第2课时——正弦定理(2)(教师版)
苏教版数学必修五：1.1正弦定理(二)【教师版】
课题：§1.1 正弦定理（二） 总第____课时班级_______________ 姓名_______________【学习目标】掌握正弦定理的内容及其等价形式；会运用正弦定理、内角和定理与三角形的面积公式解决一些与测量和几何计算与证明有关的实际问题.【重点难点】学习重点：正弦定理的等价形式及其基本应用.学习难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.【学习过程】一、自主学习与交流反馈：问题1：对于任意的三角形若已知两边及夹角怎样求三角形的面积?问题2：正弦定理还有哪些等价的变形形式?二、知识建构与应用：例1 在ΔABC 中,已知C c B b A a cos cos cos ==，试判断ΔABC 的形状.例2 在ΔABC 中,AD 是∠BAC 的平分线，如图，用正弦定理证明：DC BD AC AB =.例 3 某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进A B 35︒20︒1000180︒-βαβαD CB A米后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度.例4 判断下列三角形解的情况：（1）已知;（2）已知;（3）已知.四、巩固练习 D 65︒060,12,11===B c b 0110,3,7===A b a 045,9,6===B c b1．在ΔABC 中，已知,150,3,2o ===C b a 则=∆ABC S .2．在中，_________,sin 23==B A b a 则.3．在中，若,60,3︒==A a 那么的外接圆的周长为____ ____.4．在中，若，则.5. 在中,______,cos cos 的形状为则ABC BC b c ∆=.ABC ∆ABC ∆ABC ∆ABC ∆3,600==a A _______sin sin sin =++++C B A c b a ABC ∆6. 中，，则的形状为___ ____.五、回顾反思:六、作业批改情况记录及分析ABC ∆A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅ABC ∆。
高二数学人教A版必修5教学教案1-1-1正弦定理(2)_1
正弦定理一、教学内容的分析“正弦定理”是人教A版必修五第一章第一节的主要内容。
其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．二、学生学习情况分析在初中学生已经学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理任意三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。
这就要求教师在教学中引导学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得知识。
所以本节课的教学将以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。
四、三维目标1、知识与技能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及证明方法，并能解决一些简单的三角形问题。
2、过程与方法通过对特殊三角形边长和角度关系的探索，发现正弦定理，初步学会用特殊到一般的思想方法发现数学规律。
3、情感态度与价值观通过生活实例的探究引出正弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。
五、教学重难点重点：正弦定理的证明及其基本运用．难点：（1）正弦定理的探索和证明；（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个a cb O B C A 数．六、教学过程设计（一）新课导入如图，河流两岸有A 、B 两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A 、B 两地的距离(假设现在的位置是A 点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。
人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
《正弦定理》教案(含答案)
《正弦定理》教案（含答案）章节一：正弦定理的引入教学目标：1. 让学生理解正弦定理的概念和意义。
2. 让学生掌握正弦定理的数学表达式。
3. 让学生了解正弦定理的应用场景。
教学内容：1. 引入正弦定理的背景和意义。
2. 介绍正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 解释正弦定理的证明过程。
教学活动：1. 通过实际例子引入正弦定理的概念。
2. 引导学生推导正弦定理的数学表达式。
3. 让学生进行小组讨论，探索正弦定理的应用场景。
练习题：1. 解释正弦定理的概念。
2. 给出一个三角形，让学生计算其各边的比例。
章节二：正弦定理的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在三角形中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 让学生进行小组讨论，探讨正弦定理在实际问题中的应用。
练习题：1. 使用正弦定理计算一个三角形的面积。
2. 给出一个实际问题，让学生应用正弦定理解决问题。
章节三：正弦定理的证明教学目标：1. 让学生理解正弦定理的证明过程。
2. 让学生掌握正弦定理的证明方法。
教学内容：1. 介绍正弦定理的证明过程。
2. 解释正弦定理的证明方法。
教学活动：1. 通过几何图形的分析，引导学生推导正弦定理的证明过程。
2. 让学生进行小组讨论，理解正弦定理的证明方法。
练习题：1. 解释正弦定理的证明过程。
2. 给出一个三角形，让学生使用正弦定理进行证明。
章节四：正弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在实际问题中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在实际问题中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在实际问题中的应用方法。
正弦定理及其简单应用(基础)( 教师版 )(最新人教版优质教案)( 含解析 )
18 题类: 三角形的形状判断
在
中，若
，试判断三角形的形状．
答案
为直角三角形．
解答 由正弦定理得
，
，
，
或
，
16
即
或
，
，
， ，
为直角三角形．
19 题类: 余弦、正弦定理的应用-解三角形
在
中，
，
．
(1)求 (2)设
的值； ，求
的面积．
(1)
答案 ．
解答 在
中，
，
，
，
，
．
(2) 答案 ．
解答
，
，
，
由正弦定理得
已知角 ， 和边 ．
6
2.边边角”型：已知两边和其中一边的对角．
已知边 ， 和角 （有解）．
七、正弦定理的推论
， ，
，
；
，
（为
，
（为
，
的外接圆半径）； 的外接圆半径）； ；
．
八、三角形面积的正弦型公式
推论：
.
