群与代数表示论课程教学大纲
群与代数表示引论
群与代数表示引论
群理论是数学中一门非常重要的领域，它主要研究群结构、群元素、群运算等问题。
群作为一个抽象的数学实体，具有极强的延伸性，可以对许多问题进行表达。
本文的主要内容是通过代数表示，研究群的一些具体特性和有趣的重要性质。
在数学中，群是一个具有某种运算的集合，包括加法群、乘法群、置换群等，其中乘法群最为重要，因为它可以表示不同类型的结构，具有极强的概括性。
群结构也可以通过代数表示来表示，这种表示可以使群的性质更为清晰明显，它由群中的权重组成，权重可以是一个数字，也可以是一个多项式。
群成员之间的关系可以用矩阵的形式来表示，例如可以将一个群的乘法表用矩阵来表示，它可以清楚地表达出群中成员之间的关联性。
用代数表示来描述群具有许多有趣的性质，这些性质在计算机科学中有着广泛的应用。
例如，在线性代数中，可以利用矩阵来表示一个群，通过识别矩阵的特性，可以求解出群的元素的幂次分布，甚至可以利用这种方式来解决一些数学问题。
此外，在密码学中，可以利用群的代数表示，来构建一些重要的标准，如Elliptic-curve cryptography（ECC）协议。
此外，群的代数表示还可以应用到概率论和数论中，用来研究一些问题的概率分布，特别是在计算复杂性理论中，可以利用群理论来研究和分析算法的运行时间复杂度。
综上所述，群理论与代数表示的联系深刻，它可以将群的抽象结构映射到具体的模型上，可以解决许多数学问题，在计算机科学、概率论、数论和复杂性理论中也有着广泛的应用。
未来，群理论在其他科学领域中将会有更多值得我们期待的应用。
中山大学本科课程教学大纲_群论简介
附件1：教学大纲的基本格式和内容（教学大纲封面）中山大学本科课程教学大纲学院（系）物理学院课程名称群论简介二〇一七年群论简介（Introductory Group Theory）教学大纲（编写日期：2018年7月）一、课程基本说明二、课程基本内容（一）教学进度表（含学时分配，学时分配要落实到“章”或“节”，并对各章节的重点、难点内容加以必要的说明）（二）教学环节安排（对各种教学环节的安排如：实验、实习、习题课、作业等以及本课程与其他相关课程的联系、分工等作必要说明）本课程是我校物理学专业理论物理方向的专业基础课之一，由于知识点多而且有一定难度，学生在学习的过程中应以消化吸收课程知识内容为主，不宜做过多的题海练习。
平时作业以补充完善课堂中未来得及讲授的证明或计算过程、应用课堂讲授的方法去解决前沿文献中的问题为主。
由于学时有限以及可能遇到节假日的放假影响，部分课程内容还可留给学生自学。
（三）教学方法（包括课堂讲授、提问研讨，课后习题和答疑等情况）课堂讲授采用启发式教学方法，在讲课中注意问题的提出、问题处理的设想和问题的处理方法，引导学生去思考、讨论和研究，激发学生的学习热情；对重点内容要讲透，难点要讲清，例题要选好，分析方法要一般化，能起到举一反三的作用；引导和鼓励学生应用在课堂上所学到的知识和方法，去解决前沿文献中遇到的物理问题。
（四）课程教材1、主讲教材张宏浩，《群论讲义》2、辅助教材韩其智，孙洪洲，《群论》，北京大学出版社，1987（五）主要参考书目（要求推荐若干参考书，并注明书名、作者、出版社、版本、出版日期等）马中骐，《物理学中的群论》，科学出版社，第二版，2006徐婉裳，喀兴林《群论及其在固体物理中的应用》，高等教育出版社，1995（六）成绩评定方式总评成绩=平时成绩+课堂表现成绩+选做大作业成绩+期末考试成绩一般“平时成绩+课堂表现成绩+选做大作业成绩”约占50%，“期末考试成绩”约占50%，授课老师还可根据实际情况调整其中的比例。
左维老师群论讲义2
■ 线性变换: 设V是定义在数域K上的一个线性空间, 线性变换 A是将V映入V的线性映射, 即对于任意v1, v2∈V, a∈K, 有 A(v1)V A(av1+v2)= aA(v1)+A(v2) 则称映射A为线性空间V上的一个线性变换.
如果A是一个将V映入V的一一对应的满映射,则存在A的逆变换, 记作A－1.
A12 A22 An 2
A1n x1 A2 n x2 Ann xn
●内积空间V上任意一个线性变换A的共轭变换表示为A†=A*T.
●n维线性空间V中, 当选定一组基后, V中的向量与列矩阵有一 一对应的关系, V上的线性变换与n维方矩阵一一对应.
