数学建模运筹学模型(一)

合集下载

第二章——运筹学建模方法

1第二章、运筹学建模方法综述2定义问题和收集数据数学建模模型求解检验模型准备应用模型实施3运筹学研究小组首先要做的是研究相关系统，并使被研究的问题得到明确的说明。

包括确定合适的目标、实际的限制条件、研究领域和组织的其他领域间的相互关系、可选择的行动路线、制定决策的时间限制等。

2.1定义问题和收集数据4针对美国企业的大量调查发现，管理层趋向于采取满意利润目标和其他目标相结合的方式代替长期收益最大化。

典型地，其他目标包括维持稳定收益、增加市场份额、实现产品多样化、维持稳定价格、提高员工士气、维持企业的家族控制以及提高企业声望。

另外，存在包含与盈利动机不相吻合的社会责任的其他考虑。

2.1定义问题和收集数据5商业企业一般涉及以下五个方面所用者（股东等），追求盈利员工，期望合理工资水平上的稳定雇佣客户，期望以合理的价格获得可靠的产品供应商，期望声誉以及产品的合理出售价格政府以及国家，期望公正的税收和考虑国家利益6例：在为旧金山警察局所开展的运筹学研究中，建立了一个优化调度和配置巡警的计算机系统。

这个新系统每年为警察局节约1100万美元，同时增加了300万美元的交通管理收入，并且将反映时间减少了20%。

在评估该项研究的合适目标时，确定了三个基本目标：(1). 维持高水平的居民安全(2). 维持高水平的警员士气(3). 最小化运作成本7收集数据通常，研究小组会花费大量的时间收集问题的数据。

大部分数据既用于获得对问题的充分理解，又为下一阶段研究建立的数学模型提供所需的输入。

82.2 数学建模商业问题的数学模型，是描述问题实质的方程和相关数学表达式的系统。

n 个相关的可量化的决策，称为决策变量(decision variables)(x 1, x 2, …x n )绩效（如收益）的合理度量被表示成这些决策变量的数学函数（例如，P =3x 1+2x 2+…+5x n ），这个函数称为目标函数(objective function)9 任何对决策变量值的约束也能够被数学表示，通常是通过等式或不等式（例如：x 1+3x 1x 2+2x 2≤10），这些用于限制的数学表达式称为约束(constraints)。

《数学建模(一)》课程教学大纲

《数学建模（一）》课程教学大纲课程名称：数学模型Mathematical Modeling课程编码：07241506 课程类型：专业必修课或选修课课程性质：数学应用课适用范围：适合于修过高等数学的任何专业学时数：36 先修课程：高等数学考核方式：考查或考试制定单位：数学与信息科学学院制定日期：2008年4月执笔者：冯永平一、教学大纲说明（一）课程的地位、作用和任务随着科学技术和计算机的迅速发展，数学向各个领域的广泛渗透已日趋明显，数学不仅在传统的物理学、电子学和工程技术领域继续发挥着重要的作用，而且在经济、人文、体育等社会科学领域也成为必不可少的解决问题的工具。

