初三圆经典例题新

有关圆的经典例题 1.

在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。

132O AB AC BAC

解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示，

过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ，

∵，，∴，AB AC AD AE ===

=323222

∵，∴∠，OA OAD AD OA ==

=132cos cos ∠OAE AE OA ==22

∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示，

同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15°

例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ，

如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ⋂

（1）求证：△ABC 是直角三角形；

()22

求的值AD BC

解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于

E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE A

F FB ⋂

=

又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC =1

2

∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。

（2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA ∴

，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2∵，DE R DF BC ==21

2

∴·，故AD BC R AD BC

R 2

2

== 例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ）

A A

B CD

B AB CD ..⋂>⋂⋂<⋂22

C AB CD

D AB CD ..⋂=⋂⋂⋂

22与的大小关系不确定

解：解法（一），如图，过圆心O 作半径OF ⊥AB ，垂足为E ，

则AF FB AB ⋂=⋂=⋂12

AE EB AB ==1

2

∵，∴AB CD AE CD AB ===

21

2

∵AF FB AF FB ⋂=⋂

=，∴

在△AFB 中，有AF+FB>AB

∴，∴，∴，∴22

22AF AB AF AB

AF CD AF CD >>>⋂>⋂

∴AB CD ⋂>⋂2

∴选A 。

解法（二），如图，作弦DE=CD ，连结CE

则DE CD CE ⋂=⋂=⋂12

在△CDE 中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD ，∴AB>CE

∴，∴AB CE AB CD ⋂>⋂⋂>⋂

2∴选A 。

例4.

如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ==

=1

4

1

求CD 的长。

解：延长AB 、DC 交于E 点，连结BD ∵AB

BC AD ==

=1

4

1

∴，，∴∠∠AB BC AD ADB EDB ⋂=⋂

==4

∵⊙O 的半径为2，∴AD 是⊙O 的直径 ∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD ∴△ABD ≌△EBD ，∴AB=BE=1，AD=DE=4 ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠EBC=∠EDA ，∠ECB=∠EAD

∴△∽△，∴EBC EDA BC AD CE

AE

=

∴·CE BC AE AD BC AB BE AD =

=+=+=()1141

2

∴CD DE CE =-=-=4127

2

例5.

如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB

⋂

于H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点。

（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么？ ()22当点在劣弧

的什么位置时，才能使·，为什么？D AC AD DE DF ⋂

=

解：（1）当PC=PF ，（或∠PCF=∠PFC ）时，PC 与⊙O 相切， 下面对满足条件PC=PF 进行证明， 连结OC ，则∠OCA=∠FAH ， ∵PC=PF ，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH ，

∵DE ⊥AB 于H ，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90° 即OC ⊥PC ，∴PC 与⊙O 相切。 ()22当点是劣弧

的中点时，·，理由如下：D AC AD DE DF ⋂

= 连结，∵，∴∠∠AE AD CD DAF DEA ⋂=⋂

=

又∵∠∠，ADF

EDA =

∴△∽△，∴DAF DEA AD DE DF AD

=

即AD 2

=DE ·DF

例6. 如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD ()AB BC BC O >12

D 作半圆的切线交AB 于

E ，切点为

F ，若AE ：BE=2：1，求tan ∠ADE 的值。

解：∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ⊥AB ，BC ⊥DC ∴AB 、DC 切⊙O 于点B 和点C ，

∵DE 切⊙O 于F ，∴DF=DC ，EF=EB ，即DE=DC+EB ，又∵AE ：EB=2：1，设BE=x ，则AE=2x ，DC=AB=3x ， DE=DC+EB=4x ， 在Rt △AED 中，AE=2x ，DE=4x ， ∴AD x

=23则∠tan ADE AE AD x x =

==22333

21．（8分）（2015•东营）已知在△ABC 中，∠B=90°，以AB 上的一点O 为圆心，以OA 为半径的圆交AC 于点D ，交AB 于点E ． （1）求证：AC•AD=AB•AE；

（2）如果BD 是⊙O 的切线，D 是切点，E 是OB 的中点，当BC=2时，求AC 的长．

解答： （1）证明：连接DE ，∵AE 是直径，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ABC ，∵∠DAE=∠BAC ，∴△ADE

∽△ABC ，∴=，

∴AC •AD=AB •AE ；

（2）解：连接OD ，∵BD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥BD ，在RT △OBD 中，OE=BE=OD ，∴OB=2OD ，∴∠OBD=30°， 同理∠BAC=30°，在RT △ABC 中，AC=2BC=2×2=4．

23．（7分）（2015•济南）（1）如图，在矩形ABCD 中，BF=CE ，求证：AE=DF ； （2）如图，在圆内接四边形ABCD 中，O 为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD 的度数．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，∠B=∠C=90°，∵BF=CE ，∴BE=CF ，在△ABE 和△DCF 中

∴△ABE ≌△DCF ，∴AE=DF ；（2）解：∵∠BOD=160°，∴∠BAD= ∠BOD=80°，∵A 、

B 、

C 、

D 四点共圆，∴∠BCD+∠BAD=180°，∴∠BCD=100°．

（2015•莱芜）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任一点（不与A ，B 重合），AB ⊥CD 于E ，BF 为⊙O 的切线，OF ∥AC ，连结AF ，FC ，AF 与CD 交于点G ，与⊙O 交于点H ，连结CH ． （1）求证：FC 是⊙O 的切线； （2）求证：GC=GE ；