2.2.3 运用乘法公式进行计算
乘法公式解释
乘法公式解释
乘法公式是数学中用来计算两个数相乘的规则。
在基本的乘法公式中，我们将一个数称为被乘数，另一个数称为乘数，它们的乘积就是结果。
乘法公式可以表示为：被乘数×乘数 = 积
例如，如果我们要计算2乘以3的结果，根据乘法公式，我们可以将2作为被乘数，3作为乘数，然后将它们相乘得到6。
所以，2 ×3 = 6。
乘法公式还有一些特殊的形式，如平方、立方和乘方等。
平方表示一个数乘以自己，立方表示一个数乘以自己再乘一次，而乘方表示一个数连续乘以自己多次。
乘法公式在解决实际问题时非常常用，比如计算长方形的面积、计算商品的总价等等。
通过灵活运用乘法公式，我们可以简化计算，提高效率。
初中数学乘法公式的应用技巧
初中数学乘法公式的应用技巧乘法公式是数学中非常重要的概念，广泛应用于初中数学的各个领域。
学好乘法公式的应用技巧，可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。
下面是一些乘法公式的应用技巧，希望能帮助到你：1.乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c乘法分配律是一个非常重要的乘法公式，可以用来化简复杂的乘法运算。
例如：2×(3+4)=2×3+2×4=6+8=142.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法结合律可以用于改变乘法的顺序，将三个数相乘的顺序进行调整。
例如：(2×3)×4=6×4=242×(3×4)=2×12=243.乘法交换律：a×b=b×a乘法交换律可以用于改变乘法运算的顺序，可以使计算更加简单。
例如：3×4=4×3=124.乘法的分解当我们遇到较大的乘法运算时，可以通过乘法的分解来进行化简计算。
例如：24×5=(20+4)×5=20×5+4×5=100+20=1205.乘法计算中的零任何数乘以零都等于零。
这是乘法的一个特性，可以帮助我们快速计算结果。
例如：5×0=06.乘法计算中的一任何数乘以一都等于这个数本身。
这是乘法的一个特性，也可以用来快速计算结果。
例如：5×1=57.乘法计算中的十的幂当一个数乘以十的幂时，可以通过将这个数字向左移动相应的位数来进行计算。
5×10=507×100=7008.乘法计算中的双位数当计算两个双位数相乘时，可以通过将每个位置上的数相乘，再进行求和来进行计算。
例如：23×45=(20+3)×(40+5)=(20×40)+(20×5)+(3×40)+(3×5)=920+10 0+120+15=1155。
最全乘法计算公式
最全乘法计算公式乘法是数学中的一种基本运算，用于计算两个或多个数的乘积。
乘法运算可用多种公式表示，下面将详细介绍最常见的乘法计算公式。
1.基础乘法公式：基础乘法公式用于计算两个整数的乘积。
设a和b是两个整数，则它们的乘积可以表示为：a×b=c其中，c是乘积的结果。
2.同底数幂相乘：当两个数的底数相同时，它们的幂相乘可以简化为将底数保持不变，指数相加。
设a是底数，m和n是指数，则有：a^m×a^n=a^(m+n)3.不同底数幂相乘：当两个不同底数的幂相乘时，它们需要保持底数不变，指数相加无法简化。
设a和b是底数，m和n是指数，则有：a^m × b^n = ab^(m+n)4.多个同底数幂相乘：当有多个同底数的幂相乘时，可以将它们的指数相加，再将结果的乘积放在底数下面。
设a是底数，m1、m2、..、mn是依次的指数，则有：a^m1 × a^m2 × ... × a^mn = a^(m1 + m2 + ... + mn)5.乘法交换法则：乘法交换法则可以将乘法运算顺序进行重新排列，不会改变最终的结果。
设a和b是两个数，则有：a×b=b×a6.乘法结合律：乘法结合律可以用于多个数相乘的情况下，任意改变计算顺序也不会改变最终结果。
设a、b和c是三个数，则有：(a×b)×c=a×(b×c)7.分配律：分配律可以用于将一个数与多个数的和相乘的情况下，可以先将该数分别与每个数相乘，再将结果相加。
设a、b和c是三个数，则有：a×(b+c)=a×b+a×c8.乘法逆元：乘法逆元指的是使得两个数相乘结果为1的数。
对于实数，乘法逆元可以用倒数（分数的分母变为对应的分子）来表示。
设a和b是两个数，则有：a×b=1(其中a和b互为乘法逆元)9.乘法法则：乘法法则用于计算多个数相乘的情况。
2.2.3运用乘法公式进行计算
=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2
多 项 式 与 多 项 式 相 乘
说一说：
作业：
• 课作:第50页A组3，4题。
• 家作：第50页B组5，8,9题。
[
]
[
]
A.9
B.11
C.23
D.1
填空 1. (x1)2(x+1)2(x2+1)2=________． 解答题 2. 解方程 3(x1)23x(x5)=21
乘法公式的选择
多项式乘以多项式 各项的绝对值相同
乘法公式同或相反
乘法公式的使用
例 计算： (2x+y-z+5)(2x-y+z+5)． =[(2x+5) +(y-z)] [(2x+5) -(y-z)]
例4 计算：(a+b+c)2
例5、一个正方形花圃的边长增加到原来的2倍还多1m,它的面 积就增加到原来的4倍还多21m2，求这个正方形花圃原来的边 长？
练习：第49页1，2，3题
单选 1. │5x2y│· │2y5x│的结果是 [ ] A.(5x2y)2 B.(5x2y)2 C.(2y5x)2 D.(5x)(2y)2 2. 已知 x+y=10, xy=24,则x2+y2的值是 [ ] A.52 B.148 C.58 D.76 3. 若ab=2 , ac=1 则(2abc)2+(ca)2的值是 A.9 B.10 C.2 D.1 4. 已知(a+b)2=11, (ab)2=7则2ab为 [ ] A.2 B.1 C.1 D.2
运用乘法公式进行计算
基本知识
乘法公式知识讲解
乘法公式知识讲解乘法公式是指在数学中用于求解乘法运算的规则。
它们是数学中最基本也是最重要的公式之一，常用于求解各种复杂的乘法运算，可以大大简化计算过程。
在这篇文章中，我将详细介绍乘法公式的相关知识，并为大家提供一些实例来帮助理解。
首先，我们来讨论最基本的乘法公式，即两个数的乘法。
设有两个数a和b，它们的乘积可以表示为a × b或ab。
在乘法中，我们通常使用乘号（×）或圆点（·）来表示乘法运算。
下面是一些常见的乘法公式：1.乘法交换律：a×b=b×a乘法交换律表示，两个数相乘的结果与两个数的顺序无关。
例如，3×4=4×3=122.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法结合律表示，三个数相乘的结果与它们的运算顺序无关。
