根轨迹定义及根轨迹方程

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自动控制原理第四章根轨迹

第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。

根指的是闭环特征根(闭环极点)。

根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。

K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。

3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。

4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。

★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。

有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。

(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。

说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。

在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。

(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。

由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。

2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。

由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。

根轨迹法

根轨迹法一、定义：〈①〉()()()01111*0=+++=+∏∏==nj imi ip s z s Ks G 。

其中*K 为根轨迹增益。

开环放大倍数∏∏===nj jmi ipzKK 11*闭环特征方程的根随参数*K 而变化的轨迹，称为根轨迹。

其符合两个条件：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=∠+=∠=非最小相位系统或最小相位系统相角条件：幅值条件：,2,121000ππk s G k s G s G〈②〉几条规则：①实轴上的根轨迹〈最小相位系统〉右边有奇数个零极点时，有根轨迹〈非最小相位系统〉右边有偶数个零极点时，有根轨迹 ②根轨迹条数=Max （n,m ），起点为开环极点（0=g K ），终点为开环零点（∞→g K ）③渐进线条数：（n-m ）条，与实轴交点坐标：mn --=∑∑零点极点1σ与实轴夹角：()mn k -+±=πϕ121。

④分离点与会合点：使0*=dsdK ，并使*K >0的点 ⑤复数极点出射角：∑∑-+︒=量辐角其他极点至该极点的向零点至极点的向量辐角1801p θ对非最小相位系统∑∑-='量辐角其他极点至该极点的向零点至极点的向量辐角1p θ 复数零点的入射角：∑∑+-︒=角极点至该零点的向量辐量辐角其他零点至该零点的向1801z θ对非最小相位系统∑∑+-='角极点至该零点的向量辐量辐角其他零点至该零点的向1z θ⑥与虚轴交点：（a ）用劳斯判据确定，用辅助方程求得（b ）ωj s =代入闭环特征方程，由实部=0，虚部=0求得例1：()()()210++=s s s Ks G解：渐进线（3条）：()()10321-=--+-=σ，()πππϕ,3312=+±=k由()()0211=+++s s s K，则()()21++-=s s s K ，()()026323223*=++-=++-=s s dsss s d ds dK ，得 ⎩⎨⎧-=-==-=385.0,577.1385.0,423.0*22*11K s K s 与虚轴的交点：方法一02323=+++K s s s ，劳斯阵：Ks K sKs s 0123323021-要与虚轴有交点，则有一行全零，即6032=⇒=-K K辅助方程：j s s 20632,12±=⇒=+ 方法二将ωj s =代入特征方程：()()()02323=+++K j j j ωωω2,60320332==⇒=-=-ωωωωK K 虚部：实部：，则与虚部的交点6,22,1=±=K j s 根轨迹如下图例2：()()32220+++=s s s K s G 解：渐进线一条。

根轨迹方程

证明：根轨迹方程
m
∏ (s − zi )
i =1
=−
1
n
∏ (s − pi )
K*
∏ i =1
n
s − pi
模值方程
K * = i=1 m ∏ s − zi
i =1
根轨迹起点： K*= 0(K = 0)
要使模值方程成立，则 s = p i 所以pi是根轨迹起点。
(i = 1, , n )
根轨迹终点 K* = ∞(K = ∞)
= −1
i =1
∏ ⎧
⎪
K
* G
m
s − zi
⎪
i =1
∏ ⎪⎪
⎨
n
s − pi
=1
⎪ i=1
⎪m
n
∑ ∑ ⎪
⎪⎩ i =1
∠(s −
zi ) −
i =1
∠(s −
p i ) = (2 k + 1)π
k = 0,±1,±2
模方程相方程
（1）相方程是决定闭环根轨迹的充要条件；
（2）由模方程决定根轨迹上各点相应的 K * 值。
−
pi )
=
−K
*
d ds
m
(s − z j )
j =1
将式（1）除式（ 2）得
（2）
d ds
n
d
(s − pi ) ds
i =1
=
m
(s − z j )
j =1
n
m
(s − pi )
(s − z j )
i =1
j =1
n
m
d ln
( s − p i ) d ln
(s − z j )