因此，设立数学建模课程是课程的主要目的是：提高学生的数学素质和应用数学知识解决实际问题的能力，大力培养应用型人才。

本课程是沟通实际问题与数学工具之间联系的必不可少的桥梁。

将数学方法应用到任何实际问题中去，主要是通过机理分析，根据客观事物的性质分析因果关系，在适当的假设条件下，利用合适的数学工具得到描述其特征的数学模型。

学习本课程的大部分内容只需要大学的微积分、线性代数、概率论等基本数学知识。

教材选用的是高教出版社出版，姜启源主编的《数学模型》等教材。

（二）教学目的及要求逐步培养学生利用数学工具解决实际问题的能力。

能够将实际问题“翻译”为数学语言，并予以求解，然后再解释实际现象，甚至应用于实际。

培养学生的综合能力，包括创造、数学、计算机应用、应变、写作、自学、领导等能力以及团队精神和献身精神等。

最终提高学生的数学素质和应用数学知识解决实际问题的能力。

掌握：应用数学解决实际问题。

理解：各种模型适用范围、条件和运用。

了解：数学建模的综合能力。

（三）课程教学方法与手段本课程的教学采用讲授、讨论、多媒体和实验等方法。

教师讲授约占75%，10%为讨论课，15%为实验课。

讲授时可用多媒体或黑板，讨论课内容由教师提出，实验课主要是数学软件的上机实践。

（四）课程教学与其它课程的联系数学模型涉及到微积分、线性代数、微分方程、概率统计和运筹学等，因此在高等数学教学时应注意包含这些内容，否则要在讲授本课程时补上。

人员值班分配数学建模,运筹学

三、问题ห้องสมุดไป่ตู้析
分析该问题，可以得出该问题是一个线性规划问题，求解需雇佣的最少员工人数，所以应该，建立目标函数以及对应的约束条件。根据每班的人数列出目标函数，根据六个时间段所需要的最少员工数建立约束条件。检查值班的负责人都有不能值班的时间段，但可以保证每个值班时间段都有人去检查。可以用 0，1 算法求每个负责人所检查的时间段。
一、问题描述
（1）每日每部门至少需要下列数量的员工：部门 a1 a2 a3 a4 a5 a6 （1）时间 08 时—10 时 10 时—12 时 12 时—14 时 14 时—16 时 16 时—18 时 18 时—20 时最少员工数 60 70 60 50 20 30
每班员工，连续工作 2 小时，为满足每班所需要的员工数，最少需雇佣多少员工？
18 时—20 时
95% 88% 90% 81% 91% 94%
a1 a2 a3 a4 a5 a6
如何分配部门值班情况，才能让工作效率最大？
二、问题假设
1．每名值班员工都正常工作，没有请假现象，查班负责人也是不缺勤。 2．不存在大的人员变动。 3．每名部门员工都可以连续工作 2 小时。 4．假设各个部门工作效率是一样的，如何安排值班分配。 5.假设各个部门之间工作效率不同，如何安排才能使效率得到最大。
四、模型建立
（1）根据题意判断出该问题属于求解最优化问题，需要确定目标函数和约束条件，具体模型如下: Z 为需要雇佣的最少员工数量，Xi 为第 i 次加入值班的人数（i=1~6）。
min Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 x 6 60 x 1 x 2 70 x 2 x 3 60 t x 3 x 4 50 x x 20 5 4 x 5 x 6 30 x i 0,i 1, 2, , 6

1、线性规划(数学建模)

⎧2 x1 + x2 ≤ 10 ⎪x + x ≤ 8 ⎪ 1 2 s.t.（约束条件） ⎨ ⎪ x2 ≤ 7 ⎪ ⎩ x1 , x2 ≥ 0
（2）
（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式这里变量 x1 , x 2 称之为决策变量，是问题的约束条件，记为 s.t.(即 subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的 Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为
max z = 2 x1 + 3x2 − 5 x3 s.t. x1 + x2 + x3 = 7 2 x1 − 5 x2 + x3 ≥ 10 x1 + 3 x2 + x3 ≤ 12 x1 , x2 , x3 ≥ 0
-3-
解（i）编写 M 文件 c=[2;3;-5]; a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12]; aeq=[1,1,1]; beq=7; x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)) value=c'*x （ii）将M文件存盘，并命名为example1.m。（iii）在Matlab指令窗运行example1即可得所求结果。例3 求解线性规划问题

数学建模--运输问题

运输问题摘要本文主要研究的是货物运输的最短路径问题，利用图论中的Floyd算法、Kruskal算法，以及整数规划的方法建立相关问题的模型，通过matlab，lingo 编程求解出最终结果。

关于问题一，是一个两客户间最短路程的问题，因此本文利用Floyd算法对其进行分析。

考虑到计算的方便性，首先，我们将两客户之间的距离输入到网络权矩阵中；然后，逐步分析出两客户间的最短距离；最后，利用Matlab软件对其进行编程求解，运行得到结果：2-3-8-9-10总路程为85公里。

关于问题二，运输公司分别要对10个客户供货，必须访问每个客户，实际上是一个旅行商问题。

首先，不考虑送货员返回提货点的情形，本文利用最小生成树问题中的Kruskal算法，结合题中所给的邻接矩阵，很快可以得到回路的最短路线：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2；然后利用问题一的Floyd算法编程，能求得从客户2到客户1（提货点）的最短路线是：2-1，路程为50公里。

即最短路线为：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2-1。

但考虑到最小生成树法局限于顶点数较少的情形，不宜进一步推广，因此本文建立以路程最短为目标函数的整数规划模型；最后，利用LINGO软件对其进行编程求解，求解出的回路与Kruskal算法求出的回路一致。

关于问题三，是在每个客户所需固定货物量的情况下，使得行程之和最短。

这样只要找出两条尽可能短的回路，并保证每条线路客户总需求量在50个单位以内即可。

因此我们在问题二模型的基础上进行改进，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，对于模型求解出来的结果，本文利用Kruskal算法结合题中所给的邻接矩阵进行优化。

得到优化结果为：第一辆车：1-5-2-3-4-8-9-1，第二辆车：1-7-6-9-10-1，总路程为280公里。

关于问题四，在问题一的基础上我们首先用Matlab软件编程确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理想的运输方案。