例如，(2×3)×4=2×(3×4)=243.数值相同的乘法：a×a=a^2数值相同的乘法表示，一个数与其自身相乘的结果可以用该数的平方来表示。
例如，4×4=4^2=16接下来，我们将进一步讨论乘法公式的应用。
1.乘法分配律：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)乘法分配律是乘法中的一个重要规则。
它表示一个数乘以两个数的和等于该数分别乘以这两个数后的和。
例如，2×(3+4)=(2×3)+(2×4)=142.幂与乘法：a^m×a^n=a^(m+n)幂与乘法表示，两个具有相同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
例如，2^3×2^4=2^(3+4)=2^7=1283.倒数乘法：a×(1/a)=1倒数乘法表示一个数与其倒数相乘的结果等于1、例如，5×(1/5)=14.零乘法：a×0=0零乘法表示任何数与0相乘的结果都是0。
湘教版七年级数学下册2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算说课稿
湘教版七年级数学下册2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算说课稿一. 教材分析湘教版七年级数学下册2.2节主要介绍了乘法公式2.2.3及其应用。
这部分内容是学生学习代数的基础知识，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
本节课的内容包括平方差公式、完全平方公式等乘法公式的理解和运用。
通过这些公式的学习，学生可以更好地理解和掌握代数的基本运算规律。
二. 学情分析在七年级的学生中，他们对乘法公式的理解和运用程度各不相同。
有的学生可能已经掌握了乘法公式的基本运用，而有的学生可能还对乘法公式的理解不够深入。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的个体差异，针对不同程度的学生进行有针对性的教学。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解平方差公式、完全平方公式的含义，并能够熟练运用这些公式进行计算。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生解决问题的能力和团队合作的精神。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式、完全平方公式的理解和运用。
2.教学难点：如何引导学生理解和掌握乘法公式的运用规律，以及如何解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生主动思考和探索，通过实例分析和小组讨论，培养学生的动手能力和团队协作能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学辅助工具，帮助学生直观地理解乘法公式的含义和运用。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对乘法公式的思考，激发他们的学习兴趣。
2.知识讲解：讲解平方差公式、完全平方公式的含义和运用方法，通过例题展示公式的应用过程。
3.实践操作：学生分组进行练习，运用乘法公式进行计算，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.总结提升：引导学生总结乘法公式的运用规律，培养他们的逻辑思维能力。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调乘法公式的理解和运用。
中山市七中七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算课件新版湘教版3
学习目标
（1）会利用合并同类项的方法解一元一次方程，体 会等式变形中的化归思想.
（2）能够从实际问题中列出一元一次方程，进一步 体会方程模型思想的作用及应用价值.
推进新课 知识点1 合并同类项
数学小资料
约公元820年 , 中亚细亚数学家阿尔-花拉子米 写了一本代数书 , 重点论述怎样解方程.这本书的 拉丁文译本取名为【対消与还原]. 〞対消”与〞 还原”是什么意思呢 ？
探究新知
〔1〕(x+1)(x2+1)(x-1); 〔2〕(x+y+1)(x+y-1).
你能用简单的方法计算上面的式子吗？
(x + y + 1)(x + y-1) =[(x + y) + 1][(x + y)-1] = (x + y)2-1 = x2 + 2xy + y2-1
把 x+y 看做一个整体
运用乘法公式计算 : ( a + b + c )2 . 解: ( a + b + c )2
= [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2c(a + b) + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 遇到多项式的乘法时 , 我们要先观察式子的特征 , 看 能否运用乘法公式 , 以到达简化运算的目的.
第一个数为x , 第二个数为 x
9
方程 x xx1701
3
93
七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式教学课件新版湘教版
3.计算： （1）202×198；
（2）49.8×50.2.
答案：（1）39996；（2）2499.96.
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴 交流。
2.2.2 完全平方公式
思考
计算下列各式，你能发现什么规律： ( a+1 )2=( a+1 )( a+1 )=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12， ( a+2 )2=( a+2 )( a+2 )=a2+2a+2a+22=a2+2·a·2+22， ( a+3 )2=( a+3 )( a+3 )=a2+3a+3a+32=a2+2·a·3+32， ( a+4 )2=( a+4 )( a+4 )=a2+4a+4a+42=a2+2·a·4+42. 我们用多项式乘法来推导一般情况： ( a+b )2=( a+b )=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
（2）1982.