第四章控制系统的根轨迹法

9
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制参数根轨迹的绘制增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响分析系统的稳定性分析系统的瞬态和稳态性能对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。如下页图所示，具有实部和阻尼角划成的左区域满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3

第四章：根轨迹法

i s ∏︱ - z︱ j
j=1
确定根轨迹上某点对应的K*值
闭环零、极点与开环零、极点的关系
比较开环传递函数与闭环传递函数：
G (s) H (s) K G K H

( S Z ) ( S Z
i i 1 q j 1 h i i 1 j 1
f
l
f l m j
) K
(S Z
j 1 i i 1
j
)
( S P ) ( S P )
j
qhn
(S P )
Φ(s)=
* KG ∏(s-zi ) ∏(s-pj )
i=1
j=1 * * ∏(s-pi ) ∏(s-pj ) + kG kH ∏(s-zi )∏(s-zj ) i=1 j=1 i=1 j=1 q h f l
相角条件:
m
根轨迹的模值条件与相角条件 n
∑∠(s-zj) －∑∠(s-pj) = (2k+1) π j=1 i=1
k=0, ±1,
±2, … m 绘制根轨迹的充要条件 i=1 m
模值条件:
1+K K = = -1 0 1 n (s ) ∏︱ -p︱
i=1
) ∏︱ - z︱ s -p ( s jn ∏︱︱ j=1 i * *
第四章：根轨迹法
教学目的
对于低阶控制系统，我们可以用求解微分方程方法来分析控制系统，而对于高阶系统，用微分方程的方法求解就比较困难。根轨
迹方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用起来比较
简便，因此在工程设计中获得了广泛应用。通过本章内容学习，要使学生懂得根轨迹的概念，根轨迹的作图方法，以及根轨迹与系统性能之间的关系。

根轨迹和根轨迹方程

3
闭环传递函数决定控制系统的性能：
稳定性（取决于闭环极点）快速性（动态性能，取决于闭环极点和零点）准确性（静态误差，取决于增益）
闭环极点难以计算，尤其对于高阶系统，因此需要探索不解高次代数方程，也能求出系统闭环特征方程的根，进而求出系统闭环动态特性的有效方法。
根轨迹分析法就是利用开环零、极点确定闭环极点的一种图解方法。
K
*
K
1 2 L
T1 T2 L
m
Tnv
,
z1
1
1
,
p1
1 T1
,L
根轨迹增益时常数增益
2
R(s)
C(s)
-
Go (s)
Go (s)
K (1s 1)( 2s 1)L
sv (T1s 1)(T2s 1)L
( ms 1)
(Tnv s 1)
K*(s sv (s
z1)(s z2 )L (s zm ) p1)(s p2 )L (s pnv )
Go (s)
C(s) 开环传递函数为： Go (s) 闭环传递函数为： (s) Go (s)
1 Go (s)
将 Go (s)写成以下标准型：
m
Go (s)
K*(s (s
z1)(s z2 )L (s zm ) p1)(s p2 )L (s pn )
K*
n
(s
i 1
(s
zi ) pj)
☆充要条件11
[一些约定]：在根轨迹图中，“ ”表示开环极点，“ ”表示
开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的
方向。“ ”表示根轨迹上的点。
我们先以根轨迹增益 K （* 当然也可以用其它变量）作为变化量

自动控制原理第四章根轨迹法

第四章根轨迹法
第一节根轨迹与根轨迹方程根轨迹系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时，闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。解：化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)

自动控制原理第4章根轨迹法精

上式称为根轨迹开环传递函数的标准形式。所以，绘制根轨迹图时，首先要把开环传递函数改写成这种标准形式。
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，

(自动控制)第四章：根轨迹法

动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0

k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支；一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共轭复根┈欠阻尼响应。

根轨迹法的基本概念

K*
s1,2 1
1 K*
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根运动模态性、系统性能）
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点： K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点： K* s zi j 1, 2, m
例题：单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3，根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。