3 群代数与正则表示
■ 线性代数: R是数域K上的线性空间, 在R中定义乘法, 若对 于任意r1, r2, r3∈R, a∈K, 乘法运算满足 1) r1r2 ∈R , 2) r1(r2+r3)= r1r2+ r1r3, (r1+r2)r3= r1r3+ r2r3 3) a(r1r2 )=(ar1)r2= r1(ar2) 则称R为线性代数或代数. 若r1(r2r3)=(r1r2)r3, 称R为结合代数. ■ 设C是复数域, G是群, 在群G中定义加法和数乘, 对任意 映射A保持G的乘法规律不变, g , y y gg, gG, 有 x , y C, x x 即对任意
线性空间V中线性无关向量的最大数目，称为V的维数。
线性无关: 对于V中的 n 个向量 v1, v2, …vnV, 如 果不存在 n 个不全为零的数 a1, a2, …, an K ，使 得 a1v1 + a2v2 + … + anvn =0 则称这n 个向量 v1, v2, …vn是线性无关的. 线性空间V中的任意一个向量 v V可由这n 个向量 v1, v2, … vn 生成，即 v = x1v1 + x2v2 + … + xnvn 其中x1, x2, …, xn K. 这n 个向量 v1, v2, … vn称 为线性空间V的一组基向量, 通常记为: e1, e2, … en.
研究生课程《代数图论》教学大纲
研究生课程《代数图论》教学大纲课程编号：Math 2086课程名称：代数图论英文名称：Algebraic Graph Theory开课单位：数学科学学院开课学期：第三学期课内学时：36教学方式：讲授适用专业及层次：数学科学学院专业硕士考核方式：考查预修课程：图论，组合数学，矩阵分析一、教学目标与要求本课程主要研究如何用代数方法（群，表示论，矩阵等）研究图论问题，是现代图论的重要分支．代数图论的诸多问题仍是当今图论的研究热点．本课程较全面、系统地介绍代数图论的基本概念，基本理论和基本方法。
主要内容分为两个方面。
一方面，介绍图的各种矩阵表示及其谱性质，内容包括图的邻接矩阵、Laplace矩阵，无符号Laplace矩阵，同谱图，谱半径及其界，代数连通度与连通性，商图方法，谱的多项式方法，谱的特征向量组合方法等。
另一方面，介绍群与图，主要介绍图的群表示、图的自同构、非对称图、本原性与连通性、Cayley 图及其性质、点可迁图、边可迁图、弧可迁图、距离可迁图、Moore 图等。
通过本课程的学习，要求学生会从代数的观念看一个图，了解代数图论的基本研究问题在，掌握代数图论的常用方法，培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和分析解决实际问题的能力，为开展相关科学研究打好基础。
二、课程内容与学时分配第一章图的谱（6学时）1．1 图的矩阵表示1．2 特殊图类的谱1．3 连通性1．4 自同构性1．5 代数连通度1．6 同谱图1．7 图的同态1．8 线图与平面图第二章谱理论的线性代数方法（6学时）2．1 Perron-Frobenius定理2．2 等部划分与商图方法2．3 交错定理2．4 Schur不等式2．5 Courant-weyl不等式第三章图的谱性质（6学时）3．1 最大的特征值3．2 最大特征值至多为2的图3．3 正则图的谱3．4 二部图的谱3．5 Laplace特征值与度序列第四章代数图论中的群方法（6学时） 4．1 置换群4．2 计数理论4．3 不对称图4．4 对上的轨道4．5 本原性与连通性第五章可迁图 (6学时）5．1 点可迁图5．2 边可迁图5．3 点连通性与边连通性5．4 匹配5．5 Cayley图第六章弧可迁图（3学时）6．1 弧可迁图6．2 弧图6．3 三正则弧可迁图6．4 Petersen图6．5 距离可迁图第七章 Moore图（3学时）、7．1 射影平面7．2 广义多边形7．3 Moore图三、教材1. C. Godsil, G.Royle, Algebraic Graph Theory，Springer, 2001.2. A. E. Brouwer, W. H. Haemers, Spectra of graphs, Springer, 2011.四、主要参考书1．D. Cvetkovic, P. Rowlison, S. Simic, An Introduction to the theory of graph Spectra, London Mathematical society, 19972．R. B. Bapat, Graph and matrix, Springer, 2010.3．N. Biggs, Algebraic graph theory, Cambridge University Press, 1974.。
《群论(一)》教学大纲 - 中国人民大学物理学系
1.《物理学中的群论》 马中骐， 科学出版社 2.《物理学中的群论》 陶瑞宝， 上海科学技术出版社 3.《Symmetries in Physics》 W.Ludwig and C. Falter, Springer-Verlag, 世界 图书出版公司
三维转动变换； 李群的概念； SU(2)群； 李氏定理；Clebsch-Gordan系数 第五章 群论与量子力学 （12学时）
哈密顿量对称性； 微扰理论； 选择定则； 时间、空间对称性 第六章 晶体点群及其应用（12学时）
晶体点群；点群特征标；双点群；晶体对称群； 晶格点群； 第七章 空间群与晶体能带 （8学时）
《群论一》课程旨在向物理系研究生教授物理研究中所用到的群论知识。介绍物理 学中用到的对称性概念，通过一定量的实例和练习，培养学生运用对称性分析和研究物 理问题的能力。为研究生打下良好的群论基础，从而使他们能比较顺利地开始相关课题 的研究工作。
学习本课程，预先需要的基础知识包括：（1）线性代数，以及（2）量子力学。 通过课堂的讲授和课下练习，使学生重点掌握以下内容： （1） 群的基本概念 （2） 群的线性表示理论 （3） 三维转动群 （4） 群论与量子力学 （5） 晶体点群 （6） 空间群与晶体能带 本课程需要学生初步了解的内容有： （7） 置换群 （8） 李群和李代数
