高中数学教参——函数图像

第八节函数的图象[备考方向要明了]考什么怎么考1.掌握函数图象画法．2.会利用变换作函数图象．3.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．4.会用数形结合思想、转化与化归思想解决函数问题.1.由于题型的限制江苏没有单独对图象的画法进行考查，但不单独考查，并不意味基本作图的方法不用掌握．2.函数图象的考查主要是其应用如求函数的值域、单调区间，求参数的取值范围，判断非常规解的个数等，以此考查数形结合思想的运用，在每一年的江苏高考中大量存在，如2012高考T13、T18等.[归纳知识整合]1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换：y＝f(x)――――――――――→a>0，右移a个单位a<0，左移|a|个单位y＝f(x－a)；y＝f(x)――――――――――→b>0，上移b个单位b<0，下移|b|个单位y＝f(x)＋b.(2)伸缩变换：y＝f(x)―――――――――――→0<ω<1，伸长为原来的1ω倍ω>1，缩短为原来的1ωy＝f(ωx)；y＝f(x)――――――――――→A>1，伸为原来的A倍0<A<1，缩为原来的A倍y＝Af(x)．(3)对称变换：y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )―――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|. [探究] 1.函数y ＝f (x )的图象关于原点对称与函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称一致吗？提示：不一致，前者是本身的对称，而后者是两个函数图象间的对称． 2．一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称有何区别？ 提示：一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称不是一回事．函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称是自身对称，说明该函数为偶函数；而函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，是两个函数的图象对称．3．若函数y ＝f (x )的图象关于点(a,0)(a >0)对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？提示：向左平移a 个单位即可；解析式变为y ＝f (x ＋a )．[自测 牛刀小试]1．函数y ＝x |x |的图象经描点确定后的形状大致是________(填序号)．解析：y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，0，x ＝0，－x 2，x <0为奇函数，奇函数图象关于原点对称．答案：①2．函数y ＝ln(1－x )的图象大致为________．解析：y ＝ln(1－x )＝ln [－(x －1)]，其图象可由y ＝ln x 关于y 轴对称的图象向右平移一个单位得到．答案：③3．已知下图(1)中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|；③y ＝－f (|x |)；④y ＝f (－|x |)．解析：由图(1)和图(2)的关系可知，图(2)是由图(1)在y 轴左侧的部分及其关于y 轴对称图形构成的，故④符合．答案：④4．(2012·盐城调研)若y ＝f (x )是定义在R 上周期为2的周期函数，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则函数g (x )＝f (x )－log 5|x |的零点有________个．解析：分别作出函数y ＝f (x )和y ＝log 5|x |的图象，由此观察知，在y 轴右侧，有4个交点，它们的横坐标分别位于区间(1,2)、(2,3)、(3,4)之中，第四个零点恰好为5，同理在y 轴左侧，也有4个交点，故共有8个．答案：85．(2012·镇江模拟)函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x<0的解集为________．解析：利用函数f (x )的图象关于y 轴对称和余弦函数y ＝cos x 的图象可知不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2. 答案：⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2作函数的图象[例1] 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1； (3)y ＝x 2－|x |－2.[自主解答](1)首先作出y ＝lg x 的图象C 1，然后将C 1向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象C 2，再把C 2在x 轴下方的图象作关于x 轴对称的图象，即为所求图象C 3：y ＝|lg(x －1)|.如图(1)所示(实线部分)．(2)y ＝2x ＋1－1的图象可由y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得y ＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图(2)所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2 (x ≥0)x 2＋x －2 (x <0)，其图象如图(3)所示．———————————————————画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.——————————————————————————————————————1．分别画出下列函数的图象． (1)y ＝|x 2－4x ＋3|；(2)y ＝2x ＋1x ＋1；(3)y ＝10|lg x |. 解：(1)先画函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，再将其x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，如图(1)．(2)y ＝2x ＋1x ＋1＝2(x ＋1)－1x ＋1＝2－1x ＋1.可由函数y ＝－1x 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图(2)．(3)y ＝10|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0<x <1，如图(3)．识图与辨图[例2](1)(2012·山东高考)函数y ＝cos 6x2x －2－x的图象大致为________．(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为________．[自主解答](1)∵y ＝f (x )＝cos 6x2x －2－x ，∴f (－x )＝cos (－6x )2－x －2x＝－f (x )．∴f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，故①错；当x 从正方向趋近0时，y ＝f (x )＝cos 6x2x －2－x 趋近＋∞，故②错；当x趋近＋∞时，y ＝f (x )＝cos 6x2x －2－x趋近0，故③错．(2)法一：由y ＝f (x )的图象知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (0≤x ≤1)，1(1<x ≤2).