根轨迹

第四章
根轨迹法
4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 控制系统的根轨迹分析 4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹
4-1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹的基本概念所谓根轨迹就是指当系统中某个参量由零到无穷大变化时，参量由零到无穷大变化时，其闭环特征根（极点）征根（极点）在s平面上移动的轨迹
方法1:解方法1:解方程法 1: 开环传递函数 ∗ K G( s) = s( s + 1)( s + 2)
1 1 1 1 = + + ∑ s− p s s+1 s+ 2 = 0 j =1 j
3
方法3:极值法方法3:极值法 3:
dK ∗ =0 ds
K ∗ = − s 3 − 3s 2 − 2s dK ∗ = −3s 2 − 6s − 2 = 0 ds ds
m 1 1 =∑ ∑ d − p i =1 d − z j =1 j i n
重根法求解d 2 、重根法求解d
f ( s ) = A( s ) + K ∗ B( s ) = 0
A( s ) B′( s ) − A′( s ) B( s ) = 0
3、由极值点求解d 由极值点求解d dK ∗ = 0 坐标值由
4-2 绘制根轨迹的基本法则
设控制系统的开环传递函数为 m
G(s)H ( s) = K
*
jω
∏ (s − z )
i =1 n i j =1 j
∏ (s − p
)
K =∞ 1 −1
K*(s − z1)L (s − zm) = (s − p1)(s − p2 )L (s − pn )
K =0 −6
• K = 35, ω =1.35

第四章根轨迹分析

GK ( s ) K g ( s zi )
i 1 m
(s p )
j 1 j
n
1
由于GK(s)是复数s的函数，故上式为一矢量方程
根轨迹的基本概念(续)
幅值方程：确定根轨迹上某点对应的Kg值
K g s zi
i 1 m
s p
j 1
n
1
Kg
f ( s ) D( s ) K g N ( s ) 0 D( s ) N ( s ) N ( s ) D( s ) 0 f ( s ) D( s ) K g N ( s ) 0
即由D( s) N ( s) N ( s) D( s) 0解出的s就是分离点
幅值条件和相角条件的应用
例2：单位反馈系统的Gk ( s )
Kg s( s 1)
, 试判断s1(-
1,j1)、 s2(-0.5,-j1)是否是根轨迹上的点。
解: 由相角方程得：
0 [( s2 p1 ) ( s2 p2 )] 116.6 63.4） 180 （
第四章根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 控制系统根轨迹的绘制求取闭环系统零极点的方法增加开环零极点对根轨迹的影响控制系统根轨迹分析举例
1
第4章
根轨迹
本章序言
•时域分析中，高阶系统解析法求闭环极点较困难。 •1948年，伊万斯（W.R.Evans）提出了根轨迹法。
由幅值件得：K g
n
s p s z
i 1 j 1 m
j
i
1）当Kg=0时，有s=-pi；则根轨迹必起始于开环极点。

第四章根轨迹分析法

j=1
i=1 ≠b
例设系统开环传递函数零、极点的分布如图4-9所
示，试确定根轨迹离开复数共极点- p1 、- p2的出
射角。
解按公式（4-28），由作图结果得
øb= +180°（2k+1) + - p1+ z1- - p1+ p2-
jw
- p1+ p3- - p1+ p4
S平面
= +180°（2k+1) +45° -90°-135°-26.6°
根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现纯虚根。故可在闭环特征方程中令s=jw，然后令其实部和虚部分别等于0，从中求得交点的坐标值及其相应的Kg值。例设系统的开环传递函数为
Gk（s）=s（s+1K）g（s+2）
试求根轨迹和虚轴的交点，并计算临界根轨迹增益Kgp。
解闭环系统的特征方程为 s（s+1）（s+2）+Kg=0
确定根轨迹上某点对应的K*值
例：开环传函 G(s)H(s)= K ，求根轨迹
(s+1)(s+2)
解 1、确定极点、零点
开环 –p1= -1, –p2= -2
无零点
1、相角条件
∠(s+zi)- ∠(s+pj) = 0-[∠(s+1)+ ∠(s+2)] =±180o(2k+1)
试差法 s= -1.5
∠θ1+ ∠θ2=180 o
故 D’(s)=3s2+6s+2
N’(s)=0
解得 s1=-0.423 s2=-1.577
由于s2不在根轨迹上，因而分离点是s1 。