数学建模：第五章运筹与优化模型

max c j x j
n
s.t aij x j bi
j 1
n
j 1
i 1.2 m
xj 0
j 1.2 n
8
二、整数规划模型
n min f c j x j j 1 n aij x j bi j 1 x j 0
对于线性规划：
22
二、货机装运
问题某架货机有三个货舱：前仓、中仓、后仓。三个货舱所能装载的货物的最大重量和体积都有限制，如表 3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。
重量限制（吨）
前仓中仓后仓 10 16 8 6800 8700 5300
体积限制（米3）
5
解：设x ij 表示 Ai (i=1.2)煤厂提供给 B j （j=1.2.3)居民区的煤量； f表示总运输费此问题归结为：
min f 10 x11 5 x12 6 x13
s.t
x11 x12 x13 60 x21 x22 x23 100 x11 x21 50
s.t gi ( X ) 0
hi ( X ) 0
(1)
(2)
(3)
i 1,2,, m .
j 1,2,, l .
X D
其中X ( x1 , x2 ,, xn )T , D R n为可行集
f(X)为目标函数，(2)、(3)为约束条件， (2)为不等式约束，(3)为等式约束；若只有(1)称为无约束问题。
max f x1 x2 15 x1 12 x2 85 如 5 x1 11 x , x 0 1 2 x1 , x2 为整数

运筹学运输问题例题数学建模

运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。

运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。

本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。

同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。

运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。

在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。

这种情况下，上述数学模型可以直接应用。

产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。

这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。

这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。

产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。

这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。

这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。

弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。

数学建模常用模型及代码

数学建模常用模型及代码
一.规划模型
1.线性规划
线性规划与非线性规划问题一般都是求最大值和最小值，都是利用最小的有限资源来求最大利益等，一般都利用lingo工具进行求解。

点击进入传送门
2.整数规划
求解方式类似于线性规划，但是其决策变量x1,x2等限定都是整数的最优化问题。

传送门
3. 0-1规划
决策变量只能为0或者为1的一类特殊的整数规划。

n个人指派n项工作的问题。

传送门
４.非线性规划
目标函数或者存在约束条件函数是决策变量的非线性函数的最优化问题。

传送门
５.多目标规划
研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。

把求一个单目标，在此单目标最优的情况下将其作为约束条件再求另外一个目标。

传送门
6.动态规划
运筹学的一个分支。

求解决策过程最优化的过程。

传送门
二. 层次分析法
是一种将定性和定量相结合的，系统化的，层次化的分析方法，主要有机理分析法和统计分析法。

传送门
三.主成分分析
指标之间的相关性比较高，不利于建立指标遵循的独立性原则，指标之间应该互相独立，彼此之间不存在联系。

传送门。

数学建模运输调度

运输调度优化摘要本文针对运输最少成本问题，建立产销运输优化模型，利用lingo 优化软件工具，合理进行运输。

问题一：属于产销平衡运输问题，即∑∑=nj i b a 1m1，可得：最少运费为6910和运输方案。

问题二：属于产销不平衡运输问题，应满足∑∑≠jj i b a 1i1，2312b x i =∑，可得：最少运费为6410和运输方案。

综上所述，通过建立产销优化运输模型，为合理运输提供科学依据。

关键词：产销运输 LINGO 优化模型一、问题重述已知某运输问题的产销平衡表与单位运价表如下表所示表一（1）求最优调拨方案；（2）如产地的产量变为130，又B地区需要的115单位必须满足，试重新确定最优调拨方案。

二、问题分析2．1问题一对于表一中销量总和与产量总和相等，可确定为产销平衡运输问题，考虑现实问题，对客观实际因素没给出，因给于假设。

2.2问题二对于所给数据可知销量总和不等于产量总和，因此确定为产销运输不平衡问题，由此为了满足B地区的需求，要给于一定限制。

三、符号说明1 、A某场地i2 、a某场地的产量i3、B某销地j4、b某销地的销售量i5、a从第i产地向第j个销地运输每单位物资的运价ij6、x从第i个产地向第j个销地运输量ij四、模型假设1、各地产地产量均能如期产出相应产量，销地也能销出如期的货物量。