当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(0≤x ≤1)，2－x (1<x ≤2)，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1(0≤x ≤1)，x －2(1<x ≤2).图象应为②.法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各图象，可知图象②正确．[答案](1)④ (2)②———————————————————寻找图象与函数解析式之间的对应法则的方法(1)知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； ②从图象的变化趋势，观察函数的单调性； ③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； ④从图象的循环往复，观察函数的周期性． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项． (2)知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性． ④从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．——————————————————————————————————————2．函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是________．解析：当x ＝0时，y ＝0，故①错；当x ＝2π时，y ＝π<4，故②错；当x →＋∞时，y >0，故④错．答案：③3．(2012·杭州模拟)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是________． ①f (x )＝x 2－2ln |x |； ②f (x )＝x 2－ln |x |； ③f (x )＝|x |－2ln |x |； ④f (x )＝|x |－ln |x |.解析：由函数图象可得，函数f (x )为偶函数，且x >0时，函数f (x )的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，22，2,1，由此可得仅函数f (x )＝x 2－ln |x |符合条件． 答案：②函数图象的应用[例3](2012·天津高考)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．[自主解答]先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合求解．根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x >1或x <－1)，－x －1(－1≤x <1).在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．[答案](0,1)∪(1,4)若将“y ＝kx －2”改为“y ＝kx ”，k 的取值范围是什么？ 解：函数可表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >1或x <－1，－x －1，－1≤x <1，图象为如图所示的实线部分，数形结合可知，要使两函数图象有两个交点，则k ∈(0,1)∪(1,2)．———————————————————1.利用函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.2.利用函数的图象研究方程根的个数,有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值.—————————————————————————————————4．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．解析：∵a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1，∴函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2. 结合图象可知，当c ∈(－2，－1]∪(1,2]时，函数f (x )与y ＝c 的图象有两个公共点， ∴c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]． 答案：(－2，－1]∪(1,2]5．已知a >0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是________．解析：由题知，当x ∈(－1,1)时，f (x )＝x 2－a x <12，即x 2－12<a x .在同一坐标系中分别作出二次函数y ＝x 2－12，指数函数y ＝a x 的图象，如图，当x ∈(－1,1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需12≤a ≤2且a ≠1.故实数a 的取值范围是12≤a ＜1或1＜a ≤2.答案：⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,2]1个易错点——图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．3个关键点——正确作出函数图象的三个关键点 为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点： (1)正确求出函数的定义域；(2)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数；(3)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．3种方法——识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：(1)定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；(2)定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.易误警示——作图不准确或数与形不吻合致误[典例](2011·新课标全国卷)函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．[解析]由题意知y ＝11－x ＝－1x －1的图象是双曲线，且关于点(1,0)成中心对称，又y ＝2sin πx 的周期为T ＝2ππ＝2，且也关于点(1,0)成中心对称；因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称，再结合图象(如图所示)可知两图象在[－2,4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x 1＋x 2＋…＋x 8＝4×2＝8. [答案]8 [易误辨析](1)如果作出的函数图象比较粗糙，极易造成区间(1,2)上的两个交点遗漏，从而致错． (2)如果作函数y ＝11－x的图象不够准确，只注意到图象过点⎝⎛⎭⎫32，－1，极易忽视区间⎝⎛⎭⎫32，2上的交点，从而致错．(3)如果不能正确地挖掘函数y ＝11－x及y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象均关于点(1,0)对称，从而无法求出交点横坐标的和．(4)解决此类问题，避免在解题过程中出现失误，应关注以下几点：①平时涉及函数图象的问题时，要规范准确地画出图象，切忌不用尺规草草完成． ②加强通过解析式分析其图象的对称性、周期性等性质的训练以提高解决这类问题的能力．