第八章根轨迹法

nm =3
p3 -2
p2 -1
σα
0
p1
故三条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线与实 -60° 轴交点的坐标为 (0) +(1) +(2) (0) σα = =1 3 (2k + 1)π 取 k = 0, α = 60° α = 渐近线与实轴正方向的夹角 3 k = 1, α = 180° k = 1, α = 60° 三条渐近线如图所示。
自动控制原理
利用以上原则求例 8-1 的根轨迹图：已知开环极点为0，-2。首先应用幅角条件，即
(∠s + ∠(s + 2)) = ±180°(2k + 1)
用试探的方法可找出满足上述条件的 s 点。由幅角条件分析可知，实轴上根轨迹位于（-2，0）区间，实轴之外根轨迹为0，-2两点的中垂线。用幅值条件可算出根轨迹上各点对应的 K* 值。如对(-1+j) 点，有 K = s i s + 2 / 2 = ( 2i 2)/ 2 = 1 得 K* = 2
自动控制原理
五、根轨迹的渐近线
* 如果开环零点数 m 小于开环极点数 n，则K → ∞ 时，趋向无穷远处的根轨迹共有 (n-m) 条，这些根轨迹趋向于无穷远处的方向角可由渐近线决定。
渐近线与实轴交点坐标公式该式的分子是开环极点之和减零点之和，分母是开环极点数减零点数。
∑ p ∑z
σα =
i =1 i j =1
∏ (s z )
由根轨迹方程知，
m
∏ (s p )
j =1 i
i =1 n
i
=
1 K*
K * → ∞ 时，s – zi = 0
所以，根轨迹终止于开环零点。又，若 n>m ，则 s →∞ 时，上式可写成即有 (n-m) 条根轨迹趋向于无穷远处。

自控第四章

（4-7）
K 式中：
* H
为反馈通道的根轨迹增益。
* * G ( s) H ( s) K G K H
( s z ) ( s z
i 1 q i j 1 l i 1 i i 1
f
l
j
) )
（4-8）
( s p ) ( s p
j
j
K*
( s z ) ( s z
• 闭环特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-11）闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。 • 根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 （4-12）式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示出开环传递函数与闭环极点的关系。
设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定n≥m，这时式（4－12）又可以写成：
最后绘制出根轨迹如图4－7所示。
图4－7
例4－3根轨迹
五、根轨迹的渐近线
渐近线与实轴正方向的夹角为
(2k 1) π a nm
渐近线与实轴相交点的坐标为
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
例4-4 已知系统的开环传递函数
K * ( s 1) G ( s) H ( s) s ( s 4)( s 2 2 s 2)
•根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求
出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。
4－2 绘制根轨迹的基本法则一、根轨迹的分支数
分支数＝开环极点数＝开环特征方程的阶数
即为max(n,m)条。
二、根轨迹的连续性与对称性根轨迹是连续曲线，对称于实轴

第4章根轨迹分析法

i 1
其余n m,
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
m
(1
m
i 1
pj
(1 s)
zi
n
s
) (s
p
j
)
1 Kg
j 1
j 1
j m 1
此时s ，即无穷远处
8/63
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
GK (s)
m
n
闭环系统特征方程或根轨迹方程
4/63
GK (s) GK (s) e jGK (s) 1
幅值条件: GK (s) 1 相角条件: GK (s) 180o (2k 1) k 0,1, 2,
或:
m
(s zi )
充要条
K i1 gn
1
件
(s pi )
m
n
j 1
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
当 nm2
n
n
an1 ( pj ) (sj ) s j 为系统的闭环极点
j 1
j 1
随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些
必向左移动
n
(sj )=(-1)n (a0 Kgb0) j 1
22/63
十条法则：
1.连续性 2.对称性 3.分支数 4.起点、终点 5.实轴上的根轨迹 6.渐近线 7.分离点、会合点 8.出射角、入射角 9.虚轴交点 10.闭环极点的和与积
D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577