撰写人： 同宁华(中国人民大学物理系（2学时） 线性空间； 矢量； 线性变换；矩阵操作
第二章 群的基本概念（10学时） 对称性； 群的定义； 乘法表； 群的同态；常见的群
第三章 群的线性表示理论（16学时） 群的线性表示； 么正表示； 等价和不等价表示； 不可约表示； 特征标表；
研究生课程《Artin代数表示论》教学大纲
研究生课程《Artin代数表示论》教学大纲课程编号：Math2117课程名称：Artin代数表示论英文名称：Representation Theoy of Artin Algebras开课单位：数学科学学院开课学期：秋课内学时：36教学方式：讲授适用专业及层次：代数方向硕士考核方式：考试预修课程：高等代数、近世代数一、教学目标与要求本课程较全面、系统地介绍Artin代数与有限维代数的表示理论，重点是箭图与路代数，箭图上的表示，Auslander-Reiten理论，倾斜理论等，难点是理解Gabriel定理、箭图上的表示、几乎可列序列，Auslander-Reiten箭图，倾斜模等。
通过本课程中基本概念和基本定理的阐述和论证，培养研究生的抽象思维与逻辑推理能力，提高研究生的数学素养。
在重视数学论证的同时，强调Artin代数表示理论研究的研究方法。
通过本课程的学习，要求研究生掌握Artin代数表示论的基本理论和方法，为学习后开展科学研究打好基础。
二、课程内容与学时分配Chapter 1. Quivers and Algebras （8学时）Quivers and path algebrasAdmissible ideals and quotients of path algebrasThe quiver of a finite dimensional algebraChapter 2. Representations and Modules （10学时）2.1 Representations of bound quivers2.2 The simple, projective and injective modules2.3 The dimension vector of a module and the Euler characteristicChapter 3. Auslander-Reiten Theory （10学时）3.1 Irreducible morphisms and almost split sequences3.2 Auslander-Reiten translations3.3 Existence of almost split sequences3.4 Auslander-Reiten quiver of an algebraChapter 4. Titling Theory （8学时）4.1 Torsion pairs4.2 Partial tilting modules and tilting modules4.3 Tilting theorem of Brenner and Butler4.4 Torison pairs induced by tilting modules三、教材I. Assem, D. Simon and A. Skowroński, Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, 1: Techniques of Representation theory, London Math. Soc. Stud. Texts 65, Cambridge, New York, 2006.主要参考书M. Auslander, I. Reiten and S. SmalØ, Representation Theory of Artin Algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 36, Cambridge University Press, Cambridge, New York, 1995.。
群论[PHYS130068]-徐建军[21325]-普通-1
![群论[PHYS130068]-徐建军[21325]-普通-1](https://img.taocdn.com/s3/m/054dff2443323968011c92d5.png)
教学目标： 通过本课程的学习，掌握群论的基本概念和基本性质,理解对称性及其在物理学中的 应用,初步掌握点群,空间群及Lie群的基本性质,掌握群表示论的基本方法. 基本内容包括群的基本概念,群表示论,点群,空间群,群论与量子力学,置换群, Lie 群和Lie代数. 教材和教学参考资料（不少于5种） 作者 陶瑞宝 马中骐 韩其智, 孙洪洲 J.F.Cornwell Wu-Ki Tung 教材或参考资料名称 物理学中的群论 出版社 上海科技出版社 科学出版社 出版年月 1986年 2006年 1987年 1984年 1985年
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物理学中的群论(第二版) 群论
北京大学出版社
Academic Press Group theory in physics Group theory in physics World Scientific
第 1 页，共 2 页
教学进度安排： 第一周 绪论，群的基本概念. 第二周 群的同态与同构,群的直积. 第三周 群表示论的基本定理. 第四周 正则表示和基础表示. 第五周 特征标和特征标表. 第六周 直积表示及其约化,Clebsch-Gordan 系数. 第七周 Schrödinger 方程与对称算子,Wigner-Eckart定理. 第八周 实表示,时间反演对称与附加简并. 第九周 点群. 第十周 空间群 第十一周 置换群及其分类,杨氏图 第十二周 不可约表示特征标的图形方法. 第十三周 Lie 群. 第十四周 SO(3)群和SU(2)群. 第十五周 无穷小生成元和无穷小算子. 第十六周 SU(2)群的不可约表示,角动量及其耦合. 第十七周 一般Lie群和Lie 代数及其表示.
