922136-理论力学之动力学-3平面动力学
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理论力学 第三章 平面力系
FBl cos M 0
得
M 20 k N m FB 4.62 kN l cos 5 m cos 30
FA FB 4.62kN
故
目录
第三章 平面力系\力的平移定理
3.3 力的平移定理
作用于刚体上的力，可平行移动到刚体内任一指定点，但必须 在该力与指定点所决定的平面内同时附加一力偶，此附加力偶的矩 等于原力对指定点之矩。 平面一般力系向一点简化的理论基础是力的平移定理。
设平面汇交力系F1、F2、…、Fn中各力在x、y轴上的投影分 别为Xi、Yi，合力FR在x、y轴上的投影分别为XR、YR，利用公式
F Fx Fy Xi Yj
分别计算式FR=F1+F2+…+Fn=ΣF 等号的左边和右边，可得 FR = XR i+YR j 以及 F1+F2+…+Fn=(X1i+Y1j)+（X2i+Y2j）+…+（Xni+Ynj） =（X1+X2+…+Xn）i+（Y1+Y2+…+Yn）j 比较后得到 X R X1 X 2 X n X YR Y1 Y2 Yn Y 目录
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第三章 平面力系
如图(a)所示水坝，通常取单位长度坝段进行受力分析，并将坝 段所受的力简化为作用于坝段中央平面内的一个平面力系［图(b)］。
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第三章 平面力系
第三章 平面力系
3.1 平面汇交力系的合成与平衡 3.2 平面力偶系的合成与平衡 3.3 力的平移定理 3.4 平面一般力系向一点简化 3.5 平面一般力系的平衡方程及其应用
第三章 平面力系\平面力偶系的合成与平衡
理论力学3平面运动PPT课件
vA vC
vB
vE
vD
E
I
解：[AB杆]， 由A、B两点速度方向可知，AB杆瞬时平动：
vB vA R vC [轮E]， 瞬心I点，D点速度方向如图
vD DI
vE R
E
(a)
[杆CD]，由速度投影法： vC cos 60 vD cos15
vD 0.52R
代入（a）式：
vE
1 2
vD
0.37R
解：[轮O]， A为瞬心，则B点速度如图
vB 2RO 2vO
[BC杆] C点速度如图， 由速度投os 60
vC 2vB cos 30 2 3v0
从运动已知的构件开始分析，
vC
通过公共点，将运动传递至 运动未知构件。
25
例：平面机构如图所示，轮沿固定水平轨道作纯滚动。已知：轮 的半径为R，BC=CD=3R，OA=AC=R，杆OA以角速度 转动，O 和B在同一铅垂线上。在图示位置时，OA及ED都处于水平， BCCD。试求该瞬时轮心E的速度。
两边对t求导数：
vB
vA
drAB dt
y
rB
S截面
B vBA
rAB
A
drAB ? dt
rAB 大小： 不变
o 方向： 姿态角
rA
x
由泊松公式：
drAB dt
ω rAB
vBA
平面运动刚体内任意两点 速度关系：
方向：垂直AB连线，与方向一致
大小： AB
vB vA vBA
8
一、基点法
y
vBA vB B
vO
C
A
vC CA 2v0 , vD DA 2v0
方向如图所示。
922132-理论力学之动力学-1平面运动速度
16
例：已知OA杆的角速度，求：图示瞬时滑块B的速
度和 AB杆的角速度。
OA r, 600, AB 3r
vA A AB vA
O vB
2. 速度投影法
vB cos vA
解：研究连杆AB
1. 基点法
vB vA vBA
B
vB
vA
cos
vBA
AB
vBA AB
vA
tan
3r
vB
vA
cos
若选取若选取速度为零的点速度为零的点作为基点则求解速度问题作为基点则求解速度问题的计算会大大简化同时也能求出图形的角速度的计算会大大简化同时也能求出图形的角速度
第三章 刚体动力学（一）
Dynamics of Rigid Bodies (Part One)
1
问题的引出
观察：车轮作什么运动？其运动有什么特点？
2
问题的引出
A O
B
连杆AB作什么运动？运动有什么特点？