，其中 为
外接圆的半径．
5 题类: 三角函数性质综合判断
（多选题）在
中，给出下列 个命题，其中正确的命题是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
答案 A,B,D
解答 在
中，
，
7
若
，则
选项 ， 正确，
若
，且 ，
，若 ，
则，
，
，
则
，
选项 错误，
若
，则
，
则
即
，
选项 正确，
正弦定理和余弦定理(教师版)
第6讲 正弦定理和余弦定理【2013年高考会这样考】考查利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形． 【复习指导】1．强化正、余弦定理的记忆，突出一些推论和变形公式的应用． 2．本节复习时，应充分利用向量方法推导正弦定理和余弦定理．3．重视三角形中的边角互化，以及解三角形与平面向量和三角函数的综合应用，能够解答一些综合问题．基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则 A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＜b sin A a ＝b sin Ab sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b解的个数无解 一解 两解一解 一解 无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )．A ．5 2B ．10 2 C.1063 D ．5 6解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，即1032＝c22.∴c ＝1063. 答案 C2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.答案 B3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )． A ．3 3 B ．2 3 C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223， ∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3. 答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________．解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°考向一 利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A＝3 2.∵a＞b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝b sin Csin B＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝b sin Csin B＝6－22.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，sin A＝13，则a＝________. 解析由正弦定理得：a＝b sin Asin B＝5×1322＝523.答案523考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．[审题视点] 由cos Bcos C＝－b2a＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．解(1)由余弦定理知：cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.将上式代入cos Bcos C＝－b2a＋c得：a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12. ∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．【训练2】 (2011·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由2cos 2 A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0， 即cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3， 则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．[审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断． 解 由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]， 即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cos A sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ， 由于A ，B 是三角形的内角． 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练3】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)．∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C .即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B考向四 正、余弦定理的综合应用【例4】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题．解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎨⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6，a ＝433，b ＝233； 当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．【训练4】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2. (1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103， 所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35， 所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高． 错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根． 