2、某产地与某销地单位运价保持不变，且与货物数量无关。

五、模型建立与求解5、1有m 个产地和n 个销地。

产地Ai 的产量为)21(m i a i ，，=；销地Bj 的销量 )n 21(，，=j b j 。

从第i 个产地向第j 个销地运输每单位物资的运价为j i a ，从第i 个产地向第j 个销地运输量ij x 。

可得运费最少为：对两种情况进行讨论，∑∑=nj i b a 1m1，即运输问题的总产量等于其总销量，这样的运输问题称为产销平衡的运输问题。

∑∑≠jj i b a 1i 1即运输问题的总产量不等于总销量，这样的运输问题称为产销不平衡的运输问题。

数学建模线性规划模型

引言
• 历史悠久 • 理论成熟 • 应用广泛
1939
KOHTOPOBUZ “生产组织与计生产组织与计数学方法” 划中的数学方法” 解乘数法” “解乘数法”
• 1947 •
DANTZIG 人员轮训任务分配单纯形法” 美国科学院院士 “单纯形法”
• 1960 “最佳资源利用的经济计算” 最佳资源利用的经济计算” 最佳资源利用的经济计算康托洛维奇和库伯曼斯(Koopmans)因康托洛维奇和库伯曼斯因对资源最优分配理论的贡献而获1975年对资源最优分配理论的贡献而获年诺贝尔经济学奖。诺贝尔经济学奖。 • 60-70年代计算机 50约束 100变年代约束变 30000约束 3000000变量约束变量
④根据 max（σj>0）=σk 确定xk为换入变量；根据θ规则 θ＝min{b'i/a'ik｜1≤i≤m, a'ik>0}＝b'l/a'lk • 确定相应的换出变量，并得到中心元素 a'lk。转⑤。 • ⑤以a‘lk为枢轴元素进行转轴运算，得到新的单纯形表。转②
不符合标准型的几个方面
：
⑴目标函数为 min z=c1x1+c2x2+L+cnxn 令z′=-z ,变为 max z′= -c1x1- c2x2- L -cnxn ⑵约束条件为 a11x1+a12x2+L+a1nxn≤b1 加入非负变量xn+1，称为松弛变量，有 a11x1+a12x2+L+a1nxn+xn+1=b1 ⑶约束条件为 a11x1+a12x2+L+a1nxn≥b1 减去非负变量xn+1，称为剩余变量，有 a11x1+a12x2+L+a1nxn - xn+1=b1 ⑷变量xj无约束。令xj= xj′ - xj″，对模型中的进行变量代换。

16738-数学建模-运筹学PPT完整版胡运权

线性规划问题的数学模型
Page 18
3. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
约束条件： am1 x1 am2 x2 amn xn ( ) bm
x1 0 xn 0
a11 a1m
B
(
p1
pm
)
am1
amm
称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。与基向量Pj
对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。
线性规划问题的数学模型
Page 29
基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条件
方程②解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非0
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
max Z
2 x1
x2
3(
x
3
x3)
0x4
0x5
5 x1
x2
(
x
3
x3)
x4
7
x1 x2 ( 5x1 x2
x3 2(
x
3
x3) x3)
真实系统
数据准备
系统分析问题描述
模型建立与修改
模型求解与检验
结果分析与实施
本课程授课方式与考核
讲授为主，结合习题作业
学科总成绩
平时成绩（40％）
期末成绩（60％）
课堂考勤（50％）
平时作业（50％）

数学建模_送货问题[1]

快递公司送货策略摘要目前，快递行业蓬勃发展，为生活带来诸多便利。

对于快递公司，如何合理安排业务员的人数和派送路线，使快件在指定时间内送达目的地并且费用最省，成为一个十分重要的问题。

本文通过对已知数据的分析，根据相关数学建模知识，解决了题目要求的实际问题。

针对问题一：从利用人员最少，运行路程最短，人员工作时间和负重相对平均三个方面综合考虑，利用四叉树的思想划分区域确定业务员的运行路线，并建立物流配送模型，用LINGO筛选出最佳路线，最后制定出公司送货策略的最佳方案。

表一为所得结果：表一：最佳送货策略所需人数及运行总路程针对问题二，建立费用最省模型，并对结果进行优化处理，在5人负责八条总路程为484km的前提下，最后费用最少为15780.7针对问题三，在问题一的基础上，尽量保证时间的均衡，并用尽可能少的人完成投递任务。

最终用四人完成投递任务关键词：四叉树分区物流配送模型 LINGO软件费用最省模型一、问题重述目前，快递行业蓬勃发展，为生活带来更多方便。

在合理条件下，用最少的人员获得最大的利润是快递公司需解决的实际问题。

假设快递公司每个业务员每天平均工作时间不超6小时，在每个送货点停留的时间为10分钟，途中速度为25km/h，每次出发最多能带25千克的重量。

平均每天收到快件总重量为184.5千克，假设送货运行路线均为平行于坐标轴的折线。

需解决如下问题：（1）为该公司提供一个合理的送货策略；（2）如果业务员携带快件时的速度是20km/h，获得酬金3元/km kg；而不携带快件时的速度是30km/h，酬金2元/km，请为公司设计一个费用最省的策略；（3）如果可以延长业务员的工作时间到8小时，公司的送货策略将有何变化？表二为每个送货点的快件量T和坐标表二：各个送货点的快件质量及坐标图一为送货点的坐标分布图一：送货点坐标分布图二、基本假设与符号说明3．1．基本假设结合本题实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些未知因素的干扰，提出了以下几点假设：1、每个业务员每天平均工作时间、在每个送货点的停留时间和每次出发负重与题中所给条件相符，不会因任何原因发生变化；2、每个业务员送货往返途中始终维持题中给定速度，途中不会出现使速度变化的各种意外情况；3、每个业务员在送完当天货物后均需返回公司；4、每个送货点均处于平行两坐标轴的十字路口上，即业务员送货运行路线均为平行于坐标轴的折线5、每天所有快递均投递成功，不出现未签收需再次投递的情况；6、附件中所给出所有数据条件均合理，与实际相符。