•刚体的平面运动（plane motion of rigid bodies)： 刚体在运动过程中，其上任意一点到某一固定平面的
距离保持不变。
3
§3-1、刚体平面运动的运动学
Kinematics of Planar Motion of Rigid Bodies
28
上任一点M 的速度
LL
AA vvAA
vvMMAA MM
v AA
vM vA vMA
M在AL上时速度大小为
CV
S LL
vM vA vMA vA AM
AL上必存在速度为零的一点CV
2)过A其它直线上的点
ACV
vA
vA和 vMA 不共线，速度均不为零
例：已知OA杆的角速度，求：图示瞬时滑块B的速
度和 AB杆的角速度。
OA r, 600, AB 3r
vA A AB vA
O vB
2. 速度投影法
vB cos vA
解：研究连杆AB
1. 基点法
vB vA vBA
B
vB
vA
cos
vBA
AB
vBA AB
vA
tan
3r
vB
vA
cos
若选取若选取速度为零的点速度为零的点作为基点则求解速度问题作为基点则求解速度问题的计算会大大简化同时也能求出图形的角速度的计算会大大简化同时也能求出图形的角速度
第三章 刚体动力学（一）
Dynamics of Rigid Bodies (Part One)
1
问题的引出
观察：车轮作什么运动？其运动有什么特点？
2
问题的引出
A O
B
连杆AB作什么运动？运动有什么特点？
•刚体的平面运动（plane motion of rigid bodies)： 刚体在运动过程中，其上任意一点到某一固定平面的
距离保持不变。
3
§3-1、刚体平面运动的运动学
Kinematics of Planar Motion of Rigid Bodies
28
上任一点M 的速度
LL
AA vvAA
vvMMAA MM
v AA
vM vA vMA
M在AL上时速度大小为
CV
S LL
vM vA vMA vA AM
AL上必存在速度为零的一点CV
2)过A其它直线上的点
ACV
vA
vA和 vMA 不共线，速度均不为零
理论力学第三章 平面任意力系ppt课件
精选课件PPT
34
ΣFX=0 ΣmA=0 附加条件：
OA ⊥X轴
y
A
Fi
F2
B
o
Fn
F1
x
(3)二力矩式
ΣmA=0 ΣmB=0 附加条件：
y mi
m2
A、B、O三点不共直线
mn
m1
3.平面力偶系
o
Σmi=0或Σmo(Fi)=0
x
精选课件PPT
14
图示三铰拱,在构件CB上分别作用一力偶M和力F,当求 铰链A,B,C的约束力时,能否将力偶M或力F分别移到 构件AC上?为什么?
§3-1-1 力的平移定理
❖ 内容
作用在刚体上某点的力可以等效地平移到 刚体上任一点（称平移点），但必须在该力 与该平移点所决定的平面内附加一力偶，此 力偶之矩等于原力对平移点之矩
精选课件PPT
下一节 返回上一级菜2单
❖ 证明
F'
F'
F
F
M
F"
F'F"F MM(F,F")FdMB(F)
精选课件PPT
(2)三力矩式 ΣmA=0 ΣmB=0 ΣmC=0 附加条件：A、B、C三点
不共直线
对一个平面任意力系， 若其处于平衡状态，能 列出无数个方程，是否 能求解无数个未知数？
B
A C
B
A
C
在刚体上A,B,C三点分别作用三个力F1,F2,F3,各 力的方向如图所示，问该力系是否平衡？为什么？
精选课件PPT
精选课件PPT
15
例3
已知起重机重P，可绕铅直轴AB转动，起 吊重量为Q的物体。起重机尺寸如图示。 求止推轴承A和轴承B处约束反力。
理论力学课件 第三章 平面任意力系
Mo
FR´ o´ o
FR´
FR o´ o
d
FR o´
o
d
FR´ ´
FR´ = FR =－FR´´
d MO FR '
平面任意力系简化为一个力，合力矢等于主矢；合力的作用 线在点O的那一侧，根据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到 点O的距离为d。
（3）平面任意力系平衡 FR´= 0，Mo = 0 平面任意力系平衡。
FAx
FAy p Fsin30 300kN
1 MA M q 3l l Fsin30 l Fcos30 3l 1188kN 2
平面平行力系的平衡条件和平衡方程 如图：物体受平面平行力系 F1 ，F2 ， …， Fn的作用。