Байду номын сангаас
考核方式： 每章将布置5-7个作业题，期终考试为闭卷考试。最后考核成绩平时作业占 30%，期终考试占70%。 **课程网络资源： http://202.120.227.42 ftp://10.45.10.96 **教师教学、科研情况简介： *如该门课为多位教师共同开设，请在对课程负责人加以注明。 **为可选项目，请老师根据实际情况填写。
《高等代数》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一、大纲说明课程名称: 高等代数课程名称（英文）：Advanced Algebra适用专业：数学与应用数学课程性质：学科教育必修课程总学时： 192其中理论课学时: 192 实践（实验）课学时:0学分：12先修课程：二、本课程的地位、性质和任务《高等代数》是数学与应用数学专业最重要的基础课程之一，是数学各专业报考硕士研究生的必考课程之一。
通过本课程的学习，使学生掌握多项式和线性代数的系统知识和理论，提高学生抽象思维、逻辑推理和运算能力，培养学生运用抽象的、严格的代数思想方法分析问题、解决问题的能力，为常微分方程、近世代数、计算方法、泛函分析等后续课程的学习打下坚实的基础。
三、教学内容、教学要求第一章基本概念教学内容本章主要介绍了集合、映射、数环、数域等基本概念，这些概念是学习本课程及其它数学分支的基础知识。
1、集合子集集合的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法自然数的最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域教学要求了解：整数的一些整除性质理解：集合掌握：映射；数学归纳法；数环和数域重点与难点映射；可逆映射；数域。
第二章多项式本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。
多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学分支的必要基础。
教学内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性整除的基本性质带余除法定理3、多项式的最大公因式最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念根与一次因式的关系多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根※9、多元多项式多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数※10、对称多项式对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理教学要求了解：多元多项式对称多项式理解: 一元多项式的定义和运算；多项式的整除性；多项式函数与多项式的根；复数域和实数域上多项式的因式分解掌握: 多项式的重因式；多项式的最大公因式；复数域和实数域上多项式的因式分解；有理数域上多项式的可约性及有理根重点与难点整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、因式分解定理的应用、k重因式与k 重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。
五年制代数课程教学大纲
五年制 代数 课程教学大纲试用专业：五年制数学教育总学时：290一、课程性质与任务《代数》课程是五年制数学教育专业必修的基础课程，内容涉及到数论、微积分及概率统计等学科中的初步知识，它在理论上、方法上、思想上是最基本的，是学习物理、化学、计算机等学科以及参加社会生产、日常生活和进一步学习的必要基础。
该课程的任务是使学生在初中学习的基础上，进一步学习和掌握专业课所必须的数学基础知识和基本技能，具有熟练而准确的基本运算能力、一定的逻辑思维能力，逐步提高学生运用数学方法分析问题和解决问题的能力，为后续专业课程的学习打下良好的基础。
二、课程教学目标通过两个学期的学习，要求学生掌握中学阶段高中部分的代数知识，包括：集合与不等式、函数、任意角的三角函数、复数、等差数列与等比数列、排列与组合等内容。
在教学过程中注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力。
努力培养学生数学思维能力，包括：直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模型做出思考和判断。
激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心，形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，认识数学的科学价值和人文价值，从而进一步树立辩证唯物主义的世界观。