实录 由1＋2cos(B ＋C )＝0， 知cos A ＝12， ∴A ＝π3，根据正弦定理a sin A ＝bsin B 得： sin B ＝b sin A a ＝22，∴B ＝π4或3π4. 以下解答过程略．正解 ∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ， ∴1＋2cos(B ＋C )＝1－2cos A ＝0，∴A ＝π3. 在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B ， ∴sin B ＝b sin A a ＝22.∵a＞b，∴B＝π4，∴C＝π－(A＋B)＝5 12π.∴sin C＝sin(B＋A)＝sin B cos A＋cos B sin A＝22×12＋22×32＝6＋24.∴BC边上的高为b sin C＝2×6＋24＝3＋12.【试一试】(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.[尝试解答](1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝(1＋3)a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B＞0，故cos B＝22，所以B＝45°.。
高中数学《正弦定理》教案
高中数学《正弦定理》教案•相关推荐高中数学《正弦定理》教案4篇作为一名优秀的教育工作者，通常需要用到教案来辅助教学，教案有利于教学水平的提高，有助于教研活动的开展。
如何把教案做到重点突出呢？以下是小编为大家整理的高中数学《正弦定理》教案，仅供参考，大家一起来看看吧。
高中数学《正弦定理》教案1教材地位与作用：本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。
因此，正弦定理的知识非常重要。
学情分析：作为高一学生，同学们已经掌握了基本的三角函数，特别是在一些特殊三角形中，而学生们在解决任意三角形的边与角问题，就比较困难。
教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。
教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
(根据我的教学内容与学情分析以及教学重难点，我制定了如下几点教学目标)教学目标分析：知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。
能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论。
情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。
教法学法分析：教法：采用探究式课堂教学模式，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。
学法：指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。
让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，动手尝试相结合，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，锲而不舍的求学精神。
教学过程(一)创设情境，布疑激趣“兴趣是最好的老师”，如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半，本节课由一个实际问题引入，“工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠a=47°,∠b=53°,ab长为1m,想修好这个零件，但他不知道ac和bc的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗?”激发学生帮助别人的热情和学习的兴趣，从而进入今天的学习课题。
正弦定理教案
正弦定理（2）韶关市第一中学张卫年一、教学内容分析《正弦定理》是高中课程人教A版数学（必修5）第一章第一节内容，教学安排2个课时，本节为第二课时。
本节课主要解决2个问题，一是“已知两边及一对角的三角形问题”，另一个是正弦定理的变形应用，即通过角边互化来解三角形问题。
本节课集新授课、习题课及复习课于一身，教师以主导者的身份带领学生通过解答一些三角形问题来探究新知，增强学生的发现、归纳及整理的能力。
学生在课堂上自主探究、合作交流，通过解决一些角边互化的例题来增强对正弦定理的应用能力。
正弦定理是研究任意三角形边角之间关系的重要开端；用正弦定理解三角形，是典型的用代数的方法来解决的几何问题的类型；正弦定理作为三角形中的一个定理，在日常生活和工业生产中的应用又十分广泛。
因此，正弦定理的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。
二、学生学情分析本次教学的对象是全市最好学校的文科班学生，其学习积极性比较高，在数学知识的把握上也比较好。
在这节课之前学生已经学过了正弦定理的推导，学会了正弦定理的简单应用。
教师可以充分调动学生学习积极性对一些问题进行探讨，结合初中所学的三角形全等判定定理引导学生对解三角形的情况进行归纳整理，充分发展学生各方面的能力。
另外可以让学生自主交流，合作探究一些解三角形的中等问题。
虽然在这过程会出现一些困难，但通过老师恰当的点拨与引导，相信学生能在这节课中实现全面把握正弦定理的应用这一目标。
三、教学目标定位（一）知识与技能1、熟记正弦定理及其变形；2、熟练应用正弦定理解三角形；（二）过程与方法让学生养成自主学习的习惯，喜欢与老师和同学合作交流，善于发现问题，敢于探究问题，增强对数学学习的兴趣。
（三）情感态度与价值观让学生感受到师生、生生合作交流的快乐，得到获取知识的满足，体会自主学习的喜悦，从而喜欢上学习，喜欢思考，喜欢解决问题，勇于挑战难题。
教学重点1、利用正弦定理解已知两角一边或两边及一对角的三角形；2、正弦定理的变形应用；教学难点1、正确讨论三角形解的情况；2、熟练掌握正弦定理变形应用；四、教学策略“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。
正弦定理-教学PPT课件
AA CCDD
CCDD bb
,,
ssiinn
BB
bb ssiinn AA aa
CCDD aa ssiinn BB
C
b
a
所以有：
A
Dc
B
同理可证：
（也可以由等面积法得到）
(3)在钝角△ABC中,有：
ssiinn
AA
CCDD bb
,,ssiinn((
BB))
CCDD aa
即即::CCDD bbssiinn AA aassiinnBB
C
16 3
16
16
A 300 B
B
(1)当 Ｂ＝60°时, C=90°, c 32.
(2)当Ｂ＝120°时,
C=30°,
c asinC 16. sin A
练习：
变式2: a=20, b=40, A=45°解三角形.