y F1 Fn
例3-1 已知F1=150N，F2=200N ， F3=300N ， F= F´ =200N 。求力系向点O的简化结果，并求力系合力 的大小及其与原点O的距离。 解
Fx
y
F1cos45 F2
1 10
j
F
1 3
F
´
x
1
2
2 F3 437.6 N 5 3 F2 Fy F1sin45 10 1 F3 161.6 N 5
F2 F3
O i 200
F1
1 1
100
FR′ 437.6i 161.6 j
MO MO( F ) F1sin45 0.1 1 F3 0.2 0.08F 21.44 N m 5 得力系向点O的简化结果如图（b);
y
F
1 3
F
´
x
1 2
FR´ o´ o
FR´
FR o´ o
d
FR o´
o
d
FR´ ´
FR´ = FR =－FR´´
d MO FR '
平面任意力系简化为一个力，合力矢等于主矢；合力的作用 线在点O的那一侧，根据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到 点O的距离为d。
（3）平面任意力系平衡 FR´= 0，Mo = 0 平面任意力系平衡。
FAx
FAy p Fsin30 300kN
1 MA M q 3l l Fsin30 l Fcos30 3l 1188kN 2
平面平行力系的平衡条件和平衡方程 如图：物体受平面平行力系 F1 ，F2 ， …， Fn的作用。
y F1 Fn
例3-1 已知F1=150N，F2=200N ， F3=300N ， F= F´ =200N 。求力系向点O的简化结果，并求力系合力 的大小及其与原点O的距离。 解
Fx
y
F1cos45 F2
1 10
j
F
1 3
F
´
x
1
2
2 F3 437.6 N 5 3 F2 Fy F1sin45 10 1 F3 161.6 N 5
F2 F3
O i 200
F1
1 1
100
FR′ 437.6i 161.6 j
MO MO( F ) F1sin45 0.1 1 F3 0.2 0.08F 21.44 N m 5 得力系向点O的简化结果如图（b);
y
F
1 3
F
´
x
1 2
理论力学之平面力系
节 点 为 铆 接
杆件的截取
FA
A B
FB
n
轴向
FA
A
FN FN
B
FB
假设为拉力
二、平面桁架平衡时各杆的内力计算 1、节点法
取各节点为研究对象
各节点上的力系都是平面汇交力系
节点法就是逐个取各节点为研究对象，根据平 面汇交力系的平衡条件，求出各杆的内力。 假设各杆内力为拉力
FP FP C
30°
q FAx MA
A l
M
FAx F cos 45 0.707 F
45
B x
F
FAy
1 2 M A ql 0.707 Fl M 2
FAy ql 0.707 F
平面平行力系
y
F2
F
x
0
Ｏ
F1
F3
Fn
x
独立平衡方程
Fyi 0 M ( F ) 0 o
M
B
F2
60
解： 1. 研究对象:梁AB 受力分析如图。 2. 列平衡方程。
l2
l1
M
A
(F ) 0
FByl2 M F1l1 F2 (l1 l2 ) sin 60 0, FBy 3.56 kN
F 0 , FAx F2 cos 60 0 FAx 0.75 kN x
A
K C
B Ⅰ
FEy
E
Ⅱ
E
FEx
Ⅱ
G
G
三个未知量：FA，FEx，FEy，可解。
已知G，求：A，E约束力及BD杆的力。
D A D
FDB
理论力学课件-动力学精选全文完整版
第一类问题-----已知质点的运动，求作用在质点上的力； 第二类问题-----已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。
26
总结 4.求解质点动力学问题的步骤：
（1）根据题意确定研究对象，选择恰当的坐标系； （2）分析研究对象的受力情况，作受力图； （3）分析研究对象的运动情况； （4）列出质点的动力学基本方程，然后求解；如是第二类问题，
（相对地面静止或作匀速直线平动的参考系）
(3)矢量性和瞬时性
二. 质点运动微分方程
F
ma
m
dv dt
m
d2r dt 2
6
利用合矢量投影定理 ,可以在直角坐标系, 自然坐标系及其他坐标系中建立投影方程.