三、教学内容和目的要求第一章集合与对应教学目的和要求：1.了解集合的概念，能够表示集合与元素的关系.2.掌握表示集合的列举法、描述法和文氏图法.3.了解空集、子集、全集和补集的意义.4.理解交集与并集的概念，了解集合的相等与包含关系.5.掌握有关集合的符号：,\,,,,,,A C U Φ⊆∉∈.掌握表示数集的常用符号：自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R.6.初步了解对应是表示两个集合的元素与元素之间的关系；理解单值对应及象、原象的概念.7.初步了解一一对应、对等集合和可数集合的概念.教学内容：集合、集合的表示法、子集、交集、并集、差集和补集、 单值对应、一一对应、对等集合和可数集合 教学重点：有关集合的基本概念、表示方法和有关集合的术语和符号的含义.教学难点：有关集合的各个概念的意义以及它们之间的区别和联系.第二章幂函数，指数函数，对数函数教学目的和要求：1.在对应概念的基础上加深对函数概念的理解.2.理解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断某些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程.3.掌握反函数及互为反函数的函数图象之间的关系.4.理解分数指数冥、根式的概念，掌握分数指数冥的运算法则.5.掌握冥函数（指数为有理数）的概念，图象和性质.6.掌握指数函数的概念、图象和性质.7.掌握对数的概念和性质.8.掌握对数函数的概念、图象和性质.9.通过本章内容的教学，使学生领会用运动变化的观点去观察、分析事物的方法.教学内容：函数及其表示法、函数的单调性和奇偶性、反函数、分数指数冥与根式、冥函数的图象及其性质、指数函数的图象及其性质、对数、对数函数的图象及其性质教学重点：函数及反函数的概念；幂函数、指数函数、对数函数的概念、图象和性质.教学难点：利用集合、对应的思想刻画和认识函数的概念；反函数的概念以及函数与反函数图象之间的关系；关于函数单调性与奇偶性的证明.第三章三角函数教学目的和要求：1.理解弧度的意义，能够正确地进行弧度与角度的换算.2.掌握任意角三角函数的概念，同角三角函数的基本关系式和诱导公式；能够利用上述公式由已知三角函数值求角；能够利用上述公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明三角恒等式.3.掌握两角和、两角差公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；通过这些公式的推导，了解它们之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力。
李群与李代数课程教学大纲
3.1 表示的基本性质 （2 学时）
3.2 紧李群上的不变积分 （2 学时） 3.3 紧李群表示的矩阵元素函数 (2 学时） 3.4 特征标（2 学时） 3.5 Peter-Weyl 定理（2 学时） 3.6 某些紧李群及矩阵群的不可约表示的分类及实现等（2 学时） 大专业布置 (对应代码 A4，B1，B2，B3，B4，C3) 第 4 章 复单李代数的分类（14 学时，对应代码 A4, A5，B1, B2, B3, C1, C2, C4） 4.1 Killing 型、根基（3 学时） 4.2 环面子代数、根空间分解（3 学时） 4.3 三维复单李代数的表示（2 学时） 4.4 根系、Weyl 群 （3 学时） 4.5 Dykin 图及分类、单根系及复单李代数的分类 （3 学时）
数学系
抽象代数、微分几何、拓扑
姜翠波等
课程网址 (Course Webpage)
《李群与李代数》为数学系本科高年级专业选修课，主要介绍李群及李群
的线性化-李代数的结构、紧李群的表示及复单李代数的分类理论等。李群
*课程简介 （Description）
与李代数与现代数学、物理的诸多分支密切相关并有着广泛应用，通过该 课程的学习，学生可以了解并掌握李群（和李代数）的基本理论、基本思 想及基本研究手法，该课程的学习对提高学生的逻辑思维能力、抽象思维
备注说明： 1．带*内容为必填项。 2．课程简介字数为 300-500 字；课程大纲以表述清楚教学安排为宜，字数不限。
Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 1974； 9. Brocker T and Dieck T. Representations of Compact Lie Groups,
群论
《群论》课程简介06191060 群论 3Theory of Group 3-0预修课程：高等代数, 数学分析, 解析几何,近世代数.面向对象:数学系三,四年级本科生内容简介：(1) 范畴理论. 主要介绍范畴,积, 余积,直和与直积,自由对象,自由群等基础知识.(2) 群的结构. 介绍Sylow定理,有限群的分类,幂零群,可解群等的概念及性质.(3) 域与伽罗华理论. 多项式的伽罗华理论,有限域,超越基等的基本理论及方法.(4) 群的表示理论：介绍群表示的定义，群的矩阵表示，与代数表示的关系，表示的完全可约性和不可约表示，特征标理论，表示的结构分解，Clifford定理。
推荐教材或主要参考书：教材：《Algebra》，Thomas W. Hungerford编著，New York: Springer-Verlag，1974.《Linear representations of finite groups》, J.P.Serre, GTM 42, 1977参考书：《近世代数》，熊全淹编著，武汉大学出版社;《近世代数基础》，刘绍学编著，高等教育出版社;Jocobson编著，《Basic Alegrba》，New York，1974．《Advanced Modern Algebra》, Joseph J Rotman, 高等教育出版社，2005《群论》教学大纲06191060 群论 3Theory of Group 3-0预修课程：高等代数, 数学分析, 解析几何,近世代数.面向对象:数学系三,四年级本科生教学大纲:－、教学目的和基本要求群论作为数学专业高年级学生的一门选修课,主要的教学目的是在已学近世代数的基础上,向学生介绍代数的相关概念,理论和方法.