数学建模获奖作品范例

数学建模获奖作品范例数学建模是一种通过数学模型来解决实际问题的方法。

许多学生和研究人员都参与了数学建模竞赛，通过自己的努力和创新，获得了获奖的机会。

本文将以数学建模获奖作品范例为主题，介绍一些获奖作品的内容和方法，以期激发更多人对数学建模的兴趣和热情。

一、基于人口增长的城市规划优化在城市规划过程中，人口增长是一个重要的考虑因素。

一组学生在数学建模竞赛中提出了一种基于人口增长的城市规划优化模型。

他们首先收集了一座城市的人口数据，并通过数学方法对未来的人口增长进行预测。

然后，他们建立了一个优化模型，考虑了城市的土地利用、交通网络和公共设施等因素，以最大化城市的可持续发展和居民的生活质量。

通过对模型的求解和分析，他们得出了一些关于城市规划的有价值的结论，并在竞赛中获得了一等奖。

二、基于数据挖掘的股票预测模型股票市场是一个充满不确定性的领域，许多投资者希望能够通过分析历史数据来预测未来的股票走势。

一组研究人员在数学建模竞赛中提出了一种基于数据挖掘的股票预测模型。

他们首先收集了大量的股票市场数据，并通过数学方法对这些数据进行分析和挖掘。

然后，他们建立了一个预测模型，可以根据历史数据预测未来的股票走势。

通过对模型的验证和比较，他们发现这个模型在股票预测方面具有一定的准确性和可靠性，因此在竞赛中获得了特等奖。

三、基于运筹学的物流优化模型物流是现代经济中一个重要的环节，对于企业的运营效率和成本控制都起着至关重要的作用。

一组学生在数学建模竞赛中提出了一种基于运筹学的物流优化模型。

他们通过收集一家物流公司的运输数据和成本数据，建立了一个数学模型来优化物流网络和运输路径。

通过对模型的求解和分析，他们得出了一些关于物流优化的有益结论，为物流公司提供了一些建议和改进措施。

他们的工作得到了评委的认可，获得了一等奖。

四、基于图论的社交网络分析模型社交网络在当今的互联网时代中扮演着重要的角色，许多人希望能够通过分析社交网络的结构和关系来了解人际关系的特点和演变规律。

2023年运筹学模型与数学建模竞赛

运筹学模型与数学建模竞赛一、引言一般来说，大学生数学建模竞赛所涉及到的运筹学模型涉及数学规划（线性规划和非线性规划），网络优化（含网络计划技术），排队模型，动态规划等，请看下表注：从1999年起，全国大学生数学建模竞赛开始设立专供大专院校学生做的C ，D 题。

下面重点介绍运筹学模型的数学规划。

二、数学规划的一般形式))(m ax ()(m in x f or x f⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤==ub x lb m j x g li x h t s j i ,,2,1,0)(,,2,1,0)(.. 线性规划：整数规划：非线性规划：三、数学规划问题举例1 下料问题现要用100×50厘米的板料裁剪出规格分别为40×40 厘米与50×20厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件。

问如何裁剪，才干最省料？解：先设计几个裁剪方案记 A---------40×40；B-----------50×20注：尚有别的方案吗？显然，若只用其中一个方案，都不是最省料的方法。

最佳方法应是三个方案的优化组合。

设方案i 使用原材料x i 件(i =1,2,3)。

共用原材料f 件。

则根据题意，可用如下数学式子表达：⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥++≥+++=)3,2,1(03053252..min 32121321j x x x x x x t s x x x f j，整数这是一个整数线性规划模型。

2 运送问题现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，数据如下表，方案1方案2方案3试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采用哪个运送方案，才干使总运费达成最小？（运价（元/吨）如下表）解：题意即要拟定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。