③训练由图分析其函数性质的解题技巧． [变式训练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x <2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为________．解析：因为方程f (x )－a ＝0的根，即是直线x ＝a 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x <2，3x －1，x ≥2，的图象交点的横坐标，画出函数图象进行观察可以得知，a 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)2．已知a ，b ，c 依次是方程2x ＋x ＝0，log 2x ＝2－x 和log 12x ＝x 的实数根，则a ，b ，c的大小关系是________．解析：由2x ＋x ＝0，得2x ＝－x ，分别作出y ＝2x ，y ＝－x 的图象，如图(1)， 两图象交点的横坐标即为a ，可得a <0. 同理，对于方程log 2x ＝2－x ，可得图(2)， 得1<b <2；对于方程log 12x ＝x ，可得图(3)，得0<c <1，所以a <c <b .答案：a <c <b一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x <0)，2x －1(x ≥0)的图象大致是________．解析：当x <0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x 的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为②.答案：②2．把函数y ＝f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是________．解析：把函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，即把其中x 换成x ＋1，于是得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3.答案：y ＝(x －1)2＋33．(2012·泰州调研)函数f (x )＝4x ＋12x 的图象关于________对称．解析：f (－x )＝4－x ＋12－x ＝1＋4x2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称． 答案：y 轴4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8x －8， x ≤1，0， x >1，g (x )＝log 2x ，则函数f (x )与g (x )的图象有________个交点．解析：如图，易知f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为2.答案：25．(2013·启东质检)已知定义在[0，＋∞)上的函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，则不等式f (x )·g (x )>0的解集是________．解析：由题图可知，当0<x <12时，f (x )>0，g (x )>0；当12<x <1时，f (x )>0，g (x )<0； 当1<x <2时，f (x )<0，g (x )<0， 当x >2时，f (x )>0，g (x )>0， 因此f (x )·g (x )>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12，或1<x <2或x >2.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12，或1<x <2或x >2 6．(2012·烟台模拟)f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1(x ≤0)，f (x －1)(x >0)，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为________．解析：x ≤0时，f (x )＝2－x －1,0＜x ≤1时，－1≤x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1，故x >0时，f (x )是周期函数．如图．欲使方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数解，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同的交点，故a <1.答案：(－∞，1)7．若关于x 的不等式2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．解析：在同一坐标系中画出函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝|x －a |的图象，如图所示．若a ≤0，则其临界情况为折线g (x )＝|x －a |与抛物线f (x )＝2－x 2相切，由2－x 2＝x －a 可得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4·(a ＋2)＝0，解得a ＝－94；若a >0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0,2)，此时a ＝2.结合图象可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－94，2. 答案：⎝⎛⎭⎫－94，2 8．(2012·苏州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，0＜x ≤10，⎪⎪⎪⎪－12x ＋6，x ＞10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．解析：令－12x ＋6＝0，得x ＝12.因为a ，b ，c 互不相等，令a＜b ＜c ，作出f (x )的图象．令f (a )＝f (b )＝f (c )＝t ，则根据图象可得1＜a ＜10，b ＋c ＝2×12＝24，故a ＋b ＋c ∈(25,34)．答案：(25,34)9．(2012·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1x 有四个公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意得y ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1x 是偶函数，且y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x，x ≤－1，－2x ，－1＜x ＜0，2x ，0＜x ＜1，2x ，x ≥1，作出曲线的图象(如图所示)．当k ＝0时，直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1x 有四个公共点；当k ＞0时，要使它们有四个公共点，则需y ＝kx ＋1与y ＝－2x (x ≤－1)有一个公共点，此时kx ＋1＝－2x ，即方程kx 2＋x ＋2＝0有两个相等的实数解，从而Δ＝1－8k ＝0，故k ＝18；当k ＜0时，根据对称性可得k ＝－18.从而满足条件的k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－18，0，18.