同时通过本课程的学习, 进一步提高学生的抽象思维能力,为后续课程的学习打下扎实的基础.二、主要内容及学时分配每周3学时,共16周.主要内容: 学时数(1)范畴理论1.范畴定义, 积, 余积自由对象 3学时2.范畴的直和与直积 2学时3.自由对象,自由群 3学时(2)群的结构1.群在集合上的作用 2学时2.Sylow定理、有限群的分类 3学时3.幂零群和可解群 2学时4.正规列和亚正规列 3学时(3)域与伽罗华理论1.基本定理 2学时2.分裂域，代数闭包和正规性 3学时3.多项式的伽罗华理论 3学时4.有限域和可分性 2学时5.循环扩张、分园扩张、根式扩张 3学时6.超越基、线性无缘与可分性 3学时（4）群的表示论1．定义、矩阵表示 2学时2．与代数表示的关系 3学时3．完全可约性和不可约表示 2学时4．结构分解和Clifford定理 3学时5．特征标理论4学时三、教学方式:课堂讲授四、相关教学环节安排:1. 每次课后都要布置作业,一般布置3-5个习题,使学生通过做习题进一步理解和掌握课堂讲授的内容．2.针对作业中发现的问题可在课堂上适当作讲课,以帮助学生解决普遍存在的疑难问题．3.期末考试要求每位学生作一个读书报告,或阅读3-5篇与环论内容相关的文章．五、考试方式和要求:开卷与闭卷结合,60%为及格:六、推荐教材或主要参考书教材：《Algebra》，Thomas W. Hungerford编著，New York: Springer-Verlag，1974.《Linear representations of finite groups》, J.P.Serre, GTM 42, 1977参考书：《近世代数》，熊全淹编著，武汉大学出版社;《近世代数基础》，刘绍学编著，高等教育出版社;Jocobson编著，《Basic Alegrba》，New York，1974．《Advanced Modern Algebra》, Joseph J Rotman, 高等教育出版社，2005 七、有关说明。
李群与李代数课程教学大纲
3.1 表示的基本性质 （2 学时）
3.2 紧李群上的不变积分 （2 学时） 3.3 紧李群表示的矩阵元素函数 (2 学时） 3.4 特征标（2 学时） 3.5 Peter-Weyl 定理（2 学时） 3.6 某些紧李群及矩阵群的不可约表示的分类及实现等（2 学时） 大专业布置 (对应代码 A4，B1，B2，B3，B4，C3) 第 4 章 复单李代数的分类（14 学时，对应代码 A4, A5，B1, B2, B3, C1, C2, C4） 4.1 Killing 型、根基（3 学时） 4.2 环面子代数、根空间分解（3 学时） 4.3 三维复单李代数的表示（2 学时） 4.4 根系、Weyl 群 （3 学时） 4.5 Dykin 图及分类、单根系及复单李代数的分类 （3 学时）
李群与李代数课程教学大纲
课程基本信息（Course Information）
课程代码 （Course Code）
*课程名称 （Course Name）
*学时
MA4114/ MA418
（Credit Hours）
48
李群与李代数
Lie Group and Lie Algebra
*学分（CrediFra biblioteks）数学系
抽象代数、微分几何、拓扑
姜翠波等
课程网址 (Course Webpage)
《李群与李代数》为数学系本科高年级专业选修课，主要介绍李群及李群
的线性化-李代数的结构、紧李群的表示及复单李代数的分类理论等。李群
*课程简介 （Description）
与李代数与现代数学、物理的诸多分支密切相关并有着广泛应用，通过该 课程的学习，学生可以了解并掌握李群（和李代数）的基本理论、基本思 想及基本研究手法，该课程的学习对提高学生的逻辑思维能力、抽象思维
《群与代数表示论》课程大纲
（More）
备注
（Notes）
备注说明：
1.带*内容为必填项。
2.课程简介字数为300-500字；课程大纲以表述清楚教学安排为宜，字数不限。
0
课堂布置
大作业
完成
面谈
Hilbert 基定理
2
课堂讲授与讨论
预习、听课、小结、
习题
预习、听课、小结、
习题
作业
交换环的整性扩张
2
课堂讲授与讨论
预习、听课、小结、
习题
预习、听课、小结、
习题
作业
Hilbert 零点定理
2
课堂讲授与讨论
预习、听课、小结、
习题
预习、听课、小结、
习题
作业
大作业
0
课堂布置
大作业
1.6 特征标表计算举例（3 学时）
对称群 S_4, 交替群 A_4, 二面体群 D_n，8 阶群的特征标表。
1.7 从特征标表读群的结构（4 学时）
体现表示与结构的联系：如何从特征标表读出正规子群、单性、换位子群、中心、可阶性、幂零性等。
大作业布置(对应代码A3, A4, A5, B1, B2, B3, B4, C1, C2, C3,C4)
特征标的定义和 11 条常用性质；单位特征标；正则特征标；特征标表；有限 Abel 群的特征标。
1.4 第一正交关系（2 学时）
第一正交关系的表述和证明并强调其意义；不可约分解的重数、表示等价的判别法、不可约性的判别法。
1.5 分裂域上不可约常表示个数的群论意义（4 学时）
主要定理（群的分裂域上不可约常表示个数等于群的共轭类的个数）的证明； 第二正交关系；举例。
3.1Hilbert基定理（2学时） Hilbert基定理的证明与重要意义。
李代数与李群教案
李代数与李群教案引言：李代数与李群是现代数学中重要的概念，它们在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
