微积分考试题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2011年微积分CI 期末试题
一、计算下列各题（本题有5个小题，每小题6分，共30分） 1. 求极限 ()
n n n n
n cos lim
424
+-+∞
→
2. 求极限 ⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+-→1212111lim
1
x x x x
3. 求极限 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--
∞
→21
8lim 3n n n 4. 求极限 x
x e x x sin )
1ln(1lim 0++--∞→
5. 已知
⎰+=C xe dx x f x )(，求⎰
+dx x f x )
(1
二．计算下列各题（本题有6个小题，每小题6分，共36分） 6. 设 x
x y )2cos 1(+=，求π=x dy |。 7. 设函数⎩⎨
⎧≤>++=0
,
0,)1ln()(x a x b ex x f x
，)1,0(≠>a a
确定b a ,的值，使得)(x f 在0=x 处可导，并求)0('f 。 8. 设 )
()('x f x
e
e f y =，其中)(x f 二阶可导，求'y 。
9. 设)(x f y =是由方程0162
=-++x xy e y
所确定的隐函数，求)0("y 。
10.求不定积分
⎰
-+---dx e e e e x x x
x 2
22。
11. 求不定积分
⎰
+xdx x arctan )1(2。
三．综合题（本题有4个小题，共34分） 12（8分） 证明不等式1,1)
1(2ln >+->
x x
x x 。
13（8分） 已知函数)(x f 在区间]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)0(=f ，1)1(=f 。 证明：（1）存在)1,0(∈ξ使得ξξ-=1)(f 。
（2）存在两个不同的)1,0(,∈ξη使得1)(')('=ηξf f
14（8分）某服装公司正在推广某款套装。公司确定，为卖出该款服装x 套，其单价应为
x p 5.0150-=（元）
。已知生产x 套服装的总成本为2
25.04000)(x x C +=，问 （1）生产并销售多少套服装可使得总利润最大？并求最大利润。
（2）在总利润达到最大时，服装的单价是多少？此时若价格下降%1，总收益增加还是减少？变化百分百将是多少？ 15．（10分） 确定函数x
xe y 1-=的定义域、单调区间、凹凸区间、极值点、拐点以及渐近线，并画出该
函数的草图。
2011年微积分CI 试题 解答
一、计算下列各题（本题有5个小题，每小题6分，共30分） 1. 求极限 ()
n n n n
n cos lim
424
+-+∞
→
解 原极限2
1
cos 111cos 1lim
cos cos lim
2
22
4242
=
+++
-
=+++-∞
→∞
→n n n n n n
n n n n n n n 2. 求极限 ⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+-→1212111lim
1
x x x x
解 原极限9
1
)12)(2)(1(1lim 1=++--=→x x x x x
3. 求极限 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
∞
→21
8lim 3n n n
解 原极限 1214
182188
)18(lim 32
3-=+-⋅+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
---⋅
∞
→n n n n n 4. 求极限 x
x e x x sin )
1ln(1lim 0++--∞→
解 原极限0cos 11
lim
=++
-=-→x
x e x x 5. 已知
⎰+=C xe dx x f x )(，求⎰
+dx x f x )
(1
解 此时)1()(+=x e x f x
，于是
C e dx e dx x f x x x +-==+--⎰⎰
)
(1
二．计算下列各题（本题有6个小题，每小题6分，共36分） 6. 设 x
x y )2cos 1(+=，求π=x dy |。
(
)()⎪
⎭
⎫
⎝⎛+-
++='+='=++x x x x x x x e
e y x x x x x 2cos 12sin 2)2cos 1ln()2cos 1()2cos 1ln(')
2cos 1ln()
2cos 1ln(2ln 2|'ππ==x y ，dx dy x 2ln 2|ππ==。
7. 设函数⎩
⎨⎧≤>++=0,0
,)1ln()(x a x b ex x f x ，)1,0(≠>a a
确定b a ,的值，使得)(x f 在0=x 处可导，并求)0('f 。 解 由可导必连续可知 1)(lim )(lim 00===+
-→+
→x f b x f x x 。
⎪⎩
⎪⎨⎧<>+=0,ln 0,1
)('x a a x ex e
x f x ，)0(ln )0(-+'==='f a e f ，则e
e a =。 e
f =)0('。
8. 设 )
()('x f x
e e
f y =，其中)(x f 二阶可导，求'y 。
解 )(')(')(')()
(x f e e f e
e e
f y x f x x f x x
+''=。
9. 设)(x f y =是由方程0162
=-++x xy e y
所确定的隐函数，求)0("y 。
解 在方程的两端求导数 02'66'=+++x xy y y e y
。0=x 时，0=y 。于是0)0('=y 。 再求导数 02'6"6'6"'2
=+++++y xy y y e y e y
y
，0=x 时，2)0("-=y 。
10.求不定积分
⎰
-+---dx e e e e x x x
x 2
22。
解 原积分⎰
+++-+=-++=----C e e e e dx e e e e d x x x x x x x x 22
ln 414
)()(2