解：由正弦定理
得 sin B b sin A 40 sin 45 2
a
5.一个三角形最少有2个锐角
3.定理推导
探究：在任意三角形中角与它所对的边之间在 数量上有什么关系？
(1)在Rt△ABC中,有：
sin A a ,sin B b
cn B
A
b
c
因为sinC=1，所以有：
C
aB
(2)在锐角△ABC中,有：
ssiinn 即 即 ::
此时无解．
课堂小结： （1）三角形面积公式：
（2）正弦定理： （3）正弦定理适用范围：
•
感 谢 阅
读感 谢 阅
读
2R
（3）
解三角形的定义： 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它
们的对边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形 的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
《正弦定理》教案（精选5篇）
《正弦定理》教案（精选5篇）《正弦定理》篇1通过正弦定理让我们更容易的了解数学，正弦定理的教学内容有哪些呢?以下是小编为大家整理的关于《正弦定理》教案，给大家作为参考，欢迎阅读!一、教学内容分析本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中正弦定理的第一课时，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是坐标法等知识在三角形中的具体运用，是生产、生活实际问题的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。
本节课其主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在课型上属于“定理教学课”。
因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，学生通过对定理证明的探究和讨论，体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
二、学情分析对高一的学生来说，一方面已经学习了平面几何，解直角三角形，任意角的三角比等知识，具有一定观察分析、解决问题的能力;但另一方面对新旧知识间的联系、理解、应用往往会出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约。
根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，注意前后知识间的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题。
三、设计思想：培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要方面，也是高中新课程改革的主要任务。
如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。
”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不仅是通过教师传授得到的，更重要的是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。
本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。
四、教学目标：1、在创设的问题情境中，让学生从已有的几何知识和处理几何图形的常用方法出发，探索和证明正弦定理，体验坐标法将几何问题转化为代数问题的优越性，感受数学论证的严谨性.2、理解三角形面积公式，能运用正弦定理解决三角形的两类基本问题，并初步认识用正弦定理解三角形时，会有一解、两解、无解三种情况。
1.1.1正弦定理(第二课时)PPT课件
6
讨论：
已知两边及夹角，怎样求 三角形面积？
7
数学建构 三角形面积公式：
A
SΔABC
1 2
absinC
1 2
bcsinA
1 2
acsinB
c ha
b
证明：∵
SΔABC
1 2
aha
而 ha AD c sinB bsinC
B
Da
C
∴
S
ΔAB
13
∵A、C∈(0，π)， ∴cos A＝0，∴A＝2π， ∴△ABC 为直角三角形．
14
判断三角形的形状
在△ABC中，若
a2 b2
tan tan
A B
，试判断 △ABC的形状。
解：由正弦定理，得
sin2 A tanA sin2 B tanB
s s iin n 2 2B A c s o in sA A · c s o in sB B ， ∵ s in A 0 ， s in B 0
12
• 在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， 若b＝acos C，试判断△ABC的形状．
• 解析： ∵b＝acos C， • 由正弦定理得：sin B＝sin A·cos C. • ∵B＝π－(A＋C)， • ∴sin(A＋C)＝sin A·cos C. • 即sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C， • ∴cos Asin C＝0，
15
∴ sinAcosAsinBcosB，
即sin2Asin2B
2 A 2 k 2 B或 2 A 2 k 2 B ( k Z )
0 A ， 0 B ， ∴ k 0 ， 则 A B
正弦定理(第二课时)-高一数学同步精讲课件(湘教版2019必修第二册)
灵活运用正弦定理 将角的形式化成边 的形式，是解题的 关键！
典例解析
这两个结论也为求外 接圆的半径、三角形 的面积提供了新思路！
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂小结
课堂小结
正弦定理
边化角 角化边
课后作业
课后作业
书面作业： 习题1.6 7、10 补充作ห้องสมุดไป่ตู้：
重点
完善正弦定理的内容，灵活运用正弦定理及其推论，解决较复杂的三角形问题。
难点
正弦定理的扩充及其证明。
新知探究
正弦定理的扩充
正弦定理的推论
边化角 角化边
典例解析
典例解析
利用正弦定理将边的形式 转化成了角的形式，从而 实现了等式中统一为角的 形式。这是正弦定理非常 重要的一个应用！
典例解析
教学课件
新课导入
新课导入
正弦定理
正弦定理说明了三角形中各边和对角的正弦的比值相等，那么这个 比值的几何意义是什么？学习了余弦定理，我们可以利用余弦定理实现 等式中的边角互化，那么正弦定理有没有这样的应用呢？
学习目标
1.理解正弦定理的扩充及其证明，进一步完善正弦定理的内容； 2.理解正弦定理的推论； 3.灵活运用正弦定理及其推论，解决较复杂的三角形问题。
《正弦定理》的说课稿优秀5篇
《正弦定理》的说课稿优秀5篇作为一名默默奉献的教育工作者，往往需要进行说课稿编写工作，借助说课稿可以让教学工作更科学化。
怎样写说课稿才更能起到其作用呢？旧书不厌百回读，熟读精思子自知，本文是美丽的编辑给大伙儿找到的《正弦定理》的说课稿优秀5篇，希望对大家有所帮助。