本教案将介绍李代数与李群的基本概念、性质和应用，并结合示例进行详细讲解，帮助学生全面理解和掌握这两个概念。
一、李代数的基本定义与性质李代数是一种代数结构，它由一个向量空间及其上的二元运算组成。
具体来说，一个李代数是一个实向量空间，并且定义了一个满足结合律和莱布尼茨律的二元运算——李括号。
李括号在李代数中起到了重要的作用，它描述了向量空间元素之间的运算关系。
1. 李代数的定义：一个李代数是一个实向量空间g，配合一个满足以下性质的二元运算[.,.]：对于任意的a,a,a∈a，有以下几个性质：（a）反对称性：[a,a]=−[a,a]（b）双线性性：[a+a,a]=[a,a]+[a,a]，[a,a+a]=[a,a]+[a,a]（c）雅可比恒等式：[a,[a,a]]+[a,[a,a]]+[a,[a,a]]=02. 李代数的例子：（a）矩阵李代数：设M(n)为n阶实矩阵的集合，对于任意的a,a∈a(a)，定义李括号[a,a]=aa−aa，则M(n)配合李括号构成一个李代数。
（b）交换李代数：设g为任意实向量空间，定义李括号[a,a]=0，则g配合李括号构成一个李代数。
二、李群的基本定义与性质李群是一种具有连续群结构和光滑结构的数学对象。
它既是一个群，也是一个光滑流形。
李群与李代数之间存在着重要的关系，李群的切空间即为对应的李代数。
1. 李群的定义：设G是一个群且连续，对于G的拓扑空间，若存在一个光滑流形结构，使得群运算和逆运算是光滑映射，则称G为一个李群。
2. 李群与李代数的关系：设G为一个李群，a为G的单位元（即恒等元素）。
G上的李代数可以通过计算切空间的方式得到。
具体来说，对于a∈aaa，定义李括号[a,a]为a({a(a)})'a|a=0，其中{a(a)}是G上的一条曲线，a(0)=a，a′(0)=a。
群论
2.基本概念和知识点：内幂零群及有关性质。
3.问题与应用：了解内幂零群的结构。
第五节 群的初等结果
1. 主要内容：有限 群的Frattini子群、生成元、自同构群及某些特殊子群的性质、具有循环极大子群的有限 群的结构。
2.基本概念和知识点：有限 群的Frattini子群的性质、具有循环极大子群的有限 群的结构。
3.问题与应用：了解 群在 群上的作用的基本理论。
第四节关于 幂零性的Frobenius定理
1. 主要内容：介绍 幂零性的Frobenius定理。
2.基本概念和知识点：规范子群、焦点子群、 幂零群，Frobenius定理。
3.问题与应用：了解 幂零性的Frobenius定理的内容。
第五节Frobenius-群
适用对象:理科数学类一年级研究生
考核方式：考查<写一篇字数字不少于3000的课程论文、读书报告或文献综述等＞。
先修课程：抽象代数学
二、课程简介
群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。
第二节 群在交换 群上的作用
1. 主要内容： 群在交换 群上的作用的基本理论。
2. 基本概念和知识点：Schur引理、Maschke定理的推广形式。
3.问题与应用：了解 群在交换 群上的作用的基本理论。
第三节 群在 群上的作用
高等数学代数与群论教材
高等数学代数与群论教材高等数学代数与群论是大学数学专业中的重要课程之一，是建立在基础数学知识上的一门深入学习和研究数学结构和代数性质的学科。
在这门课程中，学生将学习到代数学的基本概念、理论和方法，以及与其相关的群论的基础知识。
正文：一、代数学基本概念代数学作为数学的一个分支，研究的是代数结构及其运算规律。
在高等数学代数与群论教材中，首先会介绍代数学的基本概念，其中包括集合、映射、运算等。
学生将会学习到集合的定义与运算，以及映射的概念和性质，为后续的代数学知识做好铺垫。
二、群与群的性质群是代数学中最基本的数学结构之一，是一种具有代数性质的集合。
在高等数学代数与群论教材中，学生将学习到群的定义和一些基本性质，例如封闭性、结合律、单位元和逆元等。
同时，还会学习到置换群、循环群等特殊的群结构，并进行相应的性质证明。
三、环与环的性质环是另一种重要的代数结构，也是数学中常见的代数对象之一。
在高等数学代数与群论教材中，学生将学习到环的定义和基本性质，包括加法和乘法运算的性质，以及零元和单位元的性质。
同时，还会学习到整环、域等相关概念，并进行相关的例题和习题练习。
四、域与域的性质域是代数学中较为复杂和抽象的代数结构，也是数学研究中重要的对象之一。
在高等数学代数与群论教材中，学生将学习到域的定义和基本性质，例如加法和乘法的结合律、分配律等。
同时，还会学习到域的扩张和域的分类等进阶概念，并进行相关的练习和证明。
五、线性代数与群论的应用线性代数是高等数学中的一个重要分支，也是群论的一个重要应用领域。
在高等数学代数与群论教材中，会给出一些线性代数和群论结合的典型应用，例如矩阵的特征值与特征向量、线性变换和群的同构等。
通过这些应用，学生可以更好地理解和应用群论的相关知识。
六、总结与延伸阅读在高等数学代数与群论教材的最后，会对所学内容进行总结，并提供一些延伸阅读的参考书目和学习资源，以便学生进一步深入学习和研究。
将所学知识应用于实际问题和数学研究中，拓宽数学思维和应用能力。
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课程基本信息（Course Information）
课程代码
*学时
（Course Code） MA3111/MA323
（Credit Hours）
48
*学分
（Credits）
3
*课程名称
群与代数表示论