第4章根轨迹法

j 1 i 1 n
(2k 1)180 (2k 1)
k 0, 1, 2,
zj
4.2 绘制根轨迹的基本规则
1.根轨迹的对称性
根轨迹关于实轴对称。因为系统的闭环极点为实根或复根，复根共轭成对出现且关于实轴对称，因此系统的根轨迹关于实轴对称。
2.根轨迹的条数（分支数）
zj
[例4-3]
已知单位负反馈系统的开环传递函数为
Kr G(s) H (s) s ( s 2)( s 4)
试概略绘制该系统的根轨迹。
[解] 根据开环传递函数可知，无系统的开环
零点，则m=0；开环极点有3个，即n=3，分别为 p1 0 、p2 2 和 p3 4 。将开环极点用“×”在复平面上标出，如图4-4所示。根据根轨迹绘制规则确定其根轨迹。
p 180 ( p1 z1 ) ( p1 p2 ) 180 90 90 180
1
zp j
l
[例4-4] [解]
p p 180
2 1
jω
×j 2
-2
-1
0 0
σ
j2 ×
图4-5 例4-4系统的根轨迹
4.4 本章小结
第4 章
根轨迹法
根轨迹法的基本概念绘制根轨迹的基本规则参量根轨迹的绘制本章小结
4.1 根轨迹法的基本概念
1948年，伊凡斯（W.R.Evans）提出了一种简便的求解闭环极点的图解方法—根轨迹法。
4.1.1 根轨迹
根轨迹定义
根轨迹与系统性能的关系
根轨迹定义
根轨迹：当控制系统的开环传递函数的某个参数从零变化到无穷大时，闭环极点在s平面上的变化轨迹称之为根轨迹。根轨迹法：利用根轨迹进行线性控制系统分析和设计的方法称为根轨迹法。 [例4-1]单位负反馈控制系统如图4-1所示，试分析参数K变化对系统性能的影响

根轨迹方程闭环系统特征方程

闭环系统特征方程: 1G (s)H(s)0
当系统有m个开环零点和n个开环极点时,上式等价为
根轨迹方程
m
(s z j)
充要条件
K j1 n
1
相角条件
(s pi)
i 1
模值条件
11ej(2k1)
m
(s z j ) j1
n
(s pi ) (2k 1)
i 1
k 0， 1， 2，
n
s pi
在s平面上相遇又立即分开的点
分离角
(1) 何时存在分离点? (2) 如何解分离点方程?试探法、重根法
2k1/l
辐角条件逼近法－试探法
重根法
分离点的坐标d满足下列方程：
m
1
n
1
j1 dzj i1 dpi
1 G(s)H (s) 0
d ds
[G(s)H
(s)]
0
4－2－1 根轨迹绘制的基本法则法则5－2 根轨迹的会合点
K*
i1 m
s zj
j1
4-2 根轨迹绘制的基本法则
180度根轨迹：
• 变化参数为根轨迹增益 K *
• 相角遵循 1802k条件
本节内容：
根轨迹绘制的基本法则闭环极点的确定
4－2－1 根轨迹绘制的基本法则
法则1 根轨迹的起点和终点
根轨迹起于开环极点，终于开环零点. 无限零点、无限极点
根轨迹终点,其余
根轨迹方程闭环系统特征方程
4-1 根轨迹法的基本概念
本节内容
▪ 根轨迹的定义 ▪ 根轨迹与系统性能 ▪ 闭环与开环零、极点的关系 ▪ 根轨迹方程
卢p65
1、根轨迹的定义
根轨迹
开环系统某一参数从零变化到无穷时,闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹.

自动控制原理第4章

z2 ) p2 )
m
sm z j n1
i 1
(s zm )
(s pn )
m
(zj)
j 1
n
( pi )
i 1
自动控制原理
第四章复域分析法－根轨迹法
如果开环零、极点的数目满足n-m 2，则闭环特征方程为
snnp isn 1 n( p i)K *m( zj) 0
证明：系统的闭环特征方程
n
m
D(s) (spi)K* (szj)0
i1
j1
根轨迹有分离点，说明闭环特征方程有重
根。因此，
n
m
(s pi ) K* (s zj ) 0
i1
j1
d
ds
n i1
(s
pi )
K*
m j1
(s zj )
0
自动控制原理
第四章复域分析法－根轨迹法
将上面两式相除，整理得
自动控制原理
第四章复域分析法－根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义
根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数 (如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动所画出的轨迹。
常规根轨迹：当变化的参数为开环增益时所对应的根轨迹。
广义根轨迹：当变化的参数为开环传递函数中其它参数时所对应的根轨迹。
自动控制原理
第四章复域分析法－根轨迹法
证明：由根轨迹方程，得
m
(s
j 1
n
(s
zj) pi )
1 K*
i1
令K* =0，得
m
j 1 n
(s (s
zj) pi )
1 K*