1.质点运动微分方程在直角坐标系上的投影
d2x m dt 2 XFx
m
d2y dt 2
YFy
m
还需根据初始条件确定积分常数。
27
作业
• 9-2 • 9-12
28
例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放
有质量为m的重物。求重物对地板的压力。 解：取重物为研究对象
进行受力分析与运动分析。
Fy= m ay
N - mg=m a
mg
N=mg+ma=N'
（静约束力；附加动约束力）
a
讨论：若加速度方向向下 N
b
l
FT
n
r
v
τ
z
mg
m
dv dt
F
t
0
m
v2 r
F
n
FT sin 600
0 F b mg FT cos 600
FT
mg cos 600
19.6N
26
总结 4.求解质点动力学问题的步骤：
（1）根据题意确定研究对象，选择恰当的坐标系； （2）分析研究对象的受力情况，作受力图； （3）分析研究对象的运动情况； （4）列出质点的动力学基本方程，然后求解；如是第二类问题，
（相对地面静止或作匀速直线平动的参考系）
(3)矢量性和瞬时性
二. 质点运动微分方程
F
ma
m
dv dt
m
d2r dt 2
6
利用合矢量投影定理 ,可以在直角坐标系, 自然坐标系及其他坐标系中建立投影方程.
1.质点运动微分方程在直角坐标系上的投影
d2x m dt 2 XFx
m
d2y dt 2
YFy
m
还需根据初始条件确定积分常数。
27
作业
• 9-2 • 9-12
28
例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放
有质量为m的重物。求重物对地板的压力。 解：取重物为研究对象
进行受力分析与运动分析。
Fy= m ay
N - mg=m a
mg
N=mg+ma=N'
（静约束力；附加动约束力）
a
讨论：若加速度方向向下 N
b
l
FT
n
r
v
τ
z
mg
m
dv dt
F
t
0
m
v2 r
F
n
FT sin 600
0 F b mg FT cos 600
FT
mg cos 600
19.6N
922131-理论力学之动力学-1动力学第一章
《动力学I 》第一章 运动学部分习题参考解答1－3 解：运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。
将运动方程对时间求导并将030=θ代入得34cos cos 22lk lk l y v ====θθθ 938cos sin 2232lk lk y a =-==θθ1－6证明：质点做曲线运动,所以n t a a a +=, 设质点的速度为v ,由图可知:a a vv y n cos ==θ，所以: yv v a a n = 将c v y =，ρ2n va =代入上式可得 ρc v a 3=证毕 1－7证明：因为n2a v=ρ，v a a v a ⨯==θsin n所以：va ⨯=3vρ 证毕xyoanavy vθθxyoanaa θ1－10解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度 为s ,则有关系式：t v L s 0-=，并且 222x l s +=将上面两式对时间求导得：0v s-= ，x x s s 22= 由此解得：xsvx0-= （a ） (a)式可写成：s v xx 0-= ，将该式对时间求导得： 2002v v s x x x =-=+ (b)将(a)式代入(b)式可得：3220220xlv x x v x a x -=-==（负号说明滑块A 的加速度向上） 取套筒A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：g F F a m m N ++=将该式在y x ,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：N F F ym F mg xm +-=-=θθsin cos其中：2222sin ,cos l x l lx x +=+=θθ0,3220=-=yxl v x 将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：23220)(1)(x l xl v g m F ++=1－11AxωOθAv AxωO Bv B Ro vo vFN Fg myθ解：设B 点是绳子AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以R v B ω=，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A 、B 两点的速度在 A 、B 两点连线上的投影相等，即： θcos A B v v = （a ） 因为xR x 22cos -=θ （b ） 将上式代入（a ）式得到A 点速度的大小为： 22Rx x Rv A -=ω （c ）由于x v A -=，（c ）式可写成：Rx R x xω=--22 ，将该式两边平方可得： 222222)(x R R