（Course Name） Representation Theory of Groups 其它学科奠定坚实的基础。
*课程简介 （Description）
The representation theory of groups and algebras is an elective course for undergraduates in mathematics, which is a successive course of Abstract Algebra. It is an important basis of algebra, and is widely used in quantum physics, quantum chemistry, etc. It studies the representation of groups, character theory and the representation of algebras. Further, it studies the structure of finite generated Abel groups, Jordan normal form and rational normal form of linear transformation on finite dimensional vector space. The aim of this is to make students to know that different objects can be unified. It also studies Hilbert's basis theorem and Hilbert's Nullstellensatz. This gives the relation of algebra to geometry. The students can understand the relation between the structure and the representation by seeing some explicit
1.6 特征标表计算举例（3 学时）
对称群 S_4, 交替群 A_4, 二面体群 D_n，8 阶群的特征标表。
1.7 从特征标表读群的结构（4 学时）
体现表示与结构的联系：如何从特征标表读出正规子群、单性、换位子群、 中心、可阶性、幂零性等。
大作业布置 (对应代码 A3, A4, A5, B1, B2, B3, B4, C1, C2, C3,C4) 第 2 章 模论 (21 学时，对应代码 A3, A4, A5，B1, B2, B3, C1, C2, C4) 2.1 环上的模（4 学时）
课程教学大纲（course syllabus）
第 1 章 群表示 (21 学时，对应代码 A3, A4, A5，B1, B2, B3, C1, C2, C4)
1.1 群表示的基本概念（3 学时）
定义与例子；矩阵表示；置换表示；表示的张量积。
Schur 引理；有限群的有限维复表示是酉表示（类似地，有限群的有限维实 表示是正交表示）；从而群中元作为表示空间上的可逆线性变换是可以对角 化的。
论、代数的表示。利用这些结果研究有限生成 Abel 群结构、有限维向量空
间上线性变换的 Jordan 标准型和有理标准型的统一处理，从而使学生感受
到高观点下不同对象的统一。本课程也阐明 Hilbert 基定理和零点定理，从
而建立几何对象与代数对象的对应关系。在教学的过程中，通过结合具体的
例子，使学生理解结构与表示之间的联系，进一步提高其抽象思维能力，为
中文 （如果需要，亦可用英文教学）
数学系
数学分析，高等代数 (包括多项式理论和空间解析几何)，初等数论，抽象代数
课程网址
司梅
(Course
Webpage)
群与代数表示论是继《抽象代数》之后的一门代数学课程，是数学与应用数
学专业的选修课。这门课程不仅是代数方向的重要课程之一，还在量子物理、
量子化学等领域有广泛的应用。这门课程的主要内容包括群表示、特征标理
1.2 Maschke 定理（2 学时）
Maschke 定理（有限群 G 在域 F 上的任一表示均是完全可约的当且仅当 F 的 特征不整除 G 的阶）的证明和意义；正则表示的不可约分解；不可约表示的 个数、不可约表示的维数、G 的阶三者之间的关系。
*学习目标 (Learning Outcomes)
1.3 特征标的基本概念（3 学时）
课程性质 (Course Type)
授课对象 （Audience）
授课语言 (Language of Instruction)
*开课院系 （School） 先修课程 （Prerequisite） 授课教师 （Instructor）
*课程简介 （Description）
专业方向选修 A 组 数学与应用数学专业本科生
特征标的定义和 11 条常用性质；单位特征标；正则特征标；特征标表；有 限 Abel 群的特征标。
1.4 第一正交关系（2 学时）
第一正交关系的表述和证明并强调其意义；不可约分解的重数、表示等价的 判别法、不可约性的判别法。
1.5 分裂域上不可约常表示个数的群论意义（4 学时）
主要定理（群的分裂域上不可约常表示个数等于群的共轭类的个数）的证明； 第二正交关系；举例。
examples. It further train and strengthen their interest and ability of abstract thinking, such that a solid foundation in algebra will be built for their further studies.