故设ij x 表达从i 号仓运到j 号工厂的原棉数量（吨）f 表达总运费.则运送模型为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥⎪⎭⎪⎬⎫=+=+=+⎭⎬⎫≤++≤+++++++=运输量非负约束；需求量约束运出量受存量约束),,j ,i (x x x x x x x x x x x x x .t .s x x x x x x f min ij 321210251540305042232231322122111232221131211232221131211 一般地，对于有m 个发点和n 个收点的运送模型为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤=∑∑∑∑====),...2,1;,...2,1(0)...2,1(),...3,2,1(..min 1111n j m i x n j b x m i a x t s x c f ij mi j ij nj i ij m i nj ijij 其中a i 为i 号发点的运出量，b j 为j 号收点的需求量，c ij 为从i 号发点到j 号收点的单位运价。

运筹学数学建模7-9

a21 x1 a22 x2 L a2n xn (, )b2 , L
am1 x1
am2 x2
L
amn xn
(, )bm ,
xi 0, x j 0, i i1 ,L , ik , j j1,L , jl .
线性规划模型标准型:
线性规划模型标准型矩阵表示：
maxz= c1 x1 +c2x2 +…+cnxn
X [x1, x2,L , xn ]T ,
xi 0, i 1,L , n.
b [b1, b2 ,L , bm ]T , b 0,
1.线性规划的一般形化为标准型的一般步骤 (1) Min f = cX 转化为max z = cX
(2) ai1 x1 ai 2 x2 L ain xn bi 加松弛变量yi ai1 x1 ai2 x2 L ain xn yi bi
模型分析与假设对目标函数的贡献与x取值成正比对约束条件的贡献与x取值成正比对目标函数的贡献与x取值无关对约束条件的贡献与x取值无关每公斤的获利是与各自产量无关的常数每桶牛奶加工出a的数量和时间是与各自产量无关的常每公斤的获利是与相互产量无关的常数每桶牛奶加工出a的数量和是与时间相互产量无关的常数加工a的牛奶桶数是实数线性规划模型其临床表现为持续性进行性的多个智能功能域障碍的临床综合征包括记忆语言视空间能力应用辨认执行功能及计算力等认知功能的损害
(1) x3 = x4 x5 , x4 , x5 0 (2) x1 +x2 +x3 +x6 =7 (3) x1 x2 +x3 x7 =2
合理下料问题
设按第i种下料方式的
有长度为8米的某型号圆钢，现需要长度为2.5米的毛坯
圆钢xi根，i=1,2,3,4

