实变函数第三章习题解答

第三章 作 业

1．证明：若E 有界，则m E ∗<+∞．

2．证明：可数点集的外测度为零．

3．证明：设E 是直线上一有界集，，则对任意小于的正数，恒有0m E ∗>m E ∗c E 的子集，使．

1m E c ∗=

4．证明：设是一些互不相交的可测集合，，，求证 ． 12,,,n S S S i i E S ⊂1,2,,i n = 11()n n

i i i i m E m E ∗

∗===∑∪

5．若0m E ∗=，则E 可测．

6．证明康托尔（Cantor ）集合的测度为零．

7．设且．若,q A B R ⊂m B ∗<+∞A 是可测集，证明

．

()()m A B mA m B m A B ∗∗∗=+−∪∩

8．证明：若E 可测，则对于任意0ε>，恒有开集及闭集，使， G F F E G ⊂⊂而(),()m G E m E F εε−<−<．

9．设，存在两列可测集{}，使得且，则q E R ⊂,{}n n A B n n A E B ⊂⊂lim ()0n n n m B A →∞

−=E 可测．

10．设，证明成立不等式：,q A B R ⊂()()m A B m A B m A m B ∗∗∗+≤+∪∩∗．

11．设，若对任意的n E R ⊂0ε>，存在闭集，使得F E ⊂()m E F ε∗−<，证明E 是可测集．

12．证明：直线上所有可测集合作成的类μ的基数等于直线上的所有集合类的基数．