解：（1）1042=( 100+4 )2 （2）1982=( 200-2 )2
= 1002+2×100×4+42
= 2002-2×200×2+22
= 10000+800+16
= 40000-800+16
= 10816.
= 39204.
练习
1.运用完全平方公式计算： （1）( -2a+3 )2； （3）( -x2-4y )2；
第二章 平方差公式
2.2.1平方差公式授课类型 : 新授课备课人：一、教学目标（一）知识与技能：能根据特殊形式的多项式相乘，推导出平方差公式，了解公式的几何背景，并能进行简单的计算．（二）过程与方法：经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．探究平方差公式的特点，熟练地应用于多项式乘法之中．（三）情感态度与价值观：通过合作学习，体会在解决具体问题的过程中与他人合作的重要性，体验数学活动充满着探索性和创造性．二、教学重难点（一）重点：掌握平方差公式的结构特征，理解公式中字母的含义，并能正确地运用公式．（二）难点：掌握平方差公式的结构特征，理解公式中字母的含义，并能正确地运用公式．三、教学过程（一）情景导入计算：(1)(x＋2)(x－2)； (2)(1＋3a)(1－3a)；(3)(x＋5y)(x－5y)；(4)(y＋3z)(y－3z)．（二）探究新知【探究】平方差公式问题1：做完活动一中的计算题之后，观察以上算式及运算结果，你能发现什么规律？再举两个例子验证你的发现．问题2：这是一类特殊的多项式相乘，那么如何用字母来表示刚才同学所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢？问题3：你能用自己的语言叙述你发现的规律吗？能用符号语言叙述吗？你能指出公式左边式子的特征吗？公式右边式子的特征又是什么？归纳总结：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．思考：你能寻求一种或多种平方差公式的几何解释吗？(教师课件展示) 1．观察图2－2－2中图形的变化过程，计算图中空白图形的面积，说出它能验证的公式．图2－2－22．利用图2－2－3亦可解释平方差公式(教师注意点拨)．图2－2－3（三）运用新知例1 运用平方差公式计算：(1)(2x ＋1)(2x －1)；(2)(x ＋2y)(x －2y)．例2 运用平方差公式计算：(1)⎝⎛⎭⎪⎫－2x －12y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋12y ；(2)(4a ＋b)(－b ＋4a)． 例3 计算：1002×998.例4 计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34y ＋212x ⎝ ⎛⎭⎪⎫212x －34y ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x －0.7a 2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫56x －0.7a 2b ； (3)(2a －3b)(2a ＋3b)(4a 2＋9b 2)(16a 4＋81b 4)．教师活动：边讲例题边引导学生学会应用平方差公式．例5 (1)计算：(a －b)(a ＋b)(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)；(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142×…×⎝⎛⎭⎪⎫1－1102. 归纳总结平方差公式的结构特征：左边相乘的两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数，右边是完全相同的项的平方减去互为相反数的项的平方．（四）对照练习1．用平方差公式计算：(1)(－9x －2y)(－9x ＋2y)；(2)(－0.5y ＋0.3x)(0.5y ＋0.3x)；(3)(8a 2b －1)(1＋8a 2b)；(4)20082－2009×2007.2．计算：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －(3a －2b)(3a ＋2b)． 3．计算：(1)105×95；(2)1.97×2.03.4．计算：⎝⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128＋1215. （五）课堂小结本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是分别找出对应公式中的a 和b 的数或式；二是两数和乘这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．（六）课后作业1.课作：书本2.家作：《名校课堂》四、板书设计2.2.1 平方差公式五、教学反思2.2.2 完全平方公式（1）授课类型 : 新授课备课人：卢巧一、教学目标（一）知识与技能：能根据多项式的乘法发现规律，进一步归纳出完全平方公式，了解公式的几何意义，并能进行简单的计算．（二）过程与方法：利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义，推导出完全平方公式．掌握完全平方公式的计算方法．会正确地运用完全平方公式解决问题．（三）情感态度与价值观：培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性．二、教学重难点（一）重点：掌握完全平方公式的结构特征，理解公式中字母的含义，并能正确地运用公式．（二）难点：掌握完全平方公式的结构特征，理解公式中字母的含义，并能正确地运用公式．三、教学过程（一）情景导入自主探究：计算下列各式，你能发现什么规律？(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________；(2)(m＋2)2＝________＝________；(3)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝________；(4)(m－2)2＝________＝________；(5)(a＋b)2＝________＝________；(6)(a－b)2＝________＝________．（二）探究新知【探究1】完全平方公式根据活动一中的内容，进一步深入提问：问题1：通过观察活动一中等式的左边，你发现有什么共同点？