镜像法典型例题

例：不接地空心导体球的内、外半径分别为a 和b ，在空腔内距球心为11()d d a <处放置点电荷1q ，在球外距球心为22()d d b >处放置点电荷2q ，且12,q q 与球心共线，如图3.2.8所示，求点电荷1q 和2q 分别受到的电场力。

分析：点电荷1q 在球壳的内表面上感应电荷为1q -，

在球壳的外表面上感应电荷为1q ；2q 则在球壳的外表面上感应等量异号的电荷。

球壳内表面上的感应电荷1q -可用一个镜像电荷1

q '等效代替；球壳外表面上的感应电荷可用三个镜像电荷2

21,q q q '''''和等效代替。 1q 受到的电场力等于1

q '对1q 的作用力，2q 受到的电场力则等于221,q q q '''''和对2q 的作用力之和。

解：根据镜像法，内表面上的感应电荷的镜像电荷为

'

1

11a q q d =-，位于2'

11

a d d =

外表面上的感应电荷的镜像电荷为

'

222b q q d =-，位于2'

22

b d d =

"222

b q q d =

，位于"

20d = "11q q =，位于"10d =

则点电荷1q 受到的静电力为

11

2

111'222

014()

q q ad q F F a d πε→==-- 点电荷2q 受到的静电力为

不接地的空心导体球

空心导体球内表面的镜像

空心导体球外表面的镜像

122222

2"'""""122

"2'2"2

0102022

2221222222

0224()4()4()())

1

[]4()q q q q q q F F F F qq qq qq d d d d d d q bq d q bd q d d b πεπεπεπε→→→=++=++---+=--

5.20 已知自由空间的均匀平面波电场强度表达式

()

m V e j e e e r E cz by x j z y x /52)()2(++-++=

试由此表达式确定波的传播方向、波长、极化状态，并求与之相伴的磁场)(r H

。 解：波矢量为c e b e e k z y x

++=2，由TEM 波特性，有：

0=∙E k

0,1052=-=⇒=++c b c j b 。

即波矢量为：y x e e k

-=2，波数5=k ；

传播方向为：5

1

52y x k e e e -=； 波长：5

22π

πλ==

k m 波的极化方式：)

2()(y x j i r e

E E E --+= ，由于5==i r E E ，且相位相差90°，故应为圆极化波。

由于k i r e e e

=⨯，故为左旋圆极化波。