(整理)4定积分的性质.

§4定积分的性质

教学目的：熟练掌握定积分性质及积分中值定理。

重点难点：重点为定积分性质及第一中值定理,难点为推广的积分第一中值定理。 教学方法：讲练结合。

一、定积分的基本性质

性质1 若[]b a f ,在上可积，k 为常数，则kf 在[]b a ,上也可积，且

()()dx x f k dx x kf b

a

b

a

⎰⎰

= （1）

证 当0=k 时结论显然成立 当0=k 时，由于

()(),1

1

J x f k kJ x

kf i n

i i i

n

i i

-∆⋅=-∆∑∑==ξξ

其中()dx x f J b

a

⎰=

，由[]b a f ,在上可积时，故任给0>ε，存在0>δ，当时δ

时，

()k

J x f i n

i i ε

ξ<

-∆∑=1

，

从而

()εξ<-∆∑=kJ x

kf i

n

i i

1

即[]b a kf ,在上可积，且

()()dx x f k kJ dx x kf b

a

b

a

⎰⎰

==

性质2 若g f ,都在[]b a ,上可积，则g f +在[]b a ,上也可积，且

()()[]()(),dx x g dx x f dx x g x f b

a b a b a ⎰⎰⎰±=± （2）

证明与性质1类同．

性质l 与性质2是定积分的线性性质，合起来即为

()()[]()(),dx x g dx x f dx x g x f b

a

b

a

b

a

⎰⎰⎰+=+βαβα

性质3 若g f ,都在[]b a ,上可积；则fg 在[]b a ,上也可积． 证 由g f ,都在[]b a ,上可积，从而都有界，设 []

()[]

(),sup ,sup ,,x g B x f A b a x b a x ∈∈==

且0,0>>B A (否则g f ,中至少有一个恒为零值函数，于是g f ⋅亦为零值函

数，结论显然成立)．

任给0>ε，由g f ,可积，必分别存在分割T '、T ''，使得

.2,2A

x B

x i T g i i T f i ε

ωε

ω<

A∆<

∆∑∑'

''

令T T T ''+'= (表示把T '、T ''的所有分割点合并而成的一个新的分割T )．对于

[]b a ,上T 所属的每一个i ∆，有

()()()()x g x f x g x f i

x x g

f i

''''-''=∆∈'''⋅,sup ω

≤()()()()()()[]

x g x g x f x f x f x g i

x x ''-'⋅''+''-'⋅'∆∈''',sup

.g

i f i A B ωω+≤

可知

i T

g i i T

f i i T

g f i

x A x B x ∆+∆≤∆∑∑∑⋅ωωω

i T g i T i f i

x A x B

∆+∆≤∑∑'

''

ωω

.22εε

ε

=⋅

+⋅

A B

B

这就证得g f ⋅在[]b a ,上可积. 注意，在一般情形下

()()()().dx x g dx x f dx x g x f b

a

b a

b

a

⎰⎰⎰

⋅≠

性质4 f 在[]b a , 上可积的充要条件是：任给()b a c ,∈，f 在[]c a ,与[]b c ,上都可积．此时又有等式

()()().dx x f dx x f dx x f b

c

c a

b

a

⎰⎰⎰+= (3)

证 [充分性] 由于f 在[]c a ,与[]b c ,上都可积，故任给0>ε，分别存在对[]c a ,与

[]b c ,的分割T '与T ''，使得

.2

,2

εωεω<''∆''<'∆'∑∑'

''

i T i T i i x x

现令T T T ''+'=，它是对[]b a ,的一个分割，且有

=

∆∑i

T

i x

ω∑'

+'∆'T i

i

x ωx T i

''∆''∑'

'ωε<

由此证得f 在[]b a ,上可积．

[必要性] 已知f 在[]b a ,上可积，故任给0>ε，存在对[]b a ,的某分割T ，使得

i

T

i x

∆∑ωε<在T 上再增加一个分点c ，得到一个新的分割*

T ．又有

≤∆**∑i

i x

ωi T

i x ∆∑ωε<

分割*T 在[]c a ,和[]b c ,上的部分，分别是对[]c a ,和[]b c ,的分割，记为T '和T ''，则有

∑'

'T i

ωi

x '∆≤∑*

*T i

ω

*∆i x ε<

∑'

''T i

ωi

x '

'∆≤

**∑*

∆i T

i

x ω

ε

<

这就证得f 在[]b a ,与[]c b ,上都可积．

在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3)．为此对[]b a ,作分割T ，恒使点c 为其中的一个分点，这时T 在[]c a ,与[]b c ,上的部分各自构成对[]c a ,与[]b c ,的分割，分别记为T '与T T ''．由于

()∑∆T

i

i

x f ξ=()∙

'

∆'∑i

T i

x f ξ()∑'

'''∆''+T i

i

x f ξ，

因此当0→T (同时有0,0→''→'T T )时，对上式取极限，就得到(3)式成立． 口 性质4及公式(3)称为关于积分区间的可加性．当()0≥x f 时，(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性．

按定积分的定义，记号

()dx x f b

a

⎰只有当b a <时才

有意义，而当b a =或b a >时本来 是没有意义的．但为了运用上的方便，对它作如下规定： 规定l 当b a =时，令

();0=⎰dx x f b

a

．

规定2 当b a >时，令

()()dx x f dx x f a

b

b

a

⎰⎰

-=

有了这个规定之后，等式(3)对于c b a ,,的任何大小顺序都能成立．例如，当c b a <<时，只要f 在[]c a ,上可积，则有

()()()()()()d x x f d x x f d x x f d x x f d x x f d x x f b

a c b

b a

c b b c c

a

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ 性质5 设f 为[]b a ,上的可积函数．若()[]b a x x f ,,0∈≥，则

()0≥⎰dx x f b

a

推论(积分不等式性) 若f 与g 为[]b a ,上的两个可积函数，且()()x g x f ≤，

[]b a x ,∈，则有

()()dx x g dx x f b

a

b

a

⎰⎰

≤ （5）