问题2：计算结果中的代数式又有什么特点？问题3：能把你发现的规律用语句总结出来吗？能用公式表示出来吗？问题4：你能利用你发现的规律直接写出下列运算的结果吗？计算：(1)(2x－3)2；(2)(x＋y)2；(3)(m＋2n)2；(4)(2x－4)2.归纳总结：完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.语言叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍．【探究2】 完全平方公式的几何解释为了让学生直观地理解公式，可做下面的拼图游戏．拼图游戏：现有图2－2－9①所示的三种规格的硬纸片各若干张，请你根据二次三项式a 2＋2ab ＋b 2，选取相应种类和数量的硬纸片，拼出一个正方形，并探究所拼出的正方形的代数意义．图2－2－9思考：你能根据图②，谈一谈你对(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2的理解吗？（三）运用新知例1 运用完全平方公式计算：(1)(3m ＋n)2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122. 例2 计算：(－2x ＋5y)2.例3 已知a ，b 满足(a ＋b)2＝1，(a －b)2＝25，求a 2＋b 2＋ab 的值．（四）对照练习1.用完全平方公式计算：(1)(1＋x)2；(2)(y －4)2；(3)(x －2y)2；(4)(2xy ＋x)2.2．一个正方形的边长为a cm .若边长减少6 cm ，则这个正方形的面积减少了多少？3．下面的计算是否正确？如有错误，请改正：(1)(x ＋y)2＝x 2＋y 2；(2)(－m ＋n)2＝－m 2＋n 2；(3)(－a －1)2＝－a 2－2a －1.4．计算：(a ＋b ＋c)2.5．小兵计算一个二项式的平方时，得到正确结果是4x 2＋________＋25y 2，但中间一项不慎被污染了，这一项应是( )A ．10xyB ．20xyC ．±10xyD ．±20xy（五）课堂小结完全平方公式的结构特征：左边是两数和(或差)的平方，右边是这两数的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍；(2)公式中的字母a，b可以是数，也可以是单项式或多项式；(3)口诀记忆：首平方，尾平方，2倍之积在中央．其中，中间项的符号是由左边的“和”或“差”来确定的．（六）课后作业1.课作：书本2.家作：《名校课堂》四、板书设计2.2.2 完全平方公式（1）六、教学反思2.2.2 完全平方公式(2)授课类型 : 新授课备课人：卢巧一、教学目标（一）知识与技能：掌握完全平方公式的综合应用．会正确地运用完全平方公式解决问题．（二）过程与方法：培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性．（三）情感态度与价值观：通过复习完全平方公式，并将其推广到多个数相加、减的平方形式，会用完全平方公式解决较复杂的计算求值问题．二、教学重难点（一）重点：掌握完全平方公式的综合应用．（二）难点：掌握完全平方公式的综合应用．三、教学过程（一）情景导入(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.(2)公式口诀：首平方，尾平方，2倍乘积放中央，加减看前方，同加异减．(3)想一想：两个公式中的字母都表示什么？根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗？完全平方公式在化简计算中有哪些作用？（二）探究新知【探究1】完全平方公式的变形计算计算：(1)(x＋y)(2x＋2y)；(2)(a＋b)(－a－b)．这两道题是什么形式的多项式乘法？拿到这两道题你打算如何计算？仔细观察，还有别的方法吗？各小组同学共同分析、探究．归纳总结：有些二项式乘二项式，表面看外观结构不符合完全平方公式的特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就符合公式形式，就可以套用公式进行计算．观察到两个因式的系数有倍数关系或互为相反数是正确变形并利用公式的前提条件．【探究2】完全平方公式的变形推广计算：(1)(a＋b＋1)2；(2)(a＋b＋c)2.问题1：如何计算这两道题？能直接套用完全平方公式吗？如果不能直接套用，理由是什么？问题2：你有办法将这两道题化为完全平方公式的形式吗？这样处理的数学思想是什么？按你的处理方法做一做．归纳总结：完全平方公式也可推广到多个数的和与差的平方．解此类题常利用添括号法则适当变形，把三项看做两项处理．（三）运用新知例1 运用完全平方公式计算：(1)(－x ＋1)2；(2)(－2x －3)2.例2 计算：(1)(a ＋b)2－(a －b)2；(2)(a ＋b ＋1)2.例3 计算：(1)1042；(2)1982.例4 计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫601602；(2)(2a ＋3b －c)2；(3)20152－4030×2016＋20162. 例5 已知x ＋1x ＝a ，求x 2＋1x 2的值． （四）对照练习1．运用完全平方公式计算：(1)1022；(2)992.2．已知a ＋b ＝－6，ab ＝8，求：(1)a 2＋b 2；(2)(a －b)2.3．已知(7a ＋A)2＝49a 2－14ab 2＋B ，则A ＝________，B ＝________．4．用乘法公式计算：(1)9992；(2)20022－4004×2003＋20032.（五）课堂小结1.本节课你学到怎样变形才能利用完全平方公式进行计算了吗？（六）课后作业1.课作：书本2.家作：《名校课堂》四、板书设计2.2.2 完全平方公式(2)五、教学反思2.2.3 运用乘法公式进行计算授课类型 : 新授课备课人：卢巧一、教学目标（一）知识与技能：会用乘法公式进行计算．会正确运用乘法公式解决问题．（二）过程与方法：在运用乘法公式进行计算的过程中，会出现多种算法，也会出现各种错误，体会算法的多样性．（三）情感态度与价值观：培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性．二、教学重难点（一）重点：灵活运用乘法公式进行计算．（二）难点：灵活运用乘法公式进行计算．