ A2 =
I'
I
h µ1
µ1 h
ρ θ
µ1 I = = µ1 + 1 2πρ πρ µ2
I
2 µ1
（2） ）
µ2 = µ0 µ1 → ∞
解： 镜像电流
I
µ1 →∞ = µ1 →∞
-I
I
+
µ2 = µ0 µ2 = µ0
µ 2 − µ1 I′ = I = −I µ1 + µ 2 2 µ1 I ′′ = I = 2I µ1 + µ 2
2I
磁场分布特点： 磁场分布特点： 对空气侧而言， • 对空气侧而言，铁磁表 面仍然是一个等磁位面。空 面仍然是一个等磁位面。 气中的 B 线与铁磁表面相垂 折射定理可以证明）。 直（折射定理可以证明）。 • 空气中 ( µ 2 = µ 0 )的磁场为场域无铁磁物质情 况下的二倍。 况下的二倍。
求解域
I''
ρr r I ' H1I H1I ' 衔接条件： 衔接条件： H 1t = H 2 t
I
µ2 h µ2
ρ θ
r H2
求解域
I′ I ′′ sinθ − sinθ = sinθ → I − I ′ = I ′′ 2πρ 2πρ 2πρ I I′ I′ µ1 cos + µ1 θ cos = µ2 θ cos →µ1(I + I′) = µ2I′ θ 2πρ 2πρ 2πρ
4.3 镜像法
l r ln 2π r
已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件， 必须要求比值
r 为常数。与前同理，可令 r
r a ，由此得 d r f a
a2 d f
恒原理，必须再引入一个镜像电荷q"，且必须
令
q q
显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷q必须位于 球心。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由q 及
q在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷 q
以提供一定的电位。
O
q
d2
f
q
q 为q 的镜像电荷。 q 位置为：d a 1
q q 大小为：
2
d1
d2
a q d2
P a r 2 o d q
2
r1
q
d1
由此可见，将电荷q放在导体外d1处，镜像电荷在导体内 d2处；将电 荷q放在导体内d2 处，镜像电荷在导体外d1 处，总是满足 d1d2 a2 条件， 故q 与 q 的位置称为反演点（对球心）。
（3）介质镜像：点电荷与无限大的介质平面
镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具 有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过
程大为简化。
依据：唯一性定理。
内容：等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保
证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置 的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷，而
P
P1
a r 2 o d q
2
r1 P2 d1
q
对于P1点
1 q q ( )0 4π 0 a d1 a d 2
镜像法典型例题
和，在空腔内距球心为处放置点电荷，在球外距球心为处放置点电荷，且与球心共线，如图所示，求点电荷和分别受到的电场力。
不接地的空心导体球
分析：点电荷在球壳的内表面上感应电荷为，在球壳的外表面上感应电荷为；则在球壳的外表面上感应等量异号的电荷。
球壳内表面上的感应电荷可用一个镜像电荷等效代替；球壳外表面上的感应电荷可用三个镜像电荷等效代替。
受到的电场力等于对的作用力，受到的电场力则等于对的作用力之和。
解：根据镜像法，内表面上的感应电荷的镜像电荷为
空心导体球内表面的镜像
，位于
外表面上的感应电荷的镜像电荷为
，位于
空心导体球外表面的镜像，位于球心
，位于球心。
则点电荷受到的静电力为
点电荷受到的静电力为
5.20 已知自由空间的均匀平面波电场强度表达式
试由此表达式确定波的传播方向、波长、极化状态，并求与之相伴的磁场。
解：波矢量为，由TEM波特性，有：。
即波矢量为：，波数；
传播方向为：；
波长：m
波的极化方式：，由于，且相位相差90°，故应为圆极化波。
由于，故为左旋圆极化波。
小邹的平面镜像解平面镜像综合题
小邹的平面镜像解平面镜像综合题小邹是一名数学爱好者，对平面镜像问题特别感兴趣。
最近，他接触到了一个平面镜像解平面镜像综合题，想要通过解题的方式加深对平面镜像的理解。
下面，我们跟随小邹一起来解决这个综合题。
1. 题目分析综合题描述如下：平面上有一个点A(-2, 3)，关于直线x = 1的镜像点为B，B关于直线y = 2的镜像点为C，求点C的坐标。
2. 解题过程首先，我们需要明确题目中的概念。
平面镜像是指一个点关于某个平面的对称点，即将一个点关于某一平面的每一点都与其对称。
而平面镜像基于直线镜像，是指一个点关于某条直线的对称点。
接下来，我们要按照题目所给的要求，依次求解点B和点C的坐标。
2.1 求解点B的坐标由题可知，点A(-2, 3)关于直线x=1的镜像点为B。
我们可以利用平面镜像的定义来求解。
首先，我们找到点A和直线x=1之间的垂直线段，在该线段上的任意一点与直线x=1的距离相等。
由于直线x=1与y轴平行，垂直线段的长度即为点A到直线x=1的水平距离。
因此，垂直线段的长度为|-2 - 1| = 3。
接着，我们以直线x=1为对称轴，将点A和垂直线段进行对称。