x xω=- 将上式两边对时间求导可得：x x R x x R x xx 2232222)(2ω=-- 将上式消去x2后，可求得： 22242)(R x xR x--=ω (d)由上式可知滑块A 的加速度方向向左，其大小为 22242)(R x xR a A -=ω取套筒A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：g F F a m m N ++=将该式在y x ,轴上投影可得直角坐标形式的 运动微分方程：mg F F ym F xm N -+=-=θθsin cos其中：x R x xR22cos ,sin -==θθ, 0,)(22242=--=y R x xR xω将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得2525)(,)(225222242R x x R m mg F R x x R m F N --=-=ωω1－13解：动点：套筒A ；动系：OA 杆； 定系：机座； 运动分析：绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。
理论力学 03平面力系
F1
F2
A
例13. 已知：F 、R、r、α。 求：力F对A点的力矩。
解：
R
Fx=Fcosα
Fy=Fsinα
mA (F ) = mA (Fx ) + mA Fy
( )
r Fy Oα α
F
Fx
A
·
=－F cosα(R－r cosα) + Fsinα • r sinα
=－FRcos α + Fr cos 2α + Fr sin2α
= F (r－Rcosα)
§2-4 力偶系
一、力偶的概念
定义: 作用面: 等值、反向、不共线的两个平行力的组合 两力所确定的平面
力偶臂： d 效果 ：
矢量
F
转动
力偶矩矢 标量
m
F′
d
平面力偶
大小
方向
m=Fd
+
m
－
m
二、性质 1.力偶对任何点的矩都等于其力偶矩。
2.不平衡、且无合力。
三、等效定理
（不能与力平衡）
主矢
主矩
二、结果讨论
1.力系的等效
力系1：FR1 、M1 当 FR1 = FR 2; M1=M2 2.讨论 ⑴ FR作用于O点，但 FR与O无关。 ⑵ M与O的位置有关。 ⑶ 计算
求：A、C 处约束力。
B
解：
C
FB
′ FB
B
3a
a
m
A
m
FA
A
C
FC
FA = FB = FC
M0 ∑
2 2 m－ FA a－ FA 3 a = 0 2 2
2 m FA = m = 0.3536 4a a
理论力学之平面力系
FRy F iy F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3N
2 2 FR FRx FRy 171.3N
FRx cos θ 0.7548 FR
cos β
FRy FR
0.6556
θ 40.99 , β 49.01
B O D
E
C
6cm
(a)
试求拉杆BC所受的力。
解： 几何法
1.取制动蹬ABD作为研究对象， 并画出受力图。
A
F
2.作出相应的力三角形。 3. 由几何关系得： OE EA 24 cm
q
O
B
E
FD
(b)
FB
D
DE 6 1 tan OE 24 4
arctan
1 14.01 4
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？
解： 1.取碾子，画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
Rh θ arccos 30 R
M O F M O Fy M O Fx
x F sin q y F cos q x Fy y Fx
M O FR M O Fi M O FR xi Fiy yi Fix
解得 FCy 1.5kN
§2-2 平面力对点之矩
一、平面力对点之矩（力矩）
理论力学平面运动PPT课件
vD vC vDC
vDC DC BC r O 3
B
A
vDC
BC
D
vC
vD
O
C vC
r
O
vD 2 vC 2 vDC2 2vCvDC cos(90 )
vD 7Or
与水平线的夹角为
3
：
vDC
sin
vD
cos
sin 21
14
3
刚体的平面运动方程
问题1：自由平面运动刚体的独立运动量
B
任意一点A的位置
y
A
基点
固结于刚体的射线AB相对于某线(x轴)的角度
x
基线
姿态角 o
运动描述
xA f1(t) yA f2 (t)
讨论：以下情况刚体做何运动？
f (t) 1. 为常数
刚体作平动
2. (xA,yA) 为常
解：（1）求杆AB的角速度 以点C为基点，
vB vC vBC
vC Or
v C v B s in
AB
AB
vB AB
2rO
/(
3R)
A
vBC vB cos
D
B
vC
vBC
vB
BC
C vC
Or
0
BC r O ( 3l)
（2）求点D的速度
以点C为基点
B
vB
（a）
（b）
问题：某瞬时瞬心是否唯一？
（c）
（d）
瞬时的时角平速动度——1平6 面图形在。该瞬
问题：拐弯时两个前轮的转角是否相同?