三、教学过程（一）情景导入上节课我们学过计算(a＋b＋c)2，其方法是通过添加括号，运用整体思想，两次应用完全平方公式计算，你能运用上节课的思路计算(a＋b＋c)(a －b－c)吗？（二）探究新知【探究1】灵活运用乘法公式进行计算情境：运用乘法公式计算：(1)[(a＋3)(a－3)]2；(2)(a－b＋c)(a＋b－c)．问题1：第(1)题中的中括号内是两数的和与差的积的形式，能直接套用完全平方公式把它展开吗？问题2：如果不能直接套用完全平方公式，该如何转化？你是从哪一方面观察，找到转化的方法的？各小组根据分析完成解答过程，选代表到指定位置展示小组解题过程．问题3：第(2)题能不能直接套用完全平方公式展开呢？是否符合平方差公式的形式呢？平方差公式是两数和乘两数差，能不能通过添加括号，运用整体思想将其转化为平方差公式的形式呢？试一试．各小组尝试添括号，化成两数和与两数差的积的形式．归纳总结：灵活运用乘法公式化简求值是考试中最常见的题型，一般地，化简的过程不唯一，甚至有时既可以用平方差公式，也可以用完全平方公式化简．【探究2】乘法公式在解方程中的应用问题：方程(x＋2)(x－2)－x(x－1)＝5是一元一次方程吗？如何才能判定？你能求解这个方程吗？归纳总结：对一些形式比较复杂的方程题，可事先运用整式的乘法或乘法公式，先将其化简为我们已学过的方程模型之后，再求解．（三）运用新知例1 运用乘法公式计算：(1)[(a＋3)(a－3)]2；(2)(a－b＋c)(a＋b－c)．例2 一个正方形花圃的边长增加到原来的2倍还多1 m，它的面积就增加到原来的4倍还多21 m2，求这个正方形花圃原来的边长．例3 试说明：(m－9)2－(m＋5)2是28的倍数，其中m为整数．例4 若一个自然数a恰等于另一自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数(如64＝82，64就是一个完全平方数)．若a＝19952＋19952·19962＋19962.试说明：a是一个完全平方数．（四）对照练习1．填空：(1)(x＋1)2(x－1)2＝________；(2)(x＋1)(x－1)(x2－1)＝________．2．解方程：(x2－2)(－x2＋2)＝(2x－x2)(2x＋x2)＋4x.3．为了扩大绿化面积，将一个正方形花坛的边长增加3米，则它的面积就增加39平方米，求这个正方形花坛的边长．（五）课堂小结回顾一下我们学过些什么样的乘法公式，并表示出来.（六）课后作业1.课作：书本2.家作：《名校课堂》四、板书设计2.2.3 运用乘法公式进行计算五、教学反思第二章整式的乘法小结与复习一、教学目标通过回顾本章的主要内容，学生经过思考与交流，梳理本章所学知识，加深对本章学习内容的理解，形成知识体系，同时提高学生的归纳、概括能力。
七年级数学下册《乘法公式的综合运用》教案、教学设计
5.教师及时批改作业，了解学生的学习情况，为下一步教学提供依据。
d.总结：引导学生总结乘法公式的特点、应用规律和注意事项。
e.作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识。
4.教学评价：
a.过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思考问题和解决问题的能力。
b.终结性评价：通过课后作业和阶段测试，评价学生对乘法公式的掌握程度。
c.个性化评价：针对学生的个体差异，给予有针对性的指导和鼓励。
2.完全平方公式：继续采用具体数字，让学生观察并归纳出完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²。同时，引导学生了解完全平方公式的变式，如a² - 2ab + b² = (a - b)²。
3.公式的推导与应用：通过几何图形、实际例题等方式，讲解乘法公式的推导过程和应用方法，让学生理解乘法公式的实际意义。
2.情境导入：展示一个与学生生活相关的实际问题，如计算一个正方形与一个长方形的面积差，引发学生思考如何简化计算过程，从而引出乘法公式的学习。
（二）讲授新知
1.平方差公式：以具体的数字为例，引导学生观察并发现两个数的平方差与这两个数的和与差之间的关系。通过实际计算，总结出平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)。
七年级数学下册《乘法公式的综合运用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握乘法公式的综合运用，包括平方差公式、完全平方公式以及它们的变式。
2.培养学生运用乘法公式进行简便计算的能力，提高运算速度和准确性。
3.通过对乘法公式的运用，使学生能够解决一些实际问题，如面积计算、速度问题等。
2.2.3运用乘法公式进行计算
四、课堂小结：
▪ 1、利用乘法公式可以使多项式的计算更为 简便，但必须注意正确选择乘法公式。
▪ 2、运用乘法公式进行运算，关键是要把握 公式 的特征，灵活选用公式.
五、拓展延伸：
▪ 1、若 x2 + 2xy + y2 - a(x + y) + 25
是完全平方式，求a的值.
▪ 2、已知a=2014x+2013, b=2014x+2014, c=2014x+2015,;b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差。
2、完全平方公式
▪ (a+b)²= a²+2ab+ b2 ▪ (a-b)²= a²-2ab+ b²
公式中字母a、b可以表示数、单项式、多项式。
二、自主学习
▪ 运用乘法公式进行计算：
▪ （1） a ba b
▪ （2）x 1(x2 1)(x 1)
▪ （3） (x y 1)(x y 1)
三、例题精讲
▪ 例1 运用乘法公式计算：
▪ （1）[(a + 3)(a - 3)]2
▪ （2）(a-b+c)(a+b-c). 练习：P49 1题
做一做：
▪ 三个数的和的平方公式：
▪ (a b c)2
求多项式a2 b2 c2 ab ac bc
的值
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)²= a²+2ab+ b²
1.(a b)2 (a b)2 ______(a_-_b)_²=. a²-2ab+ b² 2.若4x2 4x m是一个完全平方式， 则m _________ . 3.若9x2 mx 4是一个完全平方式， 则m _________ . 4.若16x2 40x m2 是一个完全平方式， 则m _________ . 5.若4x2 nx 1是一个和的完全平方式， 则n _________ .