《正弦定理》的说课稿篇一大家好，今天我说课的题目是《正弦定理》。
新课标指出：高中教育属于基础教育，具有基础性，且具有多样性与选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展。
今天我将贯彻这一理念从教材分析、学情分析、教学过程等几个方面展开我的说课。
一、说教材教师对教材的掌握程度，是评判一位教师是否能上好一堂课的基本标准。
在正式内容开始之前，我要先谈一谈对教材的理解。
《正弦定理》是人教A版必修5一章一节的内容，其主要内容是正弦定理及其应用。
此前学习了三角函数的相关知识，且积累很多的证明、推导的经验，为本节课的学习都起到了一定的铺垫作用。
本节课的学习，也为以后学习和解决生活中的一些问题提供帮助。
因此本节的学习有着特别重要的地位。
二、说学情合理把握学情是上好一堂课的基础，下面我来谈谈学生的实际情况。
这一阶段的学生已经具备了一定的分析问题、解决问题的能力，且在知识方面也有了一定的积累。
所以，教学中，利用学生的特点以及原有经验进行教学，增强学生的课堂参与度。
三、说教学目标根据以上对教材的分析以及对学情的把握，我制定了如下三维教学目标：(一)知识与技能能证明正弦定理，并能利用正弦定理解决实际问题。
(二)过程与方法通过正弦定理的'推导过程，提高分析问题、解决问题的能力。
(三)情感、态度与价值观在正弦定理的推导过程中，感受数学的严谨，提升对数学的兴趣。
四、说教学重难点我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。
而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。
那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点为：正弦定理。
难点：正弦定理的证明。
新教材北师大版第2章612正弦定理课件(42张)
方法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为： (sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A，
即 sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A． 因为 sin C≠0，所以 sin Bcos B＝sin Acos A． 所以 sin 2B＝sin 2A．所以 2B＝2A 或 2B＋2A＝π，
a sin
b
c
A＝_s_in__B_＝_s_i_n_C_
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第二章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册 BSD）
说明：正弦定理的理解： (1)适用范围：任意三角形． (2)结构特征：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦． (3)主要作用：正弦定理的主要作用是实现三角形边角关系的互化及 解决三角形外接圆问题．
数学（必修·第二册 BSD）
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第二章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册 BSD）
题型二
已知两边和其中一边的对角解三角形
例 2 已知在△ABC 中，a＝2 3，b＝6，A＝30°，求△ABC 中 其他边与角的大小．
[分析] 在△ABC 中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理 求解，但要注意解的个数的判定．
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第二章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册 BSD）
[归纳提升] 已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理 求解，但要注意判定解的情况．基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理 求另外一边所对角的正弦值．判断解的情况．(2)求角：先根据正弦值求 角，再根据内角和定理求第三角．(3)求边：根据正弦定理求第三条边的 长度．
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第二章 平面向量及其应用
人教A版高中数学必修第二册《正弦定理》名师课件
,
2
与的夹角为
2
=
=
− .仿照上述方法,同样可得
探究新知
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
=
=
思考1：利用正弦定理解三角形,至少已知几个元素？
思考2：正弦定理可以解决哪类解三角问题？
1.已知三角形的任意两个角与一边;
典例讲授
例5、在△ABC中,角, , 所对的边分别为, , .
2
2
2
2
求证：(1) cos2A − cos2B = − ; (2)
2 −2
2
=
sin(A−B)
sinC
.
证明
（1）左边= 2 1 − 2sin2 A − 2 1 − 2sin2 B = 2 − 2 − 2(b2 sin2 A −2 sin2 B).
由
=
, 得 bsinA = sinB , ∴ 2 sin2 A − 2 sin2 B = 0
sinA sinB
∴ 左边 = 2 − 2 = 右边
∴ 2 cos2A − 2 cos2B = 2 − 2
典例讲授
例5、在△ABC中,角, , 所对的边分别为, , .
典例讲授
例4、在△ABC中,: : = 2: 3: 10,则cosC =________.
解析
设角, , 的对边分别为, , ,
∵ : : = 2: 3: 10,
∴ : : = 2: 3: 10.
设 = 2, = 3, = 10, > 0,
6.4.3 第2课时 正弦定理课件ppt
6
=sin 120°cos B-cos 120°sin B=2 + 6 .
6
2× 1
+
2 6
sin
2( 3+ 2)
由正弦定理,得sin = sin,即 c= sin =
=
.
3
3
2
.
探究二
已知两边和其中一边的对角解三角形
例2在△ABC中,已知a=2,b= 2 ,A=45°,解三角形.
已知三角形的两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、
两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定.
因此“已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角”时,需要分析三角形解
的情况,下面以已知a,b和角A解三角形为例进行说明.