理论力学第三章平面一般力系
再研究轮
mO(F)0
SAco R sM 0
X0
XOSAs in0
Y0 SAco sYO0
MPRXOPtg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
23
由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统——桁架
§3-7 平面简单桁架的内力分析
24
工程中的桁架结构
25
工程中的桁架结构
26
工程中的桁架结构
18
[例]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移 谐调条件来求解。
19
二、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
20
物系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 有n个物体）
平面力偶系的平衡方程
X 0
Y 0
mi 0
四、静定与静不定
独立方程数 ≧未知力数目—为静定
独立方程数 < 未知力数目—为静不定 五、物系平衡
物系平衡时，物系中每个构件都平衡， 解物系问题的方法常是：由整体 局部
单体
39
六、解题步骤与技巧
解题步骤
解题技巧
①选研究对象
① 选坐标轴最好是未知力 投影轴；
解： 研究整体 画受力图 选坐标列方程
m B 0 , Y A 2 .5 P 1 .2 0
Y0 YAR Bq a P 0
R B q 2 m a a 2 P 2 2 0 0 .8 0 1 .8 2 6 2 1 0 ( k 2 )N Y A P q R B a 2 2 0 0 . 0 8 1 2 2 ( k 4 )N 17
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3
2g 4l
,
FA
FB
3 8
mg
16
思考题：已知均质杆AB上的A点以匀速 u 铅垂运动，均质圆 盘在地面上纯滚动。试确定当系统运动到图示位置时，地面 作用在圆盘上的摩擦力的方向。（选择：A或B）
u
情况1 A
u
情况2 A
F
B
F
B
A：水平向右
B：水平向左
17
思考题：已知均质杆AB上的A点以匀速 u 铅垂运动，均质圆 盘在地面上纯滚动。试确定当系统运动到图示位置时，滑块 A的哪一侧与墙面接触。（选择：A或B）
杆长为l，质量为m。求：此瞬时AB杆的角加速度,
地面约束力, 绳的拉力。
解：受力分析和运动分析
y Ca
O FB
aB
B
FA CaC mg
A
450
aA 0 x
应用刚体平面运动微分方程
macx FB
1m12 amcly2
FA mg (FA FB
)
l 2
sin
450
acx
acy
l
2
sin
450
Planar Motion of a Rigid Body)
设：刚体具有 质量对
z
(xM , yM , zM )
称面 S，此平面在某一
固定平面内运动，作用
o
y
在刚体上的力系可简化
为S平面内的一个平面 x
力系。
M S
问题：用什么方法建立刚体的平面运动与力之间的关系？
12
§3-2、刚体定轴转动与平面运动微分方程
xc'
l2 f 12 xc'
g
sin
xc' 2
第三阶段：平面运动（脱离）
0
tan 1
1 4
,
0
3g l
sin
0
xc' 0
l 6
,
xc' 0
0
杆绕质心以恒定角速度转动
26
三个阶段杆的角速度和角加速度随 的变化规律
l 1.0m
/ rad • s-2 / rad • s-1
/ rad 分离时杆质心C到O点的距离为：0.204 m
用在BAB上的力偶矩M 。 A
A. 与图示同向 B.与图示反向 C.大小为零
B
Ca
FBx
aB
D
αBC
aDx
M
aD
A BC 0 C
αC
aC 2.对杆BC和圆
盘:用动量定理
aC
F
F
1.对圆盘:用相对 质心的动量矩定理
3.对杆AB:用相对定点的动量 矩定理
30
例：图示偏心圆盘在水平面上纯滚动，已知偏心圆
u
情况1 A
u
情况2 A
F
B
A：滑块左侧
F
B
B：滑块右侧
18
例：均质细杆AB初始静止，A端铅垂吊起，B端放在光 滑的水平面上。确定当绳索被剪断后的瞬时，杆上哪 点加速度最小（大）。
解： 受力分析和运动分析
0
A
水平方向外力为零， 水平方向动量守恒
C
magC P1
Ca
B
FB
aB
C点加速度铅垂， B点加速度水平
§3-2、刚体定轴转动与平面运动微分方程
定轴转动刚体在工程中的应用
1
§3-2、刚体定轴转动与平面运动微分方程
平面运动刚体在工程中的应用
2
§3-2、刚体定轴转动与平面运动微分方程
一、刚体定轴转动微分方程(Differential Equation