乘法公式的基础与拓展应用
乘法公式的基础与拓展应用乘法公式是数学中常用的计算工具，它包含了一系列基础与拓展应用。
基础乘法公式常用于计算两个数之间的乘积。
它们包括：1.乘法交换律：a×b=b×a。
这意味着两个数的乘积与它们的顺序无关。
2.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。
这意味着无论是先将前两个数相乘然后与第三个数再相乘，还是先将后两个数相乘然后与第一个数再相乘，得到的结果都是相同的。
3.分配律：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)。
这意味着将一个数与两个数的和相乘，等于将这个数分别与两个数相乘得到的结果再相加。
基础乘法公式还可以进行简化，例如：1. 平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²。
这意味着一个数的平方可以通过将该数与自身相乘得到。
2. 立方公式：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³。
这意味着一个数的立方可以通过将该数与自身的平方相乘得到。
乘法公式还可以应用于解决实际问题，例如：1.面积计算：通过乘法公式可以计算出各种形状的面积。
例如，长方形的面积可以通过将长与宽相乘得到；圆的面积可以通过将π与半径的平方相乘得到。
2.体积计算：通过乘法公式可以计算出各种形状的体积。
例如，长方体的体积可以通过将长、宽和高相乘得到；圆柱体的体积可以通过将π、半径的平方和高相乘得到。
拓展应用方面，乘法公式也可以用于解决一些更复杂的问题。
例如：1.组合问题：组合问题是指从一个集合中选取若干个元素组成一个子集的问题。
乘法公式可以应用于计算组合问题的总数。
如果一些集合有n个元素，需要选取r个元素组成子集，那么组合问题的总数可以通过计算n!/(r!(n-r)!）得到，其中"!"表示阶乘。
2.概率问题：概率问题是指计算一些事件发生的可能性的问题。
乘法公式的常用方法和技巧
乘法公式的常用方法和技巧乘法公式是数学中常用的计算技巧之一，它能够简化乘法运算，提高计算效率。
本文将介绍乘法公式的常用方法和技巧，帮助读者掌握乘法运算的技巧，提高计算速度。
一、乘法的基本规律乘法的基本规律是：两个数相乘，积不变。
即a×b=b×a。
二、乘法的交换律乘法的交换律是：两个数相乘，乘积不变。
即(a×b)×c=a×(b×c)。
三、乘法的结合律乘法的结合律是：三个数相乘，不论先乘哪两个结果都相同。
即(a×b)×c=a×(b×c)。
四、乘法的分配律1.乘法对加法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。
例如：2×(3+4)=2×3+2×4=142.乘法对减法的分配律：a×(b-c)=a×b-a×c。
例如：2×(4-3)=2×4-2×3=2五、乘法的特殊情况1.任何数与0相乘，结果都为0。
即a×0=0。
2.任何数与1相乘，结果都等于该数本身。
即a×1=a。
3.一个数与-1相乘，结果的符号相反。
即a×(-1)=-a。
4.一个数与一个小数相乘，可以将小数化成分数，再进行乘法运算。
六、乘法口诀乘法口诀是一种记忆乘法结果的技巧，可以快速计算乘法。
1×1=1，1×2=2，1×3=3，1×4=4，1×5=5，1×6=6，1×7=7，1×8=8，1×9=9；2×2=4，2×3=6，2×4=8，2×5=10，2×6=12，2×7=14，2×8=16，2×9=18；3×3=9，3×4=12，3×5=15，3×6=18，3×7=21，3×8=24，3×9=27；4×4=16，4×5=20，4×6=24，4×7=28，4×8=32，4×9=36；5×5=25，5×6=30，5×7=35，5×8=40，5×9=45；6×6=36，6×7=42，6×8=48，6×9=54；7×7=49，7×8=56，7×9=63；8×8=64，8×9=72；9×9=81七、乘法运算技巧1.数字9的乘法技巧：-乘法表中，数字9的乘法结果以递减方式排列。
湘教版七年级下册数学第2章2.2.3运用乘法公式进行计算习题课件1
能力提升练
12．解方程：2x(x－1)－(x－4)(x＋4)＝(x＋2)2. 解：2x(x－1)－(x－4)(x＋4)＝2x2－2x－x2＋16＝ x2－2x＋16.(x＋2)2＝x2＋4x＋4. 故原方程可化为6x＝12. 解得x＝2.
能力提升练
13.【教材改编题】如果一个正方形的边长增加4厘米，那 么它的面积就增加40平方厘米，这个正方形的边长是 多少？ 解：设这个正方形的边长是x厘米， 由题意，得(x＋4)2－x2＝40， 解得x＝3. 答：这个正方形的边长是3厘米．
＋312n)＋1
能力提升练
＝－1－3111＋3111＋3121＋3141＋3181＋3116… 1＋312n＋1＝－1－321n＋1＋1＝－1＋321n＋1＋1 ＝321n＋1.
【答案】D
能力提升练
11．若x＋1x2＝9，则x－1x2的值为___5_____. 【点拨】因为x＋1x2＝x－1x2＋4，x＋1x2＝9， 所以x－1x2＝9－4＝5.
基础巩固练
(5)【2021·武汉洪山区校级月考】(a－2b－1)(a＋2b－1) －(a－2b＋1)2.