由正弦定理、正弦函数的性质及三角形的性质可得,在△ABC中,已知a,b
求三角形面积时,由于三角形面积公式有不同形式,因此实际使用时要结合
题目的条件灵活运用公式求解.当三角形的两边及其夹角都已知或能求出
1
1
1
时,常利用 S= absin C= bcsin A= acsin B 求解面积.
2
2
2
变式训练2(1)在△ABC中,若A=60°,b=16,S△ABC=64 3 ,则c=
3+1.
反思感悟已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边所对的角的正弦值.
(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中“大边对大角,大角对大边”的
法则能判断另一边所对的角是锐角还是钝角.
(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时
由正弦值可求得两个角,要分类讨论.
《正弦定理》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
因此，约2h后将要遭受台风影响，持续约6.6h．
故选A．
A
在△ABC中，已知a=2 ，A=30°，B=45°，则c= ( )．A.2＋2 B. 2 C. 2-2 D. 1＋
已知两条边的边长和其中一边的对角的大小解三角形，它的解有几种情况？
第1步，作任意锐角∠A，控制角的一边AC大小恒定，过点C作以a为半径的圆，圆与∠A另一边的交点即为点B，交点的个数即为解的个数．
（1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．
相关公式
正弦定理的应用
正弦定理
已知两角与任一边，解三角形．（解是唯一确定的）
已知两边与其中一边的对角，解三角形．（判断三角形解的个数）
变式
实现边与角的正弦互换．
教材第114页练习第1，2 ，3题．
台风中心位于某市正东方向300km处，正以40km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250km范围内将会受其影响．如果台风风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间？ (精确到0.1 h)
解：如图，设台风风中心从点 B向西北方向沿射线BD移动，该市位于点B正西方向300 km处的点A．
c
C
B
A
A
c
显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
探究直角三角形中，边与角的等式关系．
c
b
a
第1步，如图作Rt△ABC，∠C=90°，设BC=a，AC=b，AB=c ．
分步
能否把锐角三角形转化为直角三角形来求证？试着探究锐角三角形中，边与角的等式关系．
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听课随笔 第2课时
【学习导航】
知识网络
正弦定理→测量问题中的应用
学习要求
1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；
2．学会用计算器，计算三角形中数据。
【课堂互动】
自学评价
1．正弦定理：在△ABC 中，
===C
c
B b A a sin sin sin R 2, 变形：（1）A R a sin 2=，_____________，
________________.
（2）R
a
A 2sin =
，______________，________________.
2．三角形的面积公式： （1）C ab s sin 2
1
=
=_________=_________ （2）s=C B A R sin sin sin 22 （3）R
abc
s 4=
【精典范例】
【例1】 如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）．
分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑 解△ＡＢＤ． 【解】
【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=050，∠B=055，AB=120m ，如何求得它的高？ （819.055sin ,766.050sin 00≈≈） 分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C ；
（2）求三角形的高。
【解】
【例3】一座拦水坝的横断面为梯形，如图所示，求拦水坝的横断面面积。
（请用计算器解答，精确到1.0） 【解】
注：本题也可以构造直角三角形来解，过C 作CE ⊥AB 于E ，过D 作DF ⊥AB 于F 即可。
【例4】已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、 ∠B 、∠C 的对边，S
是△ABC
的面积，若
听课随笔
a=4，b=5，S=3
5，求c的长度。
【解】
追踪训练一
1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从
A岛望C岛和B岛成60°的视角，从
B岛
望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间
的距离是(
A.103海里
B.
3
6
10
海里
C. 52海里
D.56海里
2．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为
20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长
( )
A. 1公里
B. sin10°公里
C. cos10°公里
D. cos20°公里
3．如图：在斜度一定的山坡上的一点A测
得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度
为15︒，向山顶前进100m后，又从点B测
得斜度为45︒，假设建筑物高50m，求此山
对于地平面的斜度
θ
【解】
【选修延伸】
【例5】在湖面上高h处，测得云彩仰角为
α，而湖中云彩影的俯角为β，求云彩高.
【解】
追踪训练二
1．一船向正北航行，看见正西方向有相距
10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，
继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏
西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这
只船的速度是每小时( )
A.5海里
B.53海里
C.10海里
D.103海里
2．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶
来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等
于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则
第一辆车与第二辆车的距离
1
d与第二辆车
与第三辆车的距离d2之间的关系为( )
A.
2
1
d
d> B.
2
1
d
d=
C.
2
1
d
d< D. 不能确定大小。