数学建模运筹学模型(一)汇总

运筹学模型（一）本章重点：线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题复习要求：1. 进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵.2. 进一步理解数学模型的作用与特点.本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型. 具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单. 运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单. 你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求. 目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型. 另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型. 这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型. 还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到. 另外在个别场合可能会涉及一笔划问题.1. 营养配餐问题的数学模型m i Z n =C 1x 1+C 2x + C n x n⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n ≥b 1, ⎪⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n ≥b 2, ⎪ s ⋅t⋅⎨⎪a x +a x + +a x ≥b , m 22mn n m ⎪m 11⎪⎩x j ≥0(j =1, 2, , n或更简洁地表为m i Z n =∑C x jj =1n j⎧n ⎪∑a ij x j ≥b i ⎪j =1s ⋅t ⋅⎨⎪x ≥0(i =1, 2, , m j ⎪j =1, 2, , n ⎩其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量.2. 合理配料问题的数学模型有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品. 单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位. 问如何安排生产，使总利润达到最大？设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有m a Z x =C 1x 1+C 2x 2+ +C n x n⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n ≤b 1, ⎪⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n ≤b l , ⎪ s ⋅t⋅⎨⎪a x +a x + +a x ≤b , m 22mn n m ⎪m 11⎪⎩x j ≥0(j =1, 2, , n或更简单地写为m a z x =∑Cj =1n j x j⎧n ⎪∑a ij x j ≤b i ⎪j =1 s ⋅t ⋅⎨i =1, 2, , m ⎛⎫⎪x ≥0 j =1, 2, , n ⎪⎪⎪j ⎝⎭⎩3. 运输问题模型运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量. 假如问题具有m 个产地和n 个销地，第i 个产地用A i 表示，其产量为a i （i =1，2，…，m ），第j 个销地用B j 表示，其销量为b j （j =1，2，…，n ），从A i 运往B j 的运价为c ij ，而写成为∑a i =1m i =∑b j =1n j 表示产销平衡. 那么产销平衡运输问题的一般模型可以min Z =∑∑c ij x iji =1j =1m n⎧n ⎪∑x ij =a i ⎪j =1⎪⎪m s ⋅t ⋅⎨∑x ij =b j ⎪i =1⎪⎛i =1, 2, , m ⎫⎪x ij ≥0 j =1, 2, , n ⎪⎪⎪⎝⎭⎩4. 目标规划模型某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理. 已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它数据如下表表4-1工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标.问题分析与模型假设经与工厂总经理交谈，确定下列几条：p 1：检验和销售费每月不超过4600元；p 2：每月售出产品I 不少于50件；p 3：两车间的生产工时充分利用（重要性权系数按两车间每小时费用比确定）；p 4：甲车间加班不超过20小时；p 5：每月售出产品Ⅱ不少于80件；p 6：两车间加班总时数要有控制（对权系数分配参照第三优先级）.模型建立设x 1，x 2分别为产品Ⅰ和Ⅱ的月产量，先建立一般约束条件组，依题设50x 1+30x 2≤4600x 1≥50 售出量x 2≥80 2x 1+x 2≤120 两车间总工时x 1+3x 2≤150+ 设d 1表检验销售费偏差，则希望d 1达最小，有p 1d 1+, 相应的目标约束为 5x 1+30x 2+d 1--d 1+ = 4600； --达最小，有p 2d 2, 相应的目标约束 d 2表产品I 售量偏差，则希望d 2-+x 1+d 2-d 2=50,以d 3、d 4表两车间生产工时偏差，则由于充分利用，故希望d 320=4：1，有--p 3(4d 3+d 4 . 相应的目标约束应为 --达最小，考虑到费用比例为80：, d 4-+-+=150， -d 42x 1+x 2+d 3-d 3=120和x 1+3x 2+d 4以d 5表甲车间加班偏差，则有+-+d 3+d 5-d 5=20， p 4d 5+, 相应目标约束为以d 6表产品Ⅱ售量偏差，则希望d 6达最小，有相应约束为-+x 2+d 6-d 6=80.++++表示，考虑到权系数，有p6(4d 3+d 4, 其目标约束由于利用超生+d 4- 最后优先级p 6可利用d 3产工时，已在工时限制中体现，于是得到该问题的目标规划模型为---+-++m i z n =p 1d 1++p 2d 2+p 3(4d 3+d 4 +p 4d 5+p 5d 6+p 6(4d 3+d 4 ⎧50x 1+30x 2+d 1--d 1+⎪-+x 1+d 2-d 2⎪⎪-+2x +x +d -d 1233⎪⎪-+s ⋅t ⋅⎨x 1+3x 2+d 4-d 4⎪+-+d +d -d 355⎪⎪x 2+d 6--d 6+⎪-+⎪⎩x 1, x 2≥0, d l , d l≥0=4600=50=120=150=20=80(l =1, 2, , 65. 最小树问题一个图中若有几个顶点及其边的交替序列形成闭回路，我们就说这个图有圈；若图中所有连顶点间都有边相接，就称该图是连通的；若两个顶点间有不止一条边连接，则称该图具有多重边. 一个图被称为是树意味着该图是连通的无圈的简单图. ．在具有相同顶点的树中，总赋权数最小的树称为最小树.最小树的求法有两种，一种称为“避圈法”，一种是“破圈法”，两法各具优缺点，它们具有共同的特征——去掉图中的圈并且每次都是去掉圈中边权较大的边.6. 最短路问题的数学模型最短路问题一般描述如下：在一个图（或者说网络）中，给定一个始点v s 和一个终点v t ，求v s 到v t 的一条路，使路长最短（即路的各边权数之和最小）.狄克斯屈（E.D.Dijkstra ）双标号法该法亦称双标号法，适用于所有权数均为非负（即一切w ij ≥0 w ij 表示顶点v i 与v j 的边的权数）的网络，能够求出网络的任一点v s 到其它各点的最短路，为目前求这类网络最短路的最好算法.该法在施行中，对每一个点v j 都要赋予一个标号，并分为固定标号P （v j ）和临时标号T （v j ）两种，其含义如下：P （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长；T （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长上界.一个点v j 的标号只能是上述两种标号之一. 若为T 标号，则需视情况修改，而一旦成为P 标号，就固定不变了.开始先给始点v s 标上P 标号0，然后检查点v s ，对其一切关联边（v s ，vj ）的终点v j ，给出v j 的T 标号w ij ；再在网络的已有T 标号中选取最小者，把它改为P 标号. 以后每次都检查刚得到P 标号那点，按一定规则修改其一切关联边终点的T 标号，再在网络的所有T 标号中选取最小者并把它改为P 标号. 这样，每次都把一个T 标号点改为P 标号点，因为网络中总共有n 个结点，故最多只需n -1次就能把终点v t 改为P 标号. 这意味着已求得了v s 到v t 的最短路.狄克斯屈标号法的计算步骤如下：1°令S ={v s }为固定标号点集，=V \{v s }为临时标号点集，再令P (v i =0，v t ∈S ； 2°检查点v i ，对其一切关联边（v i ， vj ）的终点v j∈，计算并令 min{T (v j , P (v i +w ij }⇒T (v j3°从一切v j∈中选取并令 min{T (v j }=T (v r ⇒T (v r 选取相应的弧（v i ， vr ）. 再令 S {v r }⇒S , \{v r }⇒=∅，则停止，P (v j 即v s 到v j 的最短路长，特别P (v t 即v s 到v t 的最短路长，而已选出 4°若的弧即给出v s 到各点的最短路；否则令v r ⇒v i ，返2°. 注意：若只要求v s 到某一点v t 的最短路，而没要求v s 到其他各点的最短路，则上述步骤4°可改为 4°若r = t 则结束，P (v r 即为所求最短路长；否则令v r ⇒v i ，返2°.。