原式＝[(a－1)－2b][(a－1)＋2b]－[(a－2b)＋1]2 ＝(a－1)2－(2b)2－(a－2b)2－2(a－2b)－1 ＝a2－2a＋1－4b2－a2＋4ab－4b2－2a＋4b－1 ＝－4a－8b2＋4ab＋4b.
能力提升练
10．【2021·福州仓山区期末】若 …1＋312n＋1，则 A 的值是(
)
A．0
B．1
1 C.322n
1 D.32n＋1
【点拨】A＝－23(1＋311)(1＋312)(1＋314)(1＋318)(1＋3116)…(1
能力提升练
乘法公式的应用总结
乘法公式的应用总结乘法是数学中最基本的运算之一，而乘法公式则是乘法运算的一种特殊方式，可以帮助我们更高效地进行乘法运算。
在本文中，我将总结乘法公式的应用及其相关例子，以帮助读者更好地理解和运用乘法公式。
一、乘法公式的基本概念在开始介绍乘法公式的应用之前，我们先回顾一下乘法公式的基本概念。
乘法公式是指一系列用于简化乘法运算的等式或规则。
在数学中，我们常用的乘法公式有乘法交换律、结合律、分配律等。
二、乘法交换律的应用乘法交换律是指乘法运算中两个数交换位置后结果不变的性质。
利用乘法交换律，我们可以在乘法运算中灵活调整因数的位置，以便更方便地进行计算。
例如，我们要计算3 × 4 × 5，根据乘法交换律，我们可以先计算3 × 5 = 15，再乘以4，即15 × 4 = 60。
这样，我们可以减少中间步骤，更快地得到最终结果。
三、乘法结合律的应用乘法结合律是指，当三个数相乘时，无论我们先将前两个数相乘，还是后两个数相乘，最后的结果都是相同的。
这个性质可以在多个因数相乘的情况下更好地帮助我们进行计算。
例如，我们要计算2 × 3 × 4，根据乘法结合律，我们可以先计算3× 4 = 12，再乘以2，即2 × 12 = 24。
或者，我们也可以先计算2 × 3 = 6，再乘以4，即6 ×4 = 24。
无论我们是先乘3和4，还是先乘2和3，最后都能得到相同的结果。
四、乘法分配律的应用乘法分配律是指在乘法运算中，一个数和两个数的和相乘等于这个数分别和两个数相乘后的和。
利用乘法分配律，我们可以将乘法运算转化为更简单的加法和乘法运算。
例如，我们要计算2 × (3 + 4)，根据乘法分配律，我们可以先计算3 + 4 = 7，再将2乘以7，即2 × 7 = 14。
这样，我们只需要进行一次加法和一次乘法运算，就得到了最终结果。
乘法公式方法讲解
乘法公式方法讲解一、乘法法则乘法法则是乘法的基本运算规则，包括交换律、结合律、分配律和零乘法。
1.交换律：对于两个数a和b相乘，满足交换律，即a*b=b*a。
这表明两个数相乘的结果与乘法顺序无关。
2.结合律：对于三个数a、b和c相乘，满足结合律，即(a*b)*c=a*(b*c)。
这表明多个数相乘时，可以先将其中两个数相乘，然后再与第三个数相乘，结果是一样的。
3.分配律：对于三个数a、b和c，满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。
这表明乘法对加法具有分配性质，可以先对a与b和c分别进行乘法运算，然后将两个结果相加，结果是一样的。
4.零乘法：任何数与0相乘的结果都是0，即a*0=0。
这是因为0乘以任何数都得到0。
二、乘法基本关系式乘法基本关系式是一些基本数的乘法，包括平方、立方、乘方和平方差等。
1.平方：一个数的平方指该数与自己相乘，可以表示为n²。
例如，2的平方等于2*2=42.立方：一个数的立方指该数与自己相乘两次，可以表示为n³。
例如，2的立方等于2*2*2=83.乘方：一个数的乘方指该数与自己相乘k次，可以表示为nᵏ。
例如，2的3次乘方等于2*2*2=84.平方差：两个数的平方差指两个数的平方之差，可以表示为(a+b)*(a-b)=a²-b²。
这个公式可以用来进行平方差的计算，如(a+b)*(a-b)=(a²-b²)。
三、特殊的乘法公式在乘法中，还有一些特殊的公式，如二次开方公式、差平方公式和立方差公式等。
1. 二次开方公式：对于任意实数a和b，满足(a + b)² = a² + 2ab + b²。
这个公式可以用来计算两个数的平方和。
2.差平方公式：对于任意实数a和b，满足(a+b)*(a-b)=a²-b²。
这个公式可以用来计算两个数的平方差。
3. 立方差公式：对于任意实数a和b，满足(a + b) * (a² - ab +b²) = a³ + b³。
excel表格中的乘法公式操作方法
在Excel表格中，乘法公式是一种非常常见且实用的操作方法。
通过使用乘法公式，用户可以在Excel表格中进行数值的相乘运算，并得到准确的结果。
在本文中，我将深入探讨Excel表格中的乘法公式操作方法，以及其在实际工作和生活中的应用。
一、基本操作方法1.1 输入公式在Excel表格中，进行乘法运算的最基本方式是通过使用“*”符号。
当用户需要计算两个单元格中的数值相乘时，只需在目标单元格中输入“=A1*B1”（A1和B1分别为要相乘的两个单元格），然后按下回车键即可得到结果。
1.2 使用乘法函数除了直接输入“*”符号进行乘法运算外，用户还可以通过使用乘法函数来实现相同的功能。
在目标单元格中输入“=MULTIPLY(A1, B1)”（A1和B1同样为要相乘的两个单元格），然后按下回车键即可完成相乘运算。
二、高级操作方法2.1 相对引用与绝对引用在进行大量乘法运算时，用户需要注意单元格引用的方式。
相对引用是指在复制公式时，单元格引用会相对移动；而绝对引用是指在复制公式时，单元格引用会保持不变。
使用$符号可以实现绝对引用，从而避免在复制公式时出现错误。
2.2 逻辑运算与乘法公式的结合在实际工作中，乘法公式经常与逻辑运算相结合。
用户可以使用IF函数进行条件判断，然后结合乘法公式对符合条件的数值进行相乘运算。
这种方法在实际数据分析和处理中非常常见，能够提高工作效率，并准确得到所需结果。
三、实际应用与个人观点在工作中，我经常使用Excel表格进行数据分析和处理。
乘法公式作为其中的重要操作方法之一，能够帮助我快速准确地完成数据计算，并得到需要的结果。