of Rotation about a Fixed Axis of a Rigid Body)
(1) :0 0.0rad,0 0.0rad/s,(2) :0 0.001rad,0 0.0rad/s, 非周期运动Βιβλιοθήκη / radt/s7
确定性动力系统 1 mL2 c k 1 mgLsin kbcost
3
2
混沌(chaos)：确定性,非线性动力系统中出现的貌似随机
的运动过程。是非线性动力系统内在随机性的外在表现。
问题：如何求约束力？
O
FA
A
FB
B
mg
解：研究杆，受力与运动分析
JO
d 2
dt 2
n
M O (Fi )
i1
JO
1 12
m(2L)2
m(R2
L2 )
MO mg R2 L2 sin
10 mL2 mg 3Lsin
3
3 3g sin 0
10L
11
§3-2、刚体定轴转动与平面运动微分方程
二、刚体平面运动微分方程(Differential Equation of
A. 方向水平向右
B. 方向水平向左
o
A
C. 方向无法确定
D.大小为零
21
例：均质杆AB长l，1/3放在固定的箱子上，两者的静
(动)摩擦因数为0.5。求：杆开始滑动时与水平线的夹 角，以及杆在运动过程中的角速度和角加速度。(不 计杆的宽度)
问题：运动分几个阶段？
A
C
O
B 第一阶段：定轴转动 （1个自由度）
e(g R2 ) 2 e2 R2
31
RCFI
方法二：LrA MA(F (e) ) rAC (maA)
aA R 2 FI ma A
O
aA
e
mg
A
F
m(e2 2 R2 ) mge ma Ae
e(g R2 ) 2 e2 R2
FN
方法三： T2 T1 W12 (mg )
Rm
O
Jo
1 2
mR2 ,
2R 2
平行轴定理：
Joz Jcz md 2
m
O
b
a
Jo
1 12
m(a2
b2 ),
3(a2 b2 ) 6
oz // cz
zC过刚体质心
4
例：均质杆OA长L，质量为m，阻力系数为c，扭簧刚
度系数为k，OABC时弹簧无变形，已知BC杆的转
动： b cost 。求：OA杆的运动微分方程。
Fx mac
Fi(e)
x: y:
mac Fx Ff 0 FN mg Fy
Ff
dLrC
dt
n i 1
MC (Fi(e) )
1 mR2
2
M Ff R
2(M Fx 3mR2
R)
,
aC
2(
M Fx 3mR
R)
,
Ff
2M 3R
1 3
Fx
Ff 的方向
15
例：图示系统初始静止，A处光滑，OB水平。均质
27
例:系统如图所示， A
y
均质杆AB长L,由静
A
止0 30o开始运动,
求脱离墙壁时的
和地面的约束力(不
0 C
mg
FA
B
C
B
计摩擦)
mg x
解：取杆为研究对象，受力分析和运动分析
FB
应用刚体平面运动微分方程
mxc FA
myc
FB
mg
J
c
1 2
(FB
sin
FA
cos )
xc
yc
L
2 L
3
2
m 3kg,L 1m,k 14.0Nm/rad,b 0.02rad,c 1.3Nms/rad
(1) :0 0.0rad,0 0.0rad/s,(2) :0 1.0rad,0 0.0rad/s,
/ rad
周期运动
t/s
6
m 3kg,L 1m,k 14.0Nm/rad,b 0.02rad,c 0.65Nms/rad
P1 点加速度最小
A 点加速度最大
19
思考题：质量为m半径为R 的均质圆盘在倾角为θ 的固定
斜面上纯滚动，其上作用一主动力偶M， 试定性分析作用 在圆盘上的摩擦力的方向。
M
θ
A：摩擦力沿斜面向下
B：摩擦力沿斜面向上
C：摩擦力的方向不能确定 （条件不充分）
20
例：质量为m，半径为r的均质刚性圆盘在水平面上 纯滚动, 其边缘固连一质量为m的质点A。 初始时OA 在同一水平线上，系统无初速度释放 ，则该瞬时地 面作用在圆盘上的摩擦力：
1 mgLcos
2
2 3g ( 3 2cos ) 3g sin
2l
2l
FA
3 4
mg
sin
(3 cos
3)
3 FB mg 4 mg(1
3 cos 3cos2 )
29
例：机构在铅垂面内运动，均质杆AB、BC各处铰接，
均质圆盘纯滚动。AB杆匀速转动，其上作用一力偶M。
则图示瞬时(AB铅垂)，地面对圆盘的摩擦力 ，作
cos
Jc FN xc ' xc '为质心的坐标
y'
x' F fFN
A aen ak
OC
aet
ar B
x'
ac acx' acy' aet aen ar ak
acx' acy'
ar aen aet ak
x(c' xc' x c '2x2c' )
(l
2
12xc2 ) 12gxc cos 24xc
庞加莱(Poincaré):小误差带来大灾难,«Science and Method»
洛伦茨(E. N. Lorenz): 1961 0.506127和0.506