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－18，0，1810．(2012·常州模拟)对于函数y ＝f (x )(x ∈R )，给出下列命题：①在同一直角坐标系中，函数y ＝f (1－x )与y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝0对称； ②若f (1－x )＝f (x －1)，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ③若f (1＋x )＝f (x －1)，则函数y ＝f (x )是周期函数；④若f (1－x )＝－f (x －1)，则函数y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称． 其中所有正确命题的序号是________．解析：对于①：函数y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即直线x ＝0对称．又f (1－x )＝f [－(x －1)]，即y ＝f (1－x )的图象是由y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到的，同理y ＝f (x －1)的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移1个单位得到的，所在函数y ＝f (1－x )与y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，所以命题错误；对于②：若f (1－x )＝f (x －1)，则令t ＝1－x ，则x －1＝－t ，所以f (t )＝f (－t )，即f (x )＝f (－x )．所以其图象关于直线x ＝0对称，所以命题错误；对于③：令t ＝1＋x ，则x ＝t －1，所以x －1＝t －2.由f (1＋x )＝f (x －1)得f (t )＝f (t －2)，所以f (x )是周期为2的周期函数，所以命题正确；对于④：若f (1－x )＝－f (x －1)，则令t ＝1－x ，则x －1＝－t ，所以f (t )＝－f (－t )，其图象关于点(0,0)对称，所以命题正确．综上所述，③④正确． 答案：③④二、解答题(本大题共4小题，共60分)11．(满分14分)作出下列函数的图象：(1)y ＝|x 2－2x －1|，(2)y ＝x 2－2|x |－1解析：(1)当x 2－2x －1≥0时，y ＝x 2－2x －1，当x 2－2x －1＜0时，y ＝－x 2＋2x ＋1，作图步骤：①作出函数y ＝x 2－2x －1的图象，②将上述图象x 轴下方部分以x 轴为对称轴向上翻折(上方部分不变)，即得y ＝|x 2－2x －1|的图象，图象(1)所示．(2)当x ≥0时，y ＝x 2－2x －1，当x ＜0时，y ＝x 2＋2x －1.作图步骤：①作出y ＝x 2－2x －1的图象；②y 轴右方部分不变，再将右方部分以y 轴为对称轴向左翻折，即得y ＝x 2－2|x |－1的图象，如图(2)所示．12．(满分14分)(2013·昆山模拟)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域． 解：(1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0， 即m ＝4. (2)f (x )＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4.f (x )的图象如图所示． (3)f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)由图象可知，f (x )>0的解集为{x |0<x <4，或x >4}． (5)∵f (5)＝5>4，∴由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．13．(满分16分)设函数f (x )＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标． 解：(1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4.∴g (x )＝x －2＋1x －4. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y ， 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)， ∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．14．(满分16分)(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称；(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值． 解：(1)设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象上任意一点， 则y 0＝f (x 0)．又P 点关于x ＝m 的对称点为P ′， 则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0)． 由已知f (x ＋m )＝f (m －x )， 得f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)] ＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0.即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上． ∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称． (2)对定义域内的任意x ， 有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立． ∴|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立， 即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立． 又∵a ≠0，∴2a －1＝0，得a ＝12.1．为了得到函数y ＝4·2x 的图象，可以把函数y ＝2x 的图象上所有的点向左平移________个单位长度．解析：y ＝4·2x ＝2x ＋2，把y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度，可以得到y ＝2x ＋2的图象．2．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是________．解析：函数f (x )的最小正周期T ＝2π|a |，故当|a |>1时，T <2π，当0<|a |<1，T >2π.经观察图中的振幅A 与周期的关系可以发现，①中0<a <1，T >2π，②中，a >1，T <2π，③中，a ＝0，故④不正确．答案：④3．作出下列函数的图象．(1)y ＝|x －2|(x ＋1)；(2)y ＝|x 2－2|x |－3|.解：(1)函数化为y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94 (x ≥2)，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94(x <2)，图象如图(1)所示．(2)y ＝x 2－2x －3→y ＝x 2－2|x |－3⇒y ＝|x 2－2|x |－3|.图象变换如图(2)所示．。