尤其是在处理大量数据时，乘法公式的灵活运用能够极大地提高我的工作效率。
总结回顾通过本文的深入探讨，我们对Excel表格中的乘法公式操作方法有了更全面、深入的了解。
我们从基本操作方法到高级操作方法进行了逐步讲解，结合实际应用和个人观点，使我们能够更灵活地运用乘法公式进行数据处理和分析。
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2．2.3 运用乘法公式进行计算
1．熟练运用乘法公式进行计算；(重点、难点)
2．通过对不同的式子采取合适的方法运算，培养学生的思维能力和解题能力．
一、情境导入
1．我们学过了哪些乘法公式？
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(2)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．怎样计算：(a＋2b－c)(a－2b＋c)．
二、合作探究
探究点：运用乘法公式进行计算
【类型一】乘法公式的综合运用
计算：
(1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)；
(2)(a＋b)2－2(a＋b)(a－b)＋(a－b)2；
(3)(x－2y＋3z)(x＋2y－3z)；
(4)(2a＋b)2(b－2a)2.
解析：(1)可添加(2－1)，与首项结合起来用平方差公式，再把结果依次与下一项运用平方差公式；
(2)逆用完全平方公式，能简化运算；
(3)两个因式都是三项式，且各项的绝对值对应相等，所以可先运用平方差公式；
(4)先利用积的乘方把原式变形为[(b＋2a)(b－2a)]2，再利用平方差公式把中括号内的多项式的乘法展开，然后再利用完全平方公式展开即可．
解：(1)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)
＝(24－1)(24＋1)…(216＋1)＝232－1；
(2)原式＝[(a＋b)－(a－b)]2＝(a＋b－a＋b)2＝4b2；
(3)原式＝[x－(2y－3z)][x＋(2y－3z)]＝x2－(2y－3z)2＝x2－(4y2－12yz＋9z2)＝x2－4y2
＋12yz－9z2；
(4)(2a＋b)2(b－2a)2＝[(b＋2a)(b－2a)]2＝(b2－4a2)2＝b4－8a2b2＋16a4.
方法总结：运用乘法公式计算时，先要分析式子的特点，找准合适的方法，能起到事半功倍的作用．同时由于减少了运算量，能提高解题的准确率．
【类型二】运用乘法公式求值
如图，立方体每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写两数之和相等．
若18的对面写的是质数a，14的对面写的是质数b，35的对面写的是质数c，试求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．
解析：先求出35与18和14的差，然后根据质数的定义判断出35的对面是2，再根据相对两个面所写两数之和相等求出a、b，然后把所求代数式相乘，分解因式后代入进行计算即可得解．
解：由质数的特点得出，除2外其他质数必为奇数，35为奇数，如果它与奇数相加必为偶数，而18与14与奇数相加必为奇数，故35不能与奇数相加，∴35的对面是最小的质数2，∴c＝2.∵相对两个面所写两数之和相等，∴a＝(35＋2)－18＝19，b＝(35＋2)－14＝23，∴2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)＝(a2－2ab＋b2)＋(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bc＋c2)＝(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝(19－23)2＋(19－2)2＋(23－2)2＝16＋289＋441＝746.∴a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝×746＝373.
方法总结：本题主要考查了完全平方公式的运用，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题，本题根据质数的定义判断出c的值是解题的关键．
已知a－b＝3，b－c＝2，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．
解析：根据已知先求出a－c的值，然后根据(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)求解．
解：因为a－b＝3，b－c＝2，所以a－c＝5.因为(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝9＋4＋25＝38，所以2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)＝38.因为a2＋b2＋c2＝1，所以2－2(ab＋bc＋ca)
＝38.所以ab＋bc＋ca＝－18.
方法总结：运用乘法公式求值，往往涉及乘法公式的变形，并把其中某部分看作一个整体，如把a2＋b2与2ab看作一个整体，利用列方程或列方程组求解．
三、板书设计
运用乘法公式进行计算
1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
2．完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
本节课学习了运用乘法公式进行计算，计算时要注意两个方面，一是正确运用公式，判断题目所给出的式子是否适用公式进行计算，运用公式时是用平方差公式还是完全平方公式；二是注意运算的准确性，运算时必须细心，注意符号及项数，避免出现错误．在教学中可采取小组竞赛的方式进行，提高学生的积极性和主动性。