数学建模常用模型方法总结

数学建模常用模型方法总结无约束优化线性规划连续优化非线性规划整数规划离散优化组合优化数学规划模型多目标规划目标规划动态规划从其他角度分类网络规划多层规划等…运筹学模型（优化模型）图论模型存储论模型排队论模型博弈论模型可靠性理论模型等…运筹学应用重点: ①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最正确化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件④求解方法(MATLAB--通用软件 LINGO--专业软件)聚类分析、主成分分析因子分析多元分析模型判别分析典型相关性分析对应分析多维标度法概率论与数理统计模型假设检验模型相关分析回归分析方差分析贝叶斯统计模型时间序列分析模型决策树逻辑回归传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预测控制模型经济增长模型Logistic 人口预测模型战争模型等等。

灰色预测模型回归分析预测模型预测分析模型差分方程模型马尔可夫预测模型时间序列模型插值拟合模型神经网络模型系统动力学模型(SD)模糊综合评判法模型数据包络分析综合评价与决策方法灰色关联度主成分分析秩和比综合评价法理想解读法等旅行商(TSP)问题模型背包问题模型车辆路径问题模型物流中心选址问题模型经典 NP 问题模型路径规划问题模型着色图问题模型多目标优化问题模型车间生产调度问题模型最优树问题模型二次分配问题模型模拟退火算法(SA)遗传算法(GA)智能算法蚁群算法(ACA)(启发式)常用算法模型神经网络算法蒙特卡罗算法元胞自动机算法穷举搜索算法小波分析算法确定性数学模型三类数学模型随机性数学模型模糊性数学模型。

《数学建模》课程设计方案0[推荐精品]

《数学建模》课程系统设计方案为了落实教育部批准的《关于广播电视大学开展人才培养模式改革和开放教育试点的报告》的精神，更好地实施“中央广播电视大学开放教育试点理学科数学类数学与应用数学专业（本科）教学计划”，搞好本课程的教学过程管理和教学支持服务工作，实现本专业培养目标，特制定《数学建模》课程设计方案。

一、课程的性质与任务“数学建模”课程是限选课。

但它既不同于必修课，也不同于其它限选课和选修课，而是一门充分应用其它各数学分支的应用类课程，其主要任务不是“学数学”，而是学着“用数学”，是为培养善于运用数学知识建立实际问题的数学模型，从而善于解决实际问题的应用型数学人材服务的。

从这个意义上讲，本课程的开设将对提高广大学生优良的数学素质和出色的工作能力，从而顺利开展中、小学的创新教育和素质教育等诸方面起到重要作用，其发展潜力巨大，前景十分客观。

通过本课程的学习，使学生较为系统的获得利用数学工具建立数学模型的基本知识、基本技能与常用技巧，培养学生的抽象概括问题的能力，用数学方法和思想进行综合应用与分析问题的能力，并着力导引实践—理论—实践的认识过程，培养学生辩证唯物主义的世界观。

二、课程的目的与要求根据整个教学计划的内容安排，以及学生主要是成人、在职、业余学习的特点，本课程将主要介绍初等数学模型，微分方程模型，运筹学模型和概率统计模型这四类常见数学模型中的较基本、较简单的部分，使学生对数学建模的基本想法与做法有一个较全面的初步的了解，为应用所学数学知识解决实际问题奠定一个较好的基础。

1.对相关课程内容的基本要求由于本课程的特点，对学生的基本数学基础有下列要求：熟练掌握常微分方程的基本内容，概率论与统计分析基础，运筹学中的线性规划、目标规划的初步知识，图论基础知识、决策论、存贮论与排队论初步知识。

2.通过本课程的学习，应达到下列基本目标：(1)深化学生对所学数学理论的理解和掌握；(2)使学生了解数学科学的重要性和应用的广泛性，进一步激发学生学习数学的兴趣；(3)熟悉并掌握建立数学模型的基本步骤、基本方法和技巧；(4)培养学生应用数学理论和数学思想方法，利用计算机技术等辅助手段，分析、解决实际问题的综合能力；(5)培养学生的数学应用意识，同时进一步拓宽学生的知识面，培养学生的科学研究能力。