点B的y坐标等于点A的y坐标，并且点B的x坐标可以表示为直线x=1和点A的水平距离之和。
因此，点B的坐标为B(1 + 3, 3) = B(4, 3)。
2.2 求解点C的坐标根据题目要求，点B关于直线y=2的镜像点为C。
我们可以利用平面镜像的定义继续求解。
首先，我们找到点B和直线y=2之间的垂直线段，在该线段上的任意一点与直线y=2的距离相等。
由于直线y=2与x轴平行，垂直线段的长度即为点B到直线y=2的垂直距离。
因此，垂直线段的长度为|3 - 2| = 1。
接着，我们以直线y=2为对称轴，将点B和垂直线段进行对称。
点C的x坐标等于点B的x坐标，并且点C的y坐标可以表示为直线y=2和点B的垂直距离之和。
因此，点C的坐标为C(4, 2 + 1) = C(4, 3)。
6.3.2静电场的镜像法+-+例题06-3-1
q=qb=
dd
则qﾢ=Q+qﾢ=Q+aq。
d
金属球壳表面电位为ﾢﾢ。
ﾢ为q和-qﾢ在球壳表面形成的电位，其值为 0。
a
ﾢ为qﾢ在球壳表面形成的电位，其值为qﾢQ+dq。
40a40a
例题0631如图a所示真空中一点电荷该问题需满足球壳表面为非0等位面和球壳所带电荷量为q两个条件
例题-06-3-1如图（a）所示，真空中一点电荷q，放在金属球壳外距球心距离为d的位置，该金属球壳带电量为Q，半径为a，试求金属球壳表面需满足球壳表面为非0等位面和球壳所带电荷量为Q两个条件。为满足第1个条件，需在球内放置两个镜像电荷-qﾢ和qﾢ，如图（b）所示，其中
第五章-边值问题2-镜像法
球面镜像
思考: 当金属球不接地时，镜像电荷怎么设定？
从金属球接地，产生的镜像电荷开始推理。。。。
根据金属球表面是等位面……
电介质中的镜像
电介质中的镜像
分界面上切向电场连续,且一般情况下法向电位移连续:
q q q E cos cos D sin sin 1 n 1 1 t 2 2 2 2 1r 4π 1r 4 π 1r 4 π 1r 4π qq qq D 2 sin E cos 2n 2t 2 2 4π 2r 4 π 2r
接地球面上的镜像电荷怎么求? 接地球面上的电荷量与Q相等吗? 思路：根据所给的边界条件寻找镜像电荷的 位置和大小，即球面上任意一点的电位为0。
r
a
Q
q q *
1 Q Q * 4 0 r r MQ MQ *
Q Q* 0 rMQ rMQ*
M o
D
a
Q Q* d D
球面镜像
2 2 2 Q Q* r a D 2 aD cos MQ 0 2 2 2 rMQ rMQ* r a d 2 ad cos MQ *
M
a Q * D Q 2 a d D
o
a
Q Q* d D
镜像法
z
q
h
r
Q
y x
D
无限大金属板上的点电荷
金属球边的点电荷
在上述情况下，若利用拉普拉斯方程满足边界条件的 方法来求解场的分布是非常困难的；但考虑到其边界情况非 常特殊，可以引入镜像法来解决。谁引入了镜像法?
镜像法： 平面镜像、球面镜像、介质镜像
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例：不接地空心导体球的内、外半径分别为a 和b ，在空腔内距球心为11()d d a <处放置点电荷1q ，在球外距球心为22()d d b >处放置点电荷2q ，且12,q q 与球心共线，如图3.2.8所示，求点电荷1q 和2q 分别受到的电场力。
分析：点电荷1q 在球壳的内表面上感应电荷为1q -，
在球壳的外表面上感应电荷为1q ；2q 则在球壳的外表面上感应等量异号的电荷。
球壳内表面上的感应电荷1q -可用一个镜像电荷1
q '等效代替；球壳外表面上的感应电荷可用三个镜像电荷2
21,q q q '''''和等效代替。
1q 受到的电场力等于1
q '对1q 的作用力，2q 受到的电场力则等于221,q q q '''''和对2q 的作用力之和。
解：根据镜像法，内表面上的感应电荷的镜像电荷为
'
1
11a q q d =-，位于2'
11
a d d =
外表面上的感应电荷的镜像电荷为
'
222b q q d =-，位于2'
22
b d d =
"222
b q q d =
，位于"
20d = "11q q =，位于"10d =
则点电荷1q 受到的静电力为
11
2
111'222
014()
q q ad q F F a d πε→==-- 点电荷2q 受到的静电力为
不接地的空心导体球
空心导体球内表面的镜像
空心导体球外表面的镜像
122222
2"'""""122
"2'2"2
0102022
2221222222
0224()4()4()())
1
[]4()q q q q q q F F F F qq qq qq d d d d d d q bq d q bd q d d b πεπεπεπε→→→=++=++---+=--
5.20 已知自由空间的均匀平面波电场强度表达式
()
m V e j e e e r E cz by x j z y x /52)()2(++-++=
试由此表达式确定波的传播方向、波长、极化状态，并求与之相伴的磁场)(r H。
解：波矢量为c e b e e k z y x
++=2，由TEM 波特性，有：
0=∙E k
0,1052=-=⇒=++c b c j b 。
即波矢量为：y x e e k
-=2，波数5=k ；
传播方向为：5
1
52y x k e e e -=； 波长：5
22π
πλ==
k m 波的极化方式：)
2()(y x j i r e
E E E --+= ，由于5==i r E E ，且相位相差90°，故应为圆极化波。
由于k i r e e e
=⨯，故为左旋圆极化波。